Approfondimento Sull`uso Dei Segni Nelle Formule Ortodromiche

Transcript

Approfondimento sull’uso dei segni nelle formule ortodromiche Una delle insidie maggiori nei calcoli che coinvolgono in larga misura funzioni trigonometriche è la gestione dei segni; in navigazione questo problema coinvolge soprattutto l’ortodromia e l’astronomia, ed ha sempre rappresentato una difficoltà per generazioni di studenti di scienze nautiche. Premettendo che esistono numerose interpretazioni per affrontare questa tematica, si propone in questo testo la seguente convenzione, che è sufficientemente generale da poter essere applicata a tutte le formule ortodromiche. Convenzione sui segni per le formule ortodromiche Il segno si considera solo per le funzioni seno e tangente, unicamente per le latitudini I casi in cui l’utilizzo dei segni può risultare difficoltoso sono soprattutto quelli in cui si hanno i punti (di partenza e di arrivo) in emisferi diversi. Se entrambi i punti fossero nell’emisfero Nord le loro latitudini sarebbero entrambe positive, mentre se fossero entrambi nell’emisfero Sud il triangolo ortodromico si potrebbe costruire utilizzando il Polo Sud e considerare comunque le latitudini positive, salvo ricordare che alcuni segni saranno da invertire a posteriori; anche in quest’ultimo caso, ad ogni modo, per evitare confusione, si può applicare la convenzione precedentemente esposta, costruendo sempre il triangolo ortodromico con il Polo Nord. Consideriamo il caso seguente: Il punto di partenza A è nell’emisfero Sud, mentre quello di arrivo B è nell’emisfero Nord; costruendo il triangolo ortodromico (in rosso in figura) con il Polo Nord (quindi A,PN,B). I suoi elementi sono quelli indicati in rosso: si noti che il lato PN-B vale (90°-B), quindi il valore della colatitudine, come normalmente accade sul triangolo ortodromico, ma il lato PN-A vale (90°+A), da prendere in considerazione con maggior attenzione. Nella presentazione di tutte le formule ortodromiche si è infatti sempre sfruttata la proprietà per cui il seno di un angolo è uguale al coseno del complemento dello stesso angolo (e viceversa) e la tangente di un angolo è uguale alla cotangente del complemento dello stesso angolo (e viceversa); tutto questo non vale più se l’angolo da considerare non è il complemento ma l’angolo dato sommato a 90°. E’ noto tuttavia dalla matematica che: sin(90° + 𝛼) = cos 𝛼 cos(90° + 𝛼) = − sin 𝛼 tan(90° + 𝛼) = − cot 𝛼 cot(90° + 𝛼) = − tan 𝛼 Si vede cioè che considerando una certa funzione trigonometrica di (90°+) e ricercando la corrispondente funzione per  si ha lo stesso effetto del caso (90°-) salvo per i segni, che cambiano per seno e tangente ma non per il coseno. Si nota però che lo stesso andamento dei segni si ha per le funzioni dell’opposto dell’angolo  considerato, cioè -, infatti: sin(−𝛼) = − sin 𝛼 cos(−𝛼) = cos 𝛼 tan(−𝛼) = − tan 𝛼 cot(−𝛼) = − cot 𝛼 Allora se ad esempio a cos(90°-) si è abituati a sostituire sen, a cos(90°+) basterà sostituire sen(-) perché in entrambi i casi il risultato è -sen; lo stesso accade per la tangente e la cotangente, mentre nel caso si abbia sen(90°+) si può sostituire indifferentemente cos o cos(-),essendo il coseno una funzione pari. Applichiamo a titolo di esempio al caso illustrato in figura la formula di Eulero, che conduce alla determinazione delle miglia: cos 𝑚 = cos(90 + 𝜑𝐴 ) ∙ cos(90 − 𝜑𝐵 ) + sin(90 + 𝜑𝐴 ) ∙ sin(90 − 𝜑𝐵 ) ∙ cos Δ𝜆𝐴𝐵 Per quanto esposto si ha: cos 𝑚 = (− sin 𝜑𝐴 ) ∙ sin 𝜑𝐵 + cos 𝜑𝐴 ∙ cos 𝜑𝐵 ∙ cos ∆𝜆𝐴𝐵 Riscrivibile come: cos 𝑚 = sin(−𝜑𝐴 ) ∙ sin 𝜑𝐵 + cos 𝜑𝐴 ∙ cos 𝜑𝐵 ∙ cos ∆𝜆𝐴𝐵 Forma che conferma quanto ipotizzato inizialmente: le equazioni funzionano se si ha cura di inserire il segno quando la latitudine è S, solo per le funzioni seno e tangente. Ad ulteriore esempio, la formula per la rotta iniziale sarà: tan 𝑟𝑖 = sin ∆𝜆𝐴𝐵 tan 𝜑𝐵 cos 𝜑𝐴 − sin(−𝜑𝐴 ) cos ∆𝜆𝐴𝐵 Se fosse B nell’emisfero Sud sarebbe stata la tanB a diventare tan(-B); in ogni caso il risultato è quadrantale (l’inverso della tangente fornisce valori da 0° a 90°) con prefisso dal risultato (N se +, S se -) e suffisso dal segno di . Nella forma inversa dell’equazione dell’ortodromia, utilizzata per determinare la longitudine del vertice vale sempre la stessa convenzione, che permette di individuare, tre i due vertici esistenti, quello più appropriato da considerare, cioè il primo che la nave raggiunge o raggiungerebbe se continuasse sulla traiettoria, cosa che permette anche di non avere ambiguità per il segno diAV, che sarà uguale a quello di AB; sempre considerando l’esempio illustrato il vertice da considerare è quello nell’emisfero Nord (V), per cui si avrà: cos ∆𝜆𝐴𝑉 = tan(−𝜑𝐴 ) tan 𝜑𝑉 Utilizzando lo stesso segno per le due tangenti si individuarebbe una differenza di longitudine corretta ma afferente a V’. Esempio numerico Si consideri A (= 27° 29,5’ S λ= 153° 30,1’ E) e B (= 21° 40,6’ N λ=109° 29,0’ W) Risulta =97° 00,9’ E Con le convenzioni esposte si ha: cos 𝑚 = sin(−𝜑𝐴 ) ∙ sin 𝜑𝐵 + cos 𝜑𝐴 ∙ cos 𝜑𝐵 ∙ cos ∆𝜆𝐴𝐵 = −0.2711 … m=6344,1 mg tan 𝑟𝑖 = sin ∆𝜆𝐴𝐵 = 3.3506 … tan 𝜑𝐵 cos 𝜑𝐴 − sin(−𝜑𝐴) cos ∆𝜆𝐴𝐵 ri=N73°22’56’’E Ri=073,4° Relativamente al vertice si ha V=31°47,1’N (senza problemi di segno contenendo il coseno della latitudine), inoltre: cos ∆𝜆𝐴𝑉 = tan(−𝜑𝐴 ) tan 𝜑𝑉 AV=147°07,0’E V=059°22,9’W