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CALCULO NUMERICO DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL-SISTEMA SIN AMORTIGUACION

Cuando en algunos casos prácticos la excitación se conoce solo por datos experimentales, como en casos de movimientos sísmicos y los resultados tienen que ser obtenido por métodos numéricos ( ) Duhamel la identidad trigonométrica . Usando esta identidad y suponiendo condiciones iniciales iguales a cero obtenemos, la integral de Duhamel apéndice (a), ecuación (4.4), en Ia forma.

( )
O

∫ ( )

∫ ( )

( )
En donde,

* ( ) ( ) ( )

( ) ∫ ∫ ( ) ( )

+

(4.14)

(4.15)

El cálculo de la integral de Duhamel, por lo tanto, requiere el cálculo numérico de las ( ) integrales ( ) Varios métodos de integración numérica han sido usados para este cálculo. En estos métodos, las funciones bajo estas integrales son remplazadas por una suma de términos, que por conveniencia se calculan a incrementos iguales de tiempo , Los más populares de estos métodos son la regla trapezoidal y la regla de Simpson apéndice (b). Consideremos la integral de la función general ( )

( )

∫ ( )

La operación elemental requerida en la regla trapezoidal es:

( )

(

)

(4.16)

17) ⁄ . sin embargo.21) y (4.15) en el instante t = ti.22) Las ecuaciones (4. porque estas reglas están basadas en la sustitución de la función ( ) por una función de. La aplicación de Donde estas reglas es directa. que en la regla de Simpson debe ser un numero par. aproximado. obtenemos análoga.Y en la regla de Simpson apéndice (b) ( ) ( ) (4. .19). El resultado obtenido es . En forma de la ecuaci6n (4.22) son fórmulas de recurrencia para el cálculo de las Integrales en la ecuaci6n (4. ( ) ( * ) ( ( ) ( )( ) )+ (4.

La idealización de Ia estructura y de Ia carga debida a la explosión se muestran en la figura 4-7. en Ia ecuaci6n (4. esto es.060 seg.060 seg. la vibración libre que sigue se obtiene sustituyendo estos val ores A y B calculados para el instante t = 0. Los de A y B permanecen constantes después de ese tiempo.Ejemplo ilustrativo 4-1 Determine Ia respuesta dinámica de una torre sometida a la fuerza producida por una explosión en su vecindad.14). ( ) O sea ( ⁄ ( ) Para . En consecuencia. Ignore la a mortiguaci6n en el sistema. Soluci6n: Para este sistema la frecuencia natural es √ ⁄ √ ⁄ ⁄ Ya que el efecto de la explosión termina en el instante t = 0.

es decir: .1) Figura 7. se debe notar que aunque este procedimiento es aproximado se vuelve exacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero.1 Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado) En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u durante el intervalo de tiempo dt. Considerar la carga dinámica general p(t) de la Figura 7. El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos.(a) RESPUESTA A CARGA DINAMICA GENERAL INTEGRAL DE DUHAMEL. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración d. 7. más específicamente la intensidad de carga p() actuando en el tiempo t=.1 El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general. Por tanto para un intervalo de tiempo d. la respuesta producida por la carga p() es: Para t > (7. Esta carga que actúa durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de corta duración p()d sobre la estructura y la ecuación puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso. cada uno de ellos produce su propia respuesta diferencial.1.

En la ecuación 7. la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración formal de la ecuación 7.2 es: 7.2: ó (7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en reposo. entonces la ecuación 7. Para el análisis es práctico utilizar la identidad trigonométrica para reformular la ecuación 7.(7. para condiciones iniciales distintas del reposo añade la respuesta en vibración libre a la solución.2 ó 7. sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales.2 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.4) Dónde: (7. entonces se tiene: y se (7. Si la función de carga es integrable.5) . Debido a que esta basada en el principio de superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas.3) usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0.2) esta es una expresión exacta llamada integral de Duhamel.3. y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos.

el cual es un procedimiento numérico altamente eficiente que puede ser desarrollado para sistemas lineales. La Figura 7. El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga general es similar al análisis para un sistema no amortiguado. de tal forma que se asume una discrepancia muy pequeña.4 EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA[1] La solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema simple no es posible si la excitación (fuerza aplicada p(t) o aceleración del suelo si el sistema no es lineal. es decir. la fuerza p() toma el valor de: (7.4: (7.6) La respuesta de la carga total arbitraria es: (7.7 puede ser escrita en forma similar a la ecuación 7.15 da: en la (7. si el intervalo de tiempo es muy pequeño la interpolación lineal es satisfactoria. con la única variante que la respuesta en vibración libre iniciada por un impulso diferencial p()·d esta sujeta a un decremento exponencial.7) Para una evaluación numérica de la respuesta del sistema amortiguado la ecuación 7.2 muestra una función de excitación en forma general.3 INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO. De este modo estableciendo u(0)=0 y ecuación 4.7. o Un método más general de solución consiste en el cálculo iterativo de la respuesta a través de una serie de cálculos utilizando interpolación lineal. la cual es aproximada a través de una serie de líneas rectas suficientemente cercanas.9) Para la excitación dinámica debida a la aceleración del suelo.10) 7.8) Donde en este caso: (7. ) varía arbitrariamente con el tiempo. La función de excitación para el intervalo de tiempo por: está dada .

(3) la respuesta para (pi/ti)· con condiciones iniciales de cero.2 Interpolación lineal La respuesta u() para es la suma de tres partes: (1) la vibración libre debido al desplazamiento inicial ui y velocidad para =0. Para simplificar algebraicamente se considera primero a un sistema sin amortiguamiento.(7.12) Y la variable de tiempo  varía de 0 a ti. Para este caso la ecuación a ser resuelta es: (7. Adaptando las soluciones disponibles de los párrafos precedentes para estos tres casos la respuesta total es: y (7.11) Dónde: (7.13) Figura 7.14) . (2) la respuesta para la fuerza pi con condiciones iniciales de cero.

12 como fórmulas recurrentes: (7. .15) Estas ecuaciones se pueden replantear después de sustituir la ecuación 7. (b) En análisis numérico.. para sistemas subamortiguados. B. las cuales tienen sus ] respectivas expresiones para los coeficientes A. la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral: .. D’...Evaluando estas ecuaciones para =ti proporciona el desplazamiento ui+1 y la velocidad tiempo i+1: en el (7.16) Estas fórmulas también son aplicables para sistemas amortiguados.