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Capitolo 7 – Sviluppi dell’algebra 1. Un’equazione è detta fratta quando presenta l’incognita a denominatore. 2. Prima di risolvere un’equazione fratta, occorre discutere le condizioni di esistenza, escludendo i valori che annullano i denominatori. 3. Un’equazione parametrica contiene coefficienti letterali; discuterla significa ricavare informazioni dai coefficienti, eventualmente senza risolverla. Per trattarla si pongono le condizioni di esistenza relative ai coefficienti e si sfruttano le relazioni tra coefficienti e radici. 4. Un sistema di secondo grado contiene un’equazione di secondo grado e una di primo grado e può avere: - due soluzioni reali distinte; - due soluzioni reali coincidenti; - nessuna soluzione reale. 5. Particolari sistemi sono i sistemi simmetrici, nei quali la forma non cambia scambiando tra loro x e y. ⎧x + y = q Il sistema simmetrico fondamentale di secondo grado ha la forma ⎨ ⎩ xy = p 6. Un’equazione nella forma xn = a è detta equazione binomia e si risolve estraendo la radice nsima, se esiste, di a. 7. Un’equazione binomia può presentare: • una e una sola soluzione ∀a ∈ R se n è dispari; • due soluzioni coincidenti se a = 0; • nessuna soluzione se n è pari e a < 0; • due soluzioni distinte se n è pari e a > 0. 8. Un’equazione nella forma a x2n + bxn + c = 0 è detta trinomia. Se, in particolare, n = 2 l’equazione ha la forma ax4 + bx2 + c = 0 ed è detta biquadratica. 9. Per risolvere un’equazione biquadratica, la si riconduce a un’equazione di secondo grado operando la sostituzione xn = t; poi si ritorna in x risolvendo, se possibile, due equazioni binomie. 10. Un’equazione è detta irrazionale se contiene almeno un radicale in cui compare l’incognita. 11. Per risolvere equazioni irrazionali: • se l’indice dei radicali è dispari basta elevare a potenza in modo da eliminare l’irrazionalità; • se l’indice è pari occorre discutere la realtà dei radicali e il segno dei due membri, per poter elevare a potenza pari.
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