Transcript
CAPITULO 8. CURVAS Y SUPERFICIES 8.. Curvas en el plano efinición.efinimos curva en el plano C α : [ a,b] R R t α ( t) ( x( t), y( t) ) que nos lleva a la ecuación paramétrica de la curva C : t [a,b],curva que une el punto A con el punto B del plano En este punto definimos las características más importantes de las curvas o caminos. Una curva C es continua si x(t), y(t) son continuas. Una curva C es cerrada si A B, es decir, si empieza y termina en el mismo punto. Una curva C es simple si no pasa dos veces por el mismo punto. Una curva C es regular si existen x'(t) y (t) y son continuas. Cuando ocurre esto salvo en un número finito de puntos se dice que la curva es regular a trozos. Salvo que se indique lo contrario trabajaremos con curvas regulares a trozos. Una curva C es rectificable si tiene longitud finita. Una curva C es de Jordan si es cerrada y simple. 8.. Superficies: primeros conceptos El estudio de las superficies exige una representación analítica de ellas. Vamos a ver diversas representaciones comenzando por el caso de coordenadas cartesianas. Consideremos una referencia afín, {,i, j, k} en R { } donde los vectores i, j,k forman base ortonormal. efinición.una superficie es una aplicación r : R R, es decir r ( u, v) ( x(u, v), y(u, v), z( u, v) ), ( u, v) La expresión r ( u, v) x (u, v)i + y(u, v) j+ z( u, v) k recibe el nombre de ecuación vectorial de la superficie. escomponiendo dicha expresión en sus funciones componentes se obtiene x x(u, v) y y(u, v) z z(u, v) ( u, v) enominadas ecuaciones paramétricas de la superficie. Los parámetros u y v reciben el nombre de coordenadas curvilíneas de la superficie. Se denomina ecuación explícita de la superficie aquella en que los parámetros son dos las variables por ejemplo (x, y) obteniéndose z f (x, y) Una relación entre las variables x, y, z de la forma F(x, y, z) recibe el nombre de ecuación implícita de la superficie. Una superficie se dice de clase C k si la función r (u, v) es de clase C k, o lo que es lo mismo, si las funciones x (u, v), y (u, v), z (u, v) son de clase C k.si no se dice otra cosa se supondrá que la superficie es de clase C k 8.. Algunas superficies importantes escribiremos aquí las superficies más importantes que aparecen en la práctica. Empezaremos con las principales cuádricas canónicas: Esfera, elipsoide, hiperboloides, paraboloides, y algunos casos de cilindros y conos. A continuación analizaremos las superficies de revolución y traslación para acabar con una pincelada sobre las superficies regladas, que serán analizadas con más detenimiento posteriormente. Esta clasificación que hemos realizado no es excluyente. Por ejemplo un cilindro circular es una superficie de revolución y reglada. La esfera de ecuación implícita x +y + z a, admite como ecuaciones paramétricas x a cos u cos v y a cos u sen v z a sen u u v x y z El elipsoide (Fig.) de ecuación implícita + +, admite como ecuaciones a b c paramétricas x a cos u cos v y b cos u sen v z csen u u v Fig.. Elipsoide x y Paraboloide elíptico: Tiene por ecuación explicita: z +.Las ecuaciones paramétricas a b son x a u cos v y b u sen v z u u v Fig.. Paraboloide elíptico Si a b el paraboloide se denomina circular. x y Paraboloide Hiperbólico: z es la ecuación del paraboloide hiperbólico (Fig.). a b La intersección de esta superficie con planos z Cte. son hipérbolas. Unas ecuaciones paramétricas son x a u y b v z u v u v Fig..Paraboloide hiperbólico x y z Hiperboloide de una hoja: + (Fig. ). Unas posibles ecuaciones a b c paramétricas son x a cosh u cos v y b cos h u sen v z csen h u u v Fig.. Hiperboloide de una hoja z y x Hiperboloide de dos hojas:.unas ecuaciones paramétricas de la primera c b a hoja son x a sen h u cos v y bsen h u sen v z ccos h u u v y unas ecuaciones paramétricas de la segunda hoja son x a sen h u cos v y bsen h u sen v z. ccos u u v Cilindro circular con generatrices paralelas al eje OZ, tiene por ecuación implícita x + y a. Unas posibles ecuaciones paramétricas son x a y a z u cos v sen v u v Cono circular de vértice el origen puede expresarse en forma x + y - a z Fig. 5: Cono circular Unas posibles ecuaciones paramétricas son x a u cos v y a u sen v z u u v 8.. Primeros conceptos sobre superficies efinición.sea la superficie S definida en forma implícita por F(x, y, z), donde la función F es al menos de clase C l. Sea P (x, y, z ) un punto de la superficie S, esto es, verifica F (x, y, z ).El punto P se dice punto singular de S sí F x (x, y, z ) + F y (x, y, z ) + F z (x, y, z ) En caso contrario el punto P(x, y, z ) recibe el nombre de punto regular. Sea la superficie S de ecuaciones paramétricas r ( u, v) x y z x(u, v) y(u, v) z(u, v) donde r (u, v) es al menos de clase C l en un entorno de (u, v). El punto P (x, y, z ) (x (u, v ),y(u,v ),z(u,v )) es un punto regular de S si se verifica ( r u r v ) ( ) u, v que es equivalente a decir que la matriz tiene rango dos. Un punto de la superficie S es punto singular de S si no es regular. El que un punto sea singular para una superficie expresada en forma implícita es algo inherente a la superficie. Así por ejemplo, el punto (,, ) es un punto singular para el cono de ecuación x + y - z, que corresponde a su vértice. Sin embargo, ser punto singular para una superficie expresada en forma paramétrica puede depender de la parametrización elegida, pudiendo un punto ser singular para una parametrización y regular para otra. Los dos ejemplos anteriores muestran que hay dos tipos de puntos singulares: Esenciales, que son debidos a la geometría de la superficie y que son independientes de la parametrización de la superficie y artificiales, que se deben a la parametrización elegida para la superficie. En todo lo que sigue supondremos que todos los puntos de una superficie son regulares. En caso de existencia de puntos singulares se pondrá de manifiesto de forma explícita Vectores normales a una superficie. Plano tangente Un vector normal a la superficie r( u, v) r en un punto regular P, correspondiente a los valores (u, v ) de los parámetros, es cualquier vector que tenga la dirección del vector r r u v ( u,v ) o i x x u v j y y u v k z z u v Si la superficie viene expresada en la forma implícita, F(x, y, z), un vector normal a la superficie, en un punto regular P (x, y, z ) de ella, viene dado por el vector (F x (x, y, z ), F y (x, y, z ), F z (x,y,z ) ) Un vector normal unitario será el vector ν ( u, v ) ( r u r v ) ( u,v ) ( r u r v ) ( u,v ) El plano tangente a la superficie r( u, v) r en un punto regular P de coordenadas (x, y, z ) correspondiente a los valores (u, v ) de los parámetros, es el plano que pasa por P y tiene como ) vector característico un vector normal a la superficie en P. Siendo del plano tangente será r (x, y,z una ecuación ( r r( u, v ) ). ( u r v ) ( u, ) r v que puede expresarse en la forma x x x x u v y y y y u v z z z z u v El plano tangente contiene a los vectores r u, rv lo que nos permitirá deducir, en el apartado siguiente, que dicho plano contiene a todas las rectas tangentes a curvas que estén contenidas en la superficie y pasen por el punto r ( u, ) v Se denomina recta normal a la superficie en un punto regular P, correspondiente a los valores (u, v ) de los parámetros, a la recta que pasa por P y tiene como vector director un vector normal a la superficie en P. Una ecuación vectorial de la recta normal será ( u, v ) λ r( u, ) R r + v 8.6. Expresiones de una curva sobre una superficie Sea la superficie r r( u, v).una curva sobre dicha superficie viene dada por una relación entre los parámetros u y v. Esta relación puede adoptar diversas formas:. Forma implícita: (u, v) con u + v. Forma explícita: u (v). Forma paramétrica: uu(λ), vv(λ) d v d u. Forma diferencial: f ( u, v) La forma diferencial representa una familia de curvas, ya que su integración dará lugar a una expresión de la forma (u, v, k), debiéndose fijar alguna condición para determinar la constante k. 5. Forma cuadrática diferencial: A(u,v)du +B(u,v)du dv+c(u,v)dv. Vamos a suponer C d v dv. Resolviendo C + B + A d u se obtienen dos familias de curvas en forma du dv dv para valores (u, v) tales que B - AC du du diferencial que son: f ( u, v), f ( u, v).representa pues dos familias de curvas sobre la superficie Curvas coordenadas sobre una superficie Las relaciones uc (Cte), vc determinan al variar v y u respectivamente, dos familias de curvas sobre la superficie que reciben el nombre de curvas coordenadas o paramétricas Fig. 8 Las curvas u C, v C fibran la superficie Si queremos prever el futuro de la matemática, el camino adecuado para conseguirlo es el de estudiar la historia y el estado actual de esta ciencia. Henri Poincaré CAPITULO 9.INTEGRALES MULTIPLES 9.. Integral doble Sea un dominio acotado del plano XOY, limitado por una curva cerrada C que se supondrá rectificable. Supongamos que dicho dominio tiene un área A. Sea f(x,y) una función acotada en el dominio. ividamos de forma arbitraria en n dominios parciales,, n de áreas ω,ω.ω n. Cualquiera que sea la forma en que se ha hecho la partición, se n A () p ω p Consideremos ahora en cada dominio parcial p un punto arbitrario de coordenadas ( ωp, p) y formemos la siguiente suma n Ω p ( ψ p, ηp ) ω p f () Llamemos diámetro del dominio al extremo superior de la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos. iremos que la función f(x,y) es integrable en si el límite de la expresión () tiende a un límite finito I cuando n - de modo que el mayor de los diámetros de los dominios parciales tienda a cero. n ( ψ p, ηp ) ω p f( x, y) I lim f n p dxdy 9.. Clase de funciones integrables.toda función continua en un dominio es integrable en este dominio..si f(x,y) permanece acotada en y tiene en dicho dominio un número finito o infinito de puntos de discontinuidad, estando estos puntos distribuidos sobre un número finito de arcos rectificables de curvas planas contenidas en, la función es integrable en el citado dominio. 9.. Propiedades de la integral doble.si la función f(x,y) es acotada e integrable en los dominios y E teniendo estos dominios una parte de frontera común, también es integrable en +E f ( xy ) dxdy f( xy ) dxdy+ f( x,y ) + E E dxdy.si las funciones f(x,y) y g(x,y) son acotadas e integrables en, se verifica [ f ( x, y ) + g( x, y )] dxdy f( x, y ) dxdy + g( x, y ) dxdy.si f(x,y) es acotada e integrable en y k es una constante, se verifica k f ( x, y) dxdy k f( x, y)dxdy.si f(x,y) es integrable en, también lo es f(x,y) verificándose f ( x, y ) dxdy f( x, y ) dxdy 9.. Teorema de la media Si f(x,y) y g(x,y) son funciones acotadas e integrables en un dominio y g(x,y) tiene signo constante en el citado dominio, se verifica f(x, y) g(x, y) dxdy μ g(x, y) dxdy () es un número comprendido entre los extremos m y M de f(x,y) en Casos particulares.si f(x,y) es continua en el dominio, tomara el valor en un cierto punto(ψ, ) del dominio y de la expresión ( ) se obtiene f(x, y) g(x, y) dxdy f(ψ(η) g(x,y) dxdy () Si f(x,y) es continua en el dominio y g(x,y) en las fórmulas () y (), se verifica f(x, y)dx dy μa f(x, y)dxdy Af ( ψ, η) f(ψ, ) es el valor medio de f(x,y) en el dominio f medio(x,y) A f(x, y) dxdy 9.5. Calculo de integrales dobles Si es un dominio de integración horizontalmente simple o verticalmente simple, la integral doble sobre de una función continua es una integral iterada. Es decir, sea {( x, y) / a x b, f ( x) y f ( x) } Siendo f (x) y f (x) funciones continuas en [a,b].entonces f b ( x) ( x, y) dxdy dx f( x, y) a f f ( x) dy (5) Análogamente, sea {( x, y) / c y d, g ( y) x g ( y) } Siendo g (y) y g (y) funciones continuas en [c, d]. Se verifica f d g ( y) ( x, y) dxdy dy f( x, y) c g ( y) dx Ejercicios de aplicación. Calcular I x y dx dy es el dominio limitado por el triángulo de lados x, y, y x I dx x x y dy Calculemos la integral I x y dy x Cambio de variable: y x sen t y límites de integración: t, t 6 I /6 /6 x + cost cost dt x cos t dt x Por tanto. I + x dx + 8. Calcular I x y dxdy donde es el área limitada por la recta y x y la curva y x I x 5 x dx y dy ( x x ) dx x 9.6. Simplicación del calculo de integrales dobles Sea f(x,y) integrable en un dominio acotado. Si es simétrico respecto al eje OX y f(x,-y)-f(x,y), entonces I. Si es simétrico respecto al eje OX y f(x,-y) f(x,y) I f(x,y) dxdy extendida a la mitad inferior o superior del dominio. Si es simétrico respecto al eje OY y f(-x, y) -f(x,y), entonces I. Si es simétrico respecto al eje OY y f(-x, y)f(x,y) I f(x, y) dxdy extendida a la mitad izquierda o derecha del dominio 5. Si es simétrico respecto al origen de coordenadas y f(- x,-y)-f(x,y), I 6. Si es simétrico respecto al origen de coordenadas y f(- x,-y)f(x,y) I f(x, y)dxdy Ejercicios de aplicación. Calcular I ( x y + y x)dxdy donde es el dominio x +y -, x es un dominio simétrico respecto al eje OX I x y dxdy+ y dxdy x dxdy I I I Cálculo de I : f(x, y) f(x, y) I Cálculo de I f(x, y) f(x, y) I Calculo de I I + x x dx dy x x Luego I x y I dxdy donde es el dominio Calcular sen ( x + y ) es un dominio simétrico respecto al origen de coordenadas, verificándose: sen[( x) + ( y) ] sen(x + y ) Luego, I 9.7. Cambio de variables en integrales dobles Sea la integral doble ( x, y ) f dxdy extendida a un dominio plano limitado por la curva cerrada C. Se quiere cambiar las variables (x, y) por otras (u,v) mediante las ecuaciones x x y y ( u, v) ( u, v) ( 6 ) La nueva integral se extenderá a un dominio R limitado por una curva T imagen de C. La correspondencia definida por las ecuaciones (6) es biunívoca cuando a cada punto del dominio limitado por C, le corresponde un único punto del dominio R limitado por T y recíprocamente. Para que la correspondencia sea biunívoca es preciso que el determínate Jacobiano sea Se denomina determinante Jacobiano (x,y) con respecto a u y v y se simboliza por determinante (x, y) (u, v) al (x, y) (u, v) x u y u x v y v Si f(x,y) es continua en y las funciones x(u,v), y(u,v) son derivables con derivadas continuas en R y el Jacobiano anteriormente definido es en R, entonces se tiene ( x, y ) dxdy f[ x( u, v), y( u, v) ] f Δ ( y) ( v) x, u, dudv (7) El elemento diferencial dx dy se ha tomado positivo. Si queremos considerar positivo du dv, será preciso tomar positivo el jacobiano, lo cual implica que la expresión (7) adopta la forma Δ f [ x( u, v), y( u, v) ] J du dv (8) Coordenadas Polares: xρ Cos θ, y ρ Sin θ ( y) ( v) x, u, ρ dρ dθ f ( x, y) dxdy f( ρ cos θ,ρ sen θ) ρ dρ dθ Δ Ejercicios de aplicación +. Calcular I ( x y )dxdy donde es el área de la lemniscata ρ a cosθ. Coordenadas polares a cosθ a I ρ ρdρdθ dθ ρ dρ a cos θdθ 9.8. Calculo de volúmenes Se trata de calcular el volumen del cuerpo limitado por la superficie zf(x,y) el plano XOY y una superficie cilíndrica de generatrices paralelas a O Z, cuya directriz es la curva C del dominio, en el cual se supondrá f(x,y) positiva e integrable. Este volumen viene dado por la integral doble V f ( x, y) dxdy El volumen comprendido entre dos superficies z f (x,y) y z f (x,y) siendo f (x,y) f (x,y) contenido en un cilindro de base y generatrices paralelas a OZ viene dado por [ f ( x, y) f ( x, y) ] V dx dy Ejercicios de aplicación. Calcular el volumen limitado por (x-c) + (y-d) R, z y x y a z Cambio de variables x c X x c + X y d Y y d + Y ( x, y) ( X, Y) J J El plano z se transforma en z, la superficie x y a z se ha transformado en (X+c) (Y+d) a Z y el cilindro (x-c) +(y-d) R se ha transformado en X +Y R. Por tanto, el volumen será V z dxdy, Siendo X +Y R V a X Y dxdy + X dxdy + Y dxdy + d a c a d c a X dy d Calculemos I X dx dy : a f(-x,y)-f(x,y) y el dominio es simétrico respecto del eje OY. Por tanto I e la misma forma I c a Y d X dy f(x,-y)- f(x,y) y el dominio es simétrico respecto al eje OX. Igualmente I a X Y dx dy f(-x,y)f(x,y) y el dominio es simétrico respecto al eje OY. El valor del volumen será V d c a d X dy R d c a. Calcular el volumen del sólido determinado por las superficies xy, y, z y z+x V z dx dy ( x) dx dy ( x) dx x dy 5. Calcular el volumen común a la esfera y al cilindro de ecuaciones x +y +z R, x +y - R x. Coordenadas polares: V z dxdy R ρ ρ dρ dθ es el primer cuadrante del círculo de ecuación: ρr cos θ R cos θ R V dθ R ρ ρ dρ 9.9.Integrales triples Sea K un dominio acotado del espacio limitado por una superficie cerrada que constituye su contorno. Sea V el volumen de K y consideremos la función f(x,y,z) acotada en K. escompongamos de forma arbitraria mediante superficies auxiliares el dominio K en n dominios parciales, n de volúmenes v p y elijamos en cada dominio parcial p un punto de coordenadas (ψ p, p, θ p ). iremos que f(x, y, z) es integrable en K si la suma σ n p f ( ψ, η,θ ) p p p vp tiene limite finito cuando n de forma que el mayor de los diámetros de los dominios parciales tienda a cero, cualquiera que sea la forma de realizar la partición y elegir un punto (ψ p, p, θ p ) en cada uno de los dominios parciales. El valor I es I V f(x, y, z)dxdydz 9.. Cálculo de integrales triples Vamos a suponer que el dominio K que se proyecta en el dominio del plano XOY, está limitado superior e inferiormente por las superficies S y S de ecuaciones zz (x,y), zz (x,y), con z z, siendo ambas superficies continuas en. El dominio está limitado por una curva simple cerrada C. K se supondrá limitado lateralmente por una superficie cilíndrica de generatrices paralelas a OZ Supongamos que toda paralela a OZ trazada desde un punto (x,y) interior a C corta al contorno C en dos puntos de cotas z (x,y) y z (x,y) siendo z z y suponiendo que toda paralela a OY que corte al eje OX en un punto x comprendido entre a y b, corta a la curva C en sólo dos puntos de coordenadas f (x), f (x) con f (x) f (x) siendo estas funciones continuas. El cálculo de la integral se reduce a tres integraciones reiteradas. f(x, y, z)dxdydz dx dy f(x, y, z)dz dx dy K a b f (x) f (x) z (x,y) z (x,y) y) z (x, z (x,y) f(x, y, z)dz Ejercicios de aplicación. Calcular la integral x y z dx dy dz extendida al volumen comprendido entre el plano X Z y las dos superficies cilíndricas y a x - x, z a x I ax a axx a x dxdy z dz a x dx y dy a x ( ax x ) dx a 9 x. Calcular x z + z y dx dy dz donde es el paralelepípedo construido sobre los ejes de longitudes,,. y x z dx dy dz dx dy z o + x y + z x x z dz 6 . Calcular z dx dy dz donde es el primer octante positivo limitado por los planos y, z, x+y, y + x 6 y el cilindro y+z. z dx dy dz dy dx 6y y y z dz 6 9..Cambio de variables en integrales triples Sea la integral f( x, y, z)dxdydz extendida al dominio K. Se quieren cambiar las K variables x, y, z por otras u, v, w mediante las ecuaciones: x x y y z z ( u, v, w) ( u, v, w) ( u, v, w) ( 9) La nueva integral se extenderá a un dominio K imagen de K por las ecuaciones (9). La correspondencia que definen las ecuaciones (9) es biunívoca cuando a cada punto de K le corresponde un único punto de K. Recíprocamente, para que la correspondencia sea biunívoca es preciso que el jacobiano En estas condiciones se tiene ( x, y, z ) dxdydz f [ x ( u, v, w),y ( u, v, w), z ( u, v, w) ] J dudvdw f K K, Coordenadas Cilíndricas x ρ cosθoy ρ senθ, z z ( x, y, z) ( ρ, θ, z) J J ρ dρ dθ dz Coordenadas Esféricas x ρ cosθ cosϕ y ρ senθ cosϕ z ρ senϕ θ varía de a, ϕ varía de a +, ρ varía de a + En estas condiciones se barre todo el espacio. Cálculo del jacobiano ( x, y, z) ( ρ,θ, ϕ) J J ρ cosϕ Ejercicios de aplicación. Calcular x sen x + y + I 9z dx dy dz donde es es el dominio limitado por la elipse x + y + 9z Transformemos el elipsoide en una esfera mediante el cambio x X, y Y, z Z El elipsoide se ha transformado en la esfera X +Y +Z J( x, y, z) ( X, Y, Z) 6 J Por tanto I X sen X Y Z dxdydz 6 + + Pasando a coorde
