Commande Hinf Et Mu Anlyse Intere

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© HERMES Science Publications. Paris. 1999 HERMES Science Publications 8, quai du Marché-Neuf 75004 Paris ISBN 2-7462-0041-4 Serveur web: http://ww.\v.editions-hermes.fr http://www.hermes-science.com Catalogage Electre-Bibliographie Duc, Gîlles >"Font, Stéphanc Commande Hx et JL-anaJyse : des outils pour la robustesse - Paris, Hermès Science Publications, 1999. ISBN 2-7462-0041-4 RAMEAU: Commande BOl:' codes con'cctcurs d'en'curs (théorie de l'infOlmalÎon) commande automatique 378.51 : Enseignement supédeur. Mathématiques, DEWEY: Statistique 515: Analyse mathématique Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part, que les "copies ou reproductions strictement J'éservées il l'usage privé du copiste et non destinées à L1ne utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses elles courtes citations dans un but d'exemple et d'U1ustrallon, "taule représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L. 122-4), Celle représentation ou reproduction, pm' quelque procédé que ce soil, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par Jes articles L 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle, Commande Hoo et ~-analyse des outils pour la robustesse Gilles Duc Stéphane Font COLLECTION PÉDAGOGIQUE n'AUTOMATIQUE SaliS la direction de Alain Ot.tstaloup La collection pédagogique d'automatique du Club EEA, â laquelle appm1ient cel ouvrage, est dirigée par Alain Oustaloup, Enserb. L'objectiF de cette collectiol1 est de (ol/mir aux: enseignants et étudiants les éléments de base, théoriques et appliqués, en automatique. A cette lIn, les ouvrages de cette collection compremw1tt une partie cours, Hile partie travallX: dirigés et 1lne partie travaiL'\: pratiques. EXTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL Identification des systèmes, loan D. LANDAU, 1998. Les micromachines, Patrice MINOITI, Antoine FERREIRA, 1998. AUTOMATIQUE pour les classes préparatoires - cours el exercices corrigés, Claude FOULARD, Jean-Mane FLAUS, Mireille JACOMINO, 1997. Elémenls de logique floue. Louis G/\CÔGNE, 1997. Le micro-contrôleur 68HCll, Bernard BEGHYN, 1997. Machines à commande numérique, Bernard MÊRY, 1997. Automatique - commande des systèmes linéaires, 2e édition revue el augmenlée, Philippe de LARMINAT, 1996. Détection el estimation des signaux. David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996. Le filtrage des signaux, David DECLERCQ. André QUINQUIS, 1996. Le signal aléatoire, David DECLERCQ, André QUINQUIS. 1996. Le signal déterminÎste, David DECLERCQ, André QUINQUIS, 1996. Identification et commande des systèmes, 2e édition revue et augmentée. lmm D. LANDAU, 1993. Du Grafcet aux réseaux de Petri. 2e édition revue et augmentée, René DAVlD, Hassanc ALLA, 1992. Table des Inatières Introduction. ................ ................................ ................. .............................. .......... Chapitre 1. Valeurs singulières et norme H CX) ... .......................... ....................... 1.1. Valeurs singulières d'une matrice de transfert............................................. 1.2. Norme H"" d'un système linéaire invariant................................................ 1.3. Propriétés de la norme H C1:> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 2. Synthèse H CX) , 9 Il Il 14 16 approche standard............... .................................... 17 2.1. Problème standard ................... .................. ....................... ........................... 2.2. Résolution du problème fi ~ standard par équations de Riccati................. 2.3. Exemple élénlentaire ................................................................................... 2.4. Résolution du problème fi"" standard par inégalités matricielles affines... 2.5. Mise en œuvre ............................................................................................. 2.5.1. Mise en forme pour la synthèse............................................................ 2.5.2. Objectifs de synthèse............................................................................ 2.5.3. Mise en œuvre par l'introduction de fonctÎons de pondération............. 2.5.4. Mise sous forme standard ..................................................................... 2.6. Exemple: asservissement de position ......................................................... 2.7. Autres exemples de mise en œuvre ............................................................. 2.7.1. Rejet ù'une perturbation mesurable ...................................................... 2.7.2. Utilisation d'une mesure supplémentaire .............................................. 2.7.3. Correcteur à 2 degrés de liberté ........................................................... 17 18 21 23 26 26 27 28 31 32 37 37 38 39 Chapitre 3. Approche H 00 par {( loop-shaping }} ................................................ 41 3.1. Un problème fi ct:J particulier ...................................................................... 41 3.2. Exemple élémentaire ................................................................................... 43 3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte...................................... 43 6 Commande JJc:J) el Jl-analysc : des outils pour la robustesse 3.4. Réponses fréquentielles après optimisation FI 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5. Exemple: asservissement de position ......................................................... 47 Chapitre 4. Il-analyse .................................... ....................................................... 49 4.1. Description des incertitudes de modèle.. ............................ ......................... 4.1.1. ReprésenLation générale par LFT ............................... .......................... 4.1.2. Exemples de mÎse sous forme LFT ...................................................... 4.1.3. Structure générale de la matrice d'incertitude....................................... 4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée ...................................... 4.3. Valeur singulière structurée......................................................................... 4.3.1. Définition ............................................................................................. 4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée ......................................... 4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée ............................................. 4.4.1. GénérnlisalÎon du théorème du petit gain ............................................. 4.4.2. Exemple élémentaire ............... ............................................................. 4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre ................................................... 4.6. Robustesse de la position des pôles................................. ...................... ...... 4.7. Robustesse des marges de slabilité.............................................................. 4.8. Robustesse d'une réponse fréquentielle ....................................................... 4.9. Exemple: asservissement de position ......................................................... 4.9.1. IncertÎtudes et forme LFf du moteur ................................................... 4.9.2. Robustesse de la stabilité...................................................................... 4.9.3. Robustesse de la position des pôles...................................................... 4.9.4. Robustesse de la marge de module....................................................... 4.9.5. Robustesse du suivi de consigne .......................................................... Annexe: borne supérieure de Il Q (p) ................................................................ 49 49 50 53 54 56 56 57 61 61 62 63 64 64 66 68 68 70 70 71 72 74 Chapitre 5. Pour aller plus loin... ....................................................................... 77 5.1. Le problème de la "synthèse robuste" ......................................................... 5.1.1. De la synthèse H cJ'J à la ~l-synthèse...................................................... 5.1.2. Approche de la ~L-synthèse par ]a D-K itération ................................... 5.2. Ouverture sur d'autres techniques................................................................ 5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV .................................................. 5.2.2. Analyse et synthèse multi-crilère.......................................................... 77 77 78 80 81 82 Chapitre 6. Exercices corrigés.................................... ...... ................................... 83 Exercice J ................. ........................................................... ............................... Exercice 2..... .............................. ................ ....................................... ................. Exercice 3 (suite de l'exercice précédent) .......................................................... Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) ........................................... 83 83 83 84 Table des matières 7 Exercice 5........ ....... ............................ .......... ..... ................................................. Exercice 6........................................................................................................... Exercice 7........................................................................................................... Exercice 8........................................................................................................... Exercice 9........................................................................................................... Exercice 1O.................. ........................................................................ ............... Exercice 11......................................................................................................... Exercice 12......................................................................................................... Corrigé de l'exercice 1........................................................................................ Corrigé de l'exercice 2........................................................................................ Corrigé de l'exercice 3........................................................................................ Corrigé de l'exercice 4........................................................................................ Corrigé de l'exercice 5........................................................................................ Corrigé de l'exercice 6........................................................................................ Corrigé de J'exercice 7 ........................................................................................ Corrigé de l'exercice 8 .................................................................. ...................... Corrigé de l'exercice 9 ........................................................................................ Corrigé de l'exercice 10...................................................................................... Corrigé de J'exercice 11...................................................................................... Corrigé de l'exercice 12...................................................................................... 84 84 85 85 85 86 86 86 87 87 88 89 89 91 93 93 93 94 94 95 Chapitre 7. Etude d'un cas d'application ........................................................... 97 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. Présentation du problème ........... .................................... ............................. Etablissement du schéma de ~-analyse........................................................ Synthèse H A=O (1.5.a) 'VÀeC O"j(ÀA)=IÀla;(A) (1.5.b) cr(A+B) $ cr(A) + cr(B) ( 1.5.c) cr(A B) $ cr(A )cr(B) ( 1.5.cI) Q(AB) ;:: Q( A) Q( B ) ( 1.5.e) Il Ax 112 Il xii:! (1.51) cr (A ) max xr:C'" ." A 9: (A) = XEC ml~JI si A est inversible, xll~ ( 1.5.g) -11-11-x::! g:(A)cr(A- 1)= Q(A- 1 )cr(A) = 1 cr(E) deL(A+E):;éQ ( 1.5.0 ptTI,!:lrrlllp: la relation (1.51), ou les relations (1.5.a,b,c), indiquent que crtA) est une norme; la relation (1.5.d) montre que cette norme est multiplicative. Enfin toute matrice complexe A de dimensions p x III admet une décomposition en valeurs singulières, qui s'écrit: }: A=V2:W" avec 2::; (diag !: et V et W unitaires: VV* diag {crl.···,cr"J b-), ... ,cr fi} si p=m opx(m-p)) (diag {a] ,"',a", IJ p<11l si p>m O(p-m}~111 V*V = lp el WW" =WW· SI lm' ( 1.6) Valeurs singulières et norme Hw 13 Revenons à présenl à la relation (1.1). Les relations (1.5j) et (1.5.g) permettent d'écrire: ( 1.7) Les valeurs singulières cri lCUw)) constituent donc une généralisation aux systèmes multivariables de la notion de gain. Elles peuvent être représentées dans le plan de Bode (figure 1.1). Pour un système muitivarinble, le "gain" à une fréquence donnée dépend donc en faiL du vecteur complexe E, et sera compris entre les valeurs singulières inférieure et supérieure. j(t.!t G(' )E }(jll E~ ~{) e ~1_G(s)1 ~ IIGIIC1J Figure J./ - Valeurs singulières et norme Hcr;) d'l/lle J1la(rice de trallsfert Exemple: la figure 1.2 montre les 2 valeurs singulières de la matrice de transfert: ( 1.8) On retrouve des tracés qui s'apparentent à ceux observés usuellement pour les systèmes monovariables (noter en partÎculier la résonance au voisinage de la pulsation propre ..JïO du dénominateur des 4 termes). De nombreuses propriétés qui s'expriment en terme de gain pour les systèmes monovnriables s'étendent aux systèmes multivariables en considérant les valeurs singulières cr(CUffi)) ct Q(C(jw)). On dira par exemple que le gain est faible à la pulsation (ùsi ëf(C(jw)) est "petit", ct que le gain est fort si Q(C(jro)) est "grand". Notons par contre que la notion de phase n'a pas de généralisation multivariable simple. 14 Commande HÇjJ el '~leurs ~-ann1yse : des outils pour la robustesse Singuli~re~ 10o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~' 10 -~ =1 :;- ,~! ..."" ~ t 1:- - t - '--~_~~~'-'--_~~~~-'-'-_~~~-'-'--'-L.J 10" 10 ' Pulsation {rt'ld/~èC} Figllre 1.2 - Valcurs sillgulières de la matrice de lrall~retl (1.8) 1.2. Norme Hel) d'un système linéaire invariant Soit un système linéaire invariant décrÎt par la représentation d'état: r.i:(t) = A .l(t) + B 1 s(r) eU) ( 1.9) = C xU) + D e(t) à laquelle correspond la matrice de transfert G(s) C (s / - A t 1 B + D . Nous ferons l'hypothèse que le système est stable. L'cnsemble des matrices de transfert G(s) correspondant il un système stable est noté usuellement RH on définit une norme, Il G(s) 11Ci) , de la manière suivante (tigure 1.1) : Pour toute matrice G(s) dans et notéc R.H Ci) . appelée norme H 00 C(J' sup cr(G (jrn )) (1.10) fiER Il G(s) 1100 est donc la valeur la plus élevée du gain du système sur l'ensemble des pulsations (pour un système monovariable, c'est la valeur la plus élevée de IG(jOJ)I). Sur la base de la définition (1.10), on peut obtenir facilement une borne inférieure de Il G(s) l eo en recherchant la valeur la plus élevée du 2 pour un ensemble de valeurs de ù) èlllC membre de (1.10) choisies a priori. Mais si celui-ci présente un maximum très flpointu", on risque de sous-évaluer la nonne H CJ:) • Par ailleurs, la propriété suivante fournit un majorant y de la norme Valeurs !oîinguIîères el norme Hoo Propriété 1.1 ~ SOÎt un réel positif y> cr(D). Alors 15 Il G(.\') II~ < y si et seulement si la matrice hamiltonienne: R = DT D-y2J S DDT nia pas de valeur propre sur l'axe imaginaire. Démonstration. Soit c])(s) = y2/ G( -s{ C(s). Il est claÎr que seulement si èP(jco) > 0 pour tout ru ER. Comme cD(j 00) Il C(s) IL < y =- R > 0 est une fonction conLinue de ru, c:I>(jru) > 0 pour tout ru E (1.11 ) y2/ n. iii sÎ et et que c})(jm) si et seulement si (P(jru) est non singulière pour tout ru ER U {oo}, de sorte que <})(s) n'a pas de zéro imaginaire pur, ou encore que O soit C(s)=-s+a ( 1.13) On obtienl successivement: Hy= et donc H y n'a pas de valeur propre sur l'axe imaginaire si et seulement si : li résultat qui peut être aisément confirmé par le tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert C(s) , dont le module a effectivement pour maximum 1/ a , en w O. 1.3. Propriétés de la norme H r:r; Les propriétés suivantes peuvent être aisément démontrées à partir de la définÎtian (1.10) et de la propriété (1.5}) : Il F(s) G(s) I aJ : :; Il F(s} IL Il C(s) t ( 1.14.a) (LI4.b) Il (F(s) G(s»),,~:2: sup (II F(s) IL .11 G(s) ILJ (1.14.c) Intuitivement, l'inégalité (1.14.0) exprime que le gain maximal de la mise en série de 2 systèmes est inférieur au produit de leurs gains maximaux respectifs. Les inégalités (1.14.b) et (1.14.c), qui correspondent à la mise en parallèle de 2 systèmes avec une entrée ou une sortie commune, indiquent qu'en ne considérant qu'une purtie de celte association, on obtÎent forcément un gaÎn maxÎmal plus faible. Chapitre 2 Synthèse Hoo, approche standard La synthèse HOC) propose un cadre général pour le calcul d'un correcteur, en manipulant des concepts fréquentiels. Elle permet de prendre en compte des objectifs de stabilité, de marges de stabililé et de modelage de différents transferts, vOÎre certains objectifs de robustesse, en retour dynamique de sortie. Ce chapitre expose tout d'abord la notion de problème standard, ct les 2 méthodes de résolution les plus utilisées. Puis la mise en œuvre par l'introduction de pondérations fréquentielles est détaillée. Les résultats obtenus sur un problème œasser~ vÎssement en position œun moteur électrique sont ensuite présentés. Le chapitre s'achève sur un aperçu des principales possibilités de mise en œuvre. Pour simplifier l'exposé. nous nous sommes limités au cas d'un système monovariable (1 commande ct 1 sortie régulée, mais éventuellement plusieurs mesures). Toutefois la synthèse H 00 permet de traiter des problèmes multivariablcs, au prix de quelques ajustements mineurs. 2.1. Problème standard La synthèse H ctJ utilise la notion de problème standard, qui est représenté sur la figure 2.1 : la matrice de transfert P(s) modélise les interactions dynamiques entre 2 ensembles d'entrées et 2 ensembles de sorties: le vecteur IV représente des entrées extérieures, telles que signaux de référence, perturbations, bruits; le vecteur Il représente les commandes; les signaux e sont choisis pour caractériser le bon fonc~ tionnemenl de }' asservissement; enfin y représente les mesures disponibles pour élaborer la commande. e y HI li Figure 2.1 - Problème fI a:l standard 18 Commande Hw el jJ.-analysc : des outils pour la robustesse En effccluantune partÎtion de la matrice P(s) de façon cohérente avec les dimensions de H', Il, C, y sur la figure 2.1 : ~'11 (S)] P(s) (2.1 ) PylICs) on calcule aisément la matrice de transfert cnLre w et e du système bouclé, qui est appelée Transformalion Fractiollnaire Linéaire (LFT) inférieure: ECs) F, (P(s), K(s»)W(s) FI (P(s), K(s») := p/!\\.(s) + Pell (s) K{s) (/- Pyu (s) K(s) )-1 PylI.(S) (2.2) La synthèse H co du correcteur est définie par Je problème suivant: Problème H:o standard: P(s) eL y> 0 étanL donnés, déterminer K(~') qui stabi- K(s»)IL (s)llco < y , et "/1 x ")' arbitraire véri- Kil (s) est décrit par la représentation d'état suivante: XII o (t)] y(t) [ )'0(1) (2.7.b) • En particulier, le correcteur correspondant à ClJ(s) admet la représentation d'état: 0, appelé correcteur central, (2.8) Synthèse HC1J , approche standard 21 La mise en œuvre de celte solution consiste donc à uliliser Lout d'abord les ré~ sultats du théorème 2.1 pour approcher la valeur optimale de y par dichotomie (procédure appelée couramment y -itération"). On calcule ensuile le correcteur central en appliquanLle théorème 2.2 . rrl1'''': la synthèse en temps discret a été notamment envisagée par [LîGW], [IgGl] ou encore [Sto). Il ..... Tn ... 2.3. Exemple élémentaire Considérons le système de la figure 2.2, dans lequel on considère un vecteur d'entrées w = (b y li Y composé de 2 perturbations, Cl un vecteur de signaux. à con- trôler e (z Il comprenant la sonie à asservir cL la commande. La représentation de )a matrice P(s) du problème standard correspondant s'écrit: x (0 )x+ (1 0)( ~ ) + (I)u (~) (~}+(~ ~J(~)+[~} )' (l)x+(O It)+(O)1I x Il Figure 2.2 . Exemple élémel1laire, et forme standard corre'\lJ(Jf/dollfl;! On peut vérifier que les hypothèses Hl à H4 sont remplies: Hl) rang (Bu) = rang ( 1) 1 donc te \" )= rang ( 1) =1 donc rang (;".l = rang ( ~) 1 = rang H2) Il,, (A, Bu ) commandable tel" A) observable el rang (0",..) = rang (0 1) =1 = Il Y (2.9) 22 Commande Hoo et ~l-analyse H3) \iwER rang(A-.i : des outils pour la robustesse W/1l H4) \iWE R rang [ B"J=rang[-;W 0 Dell Cl' BII'] A-.iW/I/ Cy D.l w = rang '-' ~ J~ 2 = Il + "" (-.i1W 1 0J = 'J 01- = JI + Il y Par ailleurs ce problème vérifie directement les conditions de normalisation: D,,, ~(~ ~J D,,,)~ (0 D,.,,' (e,. [ Bl\' DYII ]D\ll.T =(10 Dy\\'· =0 (G ~) = (0 1) (l.10) 0J(OJ=(OJ 1 1 1 Testons les conditions du théorème 2.1. On a, pour les conditions i) eL ;Îi) : de sorte que i) et ii;) sont vérifiées pour y> 1 . Les équations de Riccati des conditions ii) ct iv) s'écrivent: Xcrl(O)+(O)X + X ctJ ct) &-2 -l)\'Ofj +1 =0 Yctl (0)+ (O)yO"} + Y ], et fournissent: y X ctl =yctl = ~>O VY- -) de sorte que v) est vérilïée pour y > et ., Y- XctlY"" = - 1 Y- -) .Ji. . Cette dernière valeur constitue donc la valeur minimale. Les résultats du théorème 2.2 permettent de calculer le correcteur central pour Synthèse li CfJ' approche standard y> 23 .J2 . dont la représentation d'état s'écrit : (2.1l) lIU)= qui correspond à la fonction de transfert: K(s) = U(s) = Y(s) ( 1) 2_ 1 ~ y- -2 s+2-Y--",,;y--l y (2.12) Un fait intéressant mérite d'être signalé: on voit que lorsque y tend vers sa valeur optimale Ji , le pôle du correcteur tend vers -00; lorsque y alteint sa valeur optimale. le terme en s du dénominateur disparaît. et J'ordre du correcteur passe de 1 à O. Celte constatation a une portée générale: elle est liée au fait que pour la valeur minimale de y • la matrice ZefJ devient singulière, de sorte que les équalÏons (2.8) ne sont plus applicables. À j'optimum, il y a réduction de l'ordre du COiTecteur fKwa], la diminution d'ordre étant égale à la perte de rang de Zoo : lorsque y tend vers sa valeur optimale, on observe ainsi qu'au moins un des pôles du correcteur tend vers l'infini. 2.4. Résolution du problème H en standard par inégalités matricielles affines Apparue plus récemment, la synthèse par LM! fournit une autre façon de résoudre le problème standard [lwSk l, GaAp]. Elle est plus générale, dans la mesure où elle ne nécessite pas le respect des hypothèses H2-H4 (1 'hypothèse Hl reste nécessaire). Nous limiterons l'exposé au cas où la condition: (2.13) est vériJiée. Dans le cas contraire, on résout tout d'abord le problème en considérant des mesures fictives 5' correspondant il ce cas, et on modifie a posteriori le correc- teur obtenu en effectuant le changement de variable y = 5'- Dyull dans ses équations d'élat. La faisabilité du problème standard est testée au moyen du lhéorème suivant: 24 Commande Hoo et j.1-analyse : des outils pour la robustesse Théorème 2.3 - Sous l'hypothèse Hl el la condition (2.13), le problème H cD standard a une solution si et seulement si 2 matrices symétriques R et S existent, vérifiant les 3 LMI suivantes: RC c T (2.14.a) (N; °r[ATS;SA 1 Bn' S n~ C SB\I' -Y/Il". Del\' C D,/ 1[0' Ce N T -Y/lit (/~ ;J~O où NR et Ns constituent une base des noyaux de o Il1t J< 0 (2.14.b) (2.14.c) ~1/ T Dt'u T ) et (C y D )'1I') res- pectivement. De plus, des correcteurs d'ordre r< Il existent si el seulement si les LMI (2.14.a, b. c) sont vérifiées par des matrices R et S qui satisfont de plus la condition supplémentaire: (2.14.d) Il Dans celle formulation. les inégalités (2.14.a. b. c) remplacent les conditions i) à v) du théorème 2.1. On peut également rechercher directement la valeur optimale de y, en résolvant le problème suivant, qui est un problème d'optimisation convexe: min Y sous (2.14.(1. b, c) (2.15) R=RT,S=ST La version en temps discret de ces résultats est également donnée dans [GaAp]. Elle est en tout point comparable. A panir des matrices R et S solutÎons des problèmes précédents, différentes procédures peuvent être envisagées pour former un correcteur: des formules explicites sont données notamment dans [IwSkl, Gah], tandis que [GaAp 1 proposent une résolution par LMI, qui peut être résumée comme suit. Soit: J.ic(t) = Acxc(t) + Bcy(t) lu(t) = Ccxc (t) + Dcy(t) (2.16) Synthèse Hco' approche standard avec Xc ERr, une représentation d'état du correcteur d'ordre système bouclé F,(p(s), K(s») r:::; Il 25 cherché. Le a pour représentation d'état: et, en vertu du "Bounded Real Lemma u [BEFB], sa norme H 0 vérifiant: (2.18.a) qui est une inégalité matricielle bilinéaire en X, Ac' Be ,Cc 1 De' Une matrice X qui convient peut être obtenue en effectuant une décomposition en valeurs singulières de In-R S , d'où on déduit 2 matrices M, N E R")( r de rang plein vérifiant: (2.18.b) qui permettent de déterminer: (2.18.c) où kl + désigne la pseudo-inverse de /'.1 (Iv! of" M =1r)' L'inégalité (2.18.a) est alors une LM! en Ac' Be ' Cc' Dc, dont la résolution fournit donc un corrccteur. Enfin la condition (2.14.d) semble suggérer la possibilité de synthétiser des correcteurs d'ordre inférieur à l'ordre de la matrice d'interconnexion P(s). Il est toulefois exceptionnel que la condition (2.14.d) soit spontanément remplie. La recherche dc correcteurs d'ordre réduit solution du problème standard pour une valeur donnée de y amène à donc considérer le problème suivant: min "rang (III R=RT, S""Sl - R S) sous (2.l4.a, h, c) (2.19) A la différence du problème (2.15), ce problème n'est pas convexe. Différentes possibilités ont été examinées pour tenter de le résoudre [Galg, DaDe, IwSk2, EIOA, Val], sans garantie de convergence vers le minimum global. Remarque: la solution par LMI du problème H 00 standard apparaît plus complexe que la solution par équations de Riccati. En fait son intérêt est ailleurs: nous venons 26 Commande Hw et ~-analysc : des outils pour la robustesse de voir par exemple qu'elle sert de base à la recherche d'un correcteur d!ordre réduit. Plus généralement, dans ee cadre, le problème fI o:l standard peul être vu comme un cas particulier d'une classe de problèmes beaucoup plus vaste [PZPB, BEFB], qui inclut par exemple la stabilisation quadratique par retour dynamique de sonie lBePa. BeGA], la recherche d'un correcteur minimisant une norme fI 2 sous contrainte de type fi OC! [ScGCl, l'analyse et la eonunande de systèmes dont la représentation d'état est linéaire en Il et rationnelle en x [EISe], le calcul d'un correcteur variant avec des paramètres du système (" gain scheduled conlroller") [Pac, ApGa, ScEI], ... 2.5. lVlise en œuvre 2.5.1. Mise Cil forme pOlir la synthèse Un exemple de mise en œuvre, qui peut être considéré comme l'un des problèmes de base de la synthèse H 1 prend comme point de départ le schéma-bloc de la figure où C(s) est un modèle du système à asservir, el K(s) le correcteur à déterminer, pour asservir la sortie z sur la référence r. Le signal b est une perturbation. (;I:J z Figure 2.3 - Analyse d'/III sysli!nw asservÎ Calculons la matrice de transfert entre les signaux d'entrée r et b d'une part, l'erreur d'asservissement E et la commande Il d'autre part: Z(s) = C(s) (- B(s) + U (s)) = C(s) (- B(s) + K(s)(R(s) - Z(s»)) E(s) R(s) - C(s) (-R(s) + K(s) (R(s) - Z(s») = R(s) - C(s) (-R(s) + K(s) E(s») On a donc: E(s) = (J + C(s)K(s)r J (R(s) - où S = (1 + CKt l Urs) = K(s) E(s) : C(s) R(s») = S(sJ(R(s) - G(s) B(s») (2.20) est la fonction de sensibilité de l'asservÎssement, d'où avec Synthèse HO). approche standard E(S)]_M(S)(R(S)]_( S(s) (Urs) B(s) K(s) S("') S(s)G(s) K(s) S(s) G(s) J(R(.')J B(s) 27 (2.21 ) et donc, en considérant le cadre standard introduit ci-dessus, un problème intéressant consiste à chercher un nombre}' > 0 el un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé, el assurant: (2.22) Dans ce problème, on lient compte en effet de 2 signaux d'entrée. appliqués à 2 endroits différents de l'asservissement. et on surveille l'évolution de l'erreur, mais aussi de la commande: on veul en effet que ['erreur reste faible, mais au prix de commandes raisonnables. Le problème ci-dessus se présente donc comme la recherche d'un compromis entre l'objectif recherché et les moyens nécessaires. Toutefois ceUe formulation s'avère en pratique trop rîgide car elle ne laisse aucun élément de choix à l'utilisateur. Deux démarches peuvent être envisagées pour contourner cet obstacle. La première est présentée dans les paragraphes qui suivent: la seconde sera exposée au chapitre suivant 2.5.2. Objectifs de synthèse On peut tout d'abord déduire [e comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M (s) en faisant des hypothèses sur le gain de la boucle ouverte. Ainsi: a) si le gain de la boucle ouverte est grand soit /G(jro)K(jro)I» 1 (2.23.a) On voiL donc que K(s) agit sur les transferts de r vers e et de b vers €, tandis qu'il est sans effet sur les transferts de r vers Il eL de b vers 11 • Cette approximation intervient notammenl en basse fréquence: par exemple si K(s) présente un pôle en 0, le gain de la boucle ouverte tend vers l'infini en basse fréquence, et les transferts Ses) et S(s)G(s) onl un zéro en 0, ce qui signifïc l'absence d'erreur statique pour des signaux r el b constant. b) si [e gaÎn de la boucle ouverte est faible soil IG(jw)K(jw)I« 1 f1iJ (jro) :::: ( l K (jro) G(jro) K(jro)G(jro) J (2.23.11) 28 Commande Hoo ct Il-analyse: des outils pour la robustesse On voit donc que K (s) agit sur les lransferts de r vers ,., et de b vers Il , tandis qu'il est sans effet sur les lrunsferls de r vers E et de b vers E. Cette approximaLion intervient notamment en haute fréquence car le gain du système non con'igé a naturellement tendance à décroÎt.re avec la fréquence, et r on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences, afin d'éviter d'exciter inutilement la commande en dehors de la bande passante de l'asservissement. Par ailleurs, les résultats du chapitre 4 permettenL d'établir que la robustesse de la stabililé vis-à-vis des dynamiques négligées peUL être garantie en imposanl un gabarit d'atténuation à K(s)S(s)G(s) en haules fréquences: intuitivement, on évite de la sorte de solliciter des dynamiques mal modélisées. Pour compléter ce raisonnement asymptoLÎque, on peut rappeler que la marge de module, c'est-à-dire la distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point critique -1 , est l'inverse du maximum de IS(Jw)l. Enfin la pulsation au gain unité mo de la boucle ouverte (IG(jù)o) K(jmo)1 =1) donne une image de la bande passante de l'asservissement (dans le cas simple où IG(jm) K(jm)1 est monotone décroissante, eHe conespond à la limite entre les 2 approximations Cl) el b) ci-dessus), et conditÎonne fortement le temps de réponse (en première approximation, le produit 00 0 (Ill reste voisin de 3, où Tm désigne le temps de passage au premier maximum de la réponse à l'échelon). 2.5.3. Alise Cil œuvre par l'introductioll de jOllctions de pondération Reprenons le schéma-bloc de la figure 2.3. Pour atteindre les objectirs du paragraphe précédent, on peut introduire des pondérations sur les différents signaux, qui prendront la forme de liltres permettant. suivant le signal auquel elles s'appliquent, de privilégier un domaine de fréquences particulier. Considérons à celle fin le sché· ma de la figure 2.4, dans lequel l'erreur E est pondérée par le filtre \v, (s) • la commande Il par HI:! (s) , et l'entrée de perturbation b est la sortie d'un filtre Il') (s) . On obtient à présent, en considérant r et d comme entrées et CI et e 2 comme signaux à surveiller: CS)] [ El W1 (s) Ses) ( E?(s) :::: tl'1(s)K(s)S(s) S w) (s) Ses) G(s) 1I'J (s) w2{s) K{s) Ses) G(s) w3(s) (! +GKt 'J[R(S)] D(s) (2.24) l Le problème H standard qui en découle est le suivant: déterminer un nombre y>O, et le correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant: CfJ (2.25) Synthèse H::r:J' approche slandard 29 Figure 2.4 Mise Cil place des fJollllémtiotlS L'avantage de considérer ce problème, plutôt que le problème plus simple (1.22), est que les fi1Lres wds) , W2(S) , ll'3(s) permettent de modeler les différenls transferts S, K S , SC et K SC : les propriétés de la norme H (chapitre 1) assurent cn effet que si la condition (2.25) est vérinée, alors les 4 conditions suivantes le sont aussi: a-:J (1.26.a) IIw2 K SIIC1J < y (2.26.b) On voit donc que la réponse fréquentielle de chacune des fonctions S, K S SC et K SC est contrainte par un gabarit qui dépend des nItres choisis. La figure 2.5 montre J'allure typique que l'on choisit pour les différents gabarils, compte tenu de la discussion du paragraphe 2.5.2 : 1 - le gabarit sur S esl fixée à une valeur k l faible en basse fréquence. pour assurer les objectifs de précision. La pulsation (01 pour laquelle le gabarit coupe l'axe o dB peUL être interprétée comme la bande passante minimale souhaitée pour l'asservissement. La valeur KI du gabarit en haute fréquence limite le maximum de la réponse fréquentielle de S (c'est-il-dire sa norme H co ), ce qui impose une marge de module au moins égale à 1/ KI' Enfin aucune contrainte n'est imposée à S en haule fréquence. 30 Commallde Hoo el J.l-annlysc : des outils pour la robustesse la valeur K:2 du gabarit sur K S ne lui impose aucune contrainte en basse fréquence. tandis que la valeur k 2 impose une contrainte en haute fréquence, au-delà de la bande passante choisie pour l'asservissement, plus ou moins sévère suivant la valeur choisie pour {J}2 (en pratique, les valeurs K 2 et k 2 onl en général assez peu d'importance. tandis que le paramètre le plus ulile est ru '2. ) - le gabarit sur SC dépend des 2 filtres 1\'1 (s) et 11'3 (s) . Dans certains cas. il suffit de prendre w3 (s) constant, ce qui permet de régler l'atténuation en basse fréquence. Mais WJ (s) permet également de modifier le comportement de SC en moyenne fréquence, ce qui peut s'avérer utile pour obtenir un comportcmenl transitoire correct en réponse à une perturbation. - enfin le gabarit sur K SC, si les filtres 11'\ (5), 11'1 (s) et w) (s) ont été choisis d'après lcs considérations précédentes. est évidemment détclminé. Mais dans certains cas, on peut préférer ajuster par Hi) (s) le gabarit sur K SC plutôt que le gabarit sur SC afin par exemplc de satisfaire un gabarit d'atténuation assurant la robus(esse de la stabilité aux dynamiques négligées. 1 1 S(jm) 1 \1'3 constant K1 __ 1_ _ _ _ _ _ _ _ -:r--c-_ _ _ _ (J) oo _ _ _ 1 a) gabarit sur S b) gabarit sur KS c) gaharit sur d) gabarit S1lr Figure 2.5 . Choix des pOlldérat;ollsji'éque1l1Îclles sa KSG Synthèse H:!J' approche standard 31 En pratique, on choisit les filtres \1'1 (S), \1'2 (s), \\'3 (s) d'après ces considérations, et on résout le problème fI:t;l correspondant. qui donne la valeur de y et le correcteur. Bien entendu, la valeur de y n'est pas connue à l'avance, mais elle intervient dans les gabarits (2.26). Si ceux-ci ont été définis d'après les objectifs de l'asservissement, on essaie donc en général d'orientcr le choix des filtres de façon à avoir une valeur de y proche de 1. 2.5.4. ~Jise SOliS forme standard Une fois choisis les tlltres WI (s), \1'2 (s), ~1'3(S), il reste à mettre le problème ainsi défini sous forme standard, c'est-à-dire à identi fier les schémas-blocs des figures 2.1 et 2.4. Identifions tout d'abord les différents signaux: = (;] (figure 2.4) e (figure 2.1) = (;:] (figure 2.4) - entrée du correcteur: y (figure 2.1) = e (figure 2.4) - enlrées : signaux surveillés: li' (figure 2.1 ) sortie du corrccteur: Il sur les 2 figures. La représentation (2.3) utilisée pour résoudre le problème fi 00 est obtenue en considérant une représentation d'état pour chaque fonction de transfert G(s) , \Ill (s). ll':!(S), 11'3(5) : G(s) : (entrée u - b, sortie z ) : i = Ax +B(II-b) { z=Cx (2.27.a) (2.27.b) (2.27.c) (2.27.d) soit finalement: 32 Commande Hw el f..l-ana1ysc : des outils pour la robustesse [ '~l= [-~\tC ;~I '\2 0 0 .\') 0 0 (;:) {~IC E [-C 0 0 ~ -~CJl['~~l+[:1 -~D]l(rJ+[~lu A2 0 0 .\2 0 0 A3 .\"3 0 B;, ~I :, ~] [~l [~I ~] (~J + o][x~l+[l d + [;} B2 0 (2.28) O](r]+[O]1I d '\2 Xj Reste à voir si l'hypothèse Hl (et les hypothèses H2-H4 si on utilise l'algorithme de Glovcr-Doylc) sont vérifiées. Si (A, B) est commandab1e et (C, A) observable (ce que nous supposerons pour la suite), la partie non commandable du problème est constituée par le filtre H'J(S) , et la partie non observable par les filtres Hil (s), U':! (s) (les dynamiques de ces 3 filtres, d'après le schéma-bloc de la figure 2.4, ne sont pas modifiées par le bouclage). L'hypothèse Hl impose donc de choisfr des pondérations stables. Par ailleurs, l'hypothèse H2 impose que D 2 soit de rang plein; or D 2 est le gain pour ru -) 00 de la lransmiltance w 2 (s) C 2 (.'Il A2 t l B2 + D 2 . L'hypothèse H2 impose donc de choisir w2(P) avec un gain non nul à l'infini. On notera que le choix de pondérations stables interdit en particulier que le gain de 11 \VI (s) tende vers 0 pour (ù - ) 0 (w] (s) aurait alors un pôle en .'1 = 0). ce qui signifie qu'on ne peut imposer des transferts Ses) el Ses) C(s) nuls en Cl) = 0, donc une erreur statique nulle (on peut toutefois obtenir une erreur statique arbitrairement faible). On peut enfin noter que l'ordre du correcteur K(s) donné par le théorème 2.2 ou solution du problème (2.15) sera égal à la somme des ordres de C(s) et des filtres \l'I(S). lV 2 (S) , \1'3(.'1')· 2.6. Exemple : asservissement de position Nous présentons dans ce paragraphe les résultats obtenus sur un banc-lest constitué à partir d'un moteur à courant continu (figure 2.6), el décril par les équations suivantes: Synthèse H 0 donnée: (3.2) b Figure 3.1 . Problème considéré 42 Commande H'f.] ct Il-analyse: des outils pour la robustesse L'inconvénient de ce problème est qu'il ne donne aucun élément de réglage à l'utilisateur; par contre il représente un compromis naturel entre l'évolution de la sortie et celle de la commande, en réponse à des perturbations en entrée et en sortie. Ce problème présente en outre une propriélé remarquable; sa solution est en effet directement obtenue par le théorème suivant: Théorème 3.1 [OIMe] - Soit transmittanee G(s) 1. Si (A, B) (A, B, C) une représentation d'étal du système de est commandable et (C, A) observable, la valeur minimale de y pour laquelle le système de la figure 3.1 peut être stabilisé par un correcteur K(s) assurant (3.2) est donnée par: (3.3) où Àsup désigne la plus grande valeur propre, et X el Y sont les solutions définies positives des 2 équations de Riccati suivantes: (3.4.a) (3.4.b) Il Contrairement à l'approche standard (chapitre 2), on connaît donc à J'avance la valeur minimale de y que l'on peut atteindre. Le théorème suivant donne un correcteur solution du problème. Théorème 3.2 [GIMel Pour toute valeur de y supérieure à la valeur y rnin fournie par le théorème 3.1, un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant (3.2) est décrit par la représentation d'élat suivante: :\:e (t) = Ac .t'cU) + Be y(t) { a(t) Cc xeU) Cc Zr (3.5.a) BTX =~ + y X - y2/ t (3.5.b) Il Remarque: la version en temps discret de ces résultats est donnée dans [Wal]. Un exemple élémentaire est présenté dans le paragraphe suivant, landis que le paragraphe 3.3 propose un moyen d'introduire dans ce problème des éléments de réglage. 1 L'l démarche peut ëtre étendue au cas de systèmes non strictement propres [McGII J. Approche Hr:t;) par "Ioop-slmping" 43 3.2. Exemple élémentaire A titre d'exemple simple, considérons le schéma-bloc de la figure 3.1, avec le système: a G (s) = s a >0 soi t A=0 B=a c= 1 (3.6) Cc système est commandable et observable. Les équations de Riccati s'écrivent: x (0) + (O)X - X (a 2 )X + 1= 0 y(o)+(o)y -Y(I)Y +a 2 =0 Elles ont chacune une solution positive, qui s'écrivent X = lia et Y (l. La valeur minimale de y pour laquelle le problème admet une solution est donc y min Pour toute valeur de y supérieure à .fi, .fi. l'app1icaLÎon du théorème 3.2 fournit la représentation d'état suivante: (3.7) ou encore la fonction de transfert: K(s) = U(s) Y(s) ~2 _ 2 J. + 2 a ~2 -1 ) (3.8) Comme pour le correcteur calculé dans l'exemple du chapitre 2 (paragraphe 2.3), on constate que le pôle du correcteur tend vers -00 lorsque y tend vers sa valeur optimale .Ji ; lorsque y atteint sa valeur optimale, le terme en s du dénominateur disparaît, el l'ordre du correcteur passe de 1 à O. Comme dans l'approche standard, cette réduction de l'ordre du correcteur pour la valeur optimale est un phénomène général. 3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte Nous avons déjà signalé qu'aucune fonction de pondération ne peut être introduite dans le problème (3.2), qui impose une matrice de transfert partÎculière. Pour 44 Commande Hrf) ct Il~anillysc : des outils pour la robustesse régler les performances, on peut effectuer un modelage de la boucle ollverte (en anglais "loop-shaping") du processus, avanT de calculer le correcteur. La démarche est la suivante [McGII, McGl21 : i) ajouter à la matrice C(s) du système il réguler un pré-compensateur Wei (s) et 1 ou un post-compensateur W c1 (s) (figure 3.2.a), de sorte que la réponse fréquentielle du sysLème augmenté Ci/(s) = W c2 (s) C(s) Wcl (s) présente une forme saLisfaÎsante:!. Typiquement: - on assure des gains élevés en basse fréquence (par exemple au moyen d'une action inLégrale dans Wei (s) ou dans Wc::!. (s) sur la sortie à réguler). - on assure des gains faibles dans les hautes fréquences (par exemple par des filtres passe-bas dans Wei (s) ). - on choisit la fréquence de passage à 0 dB (qui correspond à peu près à la bande passante du système bouclé), en ajustant le gain général de l'un des compensateurs. - on donne à la réponse fréquentielle une pente de -20 dB/décade au vOÎsinage de la fréquence de passage à 0 dB (par exemple au moyens de réseaux à avance de phase). il) résoudre le problème H rf) précédent en considérant Co (s) au lieu de C(s) : (3.9) Iii) la structure de correction est obtenue en combinant les tïllres Wei (s) et Wc2 (s) déterminés en i) et le correcteur K(s) déterminé en il) (figure 3.2.b): dans le cas où la sorlÎe doiL suivre un signal de référence, on pourra sail prendre pour correcteur en série le produit WeI (s) K(s) W c2 (s) notamment si des actions intégrales sont incorporées dans We2 (s) • soit dissocier les 3 éléments - ce qui convient nolammenL quand des actions intégrales sont incorporées dans Wei (s) . On notera que toute la connaissance issue de l'Automatique fréquentielle traditionnelle peut être utilisée lors de la phase 0, où de plus on se préoccupera principalement de régler Je gain sans trop s'occuper de la phase. Par aîlIeurs, il n'y a pas de contrainte de stabilité sur les compensateurs Wel (s) et Wc2 (s). qui peuvent en particulier comporter des actions intégrales. 3.4. Réponses fréquentielles après optimisation H co On peut néanmoins se demander si la réponse fréquentielle de la boucle ouverte finalement obtenue à l'étape iii) correspond au modelage effectué en O. Le raisonnement suivant permet de répondre à cette question. 2 Bien sûr, dans le CilS d'un système monovariable. un seul compensateur suffit. Approche HCfJ par "Ioop-shaping" 45 bmule !Jll.ulIIJle gral/LI gain a) modelage du système b) stmclures de correclion possibles Figure 3.2 - SYllthèse H r1"J pal' "/oop-slwpÎug" Supposons calculé un correcteur assurant l'inégalité (3.9). D'après les propriétés de la norme H Cù , chaque fonction de transfert qui compose la matrÎce qui intervient dans (3.9) aura une norme H Cù inférieure à y : (3. JO) Notons que dans Je cas monovariable. la première de ces inégalités assure ainsi que la marge de module du système esL au moins égale à l'inverse de y . Par ailleurs, dans les zones où cr (Gu (jm) K (jeo»)« l (ce qui se produit en généraI en hautes fréquences), S{1(jeo);::::: 1 el K(jw)SIl(jw);::::: K(jeo). D'après la deuxième des inégalités (3.10), on a donc cr (K (jw») < y , et : cr (K (jw) Ga (jw»). les zones où cr(Gt/(jw) K(jw») » la même inégal ité étant vérifiée par Réciproquement. dans général en basses fréquences), 1 (cc qui sc produit cn 46 Commande Ha';) et ~Hmulyse : des outils pour la robustesse (si 1'on suppose que Ca et K sont currées), d'où l'on déduit: cr (K - .(0 ») = (j 1 > 1 a(K(jw») y et: Q(G I1 (jw) K(jW»)2 Q(G lI (jw») Q(K(jw)) > 2.y Q(G'J (jw») (3.11.b) la même inégalité étant là aussi vérifiée par QlK(jffi)G(/(jffi»). Les inégalités (3.11) montrent que dans les zones où la boucle ouverte présente soit un gain élevé, soiL un gain faible, le rapport entre les valeurs singulières obtenues à l'issue du "Joop-shaping" et celles de la boucle ouverte tinale n'excède pas la valeur y de la norme H co • Notons de plus qu'il est montré dans [McGII, McGI21 que ce rapport tend asymptotiquement vers la valeur (/ 1)1/2 si cr (Ga (jw») -7 a ou si Q(G lI (jffi))-7 00 (figure 3.3). On a donc une garantie que le "loop-shape" obtenu après le choix des compensateurs WeI Cs) et Wc2 (s) sera globalement respecté pour de faibles valeurs de y, dont, rappelons-le, la valeur minimale y min peut être calculée explicitement avant calcul du correcteur K(s). Cette valeur renseigne donc sur la pertinence des choix effectués lors de l'étape de "Ioop-shapîng". On considère généralement qu'une valeur de y de l'ordre de 2 à 3 est satisfaisante. Figure 3.3 - Comparaison des répoll.'ies fréqllelllielles des bOllcles ouvertes. Approche Hcr.J par "loop-shaping" 47 3.5. Exemple : asservissement de position Nous reprenons avec celle approche l'exemple présenté au paragraphe 2.6. Le système étant monovariable, le modelage de la boucle ouverte peuL être accompli par un seul compensateur Wei (s) . Afin d'assurer le rejet de la perturbation b ct de filtrer les hautes fréquences, un régulateur PI associé à un filtre passe-bas esl retenu. Son gain est ajusté pour que la boucle ouverte passe à 0 dB pour 110 rdls, soil une valeur légèrement supérieure à la bande passante demandée (figure 3.4) : Wd (S ) = 17,68 s 1+s/20 1+ s 11000 (3.12) On obtient y min = 2,35. Le calcul du correcteur pour le système compensé G(s) Wei (s), et pour y = 1,01 Ymin donne: K(s) = 0 467 , (1 + s Il 6,7)(1 + s /83,5)(1 + s /999,98) (1 + s /19,98)(1 + s /342)(1 + s/934 )(1 + s /5585) (3.13) La figure 3.4 montre les réponses fréquentielles du système compensé G(s) Wd (s) et de la boucle ouverte G(s) Wei Cs) K(s), landis que la figure 3.5 montre la réponse fréquentielle ùu correcteur total WcI(s) K(s). On voit que la boucle ouverte finale reste proche de la réponse obtenue après le choix de Wei (s) , tandis que l'adjonction de K(s) permet d'assurer des marges de stabilité correctes. Les réponses de la boucle ouverte el du correcteur sonl par aîlleurs très proches de celles obtenues au paragraphe 2.6 (figures 2.8 et 2.9). On peul remarquer que comme avec l'approche standard, la transmiuance K(s) possède un pôle très éloigné de l'origine (en -5585), dont l'influence sur les réponses fréquentielles est négligeable. Par conlre le correcteur obtenu Wei (s) K(s) a un pôle exactement à l'origine, résultant du choix de Wei Cs) . On peut aussi noter que les transmiUances Wei (s) el K(s) font apparaître des termes très proches, donl J'influence devienl négligeable dans le produit WcI (s) K(s) : - 1+ s /20 au numérateur de Wei (s) el 1+ s /19,98 au dénominateur de K (s) - l+sl1000audénominatcurde Wd(s), l+s/999,98 au numérateur de K(s) Ces différentes remarques conduisent à impJanter le correcteur suivant, obtenu en éliminant le pôle en -5585 de K(s) et les termes cités ci-dessus: WcI (s) K(s) ~ K'(s) = 8,26 [1 +-~-' J1+ s /83,5 s 16,7 1 1+s/342 l+s/934 (3.14) 48 Commande Hw et Ji-analyse: des outils pour la robustesse Gain (dB) o 10 10~ 10' 10~ 4 10 pulsation (rd/sec) Phase (degrés) -100 -200 -300L-~----~------~~----~--~--~~~ 10° 10' 2 10 pulsatîon (rd/sec) 10 J 10 4 Figure 3.4 - Réporlsesjréqllclliielles du processus pré-compensé (fin), et de la boucle VIII 'crie finale (gras) Gain (dB) correcteur 20 o ~ - - ~ ·20 10' 2 10 3 10 pulsation (rd/sec) Phase (deqrés) Cl 10 10' 10' pulsation (rd/sec) 3 10 4 10 Figure 3.5 Répollsejréqllentielle du correcteur expression très proche de celle obtenue avec l'approche standard (paragraphe 2.6), et dans laquelle on reconnaît un régulateur PI complété par un réseau à avance de phase et un filtre passe-bas. Chapitre 4 ~-analyse La mise en équation d'un processus physique nécessite des approximations, d'où résultent par conséquent des incertitudes de modèle. Il convÎent donc d'étudier la robustesse de la loi de commande, c'est-à-dire de chercher à garantir la stabilité et un certain degré de performances en dépit de différentes inccrtitudes, quantifiées de façon appropriée. Un formalisme général pcnneUant de représenter les incertitudes de modèle est présenté dans le premier paragraphe. Puis une première condition de robustesse de la stabilité est énoncée, en utilisant la norme H Celle analyse s'avérant en général trop pessimiste, il convient d'utiliser un outil plus approprié, la valeur singulière structurée, dont la définition et les propriétés importantes sont données au paragraphe 4.3. Son milisation sur différents problèmes dc robustesse est exposée dans les paragraphes 4.4 à 4.8, ce chapitre se terminant par leur application à l'asservissement de position étudié aux chapitres 2 et 3. (1) • 4.1. Description des incertitudes de modèle 4.1.1. Rcpréscntation géllérale par LFT Dans le cadre linéaire, celles-ci sont généralement regroupées en deux classes: les incertitudes paramétriques, qui affectent la valeur d'un ou plusieurs paramètres réels; les dynamiques mal connues ou volontairement négligées dans l'écriture du modèle (intervenant en général en hautes fréquences), représentées par une ou plusieurs fonctions de transfert inconnues. Pour y incorporer le concept classique de marges de stabilité, on peut y ajouter des incerlitudes plus globales sur le gain et sur la phase, qui seront représentées par un ou plusieurs paramètres complexes. Une représentation générale d'un système soumis à des incertitudes de modèle est donnée sur la figure 4.1 : toutes les incerLitudes de modèle sont rassemblées dans la matrice 8(s); la matrice de transfert H(s) qui dans le cas d'un syslème asservi dépend évidemment du correcteur - modélise les interconnexions entre les entrées li' • les sorties y, et les signaux v et z qui permettent de faÎre intervenir les incertitudes. En écrivant les relations entre les différents signaux: 50 Commande HC1J et Il-analyse: des outils pour la robustesse li )' Figure 4.1 - Représentation par LFT des incertitudes de modélisation + H <:11'(5) W(s) Y(s) = Hy,,(s) V(s) + Hyll'(s) W(s) Z(s) H <:l'(s) V(s) (4.1) V(s) = 8(S) Z(s) on calcule le transfert entre w et e : Cette expression est appelée une Transformation Fra ctioll Il a ire Liuéaire, ou LFT (pour l'anglais Linear Fractional Transformation). Elle sera notée l'indice Il Fil (H (s), 8(S)) - indiquant que 8 est connectée sur la partie supérieure de H . Pour écrire J'expression (4.2), il faut que la matrice 1 - H Zl'(S) 8(S) soit inversible pour presque tout s : on dit alors que la LFT Fit (H (S),8(S)) est bien posée. Sans perle de généralité, on peul toujours effectuer des mises à l'échelJe permettanl de "normaliser" 8(5)! c'esl-à-dire de se ramener à la condition: !18(S)IICIJ = sup E R a(8(jm)) < J (4.3) (Il Les exemples donnés dans le paragraphe suivant permettent de se familiariser avec ce concept. 4.1.2. Exemples de mise SOIIS forme LFT Considérons un système de fonction de transfert G(s) . Si Go(s) désigne le modèle nominal, el que ce modèle néglige une dynamique qu'on suppose être du premier ordre, avec une constante de temps t < 1" max' on peul écrire: 1 C(s) = Co(s)-- 1+1"S La connaissance de la valeur 1" max ; t < 1" max (4.4) permet d'établir une borne sur l'erreur relative ~-analysc 51 sur la réponse fréquentielle. On a en effet (figure 4.2) : G(jw) l i t jw 1 1 Lmax jw 1 1 Go (jw) - 1 = 1+ t jw :::; 1+ t max. jw On peut donc modéliser la dynamique négligée en écrivant: G(s) _ 1 = lI'l Go(s) avec: wi (s) = t (s)~1 (s) max et S 1+ tmax soit G(s) = Go(s) V (0 (1 + \1'1 (s)~1 (s») I~I (jro)1 < 1 <::::> (4.5) 11~1 (s)/Ioo < 1 S La figure 4.2 représente l'allure du diagramme de Bode de \1'1 (s) ct le schéma-bloc correspondant. En identifiant celui-ci avec le schéma général de la LFT de la figure 4.1, on obtient: Z(S)]_H(S)[V(S)]_[ 0 [Y(s) W(s) Go(s)\I'](s) 1 ][V(S)] ; ~(s)=~](s) Go(s) (4.6) W(s) (V 1 lin -I----.J"-----Y Il' Figure 4.2 - Modélisa/ioll d'l/Ile dynamique lIawcsfréqllcllccs 1Iégligée Supposons à présent que Go (s) s'écrive: Go(s) = (s+a )2 avec an - b < a < ao + b En posant a = an + ob, -) < 6 < +), ct en remarquant que: -I l I b --=-- s+a s+ao ( 1+0-s+ao J (4.7) 52 Commande Ha) ct M-ana]yse : des outils pour la robustesse on obtient le schéma-bloc de la figure 4.3 qui s'identifie avec la LFT de la figure 4.1 de la façon suivante: -b [ZI(S)J 1Ni- [VI(S) ] H(s) ~~~.\2 W(s) 0 S+ClO = -b 1 1 1 1 1 1 s+ l1 o : (s+aof -17 1 ---1 (s+aof S+{I() 1 (s+(Jof = (~ W(s) --~b-----:b--T---ï--- ---1 deS) [VIV~(s) (s) J S + {lo : (s + (Jo (4.8) f ~J w y Figure 4.3 - II/certitude paramétrique De façon générale. on peut établir [ZhDG] gue toute fonction matricielle dépendant rationnellement de variables 8 1 , •••• peut être écrite sous la forme d'une LFT. avec une matrice H (s) indépendante des Oj' el: or Si enfin on souhaitc prendre en comptc une incertitude conjointe sur le gain et sur la phase l , on peut introduire une incertitude complexe, par exemple sous la forme suivante: (4.10) gui correspond à un disgue de centre {1. 0) et de rayon 1 sc' Ce modèle peut lui aussi Celle incer1itude. plus difficile fl appréhender physiquement. peut par exemple être utilisée pour modéliser une petile incertitude sur le gain !itatiquc, tout en tenant compte de rctards purs parasites. Une autrc ulilisalÎon permettant de garantir des marges de stabilité est donnée au paragraphe 4.7. Il-analyse 53 être facilement identifié avec le schéma général: il correspond à un modèle du type (4.5), en remplaçant Go (s) par l, \VI (s) par Sc et L\I (s) par El' • Une propriété imporlante des LFf est que toute association de LFf est encore une LFT [ZhDG]. Ai nsi si nous considérons une boucle d'asservissement, avec un correcteur K(s) appliqué au modèle (4.5) avec la description (4.7) ct l'incertitude complexe (4.10) (figure 4.4), nous oblenons à nouveau une LFT par identification avec le schéma général de la figure 4.1, uvec : y Figure 4.4 - Boucle d'a.'iscl'l'issemellf avec 3 types d'incertitude 4.1.3. Structure géllérale de la matrice d'incertitude En rassemblant les différenles sources d'incerLitudes de modèle, on obtient une matrice L\(s) , de dimension k 'X k , ayant la structure générale suivante: des) diag {dieS), ,.. ,L\q(s), di (S) E RH co ; BI111' ... ,Br/rr' EI/C1'· .. • Eele c } {) i ER; Ei E (4.12) C et vérifiant les conditions de normalisation: La matrice des) comprend donc q matrices de transfert stables de structure quelconque, r blocs réels dits "scalaires répétés" (Je scalaire Bj étant répété ri fois pour tenÎr comple de "incertilude correspondante), et c scalaires complexes répétés. L'étude de robustesse consiste à chercher à garantir une propriélé particulière 54 Commande Hel) et )1-analyse : des outils pour la robustesse (par exemple la stabilité) pour un ensemble d'incertitudes L\(s) décrit par (4.12). On peut imaginer 2 degrés de complexité différents pour aborder cc problème: - sail on ignore la structure de A(s) , en cherchant simplement quel1e est la plus grande valeur admissible de sa nonne. L'outil adéquat pour traiter le problème de cette façon est la norme H On obtient dans ce cas (paragraphe 4.2) une condition de robustesse de la stabilité assez simple, mais qui peut s'avérer très pessimiste. cr.) • sail on prend en compte la structure de A(s) • ce qui conduit à des résultats plus précis. Il faut pour cela définir un nouvel outil: la valeur singulière structurée (paragraphe 4.3). Les analyses correspondantes sont menées dans les paragraphes 4.4 à 4.8. Remarque: si la propriété qu'on cherche à garantir est la stabilité, et si par hypothèse H (s) et A(s) sont stables, la seule source d'instabilité provient du bouclage par A(s) , et il est donc équivalent d'étudier la stabilité du système de la figure 4.5, avec M (s) ::: H 2:1' (s) . z \' Figure 4.5 - Schéma d'analyse de la robustesse de III stabilité 4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée Si on ne lient aucun compte d'une éventuelle structure de la matrice d'incerlitude A(s) , le résultat suivant, connu sous le nom de "théorème du petit gain", conduit à déterminer une valeur maximale pour sa norme H:>:l' Théorème 4.1 (théorème du petit gain) [ZhDG]. Si M(s) et A(s) sont stables, le système de la figure 4.1 esl stable pour tout A(s) tcl que Il A(s) 11r1l < ri si et seulement si IIM(s)lloo ~a-I ,où Atf(s) Démonstration. "M (s) 11<» On montre = Hz1'(s), d'abord que • la condition ::; a -1 , alors Il A(s) Nf (s) IL ::; Il A(s) liro Il M (s) IL \i ro ' (1 .. 5 1. ') d,apres cr (A(jro) Nf (jro») < 1 :::;> \i ro det (! - est si < 1. On a donc: A(jro) M (jro») a n en d'd' ' l'" e Ult que le systeme lOemre {,,«() suffisante: z(t) = *0 A(jro) z(t) n1a dl autre M (jro) v(t) jl-analyse solution que (z(t) , \1(1))=(0,0), et ce pour tout 00 : 55 en d'uutres termes, il n'exÎste pas de Li(s) pour lequel le système de la figure 4.5 soit oscillateur. Comme ce système est stable pour Li(s) 0, cela prouve, par continuité, sa stabilité. Pour montrer que la condition est nécessaire, montrons que si existe Li(s) de norme H co inférieure à ce cas en effet, soient (00 Cl. Il M (s) IL > Cl. -1 il pour lequel le système est instable. Dans une pulsation pour laquelle cr (M (jwo») = P> Cl. -1 , et M(jwo)=VIW"', avec :E=diag{p,a2, ... crk} une décomposition en valeurs singulières de M (jro o ). Alors tout Li(s) tel que Li(jw o) = W diag {P-I ,0, ... 0 }V" et cr(Li(jû}»)~cr(Li(jroo») vérifie Il Li(s) Il,,, =p-I 57 (1- P -1LlJ(l'!z) =(OJ° Figure 4.7- Illlelprélatioll de la valcllr singlllière structurée 4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée! Les propriétés suivantes peuvent être démontrées très facilement. Elles permeltent de se familiariser avec cet outiL Cette propriété découle directement de la définition. A noler toutefois que ~l ê (p) peut être nulle sans que P soit nulle (exemple: p:::;: j el là = {(5 ER}) : dans le cas général, J.Lê (p) n'est donc pas une norme. Démonstration. Elle est semblable à celle du théorème du petit gain. Pour tout ~ tel que cr(Ll) < lIcr(P) , cr(LlP) 0 .• D!1 E CCi XCi = D·1* > 0 } • • G = r 0= ding (Okl ,'" 0k q ' 0,,. .. Op 0CI"" OC, G i E CrîXfi : G i = G j * l U={UELl;U·U=UU+=I k Q = {L1E Ll; L1/A; = Ai A/ = 1k) ; !(4.J7,(l) D~'" >0 1 D!1 l } 0; E[-l; + 1]; Ej (4.17.b) (4.17.c) (4.17.d) L'ensemble D est constitué de matrices D hermitiennes définies positives, qui commutent avec toute matrice L1 de Ll : D L1 = Ll D . L'ensemble G contient des matrices hermitiennes (non définies (l priori) dont les seuls éléments non nuls correspondent aux blocs réels de Ll . L'ensemble U est constitué des matrices unitaires de Ll . Il est contenu dans l'ensemble (D, L1)E DXLl : On a alors, pour tout det de sorte que Q . qui est lui aussÎ sous-ensemble de Ll . (! - L1 p)= det V- D- 1L1 D p)= del V- Ll D P D- 1 ) ~l~ (p) Pà (D P D- 1 }:; cr {D P D- 1 ). On a donc: P6) '\1 P E Ck}(k, PA (p)::; min - DED cr (0 P D- 1 ) La recherche de la borne supérieure donnée par la proprîété P6 peUl se faire en remarquant l'équivalence des propositions suivantes: ~-ilnillysc 59 D: cr (D PD- 1 ):::-; a :3 D E D: 1(D-1 p* D D P D-I)~ a 2 :3 D E :3DED: D- 1P·D 2 PD- 1 _a 2 / ~O 2 (4.18) 2 3DED: P*D p _a D2:::-;0 :3D'ED: P·D'P _a 2 D':s;O On peut donc rechercher une borne supérieure de J.IQ. (p) en résolvant le problème d'optimisation suivant: Il_A (p) $ CL • avec a" = min a sous les contraintes: (4.19.11) DeD a ~O (4.19.b) 2 (4.19.c) p"DP-a D:S;0 On peut noter que pour a fixé, l'inégalité (4.19.c) est une inégalité matricielle linéaire (LMI) en D, tandis que pour D fixé, a est obtenu en calculant la valeur propre qui intervient dans la deuxième des propositions (4.18) : le problème d'optimisation (4.19) est ainsi un problème dit "quasi-convexe", de sorle que tout minimum local est aussi global [YoND].J Toutefois cette borne supérieure ne fait pas la distinction entre les incertitudes réelles ou complexes. Dans le cas où /}. incorpore des blocs réels, elle est donc en général de mauvaise qualité puisqu'elle les assimile à des blocs complexes. L'utilisation conjointe des ensembles D et G permet de l'améliorer. On peut en effet rechercher une borne supérieure de Il Il (p) en utilisant la propriété suivante [FaTD, YoND], dont la démonstration est reportée en annexe de ce chapitre: Il Il (p) :s; ~ .. avec p. = min ~ sous les contraintes: (4.20.a) DeD,Gc:G ~~O (4.20.b) 1 p" D P + j (C P - p" G ) - (j D :s; 0 (4.20.c) Là encore, pour (j fixé, l'inégalité (4.20.c) est une LMI en D et G, tandis que pour D et G fixés la recherche de P se résout par un simple calcul de valeur 3 La restriction à des matriœs D > 0 ne modifie pas la borne supérieure obtenue. En dfet, toute matrice complexe D Înversible peul s'écrire sous la forme D =U R avec R =R- > 0, et U unitaÎre (U· U= UU· =1k ), On a alors. d'après la défini lion IllCIllC des valeurs singulières: cr(DM D-l)=a(u RAI R-1U-)=a(u Ri\! R-l)=cr(RM R-l) 60 Commande H~ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse propre: le problème d'optimisation (4.20) est lui aussi un problème quasi-convexe. Pour déterminer une borne inférieure, notons que, pour tout (U,~) EUX!1 det (/ - ~ p) = det (/ - ~ U,. U p) = det (/ - ~' U p) (puisque les matrices U sont unitaires), avec: Il est donc équivalent de chercher ~ annulant det det (l-~'U p). On a donc ~.~Jp) = ~à(U (I - ~ p) ou ~' annulant p);?: PR(U P), et par conséquent: Malheureusement, le calcul de celle borne inférieure correspond à un problème d'optimisation qui comprend de nombreux maxima locaux. En utilisant à présent l'ensemble Q , on note que: celle dernière inégalité provenant de ce que la multiplication par Q n'affecte pas la norme des blocs complexes (pleins ou scalaires répétés), mais peut diminuer celle des blocs réels. Dès lors : avec cr(~') ~ cr(~) . On a donc 1/ ~là (p) ~ 11 ~à (Q p). et donc ~à (Q p) ~ ~à (p) . Par conséquent: On peut noter que les ensembles U et Q conduisent à des propriétés similaires, ~~ (P) étant invariant par multiplication par toule matrice de U mais non par toute matrice de Q. L'intérêt de l'ensemble Q est qu'il est prouvé [YoDo] que l'inégalité dans P8) est en fait une égalité, ce qui n'est pas toujours le cas avec U . Un algorithme permettant de déterminer un maximum local du 1cr membre de l'inégalité P8) est décrît dans [YoDo]. Il est intéressant de noter que de la matrice Q conespondant à ce maximum, on déduit immédiatement une matrice ~ assurant la singularité de 1 - ~ P en posant ~ = k Q, avec k ~ = ± (p R (Q p»)-1 , le signe de k A étant celui de la valeur propre de Q P qui correspond à P R (Q P) . On a en effet: Il-analyse 6\ Remarque: la matrice ~ a tous ses blocs complexes de norme égale à k , et lous ses blocs réels de norme infériellre ou égale à k . Cela signifie que dans les analyses de robustesse menées dans les paragraphes suivants, les lermes réels d'une matrice d'incertitude déstabilisante ne sont pas forcément tous situés sur les bornes de leur intervalles d'incertitude respectifs. 4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée 4.4.1. Généralisatioll du théorème du petit gaiJl De la définition de ~Q (p) on déduit le théorème suivant [Day, ZhDG], qui fonde le principe de la JI-analyse: Théorème 4.2 - Si H(s) n'a que des pôles à partie réelle négative, le système de la figure 4.1 est stable pour toute incertitude ~(s) du type (4.12) telle que Il ~(s) lico < a si et seulement si : (4.21) Il Démonstration. D'après la définition de ~ Q (M (jw)) , la condition (4.21) est équivalente à : 'vi ~(s) tel que Il ~(s) I C() < a, V 00, det (1 - ~(joo) iV! (joo)) ;: 0 de sorte que si elle est vérifiée, le système linéaire VU) = ~(joo) \'(1) n'a d'autre { z(t) = A1 (joo) v(t) solution que (::(1) , v(t)) == (0,0). Réciproquement, s'il existe (ûo telle que ~l~(Atf (jooo)) = qu'il exÎste ~o tel que cr(~o) ~(jooo)=~() et = p-l et det (J a(~(joo))~a(~(jooo)) det(J - ~(jOOo)M (jOO O )) : - P> a-l, = o. Tout ~(s) 11~(s)ll<1J =p-I O, (4.22) SER Le schéma d'analyse correspondant est donné sur la figure 4.8. On effectue facilement les calculs suivants: -Cl M (s) = - s+l Sachant que SE avec L\(s) 8 d'où det{I-M(jm)S) 1 +_{l_5 jm+ 1 R , on a 2 cas possibles suivant la valeur de m : -si m=O, det(1-A1(jw)0)=0 pour 0= l/a,onadonc /lê(M(jO»)=a - si m:;t: 0 , det (1 - M (jm)S)-# 0 quel que sail (5. on a donc /l6 (Jllf (jm») = O. La courbe correspondante esl donnée sur la figure 4.8 : /lê (M (jm») étanl majoré par a, on en déduÎt qu'il y a stabilité pour tout 0 dans l'intervalle ] -1/ a ; 1: a [. a 1 Iln (M{j{tl») 1 (u o --r~-----;;>Figure 4.8 - Boucle d'assel1'issCIIWlIlll1'eC incertitude paramétriql/e Remarque. Deux commentaires peuvent être faÎts il partir de cet exemple: - on note toul d'abord que la ~L -analyse ne donne pas accès au domaine de Il-analyse 63 stabilité complet (un calcul de la fonction de transfert de l'asservissement montre qu'il y a stabi1ité pour tout K > 0, donc pour tout El dans l'intervalle ] -II CI ; + 00 [). Les intervalles déterminés par )l-anaIyse sont en effet les plus grands intervalles centrés sur la valeur 0 et contenus dans le domaine de stabilité. Généralisons cette observation: dans le cas général d'un système à plusieurs paramètres, le résultat de la ~l-analyse sera le plus grand hyper-reclangle centré sur l'origine et contenu dans le domaine de stabilité. - la courbe donnant ~l A (M (j(ù») en fonctÎon de (ù est ici discontinue. Une discussion a ce sujet est reprise le paragraphe suivant. 4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre Comme le montrent les exemples du paragraphe 4.1.2, l'extraction dcs incertitudes pour obtenir la représentation de la Figure 4.1 n'est pas toujours immédiate. Dans le cas où le modèle du système est affine en les paramètres incertains, une méthode systématique d'extraction a été proposée par Morton [Mor, ZhDG)). Pour un modèle non affine, il n'existe pas à notre connaissance de solution définitive, dans la mesure où les algorithmes proposés notamment par [BeCh], [LTBSJ, [ChDe], rBec], [Fon] ne garantissent pas que la matrice d'incertitudes Ll(s) soÎt de dimension minimale. Par ailleurs, la question de la réduclion d'une LFT, c'est-à-dire de l'obtention d'un modèle dans lequel les paramètres seraient répétés un nombre de fois moins important, a été notamment abordée dans [WDBG, WoGG, BeDG, HVDE]. Il faul rappeler néanmoins que toule association de LFT est aussi une LFf [ZhDG). Lorsqu'il esl possibJe de décomposer le modèle du système en plusieurs blocs, soit affines en les paramètres incertains, soit d'ordre en s faible, il est assez simple de procéder à l'extraction en truvai11ant sur chaque bloc séparément. puis en rassemblant l'ensemble (on trouvera dans [Fon] l'extraction des incertitudes pour tous les modèles usuels du premier ou du second ordre). Lorsque la matrice .6.(s) incorpore des incertitudes réelles, )l!! (M (jm») peUL être une fonction discontinue de la fréquence, voire des données [PaPa, LeTi] - la première situation se présente, par exemple. lorsque les variations paramétriques sont telles qu'un pôle traverse l'axe imaginaire à une fréquence fhe. On constate également que lorsque l'analyse de robustesse incorpore des incertitudes sur des modes de résonance très pOÎntus, la courbe ~!! (M (jm») présente des pics très fins. Dans ces 2 cas, la recherche du majorant il, si elle est ef/'cctuée au moyen d'un simple échantillonnage en fréquence, peut conduire à sous-estimer gravement Ic maximum de /lA (M (jw)) donc à tirer des conclusions erronées quant à la stabilité. - En présence d'incertitudes réelles, on peut appJîquer une procédure de régularisation. Ainsi. Packard el Pandey [PaPaJ proposent de remplacer chaque paramètre réel 0i par un paramètre complexe 0i + a E;, Oj ER, Ei E e,les variations de Bi' 1 et Ei étant indépendantes. On évalue ensuÎte la valeur singulière structurée pour le 64 Commande Ht:t:l el Jl-analysc : des outils pour la robustesse problème modifié par l'adjonction des Ei' Celle-ci est nécessairement une fonction continue des données et de la fréquence, et son maximum tend vers le maximum de ~ Q (M (jrn)) quand a tend vers O. Le paramètre de régularisation a est choisi faible (a ::::: 0,01 par exemple) pour limiter les incertitudes complexes artificiellement introduÎles à une valeur "raisonnabic". Il faut néanmoins remarquer que l'incorporation des Ej double la dimension de la matrice des incertitudes paramétriques. D'un point de vue pratique, on peut retenir qu'il est peu recommandé de travailler avec uniquement des incertitudes réeJJes. Souvent la présence d'une incertitude complexe suffit à donner à Il!l (M (jro)) une allure suffisamment régulière. Enfin différents travaux, qui sortent du cadre de ce cours, ont été proposés pour éliminer l'échantillonnage en fréquence: dans certains d'entre eux [Hel, FrDB] la fréquence est traitée comme un paramètre incertain, et intégrée à l'analyse de robustesse. D'autres approches [MaDo, VaDu, FeBi] consistent à rechercher un intervalle de fréquences sur lequel les facteurs d'échelle D el G calculés pour une pulsation ct une valeur ïI données restent valables. 4.6. Robustesse de la position des pôles Un objectif plus ambitieux que la stabilité est de chercher à garder les pôles du système bouclé dans une région n du plan complexe (n -stabilité), correspondant par exemple à une valeur maximale -a < de la panie réelle et un amortissement minimal ç des pôles complexes (figure 4.9). L'analyse est une simple extension de celle du paragraphe 4.4 [FFDM] : le domaine autorisé pour les pôles est limité non plus par "axe imaginaire mais par la frontière an de n, et c'est donc sur an qu'on teste la valeur singulière structurée. On obtient ainsi le résultat suivant: Théorème 4.3 - Si H(s) et Ô(s) ont tous leurs pôles dans n, le système de la figure 4.1 a tous ses pôles dans n pour tout Ô(s) du type (4.12) telle que ° IIÔ(s)llcn < ~ si et seulement si : (4.23) Il 4.7. Robustesse des marges de stabilité L'incorporation d'incertitudes complexes dans une boucle d'asservissement permel de garantir des marges de stabilité pour la boucle où elle est introduite: considérons par exemple le schéma de la figure 4.10, où A(s) est du type du type (4.12) et représente les incertitudes physiques, E est complexe, et Sc ER. En rassemblant les 2 incertitudes, on conçoit que la valeur singulière structurée doive à présent être calculée relativement à l'ensemble: 1l1:= {Ô' = diag {A, E} ; Ô E Il : E E C } (4.24) ~L-analyse 65 Im(.~) " ..----~~-------, :3 () Q -1 -2 -3 -"1 -3 -2.5 -1.5 -2 "1 ·0.5 0 Re(s) Figure 4.9 - Domaine requis pOlir le placemefll des pôles Supposons que soit vérifiée la condition suivante: (4.25) où M (s) est définie sur la figure 4.10. Alors le système de la figure 4.10 est stable pourlout i.l(s) de type (4.12) tel que Ilil(s)lIco < 1 ), en incorporanl le filtre wi (s) , et en définissant E(s) \1'] (s) YI (s). Il faut à présent assurer que le transfert de H' vers e présente une norme fI cr:: inférÎeure ou égale l, et ce pour tout A(s) tel que IIA(s)IICil < 1 . D'après le théorème du petit gain (paragraphe 4.2), cette condition est obtenue si el seulement sÎ le système de la figure 4.12.b est stable pour toul A l (s) tel que f (s )II~ < 1 . où A f (s) est une incertitude fictive non structurée bouclanl e sur w. Si on définît alors la matrice de transfert M (s) comme indiqué sur la figure 4.12.b, et qu'on calcule ta valeur singulière structurée relativement à l'ensemble: 11) • Il.1 (4.29) on peut donc énoncer que (4.28) est vérifiée pour tout A(s) tel que et seulement si : IId(s)llo') < 1 si (4.30) a) Scltéllw pour la robllstesse du tramferl de el l'ers YI b) Schéma équimlem de robustesse de la stabilité Figure 4.12 - Robustesse d'une répol/sc fréqu(!lIIielle Comme dans le paragraphe 4.7, la valeur singulière structurée permet de transformer la condition de robustesse de la performance (4.28) en condition de robustesse de la stabilité, et de tester ceLLe condition. Commande H'XJ et Il-analyse: des outils pour la robustesse 68 4.9. Exemple: asservissement de position Nous reprenons dans ce paragraphe l'exemple traité au paragraphe 2.6 du chapitre 2. Nous allons étudier les propriétés de robustesse du système muni du corrccteur calculé par l'approche Hm standard. 4.9.1. l1lcertitudes et forme LFT du moteur Nous allons supposer que le moteur est soumis il 2 typcs d'incertitude: - des incertitudes paramétriques sur le gain et la constante de temps principale - une dynamique négligée, correspondant il la constante de temps électrique. La fonction de transfert du processus est donc la suivante: K G(s)=----- l' s(1+1:s)(l+r's) (4.31 ) < 1:;n[\x La dynamique négligée est lout d'abord modélisée, comme expliqué au paragraphe 4.1.2, en écrivant: G(s) Compte tenu de la valeur de la constante de temps négligée, on choisit , tmax= 10-'-s. Supposons de plus que les paramètres K et Ko+KI OK' K t 1'0 soit: K E + 110, . Ko rD = 240rd/sN 15-10-3 ]180; 300 [rd/sN; tE S , , 1 présentent ± 25% d'incertitude: KI =60rd/sN, 1'] =3,75.10-3 s, OK E]-1:+1[ 0, E ]-1; +1 [ ]11,25.10-3 ; 18.75.10-3 [s. Le processus avec les seules incertitudes paramétriques a pour équations d'état: (4.32) Posons: Il-analyse - ZK (1) W(t) -z d dt (1) = l' La 2Î!n1C 69 équation s'écrit : (4.33) de sorte que la fonction de transfert peuL être mise sous la forme LFf de ln figure 4. J, la partie inférieure, que nous noterons Hp (.'1), étant décrite par les équations d'état suivantes: . de s 'ccn ~. vant: L\A( s) = L\A J1 = (80K . d" IOcertltu el 1a matnce En ajoutant la dynamique négligée, et en bouclant le système avec le correcteur déterminé au chapitre 2, on obtient une nouvelle LFT (figure 4.13), avec une matrice d'incertitude qui siécrit : (4.35) ,. y Figure 4.13 - Forme LFT du système bOl/clé 70 Commande Hm ct Il-analyse: des outils pour la robustesse 4.9.2. Robustesse de la stabilité Le calcul d'une borne supérieure et d'une borne inférieure de ~l ~ (AI! (Jill)) conduit aux courbes de la figure 4.14. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0,401, on en déduit que la stabilité est garantie pour tout 11~(s)ll11';) < 1/ 0,401 , donc pour le domaine d'incertitudes suivant: qui contient les incertitudes paramétriques initiales et la dynamique négligée. bornes 5upérillurc 01 inférieure tle mu 0.5 0.'1 0.3 0.2 0.1 o • 10 10 1 . 10' pulsation (rtlls)10 borne supérieure de mil en w ;; 0 : 0.25 Figure 4.14 - Robustesse de la stabilité 4.9.3. Robustesse de la positioll des pûles A l'aide du même schéma, on peut chercher à garantir que les pôles du système bouclé reste dans un domaine Q tel que celui définÎ sur la figure 4.9 ( .Q -stabilité), en calculant Jl~ (M (s)). pour s parcourant la frontière de ce domaine (paragraphe 4.6). Il faul bien sûr que le modèle moyen (correspondant à K 0' 10' et sans dyna- mique négligée) ail tous ses pôles dans .Q . Ceux-ci sont les suivants: Partie réeJle 48,14 - 146,9 - 982,7 -1000 Partie imaginaire ± 9,16 ±39,9 a o Pulsation propre 49,0 152,2 Amortissemen l 0,98 0,96 l-1-ana1yse 71 En choisissant -a =- 30 et ç =0,3 , on obtienl la courbe de la figure 4.15. La borne supérieure présentanl un maximum de l'ordre de 0,938 on en déduil que 1'.0 stabilité est garantie pour tout IILl(S)llm < 1/0,938, donc pour le domaine d'incertitudes suivant: 1 K E ]176,0; 304,0 [rd/sN 't E ]11,00.10-3 ; 19,00.10-3 [5 et IILl, (s)IIaJ < 1,06 bOlnes 5upérieuro el inférieure de mu ta' 2 10 bOlIIo supariCUlt! dl.) mu en w 10' pulsillîan (rtl/s) 10' =0 : 0.57 Figure 4.15 - Robl/stesse de /a position des pôles 4.9.4. Robustesse de la marge de module Le modèle moyen présentant une marge de module de 0.74, nous allons chercher à garantir une marge de module supérieure ou égale à 0,5 pour le système incertain. Comme expliqué au paragraphe 4.7. on modifie pour cela le schéma de la figure 4.13, en ajoutant une incertitude complexe (figure 4.16). La matrice d'incertitude est maintenant: (4.36) On obtient les courbes de la figure 4.l7. La borne superIeure présentant un maximum de l'ordre de 0,908, on peuL garantir une marge de module au moins égale à 0,5/0,908 = 0,55 , pour tout IILl(S)IL~ < 1/0,908, donc pour le domaine d'incertitudes suivant: K E ]173)9; 306,1 [rd/sfV 1: E JI0,87.10-3 ; 19.13.10-3 [5 et liAI (s)IL < 1,10 72 Commande HcfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse Figure 4.16 - Schéma d'analyse de la robustesse de la marge de module uorneS stJPëriCUIEl 01 infëriaurl! da mu O"~o' 10' 10' pulsation (rd/5) 10' uorne supÎ!riouro da mu en w .. 0 : 0.25 Figure 4.17 - Ralms/esse de la marge de modllle 4.9.5. Robustesse du suivi de consiglle La ligure 4.18 montre la réponse fréquentielle du transfert entre l'entrée de référence r et l'erreur d'asservissement E pour le modèle moyen. On peut chercher à garantir pour le système incertain un gabarit tel que celui représenté sur celte même figure, qui correspond à la fonction de transfert : 2,5.'1 + 1 "'2(s) S + 100 (4.37) Comme expliqué au paragraphe 4.8, on modifie pour cela Je schéma de la figure ~~analysc 4.13, en ajoutant une dynamique négligée fictive (figure 4.19), avec pondération. La matrice d'incertitude est maÎntenant : 1I'2 73 (s) comme (4.38) reponSIl nCminill!l Dt gilbmlt choisi 10' , . - - - - - - . - - - - - , - - - - . . . , . . . . - - - - , 10° ~~--~---~---~--~ 1010" 1 10' 10' 10' 10 PUl5ilticn ('dis) Figllre 4.18 - SI/li'; de cons;glle f/ominal. et gabarit cho;si Figure 4.19 - Schéma d'analyse de la robmlesse dl/ sllivi de consigne On obtient les courbes de la figure 4.20. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0,994, donc inférieur à 1, on en conclut que le gabarit Înitialement choisi sera effectivement respecté, ct cc pour tout pour le domuine d'incertitudes suivant: 116.(s)ll<7) < 11 0,994 donc 74 Commande Hrr; eljl-analyse : des outils pour la robustesse K E ] 179,6; 300,4 [rd/sN ; 1" E ]11,23.10-3 ; 18,77.10-3 [s et liAI (s)ll", < 1,01 bernes supèlicur() cl inlârieura de mu 0.7 10' pulsalion (rd/5) 10· borna supârieuTo de mu cn w '" 0 : 0"25 Figure 4.20 - Robustesse du suivi de consigne Remarque 1 : si dans ce problème la valeur maximale 11 de la borne supérieure de ~l ~ lM (jro) est supérieure il l, on ne peut garantir le gabarit proposé mais on peut garantÎr le gabarit plus large ft IIw2 (jro)1 ' pour un domaine d'incertitudes réduit dans un rapport il . Remarque 2 : par ailleurs, on prendra soin, dans les Il-analyses, de toujours calculer la valeur de 1l~(M(jro)) en 00=0. En effet 1l~(M(jw)) peut présenter une discontinuité en ce point lorsque les variations paramétriques amènent un pôle réel il franchir l'axe imaginaire (voir l'exemple du paragraphe 4.4.2). Annexe: borne supérieure de Il ~ (p) Nous allons démontrer la borne supérieure (4.20). Rappelons que pour l'établir on considère les deux ensembles de matrices définis par (4.17 .a) et (4.17 .b) reportés ci-dessous: ~HlI1alyse 75 On a alors, pour tout (C,Ô)EG x 8: CÔ=Ô*C. On en déduit que pour tout (Il, z) \l= solution du système z• (C Ô Ô" G ) z { Ô - "- z= PI' =0 <=> z.*Gv l',oGz =0 <=> v,o p,o G l' - v" G P l' = 0 et donc: cette expression ayant pour but d'obtenir une expression où intervienne une matrice G , la présence de j permettant de conserver une matrice hermitienne. Par a iIJe urs , soit v).:::), ~I les vecteurs et la matrice de plus petite norme pour laquelle le système cÎ-dessus est singulier. Comme l') = Ll) P 1'\ • on peut écrire; 1"" Il, 4'~, P", Il, ,; 0'("" III P", Il,: 1l~I(Pl Il p\',II, rinégalilé provenant de la propriété (1.5j) de ln valeur singulière supérieure, et la dernière égalité de la définition de J.l~ (p). On il donc: On sait enfin que sÎ H est une matrice hermitienne, ses valeurs propres sont réelles. et la plus grande d'entre clles I(H) vérifie: x" H x -A(ll) max---= . x,,",o x"x En rassemblant ces 3 résultats, on obtient: Si on remplace à présent P par D P D- 1 ,où D est une matrice quelconque de D, on obtient: 76 Commande lltfJ cl Il-analyse: des outils pour la robustesse celte inégalité étant vérifîée pour tout (D, G) E D x G En reprenant le raisonnement ayanl conduit à la borne supérieure (4.19), soit le minimum sur (D,G)E DxG p* du second membre de J'inégalité précédente. Alors: cette dernière inégalité étant obtenue en posant D' = D 2 On obtient ainsi la borne supérieure (4.20). E D el G':= DG DE G . Chapitre 5 POLIr aller plllS loin ... Dans ce cours, nous avons présenté des méthodes de synthèse et d'analyse qui, utilisées conjointement, fournissent des outils permettant d'obtenir des commandes performantes et robustes dans un grand nombre de cas pratiques. L'objet de ce chapitre est de donner au lecteur une ouverture sur des techniques voisines ou qui constituent un prolongement naturel, et en particulier sur la ~1 -synthèse, qui tente de réaliser de façon "automatique" l'association de la synthèse Ha;) et de la ~l-analyse. 5.1. Le problème de la "synthèse robuste" 5.1.1. De la synthèse Ha;) à la jJ -synthèse Au vu des développements des chapitres 2 à 4, on peut être tenté de chercher une réponse au problème suivant: peut-on déterminer un correcteur qui garantÎsse que la norme H ctJ d'un système bouclé reste inférieure à un niveau y donné, ce système étallf soumis à différentes illcertitudes de modèle? Pour aborder ce problème, on considère le schéma-bloc de la figure 5.1.a, qui combine le schéma de la synthèse H co standard (figure 2.1) et celui de la ~l-analyse (figure 4.1). Comme au chapitre 4, les incertitudes Ll(s) ont la structure générale: Ll(s) ::= diag {Lll (s), ... ,Ll q (s), 0]1 rJ ' ••• ,0 ri rr ' El/Ci"" Ll i ( S) E RH 0 i E R ; Ei E C U] , E (.' 1c,_ } (5.1 ) ; ct nous supposerons qu'ellcs vérifient les conditions de normalisation: En supposant de plus que le niveau y à satisfaire est égal à 1 (on peut toujours se ramener à ce cas en intégrant la valeur de y dans la matrice P(s)), le problème est Je suivant: déterminer un correcteur K(s) tel que la norme H vers e soil Înférîeure à l, pour tout Ll(S) du lype (5.1) telle que Cf) du transfert de \1' IILl(.'I)IL < 1 . Comme dans J'analyse de la robustesse d'une réponse fréquentielle (paragmphe 4.8), le théorème du petit gain permet d'établir que cette condition est obtenue si et Commande Hoo et j.1-analyse : des outils pour la robustesse 78 seulement sÎ le système de la figure 5.I.b est stable pour tout b. f (s) lei que Il.6 l \l' . (s)lICf.) < 1 , où b. f (s) esl une incertitude fictive non structurée bouclant c sur Celle condition est cHe-même équivalente à : (5.3) où l'ensemble L1," (défini comme en (4.29)) tient comple simultanément de la présence de b. l (s) et de la structure de il(s) . Déterminer un correcteur vérifiant (5.3) est appelé un problème de Il-synthèse [Doy]. Malheureusement, en dehors de cas simples, il n'a pas de solution connue à l'heure actuelle. Z \' \1 ..... e w e y w Il Il a - Problème de synthèse robuste b Mi,\"(! en/orme pour la ll-sy11lltèse Figure 5.1 - Approche de III synthèse robl/ste par la p-symhèse 5.1.2. Approche de la Il*syllthèse par la D-K itération Or, pour chaque valeur de ffi, l'inégalité suivante est vérÎtïée : ~LQ,,(F/(P(jffi), K(jffi))) ~ cr{olll FI (PUffi), K(jW))DI!)-I) (5.4) où DI!} est n'importe queIle matrice inversible qui commute avec toute matrice de la forme diag tb.(jro), il f (jro) J. Remarquons, au vu de la nOle 3 du chapitre 4, que l'on n'esl pas obligé d'imposer à DIJJ d'être hermitienne. Un problème plus réalisle est donc le suivant: Problème 5.1 : Déterminer un correcteur K(s), et une matrice D(s) E RH Cf.) telle que D(S)-lERHCf.) commutant avec toute matrice dîag {il(s),ilr(s)} que: ,tels Pour aller plus loin". 79 En effet, la condition (5.5) assurera que: Notons que la contrainte d'avoir D(s) et D(s)-I appartenant à RHm est nécessaire pour qu'il existe un correCLeur stabilisant la matrice de transfert qui apparaît dans (5.5). Là encore, ce problème n'a pas de solution connue en général, mais on peut tenter de le résoudre en cherchant alternativement les matrices K(s) el D(s) : en effet, calculer K(s) li. D(s) fixé n'est autre qu'un problème H ~ -standard, correspondant au schéma-bloc de la figure 5.2 ; à K(s) tixé, la recherche de D(s) peut être conduite en calculant la borne supérieure (5.4) pour un ensemble de valeurs de (ù choisi a priori, puis en interpolant les matrices Dm obtenues par une matrice de transfert stable et à inverse stable. Figure 5.2 - Problème H Ct) -standard résolu lors des D-K iléra/iOJlS On obtient ainsi la procédure suivante, appelée D - K itération [Doy, ZhDG] : i) choisir un ensemble inilial de matrices DIlJ (par exemple égales à la maLrice identité) ii) interpoler les matrices DIU par une matrice de transfert D(s) stable et à in· verse stable iii) résoudre le problème HOC) -standard (5.5) à D(s) fixé Iv) pour un ensemble de valeurs de Ol choisi a priori, calculer Dw telle que la borne supérÎeure a(DhIF/(P(jOl),K(jOl»)Dw blème quasi~convexe du type (4.19» l ) soit minimale (il s'agit d'un pro- v) comparer les matrÎces Dw avec celles obtenues à J'itération précédente: si elles sont proches (au sens d'un critère donné), arrêter; sinon retourner à l'éLape ii). Pour examiner la convergence de celle procédure, on peut remarquer que: 80 Commande Hm ct ll-ana1yse : des outHs pour la robustesse - le maximum sur ro de lu borne supérieure calculée à ment plus peLit que la norme obtenue à l'étape iii) ré tape il') est nécessaire- - s; Oll était capable d'intelpoler pmfaitemen! les matrices Dm' la norme H obtenue à l'étape iii) serait nécessairement plus petite que le maximum sur ffi de la borne supérieure obtenue à l'étape il') de l'itération précédente. On aurait donc l'assurance que la procédure converge vers un minÎmum local. Par ailleurs, le problème H co -standard résolu à l'étape iii) utilise une matrice tr) d'interconnexion PD (s) qui comprend les matrices D(s) ct D(s)-l (figure 5.2) : l'ordre du correcteur obtenu par l'algorithme de Glover-Doyle (paragraphe 2.2) ou la résolution par LMl (paragraphe 2.4) sera donc égal à l'ordre de PD (s) , qui croît de façon polynomiale avec J'ordre de D(s). Le point qui pose problème est donc l'étape d'interpolation ii). En pratique, on se limite souvent à une interpolation grossière. de sorte qu'on perd toute garantie de convergence de la D - K itération. même vers un minimum local. 1 Il faut aussi noter que la procédure présentée ne prend pas en compte la présence éventuelle de paramètres réels dans ô(s) , puisque la borne supérieure (5.4) est aussi valable pour des matrices complexes. Une procédure utilisant des matrÎces D et G telles que celles définies par (4.17) a été proposée sous le nom de (D-G)- K itération [Vou]. Mais elle est plus lourde à meUre en œuvre. Une alternative plus simple a été proposée dans lT ASN]. Enfin ces procédures sont évidemment d'autant plus lourdes que le nombre d'incertitudes prises en compte dans .6.(s) est important. Une utilisation intelligente de ces techniques consiste donc à les employer avec un nombre d'incertitudes limité, en ayant pris soin de choisir celles qui sont les plus pénalisantes pour la synthèse. Après quoi on fera une analyse de robustesse beaucoup plus fine, la procédure de )1analyse développée au chapitre 4 ne présentant pas les mêmes inconvénients. On retrouve donc encore une fois que la mise en pratique nécessite de séparer les phases de synthèse et d'analyse. 5.2. Ouverture sur d1autres techniques Sur le plan méthodologique, ces dernières années ont vu un développement considérable des approches utilisant les Inégalités Mutricielles Amnes (LM!). Lorsqu'il est possible de formuler un problème d'analyse ou de synthèse avec des LM!, on obtienl en effet un problème d'optimisation convex.e (ou quasi-convexe), pour lequel des algorithmes efficaces (avec un volume de calcul qui est une fonction polynomiale du nombre d'inconnues) sont aujourd'hui disponibles fBoEI, NeNe]. Nous avons mentionné dans ce document que des problèmes tels que la synthèse H 00 ou le calcul de certaines bornes supérieures de )1 entrent dans ce cadre. Mais 1 Notons il cc sujet que, dans le clldrc d'une synthèse H cr: -standard, la procédure peut être utilisée Qvec des matrices Dé) diagonales constuntes [ACGB] : elle permet de trouver une pondémtion "optimale" cntre Jes différents couples entrée-sortie du critère H ~ . Pour aller plus loin... 81 ces problèmes offrent un point de départ à bien d'autres: nous allons présenter brièvement certains d'entre eux dans ces derniers paragraphes. 5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV On appelle "système LPV" un système qui dépend Linéairement de Paramètres Variant dans le temps, et qui peut donc êlre représenté sous la forme: (5.6) où S(t) (9 1(t), 9 2 (t), ...• 9 11 (t) Y est un vecteur de panimètres dépendant du temps. Lorsque les différentes matrices de la représentation d'état (5.6) dépendent de 9(t) de façon rationnelle, ce système peul être écrit comme la LFT d'un système linéaire stationnaire (décrit par la matrice P(s) sur la figure 5.3) et d'une matrice G(I) isolant les paramètres: (5.7) On peUL chercher pour ce système un correcteur sous la même forme, c'est-ti-dire se présentant comme la LFr d'un système de matrice de transfert K(s) et d'une réplique dc la matrice e(t) (figure 5.3): ce COlTccteur s'adapte de lui-même à l'évolution des paramètrcs (Pac, ApOa, ApBG • ScEI]. L'analyse et la synthèse de ces systèmes peut s'exprimer HU moyen de LM! : ainsi la synthèse de la matrice K(s) peut s'exprimer au moyen de 4 LMI [ApOa] qui se présentent comme une généralisation des LMI (2.14) de la synthèse lI!f2 standard. e ---1 )' 1+--- tV li Figure 5.3 Syslèull.' el corrcClcl/r LPV Commande H:r" et Il-analyse; des outils pour la robustesse 82 5.2.2. Analyse et synthèse 111l1lti-critère Plus généralement, "évaluation des performances d'un système ou la synthèse d'un correcteur peut se faire suivant différents critères mathématiques. Si nous considérons par exemple le système bouclé de la figure 5.4, on peut imaginer de chercher à satisfaire des contraintes prises parmi les spécifications suivantes: - le transfert entre lt':r" - le transfert entre 1t'2 et e:r" présente une norme H eL el lT.l inférieure à un niveau 1 ctJ présente une norme H 2 inférieure à un niveau 12 - le régime transÎtoire du système bouclé est au moins aussi rapide que la fonction e -at (avec ct> 0 ) - le système bouclé a tous ses pôles dans une région convexe du plan complexe (qui peut être une bande, un cône, un disque, un ellipsoïde, ou tOUle intersection de ces régions) - à tout instant la norme d'un signal intermédiaire (le vecteur des commandes par exemple) reste inférieure à une certaine valeur. pour toute condition initiale dans un ensemble convexe donné. Ces différents critères (dont la liste n'est pas limitative) s'expriment en effet par des LMI et peuvent dans certains cas s'étendre au cadre LPV. On trouvera un nombre important de critères avec leur mise en forme pour l'analyse eL la synthèse dans les références [Fol, ScGC]. Figure 5.4 - Schéma général de synthèse Signalons pour finir que les LMI permettent également J'extension de la synthèse H par "Ioop-shaping au cadre multi-modèle: les résultats donnés dans [MiVi] permettent en effet de rechercher un correcteur unique, d'ordre fixé, assurant une norme H:r" inférieure à un niveau y pour un nombre fini de modèles. lt CJJ Chapitre 6 Exercices C011 igés 4 Nous présentons dans cc chapitre J 2 exercices porlant sur la synthèse H <1J et la Il-analyse, qui peuvent être résolus à la main et servir de base à des séances de Travaux Dirigés. Les corrigés figurent à la lin du chapitre. , Exercice 1 Calculer les valeurs singulières de la matrice de transfert G(s) s 11 .'1). -2/ s 2/s J/ ( Exercice 2 On considère un système de fonction de transfert G(s)::::: 1 . On veut détermÎs+1 ner un correcteur assurant les performances suivantes: - suivi de consigne avec erreur statique inférieure à 1% Lemps de réponse de l'ordre de 3 s - marge de module au moins égale à 0,5 - gain entre la référence eL la commande inférieur à 2 pour tout ID. Concevoir un problème fI standard permettant d'assurer ces objectifs. Donner une représentation d'état du système en boucle ouverte sous forme standard. Vérifier que les 2 premières hypothèses requises par l'algorithme de GloverDoyle sont remplies. ct;) Exercice 3 (suite de l'exercice précédent) Un correcteur solution du problème précédent,l assurant y ::= 0,87 , est: K(s) 1,4 s + 1 .1+0,01 1 L'algorithme de Glovcr-Doyle fournil en fait un correcteur d'ordre 2 (ordre de ln représentatÎon d'étal du système sous fonne standard). Mais le deux.ième pôle est en -BD, el peut donc êlre négligé sans que cela affecte les perrormonces du système. 84 Commande Hr:.o cll. Hmalyse : des outils pour la robustesse. Calculer les fonctions de transfert S(s), K(s) SCs) et K (s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle. Comment modifier les pondérations pour atténuer le gain du correcteur dans les hautes fréquences? Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) Un correcteur solution du problème précédent,:! avec y = 1,11, est: ' 4 K( s) = s+1 (s+0,01)(s+4) Calculer les fonctÎons de transfert S(s); K(s) Ses) et K(s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle. Le modèle nominal du système néglige une constante de temps secondaire, dont la valeur maximale est estimée à 0,25 s. La présence de celte constante de temps remet-elle en cause la stabilité de j'asservissement? Exercice 5 On considère un système de fonction de transfert G(s) = - - - - - . On veut +0,1 s + 1 déterminer un correcteur K(s) dont la sortie s'ajoute à une perturbation b (voir figure 6.1). Le correcteur doit assurer les performances suÎvantes : - limiter la résonance du transfert entre b ct )' à 1,4. ~ ramener la pulsatÎon propre du système aux alentour de 0,5. - assurer des marges de stabilité correctes. Concevoir un problème H 00 standard permettant d'assurer ces objectifs. Exercice 6 On reprend l'exemple élémentaire du paragraphe 2.3. Ecrire les LMI permcllant la résolution du problème. En déduire la valeur optimale de y et l'ensemble des matrices R et S admissibles. Discuter l'ordre du correcteur. Calculer la matrice X dans le cas d'un correcteur d'ordre 1\ puis d'un correcteur d'ordre O. Dans ce dernier cas, écrire la LMI permettant de le déterminer. 2 L'algorithme de Glover-Doylc fournit ici un correcleur d'ordre 3 (ordre de la représentation d'état du système sous forme standard) dom le pôle le plus élevé, comme précédemment, peUl être négligé. Exercices corrigés 85 y + 0,1 s+ l Il Figure 6. J Slmet/lre de correctio/l (cxacÏce 5) Exercice 7 SOÎt 1 P= (0 2 -2j J. Calculer ~là (p) dans les cas suivants, et comparer les va- leurs obtenues: =C 2 - ~ = {dillg {8 1 ;8:J, 8),8 2 E C} - ~ {dÎag {8 J ;b 2 }, 81,8 1 ER} - f! := {diag {15 ; 81, 15 ER} A >,.} Exercice 8 Soit P = - f! (~ - :J. Calculer Il ~ (p) dans les cas suivants: {diag {o;8}, 15 ER} - A:=. {diag {8;8}, 8 E C} Exercice 9 Soit le système linéaire d'équations d'étal: { '~1 = (1 +.8 1 )X1 + 02'~2 + /1 '\1 )' = - .\( XI + (1 + 81 )'\:2 + X2 )' ExtraÎre les incertitudes, conformément au schéma ci-dessus, cn donnanl la présentation d'étal du système H, el l'expression de f! . re~ 86 Commande H~ el Jl-analyse : des outi1s pour la robustesse Exercice 10 otl = (1 +O( )X I + 5)x 2 + Il Même exercice que précédemment, avec { + (1 + 82 )X2 ·\:2 XI )' x, + x2 Exercice Il Y(s) Meme exercIce que prece'cl emment, avec A • , a=1+8. U(s) Exercice 12 On considère le système décrit par le schéma-bloc de la figure 6.2, avec a=2+0 1l , g =l+o.~, 8 a ,OgER. y Figure 63 Figure 6.2 - Système lll'CC 2 incertitudes paramétriques Forme LFT recherchée Extraire les incertitudes 8(1,8 g , conformément au schéma de la figure 6.3, en donnant l'expression de la matrice de transfert fi Cs) et de la matrice A. On note A1 (s) = fi zr (s) . Calculer Déterminer par ~l-analysc bilité est garantie. Tracer dans la plan (a, g) ~l(M (jw)) correspondant à cette incertitude. un ensemble de valeurs de a, g pour lesquelles la stale domaine de stabilité réel du système de la figure 6.2, et comparer au domaine déterminé par ~ -analyse. Déterminer par ~ -analyse puis par calcul direct un ensemble de valeurs de pour lesquelles le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 . {l, g Exercices corrigés 87 Corrigé de rexercice 1 On calcule: G(jre)G(-jro/ =~( 1re 1 -2 IÎ 2) (1 1 -2J jre 1 2 =_1 (2 0J ro ° 8 2 Corrigé de "exercice 2 Les 3 premières spécifications concernent la fonction de sensibilité S(s). Elles permettent de fixer respectivement son gain statique (0,01), sa pulsation à dB (== 3/3), et son gain maximal (1/0,5), d'où on déduit le gabarit de la figure 6.4 : ° ') - - D,DI y Il s +1 0,01 Figure 6.4 - Gabarit Sllr S Fig/lre 6.5 - Schéma de synthèse H co La dernière revient à imposer au transfert K(s) Ses) un gabarit constant, égal à 2. On en déduit le schéma de synthèse de la figure 6.5, avec: \VI ()-('J s - - S+0,01]-'_05 s+2 - , s+2 s+O,OI En écrivant: w\(s) = 0,995 ,5 + - - - ° s+O,Ol Commande HC1'J ct J.l-analysc : des outils pour ln robustesse 88 on déduit une représentation d'état de Hl) (s) : 0,0) = 0,995 + 0,5 dX) --= { XI +E dt el XI E Une représentation d'élat du système sous forme standard est donc: d[Y] = (-1 ° J[YJ + [o:lJ[rJ -1 -0,01 1 i° ~ dt XI J [-0,5 0,995J [ J [0,5: °J( J =: -~I---+- ~: el [ XI = + -H9t ;. On vérifie les 2 premières hypothèses de l'algorithme de Glover-Doyle, sOÎt avec les notations du chapi tre 2 : M (°1 -lJ (-1 °0J (Bu A Bu) = esl de rang 2, donc le système est commandablc. -1 - [ CI'CrA J cst de rang 1 : le système est non observable par E, mais la 1 partie non observable correspond au filtre \1'1 (s) (évident d'après le schéma) qui est stable, donc le système est délectable. A notcr d'ailleurs que lout système stable est de fait stabilisable el délectable. - Dm [00,5 J ct D\w- = J sont de rang plein (égal à 1). Corrigé de l'exercice 3 On obtient: Ses) s+O,OI, K(s)S(s) = .\"+1,41 s +1 S 1,4 - - et K(s) (s)G(s) = - s+I,41 s+I,41 Ses) a un gain inférieur à 1 : en lraçanl son diagramme de Bode, on peul constater qu'il est en dessous du gabarit 1/ \\'1 (s). Le diagramme de Bode de K(s) Ses) est effectivement Înfërieur à 2. K(s) S(s)G(s) est le transfert entre r et y (figure 6.5) : la sortie répond à la consigne comme un premier ordre de constante de temps ) 11 AI, d'où un temps de réponse de l'ordre de 3/ l ,14 ;::, 2,2 s. Exercices corrigés 89 Pour atténuer le gain du correcteur en haute fréquence, il faut imposer un gabarit il K(s) Ses) (car en haute fréquence, K(s) Ses) ~ K(s)), lei que celui représenté sur la figure 6.6, avec par exemple Cl = 2 (supérieur à la bande passante obtenue précédemment) el b = 100 (sufJisamment grand), soit : W.,(s)= - 1+-sIl OOJ-I 0.5 1+ s /2 -( 2l+s/2 1+s 1100 Figure 6.6 - Gabarit sur K S Corrigé de l'exercice 4 On obtient: Ses) (s+0,01)(s+4) =., s-+4s+4 ; K(s)S(s) s+1 = 4 ., ; K(s) Ses) G(s) s-+4s+4 = -.,-4- 5-+4.'1'+4 Ses) a un gain înferieur à 1 ; Ses) el K(s)S(s) ont leur diagramme de Bode en dessous de leurs gabarits respectifs 1,1 l/lWI (jro)1 et 1,1 J IIw2 (jill)l. K(s) Ses) G(s) est à présent un transfert du second ordre (avec un pôle double en -2). D'après l'exemple du paragraphe 4.2, la slabilité est assurée si Je diagramme de Bode de K(s) Ses) G(s) est en dessous de celui de (-1: max s/{i+tmax .'1 )t II '[max 4. La fonction K(s) Ses) G(s) obtenue vérifie celle condition. l , avec ici Corrigé de l'exercice 5 On utilise le schéma de la figure 6.7, obtenu comme expliqué ci-dessous: - les 2 premières spécilications indiquent qu'on veut garder entre b et y un comportement du second ordre, mais avec une pulsation propre plus faible el un amortissement plus grand. On applique donc à y une pondéraLÎon 11'1 (.'1) d'ordre 2, donl la forme générale est donnée sur la figure 6.8, et qui s'écrit: 90 Commande l-/cn el Jl-analysc : des outils pour la robustesse avec les ordres de grandeur suivants: k 1,2. (01 = l, {Oo = 100 (suffisamment grand) ct ç{) = l;,J :::: 0,7 (pour éviter les résonances, tout en restant au plus près du tracé asymptotique). y S2 +0,1 s+ 1 Figure 6.7 - Schéma de synthèse li:o '*' k -+----.. 1~----~~--~~ Figure 6.8 - Gabarit .ml' le transfert de b vers y Figure 6.9 Gabarit SHr le lransfert de b l'crs Il - des marges de stabilité correctes peuvent être obtenues soit en disposant une pondération il J'entrée l' du système (le transfert entre b ct \1 représente la fonction de sensibilité S(s)). soit en disposant une pondération sur la commande (le transfert entre b el li représente la fonction K(s) Ses) G(s) ); nous avons choisi cette dernière possibilité car elle permet également de limiter le gain du correcteur en haute fréquence. Le gabarit imposé à ce transfert (voir ligure 6.9) a un gain inférieur à 2 (ce qui, d'après l'abaque de Nichols, assure des marges de gaÎn et de phase au moins égales il 6 dB el 30°), et décroît dans les hautes fréquences, soiL : 1 2 l + S/200J( 1+ s / 2 =::: 0.5 1 + .'1/2 1 + s / 200 Exercices corrigés 91 - si on utilise l'algorithme de Glover-Doyle, il faut enfin ajouter une perturbation sur la sortie : sans celte pondération en effet la matrice du problème standard DYII' est nulle puisque le transfert entre l'entrée b et la commande Il tend vers 0 en haute fréquence. Physiquement, cette perturbation peut être interprétée comme un biais ou un bruit sur la mesure. Afin de limiter son effet, on lui affecte une pondération H'3 constante choisie faible mais non nune, soit par exemple \\'3 .:::::: 0,01 . Remarque: avec les gabarits cÎ-dessus, l'algorithme de Glover-Doyle fournit un correcteur assurant y = ],00. Corrigé de l'exercice 6 On calcule tout d'abord les "facteurs externes" des 2 premières LMI : D;",)= (1 : 0 1) d'où par exemple N R = [~ ~J -1 De même : (C \' Dyll' )= (I : 0 1) d'où N s = N R =[ 0 ~ ~J. -1 La matrice A 0 étanl scalaire, les matrices R et S le sont aussi. La LMI (2.14.a) s'écrit: 0 -1 o '- 1 0 11 ] 0:0 O\T 0: R 1 --~-------r------1 :0 0 R:1 -y 0 111 0 0 0 1 -1 0 11 0 -yl 0 0 0:0 0 o 0: 1 a 0 010 1 1 -----1---- y soit : [ --r-------r------1 : 0 0: -y 0 0 a !' 0 -y O! 0:0 0 1 1 :0 0 1 0:0 0 <0 -----1---o 0: 1 0 0 O!O 1 -R -1 -R Y 0 -1 o y o o a La LMI (2.14.b) s'écrit sous une forme identique, el fournit la condition supplémentaire: Enfin la LMI (2.14.c) s'écrit : Commande Hm el 92 ~l-analysc : des outils pour la robustesse (R 1J II S {R ~ 0 <:::> RS-l~O<:::> {S ~ 0 RS-l~O Le domaine correspondant aux dernières inéquations esl représenté sur la figure 6.10. S 5 1 \ 1 4.5-f---~--+·_-,--- i -I----:---·--i-r-··! 4 3.5 \ J \ 225~L -\ 1.5" 1 ! i 1 1 1. 1---+----_ 1 o:---~~---r_--1 R Figl/re 6. JO - Domaine de couples (R, S) admissibles La valeur minimale de y vérifie: y2 -1> min (R 2 , S2)= 1 (minimum atteint pour R= S) d'où y>.fi. Le correcteur est d'ordre égal au rang de 1- R S , soÎl 1 cn général, sauf si l'on choisit S = Il R auquel cas 1- R S = 0 et on peut calculer un correcteur d'ordre O. Un correcteur d'ordre 1 est obtenu en formant la représentation d'état (2.17) : puis en choisissant: M = -N = ~ R S -1 dans (2.18.b), d'où d'après (2.18.c) : Exercices corrigés 93 Les scalaires Ac, Be' C(:, De sont alors obtenus en résolvant la LMI (2.) S.a). Dans le cas d'un correcteur d10rdre 0 (qui se réduit donc au seul De), on a R S = l , X = S , et : Le scalaire De sera obtenu par résolution de la LMI (2.18.a), qui s'écril ici: 1 De 0 0 DeS 0 -y 0 1 0 0 -y 0 De 0 De 0 -y De <0 Corrigé de l'exercice 7 On obtient, dans l'ordre de J'énoncé: -llê(P)=cr(P)~2,92 - llà(P) = 2 (pour 8 2 - ~à(P)= 1 (pour 8 1 j/2) ) ) - ~à(P)=PR(P)=1 Chaque ensemble étant contenu dans le précédent, les valeurs obtenues pour ~là (p) sont décroissantes (non strÎl:temenL). Corrigé de r exercice 8 On obtient respectivement 0 (pas de solution) et 1 (pour tS = - ) / 2 ± Corrigé de l'exercice 9 jfj /2 ). 94 Commande HtrJ elll·nnalysc : des outils pour la robustesse el A noter qu'il faut répéter 8 1 dans 6.., car 8, apparaît 2 fois dans les équations, par des termes différents. Corrigé de l'exercice 10 On pose v, =0, (x, + x2) 8, z, ; v2 = 8 2 x2 8 2 Z2,' d'où: A noter que, 01 n'intervenant que dans la première équalion. il est possible de ne pas le répéter dans il (rien n'empêche de le faire, bien sûr, mais pourquoi faire compliqué sÎ l'on peul faire simple ?). Corrigé de l'exercice Il Cette fonction de transfert correspond à l'équation dinërentielle : On pose \'1 = 0)' = 0:1 ; 1'2 = 0 (5' + 2)' + vI) = 8 :2 d'où: 1 Exercices corrigés 95 et A noter que la mise en facteur de 0 dans l'équation différentielle permet d'avoir une matrice ,1 de dimensîon 2 (on peuL aussi, plus brutalement, développer l'équation et poser successivement avec 2:3 = li4 ,et v4 "1 = 6 S, = 8 ZI 1 \12 = 0 y = 0 Z:4 ' ouf! Mais alors = 28 Y = 262:2' ~ v] 2 =6 y 5 Z] est de dimension 4, cl pourquoi faire compliqué si ... ). Corrigé de l'exercice 12 Le schéma-bloc peut être redcssiné sous la forme de la figure 6.11. y Fig/lre 6.11 Système bO/fclé avec 2 illcertÎwdes pommétriques d'où l'on déduit facilemenl ; -) 1 1 --1 s+3 1 s+3: ..\'+3 -1IS+2 ____ 1_- .s±l __.t±J_L.:Ltl -1 s+3 1: 1 s+3! s+3 --1 On a alors, avec AI(s) = H ::\,(5) : det(I:! -/'d(jw),1) Comme 6 11 et 6 t-: sont réels, ce déterminant ne peul s'annuler que pour pour 0(1 et 51: vérifiant: 0a+og+3=O.Comme a(,1)=suP~o(/I,18t-:1), (0 = 0, a(,1) eSl Commande Ht1j el Jl~analyse : des outils pour la robustesse 96 maximalcpour 8'1 ::::8~ ::::-3/2.0nadonc: fl(M (jro)} 0 si m;: 0 ~L(M (j0)) = 2/3 i\ On en déduit que la stabilité est garantie pour Lous et \8 KI < 3/2 , soÎt pour tout (a, .. . d c translcrl • L a 10nctlOn g) E ] 0,5 ; 3,5 [x ] R(s) a + g > 0 . Le domaine déterminé par ~L -analyse 18 a l < 3/2 0,5; 2,5 [ (tïgure 6.12.a). , Yest (s ) = systeme -- ,1 uU et 8 g tels que s+a+g • qUI. est stabl e pour est le plus grand carré centré sur le point nomÎnal et contenu dans ce domaine (figure 6.12). Si on cherche à présent à garantir par Il ~analyse que le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 , on doit résoudre: ( 2 -!vl(s)A ) =1+ dct/ 8" + =0 avec s=-I+jro s+3 soit -1 + jCi) + 8a + Ô,Ii + 3 = O. Là encore celle équation n'a de solution que pour m 0, auquel cas O:(A) est maximale pour 8(/ :::: 5.t: ~l(M (-1 + jro)) = -1 . On a donc: 0 si ro:;t 0 ~l(Nl (-1 + jO)) = 1 L' n -stabilité est donc garantie pour tout (5 1" 5 11 )e ]-1 ; + 1[2 , soit pour tout (a, g )E ]1 ; 3 [x ]0 ; 2 [. Le domaine réel est décrit par II + g > 1 (figure 6.12.b). i g g I~ )oinl :n0l linhl i ~ 1 '" ,,1 INS TARL ·2 ~ ! ùOll!.Ulle , I~ "- i T I~ ~omaîhc délc rllliné 1 1 I~l- ·1 ·2 1 ·3 tpaint nominlll étJnniné 1 1 I~ ·3 ·1 1 1 1 ~ 1 1 ! ! 1 ·1 a Cl li) s/abilité b) n -stabilité Figure 6.12 - Résultats de fl-al/alyse dans le plan (a, g) Chapitre 7 Etllde d'tIn cas d'application L'objet de ce chapitre est de présenter les concepts de synlhèse H '.l Jtalldard d'llII correcteur J entrée - J Jor/iI.! Chaque pondéraLÎon Wi est un filtre du premier ordre, défini par 3 paramètres: son gain statique, son gain à l'infini, et sa pulsation à 0 dB (bien sûr les 2 premiers paramètres doivent être l'un supérieur. l'autre inférieur à l, sauf s'ils sont identiques, auquel cas la pondération devient constante). Les différents pavés permettent d'effcctuer les fonctions suivantes: - le calcul du correcteur central par l'algorithme de Glover-Doyle (Synthèse Hinfini) - le tracé des réponses fréquentielles et de leurs gabarits, du correcteur, et de la boucle ouverte (Analyse fréquentielle) le lracé des réponses temporelles du modèle de synthèse bouclé par le correcteur (Simularion) - la réduction du correcteur par la mélhode de troncature des valeurs singulières de Hankel (Rédllction) - la sauvegarde des matrices d'état du C01Tccleur (Smt\'egarde) la Il-analyse, comme indiqué au paragraphe 7.2 (Mil-analyse) - le tracé des valeurs propres et des réponses temporelles du système bouclé, el de la réponsc fréquentielle de la boucle ouverte, pour 28 modèles correspondant à différentes valeurs de l'élasticité el de l'inertie (Réponses) Etude d'un cas d'application 103 les différents tracés pouvant être effectuées dans un ordre arbitraire, avant comme après la réduction du correcteur. Nous donnons ci-dessous les résultats correspondant à un jeu de paramètres particuliers. Il va de soi que nous ne prétendons nullement que ce réglage soit le meilleur! Les paramètres choisis apparaissent dans le tableau 7.1 (les paramètres dont le choix est le plus sensible sur les performances de l'asservissement apparaissent en gras). Wl W2 W3 ordre 1 1 1 Gain slatique 100 0.1 0.7 Gain à l'infini 1/2 10 100 Pulsation de coupure 5 100 4 Tableau 7.1 - Paramètres des/ol/ctiol/s de pondéra/ion La synthèse conduit à y 1,189. La Jïgure 7.4.a montre comment les gabarits choisis agÎssent sur les différents transferts: sur S el K SGen moyenne fréquence, sur SGen basse et moyenne fréquence, sur K S en haute fréquence. Le correcteur initial, d'ordre 7, a été réduit à l'ordre 4 avec conservation du gain statique, sans dégradation notable de la réponse fréquentielle (figure 7 .4.b). On peut vérifier qu'il présente un gain élevé en basse fréquence (de façon à rejeter la perturbalion de commande), et que son gain décroît fortement dans les hautes fréquences (effet de roll-off). Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.4.c) permet de conlrôler les marges de stabilité: on voit notamment que la marge de gain est assez faible. La ~l-analysc a été effectuée en choisissant une marge de module minimale de 0,3 (la marge de module du système nominal étant de 0,629). On obtÎent les bornes supérieure ct inférieure représentées sur la figure 7.4.d. Le maximum de la borne supérieure étant égal à 0,824, on peut garantir une marge de module au mOÎns égale à 0,3/0,824:::.: 0,36 pour toute valeur des paramètres dans des intervalles dilatés d'un fa~teur 1/0,824:::.: 1.21, soit: K.\"Iij{ E [0,945 ; 2,072] N m, et lIJ/ lJud E[136,8; 508,9] (Kgm 2 )-1 , soÎt J/ olld E[0,00197; 0,00731] Kgm 2 Enfin les figures 7.4.e à 7.4.11 montrent respectivement le diagramme de Black de la boucle ouverte, la position des valeurs propres de la boucle fermée et les réponses temporelles à un échelon de référence el à un échelon de perturbation de 104 Commande Ha) et Il-analyse; des outils pour la robustesse commande. Bien que ces tests ne fournÏssent pas les mêmes garanties qu'une ~l ~ analyse, ils rendent compte d'une relative invariance du comportement pour les différentes charges ct élasticités. Gain(d3) Hw.. {W, et dr 1fwdwJ. y/W'/WJ et db 50 -100 100 40 0 20 -100 0 -200 0 -, 0 10 10 10 Rase(~) l/w, • y/w? et u/r 0 0 10' 0 10 10 Figure 7A.a - Principaux transferts. et gabarils correspondants ~-li (~ r----- .', ---' ~ -50 -ISO ·200 ·450 -, 10 1 10" 10 Pulsalim (mcVsec) 10" Figure 7.4.b Diagramme de Bode du correcteur, QI'mll el après rédllctioJl V 1 -100 2 10 8amos supérieure ollnhlrlouro de mu Gain (dB) 100 50 , 10 ./ - (1 - ~', ;-- /'" _.n __...__ ---- --,--,,- ..- 1 t '\ -400 -350 ·300 -250 ·200 ·150 -100 Phase (degrés) Figure 7.4.c Diagramme de Black de la bOllcle Oll\'er/e corrigée, avant et après ré- duc/ioll l 10 ~~ 50 -50 10' PulsaUm (r<:d'sec) borna 5upôriouro de mu en w '" 0 -> 0.475 Figllre 7.4.d - Résultats de jl-tll/alyse J 10 Etude d'un cas d'application 105 \I,llours propres en B.F. GaÎn (dB) 40 JO 20 10 ·10 ·20 -3D ·40 ,.50 -60 '----'-_-'-_-'--_L.......----'-_--'-_........&l'"--'--........J ·400 ·350 <100 ·250 ·200 -ISO -100 -50 Phase (degrés) Figure 7.4..f - V(llnErs propres fermée Figure 7.4.e - Diagrammes de Black dl.' la boude Ol/verte corrigée ':R 05~ 00 1 2 !hela 1.";(----------, -1 '----~-----' o 2 OAEjarPhil commande 0.4 -0.5 0.2 -1 00 1 2 bOlicle Ob Q.6~angleIOla! commande Cil -1.50 1 2 thela 0.2 ° -0.2 2 -0.40 1 Figure 7.4.g - Réponses li la référence 2 2 Figure 7.-1.11 Réponses il /a perturbation On remarque notamment que les réponses en boucle ouverte évitent correctement le point critique; les réponses indicielles présentent un dépassement modéré maÎs un retour assez lent vers la valeur de consigne. En raison de ce dernier point, les performances demandées ne sont pas obtenues. 7.4. Synthèse fI:o standard d'un correcteur 2 entrées - 1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf2gui) est donné sur la figure 7.5. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du 106 Commande Hr:r.J ct J.l-annlysc : des outils pour la robustesse correcteur l'angle et considéré après une perturbation filtrée par W4 2, Le problème standard a donc maintenant 3 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans le cas précédenl. Figure 7.5 - Sylllhèse H Œl standard d',m correcteur 1 ellfrées • J sortie Les pondérations et les fonctions représentées par les différents pavés sont les mêmes que pour le problème précédent. Nous avons repris pour les filtres Wl, W2, W3 les pondérations choisies au paragraphe 1.3. La synthèse s'effectue donc uniquement par itération sur W4, qui sera choisi constant. On observe que pour de fortes valeurs de W4, le correcteur ignore la mesure supplémentaire qui est fortemenl perturbée: on retrouve donc le comportemenl oblenu avec le correcteur précédent En diminuant W4, la mesure supplémentaire est progressivemenl prise en comple. On observe notamment une augmentation du gain en basse fréquence des fonctions de transfert vIe et V 1a du correcteur, une légère diminution des marges de stabilité, une diminution du dépassement sur la réponse à la consigne el une réponse moins forte et plus rapide à la perturbation. On choisit finalemenl W4 0,5, La synlhèse conduit à 'Y = 1,117 . Comme précédemment, le correcteur initial d'ordre 7 a été rédui l à l'ordre 4. La figure 7.6.(/ montre comment les gabarits choisis agissent sur les diflërents transferts, Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.6.b) mel en évidence une politique de conection en haute fréquence différente du cas précédent. e, :! La présence de cette perturbation est nécessaire pour satisfaire les hypothèses de Glover-Doyle. Elude d'un cas d'application 107 La ~ -analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment On obtient quasiment les mêmes résultats, avec un maxÎmum de la borne supérieure égal à 0,824 (ligure 7.6.c). l/w, , y/w. el rJr 1/w1/w3 . ï/Wl/Wl el db 0 50r-----~------~ ·50 ·100 ·150 o 10 1/W2 , y/W2 et u/r 50r-------------~ 10" l/w-;,/wJ , y/w;,JwJ et u/b 100 0 o ·100 ·50 '------~----------' 10° ·200 0 10 FigIlre 7.6.{/ . Principal/x /mw,fcrt.\', et gaharits correspolldaJlts Gain (dB) Bornes supérieure el inlérieure de mu 100r---~----r----r----r----r--~ 50 .---.-•.. -.. -...----... +----. i . --.........._".--.... -..---.--.... -(.-.. - O.Br---f----t-++ 1 o _._1.___ ______.~~ :-2~~~' ~_ 1 1 -50 ---..-----t-----.- ----.. -----.. 1 -100 ·1~900 1 -600 ·500 -400 -300 -200 ·100 Phase (denrés) Figl/re 7.6.b - Diagrammes de BI{/ck de III 0.2 " 10 10' borne supérieure de mu en w :0 0 --> 0.475 Figllre 7.6.c . Ré.\'III/{/ts de ~l ·analyse boucle oUI'eJ'te corrigée, (/l'atll et après ré· dllC/ioll Les réponses en boucle ouverte Uigure 7.6.d) évitent correctement le point critique, les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.6.e) occupent des positions assez voisines de celles obtenues par la synthèse précédente. On note l'amélioration des réponses indicielles (ligures 7.6/ et 7.6.g), qui présentent un dépassement et un 108 Commande H et )l.analyse : des outils pour la robustesse rfJ temps de réponse plus faibles, de sorte que les performances demandées sont maintenant obtenues. Gain (dB) valeurs propres en B.F. 40 30 20 10 o -10 -20 -30 -40 -50 -~200 -350 -300 -250 -200 -150 -, 00 -50 o -50 -50 Phase (denrés) -40 -30 -20 1.s§an I,: total 23§com . . . _ . . . .T;. ._.. . . . . . 0.4~anÇ]ljtotal 0.3 . .. . .;,. . . . . . . . o~comTande Q : ande : t 0.5" ··········T·············· o' o 1 1" : .......... (............. 0.2' 0 .....; -1' 1 20 o Fig/lre 7.6.e . Valeurs propres en bOllcle fermée Figure 7.6.tI· Diagral/lmes de Black de la boucle ouverte corrigée , .... -10 ! ..........~............... -0.5' ........... : ............... . : -, .......... ,!" ... 0.1' ......... ,. ;............... 0 ' 1 20 -1.5 20 . , 2 theta 0.3lli~ t.. ·.. ···· .... . 0.1 ............ L 0.2" 2 Figure 7.6.f - Rêpomes cl la référe1lce 00 ........ 1 2 Figure 7.6.g . Réponses à la perturhatio1/ 7.5. Synthèse HOC) standard d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf3gui) est donné sur la figure 7.7. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du Etude d'un cas d'application 109 correcteur l'angle a. considéré après une perturbation filtrée par W5 3. Le problème standard a donc maintenant 4 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans les 2 cas précédents. Figure 7.7 - Synllrèse H ctJ standard d'lfu correC1ClIr 3 entrées - J sortÎe Nous avons repris pour les nitres W l, W2, W3 et la constante W 4 les pondéralions choisies au paragraphe 7.4. La synthèse s'effectue donc uniquement par itération sur W5, qui sera lui aussi choisi constant. On observe que pour de fortes valeurs de W5, le correcteur ignore la mesure supplémentaire a. qui est fortement perturbée: on retrouve donc le comportement obtenu avec le correcteur précédent. En diminuant W5, la mesure supplémentaire est progressivement prise en compte. On observe une modification légère des réponses fréquentielles du correcteur dans la zone de la résonance. Mais l'effet sur le lieu de Black est important puisqu'elle éloigne la réponse en sortie de bande passante de la zone critique. L'effet est assez négligeable sur les réponses du modèle de synthèse, mais très important sur l'allure des réponses des autres modèles, qui gagnent en amortissement. On choisit finalement W5 0,1. La synthèse conduit à y = 1,106. Le correcteur initial d'ordre 7 est réduit à l'ordre 4. La figure 7.8.a montre comment les gabarits choisis agissent sur les différents transferts. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.8.b) montre une amélioration notable de la marge de gain par rapport aux cas précédents. 3 Là encore, la prést:ncc de ceHe pt:rturbation permet de satisfaire Ics hypothèses de Glover-Doyle. 110 Commande HCfl et Il-analyse: des outils pour la robustesse La Il-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment. On obtient des résultats un peu meilleurs, puisque Je maximum de la borne supérieure est égal à 0,760 (figure 7.S.c) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,39 pour toute valeur des paramètres dans Jes intervalles suivants: Ks1ill E [0,897 ; 2,119] N m et J lOdd E [0,00191 ; 0,00826] Kg m 2 Les réponses fréquentielles en boucle ouverte évitent toujours correctement le point critique mais surtout le déplacement de la résonance siefTectue loin de celui-ci (figure 7.8.d). Les valeurs propres de la boucle fermée présentent de meilleurs amortissements que lors des synthèses précédentes (figure 7.8.e). Les réponses indicielles (figures 7.8/ eL 7.8.g), présentent un dépassement CL un Lemps de réponse faibles, et sont surtout moins oscillantes et plus homogènes que dans les synthèses précédentes. Les performances demandées sont ainsi atteintes. On peut donc conclure que la prÎse en compte des 3 mesures r, a et El comme entrées indépendantes du correcteur apporte un gain significatif en termes de performance et de robustesse. ,·lw, et rJr 1/w, 50 1/W,/W3 1 y/w,/wJ el rJb 0 -50 -100 0 -150 n 10 1/W2/WJ , ylW~/Wl el u/b 10 1jw~ , y/w;; et u/r 50 50 0 a -50 -50 0 10 -100 0 10 Figure 7.B.a - Principaux 1ral/sferts, el gabarits c01TeSpol1dallts Etude d'un cas d'application 111 Gain (dB) 100 50 -----~--~----_+----~----~~__4 or..--'--,-I,-·---·-r-----~-----+ ·500 ·400 ·200 -:300 -100 PhasD (degrés) Figl/re 7.B.b DÙlgrammes de Black de la boucle oHl'erle conigée, avcml et après réduction Gain (dB) 10' l 10' 10 borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475 Figure 7.B.c - Résullals de J-l-analyse valeurs propres en B.F. ·350 ·300 ·250 -200 -150 -100 -50 0 Phase (deÇJrés) Figure 7.B.t! Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée -30 -20 -10 o Figure 7.B.e - Valcurs propres en boucle fermée J 12 Commande Ha;, ct J.1-ilnalyse : des outils pour la robustesse :glo", ~:m"" .~.~~_I~:~:~_- 1 0,1"'-1 1':8 00 1 2 Iheta 2 1 2 2 :':§a-~~- ooo;m·_·,·~IP~a ______---- alpha 1 0.5 .. 00 , 0.1 - L __ _ 1 -0.0 1 00 1 2 2 Figllre 7.SJ - Réponses à la référence 7.6. Synthèse fI cr] 00 1 2 -0.10 2 1 Figure 7.8.g - Réponscs il la per/lll'batioll par "Ioop-shaping" d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie Rappelons que cette approche demande tout d'abord de choisir un précompensateur et un poslcompensateur, avant optimisation H Xl' Le schéma adopté (schéma Simulînk hlsgui) est donné sur la figure 7.9. Les différents fillres onL élé choisis à partir des considérations suivantes: --'""'-~D erreur alpha Figure 7.9 - Synthèse H o:l par "'oop-shapÎl1g" d'ull correcteur 3 clltrées - 1 sor/ie Etude d'un cas d'application 113 - le précompensateur W 1 est un mtre passe-bas destiné à liltrer les hautcs fréquences pour produire un effct de roll-off: on a donc choisi sa fi'équence dc coupure au-delà de la bande passante de l'asservissement. - le postcompensateur W2 cst composé d'un Pl sur l'cHctlf d'asservisscment, et de gains sur les mesures supplémentaires 0 et a. On constate que la constante d'action intégrale du premier joue son rôle habituel: si elle diminue. la réponse à la perturbation rcvient plus rapidement à 0, et l'erreur de traînage sur la réponse à une rampe diminue. - le deuxième terme de W2 permet d'ajuster le compromis entre dépassement sur la réponse à l'échelon et erreur de traînage sur la réponse à une rampe. - le troisième terme de W2, comme dans la synthèse H cr:J standard, permet d'éloigner la réponse en sortie de bande passante de la zone critique dans le plan de Black, et donc d'améliorer la robustessc. On a ainsi choisi: 10 Wd s ) = - s+IO 4s+8 W:!(s) = diag { -.s-'-; 1 ; 20 lf (7.12) La synthèse conduit à y min = 2,663, soit une valeur considérée comme asscz faibIc dans cette méthode. Le corrcctcur H cr.: initial d'ordre 5 est réduit à l'ordre 2 (l'ordre du correcteur total passe donc de 7 à 4). La figure 7.1 O.a montre le module de la boucle ouverte avant optimisation H en comparé au même tracé à l'issue de l'optimisation J-J C1l ' avant et après réduction du correcteur. Elle permet de vérifier que le calcul du correcteur (ainsi que la phase de réduction) ne modifie pas fondamentalc111cntl'allure du tracé obtenu par le choix des pré- et postcompensateurs. La figure 7.1 O.b montre les principaux transferts obtenus, qui ont des allures comparables à celles obtenues en synthèse standard. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (ligure 7.1 O.c) met en évidence des marges de stabilité satisfaisantes pour le modèle de synthèse. La ~l-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que pour les synthèses précédentes. On obtient pour la robustesse les meilleurs résultats de toutes les synthèses, puisque le maximum de la borne supérieure est égal à 0,601 (figure 7.1 O.t!) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,49 pour loute valeur des paramètres dans les intervalles suivants: 1 K.\.tij( E [0,746 ; 2,270] Nm et l'oad E [0,00174 ; 0,01400] Kgm 2 Les réponses fréquentielles en boucle ouverte sont très homogènes avec des résonances qui restent loin du point critique (figure 7.10.e). Les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.1 Of) présentent d'excellents amortissements, les réponses indicielles (figures 7.1 O.g et 7.1 0.1t), présentent des dépassements ct des temps de 114 Commande HO') ct Il-analyse: des ouli1s pour la robustesse réponses un peu plus importants que ceux demandés, el qui étaienl oblenus par la synthèse standard effectuée dans des consÎtions comparables; par contre elles sont moins oscillantes el plus homogènes. rir 1/) rlb :~s:P\l 10' ! 'SO~"00~ ,; S:0 1 10 l -100 0 -150 Cl 10 10" W I Hi' ' 16' 10 I~BU/b -100 10'" ~-W~~~Ull'~~~~~~~~~~ ·C 1()' la·' 10' 10 1d -50 Figure 7. JO.b Principal/x transferts, et gabarits correspondanrs Figllre 7./O.a - COlllrôle du "loop-shape" Gain (dB) Bornes supérîeure el inférieure de mu 0,7 100 0.6 0.5 04 -501-··---+---!0.3 0.2 -600 -500 -400 -200 -100 Phase (degrés) Figure 7./D.c Diagrammes de Black de la boucle Olll'erte corrigée, am/If cr après réduc/ion i !i f ~ 50 -1~90o ·200" 10 0 10 il 1 _ .) / 1 0.1 Il 10 ! 1 ~f,; !t l· ~, ! 1 !I 1 1 1 .ill i 1 i ! li ! ~V1'~ 1 li 1 1 l,II o ..!,~ Il 1 ! II 1 11 10' borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475 Figure 7./0.d - RésullClts de J-l-clIlalyse Elude d'un cas d'application 115 Gain (dB) 40 30 20 10 o ·10 -20 -3D -40 ·50 '~2oo ·350 ·300 -250 ·200 ·150 -100 ·50 o b 1.5§: 'no" i 0.5" ............ :................ O· o 1 Ihela 1 ..............; ...... 2 :m.COI"d~ : 1 ............ .,................ ·1 a ::m-·"~t'~'~' 0 0.1 2 2 ,..,. . . ~ ............. . !............ . -1 ............. -1.5 1 . 20 0.3 ... 0.2" Figure 7. JO.g - Répollses il I{/ ........... ·····~·~~r.n~~ . . . .. o.. · : w · : ·0.5' 1 2 OA~lhela ..····r·.... ·...... ·.. O'ffia'~hil . 1 : ..,............... . 20 05:" o o ....... 0.1' .............;. . 1 alpha o -iD jCl1llt!t.! 0.2' 0 ........... : ·20 Figl/re 7.10/ - V,J1curs prol'I'l'S CI! boucle Figure 7.10.e • Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée 1.5 1 .............; 10'" . ......... -30 ·40 Phase (de\jres) r~réreJ/ce o o 0.05' ........ ··ô···· .... ······· ........ ,. ....: ........... 1 Figure 7./0.11 - O' -0.0 .........~.............. .. . ............................. . 41 201 RépOIl.H!S 2 cl la perturbatioll 7.7. Conclusion Les deux méthodes de synlhèse fi (synthèse H ~ -standard ou H":l par "loopshaping") ont été appliquées sur ce cas d'étude. Le choix de l'une ou l'autre mélhode peUL être guidé par les connaissances que l'on a li pr;cJri sur le processus. La possibilité d'ajout progressif d'entrée ou de sortie dans le crilère fail de la synthèse H':Fjstandard une très bonne approche pour un problème nécessitant des pondérations diverses, par exemple en présence de bruits ou même de non-linéarités, ou encore pour oplimiser une partie du cahier des charges (telle que le classique compromis entre robustesse el temps de réponse). CF,) 116 Commande Hen et )l-analyse : des outils pour la robustesse La synthèse H en par "Ioop-shaping" est très cfficace lorsqu'on veut réutiliser les connaissances acquises tors de synlhèses de correcteurs classiques. Ellc pcrmet souvent d'cn améliorer les qualités ou de pouvoir simplement, à partÎr de correcteurs classiques disposés dans chaque boucle de commande, passer à un correcteur multivariable. Enfin ces deux méthodes peuvent en partie être utilisées de façon complémentaire, chacune offrant un point de départ à l'auLre si le besoin s'en rait senlir. Bibliographie [ACOB1 P. Apkarian, J.P. Chrétien, P. Gahinet, J .M. Biannic. " ~l-Synthesis by DK Iterations wiLh Constant Scaling". Americal1 COll/roi COI~f., pp. 31923196, San Francisco, 1993. [ApBO] P. Apkarian, J.M. Biannic, P. Oahinet. "Self-Scheduled fief) Control Missile via Linear MaLrix Inequalities". J. of Cuid[lIlce, Control and DylIamics, vol. 18 nO 3, pp. 532-538, 1995. [ApOal P. Apkarian. P. Oahinet. "A Convex Characterization of Gain-Schedulcd fi Controllcrs". IEEE Tra 11 S. Auton1. Co III ro l, AC 40 nO 5, pp. 853-864, 1995. [BccJ C. Beek. "MinÎmality for Uncertain Systcms and IQC's". 33 rd COllf 01/ Decision ami Control, pp. 3068-3073, Lake Buena Vista, Floride, 1994. [BeCh] C.M. Belcastro, B.C. Chang. 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