Transcript
Funciones vectoriales
Teoría de funciones. Función vectorial. Límites, continuidad. Derivadas. Regla cadena. Integrales. Movimiento sobre una curva. Aceleración. Cinemática
Funciones vectoriales
En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente conveniente introducir un vector r con las funciones funciones f y g como componentes.
Se dice que r es una función vectorial. vectorial. De manera manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones
Una función vectorial se expresa como:
Cuando t varia es posible imaginar imaginar que la curva C esta esta siendo trazada trazada por la punta móvil de r(t)
Ejercicios:
1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial
Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones, ecuaciones, Se ve que los puntos puntos de la curva curva están situados en en el cilindro circular X2 + y2 = 4
2.- trazar la grafica correspondiente a la función vectorial
los puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4 el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy
obtengo la función vectorial que describe la curva c de intersección del plano y = 2 x y el paraboloide z = 9 x2 -y2 si hacemos x = t, entonces y = 2t, y de esta manera z = 9 - t2 - 4 t2 = 9 -5t2
Calculo de funciones vectoriales
Limites y continuidad
La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos de los limites de las funciones componentes
TEOREMA
Derivadas de funciones vectoriales La derivada de una función vectorial r es
Interpretación geométrica de r’(t)
Si el vector r’t no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p.
Ejercicios:
2.- obtener ecuaciones de parametricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones son parametricas son x = t2 y = t2 - t z = -7 t en t =3 la función vectorial que indica posición de un punto p de la curva es r(t) = r2 i + (t2 -t )j - 7 tk r’t = 2 ti + (2t -1)j -7k r’(3) = 6i + 5j -7k. Que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es r’(3)= 9i +6j -21k esto es, p(9,6,-21). Empleando las componentes de r’(3), vemos que x =9 + 6t
y =6 +5t z = -21 -7t
son ecuaciones parametricas de la recta tangente.
Derivadas de orden
Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función vectorial se obtiene también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada tenemos r'’ = f'’(t)i + g'’(t)j + h'’(t)k. Ejemplo: r(t) = (t3 - 2t2 )i + 4tj + e-tk , r’(t) = (3t2 -4t)i + 4j - e-tk r'’(t) = ( 6t -4)i + e-tk
regla de cadena
si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable, entonces de r(s) con respecto a t es dr/dt = dr/ds ds/dt = r’(s) u’ (t) Ejemplo: Si r(s) = cos 2si + sen 2sj + e-3sk, en donde s = t4 , entonces
integrales de funciones vectoriales
si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por:
Movimiento sobre una curva
Velocidad y aceleración
Supóngase que un cuerpo o una partícula móvil describe una trayectoria C, y que su posición en ella esta dada por la función vectorial R(t) = f(t)i + g(t)j +h(t)k En donde t representa el tiempo. Si f, g y h tienen segundas derivadas, entonces los vectores V(t) = r’(t)= f’(t) + g’(t)j + h’(t)k a(t) =r'’(t) =f'’(t)i + g'’(t)j + h'’(t)k se llaman velocidad y aceleración de la partícula, respectivamente. La función escalar v(t) = dr/dt = (dx/dt)2+ (dy/dt)2+dz/dt)2 la longitud esta relacionada con la longitud de arco s mediante s’(t) = v(t) s=
v(t) dt
Ejemplo1:
La posición de una partícula óvil esta dada por V(t)= t2i +tj + 5/2 tk Trazar la trayectoria y los vectores v(2) y a(2). Como x = t2 , y = t , la trayectoria de la particula se encuentra por arriba de la x = y2. cuando t =2 el vector de posición r(2) = 4i + 2j + 5k indica que la particula esta en el punto p(4,2,5). V(t) = r’(t) = 2ti + j + 5 /2 k A(t) = r'’(t)=2i V(2) = 4i +j +5/ 2 k
a(2)= 2i
Aceleración centrípeta
El vector aceleración a(t) = r'’ (t) apunta en la dirección opuesta a la del vector de posición r(t). Entonces a (t) es una aceleración centrípeta Si v = v(t) y a = a(t) demostrar que a = v2 / r0.
Movimiento curvilíneo en el plano
La aceleración de la gravedad expresada en forma vectorial es:
a(t) = -gj si un proyectil se lanza con una velocidad inicial vo =vo cos
i + vo sen j, desde una altura inicial so = so j , entonces v(t) = (-g j) dt = -gtj + c1 Ejercicios:
r(t) es el vector de posición de una partícula móvil calcule la rapidez 1.- r(t) = t2 i + ¼ t4j; t = 1
Componentes de la aceleración curvatura
Vector tangente unitario y vector normal unitario principal
sea C una curva en el espacio descrita por r(t) = f(t) + g(t) +H(t)k, en donde f g y h tienen segundas derivadas. Vector tangente unitario T = r’ (t) / r´(t) Vector binormal unitario Vector unitario definido mediante
B=TXN Los tres vectores unitarios T,N,B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha, llamado triedo móvil
Radio de curvatura
El reciproco de la curvatura , p = 1/k se llama radio de curvatura. El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra. Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia.
