Transcript
CURVE CELEBRI DELL’ANTICHITA’ “La matematica è un grandioso e vasto paesaggio aperto a tutti gli uomini a cui il pensare arrechi gioia, ma poco adatto a chi non ami la fatica del pensare” Immanuel Lazarus Fuchs Vediamo le proprietà di alcune curve celebri dell’antichità. IL FUSO CIRCOLARE Una di queste è il celebre fuso, la cui forma ricorda uno dei principali strumenti usati nel passato in ambito pastorale. Esso si ottiene intersecando due circonferenze i cui centri corrispondono a due vertici opposti di un quadrato e i cui raggi sono congruenti al lato del quadrato stesso.
Proprietà 1: L’ area del fuso circolare è congruente alla differenza tra la somma delle aree dei due settori circolari di 90° (quadranti di cerchio) e l’area del quadrato. stesso.
[
]
Dimostrazione: Sia ABCD un quadrato di lato l. L’area del fuso SF si può calcolare come il doppio dell’area S del segmento circolare verde scuro individuato dalla diagonale del quadrato AC e dall’arco AC. Poiché l’arco AC insiste su un angolo di 90°, l’area S si calcola facendo la differenza tra 1/4 del cerchio di raggio pari a BC e l’area del triangolo ABC: (
)
Calcoliamo ora la differenza tra la somma delle aree dei due settori circolari di 90° e l’area del quadrato stesso: ( ) che è pari a quanto calcolato in precedenza
Proprietà 2: Il perimetro del fuso è uguale alla lunghezza della semicirconferenza avente come raggio un lato del quadrato.
Dimostrazione: Poiché gli archi che formano il fuso insistono su angoli di 90°, il perimetro di uno di tali archi è pari alla lunghezza di un quarto di circonferenza ; per cui il perimetro del fuso sarà pari alla lunghezza della semicirconferenza di raggio : 2Pfuso = 2
LA PELECOIDE Anche la pelecoide è una figura ispirata ad un oggetto d’uso quotidiano; essa infatti è simile ad una scure, ed infatti pelecoide in greco, significa proprio “a forma di scure”. Vediamone la costruzione e le proprietà. Preso il diametro AB di una circonferenza, fissiamo 2 punti C e D, con AC < AD e con AC=DB, e descriviamo quattro semicirconferenze: le prime due di diametro AC e AD opposte rispetto a quelle di diametro CB e AD. La figura in questione è quella racchiusa dalle 4 semicirconferenze.
Proprietà1: La pelecoide ha il perimetro congruente alla circonferenza di diametro AB. Dimostrazione: Determiniamo la lunghezza della semicirconferenze che la formano. (
pelecoide )
(
sommando )
(
la )
lunghezza (
delle
)
che è la lunghezza della circonferenza di diametro AB Proprietà2: L’area della pelecoide sta all’area del cerchio di diametro AB come CD sta ad AB. Dimostrazione: Calcoliamo l’area della pelecoide e del cerchio di diametro AB.
[ (
)
( ) ]
[ ( )
(
) ]
[(
)
( ) ]
Poiché AD=AB-DB=AB-AC ( [
) (
[(
)
]
(
)
)]
)(
(
Moltiplico Spelecoide per AB Moltiplico Scerchio per CD
)(
(
)(
)
)
Ne risulta che sono uguali; perciò, applicando la proprietà delle proporzioni secondo cui il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, troviamo la relazione cercata:
IL TRIFOGLIO
Inscriviamo dentro una circonferenza di raggio r il triangolo equilatero ABC. Per ogni vertice disegniamo un segmento circolare che ha come corda il lato del triangolo. Ottenuamo così un trifoglio. Proprietà1: L’area del trifoglio è uguale alla differenza tra la somma dei tre settori circolari costruiti sui lati del triangolo e il triangolo stesso.
Dimostrazione: Inscriviamo dentro la circonferenza il triangolo equilatero ABC, il cui lato
√ . La
sua area sarà data da: √ √ Congiungendo poi il centro O della circonferenza con i vertici del triangolo si ottengono 3 triangoli isosceli con angolo al vertice O di 120°. Calcoliamo prima la differenza tra la somma dei tre settori circolari costruiti sui lati del triangolo e il triangolo stesso. √
Considero il triangolo AOB; la sua area
Troviamo ora l’area del settore circolare di centro O che insiste sull’arco AB:
.
Per trovare l’area del segmento circolare costruito sul lato AB del triangolo, sottraggo le due aree appena calcolate: √ Moltiplichiamo per 3 e sottraiamo da tale valore l’area del triangolo: √
(
)
(
√
)
√
√
(
√
)
Calcoliamo ora l’area del trifoglio, calcolando, con riferimento alla figura, l’area di una sua parte azzurra, racchiusa dal raggio e dalla corda OB. L’angolo ottuso alla circonferenza che insiste sul lato AB è di 120°, per cui ̂ . Per cui l’area azzurra, calcolata come differenza tra un settore circolare di ampiezza 60° e il triangolo ODB, sarà: √ L’area del trifoglio sarà pari a quanto calcolato in precedenza: √
Proprietà 2: Il perimetro del trifoglio è uguale alla lunghezza della circonferenza in cui è inscritto. Dimostrazione: L’angolo ottuso alla circonferenza su cui insiste un qualunque lato del triangolo ABC è di 120° e quindi la lunghezza dell’arco AB è pari a . Di conseguenza il perimetro del trifoglio è dato da: (
)
che è proprio pari alla lunghezza della circonferenza in cui è inscritto.
IL TRIANGOLO CURVILINEO Il triangolo curvilineo HDG è un particolare triangolo i cui lati circolari sono ottenuti da tre circonferenze tangenti esternamente l’una all’altra. Ogni lato del triangolo curvilineo è perciò dato dall’arco di circonferenza delimitato dai punti di tangenza D, H e G con le altre due circonferenze.
Proprietà 1: Il perimetro del triangolo curvilineo è uguale alla semicirconferenza di raggio r ( ) Dimostrazione: Congiungo i centri A, C e E delle tre circonferenze passando per i punti di tangenza. Poiché AC=CE=EA=2r, allora il triangolo ACE è equilatero. Di conseguenza gli angoli nei vertici A, C e E sono di 60° e quindi gli archi DG,GM e MA sottesi da tali angoli sono uguali a . Il perimetro del triangolo mistilineo è pari a: ( ) che è la lunghezza della semicirconferenza di raggio r: Proprietà 2: L’area del triangolo mistilineo è uguale alla superficie del triangolo formato dai punti di tangenza meno i 3 segmenti circolari. Dimostrazione: I punti D, M e G sono i punti medi del triangolo equilatero ACE e quindi DM=MG=GD=r ; quindi il triangolo DMG è equilatero e la sua area è: √
Ricordando che l’angolo in E è di 60°, l’area del segmento circolare MFG sarà data da:
√
(
√
)
L’area triangolo curvilineo possiamo calcolarla sottraendo all’area del triangolo DMG tre volte l’area del segmento circolare MFG: √
√
(
)
√
√
(
)
(√
)
che è proprio pari alla differenza tra l’area del triangolo ACE (che è un triangolo equilatero di lato 2r) meno l’area dei tre settori circolari (ognuno dei quali insiste su un angolo di 60°) (
)
√
(
)
(√
)
LA LUNULA Gli studi sulle proprietà geometriche della lunula si devono attribuire ad Ippocrate. Il fatto che questo matematico greco del V secolo a.C. avesse studiato le particolarità della lunula, è ben noto in un frammento di “Elementi della geometria”, libro purtroppo andato perduto. La figura si ottiene costruendo sull’ipotenusa AB di un triangolo rettangolo isoscele ABC la semicirconferenza di diametro AB e tracciando poi un arco di circonferenza che ha centro in C e come raggio il cateto del triangolo; la parte di piano racchiusa dai due archi di circonferenza è la lunula, ovvero lo spicchio della luna.
Proprietà 1: La superficie della lunula è uguale a metà del quadrato di lato AC. Dimostrazione: Calcoliamo la superficie della lunula come differenza tra l’area del semicerchio di diametro AB e l’area del segmento circolare individuato dalla corda AB e dal secondo arco di circonferenza tracciato. Area della semicirconferenza di diametro AB =
( √ )
( )
Area del segmento circolare = Area del settore di 90°- Area del triangolo ABC = (
)
che è metà dell’area del quadrato di lato AC. Proprietà 2: Il perimetro della lunula è equivalente alla semicirconferenza che ha come diametro l’ipotenusa più il cateto. Dimostrazione: Il perimetro della Lunula si può calcolare come somma delle lunghezze degli archi di circonferenza che la racchiudono: la semicirconferenza di diametro AB ha lunghezza = ( ) l’arco del settore AB ha lunghezza = Per cui: ( ) che è la lunghezza della semicirconferenza che ha come raggio l’ipotenusa AB più il cateto BC.
