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Diagrama de Venn Árvore de Refutação

Equipe: Arinaldo Segundo Marcondes Amorim Rodrigo Bruno Yuri Cariry Wesley Cruz UFCG- 13 de agosto de 2008

Sumário
Silogismos Categóricos  Proposições Categóricas  Diagrama de Venn  Árvore de Refutação  Conclusão  Bibliografia
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Silogismos Categóricos
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Em Cálculo de Predicados estamos interessados em examinar a validade de argumentos, isto é, em que condições uma dada afirmação se segue logicamente de fatos conhecidos. Os argumentos são mais complexos que no Cálculo Proposicional, principalmente pela presença de quantificadores e variáveis. No entanto, existe uma classe de argumentos, no Cálculo de Predicados, na qual as provas de validade e invalidade são extremamente simples. São os chamados Silogismos Categóricos.

. no todo ou em parte.Proposições Categóricas  São afirmações sobre conjuntos (ou classes. ou categorias) de elementos. afirmando ou negando que uma classe esteja contida na outra.

exemplificadas abaixo: ◦ ◦ ◦ ◦ Todo gato é um felino Nenhum político é desonesto Alguns felinos são ferozes Alguns políticos não são desonestos .Proposições Categóricas  Há quatro formas típicas de proposições categóricas.

Sua forma simbólica é : ∃ x (Sx ∧ ¬ Px) . Sua forma simbólica é: ∀x (Sx → ¬ Px) 3) Proposição Particular Afirmativa.Proposições Categóricas             1) Proposição Universal Afirmativa. Sua forma simbólica é : ∃ x (Sx ∧ Px) 4) Proposição Particular Negativa. Sua forma simbólica é: ∀x (Sx → Px). tem a forma: Algum S não é P e indica que existem elementos de S que não estão contidos em P. Tem a forma: Todo S é P e indica que todos os elementos da classe S estão contidos na classe P. Tem a forma: Nenhum S é P e indica que as classes S e P não possuem elementos comuns.Tem a forma: Algum S é P e indica que alguns membros da classe S pertencem também à classe P. 2) Proposição Universal Negativa.

que viveu no século XIX.    As proposições categóricas podem ser representadas graficamente. através de um esquema conhecido por Diagramas de Venn. para indicar que a classe possui pelo menos um elemento. sombreamos o interior do círculo. Nos diagramas de Venn. utilizado pela primeira vez pelo matemático inglês John Venn. rotulada com o nome da classe. incluímos um X no círculo . cada classe é representada por um círculo. para representar a proposição que afirma que a classe não possui elementos.

 Se J representa o predicado "ser jovem" temos os diagramas abaixo: .

 Os enunciados categóricos podem ser representados como segue : .

Transferimos para o diagrama. Verificamos se informação dada na conclusão esta aí representada sem nenhuma condição e de modo único. Se isto ocorre então o argumento é válido. formado por três círculos. . 2. Para verificarmos a validade de um argumento categórico procedemos como segue: 1. iniciando pelos enunciados universais. as informações das premissas. 3.

o que é dito pela conclusão. o silogismo é válido. as duas premissas afirmarem em conjunto. será inválido. caso contrário.  . e unicamente se.Diagrama de Venn  O silogismo será válido se. se o que se afirma na conclusão ficar também diagramado.

(2) Alguns cientistas são inventores. a parte assinalada com X corresponde ao enunciado (2). Portanto o argumento é válido. (3) Alguns estudiosos são inventores.(1) Todos os cientistas são estudiosos. Dessa forma. A parte hachurada corresponde ao enunciado (1). . vazia de elementos. as informações das premissas forem transferidas para o diagrama e a conclusão (3) está representada.

Vemos que o argumento é válido pelo diagrama acima. . (3)Todos os paulistas são felizes.(1)Todos os brasileiros são felizes. (2)Todos os paulistas são brasileiros.

A validade de um argumento não depende do conteúdo dos enunciados e sim da sua forma e da relação entre as premissas e a conclusão. Desse modo o argumento não é válido pois a conclusão  não está representada com absoluta certeza. .(1) Nenhum estudante é velho . A premissa (1) está representada na região hachurada e a premissa (2) está marcada com X sobre a linha pois a informação correspondente pode estar presente em duas regiões e não temos informação para saber especificamente em qual delas. (2) Alguns jovens não são estudantes. (3)Alguns velhos não são jovens.

.Diagrama de Venn (1) (2) (3) Tigres são animais ferozes. que é o que afirma a conclusão. Alguns tigres vivem na Índia. Logo. “Algum F é I”. mostrando a validade do silogismo. alguns animais ferozes vivem na Índia.

Sócrates é humano. indicando que o argumento é válido. afirmando que Todo S é M. Sócrates é mortal.Diagrama de Venn (1) (2) (3) Todos os humanos são mortais. Sócrates é mortal “pode ser reescrita como “Todo Sócrates é humano ” A única parte da classe S que não é vazia está incluída na classe M. Logo. isto é. .

. portanto. e nada nos obriga a inserir o X dentro de C. Essa interseção tem duas regiões. devemos incluir um X na interseção entre G e F. “alguns gatos são ferozes”. O argumento é inválido.Diagrama de Venn vejamos um argumento inválido: (1) Todos os cães são ferozes (2) Alguns gatos são ferozes (3) Logo. alguns gatos são cães  Para representar a segunda premissa. uma interna a C e outra externa. Inserindo X na região externa à C. deixamos claro que é possível atender às duas premissas sem atender à conclusão.

que serão especificadas abaixo. e gerando novas linhas na árvore. A árvore continua abaixo com a construção de seus ramos por aplicações de regras. .ÁRVORE DE REFUTAÇÃO é um método para verificar a validade de um argumento. análogo à demonstração por absurdo. Para testar-se a validade de um argumento constrói-se uma lista de fbfs (funções bem formadas) consistindo de suas premissas ea negação da sua conclusão que formam a raiz da árvore.

isto é. Se em algum ramo da árvore não foi possível encontrar uma fbf F.  . então a tentativa de refutação falhou ou seja.  Se encontrar-se em todos os ramos da árvore uma fbf F.A árvore termina quando as fbfs de seus ramos são: variáveis proposicionais. negações de variáveis proposicionais. o argumento é válido. ou quando encontrarmos em todos os ramos uma fbf F . o argumento não é válido. então refuta-se o argumento.

 Exemplo: Construir uma árvore de refutação para mostrar que: Escreve-se a premissa e a negação da conclusão: premissa Conclusão      .

podemos substituir por e gerando as linhas 3 e 4. daí. respectivamente. . Uma fórmula marcada não poderá mais ser utilizada na construção da árvore!     . e marcando a fbf . Sabe-se que é verdadeira sse se e são ambas verdadeiras.

 Como é verdadeira sse é verdadeira. marca-se e substituí-se por gerando a linha 5:      .

encontrou-se nas linhas 3 e 5 uma fbf F . Isso será expresso escrevendo um X no final da lista. . portanto. A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obteve-se variáveis proposicionais ou negações de variáveis proposicionais. Por outro lado. nossa tentativa de refutação falhou e portanto o argumento é válido. A busca para uma refutação do argumento dado falhou e. ou seja.          A árvore de refutação está completa. o argumento é válido. gerando a linha 6 e fechando o único ramo da árvore.

Exemplo: Construir uma árvore de refutação para mostrar que:  Iniciamos a árvore escrevendo a lista de fórmulas as premissas e a negação da conclusão:     .

marca-se e ramifica-se a árvore. Sabe-se que é verdadeira se e somente se. Para representar esse fato. gerando a linha 4 com dois ramos:       . é verdadeira ou é verdadeira.

nossa tentativa de refutação falhou e portanto o argumento é válido. ou seja.         A árvore de refutação está completa. Isso será expresso escrevendo um X no final de cada ramo da lista gerando a linha 5 e fechando os dois ramos da árvore. Por outro lado encontra-se uma fbf F em um ramo. nas linhas 3 e 4. nas linhas 2 e 4 e no outro ramo. o argumento dado é válido. Como a tentativa de refutação falhou nos dois ramos. .Árvore de Refutação  A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos variáveis proposicionais ou negações de variáveis proposicionais.

Árvore de Refutação  Exemplo: Construir uma árvore de refutação para verificar a validade do argumento:    .

Árvore de Refutação  Tem-se que marca-se linha 4: é equivalente a . e escreve-se gerando a       . daí.

. marca-se e ramifica-se a árvore gerando a linha 5 com dois ramos:       A árvore terminou e nos dois ramos não há contradições. Neste caso os ramos não serão fechados e o argumento não é válido. ou seja. uma fbf F.Árvore de Refutação  Como no exemplo anterior.

1. as fbfs P e Q respectivamente. em cada linha. 1. Regra da Disjunção : Uma fbf do tipo (P v Q) gera uma linha e dois ramos e escreve-se. na linha e em cada ramo. as fórmulas P e Q . Regra da (~~p) gera uma linha e escreve-se P na linha. Regra da Conjunção : Uma fórmula do tipo (P ^ Q) gera duas linhas e escrevemos.REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE Dupla REFUTAÇÃO fbf do tipo DE Negação (~~) : Uma 1. .

na linha e. em cada ramo. 5. as fbfs ~P e Q respectivamente. Regra da Implicação : Uma fbf do tipo (P -> Q) gera uma linha e dois ramos e escreve-se. Regra da Bi-Implicação : Uma fbf do tipo (P <-> Q ) gera duas linha e dois ramos e escreve-se.REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO  4.  . nas linhas as fbfs ~P e ~Q em um ramo e as P e Q no outro ramo.

as fbfs ~P e ~Q respectivamente. em cada ramo. em cada ramo.  . na linha e. as fbfs ~P e ~Q respectivamente.Regra da Negação da Disjunção: Uma fbf do tipo (~v) gera duas linhas e escreve-se.REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO  6. 7. na linha e.Regra da Negação da Conjunção: Uma fbf do tipo (~^) gera uma linha e dois ramos e escreve-se.

Regra da negação da Bi-Implicação : Uma fbf do tipo ~(P <-> Q ) gera duas linha e dois ramos e escreve-se.REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO  8. 9. nas linhas as fbfs ~P e Q em um ramo e as P e ~Q no outro ramo. as fbfs P e ~Q respectivamente. na linha e. em cada ramo. Regra da negação da Implicação : Uma fbf do tipo ~(P->Q) gera duas linhas e escreve-se.  .

REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO 10. . Ramo fechado : Um ramo será fechado se nele existem uma fbf P e a sua negação ~P e escreve-se no final do ramo.

facilitam a prova ou a refutação de argumentos. são inteiramente baseados nos métodos de prova e nas regras convencionais da lógica de predicados e da lógica proposicional. No entanto. .Conclusão  Tanto o Diagrama de Venn como a árvore de refutação são métodos de prova que quando dominados completamente.

edu. Pinho http://www.pucsp. Antonio A.br/hans/2afeira_MAC_A/MAC_A_Aula06.htm Introdução à Lógica Matemática -Prof.zip Árvore de Refutação Cálculo Diferencial e Integral T 7005 B www2.dsc.inpe.dem.br/~logica/Apostilas/Rio_Apostila.ufcg.Diagrama Venn Predicados www.br/~logica/CalculodePredicados.doc .