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Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Dispense di Matematica Finanziaria, a.a. 2014-2015 Prof. Aggr. Arsen Palestini MEMOTEF, Sapienza Universit´ a di Roma
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Da ora in avanti, in generale, consideriamo un regime finanziario a interessi composti, quindi con funzione di capitalizzazione esponenziale, la sua relativa inversa come legge di attualizzazione, e la forza d’interesse costante δ.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Da ora in avanti, in generale, consideriamo un regime finanziario a interessi composti, quindi con funzione di capitalizzazione esponenziale, la sua relativa inversa come legge di attualizzazione, e la forza d’interesse costante δ. Uno dei concetti fondamentali della Matematica Finanziaria, che ora introdurremo, riguarda la valutazione di una qualsiasi operazione finanziaria x/t, ossia il calcolo del suo valore, ad una qualsiasi data, precedente, intermedia o successiva allo scadenzario dell’operazione.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama valore dell’operazione finanziaria x/t al tempo t la quantit´a:
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama valore dell’operazione finanziaria x/t al tempo t la quantit´a: m
W (t, x) =
∑ xk e δ(t −t ) = k
k =1
=
∑
tk ≤t
xk e
δ(t −tk )
+
∑
xk e −δ(tk −t ) = M (t, x) + A(t, x).
tk >t
(1.1)
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
I due addendi in (1.1) rappresentano rispettivamente il montante generato dagli importi esigibili (o pagabili) alle scadenze anteriori a t (M (t, x)) e il valore attuale delle somme esigibili (o pagabili) in date successive a t (A(t, x)).
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
I due addendi in (1.1) rappresentano rispettivamente il montante generato dagli importi esigibili (o pagabili) alle scadenze anteriori a t (M (t, x)) e il valore attuale delle somme esigibili (o pagabili) in date successive a t (A(t, x)). Definizione Un’operazione finanziaria x/t si dice equa al tempo t se W (t, x) = 0.
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Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Quindi l’equit´a caratterizza un’operazione di scambio in cui, ad un dato istante, il valore delle somme incassate si possa valutare uguale al valore delle somme pagate.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Quindi l’equit´a caratterizza un’operazione di scambio in cui, ad un dato istante, il valore delle somme incassate si possa valutare uguale al valore delle somme pagate. Quando poi la valutazione di (1.1) viene attuata al primo o all’ultimo istante dello scadenzario, abbiamo solo uno dei due addendi, cio´e nel primo caso avremo soltanto il valore attuale e nel secondo solo il montante.
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Valore di un’operazione finanziaria in regime composto V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama valore attuale dell’operazione finanziaria x/t: m
m
W (t1 , x) =
∑ xk e δ(t −t ) = ∑ xk (1 + i )t −t 1
k =1
1
k
k
= A(t1 , x).
k =1
(1.2)
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama valore attuale dell’operazione finanziaria x/t: m
m
W (t1 , x) =
∑ xk e δ(t −t ) = ∑ xk (1 + i )t −t 1
1
k
k
= A(t1 , x).
k =1
k =1
(1.2)
Definizione Si chiama montante dell’operazione finanziaria x/t: m
W (tm , x) =
∑
xk e δ(tm −tk ) =
k =1
m
∑ xk (1 + i )t
m −tk
= M (tm , x).
k =1
(1.3) Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Data l’operazione finanziaria x/t = {10, 20, −30}/{1, 2, 3}, calcolarne il valore dopo 1 anno e mezzo al tasso annuo di valutazione dell’1%.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Data l’operazione finanziaria x/t = {10, 20, −30}/{1, 2, 3}, calcolarne il valore dopo 1 anno e mezzo al tasso annuo di valutazione dell’1%. Ricordando che lo scadenzario ´e espresso in anni, applichiamo la formula (1.1) al tempo t = 1, 5, quindi capitalizzando il primo importo ed attualizzando gli altri 2:
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Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Data l’operazione finanziaria x/t = {10, 20, −30}/{1, 2, 3}, calcolarne il valore dopo 1 anno e mezzo al tasso annuo di valutazione dell’1%. Ricordando che lo scadenzario ´e espresso in anni, applichiamo la formula (1.1) al tempo t = 1, 5, quindi capitalizzando il primo importo ed attualizzando gli altri 2: W (1, 5, x) = 10 · (1 + 0, 01)1,5−1 + 20 · (1 + 0, 01)1,5−2 +
+(−30) · (1 + 0, 01)1,5−3 = 10, 049875+ +19, 900743 − 29, 555560 = 0, 395058 euro. Arsen Palestini
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Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VII Dispense di Matematica Finanziaria
Esercizio Data l’operazione finanziaria seguente:
Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
x/t = {100, −120, −150, x4 }/{1, 2, 3, 4}, determinare x4 in modo che essa sia equa all’istante iniziale t1 = 1 se valutata ad un tasso annuo del 2, 5%.
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Dispense di Matematica Finanziaria
Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VII Dispense di Matematica Finanziaria
Esercizio Data l’operazione finanziaria seguente:
Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
x/t = {100, −120, −150, x4 }/{1, 2, 3, 4}, determinare x4 in modo che essa sia equa all’istante iniziale t1 = 1 se valutata ad un tasso annuo del 2, 5%. Calcoliamo il valore dell’operazione con il tasso richiesto lasciando come incognita l’importo da determinare x4 :
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Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VII Dispense di Matematica Finanziaria
Esercizio Data l’operazione finanziaria seguente:
Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
x/t = {100, −120, −150, x4 }/{1, 2, 3, 4}, determinare x4 in modo che essa sia equa all’istante iniziale t1 = 1 se valutata ad un tasso annuo del 2, 5%. Calcoliamo il valore dell’operazione con il tasso richiesto lasciando come incognita l’importo da determinare x4 : W (1, x) = 100 · (1 + 0, 025)1−1 + (−120) · (1 + 0, 025)1−2 +
+(−150) · (1 + 0, 025)1−3 + x4 · (1 + 0, 025)1−4 = = 100 − 117, 073170 − 147, 772159 + 0, 928599x4 . Arsen Palestini
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Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VII Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Successivamente imponiamo l’ipotesi di equit´a: W (1, x) = 0 ⇐⇒ −159, 845329 + 0, 928599x4 = 0 ⇐⇒
⇐⇒ x4 = 172, 136012 euro.
Arsen Palestini
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Valore di un’operazione finanziaria in regime composto VII Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Successivamente imponiamo l’ipotesi di equit´a: W (1, x) = 0 ⇐⇒ −159, 845329 + 0, 928599x4 = 0 ⇐⇒
⇐⇒ x4 = 172, 136012 euro. Quindi x4 = 172, 136012 euro risulta l’ultimo importo che deve avere l’operazione finanziaria affinch´e sia equa all’istante iniziale rispetto al tasso di valutazione del 2, 5%.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate.
Arsen Palestini
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Introduzione alle rendite I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate.
I singoli capitali della rendita si dicono rate.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate.
I singoli capitali della rendita si dicono rate. Le rendite certe sono quelle a priori fissate nel numero, nell’ammontare e nelle epoche di pagamento.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate.
I singoli capitali della rendita si dicono rate. Le rendite certe sono quelle a priori fissate nel numero, nell’ammontare e nelle epoche di pagamento. Una rendita ´e detta periodica quando le rate sono equiintervallate tra loro.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite
Una rendita ´e detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare.
Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Una rendita ´e detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita ´e detta perpetua se il numero delle rate ´e infinito.
Arsen Palestini
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Introduzione alle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Una rendita ´e detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita ´e detta perpetua se il numero delle rate ´e infinito.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Una rendita ´e detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita ´e detta perpetua se il numero delle rate ´e infinito. In una rendita anticipata il pagamento delle rate avviene all’inizio di ogni periodo.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Una rendita ´e detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita ´e detta perpetua se il numero delle rate ´e infinito. In una rendita anticipata il pagamento delle rate avviene all’inizio di ogni periodo. In una rendita posticipata invece avviene alla fine di ogni periodo.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Con riferimento alla vita quotidiana, in generale il pagamento dello stipendio per i dipendenti ´e effettuato in rate posticipate, mentre per gli inquilini il versamento dell’affitto ai proprietari di case ´e in rate anticipate.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Con riferimento alla vita quotidiana, in generale il pagamento dello stipendio per i dipendenti ´e effettuato in rate posticipate, mentre per gli inquilini il versamento dell’affitto ai proprietari di case ´e in rate anticipate. Si parla infine di rendita unitaria quando tutte le rate, costanti, sono pari ad un’unit´a di capitale.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Con riferimento alla vita quotidiana, in generale il pagamento dello stipendio per i dipendenti ´e effettuato in rate posticipate, mentre per gli inquilini il versamento dell’affitto ai proprietari di case ´e in rate anticipate. Si parla infine di rendita unitaria quando tutte le rate, costanti, sono pari ad un’unit´a di capitale. Uno dei problemi connessi alle rendite ´e la loro valutazione: la determinazione di una somma finanziariamente equivalente alla rendita in un dato istante di tempo (il valore o valore capitale) della rendita. Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite
Valuteremo le rendite usando il regime finanziario ad interessi composti.
Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Valuteremo le rendite usando il regime finanziario ad interessi composti. Chiameremo t0 e tn gli istanti rispettivamente iniziale e finale di decorrenza della rendita.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Valuteremo le rendite usando il regime finanziario ad interessi composti. Chiameremo t0 e tn gli istanti rispettivamente iniziale e finale di decorrenza della rendita. Definizione Il montante di una rendita ´e il suo valore capitale riferito al tempo finale tn .
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Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Pensando alla rendita come ad una successione di somme in entrata, il suo montante ´e il capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all’istante finale, vengono investite al tasso impiegato per la valutazione.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Pensando alla rendita come ad una successione di somme in entrata, il suo montante ´e il capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all’istante finale, vengono investite al tasso impiegato per la valutazione. Definizione Il valore capitale riferito al tempo t0 o ad un altro istante t antecedente a t0 si chiama valore attuale della rendita.
Arsen Palestini
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Introduzione alle rendite V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Pensando alla rendita come ad una successione di somme in entrata, il suo montante ´e il capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all’istante finale, vengono investite al tasso impiegato per la valutazione. Definizione Il valore capitale riferito al tempo t0 o ad un altro istante t antecedente a t0 si chiama valore attuale della rendita. Il valore attuale rappresenta la somma che, impiegata a partire dall’istante di riferimento ed in base alla legge usata per la valutazione stessa, ´e esattamente sufficiente a produrre tutte le rate della rendita alle scadenze previste. Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Introduzione alle rendite VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Se il tempo di riferimento della valutazione t precede quello di decorrenza della rendita, si parla di rendita differita della durata t0 − t.
Arsen Palestini
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Introduzione alle rendite VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Se il tempo di riferimento della valutazione t precede quello di decorrenza della rendita, si parla di rendita differita della durata t0 − t. Se invece l’istante t scelto per la valutazione coincide con l’istante iniziale t0 , la rendita ´e immediata.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Formule fondamentali delle serie geometriche I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Richiamiamo brevemente le principali formule relative alla serie geometrica.
Rendite Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Formule fondamentali delle serie geometriche I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Richiamiamo brevemente le principali formule relative alla serie geometrica.
Rendite Problemi connessi alle rendite
Proposizione La serie geometrica di ragione v : n
∑ vj = v + v2 + . . . + vn
j =1
converge per ogni v tale che |v | < 1, e la somma della serie ´e 1 − vn v· . 1−v
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Formule fondamentali delle serie geometriche II Dispense di Matematica Finanziaria
Prova 1. Proviamo per induzione su n. Per n = 1 si ha banalmente:
Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
1
∑ vj = v = v
j =1
1 − v1 = v, 1−v
verificata per ogni v .
Arsen Palestini
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Formule fondamentali delle serie geometriche II Dispense di Matematica Finanziaria
Prova 1. Proviamo per induzione su n. Per n = 1 si ha banalmente:
Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
1
∑ vj = v = v
j =1
1 − v1 = v, 1−v
verificata per ogni v . 2. Il secondo passo della prova per induzione richiede che si prenda la tesi del teorema come ipotesi per n, e si provi la stessa relazione per n + 1. Bisogna dunque provare l’identit´a:
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Formule fondamentali delle serie geometriche II Dispense di Matematica Finanziaria
Prova 1. Proviamo per induzione su n. Per n = 1 si ha banalmente:
Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
1
∑ vj = v = v
j =1
1 − v1 = v, 1−v
verificata per ogni v . 2. Il secondo passo della prova per induzione richiede che si prenda la tesi del teorema come ipotesi per n, e si provi la stessa relazione per n + 1. Bisogna dunque provare l’identit´a: n +1
∑
vj = v ·
j =1 Arsen Palestini
1 − v n +1 . 1−v
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Formule fondamentali delle serie geometriche III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Prova Prima di tutto, scriviamo la somma a primo membro, che risulta: n +1
∑
n
vj =
j =1
Arsen Palestini
∑ v j + v n +1 ,
j =1
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Formule fondamentali delle serie geometriche III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Prova Prima di tutto, scriviamo la somma a primo membro, che risulta: n +1
∑
n
vj =
j =1
∑ v j + v n +1 ,
j =1
che per l’ipotesi induttiva ´e uguale a: 1 − vn 1 − v n +1 1 − vn v + v n +1 = v + vn = v , 1−v 1−v 1−v da cui segue la tesi.
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Formule fondamentali delle serie geometriche IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Passando al limite per infiniti termini della serie, otteniamo 2 formule utili: ∞
n
j =1
j =1
v
lim ∑ = . ∑ v j = n−→+ ∞ 1−v
Arsen Palestini
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Formule fondamentali delle serie geometriche IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite
Passando al limite per infiniti termini della serie, otteniamo 2 formule utili:
Problemi connessi alle rendite
∞
n
j =1
j =1
v
lim ∑ = . ∑ v j = n−→+ ∞ 1−v
∞
∑ vj = v0 +
j =0
∞
j =1
Arsen Palestini
v
∑ vj = 1 + 1 − v
=
1 . 1−v
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore attuale e montante di una rendita I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Consideriamo i il tasso annuo d’interesse e v = (1 + i )−1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1).
Rendite Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
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Valore attuale e montante di una rendita I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Consideriamo i il tasso annuo d’interesse e v = (1 + i )−1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1).
Rendite Problemi connessi alle rendite
Il valore attuale di una rendita rappresenta il capitale che, investito al tasso d’interesse i per la durata di n anni a partire dall’istante di riferimento, genera esattamente tutte le rate della rendita.
Arsen Palestini
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Valore attuale e montante di una rendita I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Consideriamo i il tasso annuo d’interesse e v = (1 + i )−1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1).
Rendite Problemi connessi alle rendite
Il valore attuale di una rendita rappresenta il capitale che, investito al tasso d’interesse i per la durata di n anni a partire dall’istante di riferimento, genera esattamente tutte le rate della rendita. Proposizione Il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni risulta:
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore attuale e montante di una rendita I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Consideriamo i il tasso annuo d’interesse e v = (1 + i )−1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1).
Rendite Problemi connessi alle rendite
Il valore attuale di una rendita rappresenta il capitale che, investito al tasso d’interesse i per la durata di n anni a partire dall’istante di riferimento, genera esattamente tutte le rate della rendita. Proposizione Il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni risulta: an|i = Arsen Palestini
1 − (1 + i ) −n . i Dispense di Matematica Finanziaria
(1.4)
Valore attuale e montante di una rendita II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Prova Essendo R = 1, la determinazione del valore attuale si riduce al calcolo della serie geometrica la cui ragione ´e v : n
v + v2 + v3 + . . . + vn =
∑ vj = v ·
j =1
1 − vn = 1−v
(1 + i )n − 1 1 1 − (1 + i ) −n (1 + i )n = = , i 1+i i 1+i scritto in termini di tasso annuo di interesse. Arsen Palestini
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Valore attuale e montante di una rendita III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite
La formula (1.4), da ricordare rigorosamente, introduce un nuovo simbolo: an|i (a figurato n al tasso i) ´e una funzione crescente in n e decrescente in i.
Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
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Valore attuale e montante di una rendita III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
La formula (1.4), da ricordare rigorosamente, introduce un nuovo simbolo: an|i (a figurato n al tasso i) ´e una funzione crescente in n e decrescente in i. Nel caso di differimento di t anni, ossia del caso in cui ogni rata vada scontata per ulteriori t anni, il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata e differita di t anni, anche per t non intero, sar´a: t | an | i
= v t +1 + v t +2 + . . . + v t +n =
= vt
∑ v j = v t +1 ·
n
j =1
Arsen Palestini
1 − vn = v t an | i . 1−v
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore attuale e montante di una rendita IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Nel caso in cui la rendita sia anticipata, ogni rata va scontata un anno in meno rispetto alla rendita posticipata; di conseguenza, il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni sar´a: a¨n|i = 1 + v + v 2 + . . . + v n−1 =
Arsen Palestini
1 − vn . 1−v
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore attuale e montante di una rendita IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Nel caso in cui la rendita sia anticipata, ogni rata va scontata un anno in meno rispetto alla rendita posticipata; di conseguenza, il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni sar´a: a¨n|i = 1 + v + v 2 + . . . + v n−1 =
1 − vn . 1−v
Si pu´o facilmente verificare la relazione tra i valori attuali: a¨n|i = (1 + i )an|i .
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Valore attuale e montante di una rendita V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n − 1 anni, la seconda per n − 2 anni, la penultima per un solo anno e l’ultima non si capitalizza.
Rendite Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore attuale e montante di una rendita V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n − 1 anni, la seconda per n − 2 anni, la penultima per un solo anno e l’ultima non si capitalizza.
Rendite Problemi connessi alle rendite
Quindi il montante di una rendita annua unitaria posticipata immediata di durata n anni sar´a dato da:
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Valore attuale e montante di una rendita V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n − 1 anni, la seconda per n − 2 anni, la penultima per un solo anno e l’ultima non si capitalizza.
Rendite Problemi connessi alle rendite
Quindi il montante di una rendita annua unitaria posticipata immediata di durata n anni sar´a dato da: sn | i = ( 1 + i ) n − 1 + . . . + ( 1 + i ) + 1 =
=
1 − (1 + i )n (1 + i )n − 1 = . 1 − (1 + i ) i
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Valore attuale e montante di una rendita V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n − 1 anni, la seconda per n − 2 anni, la penultima per un solo anno e l’ultima non si capitalizza.
Rendite Problemi connessi alle rendite
Quindi il montante di una rendita annua unitaria posticipata immediata di durata n anni sar´a dato da: sn | i = ( 1 + i ) n − 1 + . . . + ( 1 + i ) + 1 =
=
1 − (1 + i )n (1 + i )n − 1 = . 1 − (1 + i ) i
Da questa formula segue la facile relazione: sn|i = (1 + i )n an|i . Arsen Palestini
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Valore attuale e montante di una rendita VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni e differita di t anni ´e: t | a¨n|i
= v t + v t +1 + . . . + v t +n −1 = n
= v t −1 ∑ v j = v t j =1
Arsen Palestini
1 − vn = v t a¨n|i . 1−v
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Valore attuale e montante di una rendita VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni e differita di t anni ´e: t | a¨n|i
= v t + v t +1 + . . . + v t +n −1 = n
= v t −1 ∑ v j = v t j =1
1 − vn = v t a¨n|i . 1−v
Infine, il montante di una rendita annua unitaria immediata anticipata di durata n anni ´e:
Arsen Palestini
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Valore attuale e montante di una rendita VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni e differita di t anni ´e: t | a¨n|i
= v t + v t +1 + . . . + v t +n −1 = n
= v t −1 ∑ v j = v t j =1
1 − vn = v t a¨n|i . 1−v
Infine, il montante di una rendita annua unitaria immediata anticipata di durata n anni ´e: s¨n|i = (1 + i )n + (1 + i )n−1 + . . . + (1 + i ) = n −1
= (1 + i )n
∑ ((1 + i )−1 )j = (1 + i )n a¨n|i .
j =0 Arsen Palestini
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Esercizi sulle rendite I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita immediata posticipata annua di rata 1.200 euro e durata 15 anni, nel regime dell’interesse composto e secondo il tasso di valutazione del 12% annuo.
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Esercizi sulle rendite I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita immediata posticipata annua di rata 1.200 euro e durata 15 anni, nel regime dell’interesse composto e secondo il tasso di valutazione del 12% annuo. Applicando la formula del valore attuale, con n = 15, trasformando il 12% nel tasso annuo di interesse i = 0, 12, e successivamente moltiplicando per la rata R = 1.200, otteniamo:
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Esercizi sulle rendite I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita immediata posticipata annua di rata 1.200 euro e durata 15 anni, nel regime dell’interesse composto e secondo il tasso di valutazione del 12% annuo. Applicando la formula del valore attuale, con n = 15, trasformando il 12% nel tasso annuo di interesse i = 0, 12, e successivamente moltiplicando per la rata R = 1.200, otteniamo: Ran|i =
R 1.200 (1 − (1 + i ) −n ) = (1 − (1, 12)−15 ) = i 0, 12
= 8173, 037387 euro. Arsen Palestini
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Esercizi sulle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Esercizio Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attuale trovato, ossia:
Rendite Problemi connessi alle rendite
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Esercizi sulle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Esercizio Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attuale trovato, ossia:
Rendite Problemi connessi alle rendite
sn|i = (1 + i )n an|i = (1, 12)15 · 8.173, 037387 =
= 44.735, 657592 euro.
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Esercizi sulle rendite II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Esercizio Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attuale trovato, ossia:
Rendite Problemi connessi alle rendite
sn|i = (1 + i )n an|i = (1, 12)15 · 8.173, 037387 =
= 44.735, 657592 euro. Esercizio Data una rendita R di 4 rate, di importi 1.000 euro, 1.500 euro, 1.600 euro, 2.400 euro e di scadenze 1 anno, 1 anno e 4 mesi, 1 anno e 6 mesi, 3 anni a partire da oggi, calcolarne il valore attuale e il montante al tasso di interesse del 9,5% annuo. Arsen Palestini
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Esercizi sulle rendite III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio In questo caso, la rendita non ´e costante, quindi dovremo applicare la formula del valore attuale pesata con i singoli capitali Ci , i = 1, . . . , 4 con i rispettivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi.
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Esercizi sulle rendite III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio In questo caso, la rendita non ´e costante, quindi dovremo applicare la formula del valore attuale pesata con i singoli capitali Ci , i = 1, . . . , 4 con i rispettivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi. Usiamo la scrittura A(0, R), per il valore attuale, indicando con 0 l’istante di valutazione:
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Esercizi sulle rendite III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio In questo caso, la rendita non ´e costante, quindi dovremo applicare la formula del valore attuale pesata con i singoli capitali Ci , i = 1, . . . , 4 con i rispettivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi. Usiamo la scrittura A(0, R), per il valore attuale, indicando con 0 l’istante di valutazione: 16
A(0, R) = 1.000 · (1 + 0, 095)−1 + 1.500 · (1 + 0, 095)− 12 + 18
+1.600 · (1 + 0, 095)− 12 + 2.400 · (1 + 0, 095)−3 = = 5.466, 618974 euro. Arsen Palestini
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Esercizi sulle rendite IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Il montante della rendita, che indichiamo con A(3, R), si calcola capitalizzando a 3 anni il valore attuale ottenuto:
Arsen Palestini
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Esercizi sulle rendite IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Il montante della rendita, che indichiamo con A(3, R), si calcola capitalizzando a 3 anni il valore attuale ottenuto: A(3, R) = (1 + 0, 095)3 · A(0, R) = 7.177, 301032 euro.
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Il caso delle rendite frazionate I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite
Consideriamo l’eventualit´a in cui le n annualit´a della rendita vengano tutte frazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/m di rata: di fatto ora i periodi sono nm.
Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
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Il caso delle rendite frazionate I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Consideriamo l’eventualit´a in cui le n annualit´a della rendita vengano tutte frazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/m di rata: di fatto ora i periodi sono nm. (m )
Il valore attuale relativo a questo caso si indica an|i , e gli altri simboli corrispondenti a questo caso hanno tutti lo stesso (m ) (m ) esponente: a¨n|i , sn|i . Dati il tasso d’interesse i1/m ed il fattore di sconto v1/m , il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni e frazionata in m rate uguali posticipate ´e:
Arsen Palestini
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Il caso delle rendite frazionate I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Consideriamo l’eventualit´a in cui le n annualit´a della rendita vengano tutte frazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/m di rata: di fatto ora i periodi sono nm. (m )
Il valore attuale relativo a questo caso si indica an|i , e gli altri simboli corrispondenti a questo caso hanno tutti lo stesso (m ) (m ) esponente: a¨n|i , sn|i . Dati il tasso d’interesse i1/m ed il fattore di sconto v1/m , il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni e frazionata in m rate uguali posticipate ´e: (m )
an|i = Arsen Palestini
1 1 − (1 + i1/m )−nm . m i1/m Dispense di Matematica Finanziaria
Il caso delle rendite frazionate II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Ricordando le relazioni: j (m ) = mi1/m ,
Rendite
i=
1+
j (m ) m
m
− 1,
Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
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Il caso delle rendite frazionate II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Ricordando le relazioni: j (m ) = mi1/m ,
Rendite Problemi connessi alle rendite
(m )
an|i =
i=
1+
j (m ) m
m
− 1,
1 − (1 + i ) −n i = a . j (m ) j (m ) n |i
Arsen Palestini
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Il caso delle rendite frazionate II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Ricordando le relazioni: j (m ) = mi1/m ,
Rendite Problemi connessi alle rendite
(m )
an|i =
i=
1+
j (m ) m
m
− 1,
1 − (1 + i ) −n i = a . j (m ) j (m ) n |i
Le seguenti formule sono analoghe a quelle gi´a viste nel caso non frazionato:
Arsen Palestini
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Il caso delle rendite frazionate II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Ricordando le relazioni: j (m ) = mi1/m ,
Rendite Problemi connessi alle rendite
(m )
an|i =
i=
1+
j (m ) m
m
− 1,
1 − (1 + i ) −n i = a . j (m ) j (m ) n |i
Le seguenti formule sono analoghe a quelle gi´a viste nel caso non frazionato: (m ) (m ) sn|i = (1 + i )n an|i , (m )
(m )
(m )
(m )
a¨n|i = (1 + i )1/m an|i , s¨n|i = (1 + i )1/m sn|i . Arsen Palestini
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Il caso delle rendite frazionate III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita di durata 6 anni e di rata annua di 2.000 euro, frazionata semestralmente, valutata al tasso annuo dell’ 1, 5%. In questo caso, n = 6 ed m = 2, di conseguenza la formula precedente si pu` o applicare facilmente dopo aver ricavato il √ tasso semestrale i1/2 = 1, 015 − 1 = 0, 74%. Avremo:
Arsen Palestini
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Il caso delle rendite frazionate III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita di durata 6 anni e di rata annua di 2.000 euro, frazionata semestralmente, valutata al tasso annuo dell’ 1, 5%. In questo caso, n = 6 ed m = 2, di conseguenza la formula precedente si pu` o applicare facilmente dopo aver ricavato il √ tasso semestrale i1/2 = 1, 015 − 1 = 0, 74%. Avremo: (m )
Ran|i = 2.000 ·
1 1 − (1, 0074)−12 · = 11.442, 192337 euro. 2 0, 0074
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Il caso delle rendite frazionate III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita di durata 6 anni e di rata annua di 2.000 euro, frazionata semestralmente, valutata al tasso annuo dell’ 1, 5%. In questo caso, n = 6 ed m = 2, di conseguenza la formula precedente si pu` o applicare facilmente dopo aver ricavato il √ tasso semestrale i1/2 = 1, 015 − 1 = 0, 74%. Avremo: (m )
Ran|i = 2.000 ·
1 1 − (1, 0074)−12 · = 11.442, 192337 euro. 2 0, 0074
(m )
Rsn|i = (1, 015)6 · 11.442, 192337 = 12.511, 388135 euro. Arsen Palestini
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Il caso delle rendite perpetue I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Per definizione, una rendita continua ´e una rendita frazionata in m periodi di durata infinitesima, quindi il caso limite per m tendente all’infinito. Si pu´ o immaginare che il pagamento avvenga tramite un flusso continuo ed uniforme.
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Il caso delle rendite perpetue I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Per definizione, una rendita continua ´e una rendita frazionata in m periodi di durata infinitesima, quindi il caso limite per m tendente all’infinito. Si pu´ o immaginare che il pagamento avvenga tramite un flusso continuo ed uniforme. i i (m ) an|i = lim an|i = lim an|i = an|i , m−→∞ m−→∞ j (m ) δ laddove δ = ln(1 + i ) ´e l’intensit´a istantanea d’interesse.
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Il caso delle rendite perpetue I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Per definizione, una rendita continua ´e una rendita frazionata in m periodi di durata infinitesima, quindi il caso limite per m tendente all’infinito. Si pu´ o immaginare che il pagamento avvenga tramite un flusso continuo ed uniforme. i i (m ) an|i = lim an|i = lim an|i = an|i , m−→∞ m−→∞ j (m ) δ laddove δ = ln(1 + i ) ´e l’intensit´a istantanea d’interesse. Se il numero delle rate di una rendita ´e infinito, la rendita da temporanea diventa perpetua, possiamo pensarla come il caso limite per n tendente all’infinito. Arsen Palestini
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Il caso delle rendite perpetue II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Ovviamente, in questo caso non ´e possibile considerare il montante, non esistendo un istante finale a cui riferirsi per la capitalizzazione, quindi ci si limiter´a ad analizzare il valore attuale.
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Il caso delle rendite perpetue II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Ovviamente, in questo caso non ´e possibile considerare il montante, non esistendo un istante finale a cui riferirsi per la capitalizzazione, quindi ci si limiter´a ad analizzare il valore attuale. 1 − (1 + i ) −n 1 = . n−→∞ i i
a∞|i = lim an|i = lim n−→∞
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Il caso delle rendite perpetue III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Tendendo n all’infinito, si ottengono le seguenti semplici relazioni:
Rendite Problemi connessi alle rendite
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Il caso delle rendite perpetue III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Tendendo n all’infinito, si ottengono le seguenti semplici relazioni: 1 a¨∞|i = (1 + i )a∞|i = 1 + , i t v t , t | a∞ |i = v a∞ |i = i i 1 (m ) (m ) an|i = . a∞|i = lim an|i = lim n−→∞ n−→∞ j (m ) j (m )
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Il caso delle rendite perpetue III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Tendendo n all’infinito, si ottengono le seguenti semplici relazioni: 1 a¨∞|i = (1 + i )a∞|i = 1 + , i t v t , t | a∞ |i = v a∞ |i = i i 1 (m ) (m ) an|i = . a∞|i = lim an|i = lim n−→∞ n−→∞ j (m ) j (m ) In un certo senso, l’acquisto di un bene in contanti ´e un’operazione finanziaria semplice che si pu´o considerare equivalente alla stipula di un contratto di affitto di durata perpetua. Arsen Palestini
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Determinazione della durata I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Le grandezze fondamentali di una rendita (consideriamo ora la pi´ u classica: annua unitaria immediata posticipata e temporanea) sono dunque l’ammontare della rata annua R, il numero di anni n, il tasso di valutazione i, e il valore attuale della rendita, A.
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Determinazione della durata I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Le grandezze fondamentali di una rendita (consideriamo ora la pi´ u classica: annua unitaria immediata posticipata e temporanea) sono dunque l’ammontare della rata annua R, il numero di anni n, il tasso di valutazione i, e il valore attuale della rendita, A. Conoscendo tre di queste quattro grandezze, dalla formula fondamentale possiamo ricavare quella ignota.
Arsen Palestini
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Determinazione della durata I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Le grandezze fondamentali di una rendita (consideriamo ora la pi´ u classica: annua unitaria immediata posticipata e temporanea) sono dunque l’ammontare della rata annua R, il numero di anni n, il tasso di valutazione i, e il valore attuale della rendita, A. Conoscendo tre di queste quattro grandezze, dalla formula fondamentale possiamo ricavare quella ignota. Poich´e
1 − (1 + i ) −n = Ran|i , i la determinazione di A oppure di R non presenta complicazioni. A=R
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Determinazione della durata II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
A quali problematiche si va incontro se il nostro obiettivo ´e la determinazione della durata n di una rendita?
Rendite Problemi connessi alle rendite
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Determinazione della durata II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
A quali problematiche si va incontro se il nostro obiettivo ´e la determinazione della durata n di una rendita? iA = 1 − (1 + i )−n =⇒ (1 + i )−n = R iA ln 1 − iA R = 1− =⇒ n = − . R ln(1 + i )
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Determinazione della durata II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
A quali problematiche si va incontro se il nostro obiettivo ´e la determinazione della durata n di una rendita? iA = 1 − (1 + i )−n =⇒ (1 + i )−n = R iA ln 1 − iA R = 1− =⇒ n = − . R ln(1 + i ) Quest’espressione ha senso solo per R > iA, vale a dire solo se la rata ha importo maggiore dell’interesse prodotto. In caso contrario, il capitale a frutto non diminuirebbe mai e la rendita continuerebbe all’infinito. Arsen Palestini
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Determinazione della durata III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
In generale, il valore di n non ´e un numero intero; se consideriamo n = m + f , con m ∈ Z+ e f ∈ (0, 1), si pu´o dedurre che l’investimento ´e sufficiente a pagare m rate, ma non m + 1, cio´e il residuo dopo il pagamento dell’m-esima rata, capitalizzato per un anno al tasso i, produce un montante minore della rata R. Per l’esattezza, il capitale che residua ammonter´a a:
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Determinazione della durata III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
In generale, il valore di n non ´e un numero intero; se consideriamo n = m + f , con m ∈ Z+ e f ∈ (0, 1), si pu´o dedurre che l’investimento ´e sufficiente a pagare m rate, ma non m + 1, cio´e il residuo dopo il pagamento dell’m-esima rata, capitalizzato per un anno al tasso i, produce un montante minore della rata R. Per l’esattezza, il capitale che residua ammonter´a a: A(1 + i )m − Rsm|i = R
(1 + i )m − (1 + i ) −f (1 + i )m − 1 −R = i i
1 − (1 + i ) −f ; i essendo f < 1, questa quantit´a risulta minore di R.
=R
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Determinazione della durata IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Un capitale di 8.500 euro ´ e depositato in un fondo che rende in ragione del 10,5% annuo, nel regime dell’interesse composto. Da questo fondo si prelevano 2.000 euro alla fine di ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza?
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Determinazione della durata IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Un capitale di 8.500 euro ´ e depositato in un fondo che rende in ragione del 10,5% annuo, nel regime dell’interesse composto. Da questo fondo si prelevano 2.000 euro alla fine di ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza? Si tratta di una rendita annua immediata posticipata di cui sono noti la rata R = 2.000 euro ed il valore attuale A = 8.500 euro al tasso i = 0, 105. Allora possiamo scrivere la seguente equazione nell’incognita n:
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Determinazione della durata IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Un capitale di 8.500 euro ´ e depositato in un fondo che rende in ragione del 10,5% annuo, nel regime dell’interesse composto. Da questo fondo si prelevano 2.000 euro alla fine di ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza? Si tratta di una rendita annua immediata posticipata di cui sono noti la rata R = 2.000 euro ed il valore attuale A = 8.500 euro al tasso i = 0, 105. Allora possiamo scrivere la seguente equazione nell’incognita n: 8.500 = 2.000 · an|0,105 =⇒ 17 = 4 · Arsen Palestini
1 − (1, 105)−n =⇒ 0, 105
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Determinazione della durata V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Esercizio
Rendite Problemi connessi alle rendite
=⇒ −0, 55375 = −(1, 105)−n =⇒ n = −
Arsen Palestini
ln(0, 55375) , ln(1, 105)
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Determinazione della durata V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Esercizio
Rendite Problemi connessi alle rendite
=⇒ −0, 55375 = −(1, 105)−n =⇒ n = −
ln(0, 55375) , ln(1, 105)
quindi n = 5, 919 anni.
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Determinazione della durata V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Esercizio
Rendite Problemi connessi alle rendite
=⇒ −0, 55375 = −(1, 105)−n =⇒ n = −
ln(0, 55375) , ln(1, 105)
quindi n = 5, 919 anni. Con i dati assegnati, allora, ´e possibile prelevare dal fondo rate annuali di 2.000 euro per cinque anni consecutivi, ma non per il sesto.
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Determinazione della rata I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Tramite versamenti mensili posticipati e costanti in un fondo che si capitalizza al tasso annuo del 14% in un regime di interesse composto, si vuole arrivare ad accumulare, dopo 8 anni, una somma di 15.000 euro. Qual ´ e l’ammontare del versamento necessario?
Arsen Palestini
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Determinazione della rata I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Tramite versamenti mensili posticipati e costanti in un fondo che si capitalizza al tasso annuo del 14% in un regime di interesse composto, si vuole arrivare ad accumulare, dopo 8 anni, una somma di 15.000 euro. Qual ´ e l’ammontare del versamento necessario? In questo caso, a partire da un montante noto, dobbiamo risalire alla rata R. Essendo i versamenti mensili, dobbiamo estrapolare il tasso d’interesse mensile i1/12 equivalente a quello annuo del 14%:
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Determinazione della rata I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Tramite versamenti mensili posticipati e costanti in un fondo che si capitalizza al tasso annuo del 14% in un regime di interesse composto, si vuole arrivare ad accumulare, dopo 8 anni, una somma di 15.000 euro. Qual ´ e l’ammontare del versamento necessario? In questo caso, a partire da un montante noto, dobbiamo risalire alla rata R. Essendo i versamenti mensili, dobbiamo estrapolare il tasso d’interesse mensile i1/12 equivalente a quello annuo del 14%:
(1 + i1/12 )12 = 1 + i =⇒ i1/12 = (1 + 0, 14)1/12 − 1 = 1, 09%. Arsen Palestini
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Determinazione della rata II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Successivamente, applichiamo la formula del montante, con 8 × 12 = 96 mensilit´a:
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Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione della rata II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Successivamente, applichiamo la formula del montante, con 8 × 12 = 96 mensilit´a: 15.000 = Rs96|0,0109 = R
= 168R, da cui R =
(1, 0109)96 · (1 − (1, 0109)−96 ) = 0, 0109
15.000 = 89, 28 euro, 168
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Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione della rata II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Successivamente, applichiamo la formula del montante, con 8 × 12 = 96 mensilit´a: 15.000 = Rs96|0,0109 = R
(1, 0109)96 · (1 − (1, 0109)−96 ) = 0, 0109
15.000 = 168R, da cui R = = 89, 28 euro, ed essendo le rate 168 da pagare 96, il versamento necessario totale ammonter´a a 96 × 89, 28 = 8570, 93 euro.
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Determinazione del tasso I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Un problema differente, e di soluzione pi´ u elaborata, nello studio delle rendite, ´e la determinazione del tasso d’interesse in base al quale una rendita avrebbe un certo valore attuale, o montante, assegnato.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Un problema differente, e di soluzione pi´ u elaborata, nello studio delle rendite, ´e la determinazione del tasso d’interesse in base al quale una rendita avrebbe un certo valore attuale, o montante, assegnato. Esercizio Una rendita periodica annuale R ha solo 3 rate, di rispettive entit´ a:
R1 = 1.200 euro,
R2 = 1.600 euro,
R3 = 2.800 euro,
e il suo montante ´ e uguale a 6.400 euro. Calcolare il tasso annuo di interesse della rendita. Arsen Palestini
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Determinazione del tasso II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Usando la variabile che indica il fattore di capitalizzazione (r = 1 + i), scriviamo la formula del montante:
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Usando la variabile che indica il fattore di capitalizzazione (r = 1 + i), scriviamo la formula del montante: V (R, 3) = 1.200r 2 + 1.600r + 2.800 = 6.400 =⇒
=⇒ 3r 2 + 4r − 9 = 0,
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Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Usando la variabile che indica il fattore di capitalizzazione (r = 1 + i), scriviamo la formula del montante: V (R, 3) = 1.200r 2 + 1.600r + 2.800 = 6.400 =⇒
=⇒ 3r 2 + 4r − 9 = 0, una equazione le cui radici sono (con la formula ridotta): √ −2 ± 31 , r1,2 = 3
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Determinazione del tasso III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perch´e l’altra, essendo negativa, non rispetta l’assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico.
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Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perch´e l’altra, essendo negativa, non rispetta l’assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse:
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perch´e l’altra, essendo negativa, non rispetta l’assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse: √ √ −2 + 31 −5 ± 31 r= =⇒ i = r − 1 = ' 0, 189254, 3 3
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Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perch´e l’altra, essendo negativa, non rispetta l’assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse: √ √ −2 + 31 −5 ± 31 r= =⇒ i = r − 1 = ' 0, 189254, 3 3 quindi il tasso d’interesse della rendita ´e circa il 18, 92%.
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Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso III Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perch´e l’altra, essendo negativa, non rispetta l’assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse: √ √ −2 + 31 −5 ± 31 r= =⇒ i = r − 1 = ' 0, 189254, 3 3 quindi il tasso d’interesse della rendita ´e circa il 18, 92%. In generale, quindi, il problema della determinazione del tasso di una rendita si configura come un altro dei possibili problemi inversi rispetto a quello diretto del calcolo del suo valore. Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Ad esempio, pu´ o avere senso chiedersi se sia pi´ u conveniente l’acquisto di un bene pagando in contanti oppure a rate.
Rendite Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Ad esempio, pu´ o avere senso chiedersi se sia pi´ u conveniente l’acquisto di un bene pagando in contanti oppure a rate. Se chiamiamo P il prezzo in contanti da pagare ed R la rata costante di un’eventuale rendita, converr´a pagare anticipatamente se il costo dell’oggetto sar´a minore del valore della rendita, cio´e se P < Ran|i .
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Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Ad esempio, pu´ o avere senso chiedersi se sia pi´ u conveniente l’acquisto di un bene pagando in contanti oppure a rate. Se chiamiamo P il prezzo in contanti da pagare ed R la rata costante di un’eventuale rendita, converr´a pagare anticipatamente se il costo dell’oggetto sar´a minore del valore della rendita, cio´e se P < Ran|i . Di conseguenza, ricordando che la decrescenza del valore attuale nell’argomento del tasso d’interesse, ossia an|i < an|j se i > j, il tasso d’interesse j tale che P = Ran|j sar´a quello per cui il pagamento a rate e quello in contanti saranno uguali. In pratica, j ´e il massimo tasso d’interesse per cui conviene il pagamento in un’unica soluzione piuttosto che quello a rate. Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Supponiamo che siano note le quantit´a A, R ed n, e che la nostra incognita sia i. Ponendo v = (1 + i )−1 , dalla formula di una rendita annua costante posticipata otteniamo:
Rendite Problemi connessi alle rendite
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Supponiamo che siano note le quantit´a A, R ed n, e che la nostra incognita sia i. Ponendo v = (1 + i )−1 , dalla formula di una rendita annua costante posticipata otteniamo:
Rendite Problemi connessi alle rendite
n
A = R (v + v 2 + . . . + v n ) =⇒
A
∑ vj = R ,
j =1
che per la teoria delle radici dei polinomi, essendo v > 0, possiede una ed una sola soluzione reale positiva.
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Determinazione del tasso V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini
Supponiamo che siano note le quantit´a A, R ed n, e che la nostra incognita sia i. Ponendo v = (1 + i )−1 , dalla formula di una rendita annua costante posticipata otteniamo:
Rendite Problemi connessi alle rendite
n
A = R (v + v 2 + . . . + v n ) =⇒
A
∑ vj = R ,
j =1
che per la teoria delle radici dei polinomi, essendo v > 0, possiede una ed una sola soluzione reale positiva. Trascurando le soluzioni che non hanno significato economico, il problema dell’approssimazione di questa radice si pu´o affrontare in vari modi, come il Metodo delle Tangenti di Newton o il Metodo delle Approssimazioni successive. Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Detta
A , R il primo passo consiste nel trovare due valori a e b, entrambi positivi, tali che F (a) < 0 e F (b ) > 0; F (v ) = v + v 2 + . . . + v n −
Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Detta
A , R il primo passo consiste nel trovare due valori a e b, entrambi positivi, tali che F (a) < 0 e F (b ) > 0; F (v ) = v + v 2 + . . . + v n −
per la continuit´a di F (v ), ∃ c ∈ (a, b ) con F (c ) = 0. Successivamente, prendiamo il punto medio dell’intervallo, a+b a+b , e valutiamo F . vale a dire 2 2
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Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive I Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Detta
A , R il primo passo consiste nel trovare due valori a e b, entrambi positivi, tali che F (a) < 0 e F (b ) > 0; F (v ) = v + v 2 + . . . + v n −
per la continuit´a di F (v ), ∃ c ∈ (a, b ) con F (c ) = 0. Successivamente, prendiamo il punto medio dell’intervallo, a+b a+b , e valutiamo F . vale a dire 2 2 a+b a+b Se F < 0, allora saremo certi che c ∈ ,b , 2 2 a+b in caso contrario c ∈ a, . 2 Arsen Palestini
Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Non ´e restrittivo considerare soltanto il primo dei due casi; a+b prendiamo ora il punto medio dell’intervallo , b , vale 2 a + 3b a dire e ripetiamo il ragionamento fatto in precedenza: 4 a + 3b < 0, allora la soluzione cercata apparterr´a se F 4 a + 3b all’intervallo , b , in caso contrario dovremo 4 a + b a + 3b considerare l’intervallo , , e cos´ı via. 2 4
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Il Metodo delle Approssimazioni Successive II Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Non ´e restrittivo considerare soltanto il primo dei due casi; a+b prendiamo ora il punto medio dell’intervallo , b , vale 2 a + 3b a dire e ripetiamo il ragionamento fatto in precedenza: 4 a + 3b < 0, allora la soluzione cercata apparterr´a se F 4 a + 3b all’intervallo , b , in caso contrario dovremo 4 a + b a + 3b considerare l’intervallo , , e cos´ı via. 2 4 Il metodo descritto ´e di tipo iterativo, e ad ogni passaggio successivo si restringe l’intervallo considerato e ci si avvicina alla soluzione esatta. Arsen Palestini
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Il Metodo delle Approssimazioni Successive III Dispense di Matematica Finanziaria
6
F (v ) t
Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
t
O
t
a
a +b 2
-
b
v
t
Un grafico del Metodo delle Approssimazioni Successive
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Il Metodo delle Approssimazioni Successive IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Determinare, con tre cifre decimali esatte, quale tasso ´ e stato applicato se, per un bene acquistabile per 6.400 euro in contanti, ´ e richiesto un anticipo di 400 euro e poi il pagamento di 8 rate bimestrali da 1.000 euro.
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Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Determinare, con tre cifre decimali esatte, quale tasso ´ e stato applicato se, per un bene acquistabile per 6.400 euro in contanti, ´ e richiesto un anticipo di 400 euro e poi il pagamento di 8 rate bimestrali da 1.000 euro. In questo caso, l’incognita ´e il tasso bimestrale j = i1/6 e l’equazione da impostare ´e: 6.400 = 400 + 1.000a8|j =⇒ 6.000 = 1.000
Arsen Palestini
1 − (1 + j ) −8 , j
Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive IV Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio Determinare, con tre cifre decimali esatte, quale tasso ´ e stato applicato se, per un bene acquistabile per 6.400 euro in contanti, ´ e richiesto un anticipo di 400 euro e poi il pagamento di 8 rate bimestrali da 1.000 euro. In questo caso, l’incognita ´e il tasso bimestrale j = i1/6 e l’equazione da impostare ´e: 6.400 = 400 + 1.000a8|j =⇒ 6.000 = 1.000
1 − (1 + j ) −8 , j
ossia dovremo trovare, con un margine di errore di 10−3 , il valore del tasso col metodo delle approssimazioni successive. Arsen Palestini
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Il Metodo delle Approssimazioni Successive V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio La funzione da interpolare ´e φ(j ) = 6.000 − 1.000
Arsen Palestini
1 − (1 + j ) −8 . j
Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive V Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio La funzione da interpolare ´e φ(j ) = 6.000 − 1.000
1 − (1 + j ) −8 . j
Considerando che ovviamente j ∈ (0, 1), e notando che: φ(1) = 5.003, 9; φ(0, 5) = 4.078; φ(0, 25) = 2671, 08; φ(0, 125) = 1117, 95; φ(0, 0625) = −148, 8,
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Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio avendo trovato due valori che tramite la funzione φ hanno immagini discordi, siamo certi che il valore in cui φ(j ) si annulla ´e compreso tra i valori 0,0625 e 0,125. Dimezzando ulteriormente l’intervallo, cerchiamo il valore della φ nel suo punto medio:
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Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio avendo trovato due valori che tramite la funzione φ hanno immagini discordi, siamo certi che il valore in cui φ(j ) si annulla ´e compreso tra i valori 0,0625 e 0,125. Dimezzando ulteriormente l’intervallo, cerchiamo il valore della φ nel suo punto medio: 0, 0625 + 0, 125 = φ(0, 09375) = φ 2
= 6.000 − 10666, 666 · (1 − (1, 09375)−8 ) = 541, 49.
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Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive VI Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio avendo trovato due valori che tramite la funzione φ hanno immagini discordi, siamo certi che il valore in cui φ(j ) si annulla ´e compreso tra i valori 0,0625 e 0,125. Dimezzando ulteriormente l’intervallo, cerchiamo il valore della φ nel suo punto medio: 0, 0625 + 0, 125 = φ(0, 09375) = φ 2
= 6.000 − 10666, 666 · (1 − (1, 09375)−8 ) = 541, 49. Quindi, essendo questo valore positivo, dovremo cercare la nostra soluzione nell’intervallo tra i valori 0,0625 e 0,09375; Arsen Palestini
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Il Metodo delle Approssimazioni Successive VII Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio dimezzando ulteriormente quest’intervallo ed iterando, φ(0, 078125) = 212, 244;
φ(0, 0703125) = 35, 926;
φ(0, 06640625) = −55, 36;
φ(0, 068359375) = −9, 45;
φ(0, 069335) = 13, 282;
φ(0, 06884) = 1, 3;
giungiamo a trovare j compreso tra 0,0687 e 0,0688, quindi approssimando alla terza cifra, il tasso cercato ´e del 6,87%.
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Dispense di Matematica Finanziaria
Il Metodo delle Approssimazioni Successive VII Dispense di Matematica Finanziaria Arsen Palestini Rendite Problemi connessi alle rendite
Esercizio dimezzando ulteriormente quest’intervallo ed iterando, φ(0, 078125) = 212, 244;
φ(0, 0703125) = 35, 926;
φ(0, 06640625) = −55, 36;
φ(0, 068359375) = −9, 45;
φ(0, 069335) = 13, 282;
φ(0, 06884) = 1, 3;
giungiamo a trovare j compreso tra 0,0687 e 0,0688, quindi approssimando alla terza cifra, il tasso cercato ´e del 6,87%. Per concludere, essendo questo tasso bimestrale, lo riportiamo al tasso annuale con la solita equazione: i = (1 + 0, 0687)6 − 1 = 0, 4898. Arsen Palestini
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