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EJERCICIOS RESUELTOS
1) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12 Solución Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero. b) No es verdad que 3 + 3 = 7 si y solo si 5 + 5 = 12 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera. c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador. Solución Es falso puesto que ambas componentes son falsas. d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera. 2) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) 4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5 Solución Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas. b) 8 + 4 = 12 y 8 – 3 = 2 Solución Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición falsa c) 8 + 4 = 12 o 7 – 2 = 3
Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera
d) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5 = 10 Solución Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples. e) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1 = 2 Solución Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una proposición falsa F. f) Sí 7 + 3 = 4, entonces 11 – 7 = 9 Solución Es verdadera V, puesto que las proposiciones implicación son falsas.
que intervienen en la
3) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta ~ (p Λ q)
(~p V ~q) Solución
p V V F F
q V F V F
~ F V V V
(p ˄ q) V F F F
↔ V V V V
(~p v ~q) F V V V
4) Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición: ~{ ~[ p v (~q→p) ] v ~[ (p ↔~q)→(q Λ ~p) ]} Solución Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan: ~ ~{[ p v (~q → p) ] ˄ [ (p ↔~q) → (q ˄ ~p) ]}
de donde se tiene
[p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]
p V V F F
q V F V F
[p V V F F
v V V V F
(~q →p)] V V V F
˄ V F V F
[(p ↔~q) F V V F
→ V F V V
(q ˄ ~p)] F F V F
El valor de verdad
5) Determinar la proposición [((~p) v q) Λ ~ q]
p V V F F
q V F V F
[(~p v q) V F V V
~ p es una tautología
˄ ~q] → ~p F F V F F V V F F F V V V V V V Es una tautología
6) Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones: a) ( p ˄ q ) ˄ ~ ( p v q )
b)
~[ p v ( ~ p v ~q )]
Solución p V V F F
q V F V F
(p ˄ q) V F F F
˄ F F F F
~ F F F V
(p v q) V V V F
Contradicción
~ F F F F
[p V V F F
v V V V V
( ~ p v ~q)] F V V V
7) Demostrar que las proposiciones dadas es una tautología: [(p v ~q) ˄ q] →p Solución p V V F F
q V F V F
[(p v ~q) V V F V
˄ V F F F
q] → p V V V F V V V V F F V F Es una tautología
8) Verificar que la proposición dada es una contingencia: [~p ˄(q v r)]
[(p v r) ˄ q]
Solución p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[~p F F F F V V V V
˄ F F F F V V V F
(q v r)] ↔ [(p v r) V F V V F V V V V F V V V V V V F F V F V F V F Es una contingencia
˄ V V F F V F F F
q] V V F F V V F F
9) Determinar si las proposiciones [p (r v ~q)] y [(q ~p) v (~r equivalentes. Solución p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[p V V V V F F F F
→ V F V V V V V V
(r v ~q)] V F V V V F V V
[(q→~p) F F V V V V V V
v V F V V V V V V
(~r→~p)] V F V F V V V V
~p)] son
Idénticas
Por lo tanto son equivalentes es decir: [p→(r v ~q)]
[(q→~p) v (~r→~p)]
10) Determinar si las proposiciones [(~p v q) v equivalentes
(~r ˄ ~p)] y ~q
Solución p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[(~p v q) V V F F V V V V
v V V F F V V V V
(~r ˄ ~p)] F F F F F V F V Idénticas
~q→~p V V F F V V V V
Por lo tanto son equivalentes es decir: [(∼p v q) v(∼r Λ ∼p)
∼q → ∼p
11) Determinar los esquemas más simples de la proposición: ~ [~ (p Λ q)
~q] v p
Solución ~ [~ (p Λ q) → ~q]
v p
~ [~ (~ (p Λ q) v ~q)] v p
por la condicional
~ [(p Λ q) v ~q] v p
por la negación
~ [~q v (p Λ q)]
por conmutativa en la conjunción
~ [~q v p] (~p Λ q) p v q
v p v p
v p
por absorción por Morgan por absorción
~p son
~ [~ (p Λ q) → ~q] v p
p v q
12) De la falsedad de la proposición: (p verdad de los esquemas moleculares. a) (~p Λ~q) v ~q c) (p
q)
~q) v (~r s) determinar el valor de
b) (~r v q)
(~q v r) ^ s
(p v q) ^ ~q
Solución Determinaremos el valor de verdad de p, q, r, y s. (p → ~q) v (~r→s)
F falso
por la disyunción
p → ~q F por implicación
~r→s F por implicación
p es V y ~q es F por negación
~r es V y s es F por negación
P es V y q es V
r es F y s es F
Por lo tanto: p es V, q es V, r es F, s es F a) (~p ^ ~q) v ~q F
F
b) (~r v q) ←→ ( ~q V
F
V
v
F
r)
^ s
F
F
F
F V
F
F
el valor de verdad es F
F
el valor de verdad es F
c) (p → q) → (p v q) ^ ~q V
V
V
V
F
V V
F F
el valor de verdad es F
13 El valor de verdad de: ~[(~p v q ) v (r
q)] ^ [(~ p v q)
(q ^ ~p)] es verdadera.
Hallar el valor de verdad de p, q, y r Solución ∼ [(∼ p v q ) v (r → q)+ Λ *(∼ p v q ) →( q Λ ∼ p)] es V
Por conjunción
[( ∼p v q ) v (r → q)+ es V
[(∼p v q ) →( q Λ ∼p)] es V
Por negación
por implicación (∼p v q ) es F
(∼p v q ) v (r → q) es F
Por disyunción (∼p v q ) es F
Por disyunción ∼p es F y q es F
p es V y q es F
por disyunción
(r → q) es F
por implicación r es V y q es F
( q Λ ∼p)]
por conjunción
P es V y q es F
q es F y ∼p es F
por negación Q es F y p es V
p es V Por lo tanto el valor de verdad de
q es F r es V
14) Se sabe que p Λ q y q t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares siguientes: b) ~ [p Λ (~q v ~p)]
a) (~p v t) v ~ q
c) [(p → q) Λ ~ (q Λ t)] ←→ [~p v (q Λ ~t)] Solución
Determinaremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t ( p Λ q ) Λ ( q → t) es F
Por conjunción ( p Λ q ) es F
( q → t) es F
Por conjunción
por implicación
p es F y q es V
q es V y t es F
Por lo tanto p es F, q es V y t es F a) ( ∼p v t ) v ∼ q V
b) ∼ [ p Λ (∼q v ∼p ) ]
F
F
V
F
F
V
c) [(p → q)Λ∼(q Λ t)] ←→ [∼p v (qΛ∼t)] F
V
V
V
F
V
V V
F
V
V V
V F
V
V
V
V
15) Si la proposición (∼p Λ q) (∼s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones son verdaderas: a) ∼ [ ( p → q) → r ]
b) ∼ ( ~∼p Λ q) Λ [ (∼r v r ) Λ s ]
c) [(p v ∼q) Λ p] v ∼q Solución (∼pΛq ) → (∼s v r ) es F
Por implicación (∼p Λ q ) es V
(∼s v r ) es F
Por conjunción
por disyunción
∼p es V y q es V
∼S es F y r es F
Por negación
por negación
p es F y q es V
q es V y t es F
Por lo tanto p es F, q es V S es V, r es F
a) ∼ [ ( p → q) → r ]
F
V
F
V
b) ∼ (∼ p Λ q ) Λ [ (∼r v r ) Λ s ]
V
V V
F
V
F
V
V V
V
V
F
V
El valor de verdad es V
El valor de verdad F
c) [ ( p v ∼q ) Λ p ] v ∼q F
F F
F F
F F
El valor de verdad es F Por lo tanto únicamente es verdadera la a)
16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Solución [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) [((p Λ q) vp) Λ ((pΛq) v ∼q)] v(∼pΛ∼q)
Por distribución con respecto a Λ
[p v (p Λ q) Λ (∼q v (p Λ q)] v (∼p Λ ∼q)
Conmutativa
[p Λ ((∼q v p) Λ (∼q v q))] v (∼p Λ ∼q)
Por absorción y distributiva
[p Λ (∼q v p) Λ V] v (∼p Λ ∼q)
Por identidad
[p Λ (∼q v p)] v (∼p Λ ∼q)
Por identidad
[p Λ (p v ∼q)] v (∼p Λ ∼q)
Por conmutativa en v
p v (∼p Λ ∼q)
Por absorción
P v ∼q
Por absorción
Por lo tanto [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Ξ p v ∼q
17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito ∼p
p
o
q ∼p
p ∼q
o
q
Solución
La función booleana del circuito dado es: [pvq v (∼p Λ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] Simplificando la proposición obtenida se tiene: [(p v q) v (∼p Λ ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p]
distributiva con respecto Λ
[p v q v ∼p) Λ (p v q v ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] distributiva respecto a v (V Λ V) Λ [(p Λ ∼p) v (p Λ q)]
por equivalencias
V Λ [F v (p Λ q)] = V v (p Λ q) = p Λ q Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (∼p Λ ∼q)] v [(∼p v q) Λ p] Ξ p Λ q Por lo tanto el circuito simplificado equivalente es:
o
p
q
18) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: p
o
o
∼p
q
∼q
o
∼p
Solución La función Booleana del circuito dado es: [p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p Ahora simplificamos la proposición obtenida [p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p Ξ [p v q v ∼p] Λ ∼p Ξ [(p v ∼q) v q] Λ ∼p Ξ ( Vv q) Λ ∼p Ξ q Λ ∼p
19) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: ∼p
o
∼q
o
∼p p q
Solución La función booleana del circuito dado es: [(∼pΛ ∼q) v (p Λ (∼p v q))] Ahora simplificando la proposición obtenida [(∼p Λ ∼q) v (p Λ (∼p v q))] Ξ [ (∼p Λ ∼q ) Λ ( p Λ q ) ] Ξ p ←→ q
20) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: r p
∼q
o
r
o
q p
q
Solución La función booleana del circuito dado es: (p v q) Λ [(∼q Λ (r v ∼q)) v (p Λ q)] Λ r Simplificando la proposición obtenida (p v q) Λ [ (∼q Λ( r v∼q) ) v ( p Λ q ) ] Λ r Ξ( p v q ) Λ [∼q v ( q Λ p ) ] Λ r Ξ (p v q) Λ [∼q v p] Λ r Ξ [p v (q Λ ∼q)] Λ r Ξ (p v F) Λ r Ξ p Λ r
21) Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares. a) ∼[ p → ∼ ( q v r ) ] Solución Simplificando se tiene: ∼[ p → ∼ ( q v r ) Ξ ∼ [∼p v ~∼ ( q v r) = p Λ (q v r)
b) (∼ p ) ←→ ( p → ∼q )
Solución (∼p ) ←→ ( p → ∼q ) Ξ (∼p ) ←→ (∼p v ∼ q ) Ξ (∼p Λ (∼p v ∼q ) v ( p Λ ( p Λ q ) ) Ξ (∼p ) v ( p )
c) ( p v q ) → [ (∼p v q ) → ( p Λ q ) ] Solución ( p v q )→[ ( ~p v q ) → ( p Λ q ) Ξ ∼ (p v q ) v [∼ (∼p v q ) v ( p Λ q ) ] Ξ ∼ ( p v q ) v[ ( p Λ ∼q ) v ( p Λ q ) ] Ξ (∼p Λ ∼q) v p Ξ (p v ∼q)
