El Sentido Numérico: Cómo La Mente Crea Las Matemáticas, Por

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Bolet´ın de la Asociaci´ on Matem´atica Venezolana, Vol. IX, No. 1 (2002) 97 LIBROS El Sentido Num´erico: C´omo la Mente Crea las Matem´aticas, por Stanislas Dehaene Rese˜ nado por V´ıctor Padr´on The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics Stanislas Dehaene, Oxford University Press, 1997. ISBN: 0-19-513240-8 1 En 1954, en pleno auge del constructivismo de Piaget, Tobias Dantzing escribi´o: “El ser humano, a´ un en sus estados primarios de desarrollo, posee una facultad la cual, por no encontrar un nombre mejor, llamar´e sentido num´erico. Esta facultad le permite reconocer que algo ha cambiado en una colecci´on peque˜ na cuando, sin su conocimiento directo, un objeto ha sido eliminado o agregado a la colecci´ on”1 Este punto de vista que proclama la existencia de facultades cognoscitivas innatas en el cerebro humano, se encuentra en abierta contradicci´ on con la tesis sustentada por Piaget seg´ un la cual el cerebro humano, partiendo de cero, construye todas sus estructuras cognoscitivas por medio de un proceso dial´ectico de interacci´ on con el mundo circundante. Este proceso se llevar´ıa a cabo, a partir del mismo momento del nacimiento, a lo largo de distintas etapas claramente diferenciadas. De acuerdo a esta teor´ıa el concepto de n´ umero no comienza a formarse en el cerebro del ni˜ no antes de los cuatro o cinco a˜ nos. Cabe entonces preguntarse: ¿Cu´ al de estos dos planteamientos se ajusta mejor a la realidad? Stanislas Dehaene, un matem´ atico convertido en neuropsic´ ologo, nos da su respuesta a esta interrogante en el libro“The Number Sense: How the mind Creates Mathematics”. A partir de un an´ alisis amplio y detallado de experimentos recientes en el campo de la neurolog´ıa, Dehaene apoya el punto de vista de Tobias Dantzing y se˜ nala que por lo menos este aspecto del constructivismo de Piaget est´a equivocado. Dehaene sustenta la tesis de que ciertas facultades num´ericas se encuentran gen´eticamente impresas en nuestro cerebro las cuales, como nuestra facultad para distinguir colores, son el resultado de un proceso evolutivo de adaptaci´ on por selecci´on natural. Este sentido num´erico es el punto de partida para la construcci´on de un “´ organo cerebral” dedicado a la representaci´ on aproximada 1 Dantzig, T. (1954). Number: The Language of Science. New York, The Free Press. 98 libros : S. DEHAENE, The Number Sense y geom´etrica de los conceptos num´ericos, el cual sirve de base intuitiva para la adquisici´ on y manipulaci´ on de las nociones aritm´eticas elementales. A lo largo de su libro Dehaene aborda algunas de las consecuencias que estos hallazgos tienen en la pedagog´ıa, pr´ actica y filosof´ıa de la matem´atica. En lo pedag´ ogico se validan los m´etodos de ense˜ nanza que parten de la formulaci´ on de ejemplos concretos, con la finalidad de estimular el razonamiento intuitivo del ni˜ no, para construir progresivamente los conceptos abstractos. Este proceso no es muy distinto al que se lleva a cabo durante la invenci´ on matem´atica, en donde la participaci´ on del razonamiento intuitivo ha sido ampliamente documentada. En el terreno filos´ ofico Dehaene busca una conciliaci´ on entre Platonismo e Intuicionismo a partir de una visi´ on semiemp´ırica de la actividad matem´ atica que se enmarca en su concepci´on evolucionista del proceso de conocimiento. 2 Los experimentos en neurociencia expuestos a lo largo del libro sustentan la tesis de que en el dominio de la aritm´etica elemental nuestro cerebro utiliza al menos dos formatos para representar los n´ umeros. Un formato simb´ olico, sustentado en nuestras facultades de lenguaje, para la manipulaci´ on exacta de signos y algoritmos num´ericos; y un tipo de representaci´on independiente del lenguaje, localizado en los circuitos del cerebro asociados con lo visual y espacial, que es usado para el c´alculo aproximado de cantidades num´ericas. Nuestras habilidades en aritm´etica elemental ser´ıan el resultado de una integraci´ on din´ amica de estos dos tipos de representaci´on. Dehaene destaca que ya von Neuman se hab´ıa adelantado a estos descubrimientos con una visi´ on acertada del cerebro humano como una m´ aquina mixta an´ alogo-digital: “...los procesos que se llevan a cabo a trav´es del sistema nervioso podr´ıan, como lo he se˜ nalado antes, cambiar su car´ acter de digital a anal´ ogico y de regreso a digital, etc., repetidamente. Los pulsos nerviosos, es decir la parte digital del mecanismo, podr´ıan controlar una parte de tales procesos, por ejemplo la contracci´ on de un cierto m´ usculo o la secreci´on de una sustancia qu´ımica espec´ıfica. Estos son fen´ omenos pertenecientes a la clase anal´ogica, pero podr´ıa ser el origen de una cadena de impulsos nerviosos que se originan al ser ´estos percibidos por los receptores internos adecuados”2 La representaci´on de tipo simb´ olico, al estar sustentada en el lenguaje, es propia de la especie humana y pareciera pertenecer principalmente al dominio de la mente consciente. La representaci´on anal´ ogica podr´ıa estar relacionada con las facultades num´ericas que se observan en los reci´en nacidos y en algunos 2 von Neumann, J. (1958). The Computer and the Brain. New Haven, CT: Yale University Press. libros : S. DEHAENE, The Number Sense 99 animales, est´a ubicada en el plano inconsciente y parece servir de soporte intuitivo a la representaci´ on simb´ olica. A partir de la descripci´ on de algunos experimentos ingeniosos Dehaene distingue los siguientes estadios en el desarrollo del sentido num´erico del ni˜ no: 1. Los reci´en nacidos r´ apidamente distinguen dos objetos de tres y quiz´ as tres de cuatro, mientras que sus o´ıdos notan la diferencia entre dos y tres sonidos. 2. Los bebes de al menos seis meses de edad son capaces de reconocer n´ umeros peque˜ nos de objetos o sonidos y combinarlos en operaciones elementales de sumas y restas. 3. A los quince meses los bebes empiezan a seleccionar espont´aneamente el mayor entre dos conjuntos de juguetes, mostrando los primeros rudimentos de comparaci´on num´erica. Estos son solamente los primeros pasos en la construcci´on de un “´ organo cerebral”, ubicado en el l´ obulo parietal inferior de nuestro cerebro, que Dehaene llama de manera metaf´orica “acumulador num´erico”. Esta met´afora sirve para significar la naturaleza anal´ ogica y no digital de la representaci´ on num´erica primitiva que se encuentra en nuestros cerebros. Se caracteriza por un tipo de codificaci´ on aproximada, m´ as parecida a una balanza mec´ anica que a un reloj digital. Dehaene destaca dos caracter´ısticas b´asicas en nuestra representaci´on num´erica primitiva que permiten sustentar su tesis del acumulador num´erico. La primera, llamada “Efecto de la distancia”, se manifiesta experimentalmente en un aumento considerable del tiempo, medido en milisegundos, que tomamos para comparar dos n´ umeros en la medida que los n´ umeros son m´as cercanos. Por ejemplo, en uno de los experimentos documentados llevados a cabo en adultos se observa de manera sistem´atica que se toma m´as tiempo en decidir que 71 es m´as grande que 65 que la misma decisi´on entre 79 y 65. Esta discrepancia no podr´ıa ser explicada satisfactoriamente s´ı nuestra representaci´on num´erica instintiva fuera de tipo digital. No es dif´ıcil imaginar que cualquier algoritmo num´erico implementado en una calculadora digital tardar´ıa esencialmente el mismo tiempo, por peque˜ no que ´este sea, en procesar ambos problemas. La otra caracter´ıstica, llamada “Efecto de magnitud”, es similar a la anterior pero est´a asociada con el tama˜ no de los n´ umeros a comparar: para distancias iguales entre los numerales, el desempe˜ no decrece en la medida que los n´ umeros a comparar se hacen m´as grandes. Progresivamente, a partir del an´ alisis cuidadoso de numerosos experimentos conducidos en animales, ni˜ nos y adultos, Dehaene hace surgir la semblanza del o´rgano en nuestro cerebro que se especializa en el procesamiento num´erico intuitivo: 100 libros : S. DEHAENE, The Number Sense 1. Sus caracter´ısticas lo conectan inequ´ıvocamente con las habilidades protonum´ericas que se encuentran en los animales y ni˜ nos. 2. Sirve de soporte para nuestra representaci´ on num´erica simb´olica. Cada vez que al cerebro adulto se le presenta un numeral, r´ apidamente lo convierte en una magnitud anal´ ogica interna que preserva las relaciones de proximidad entre cantidades. 3. Puede codificar con bastante precisi´ on conjuntos cuya cantidad no exceda 3. 4. Tiende a confundir n´ umeros en la medida en que se hagan m´as grandes y cercanos. 5. Tambi´en tiende a asociar a las cantidades num´ericas con un mapa espacial, legitimando as´ı la met´afora mental de la l´ınea num´erica orientada en el espacio. Debido a la observaci´ on 4) esta l´ınea num´erica pareciera estar codificada en una escala logar´ıtmica. 3 Las implicaciones pedag´ogicas de estos descubrimientos son enormes. Ponen en evidencia la existencia de un mecanismo bidireccional en el aprendizaje de las matem´aticas que se mueve entre los niveles de la mente consciente e inconsciente. Al nivel de la mente consciente el ni˜ no codifica los conceptos aritm´eticos a trav´es del uso del lenguaje simb´olico y la memorizaci´on de algoritmos num´ericos. Sin embargo existe un substrato, ubicado en la profundidad de la mente inconsciente, en donde se encuentran representadas nuestras facultades protonum´ericas. Este acumulador num´erico primitivo soporta la adquisici´ on de las primeras nociones num´ericas elementales. Permite que su asimilaci´on se realice con naturalidad, al tiempo que los nuevos conceptos se van filtrando desde la mente consciente hacia el subconsciente. Una vez que estos conocimientos son codificados en el a´mbito intuitivo pueden servir a su vez de apoyo para la adquisici´ on de otros conceptos, en un proceso din´ amico, complejo y estimulante que permite la adquisici´ on progresiva de los conocimientos matem´aticos. Es lamentable que con el tipo de educaci´ on que com´ unmente reciben los ni˜ nos en el ´ambito escolar, en donde se hace demasiado ´enfasis en los conceptos abstractos y la memorizaci´on rutinaria de tablas y algoritmos num´ericos, se pierda la continuidad de este proceso. Se estanca el desarrollo del substrato num´erico instintivo y con ello se derrumba el soporte intuitivo para la adquisici´ on de los nuevos conceptos. Esto trae consigo la p´erdida de motivaci´ on por parte del ni˜ no, al hacerse cada vez m´as dif´ıcil y tediosa la memorizaci´on de los conocimientos. A partir de aqu´ı el fracaso en el aprendizaje de las matem´aticas est´a asegurado. Dehaene expresa su adherencia a este punto de vista y aboga por la necesidad de propiciar un tipo de ense˜ nanza que busque generar una respuesta profunda en libros : S. DEHAENE, The Number Sense 101 el ni˜ no, que le permita tomar contacto con sus recursos intuitivos. Propone que debemos tratar de fundamentar los conocimientos matem´aticos en situaciones concretas, con la ayuda de recursos gr´ aficos y geom´etricos, env´es del uso exagerado de conceptos abstractos. En breve, nos dice Dehaene, debemos ayudarlos a que construyan un repertorio rico de “modelos mentales” en aritm´etica. Este proceso se puede extrapolar y aplicar en los distintos niveles de la ense˜ nanza, aprendizaje y pr´ actica de la matem´atica. Ha sido ampliamente documentado por Hadamard3 que al menos una porci´ on significativa del proceso de invenci´ on en matem´atica se lleva a cabo con la participaci´ on de facultades inmersas en el dominio de la mente inconsciente. Despu´es de analizar los resultados de las entrevistas realizadas a un grupo selecto de investigadores, Hadamard concluye que durante los per´ıodos cr´ıticos de actividad creativa la mayor´ıa de ellos evitan no solo el uso de palabras mentales sino tambi´en el uso de signos mentales de tipo algebraico u otra forma de simbolog´ıa precisa. T´ıpicamente sustentan sus exploraciones con un lenguaje de im´ agenes vagas, sonidos y hasta de movimientos musculares. Los experimentos presentados por Dehaene sustentan fehacientemente algunas de estas evidencias. Sobre todo las que se ubican en el dominio de la actividad mental pre-consciente, con una participaci´ on casi simult´ anea de los dominios consciente e inconsciente. Por otra parte en cuanto al proceso conocido como incubaci´on, en donde se supone que por largos per´ıodos la actividad creativa se realiza de manera independiente por el inconsciente, las investigaciones presentadas por Dehaene no aportan ning´ un sustento experimental. Sin embargo Dehaene expresa su esperanza de que con las t´ecnicas modernas de imagen cerebral podamos alg´ un d´ıa detectar e interpretar las trazas sicol´ogicas de este tipo de actividad inconsciente. 4 El punto de vista esbozado hasta ahora sobre la ense˜ nanza y pr´ actica de la matem´atica se inserta en la corriente filos´ofica del intuicionismo. Para los intuicionistas la matem´ atica es una creaci´on de la mente humana que se construye a partir de la formalizaci´ on de ciertas intuiciones f´ısicas, num´ericas, geom´etricas o l´ogicas. Se diferencia del platonismo en que ´este en lugar de concebir a las matem´aticas como una actividad de origen humano, considera que las matem´aticas pertenecen a un mundo suprahumano: el mundo de las ideas. Para los platonistas los humanos no creamos las matem´aticas, las descubrimos. Otra concepci´on filos´ ofica que en este sentido se encuentra m´as cerca al intuicionismo pero que al mismo tiempo se le contrapone es el formalismo. Para los formalistas las matem´aticas son puramente un juego de manipulaci´ on de s´ımbolos siguiendo un sistema preciso de reglas formales. Los objetos matem´aticos como los n´ umeros no tienen ninguna existencia real o intuitiva. 3 Hadamard, J. (1945). The Mathematicians Mind: The Psycology of Invention in the Mathematical Field. Princeton Science Library. Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 102 libros : S. DEHAENE, The Number Sense A´ un cuando podr´ıamos considerar que para los formalistas es natural concebir a las matem´aticas como un producto de la creatividad humana, en realidad para ellos las discusiones sobre el origen de los objetos de la matem´atica carecen de sentido. Claramente la teor´ıa de los intuicionistas es la que m´ as se acerca a explicar los procesos mentales que se llevan a cabo en la formaci´on de los conceptos num´ericos. La estructura de la teor´ıa de n´ umeros est´a sustentada, al menos en parte, en las intuiciones que surgen de las facultades protonum´ericas ancladas en el cerebro humano. “Como humanos”, dice Dehaene, “nacemos con intuiciones sobre n´ umeros, conjuntos, continuidad, iteraciones, l´ ogica y la geometr´ıa del espacio. Los matem´aticos luchan con la reformulaci´ on de estas intuiciones y las transforman en sistemas de axiomas l´ogicamente coherentes, pero no hay garant´ıa de que esto sea completamente posible”. (P´ag. 245) Luego agrega “De acuerdo al punto de vista evolucionista que yo defiendo, las matem´aticas son una construcci´ on humana y por lo tanto constituyen necesariamente una empresa imperfecta y revisable”(P´ag. 247) Aqu´ı Dehaene adopta una postura filos´ ofica m´as reciente y controvertida, cuyos principales representantes son Karl R. Popper, en la filosof´ıa de la ciencia, e Imre Lakatos, en la filosof´ıa de la matem´atica. Esta corriente filos´ ofica se fundamenta en un concepto semiemp´ırico de la pr´ actica matem´atica que surge de la epistemolog´ıa evolutiva de Popper. Manteniendo esta perspectiva, pero sin pretender con ello resolver la controversia filos´ ofica que introduce la interrogante de s´ı el universo est´a dise˜ nado de acuerdo a leyes matem´aticas, Dehaene propone: “¿No ser´an m´ as bien nuestras leyes matem´aticas, y los principios organizativos de nuestro cerebro antes de ellas, las que fueron seleccionadas de acuerdo a que tan cerca ellas se amoldan a la estructura del universo? El milagro de la efectividad de las matem´ aticas, tan apreciado por Eugene Wigner, podr´ıa ser explicado por evoluci´ on selectiva, as´ı como el milagro de la adaptaci´ on del ojo a la visi´ on. Si la matem´atica de hoy es eficaz, podr´ıa ser quiz´ as porque las matem´aticas ineficaces de ayer fueron brutalmente eliminadas y reemplazadas”(P´ ag. 251) A´ un cuando confesamos nuestra inclinaci´ on en adoptar la primera parte de este planteamiento, no le queda a uno menos que admitir que Dehaene muestra en su u ´ltima frase una visi´ on un tanto simplista de las matem´ aticas. La validaci´ on de las teor´ıas matem´aticas no se basa exclusivamente en la eficacia de sus aplicaciones. Si bien es cierto que algunas a´reas de las matem´aticas tienen un origen estrechamente ligado a las ciencias naturales, en otras este v´ınculo se libros : S. DEHAENE, The Number Sense 103 encuentra bastante diluido. La historia de las matem´ aticas est´a llena de ejemplos de teor´ıas que se originaron a partir de motivaciones puramente formales o est´eticas, alejadas de toda inspiraci´ on con la realidad, que luego terminaron convirti´endose en resultados de gran utilidad y eficacia para la explicaci´ on de algunos fen´ omenos naturales. Sin embargo tambi´en existe mucha matem´atica, quiz´ as la mayor parte de su edificio te´ orico, que no ha encontrado, y posiblemente nunca encontrar´ a, un camino hacia las aplicaciones. Estas no han sido, como sugiere Dehaene, brutalmente eliminadas y reemplazadas. En los u ´ltimos par´ agrafos de su libro Dehaene plantea una posible conciliaci´ on entre platonistas e intuicionistas: “La hip´ otesis de la adaptaci´on parcial de las teor´ıas matem´aticas a las regularidades del mundo f´ısico quiz´as proporcione las bases para la reconciliaci´ on entre platonistas e intuicionistas. El platonismo toca un elemento innegable de verdad cuando insiste en que la realidad f´ısica est´a organizada de acuerdo a estructuras que anteceden la mente humana. Sin embargo, yo no dir´ıa que esta organizaci´on es de naturaleza matem´atica. M´ as bien, es la mente humana que la traduce en matem´atica”(P´ ag. 251) El debate sigue abierto y ciertamente Dehaene lo alimenta y estimula con su libro. Presenta de manera organizada y con sentido cr´ıtico los aportes de la neuropsicolog´ıa al conocimiento de los procesos mentales en la creaci´on matem´atica. Con ello invita al estudio de las implicaciones de estos resultados en la ense˜ nanza, pr´ actica y filosof´ıa de la matem´atica. ´n V´ıctor Padro ´ticas Escuela de Matema Universidad de Los Andes ´rida, Venezuela Me