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Equazioni di I° grado Un’equazione di I° grado è un’equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo ax + b = 0 .
b a Se il coefficiente a = 0 e b = 0 l’equazione ammette infinite soluzioni Se il coefficiente a = 0 e b ≠ 0 l’equazione non ammette soluzioni Se il coefficiente a ≠ 0 l’equazione ammette l’unica soluzione x = −
(equazione determinata) (equazione indeterminata) (equazione impossibile)
Equazioni di II° grado Un’equazione di II° grado è un’equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo ax 2 + bx + c = 0 . Per risolverla occorre calcolare il discriminante dell’equazione ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c . −b± ∆ Se ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte x1,2 = 2 ⋅a −b Se ∆ = 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti x1,2 = 2 ⋅a −b±i −∆ Se ∆ < 0 l’equazione ammette due soluzioni complesse x1,2 = . 2 ⋅a Formula Ridotta Nel caso in cui il coefficiente b dell’equazione è un numero pari si può applicare la formula ridotta: 2
∆ ⎛b⎞ = ⎜ ⎟ −a⋅c 1. Si calcola il discriminante 4 ⎝2⎠ ∆ b − ± 2 4 2. Si applica la formula x1,2 = a Caso b = 0 - Equazione Incompleta Pura 2 L’equazione diventa ax + c = 0 .
Se a e c sono discordi, l’equazione ammette due soluzioni reali e opposte x = ± − Se a e c sono concordi, l’equazione ammette due soluzioni complesse x = ±
c . a
c i. a
Caso c = 0 - Equazione Incompleta Spuria L’equazione diventa ax 2 + bx = 0 . Essa ammette sempre una soluzione x = 0 . Per risolverla occorre raccogliere a fattor comune l’incognita x , ed in seguito applicare la legge dello x =0 x 0 = b . ; annullamento del prodotto: x ⋅ ( ax + b ) = 0 ; ax + b = 0 x=− a
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Esempi di equazioni di I° grado 5 7 2x −7 = 0 ; 2x = 7 ; x = . 1. 3 x + 5 = 0 ; 3 x = −5 ; x = − . 2 3 2. 2 x − 7 = 2 ⋅ ( x − 3 ) ; 2 x − 7 = 2 x − 6 ; 2 x − 2 x = 7 − 6 ; 0 = 1 equazione impossibile. 3. 3 x − 6 = 3 ⋅ ( x − 2 ) ; 3 x − 6 = 3 x − 6 ; 3 x − 3 x = 6 − 6 ; 0 = 0 equazione indeterminata.
Esempi di equazioni di II° grado
x =0 2
1. 5 x − 2 x = 0
x ⋅ (5x − 2 ) = 0 ;
2. 4 x 2 − 3 = 0 ; 4 x 2 = 3 ; x 2 =
5x − 2 = 0 ;
5x = 2 ;
x=
2 5
3 3 3 ; x=± ; x=± 4 4 2
2 3. 4 x 2 + 3 = 0 ; 4 x 2 = −3 ; x = −
3 ⋅ −1 3 3 3 i ; x=± − ; x=± ; x=± 4 2 4 4
4. 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 ;
∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = ( −3 )2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 9 − 8 = 1 . 3 −1 2 1 x1 = = = 4 4 2 3 ±1 − ( −3 ) ± 1 x1,2 = = = 2 ⋅2 4 3 +1 4 x2 = = = 1 4 4
5. 3 x 2 − 5 x + 4 = 0 ;
∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = ( −5 )2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 25 − 48 = − 23 < 0 x1 =
5 ± 23 i − ( −5 ) ± − 23 x1,2 = = = 6 2 ⋅3
x2 = 6. 4 x 2 − 12 x + 9 = 0 ;
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7. 3 x − 8 x + 5 = 0 ;
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5 − 23 i 6 5 + 23 i 6
∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = ( −12 )2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 144 − 144 = 0 ; −b 12 3 x1,2 = = = 2 ⋅a 2 ⋅4 2 2
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∆ ⎛b⎞ ⎛−8⎞ = ⎜ ⎟ −a⋅c = ⎜ ⎟ − 3 ⋅ 5 = 16 − 15 = 1 ; 4 ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 −1 =1 x1 = ∆ b −8 − ± 3 − ± 1 4 ±1 4 2 x1,2 = 2 = = = 3 3 a 4 +1 5 = x2 = 3 3 www.mimmocorrado.it
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