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RACIOCÍNIO LÓGICO Æ LÓGICA ESTRUTURAS LÓGICAS LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO DIAGRAMAS LÓGICOS
Tipos de Sentenças Æ Temos quatro tipos de sentenças: 1) Imperativas Æ Expressam uma ordem. Exemplos: “Faça o dever.”; “Silêncio.”; 2) Exclamativas Æ Trazem uma interjeição. Exemplos: “Bom dia!”; “Que carrão!”; 3) Interrogativas Æ Formulam uma pergunta. Exemplos: “Que horas são?”; “Será que vai chover hoje?” 4) Declarativas Æ Fazem uma afirmação. Exemplos: “A lua é um satélite natural da Terra.”; “A prata é um vegetal.” Somente para as sentenças declarativas (proposições) podemos atribuir um valor VERDADEIRO (V) ou FALSO (F), enquanto para as três primeiras não é possível atribuir um valor-verdade. Observações: i) Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (Princípio da Não-Contradição); ii) Uma proposição só admite V ou F, não havendo uma terceira hipótese (Princípio do Terceiro Excluído); Exclusivamente as proposições serão objeto de nosso estudo e podem ser: Simples ou Compostas. São compostas quando forem usados conectivos (explicaremos o significado de conectivos mais adiante), unindo duas ou mais proposições. O uso das Tabelas Verdade facilitará bastante a verificação do valor verdade das proposições compostas. Número de linhas de uma Tabela Verdade: Dependerá do número de proposições envolvidas. Para uma proposição simples, é claro que o número de linhas será igual a 2 (21), pois essa proposição (p) só poderá ser V ou F. A Tabela Verdade será: p V F Para uma proposição composta, o número de linhas da Tabela Verdade dependerá do número de proposições simples que a compõem. Para uma proposição composta por 2 proposições (p, q), o nº de linhas será igual a 4 (22), pois podemos ter quatro situações: as duas verdadeiras, as duas falsas, apenas a 1ª verdadeira ou apenas a 2ª verdadeira. A Tabela Verdade será: p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
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Para uma proposição composta por 3 proposições (p, q, r), o nº de linhas será igual a 8 (23), pois podemos ter oito situações: (VVV), (VVF), (VFV), (VFF), (FVV), (FVF), (FFV) ou (FFF). A Tabela Verdade será: p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Podemos então inferir que a fórmula para o número de linhas da T.V. de uma proposição composta é: 2n, onde n será o número de proposições simples que a compõe. Podemos observar também, que uma forma prática de construir a Tabela Verdade é fazer, na 1ª coluna, “blocos” de V e de F com a metade do número de linhas encontrado para a T.V. Na 2ª coluna, “blocos” de V e de F com a metade do número de linhas dos blocos da 1ª coluna. Na 3ª coluna, “blocos” de V e de F com a metade do número de linhas dos blocos da coluna anterior, e assim por diante, até que intercalemos V com F. Por exemplo, se tivéssemos 4 proposições (p, q, r, s), a nossa T.V. teria 16 linhas (24). Na 1ª coluna (p) colocaríamos 8 V’s seguidos e depois 8 F’s seguidos. Na 2ª coluna (q) colocaríamos 4 V’s seguidos e depois 4 F’s seguidos. Na 3ª coluna (r) colocaríamos 2 V’s seguidos e depois 2 F’s seguidos. E, finalmente na 4ª coluna (s) intercalaríamos V com F. Conectivos: Os conectivos são operadores lógicos. Assim como na aritmética os sinais de soma (+), subtração (−), multiplicação (x) e divisão (÷) definem o resultado de uma operação aritmética, na proposição composta o resultado lógico (V ou F) dependerá não apenas do valor lógico das proposições simples que a compõem, mas também dos conectivos que as une. Cada um dos conectivos (∧, ∨, → , ↔) tem definição própria como veremos logo adiante. Modificador – Símbolo: “~” ou “¬” – Significado: “não”. O modificador inverte o significado das sentenças. Logo, podemos formar a sua negação como sendo “não”, “não é verdade que”, “é falso que”. Se a sentença originalmente era Verdadeira, com o uso do modificador, passa a ser Falsa, e se era Falsa, após o uso do modificador passa a ser Verdadeira. Podemos montar a seguinte Tabela Verdade: p
~p
V
F
F
V
Observação: O sinal “~” abrange apenas a proposição mais próxima, salvo o caso de parêntesis. Exemplos:
~p ∨ q ∨ r, o sinal ~ modifica somente o p; ~(p ∨ q) ∨ r, o sinal abrange (p ∨ q).
A outra forma de simbolizar a negação, mais utilizada nas provas de concursos Cespe/UnB, é: “¬”.
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Conectivo da Conjunção – Símbolo: “∧” – Significado: “e”. A proposição composta p ∧ q é chamada conjunção das proposições p, q. Se duas proposições simples estiverem unidas por esse conectivo, a proposição composta somente será Verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras e será Falsa nos demais casos. Colocando os possíveis valores de p e de q numa Tabela Verdade e usando esse operador teremos os seguintes resultados possíveis (na 3ª coluna): p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Conectivo da Disjunção – Símbolo: “∨” – Significado: “ou” (inclusivo). A proposição composta p ∨ q é chamada disjunção das proposições p, q. Esse símbolo (∨), corresponde ao “ou” inclusivo, também chamado de soma lógica. Mais adiante veremos o conectivo ∨ que corresponde ao “ou” exclusivo (um ou outro, mas não ambos). Se duas proposições simples estiverem unidas pelo conectivo "ou" inclusivo, a proposição composta será Verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira, sendo Verdadeira também se as duas forem verdadeiras e somente será Falsa se ambas forem falsas. Colocando os possíveis valores de p e de q numa Tabela Verdade e usando esse operador teremos os seguintes resultados possíveis (na 3ª coluna): p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Conectivo Condicional – Símbolo: “→” – Significado: “se ... então”. Quando duas proposições são conectadas com a palavra “se” antes da primeira e a inserção da palavra “então” entre elas, a proposição resultante é chamada de proposição hipotética, implicativa ou uma implicação. O componente que se encontra entre o “se” e o “então” costuma ser chamado de antecedente (ou implicante) e o componente que se segue à palavra “então” é chamado de conseqüente (ou implicado). Uma proposição condicional afirma que seu antecedente implica seu conseqüente. Não afirma que seu antecedente seja verdadeiro, mas tão somente que, se seu antecedente for verdadeiro, então seu conseqüente será, também, verdadeiro. Nem afirma que o conseqüente é verdadeiro, mas somente que o conseqüente é verdadeiro se o antecedente o for. O significado essencial de uma proposição condicional está na relação de implicação que se afirma existir entre o antecedente e o conseqüente, nesta ordem. O condicional p → q pode ser lido também de uma das seguintes maneiras: p implica (ou acarreta) q p somente se q p é condição suficiente para q q é condição necessária de p Se duas proposições simples estiverem unidas pelo conectivo →, a proposição composta só será Falsa se a 1ª proposição (antecedente) for verdadeira e a 2ª proposição (conseqüente) for falsa. Colocando os possíveis valores de p e de q numa Tabela Verdade e usando esse operador teremos os seguintes resultados possíveis (na 3ª coluna): complemento_de_racicinio_logico
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p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Para uma proposição “se p ... então q” ser Verdadeira, a conjunção p ∧ ~q deve ser Falsa, ou seja, a negação ~(p ∧ ~q) deve ser Verdadeira. Podemos verificar, através da construção de uma T.V., que as proposições compostas p → q e ~(p ∧ ~q) são equivalentes, isto é, produzem os mesmos resultados em todas as linhas da Tabela Verdade. p
q
~q
p ∧ ~q
~(p ∧ ~q)
p→q
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
Conectivo Bicondicional – Símbolo: “↔” – Significado: “se e somente se”. A proposição composta p ↔ q é chamada bicondicional porque resulta da conjunção das proposições p → q e q → p. Podemos dizer então que, p ↔ q equivale a (p → q) ∧ (q → p), ou seja, essas duas proposições compostas produzem os mesmos resultados em todas as linhas da Tabela Verdade: p
q
p→q
q→p
(p → q) ∧ (q → p)
p↔q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
Portanto, como podemos verificar na tabela acima, uma proposição composta utilizando o conectivo bicondicional, só será Verdadeira se ambas as proposições (p, q) forem verdadeiras ou ambas forem falsas. O bicondicional p ↔ q pode ser lido também de uma das seguintes maneiras: p se, e somente se q q se, e somente se p p é equivalente a q q é equivalente a p p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p Então, temos abaixo a Tabela Verdade para o bicondicional: p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
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Conectivo da Disjunção Exclusiva – Símbolo: “ ∨ ” – Significado: “ou” (exclusivo). Bem menos usado do que o “ou” inclusivo, esse conectivo significa “ou um ou outro, mas não ambos”. Essa é a diferença para o conectivo ∨ (ou inclusivo), quando a proposição composta será Verdadeira se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira, podendo ser as duas verdadeiras. Já neste conectivo da disjunção exclusiva, se as duas proposições simples forem verdadeiras, a proposição composta será Falsa. Assim, uma proposição composta utilizando o conectivo ∨ , será Falsa se ambas as proposições (p, q) forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Temos então a seguinte tabela verdade para esse conectivo: p
q
p ∨ q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Repare que o uso do conectivo ∨ (ou exclusivo) resulta, na sua Tabela Verdade, em valores contrários aos do conectivo bicondicional. Portanto, a proposição composta p ∨ q (p ou q, mas não ambos) equivale à negação de p ↔ q. Propriedade Comutativa: Verifica-se que ocorre essa propriedade para quatro dos cinco conectivos, pois: 1) A proposição q ∧ p equivalerá à proposição p ∧ q, isto é, produzirão os mesmos valores lógicos na T.V.; 2) Idem para a proposição q ∨ p, que é equivalente à proposição p ∨ q; 3) Idem para q ↔ p, que é equivalente à proposição p ↔ q; 4) Idem para a disjunção exclusiva, pois q ∨ p, que é equivalente à proposição p ∨ q; O único conectivo que não goza dessa propriedade é o condicional, pois a proposição q → p não equivalerá à proposição p → q, como podemos demonstrar na Tabela Verdade abaixo: p
q
p→q
q→p
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
Equivalências Lógicas (Símbolo: ⇔) Devemos fazer uma distinção entre os símbolos ↔ e ⇔: O primeiro símbolo (↔) representa uma operação entre duas proposições enquanto o segundo símbolo (⇔) representa uma relação. Como já falamos antes quando definimos os conectivos, podemos comparar com os operadores aritméticos. Por exemplo: 7 + 5 = 3 • 4 = 12. O sinal + é o operador da soma e o sinal = define uma relação (no caso, de igualdade) entre as duas operações. Temos uma equivalência lógica quando duas proposições diferentes têm os mesmos resultados nas linhas de suas Tabelas Verdade. Também podemos dizer que ocorrerá uma equivalência lógica quando na Tabela Verdade não ocorrer VF ou FV ou então, quando ao ligarmos as duas proposições com o operador ↔ ocorrer uma Tautologia (V em todas as linhas da Tabela Verdade). Vejamos um exemplo para melhor entendimento: Verificar se ocorre a equivalência p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). complemento_de_racicinio_logico
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Fazendo a Tabela Verdade temos: p
q
r
q∨r
p ∧ (q∨r)
(p∧q)
(p∧r)
(p∧q) ∨ (p∧r)
p ∧ (q∨r) ↔ (p∧q) ∨ (p∧r)
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V V F F F F F
V V F F F F F F
V F V F F F F F
V V V F F F F F
V V V V V V V V
⇔ Equivalências Notáveis: Dupla Negação: ~ ~p ⇔ p Leis idempotentes: p ∧ p ⇔ p; p ∨ p ⇔ p Leis comutativas: p ∧ q ⇔ q ∧ p; p ∨ q ⇔ q ∨ p Leis associativas: p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r; p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r Leis de De Morgan: ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q; ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q Leis distributivas: p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r); p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Propriedades da operação de negação: I) ~(~p) ⇔ p; II) ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q; III) ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q; IV) ~(p → q) ⇔ p ∧ ~q; V) ~(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q);
Estas propriedades podem ser facilmente comprovadas construindo-se a Tabela Verdade para cada uma delas e, assim, verificar que ocorrem as equivalências supracitadas. Tautologia (ou proposição logicamente verdadeira): Temos uma Tautologia quando, para uma proposição composta, obtemos V em todas as linhas da Tabela Verdade. Exemplo: p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) é uma Tautologia. Verifique a T.V.: p
q
r
q∨r
p ∧ (q∨r)
(p∧q)
(p∧r)
(p∧q) ∨ (p∧r)
p ∧ (q∨r) ↔ (p∧q) ∨ (p∧r)
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V V F F F F F
V V F F F F F F
V F V F F F F F
V V V F F F F F
V V V V V V V V
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Contradição (ou proposição logicamente falsa): Temos uma Contradição quando, para uma proposição composta, obtemos F em todas as linhas da Tabela Verdade. Exemplo: ~[(p ∧ q) → (p ∨ q)] é uma Contradição. Verifique a T.V.: p
q
(p ∧ q)
(p ∨ q)
(p ∧ q) → (p ∨ q)
~[(p ∧ q) → (p ∨ q)]
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
Contingência: Temos uma Contingência quando, para uma proposição composta, a Tabela Verdade dessa proposição nos fornece alguns V e alguns F. Exemplo: p → [p → (q ∧ ~p)] é uma Contingência. Verifique a T.V.: p
q
~p
(q ∧ ~p)
p → (q ∧ ~p)
p → [p → (q ∧ ~p)]
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
Implicações Lógicas (Símbolo: ⇒) Assim como nas equivalências, para a implicação devemos distinguir os símbolos → e ⇒. O primeiro símbolo (→) representa uma operação entre duas proposições enquanto o segundo símbolo (⇒) representa uma relação. Podemos dizer que, operando a proposição q com a proposição p através do conectivo →, resultará a proposição q → p. Podemos estabelecer uma relação da proposição p com a proposição composta q → p através do símbolo ⇒. Por exemplo: ao estabelecermos que p ⇒ q → p estamos dizendo que a proposição p implica q → p, ou seja, estamos estabelecendo uma relação entre estas proposições. E quando ocorrerá implicação entre duas proposições? Quando na Tabela Verdade não ocorrer VF (nessa ordem) ou então, ao ligarmos as duas proposições com o operador → ocorrer uma Tautologia. Vejamos um exemplo para melhor entendimento: verificar se ocorre a implicação p ∧ q ⇒ p ∨ q. Façamos a Tabela Verdade: p
q
(p ∧ q)
(p ∨ q)
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
Comparando o valor verdade (em negrito) das duas colunas referentes às proposições implicadas, verificamos que em nenhuma das linhas ocorre a ordem VF. Temos apenas VV, FV e FF. Portanto, podemos afirmar que ocorre a implicação lógica, isto é, p ∧ q implica p ∨ q. A outra forma de verificarmos a implicação lógica seria incluir mais uma coluna à direita na Tabela Verdade, unindo as duas proposições com o conectivo (operador) →. Se o resultado for uma Tautologia significa que ocorre a implicação.
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p
q
(p ∧ q)
(p ∨ q)
(p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Como a última coluna resultou numa Tautologia, podemos afirmar que ocorre a implicação. Implicações Notáveis (Regras de Inferência): Temos várias implicações notáveis, mas detalharemos apenas as 2 mais importantes que são: I) Regra Modus Ponens: Dada por (p → q) ∧ p ⇒ q É uma implicação lógica, pois fazendo a tabela verdade e substituindo o símbolo de implicação (⇒) pelo conectivo (→) verificamos que ocorre uma Tautologia. p
q
(p → q)
(p → q) ∧ p
[(p → q) ∧ p] → q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
II) Regra Modus Tollens: Dada por (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p É outra implicação lógica, pois fazendo a tabela verdade e substituindo o símbolo de implicação (⇒) pelo conectivo (→) verificamos que ocorre uma Tautologia. p
~p
q
~q
(p → q)
(p → q) ∧ ~q
[(p → q) ∧ ~q] → ~p
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
Outras Regras de Inferência são: Adição: p ⇒ p ∨ q; q ⇒ p ∨ q Conjunção: p ∧ q ⇒ p; p ∧ q ⇒ q; q ∧ p ⇒ p; q ∧ p ⇒ q Simplificação Disjuntiva: (p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) ⇒ p Absorção: p → q ⇒ p → (p ∧ q) Regra do silogismo disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q; (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p Silogismo hipotético: (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r Dilema construtivo: [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] ⇒ q ∨ s Dilema destrutivo: [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~p ∨ ~s)] ⇒ ~p ∨ ~r Relações entre as implicações: 1ª) p ⇒ q e q ⇒ p (implicações recíprocas): Duas proposições recíprocas não são logicamente equivalentes; uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja; complemento_de_racicinio_logico
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2ª) p ⇒ q e ~p ⇒ ~q (implicações inversas): Duas proposições inversas não são logicamente equivalentes; uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja; 3ª) p ⇒ q e ~q ⇒ ~p (implicações contrapositivas): Duas proposições contrapositivas SÃO logicamente equivalentes. Sempre que uma É VERDADEIRA, a outra também SERÁ VERDADEIRA. Exemplo Æ Considere a proposição: “Se ela é uma boa cozinheira, então, ela é pobre” (p → q). Determine: a) a proposição recíproca; b) a proposição inversa; c) a proposição contrapositiva.
Resolução: a) A proposição recíproca será: “Se ela é pobre, então, ela é uma boa cozinheira” (q → p); b) A proposição inversa será: “Se ela não é uma boa cozinheira, então, ela não é pobre” (~p → ~q); c) A proposição contrapositiva: “Se ela não é pobre, então, ela não é uma boa cozinheira” (~q → ~p). As duas primeiras não são equivalentes à proposição original, isto é, não têm os mesmos resultados nas linhas de suas Tabelas Verdade. Somente para a contrapositiva, teremos uma equivalência com a proposição inicial, ou seja: p → q ⇔ ~q → ~p. Demonstração, através das Tabelas Verdade: p V V F F
q V F V F
p→q V F V V
Recíproca q→p V V F V
~p F F V V
⇔
~q F V F V
Inversa ~p → ~q V V F V
Contrapositiva ~q → ~p V F V V
Silogismo: É um termo filosófico com o qual Aristóteles designou a argumentação lógica perfeita, constituída de três proposições declarativas que se conectam de tal modo que a partir das duas primeiras, chamadas premissas, é possível deduzir uma conclusão. O silogismo é um tipo de argumento composto de três proposições: duas premissas e uma conclusão. Sua origem está ligada ao berço da civilização ocidental, a Grécia antiga com o pensamento do filósofo Aristóteles. Argumentação Lógica: Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições P1, P2, P3, ..., Pn tem como conseqüência uma proposição final Q. As proposições P1, P2, P3, ..., Pn são chamadas de premissas do argumento e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento. A seqüência de premissas e conclusão poderá estar disposta horizontalmente ou verticalmente. No 1º caso temos: P1, P2, P3, ..., Pn ⏐⎯ Q onde o símbolo ⏐⎯ (traço de asserção) significa “acarreta”, ou seja, as premissas P1, P2, P3, ..., Pn, acarretam uma conclusão Q. Nos diversos exemplos de silogismos dispostos abaixo, será demonstrado o 2º caso (disposição vertical), com a conclusão precedida por ∴ (símbolo de conclusão).
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Os argumentos são divididos em 2 grupos: 1) ARGUMENTOS INDUTIVOS Æ Quando suas premissas NÃO fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões. Exemplo: • O Fluminense é um bom time de futebol • O Palmeiras é um bom time de futebol • O Grêmio é um bom time de futebol ∴ Todos os times de futebol do Brasil são bons Resultado: A conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas e não se aplica a validade ou não para argumentos indutivos. A validade é uma propriedade dos argumentos DEDUTIVOS, e dependerá da forma lógica das proposições e não do conteúdo delas. 2) ARGUMENTOS DEDUTIVOS Æ Quando suas premissas fornecem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo 1: • Todas as mulheres são bonitas • Todas as loiras são mulheres ∴ Todas as loiras são bonitas Repare que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Se dissermos:
B
• Todo M é B
M
• Todo L é M L
∴ Todo L é B O argumento continua sendo válido.
Observação Importante: Não devemos confundir veracidade das premissas com validade do argumento, pois mesmo com premissas falsas e conclusão falsa, o argumento poderá ser válido (ou não), dependerá da sua estrutura lógica. Exemplo 2: • Todos os pássaros têm asas (V) • Todas as gaivotas são pássaros (V) ∴ Todas as gaivotas têm asas (V) Neste exemplo, tivemos todas as premissas verdadeiras e conclusão verdadeira, sendo válido o argumento (veja no diagrama que não há como negar que todo G tem asas). Mas se trocarmos as palavras “pássaros” por “peixes” e “gaivotas” por “gatos”, ainda assim o argumento será válido. Veja o exemplo 3. Exemplo 3:
TÊM ASAS
• Todos os peixes têm asas (F)
P
• Todos os gatos são peixes (F) G
∴ Todos os gatos têm asas (F)
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Ficamos com todas as premissas falsas e a conclusão também falsa, mas ainda assim o argumento será válido. Veja, no diagrama, que não há como negar que todo G tem asas. Assim, a conclusão, mesmo sendo falsa, é sustentada pelas premissas (também falsas). Agora vamos trocar as palavras “gatos” por “pássaros”. Veja o exemplo 4. TÊM ASAS Peixes Exemplo 4: • Todos os peixes têm asas (F) • Todos os pássaros são peixes (F)
Pássaros
∴ Todos os pássaros têm asas (V)
Todas as premissas continuam falsas, mas a conclusão passa a ser verdadeira. Ainda assim, com premissas falsas, o argumento será válido, pois como pode ser visto no diagrama, não há como negar que todos os pássaros têm asas. Assim, podemos ter argumentos VÁLIDOS com: PREMISSAS CONCLUSÃO
V V
F F
F V
Só não podemos ter: premissas verdadeiras e conclusão falsa. Se isto acontecer, o argumento não será válido, estaremos diante de um sofisma ou falácia, pois a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. ARGUMENTOS VÁLIDOS IMPORTANTES: I) AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTE (MODUS PONENS): (p → q) ∧ p ⇒ q. Exemplo: • Se Lalau for pego roubando, então será demitido. • Lalau foi pego roubando. ∴ Lalau será demitido. II) NEGAÇÃO DO CONSEQÜENTE (MODUS TOLLENS): (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p. Exemplo: • Se ela me ama, então quer casar comigo. • Ela não quer casar comigo. ∴ Ela não me ama. Já para os argumentos NÃO-VÁLIDOS a tabela terá 4 colunas, pois podemos ter argumentos nãoválidos com qualquer caso, principalmente premissas verdadeiras e conclusão falsa. Neste último caso o argumento só poderá ser não-válido (a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão), nunca poderá ser válido: PREMISSAS CONCLUSÃO
V V
F F
F V
V F Mamíferos
MORTAIS
EXEMPLOS DE ARGUMENTOS NÃO-VÁLIDOS: • Todos os mamíferos são mortais (V)
G
G
• Todos os gatos são mortais (V) ∴ Todos os gatos são mamíferos (V)
G
Mesmo com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira, o argumento não é válido. complemento_de_racicinio_logico
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Como podemos ver no diagrama, com essas premissas a conclusão não será necessariamente verdadeira, pois podem ser todos os gatos mortais e mamíferos, mas também podemos ter todos os gatos mortais e apenas alguns serem mamíferos e ainda podemos ter todos os gatos mortais e nenhum ser mamífero. É fácil demonstrar que o argumento não é válido e que as premissas não garantem a veracidade da conclusão. Basta substituir os gatos por cobras. Ficamos com: MORTAIS Mamíferos • Todos os mamíferos são mortais (V) • Todas as cobras são mortais (V) ∴ Todas as cobras são mamíferas (F)
C
C
C
O argumento não é válido pelo mesmo motivo anterior, a veracidade das premissas não garante a veracidade da conclusão. Como podemos ver no diagrama, podemos ter todas as cobras mortais e mamíferas, ou cobras mortais e apenas algumas serem mamíferas ou ainda o caso de mortais e nenhuma ser mamífera. ALÉM DISSO, para que um argumento seja VÁLIDO, a conclusão terá que ser verdadeira todas as vezes que as premissas forem verdadeiras, pois o argumento válido goza da seguinte propriedade: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Logo, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão relacionadas com a conclusão de tal forma, que não é possível ter a conclusão falsa se todas as premissas forem verdadeiras. Essa validade pode ser verificada, demonstrada ou testada através das tabelas-verdade, com o uso das regras de inferência ou pelos diagramas de Euler/Venn, que deverão ser utilizados sempre que tivermos proposições categóricas (proposições usando os quantificadores “todo”, “algum” ou “nenhum”) através de silogismos (duas premissas e uma conclusão). Veremos agora um tipo de argumento que, ao contrário dos silogismos, só será válido quando todas as premissas e a conclusão forem verdadeiras. Usando como exemplo uma questão de concurso público (SERPRO-96): Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora. Portanto: (a) Ana é advogada. (b) Sandra é secretária. (c) Ana é advogada ou Paula não é professora. (d) Ana é advogada e Paula é professora. (e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária.
Como resolvê-la? Sabemos que, para esse tipo de argumento ser válido, todas as suas premissas terão que ser verdadeiras e a conclusão também. O que está sendo pedido nesta questão e também será em todas as outras deste tipo, é: Qual a conclusão (necessariamente verdadeira) para o conjunto de premissas (todas verdadeiras) dado? Neste exemplo de questão, temos três premissas: 1) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária; 2) Se Ana é advogada, então Paula não é professora; 3) Paula é professora. complemento_de_racicinio_logico
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Por qual delas iremos começar a questão? A primeira e a segunda são premissas condicionais (do tipo: se, então) e podem ser verdadeiras de 3 formas diferentes (V,V), (F,V) ou (F,F). Já a terceira, além de ser incondicional, ela é dada (afirmada) como verdadeira, pois é dito: “Ora, Paula é professora.” Será por essa premissa que começaremos a resolução da questão, mas antes vamos transformar as proposições em letras e usar os símbolos lógicos para os conectivos, ou seja, vamos traduzir o enunciado para a linguagem lógica. Denominaremos por: “a” a proposição: “Ana é advogada”; “s” a proposição: “Sandra é secretária”; “p” a proposição: “Paula é professora”. Note que devemos colocar (para não confundir) as proposições sempre na forma afirmativa e usar o modificador para negá-la quando for necessário. É mais seguro do que colocar umas na forma afirmativa e outras na forma de negação. Então a argumentação lógica fica assim: ~a → s; a → ~p; p ⏐⎯ CONCLUSÃO (?). Para descobrir o valor dessa conclusão (a única entre as opções de resposta, que será V), vamos começar pela única das 3 premissas que é incondicional, a terceira, atribuindo-lhe o valor V. Sendo a proposição p verdadeira, a sua negação (~p) só pode ser falsa. Assim: ~a → s; a → ~p; p. ;
F; V.
A segunda premissa, para ser verdadeira, não pode ter o valor V para a proposição a, pois na condicional a seqüência VF tem como resultado o valor F. Logo, a proposição a tem que ter o valor F para que a premissa a → ~p tenha V como resultado. Sendo a proposição a falsa, a sua negação (~a) só pode ser verdadeira. Logo: ~a → s; a → ~p; p. ; F → F; V.
V
;
V;
V.
Portanto, na primeira premissa, o valor verdade da proposição s não poderá ser F, terá que ser V para que o seu resultado seja V, pois a seqüência VF na condicional terá F como resultado. Assim, finalizamos com: ~a → s; a → ~p; p. V → V ; F → F; V. V
;
V;
V.
Para essa argumentação ser válida, a conclusão também terá que ser verdadeira. Já sabemos que: a proposição “a”: “Ana é advogada” É FALSA; a proposição “s”: “Sandra é secretária” É VERDADEIRA; a proposição “p”: “Paula é professora” É VERDADEIRA.
Examinemos agora, cada uma das opções de resposta: (a) Ana é advogada. Não pode ser a opção de resposta, pois no argumento dado, esta proposição É FALSA; (b) Sandra é secretária. É a resposta da questão, pois no argumento dado, esta proposição É VERDADEIRA; Já chegamos no gabarito da questão, mas vamos demonstrar porque não podemos ter como gabarito da questão as outras três opções: complemento_de_racicinio_logico
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(c) Ana é advogada ou Paula não é professora. Proposição disjuntiva (OU). Mas Ana é advogada É FALSA e Paula não é professora também É FALSA. Mesmo na disjunção, a seqüência FF resultará em F e não poderá ser a opção de resposta; (d) Ana é advogada e Paula é professora. Proposição conjuntiva (E). Logo na primeira proposição já temos FALSA e sendo o conectivo E, uma delas sendo F, o resultado será F. Também não pode ser a opção de resposta; (e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. Assim como na opção de resposta anterior, é uma proposição conjuntiva (E). A primeira proposição é VERDADEIRA (negação de uma proposição falsa), mas a segunda É FALSA (negação de uma proposição verdadeira) e assim, a seqüência VF resultará F. Também não pode ser a opção de resposta. Logo, entre as opções de resposta, a única conclusão possível (verdadeira) para o argumento é o exposto na letra B: Sandra é secretária. O argumento completo ficaria assim: Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora. Portanto, Sandra é secretária. O raciocínio é o mesmo para as outras questões com este tipo de argumento: começar escolhendo uma das premissas (que não seja condicional ou disjuntiva) para atribuir valor V e assim descobrir o valor verdade das outras que tornará o argumento válido, faltando apenas descobrir, entre as opções de resposta a única conclusão verdadeira. Quantificadores: Universal – Símbolo: ∀ – Significado: “para todo”, “qualquer que seja” Existencial – Símbolo: ∃ – Significado: “existe algum”, “existe pelo menos um” Símbolo: ∃| – Significado: “existe apenas um”, “existe um único” Símbolo:
∃/ – Significado: “não existe”
Vimos nas implicações lógicas, nas equivalências lógicas e na argumentação lógica quão importante é sabermos usar as Tabelas Verdade. Nas sentenças quantificadas (proposições categóricas), será importante sabermos utilizar os Diagramas de Euler-Venn (Diagramas Lógicos). Por exemplo: se dissermos que todo A é B, isto quer dizer que todo o conjunto A está contido no conjunto B. Podemos representar tal situação através do seguinte diagrama:
B A
Se dissermos que algum A é B, isto quer dizer que alguns elementos de A pertencem ao conjunto B e outros não. Podemos representar tal situação através do seguinte diagrama:
B
A
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Para a situação em que não existe A em B, ou seja, nenhum A é B temos:
A
B
Sentenças abertas: Diz-se que uma sentença é aberta quando o valor verdade da proposição depender de uma incógnita. Nesse caso, não podemos, como nas sentenças declarativas, classificar de imediato como V ou F. Temos que determinar o valor da incógnita. Exemplo: Determine o conjunto verdade em Z da sentença aberta: 2X + 8 = 2. Resposta: V = {–3} pois 2X = 2 – 8 ⇒ 2X = –6 ⇒ X = –3 (pertence ao conjunto Z). Se o conjunto verdade fosse em N, a resposta seria V = ∅ pois –3 ∉ N. Afirmação e negação nas sentenças abertas; Afirmação (∀x) (p(x)) (∃x) (p(x)) p(x) ∧ q(x) p(x) ∨ q(x) p(x) → q(x) q(x) → p(x) p(x) ↔ q(x)
Negação (∃x) (~p(x)) (∀x) (~p(x)) ~p(x) ∨ ~q(x) ~p(x) ∧ ~q(x) p(x) ∧ ~q(x) q(x) ∧ ~p(x) (p(x) ∧ ~q(x)) ∨ (q(x) ∧ ~p(x))
Número de Tabelas de Valorações Distintas Não devemos jamais confundir o número de tabelas de valorações distintas com o número de linhas de uma Tabela Verdade. No de tabelas de valorações distintas ≠ No de linhas da Tabela Verdade. Como já vimos antes, logo no início do nosso estudo, o número de linhas de uma Tabela Verdade será dado pelo número de proposições envolvidas e será igual a 2n, onde n será o número de proposições simples da proposição composta. Para n = 2, o número de linhas da T.V. será 22 = 4 linhas. n Já o número de valorações distintas será dado por: 2 ( 2 ) .
Mas como 2 n é o número de linhas de uma T.V. podemos dizer que o número de valorações distintas é dado por 2número de linhas da T.V.. Por exemplo, para 2 proposições, teremos 4 linhas e 24 = 16 valorações distintas conforme demonstrado abaixo. Valorações distintas para 2 proposições: Proposições p V V F F
q V F V F
Valorações distintas V1 V V V V
V2 V V V F
V3 V V F V
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V4 V V F F
V5 V F V V
V6 V F V F
V7 V F F V
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V8 V F F F
V9 F V V V
V10 F V V F
V11 F V F V
V12 F V F F
V13 F F V V
V14 F F V F
V15 F F F V
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V16 F F F F
A valoração V1 corresponde à proposição: p ∨ ~p; A valoração V2 corresponde à proposição: p ∨ q; A valoração V3 corresponde à proposição: p ∨ ~q; A valoração V4 corresponde à proposição: p; A valoração V5 corresponde à proposição: p → q; A valoração V6 corresponde à proposição: q; A valoração V7 corresponde à proposição: p ↔ q; A valoração V8 corresponde à proposição: p ∧ q; A valoração V9 corresponde à proposição: ~(p ∧ q); A valoração V10 corresponde à proposição: p ∨ q; A valoração V11 corresponde à proposição: ~q; A valoração V12 corresponde à proposição: p ∧ ~q; A valoração V13 corresponde à proposição: ~p; A valoração V14 corresponde à proposição: ~p ∧ q; A valoração V15 corresponde à proposição: ~(p ∨ q); A valoração V16 corresponde à proposição: p ∧ ~p; Agora, vamos ver como fazer a resolução de questões, bastante comuns em provas de concursos, que envolvem verdades e mentiras. Como exemplo, temos uma questão do concurso para Fiscal do Trabalho-1998, prova elaborada pela ESAF. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: (a) Armando
(b) Celso
(c) Edu
(d) Juarez
(e) Tarso
RESOLUÇÃO Atentar para as seguintes observações do enunciado: 1ª) O crime foi cometido por um e apenas um dos cinco suspeitos; 2ª) Apenas um dos suspeitos mentiu, os outros quatro disseram a verdade; Pela observação 2, teremos 5 hipóteses para a identidade do mentiroso: SUSPEITO
DECLARAÇÕES
Armando Celso Edu Juarez Tarso
"Sou inocente" "Edu é o culpado" "Tarso é o culpado" "Armando disse a verdade" "Celso mentiu"
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H1 F V V V V
HIPÓTESES H2 H3 H4 V V V F V V V F V V V F V V V
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H5 V V V V F Página 16
As hipóteses H1, H4 e H5 podem ser imediatamente descartadas, pois considerando verdadeiras as declarações de Celso e Edu, teríamos 2 culpados (Edu e Tarso). Mas o enunciado explicita que somente um é culpado. A hipótese H1 é ainda pior, pois sendo falsa a declaração de Armando, ele também seria culpado e ficaríamos com 3 culpados. Assim, ficam somente 2 hipóteses para examinar: H2 e H3. SUSPEITO
DECLARAÇÕES
Armando Celso Edu Juarez Tarso
"Sou inocente" "Edu é o culpado" "Tarso é o culpado" "Armando disse a verdade" "Celso mentiu"
HIPÓTESES H2 H3 V V V F F V V V V V
A hipótese H2 é perfeita, pois ficamos com: Armando = INOCENTE, pois estamos considerando a sua declaração verdadeira; Edu = INOCENTE, pois estamos considerando que a declaração de Celso é falsa; Tarso = CULPADO, pois estamos considerando que a declaração de Edu é verdadeira; Juarez = INOCENTE, pois ninguém o acusa e ele confirma a declaração de Armando; Celso = INOCENTE, pois ninguém o acusa e Tarso confirma que ele mentiu sobre a culpa de Edu; A hipótese H3 não é viável porque temos, nesta hipótese, uma contradição entre 2 declarações. Se considerarmos verdadeira a declaração de Celso e verdadeira a declaração de Tarso ("Celso mentiu"), teríamos Celso falando verdade e mentira ao mesmo tempo, o que não é possível, pois uma declaração não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (princípio da não-contradição). Agora, para divertir um pouco, abaixo relaciono alguns exemplos de argumentos dedutivos NÃO-VÁLIDOS ou FALÁCIAS: Deus ajuda quem cedo madruga. Quem cedo madruga, dorme à tarde... Quem dorme à tarde, não dorme à noite... Quem não dorme à noite, sai na balada!!!!!!! Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!!!! Deus é amor. O amor é cego. Steve Wonder é cego. Logo, Steve Wonder é Deus. Disseram-me que eu sou ninguém. Ninguém é perfeito. Logo, eu sou perfeito. Mas só Deus é perfeito. Portanto, eu sou Deus. Se Steve Wonder é Deus, eu sou Steve Wonder!!!! Meu Deus, eu sou cego!!! Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos. Quanto mais queijo, mais buracos. Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo. Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo. Toda regra tem exceção. Isto é uma regra. Logo, deveria ter exceção. Portanto, nem toda regra tem exceção. complemento_de_racicinio_logico
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Existem biscoitos feitos de água e sal. O mar é feito de água e sal. Logo, o mar é um biscoitão. Quando bebemos, ficamos bêbados. Quando estamos bêbados, dormimos. Quando dormimos, não cometemos pecados. Quando não cometemos pecados, vamos para o Céu. Então, vamos beber para ir pro Céu! Penso, logo existo. Loiras burras não pensam, logo, loiras burras não existem. Meu amigo diz que não é gay porque namora uma loira inteligente. Se uma loira inteligente namorasse meu amigo ela seria burra. Como loiras burras não existem, meu amigo não namora ninguém. Logo, meu amigo é gay mesmo. Tempo é dinheiro. Hoje em dia, os trabalhadores não têm tempo pra nada. Já os vagabundos... têm todo o tempo do mundo. Logo, os vagabundos têm mais dinheiro do que os trabalhadores.
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