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4ème Scexp
SERIE D’EXERCICES
FONCTIONS ET FONCTIONS RECIPROQUES
Exercice1:
[0,0,1] [0,0,14] 2 − ∈ − 0, 4 1 − 4 0, −0 −1− − √ 2 1 ]0,0,∞[∞[ ∀∈ − ∀ ∈ ]0,0,∞[∞[, − ++√ + cot c ot g 0, ℝ+ − 0, ℝ+ ∈ ℝ+ − +− 0, − ′ ℎ ℎ ℝ∗+ℝ∗ ℎ −(√ ) −ℝ√ ∗; − − + + (√ ) √ :: 0, → ℝ tg tg 0, [0,0,∞[ 0,0, . − − 0, + − >0 − [0,0,∞[ 0 l→+im −. [ [ 0, 0 , ∞ − [0,0,∞[ − −+ > > 0 ℎ ℎ pour pour touttout ∈ ]0,0,∞[∞[ ] [ ] [ ℎ 0, 0 , ∞ ℎ p our o ur t out o u t ∈ ∈ 0, 0 , ∞ . ℎ1 pour pour touttout ∈ ]0,0,∞[: − −
Soit f la fonction définie sur
, , par :
.
1) Montrer que f réalise une bijection de 2) Calculer
pour tout
sur un intervalle I que l’on précisera .
I.
3) Calculer de deux façons différentes
, en précisant son domaine .
Exercice2:
Soit g la fonction définie sur
par par : g(x) =
.
a) Montrer que g réalise une bijection de
b) Calculer
;
et
c) Etudier la dérivabilité de d) Montrer que
sur un intervalle J que l’on précisera. .
, à droite en 0 .
est dérivable sur
et et que :
.
Exercice3:
Soit la fonction definie sur
par :
1) Montrer que réalise une bijection de 2) Montrer que
est dérivable sur
sur sur
.
et que pour tout
,
3)
a) Montrer que l'équation
admet une solution unique α dans
b) Tracer dans un même repère les courbes
4) Soit la fonction définie sur
et
de de et
.
.
par:
Montrer que est constante sur
. En déduire que pour tout
Exercice 4
Soit la fonction
définie par
1)
a) Montrer que réalise une bijection de
b) Montrer que
c) Montrer que d)
sur sur
.
, possède , possède une solution α unique dans dans
est dérivable sur
et et que:
est elle dérivable en 0? Justifier le.
2) On considère la fonction définie sur
par: par:
a) Déterminer
b) Montrer que est continue à droite en 0. Montrer que est continue sur c) Montrer que est dérivable sur
.
et et que :
3) On considère la fonction définie par: : a) Montrer que est dérivable sur
b) Calculer
et et calculer
. En déduire que
Exercice 5 :
Mr.Hedi Souissi
Etude de fonctions et fonction réciproques
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Soit la fonction définie par: 1)
1√ { 2√ 11 <1 ≥1
1 ℝ ℝ\1} ≠1 ]∞,]1∞,[ 1[ ]0,1[ − − ∈ ]0,1[ ,⃗, − − [0,1] ∈0[0,1] ;+| |≤ √ ∀∈ℕ √ ∈ℕ , |+ |≤ | |
a) Montrer que est continue sur
.
b) Etudier la dérivabilité de en
. Interpréter le résultat en donnant les conséquences graphiques pour
la courbe de .
c) Etudier la dérivabilité de sur
. Calculer
, pour tout réel
d) Dresser le tableau de variations de . 2) On désigne par la restriction de à
a) Montrer que réalise une bijection de b) Déterminer
sur
; pour tout
. On note
la bijection réciproque de .
.
c) Construire dans un même repère orthonormé 3) On considère la fonction h définie sur
les courbe
et
, de et
.
par : h(x) = f(x) – x
Montrer que l’équation h(x) = 0 ; admet une solution unique .Encadrer au dixième près. 4) Soit U la suite définie par
et
,
a) Montrer que pour tout x
.
.
b) Montrer que pour tout
.
c) En déduire que la suite U est convergente vers . Exercice 6 :
0, √ ; ∈6 , 0, C ]0,1[ ∀∈]0,1[ , √− 4⁄4 √ 1 4. O n pose ℎ∘ [0,1] 1 [[00,,11]] ]0∀∈,1[ [0,1] , ℎ ℎ’ ’ = ∑ ℎ = pour tout ∈ℕ∗ et toutℎent1≤ℎ ier tel ≤ℎ que 1<≤ ;on a∶ 1
I-
Soit f la fonction définie sur
par :
1)
Dresser le tableau de variation de f
2) a- Montrer que l’équation
.
admet une solution unique
.
b- construire , dans un repère orthonormé , la courbe ( C ) de f. 3) a- Montrer que f réalise une bijection de
sur un intervalle J que l’on précisera.
b- on note g la fonction réciproque de f. Construire dans le même repère que
la courbe (C’) de g.
c-Montrer que g est dérivable à droite en 0 et donner gd’(0). d-Montrer que g est dérivable sur II-
Soit
la fonction définie sur
et que :
par :
1) Etudier les variations de
sur
.
2) Montrer que h est continue sur
3) Montrer que h est dérivable sur 4) Calculer h(0). En déduire que :
et que :
5) On considère la suite U définie par :
a) Montrer que :
b) En déduire que U est convergente et déterminer sa limite .
Mr.Hedi Souissi
Etude de fonctions et fonction réciproques
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