Transcript
1 ŪFE 1 ZÁKLADY KRYSTALOOPTIKY Jiří Čtyroký
[email protected] Ústav fotoniky a elektroniky AV ČR, v.v.i. 2016 www.ufe.cz/cs/fjfi2 ŪFE 2 Tenzor a jeho transformace při rotaci souřadnicové soustavy Vektor: Tenzor 2. řádu: Dyadický součin vektorů: v „maticovém“ vyjádření V maticovém vyjádření Tenzor 3. řádu: Tenzor 4. řádu: Skalární součiny tenzorů:3 ŪFE 3 Tenzor a jeho transformace při rotaci souřadnicové soustavy - II Dvojný skalární součin: Rotace souřadnic: původní soustavapootočená Matice směrových kosinů: Matice zpětné transformace Transformace vektoru: Zřejmě Analogicky atd. Sumační symbol se často vynechává, sčítá se přes opakující se symboly4 ŪFE 4 Základy krystalooptiky Šíření vln v anizotropním prostředí Časově harmonicky proměnné pole beze zdrojů: Šíření vln se řídí Maxwellovými rovnicemi Další dvě rovnice jsou přímým důsledkem prvých: Anizotropie je popsána vztahem mezi E a D : Z obecných zákonů termodynamiky lze odvodit, že tenzor relativní permitivity v bezeztrátovém prostředí je hermitovský; my se budeme zabývat prostředími popsanými reálným symetrickým .5 ŪFE 5 Reálný symetrický tenzor je možno diagonalizovat rotací (volbou) souřadnicového systému; v nové souřadnicové soustavě má tenzor relativní permitivity diagonální tvar Z obecných vlastností symetrických matic plyne, že vlastní vektory tenzoru (krystalografické osy tenzoru) jsou tři a jsou vzájemně ortogonální. Klasifikace anizotropních prostředí: opticky dvojosé prostředí (nejobecnější; krystaly) opticky jednoosé prostředí (krystaly, polymery,...) izotropní prostředí (většina pevných látek a kapalin) Šíření rovinných vln v anizotropním prostředí Fázová rychlost šíření:6 ŪFE 6 Vztahy mezi vektory pole Analogicky s přechodemlze snadno odvodit, že pro Pak Odtud Závěry: 1. Trojice vektorů D 0, H 0, l tvoří pravotočivou ortogonální soustavu vektorů; 2. Vektory E 0 a H 0 jsou vzájemně ortogonální; 3. Vektory D 0 a E 0 nejsou obecně vzájemně rovnoběžné; 4. Vektory E 0, D 0, H 0 jsou vzájemně soufázové; 5. Směr šíření energie (Poyntingova vektoru) není rovnoběžný s vlnovým vektorem,7 ŪFE 7 „Disperzní“ (Fresnelova) rovnice pro anizotropní prostředí: To lze přepsat do tvaru kdeje dyáda vektorů a, b. Fresnelova rovnice má explicitní tvar Podmínkou existence netriviálního řešení E 0 je nulovost determinantu V osové poloze (diagonální ) je8 ŪFE 8 je tedy polynom 4. stupně v každé z proměnných l x, l y, l z, symetrický vůči inverzi os. Řešením (např. l z pro zadané l x, l y, ) jsou tedy 2 hodnoty l z1,2 a 2 hodnoty l z3,4 = – l z1,2. Plocha je tedy plochou 4. stupně, tzv. plochou vlnových vektorů. Ukážeme, že energie se šíří kolmo k ploše vlnových vektorů. Směr šíření energie určuje grupová rychlost, Poněvadž a tedy Směr šíření energie je tedy rovnoběžný s normálou k ploše vln. vektorů. Vektory H 0 i E 0 jsou kolmé ke směru Poyntingova vektoru, tj. k normále plochy = 0. H 0 je navíc kolmý i k l. Po úpravě dostaneme9 ŪFE 9 Alternativní popis chování vlny v anizotropním prostředí pomocí „elipsoidu indexů lomu“ Zavedeme projektor do podprostoru kolmého k l jako tenzor Poněvadž je D 0 kolmé k l, projekcí D 0 do podprostoru kolmého k l se tento vektor nemění: Pak se rovnicedá přepsat do tvaru je v podstatě dvojrozměrný tenzor v rovině kolmé na l a rovnice je rovnicí elipsy v této rovině. Odtud plyne konstrukce elipsoidu indexů lomu a orientace vektorů D 0. Ve složkách zřejmě platí10 ŪFE 10 Úprava obecné disperzní relace pro speciální případy: nono x y V izotropním prostředí popisuje disperzní rovnice „dvojnásobně degenerovanou“ kulovou plochu.11 ŪFE 11 Jednoosé prostředí: Rovnice kulové plochy (řádná vlna): Rotační elipsoid (mimořádná vlna): neboli nono nene optická osa x z y V rovině (x z) platí kde je úhel vlnového vektoru l od osy z.12 ŪFE 12 Dvojosé prostředí Plocha vlnových vektorů dvojosého prostředí s indexy lomu n x = 1, n y = 2, n z = 313 ŪFE 13 Pro dvojosé prostředí lze řezy plochy vlnových vektorů souřadnicovými rovinami l x, l y, l z vyjádřit ve tvaru což je součin rovnice kružnice a rovnice elipsy. x z y x z y14 ŪFE 14 Prostředí s optickou aktivitou – chirální prostředí Optická aktivita = stáčení roviny polarizace lineárně polarizované vlny. Chirální prostředí je prostředí bez translační symetrie. Konstituční relace pro chirální prostředí lze zavést různým způsobem. Jeden z možných je je bezrozměrný symetrický tenzor 2. řádu, tzv. chirální tenzor Šíření rovinné vlny v chirálním prostředí Rovinnou vlnu popisují vztahy Dosazením do Maxwellových rovnic získáme Rotace dá15 ŪFE 15 Z prvé rovnice vypočítáme Dosazením do druhé rovnice dostaneme Rovnici pak můžeme upravit do tvaru kde V souřadnicové soustavě, v níž je diagonální, má rovnice tvar Disperzní rovnice pro rovinnou vlnu v chirálním prostředí: … plocha 4. stupně v souřadnicích16 ŪFE 16 Izotropní chirální prostředí volme Pak disperzní rovnice přejde na tvarPoslední rovnice má řešení Další dvě mají netriviální řešení, pokud Poněvadž prakticky vždy získáme obecný vztah pro amplitudy pole získáme Vlastní vlny izotropního chirálního prostředí jsou tedy kruhově polarizované a šíří se s indexem lomu V izotropním prostředí lze za osu z zvolit libovolný směr; plocha vlnových vektorů se tedy rozpadá na dvě kulové plochy o poloměrech17 ŪFE 17 Stáčení roviny polarizace v izotropním chirálním prostředí Je-li v místěinzenzita elektrického pole lineárně polarizovaná, je ji možno vyjádřit jako superpozici dvou kruhově polarizovaných vln, kde Pak Při šíření na vzdálenost L se polarizace pootočí o úhel Chirální parametr g je tedy určen specifickou stáčivostí polarizace, Specifická stáčivost a chirální parametr některých materiálů na vln. délce 632,8 nm: materiál j/Lg křemen SiO 2 22°/mm3.85×10 –5 paratelurit TeO 2 87°/mm1.52 ×10 –4 Bi 12 GeO 20 20 °/mm3.5 ×10 –518 ŪFE 18 x z nyny nxnx nznz y nono nene x z nono x y z Vliv optické aktivity prostředí na tvar ploch vlnových vektorů a) Izotropní prostředíb) Jednoosé prostředíc) Dvojosé prostředí optická osa19 ŪFE 19 Úvod do základů teorie hyperbolických (meta)materiálů20 ŪFE 20 Elementární teorie efektivního prostředí (EMT) J. C. Maxwell Garnett, "Colours in metal glasses and in metallic films,“ Philosophical Transaction of the Royal Society London 203, 385-420 (1904). Vrstevnaté prostředí s parametry Tedy Efektivní prostředí je anizotropní, jednoosé, s tenzorem permitivity Střední hodnota elektrické indukce pro elektrické pole rovnoběžné s vrstvami : Tedy Střední hodnota intenzity elektrického pole pro elektrickou indukci rovnoběžnou s vrstvami :21 ŪFE „Duální“ („nanodrátové“) efektivní prostředí Evidentně, Efektivní anizotropní jednoosé prostředí Ideální (bezeztrátové) metalo-dielektrické (efektivní) prostředí: Příklad: Ag/SiO 2 na vln. délce 700 nm: f 0.2-2.702.71 0.5-9.944.69 0.7-14.769.12 0.8-18.3831.1422 ŪFE 22 Fresnelova disperzní formule pro jednoosé prostředí: Pro (bezeztrátové) vrstevnaté prostředí Tedy „Řádná“ evanescentní (tlumená) vlna – objemový plazmon (nešířivá vlna) Jednodílný rotační hyperboloid Pro (bezeztrátové) „drátové“ prostředí „Řádná“ „šířivá“ (netlumená) vlna – polaritonový mód Dvojdílný rotační hyperboloid (poloměr je kladný jen pro ).23 ŪFE 23 Hyperbolické plochy vlnových vektorů Dvojdílný rotační hyperboloidJednodílný rotační hyperboloid polaritonový mód (kulová plocha)24 ŪFE 24 Řezy hyperbolickými plochami vlnových vektorů Dvojdílný rotační hyperboloidJednodílný rotační hyperboloid25 ŪFE 25 Hyperbolické plochy komplexních vlnových vektorů Jednodílný rotační hyperboloidDvojdílný rotační hyperboloid26 ŪFE 26 Plochy komplexních vlnových vektorů ve ztrátovém hyperbolickém prostředí27 ŪFE 27 Možné potenciální aplikace: zobrazování planární čočkou z hyperbolického materiálu „řádné“ paprsky „mimořádné“ paprsky... a mnohé další...28 ŪFE 28 Základy teorie šíření akustických vln v elastickém prostředí29 ŪFE 29 Šíření akustické vlny v elastickém prostředí (B.A.Auld: Acoustic fields and waves in solids I, II, J. Wiley 1973) Deformace tělesa: (elastická) výchylka bodu Element vzdálenosti mezi dvěma body vzdálenými o se při deformaci změní na kde je gradient výchylky (dyáda). Pokud Pak nejde o deformaci, ale o pootočení tělesa: kde nezmění se velikost Tenzor deformace se proto zavádí jako symetrická část tenzoru gradientu výchylky,30 ŪFE 30 Silové působení v pevných látkách Síla působící na element plochy dA je dF: Síla působící na element objemu je T... tenzor pnutí pevné látky Poněvadž element pevné látky se „neotáčí“, na element tělesa nepůsobí moment síly, tenzor pnutí je tedy symetrický: „Hookův zákon“:Pro malé deformace platí lineární vztah mezi T a S Symetrie umožňuje zavést zkrácené značení (Voigtův zápis) Ze symetrie T a S vyplývá Lze ukázat, že s deformací je spojena hustota energie a tedy31 ŪFE 31 Dynamika elastického prostředí; šíření akustických vln Analogie Newtonovy silové rovnice pro element objemu látky a tedy Po dosazení za T a s uvážením symetrie S dostaneme což je vlnová rovnice pro Rovinná akustická vlna: Dosazením získáme... soustava 3 lineárních rovnic pro 3 složky amplitudy Jinak: úloha pro vlastní číslaa vlastní vektory pozitivně definitní reálné symetrické matice s prvky obecně existují 3 vlastní čísla a 3 vlastní vektory vzájemně ortogonální. V každém směru n 0 se mohou šířit 3 akustické vlny vzájemně ortogonálně polarizované, s různými fázovými rychlostmi.32 ŪFE 32 Některé vlastnosti akustických vln Z energetické bilance elastických kmitů lze odvodit výraz pro akustický Poyintingův vektor Grupová rychlost šíření v g je rovnoběžná s Π, přičemž platí V izotropním prostředí Volme pro jednoduchost n 0 = z 0. Pak Normovaný akustický vlnový vektor l a, je rovnice plochy vlnových vektorů (6. stupně!)33 ŪFE 33 Teoretické základy akustooptické interakce Elastická deformace způsobí změnu tenzoru (elektrické) impermitivity kde je tenzor fotoelastických konstant. Poněvadž ijsou symetrické tenzory 2. řádu, musí býttenzor 4. řádu, symetrický vůči záměně prvých dvou a/nebo druhých dvou indexů, Pokud se v materiálním prostředí šíří rovinná akustická vlna s vektorem elastické výchylky dojde k modulaci permitivity dané reálným výrazem Modulace permitivity způsobená akustickou vlnou má tedy tvar rovinné postupné vlny.34 ŪFE 34 Difrakce rovinné vlny na postupné akustické vlně v izotropním prostředí vava x’x’ x V lineárním prostředí musí obecně platit Akustická vlna je periodická v souř. x s periodou a v čase s periodou a šíří se rychlostí v a. Pro rovinnou dopadající vlnu má difraktované pole tvar na výstupu je tedy superpozice rovinných vln, jejichž x-ové složky vlnových vektorů jsou35 ŪFE 35 Předchozí analýza brala v úvahu pouze působení akustické vlny na optické záření a nikoli naopak. Elastooptický a fotostrikční efekt Celková změna vnitřní energie objemové jednotky látky při současném působení elektrického pole a elastické deformace je Zřejmě Zavedeme nový termodynamický potenciál V musí tedy mít nezávislé proměnnéPak ale integrací získáme (stimulovaný Brillouinův jev) Pro typické hodnoty je 1. člen řádu 10 4 až 10 5, druhý řádu 10 –1 až 10 0 ; je tedy zanedbatelný.36 ŪFE 36 Konstrukce difraktovaných vln na výstupu ze sloupce akustické vlny x z Diagram vlnových vektorů Vlnové vektory difraktovaných vln: Výstupní úhly difraktovaných vln Frekvenční posuv difraktovaných vln:37 ŪFE 37 Účinnost AO interakce v přiblížení teorie vázaných vln Vlnová rovnice pro intenzitu elektrického pole pro platí Výchozí předpoklady teorie vázaných vln: je pomalu proměnná komplexní amplituda,38 ŪFE 38 Dosazením rozvoje do vlnové rovnice dostaneme po zanedbání malých členů vyšších řádů soustavu diferenciálních rovnic 1. řádu Pro přehlednost soustavu rozepišme: Zavedeme parametry39 ŪFE 39 Diferenciální rovnici pro E q je možné v limitních případech Ze soustavy rovnic vyplývá, že jsou vzájemně vázány vždy jen sousední difrakční řády. To je důsledek čistě sinusového charakteru modulace. Ramanův-Nathův režim. Promá soustava rovnic analytické řešení To je možno fyzikálně snadno interpretovat jako fázovou modulaci dopadající vlny na sloupci akustické vlny: Přesnější řešení soustavy s dá řešit analyticky: Ramanův-Nathův a Braggův režim difrakce 1. Q 1 – Ramanův – Nathův režim 2. Q 1 – Braggův režim40 ŪFE 40 x z Ramanův-Nathův režim: Difrakce do mnoha řádů, difrakční účinnost v jednotlivých řádech je dána kvadráty Besselovy funkce podobně jako u tenkého amplitudového hologramu se sinusovou modulací amplitudové propustnosti.41 ŪFE 41 Braggův režim Braggův režim nastává pro Pak lze zanedbat vazbu do ostatních řádů kromě případu, kdy Pak Rovnice vázaných vln jsou pak Řešení s počáteční podmínkou je Tedy42 ŪFE 42 Difrakční účinnost Fázový synchronismus: Braggův režim Při fázovém synchronismu je hustota akustického výkonu. Pak je činitel akustooptické kvality materiálu. pro lze v dobrém přiblížení psát je difrakční účinnost Platí S 0 můžeme vyjádřit jako kde a43 ŪFE 43 Účinnost difrakce v Braggově režimu Při hustotě akustického výkonu dosahuje účinnost 71%; 100% účinnosti dosáhneme až při Typická účinnost akustooptických prvků pracujících v Braggově režimu bývá proto 70–90%, vyšší spíš jen výjimečně.44 ŪFE 44 Technické aplikace akustooptických prvků Dělení podle účelu: 1.Deflektory laserového svazku: úhel vychýlení je funkcí frekvence 2.Modulátory laserového svazku: účinnost závisí na akustickém výkonu 3.Akustooptické laditelné filtry: fázový synchronismus je spektrálně citlivý 4.Akustooptické prvky pro zpracování (elektronických) signálů Dělení podle typu interakce 1.Prvky využívající izotropní AO interakce (v opticky izotropním prostředí) a) se soufázovým akustickým měničem b) s fázovanou řadou měničů (rovinná řada, stupňovitá řada) 2.Prvky využívající anizotropní interakce (v opticky anizotropním a opticky aktivním prostředí) 3.Prvky využívající difrakce na stojaté akustické vlně Dělení podle konstrukce 1.Objemové prvky 2.Vlnovodné prvky (integrovaně-optické)45 ŪFE 45 Akustooptická interakce v Braggově režimu v izotropním prostředí46 ŪFE 46 Akustooptické deflektory laserového svazku: vychylování změnou frekvence Tedy L D H Úhel vychýlení je přibližně lineárně závislý na frekvenci akustické vlny. Úhel rozmítání AO vychylování v izotropním prostředí47 ŪFE 47 Počet rozlišitelných bodů deflektoru: Avšak: deflektor musí pracovat v Braggově režimu, jinak má malou difrakční účinnost: Počet rozlišitelných bodů deflektoru je dán součinem časové konstanty a frekvenčního zdvihu. tedy Frekvenční zdvih je omezen maximálním přípustným narušením fázového synchronismu: L musí být dostatečně velké. Odtud plyne podmínka délka oblasti AO interakce by měla být co nejmenší pro délku interakční oblasti. Tedy48 ŪFE 48 Ovládací akustický výkon deflektoru pro malý výkon musí být poměr H/L co nejmenší. Difrakce na tlumené akustické vlně: V každém AO materiálu se akustická vlna šíří s útlumem, 1.pokles účinnosti difrakce vlivem útlumu, 2.zvětšení úhlové divergence difraktovaného svazku vlivem nehomogenního rozložení amplitudy.49 ŪFE 49 Technické řešení pro velký počet rozlišitelných bodů: 1.Silně eliptický optický svazek s velkým poměrem D/H (složitá optická soustava vyžadující soustavu hranolů nebo válcové čočky) 2.Použití materiálu s malou akustickou rychlostí, ale malým akustickým útlumem (??) 3.Zajištění účinné generace akustické vlny ve velkém frekvenčním pásmu Vliv útlumu akustické vlny na účinnost akustooptické interakce Vliv útlumu na divergenci difraktovaného svazku50 ŪFE 50 Rozšíření pásma AO interakce: deflektory s řízeným akustickým svazkem Princip: automatické udržování fázového synchronismu při změně frekvence Základní přístup: fázovaná řada akustických měničů 1.Rovinná fázovaná řada měničů LLL s ss 2.Stupňovitá fázovaná řada měničů L L L L s s s h51 ŪFE 51 Pro maximální celkovou délku měniče lze odvodit Úspora akustického výkonu: u roviné řady až čtyřnásobná, u stupňovité řady až osminásobná. Difrakční účinnost v přiblížení malých účinností (Gordonova-Dixonova metoda) úhel difrakce (předpokládáme malé úhly, sin ) je relativní fázový posuv mezi sousedními segmenty, pro rovinnou řadu nejčastěji = , pro stupňovitou řadu Směr „difrakčních maxim“ pro rovinnou řadu, stupňovitá řada má jediné hlavní maximum Rovinná řada využívá pouze polovinu akustického výkonu, stupňovitá celý výkon. měnič je možno prodloužit52 ŪFE 52 Akustooptická interakce v anizotropním prostředí Interakce v jednoosém prostředí v rovině kolmé k optické ose se změnou polarizace Podmínka fázového synchronismu: Nevýhoda: frekvence je prakticky u všech AO materiálů příliš vysoká.53 ŪFE 53 Abnormální akustooptická interakce v anizotropním prostředí (jednoosé) prostředí s optickou aktivitou; ve dvojosém prostředí je zpravidla f a příliš velká54 ŪFE 54 L D H AO vychylování v anizotropním prostředí příčná akustická vlna Degenerovaná AO interakce 2. řádu Výhody: snížení úhlové selektivity interakce prodloužení interakční délky snížení výkonu Difrakce na příčné akustické vlně nižší akustická rychlost zvětšení počtu rozlišitelných bodů, polarizační rozlišení difraktované vlny Potlačení degenerované difrakce 2. řádu55 ŪFE 55 Frekvenční závislost difrakční účinnosti při optimální konfiguraci abnormální AO interakce Křivku frekvenční závislosti účinnosti difrakce je možno tvarovat nastavením úhlu dopadu56 ŪFE 56 Akustooptická modulace Komplementární problém k akustooptickému vychylování: K modulaci (intenzity) dojde pouze tehdy, když se frekvenčně posunuté svazky prostrorově překrývají. Optimum je tedy Odtud Pro délku měniče dostáváme opět tedy Pro je fokusovaný svazek57 ŪFE 57 Akustoo
