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Cálculo Diferencial

[Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy] [Desarrollos en serie de potencias] [Campos escalares y vectoriales] Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy Teorema de Rolle Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en su interior (a, b), con f (a) = f (b) entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que

f ´ (c) = 0

Existe un punto del intervalo en el que la recta tangente es horizontal (paralela al eje Interpretación geométrica del abcisas) Teorema del valor medio de Cauchy Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo (a, b) y continuas en [a, b]. Si g´(x) ≠ 0 ∀ x ∈ (a, b), ∃ c (a, b) / Teorema del valor medio para derivadas Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en su interior (a, b) entonces existe al menos un [ f (b) - f (a) ] / (b - a) = f´ (c) número c en (a, b) tal que Existe un punto del intervalo en el que la recta tangente es paralela a la recta que une Interpretación geométrica los punto (a, f(a)) y (b, f(b)) Desarrollos en serie de potencias Taylor f (x) ≅ f (xo) + f '(xo) (x - xo) / 1! + f ''(xo) (x - xo)2 / 2! + f '''(xo) (x - xo)3 / 3! + ... [ f (b) - f (a) ] / [ g(b) - g (a) ] = f´ (c) / g´ (c)

McLaurin f (x) ≅ f (0) + f '(0) x / 1! + f ''(0) x2 / 2! + f '''(0) x3 / 3! + ... Algunos desarrollos en torno al punto xo = 0 ex ln (1 + x) sen x arc sen x cos x 1 + x + x2 / 2! + x3 / 3! + ... x - x2 / 2 + x3 / 3 - x4 / 4 + ... x - x3 / 3! + x5 / 5! - x7 / 7! +... x + x3 / 6 + 3 x5 / 40 + 5 x7 / 112 + ... 1 - x2 / 2! + x4 / 4! - x6 / 6! +...

tg x arc tg x senh x cosh x (1 + x)m 1 / (1 - x)

x + x3 / 3 + 2 x5 / 15 +... x - x3 / 3 + x5 / 5 - x7 / 7 + x9 / 9 - .... x + x3 / 3! + x5 / 5! + x7 / 7! + x9 / 9! + ... 1 + x2 / 2 + x4 / 4! + x6 / 6! + x8 / 8! + ... 1 + m x + m (m-1) x2 / 2! +... 1 + x + x2 + x3 + x4 + ...

Campos escalares y vectoriales
Campo escalar Campo vectorial φ = φ (x, y, z) A (x, y, z) = Ax (x, y, z) i + Ay (x, y, z) j + Az (x, y, z) k Operador nabla ∇ = (∂ / ∂x ) i + (∂ / ∂y ) j + (∂ / ∂z ) k Gradiente de una función escalar φ Divergencia de una función vectorial A Rotacional de una función vectorial A Laplaciano de una función escalar φ Laplaciano de una función vectorial A ∇ φ = (∂ φ / ∂x ) i + (∂ φ / ∂y ) j + (∂ φ / ∂z ) k ∇ A = (∂ Ax/ ∂x ) + (∂ Ay/ ∂y ) + (∂ Az/ ∂z ) ∇ x A = [(∂ Az/ ∂y ) - (∂ Ay/ ∂z ) ] i + [(∂ Az/ ∂x ) - (∂ Ax/ ∂z ) ] j + [(∂ Ay / ∂x ) - (∂ Ax / ∂y ) ] k

∇2 φ = (∂2 φ / ∂x2 ) + (∂2 φ / ∂y2 ) + (∂2 φ / ∂z2 ) ∇2 A = (∂2Ax/ ∂x2 ) + (∂2Ay / ∂y2 ) + (∂2Az / ∂z2 ) Se aplica a un Da como resultado un vector escalar vector escalar

Gradiente Divergencia Rotacional Laplaciana de un vector

escalar vector vector vector

Laplaciana de un escalar

escalar

escalar

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© Los autores: Mari Paz Hortelano Gómez e Iñaki Carrascal Mozo © Castrillo de Don Juan. Palencia. (España) Correo electrónico: [email protected] En la red desde el 15/03/1998 - Últimas modificaciones: 18/05/2002 - 16/04/2004 - 16/09/2004