Transcript
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Wykonał: Maciej Dębski kl. 1 LPzi
SPIS TREŚCI • TROCHE HISTORII • FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE •
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM
• PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE • TROCHE ZASTOSOWAŃ WIEDZY O FUNKCJACH • PODSTAWOWE WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH • MIARA KĄTA NA PODSTAWIE WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH • ŹRÓDŁA • PODZIĘKOWANIA
TROCHE HISTORII Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego w zależności od miar jego kątów wewnętrznych.
FUNKCJE TRYGONOMETRYYCZNE Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus, tangens, cotangens Istnieją również dwie funkcje teraz już rzadko używane:
secans i cosecans Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele „O obrotach sfer niebieskich” , choć islamscy matematycy używali jej już w X wieku. Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego dla danej miary kąta wewnętrznego. •sinus – oznaczany sin – stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego i przeciwprostokątnej •cosinus – oznaczany cos – stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i przeciwprostokątnej •tangens – oznaczany tg– stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego i przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego •cotangens– oznaczany ctg – stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i przyprostokątnej przeciwległej do kąta ostrego
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM a sin c b cos c a tg b b ctg a
PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE Moim zdaniem najłatwiej jest nauczyć się z tego prostego zapisu:
PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Najczęściej używane są: •Jedynka trygonometryczna:
sin cos 1 2
2
•Definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa):
cos ctg sin
sin tg cos
TROCHE ZASTOSOWAŃ WIEDZY O FUNKCJACH ZADANIE 1 W prostokącie przekątna o długości 4cm tworzy z krótszym bokiem kąt 70○. Oblicz pole tego prostokąta. Rozwiązanie: a sin 70 4 a 0,94 / 4 4 0,94 4 a
a 3,76
cos 70
b 4
b 4 / 4 0,34 4 b 0,34
b 1,36
P a b 3,76 1,36 5,11cm2
Odpowiedź. Pole prostokąta wynosi ok. 5,11 cm2.
TROCHE ZASTOSOWAŃ WIEDZY O FUNKCJACH Zadanie 2 Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego, jeżeli: 3
sin
5
sin cos 1 (Korzystamy ze wzoru na 2 „jedynkę trygonometryczna”) 3 2 cos 1 5 9 cos 2 1 25 9 cos 2 1 25 16 cos 2 25 16 4 cos 25 5 2
2
(następnie korzystamy z kolejnych wzorów tożsamości trygonometrycznych)
3 sin 3 4 3 5 3 tg 5 : 4 cos 5 5 5 4 4 5
4 cos 5 4 3 4 5 4 1 ctg : : 1 sin 3 5 5 5 3 3 3 5 Odpowiedź. cos
4 3 1 , tg , ctg 1 5 4 3
PODSTAWOWE WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
MIARA KĄTA NA PODSTAWIE WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH liczenie za pomocą kalkulatora WINDOWS XP PRZYKŁAD: Do jakiego kąta α sinα=0,32 ?
Uruchamiamy kalkulator Start> Wszystkie programy> Akcesoria> Kalkulator w menu: Widok> Naukowy Wpisujemy 0,32 zaznaczamy „Inv” i naciskamy „sin” α≈18,66○
ŹRÓDŁA • matematyka.pisz.pl • pl.wikipedia.org
PODZIĘKOWANIA
Serdeczne podziękowania dla Pani mgr Urszuli Tęczy za temat i pomoc przy realizacji prezentacji
