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G l i i f f s
P r o oc e e s so s o s m a t te m e m á t ti i c co s o s
G u í a d e l D o c e en t e e G l i i f f s
P r ro c o e s e so s o s m a t te m e má t i ic t c o os
C o n s t t r u c ci c i ó n d e c on o o c i im i e n nt o m a t e m má t i c o o e n n c o on t e x t o s s i s i g n i f i c a at i v o s
G l i i f f s
P r ro c o e e s so s o s m a t te m e m á t ti i c co s o
G l i i f f s
P r ro c o e es s o os s m a t te m e m á t ti i c c o os s
RESPUESTAS
Glif s Procesos matemáticos
UNIDAD 1
9.
a. No hay solución en
Página 9. Practica 4
h , c. ^ - 4 3
1.
e.
3.
5.
7.
9.
a.
3
c.
-3
6 6 -2
a.
1 $ 10
c.
1 $ 10 - 6
a.
1721
c.
- 27
c. ^ - 3, - 3 @ , 6 2, 3 h 13. Cualquier número real es solución
1200
Página 19. Piensa y aplica 1.
a.
1 2-2
c. " - 10, - 7, - 5, - 3, - 1 ,
c.
12 1 18
a. " x ! / - 10 # x 1 15 ,
e.
3
a.
-7
a. " 3, 4 ,
3.
11. a. ^ - 3, 15 @ , 6 25, 3 h
c.
c. ^ - 3, 20 h e.
e.
Q
5.
g. 6 10, 15 @ i. 13. a.
C
^
1
2
9 4
1 x 1 9
x 1 5 3
-
4
1 x 1 5
h a. ^ 4 3 ,
c. ^ - 3, - 2 h
^
- 3, 4 @ , 4, 5 @
c. ^ - 2, 0 h , ^ - 1, - 0, 5 h
Página 15. Practica 10
3.
7@
- 3,
11. a. 6 - 6, 18 @
-4
c. " x ! /10 # x ,
1.
^
e. 7.
b
- 3, -
a. 6 - 3, 1 c.
h
12 11
l
Q
h , e. ^ 0 3
9.
a. ^ - 3, - 2 h , ^ 3, 3 h
7
a.
x 2
c.
x 2 - 4
e.
x 1
3
c.
b
- 3, -
l
2 , 6 1, 3 h 3
error, ya que el signo de x no no necesaria11. Desde el paso 1 hay error, mente es positivo y por tanto la desigualdad puede cambiar.
6 5
a. ^ - 8, - 2 h
13. a. 6 - 6, 7
h
c. 6 3, 4 @
i.
b - 4, - 83 l : 1, 23 D : 32 , 65 D
a.
:
e. g.
5.
-
Página 26. Practica 15 1.
-
c. Sí es función.
-
- 3,
4 5
3.
No es función, ya que para cualquier valor de x en en el dominio, ^ x , 2 - 2 h y ^ x , - 2 - 2 h son elementos de la relación.
5.
a.
f
c.
f ^ 4 h = ! 2
e.
f ^ 5 h = !
D
c.
^
e.
: 23 , 32 D , ^ 5, 3 h
- 3, -
9 @ , 6 - 5, 3 @
g. ^ - 3, 4 h
7.
a. No es función, ya que el elemento 1, tiene dos imágenes distintas.
b l 4 3
=
0 2 11
i.
6 - 2, 2 @
7.
Sí es función
a.
Q
9.
a. No es función
c. 6 12, 3 e. 6 19, 3
h h
2 2 - Respuestas
c. No es función 11. Son funciones a, c y d
11. La función se acerca a cero, pero nunca puede ser cero.
Página 31. Practica 20 1.
3.
b.
Dom
=
"
-
-
3 , Ran
=
-
" 0,
c. No es par ni impar
Página 43. Practica 32
c. (0, 1)
1.
a.
Dom f
=
b.
Dom g
=
6
-
4, 4 @ Ran f
=
Ran g
=
6
-
6 0, 3
3, 3
h
h
^
hc
mc
3 ,0 , 2
0, - 3 ,
3 ,0 2
5.
Eje de simetría en x = - 3
7.
a. c.
3.
m
Dom f
=
-
Dom h
=
-
Dom g
=
Dom i
=
^
^
-
-
7.
"0 ,
Ran h
f
=
11. a.
=
6
-
1, 0 h , ^ 0, 1 @
3, 0 @ , 6 1, 3 h
@ 6 h
1 , 1, 3
Ran i
=
;
-
3 1 , 3 2
m
c. Solo h (x ) es impar. Las demás no son pares ni impares 11. b.
Dom f
=
6
-
a.
m1
=
m2
= -
5
c. No se cortan
Ran
-
m=0
La pendiente de y = 2 es cero, x = 2 no tiene pendiente.
: 34 , 3 l
& 13 0
3,
a.
representan estas relaciones son perpendiculares.
y = 1
a.
2
5. y = 2 es función, mientras x = 2 no lo es. Las rectas que
e. Ninguna de ellas 9.
= -
c. No es creciente ni decreciente
-
Dom f = Ran f =
m
c. Es decreciente
d. ^ 0, 4 h, ^ - 4, 0 h, ^ 4, 0 h e.
a.
1, 3 h Ran f
=
^
-
4, 1 @
y = 2x + 7
2
c.
y
e.
y = 5
= -
3
x
Página 47. Practica 36 1.
a. (0, 4), (2, 0) c. Decreciente, pues la pendiente es negativa
Página 34. Practica 23
3.
Pasan por el origen: b, c, e y f.
1.
Ninguna representa función
5.
b
3.
No es inyectiva y no es sobreyectiva. Por tanto, tampoco es biyectiva.
7.
a. Parábolas
5.
P = " 0, 1, 2, 3 ,
7.
S = " 1, 6, 22 ,
9.
a. F c. V e. V
c. (0, 0) 9.
a.
-4
11. a. V(0, 5) eje de simetría x = 0 c. V b 5 , - 1 l eje de simetría x = 5 2
11. a. No inyectiva
2
4
Página 49. Practica 38
c. Inyectiva
Página 39. Practica 28 1.
f ^ x h = 6x 2 + 7x
3.
a, c y d
5.
b, d
7.
No, si un profesor lo es de varios estudiantes
9.
a.
Dom f
c.
Dom f =
e.
Dom f = Ran f = 6 0, 3
5 x 2 - 12 x + 2
1.
a.
h ^ x h
3.
a.
Dom f = 6 0, 9 h , ^ 9, 3 h Rango = ^ 0, 3 h
5.
a.
Dom f
=
2 - x
=
-
" 0, 5 , Rango f
=
-
"0 ,
c. Si x se acerca a 5+, y se acerca a 3
Si x se acerca a 5-, y se acerca a -3
=
-
"2,
: 54 , 3 l
Ran
f
=
-
"0 ,
Ran f = 6 0, 3 h
h
7.
Dom f
=
Ran f
=
-
-
"1,
"0,
Puntos de corte: (0, -2) Asíntota horizontal: y = 0 3 3 - Respuestas
9.
x
−3
y = f (x )
-
x y = f (x ) -
11. a.
2 3
−2 -
−1
5
-
25
4
− 0,5 - 14
− 0,3 -
110
0,001
0,1
0,3
0,5
- 2999 000
- 290
- 30
- 10
3
− 0,1
− 0,001
- 110
- 3001000
1
2
-
2
-
1 4
3.
cC = ] cF - 32 g
4.
Función y :
3
3.
a.
50 mg
c.
17,678 mg
7.
c
9.
BA
75, 47c BB = 61, 364c BC = 43, 166c
15. a. V 17. a.
x c 8, 138
c.
x c 1, 833
f - 1 ^ x h existe
y =
c.
y =
el dominio es y el rango D.
La función y = 2 x siempre es creciente y crece más rápido para valores de x > 4 , mientras que la función cuadrática es decreciente para valores negativos de y , creciente para valores positivos de x .
7.
a.
Q ] 0 g
b.
27228,59550
bacterias
= 50
8.
4,93 km
9.
La respuesta correcta es a
10.
$ 195579 , 49
1.
g % f
2.
g % f =
=
0,1
x 2 - 3x + 1-
,
1
1 2
x
y
+2
f ^ g ] 5 gh = 2, 64
x + 2
f % g
3.
2
a.
f % g ] x g
= 2x + 1 = 2 ] x + 1 g
6
a. Sí es biyectiva
b.
g % f ] x g
7.
Tienen función inversa: b, e y f
c.
g 6 f ] 3 g @
= 32
9.
a. No es uno a uno, ya que existe valores como x = x = 2 que tienen la misma imagen.
d.
f 6 g ] 4 g @
= 33
a.
f % g ] x g
= 3
b.
f % h ] x g
=
c.
f % i ] x g
d.
g % h x
e.
g % i ] x g = 4x 4 - 2
f.
h
g.
f % f ] x g
h.
h
f ^ x h = x 2 + 3x - 4 con x $ -
2
Los puntos de corte con el eje x son 1 y 3. f (x) = x2 - 4x + 3
2.
4.
a.
d ^ t h = 90 $ 10
7
Z 2 ]] x - 4x + 3, si x < 1 = [- x2 + 4x - 3, si 1 # x # 3 ] 2 \ x - 4x + 3, si x > 3 ^ 1, 045 ht
b. d ^ 40 h = 523, 4728084 millones de habitantes para el 2010.
4 4 - Respuestas
2
] x 2 - 2 g + 1
3
Página 56. Piensa y aplica 1.
1,
-
3
x + 1
+1
2
= 6x + 1 2
] g b x l
% i ] x g
% h ] x g
1
=
=
+1
1 2
2 x + 1
= 9x + 4
=
a
1-
y g ^ f ] 3 g h = 0, 90
5.
c.
=
3 8 x + 1
l
2 ,+3 3
Página 60. Piensa y aplica
a. Para que f (x ) tenga inversa, es necesario y suficiente que f (x ) sea biyectiva.
a.
,
12. a. Dominio
Página 62. Practica 47
3.
2 3
- 3,
-2 ,+3 3
,
6.
b. Rango " - 1,
c. Si
-2 3
Partiendo de la función y = x 2 , se traslada 3 unidades hacia la izquierda en el eje x , al multiplicar esta función por 2, la gráfica se contrae y luego se traslada 2 unidades hacia abajo. Por último, la parte de la gráfica que es negativa en y , se refleja con respecto al eje x .
19. a
1.
l b l b l
- 3,
5.
1
=
b
b
y rango
Página 52. Practica 40 = -
Dom = , Rango =
0
c. En ningún intervalo es creciente
x
9
Función f ( x ): Dominio
{4, -3}
1.
5
x + 1 x + 2
-2
2
k x 1
+2
i. j.
5.
6.
7.
8.
]g
f % g % h x f 6 h ] 2 g @
: a kD 1
i f
l.
g % i % h x
a.
f % g ] x g = x
b.
g % f ] x g = x
a.
m
=
2
% t] vg
% m] v g
c.
1538
-5
+1
9.
1
a. Puntos de corte con el eje x en - 3 y 2.
Con el eje y en −2.
c.
b b
10. a.
6
b.
2
]g
t
1
25
k.
b.
2
b x l
= 2
= 4
4
b x l 1
+1
-2
5 - 49 , 6 12
2
b. 4
3
2
4
3
c.
2
= 12 v + 36 v + 15 v - 18 v - 3
11.
d.
-
e.
m5m
f.
t
a.
f % g ] x g = x
b.
g % f ] x g = x
f.
f % 6 g % f @ ] x g
log
-
x
% t] vg
4
= 8v
= 27v
3
2
+ 24v + 16v - 3v - 2
=
= cos
x 2
x
+1
] x - 1 g2
x = log25 ] 1762500 g
13.
x = log2
c.
x =
d.
x =
:
tan sen
14. a.
] 3x g2 + 2
f % g % h ] x g
=
b.
h % g % f ]xg
6 = 3x +
c.
g % f % h ] x g
d.
f
b.
^ ^
1 3
4
2 - ln ] 40 g 3 - 3 + ln ] 20 g 2
-1
b lD -4 6
- 3, 2
=
-2
5
5
@
- 2, 10 @
c. 6 0, 15
= 3x + 2
h
d. ]- 1, 3 g
2
3x + 4
=
b.
a
a.
h5g] x g
3
4
a. ^ f % g h ] x g = 2 sen 2 ] c os a g
5
12. a.
2
3 6
a
3
]vg
l l
5 - 49 , 6 12
= 18 v + 9 v - 1
b. ^ g % f h ] x g 9.
= 3
e. ]- 3, + 3 g
Página 64. Piensa y aplica 1.
Sí
2.
a. Para x = 4
15. a. b. c.
b. Para y = 3 c. Pendiente
m
=-
d.
3 4
x + 1 -
x + 1
2 x - 1
La pendiente no está definida y la ecuación es x = 4
e.
4.
Las rectas son paralelas, tienen la misma pendiente m = 23
f.
5.
Las rectas son perpendiculares
g.
7.
Velocidad hacia el norte v = 340 km/h, velocidad hacia el sur v = 360 km/h, velocidad promedio v = 350 km/h.
h. ] 3 - 2 x2 g ^
2
8.
a. b.
x 1 = x = 1
3 2
ó x 2 = - 1 11 i
56
ó
x = 1
2
+ 2x + 5x - 1
x + 1 ] 2x2 + 5x - 1 g
3.
1
2
+ 2x + 5x - 1
5 x + 3 10 x + 3
x + 1 ] 2x 2 - 3 g 5 x + 2 x+1
2
- 2x + 3
16. a. Sí
d. No
b. Sí
e. No
h
11 i
5+ 6
c. No 5 5 - Respuestas
17. a. Intersectos x = - 6 y x = 1
10. Opción C
b. Intersectos y = - 6 c. d. 19. a. 20. a.
b b
- 5 - 49 , 2 4 - 5 - 49 , 4 2
P =
11. La opción C porque la medida de la dispersión de los datos es muy pequeña (0,08).
l l
12. a. F, porque el terreno no es estrictamente cuadrado. b. F, el área máxima que se puede encerrar es 400 m2.
21 + 6
c. V
Nm = 100NHm
d. F
b.
A
= 1, 70 (NKm) + 100
c.
Ct
= 1, 2 (NR) + 250
13. Opción A 14.
21. a. Dominio (Reales), Rango " - 1, 1 , , Es función
a
b. Dominio 6 - 2, 2 @ , Rango 6 - 2, 2 @ , No es función
h
22. a. Traslado vertical de la función según h sea positivo o
negativo.
o negativo.
16. a.
c. Dilatación de la función. 2
= ] 3a g + 7
- 1g =
b 2 - 2b +
b.
f ] b
c.
f ] x + Tx g - f ] x g = 2 x + Tx, Tx ! 0 T x
8
24. a. Dominio ^- 3, - 3@ , 6 3, + 3 g b. Rango para la raíz positiva 6 0, + 3 d. Dominio restringido 6 3, + 3 25. Sí
g
g
a
= - 2r
b
=-
r
c = r
a.
9b
−
3ab2
12ab
4a2b2
2a
2a2
6ab − −
4a
8a2b
x = - 2 5
c.
x =
5
d.
x =
12
e.
x =
4
f.
x = - 1
g.
x = - 10
h.
x = a
25
= 37c
b =
,
mejanza AAA. ^ 2n + 1 h r 2
,
n
!
�
tan 135 c = - 1
tan270c = No existe
1.
cot 135c = - 1
cot 270c = 0
b. 169
sec270 c = No existe
c. Orden 14
2
c.
2 -
2 2
sec 135c = -
2 2
5. Opción B
37c
3 ABE + 3 ADC
Practica 5. Página 82 a. ] n + 1 g2
csc 270c = - 1
2.
a. " 3 : 2n - 1 ,
6. Opción C
b.
& 0
8. Opción C Opción D
c.
&n 0
9. Opción D
d. ! 5n - 2 +
6 6 - Respuestas
−
4a2b
cos 270c = 0
csc 135c =
−
4ab
UNIDAD 2
cos135c =
a2b
2ab
sen 270c = - 1
sen135 c =
3a
3ab
d = 2r
b. La función tangente tiene asíntotas en 4.
a2
6
x =
b.
Páginas 72 - 73. Preuniversitario a.
−
2a
b.
17. a.
2.
ab
15. Opción A, C, E.
b. Traslado horizontal de la función según h sea positivo
f ] 3a g
−
3
2
d. Dominio 6 - 3, 3 , Rango 6 0, 2 @ , Es función
23. a.
3b
−
c. Dominio 6 - 2, 2 @ , Rango 6 - 2, 2 @ , No es función
a
1
2
n
+3 8
c
= 53c
3 BCE + 3 ADC
por el criterio de se-
3.
100
c. "1,
3 , 1, 3 , 1 , 3 , 1 , 3 , 1 , 3 , ... ,
4.
a. Decreciente
d. " 2,
2, 2, 2, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , ... ,
b. Creciente
4.
c. No es creciente ni decreciente
b. Decreciente
d. Igual a c
c. No crece ni decrece
e. Creciente
d. Constante
f. Creciente 5.
5.
a. Sup: 2, inf: 0
7.
c. Inf: 0, Sup: no existe d. Sup: 1, inf: 0 6.
&b
l0
" 0, 25;
8.
a. " 3, 5 , 7, 9 , 1 1, ... , b. 41 c. 201
0, 6; 1, 125 ; 1 , 6 ; 2 , 083 ; 2 , 571428 ; 3 , 0625 ; 3 , 5 ; 4 ,05 ; 4 , 54
'
2;
c.
&
1 1 1 1 1 ; - ; + ; ; ; ... 2 5 8 11 14
d. " 0, 3;
3 2 2 ; ; ; 2 3 3
1 1 3 2 5 , , , , , ... 5 4 11 7 17
b.
'
2, 3
d.
& &
e.
'
f.
" 1,
5 ; 4
6 ... 5
8.
1
1
0
11 101 1 001 10 001 100 001 10 , 100, 1 000 , 10 000 , 100 000 , ... 1 , 2
2 , 3
3 2 , - , 4 5
5 , ... 6
0
1
0, - 1, 0, 1, ... ,
a. Creciente b. Creciente
0
c. Ninguna
12. &
1 2 3 24 5 1, - 2 , 9 , - 32 , 625 , - 324 , ...
d. Creciente
0
Página 88. Practica 10
101
2.
101 100
1 6
4.
1 10
y
17. a.
&]
& 0
-1gn
3
n
-1
n!
0
a.
c. 6.
n
Sn =
b.
16. 6a copa. En la 7a ya queda menos de la mitad del vino.
& & &
2
c.
∞
d. e.
'] g
d.
1
!
-1
1
n+1 2
n-2
8.
1
c. a. "1, b.
&
9.
2, 5, 14, 41, 122, 365, 1094, 3281, 9842, ...
1 2 5 13 34 89 233 610 2, 1, , , , , , , , 2 5 13 34 89 233 610 1597
0
,
0
0
1 2
a. 3 b.
Página 83. Piensa y aplica
0
a. 1
& nn 0 &n 0 -1
10
1 1 1 1 1 1 , , , , , , ... 3 5 7 9 11 13
∞
+1
11
2 8 18 32 50 , , , , , 24, ... 3 3 3 3 3
b.
2
3.
1 2 4 5 - , - , - 1, - , - , - 2, ... 3 3 3 3
b. " n 2 - 2 , c.
3.
2 3 5 5 , 4 , , 6 5 , ... 2 3 2
7 25 7 8 , , , , ... 3 14 5 7
2,
0
10
13.
15.
&
0, 04; 0, 008; 0, 002370; 0, 000790123456; ... ,
11. " ] n, 4n - 2 g ,
14.
,
0, 75; 0, 83; 0, 875 ; 0 , 9; ... ,
b.
+
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, ... ,
a.
c.
7.
10. a. " 0, 5;
" 1,
Creciente y acotada inferiormente.
b. Inf: 2, Sup: no existe
n-2 n, n + 1
a. Creciente
1 2 -
2 3
a. V b. V c. Falsa 7 7 - Respuestas
10.
4.
&n 0 3
a.
−1
b.
-
c.
−1
d.
0
+1
12. a. Converge a 0
8.
2 3
" 25, 1331, 194481, 52521875, 22164361129 , ... ,
b. Converge a 0 c. Diverge
Página 95. Piensa y aplica
d. Converge a 0
1.
a. 3
e. Converge a 0
b. 1
f. Diverge a ∞
c. No existe
13. a. F
d. 1
b. F
e. 1
c. F
f. 1 g. 0
14. a. ! 3n + 1 + b.
& nn 0
h. 0
+1
2
+3
i. 15. Está acotada, por ejemplo por e.
2.
a. b.
Piensa y aplica. Página 90 1.
a. b. d.
& & &
0
3 9 29 57 93 an = - 2 5 , - 11 , - 21 , - 35 , - 53 , ... , nlim " 3
0
2 4 1 4 4, - 3 , - 13 , - 5, - 27, ... ,
0
1 7 13 19 25 6 , 11 , 16 , 21, 26 , ... ,
e. " 9, f. 2.
&
17, 25, 33, 41, ... ,,
lim
n "
lim
n"
an
3
0
a. Divergente
d. Divergente e. Converge a 0 f. Converge a 3 a. 1 b. Diverge c. Diverge a ∞ d. Diverge 1 2
f. Converge a 2 8 8 - Respuestas
an
3
8.
= 0
6 = 5
= 3
lim
n "
an
3
No existe.
lim f (x ) = 0 , lim+ f ( x ) = 4 , lim f (x )
x " 1-
x " 1
No existe
x " 1
x " 1
lim f (x ) = 1 , lim+ f ( x ) = 1 , lim f (x ) = 1
x " 1-
1 10
b.
-
1 4
1 4
d.
3
e.
-
f.
-3
a.
-3
b.
-3
c.
3
d.
x " 1
lim f (x ) = 2 , lim+ f ( x ) = 2 , lim f (x ) = 2
x " 1-
a.
c.
9.
c. Converge a 2
e. Converge a
lim
n"
an
3
3 6 9 12 3 10 , - 17 , 26 , - 37 , 10 , ... ,
b. Divergente
3.
d.
0
1
x 2
5 8
e.
3
f.
-3
10. a.
3
b.
-
c.
-3
d.
3
e.
3
f.
-3
1 4
x " 1
x " 1
7.
1
11.
a
=
12.
a
= 1
b. No existe c. 1
1
13. a.
3
d. 2
b. 1
8. a. 0
c. 0 d.
b. 0 x
cos
c. 10 9.
Página 99. Piensa y aplica 1.
a. 1
9
a. V b. F
a. 0
c. F
b. 5 10. a. 0
c. 52
b. 0
d. 10 e. No existe
c.
165
-
11
f. 1 5-
g.
2
23
Página 103. Piensa y aplica
h. 2
1.
1
Si x
2.
a
3.
a. 12
=
9
2.
d.
− 13
a.
5
b.
-
c.
∞
^
c. 2 -4
d.
h
245
3.
4
4
-
1 2 5
20
a. 24; 4
c. 5 3 2
7.
a.
3 2
b. 0
15
h.
2 15
i.
6.
1
b. 2; 2
f. 33
j.
2
f. No existe
1
-
"-3
3
e.
8
e. 0
g.
2 -, f ^ x h
a. 3 b.
c. 4
d.
"
d. No existe
b. 9
4.
c. Si x " 2 +, f ^ x h " 3
11 -
c. 16 d. 6
1 4
No existe
e.
4 3
f. 2 9 9 - Respuestas
8.
a. b. c.
3
6.
2
b.
1 4
c. d.
e. 33 a.
−2
b.
−2
f. g.
2
d.
h.
4
e. 80
11. a.
-
4
c. d.
1
-
2 3
1 2 1 4
i.
cos (a)
j.
0
Practica 20. Página 109 1.
c, e, f, h, j, l
2.
a. 1
1 1
b.
∞
c.
−∞
d. 1
2
3
4.
∞
3
Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
a.
x . - 1, 191488
y = y =
1
y =
8
5.
2 7
e.
-
f.
1
g.
6
b.
x = 2;
h.
12
c.
x = - 3
i.
5
6
6.
7
−4
b.
k.
0
c. 4
l.
0
d.
a. b. c. d.
0
e. 0
0
7.
0
4.
No existe
5.
a.
lim
x
sen x
h
"
d. x lim "
0
=
2
x " 0
lim f (x )
x " 3 g( x )
No existe
3 3 = 2 x + 2
"
= sen ] 1 g
sen ] 2 x g
lim
5
9 lim g( x ) = 2 x 2
sen x
x " 1
b. x lim0 c.
a. b.
1
x = - 2
a. 0
0
j.
2.
2
10
Página 105. Piensa y aplica
b.
n
3
1
c. 0
a.
m
1
b. 12
1.
2
e. tan (1)
c. No existe
f.
5
1
d. 0
9.
a.
x
sen ] 0 g
h =
sen x = 1
10 10 - Respuestas
8. = 0
sen ] 0 g 2
= 0
a. 0 b. 1 c. 0 d. No hay
3 2
Página 112. Piensa y aplica 2.
a.
10.
98
11. Primera pregunta - Opción A
25 2
b.
20b - 3 b - 3
Segunda pregunta - Opción B
6b
c. 5 d.
12. Opción A
3
13. Opción A
2
r
3.
Para todos los
4.
a. Es el máximo valor para el tamaño
a
] 2n + 1 g
=
2
n
! �
15. a. 35 b. 19
b. Creciente
5.
16. a.
a. 40
c. 2357 y 456 d.
c. d.
-
1
4
y
3
− 24
b.
− 28
20.
- r
− 7, − 4, − 2,
21. a.
a. Verdadero
x
=
c.
y + 3 = x
d.
x + 5 = 2 y - 4
]
b.
x =
2
c. 10226 = 23010
c.
x = - 2
d. 13556 = 35910
d.
x =
155
44
400
204
210
308
Divisible por 5
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Divisible por 2
No
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
3.
a. b. c. d. e.
+5
g
11 2
23. a. 15 y 20 b. 44 c. 14 y 15
24. a. V
80 3
b. F
100 3 25
c. F
34
d. F
3 20
34
27. a → 5
3 5
D =
d. 24
ab - a - b
5.
−1
0, 1, 3, 5
y = 2x
2
2
C =
b.
x =
4.
127
y
22. a.
a. 246 = 1610 b. 3106 = 11410
5.
+
19. a.
1
b. Verdadero
6.
y - 457 87
2
16
Página 120 - 121. Preuniversitario
-
17. A = − 4 B = 2
a. 2 b.
2.
y − 1053
b.
d. Horizontales y = 6 ; Verticales x = 0
1.
− 100
c. 280. Es el máximo tamaño del animal. b. 6 6.
2 f ( x ) = - 2 ] x - 2 g + 9
34
b→ 1
OA = 4 cm
a.
b
1
c.
b
11 3
y +
y +
8
l
c→ 2
b
= 2 x -
l
=
1 4
2
l
1 ^ x - 4 h2 6
d→ 3 e→ 4 11 11 - Respuestas
d. Continua en
28. a. 1 b.
−2
c.
6
e. Continua en ] 0, 3 g f. Continua en ^- 3, - 3 @
d. 3 y − 1 29.
f ( x ) = x 2 + 2x
g. Continua en 6 5, 3
Si el ancho es 4 cm, el área es de 24 cm . 2
h. ]- 3, 0 g , ] 0,
UNIDAD 3 UNIDAD 3 Página 131. Piensa y aplica 1.
7.
f ( x ) =
8.
x 2 - 8x + 15 , si x ! 5 x - 5 f ( x ) = 2, si x = 5
9.
a = -2 b = -1
c. No es continua en x = 1 2.
a. No es continua en x = - 2 , ni en x = 5 . En (3, 4) si es continua. b. No es continua en x = - 1 . En (0, 5) si es continua.
3.
a. No es continua en x = 4
c. No es continua en x = - 4, x = 4.
12. Evitable
Es continua en (− 1, 1)
c. Continua en d. Continua en e. Discontinuidad evitable en x = 0 a. Es discontinua en x = 0 5 x = - 2 y x = 2
c. Es discontinua en x = 5
a =
2.
Sólo es continua c.
3.
a. Continua en 6- 5, b. Continua en ] 3, 5 g
5
g
c. Continua en ]- 7, 5 g 4.
a = 1 y b =4
5.
Sí
6.
Sí
7.
No es continua en t = 0 ! 6- 7, 5 @
9.
a.
S =
1123600
d. Es continua
b. Cada año.
e. Es discontinua en x = 3
c. Es el factor de incremento salarial 1, 06
f. Es discontinua en x = - 1
5.
1 6
1.
a. Discontinuidad evitable en x = - 2
b. Es discontinua en
3 3 , = 2 a 2
Página 135. Piensa y aplica
b. Discontinuidad evitable en x = - 2
3.
b =-
4, x = 2, x = 5
Página 134. Practica 7 2.
x 2 - 16 x - 5 , si x ! 4 8, si x = 4
10. En los enteros
13.
b. No continua en x = -3
3g
Para c = 136
* *
6 3, 3 g
g
6.
a. Continua en b. No es continua en x = 3
y
y x = 1
d.
$ 1262476 , 96
g. Continua en
10. a. Es continua
h. Continua en
11. b. Es continua en ]- 431, 03;
a. En 6- 2,
3
g
c.
b. Continua en c. Continua en 12 12 - Respuestas
100c
C aprox.
d. Bogotá →
3g
98, 577c C
Medellín →
aprox. 99, 038c C aprox.
= 100 % + 6 %
12. Es continua en x = 2
Página 150. Practica 17
13. No es continua en x = 2
1.
a. 1 c. 5
15. a. Continua en 6- 2, 2 @
e. 2 x
b. No es continua en x = 4
g. 10 x + 3
c. No es continua en x = 2
i.
d. Continua en
k. x + 4 m.
Página 142. Practica 12 1.
o.
3
a. 55191,5 cm
q.
c. 3250,5 cm3/seg
s.
e. 0,905 cm3 3.
5.
a. (2 h + 5) p/s
u.
b. 5 p/s
w.
a. 18 m/s
x - 5
-4
1.
-
2
x 3 - 4 x 2
^ 2 x 2 + 3 h 3 x 2 4 x 2
^ 1 + x 2 h 1 2
x + 4 1
4 + 4 x + x 2
a. V = 150 - 12S m/s V = 150 - 20S m/s
b. 30 m/s
c. (10 - 10S) m/s
7.
c
9.
T x ] 2x - 1 g
11. v = 90 m/s
5.
a. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 P(1, 4) Ecuación recta tangente: y = 4x
Ecuación recta normal:
y = -
x
4
+
17 4
15. 136 071,16 habitantes por año 17.
-10,9799
m/s
Página 144. Practica 1.
0,41
3.
100 m/s
5.
b. v = 10 m/s c. v = 24 m/s v = 8 m/s
7.
a. 4
c. f ( x ) = x 3 - 3 x 2 + 2 x P(2, 0)
Ecuación recta tangente:
y
Ecuación recta normal:
y = -
=
2x
-
x
2
4
+
1
c. -107 e. 9.
2 15
1 cm2/min
11. 150 cm3/s 13. 100000r cm3/s 15. 0,25 cm/s 17. 0,384 dm/min 13 13 - Respuestas
e. f ( x ) = - x 3 - 2 x P(-2, 12)
Ecuación recta tangente:
y
Ecuación recta normal:
y =
3.
= -
14x
1 14
-
x +
a.
f l ^ x h =
c.
f l ^ x h =
170
7.
9.
9.
P ^ 1, 1 h
=
x 2
y
=
4x
a.
y = -
x
4
+
11. a.
y = -
c.
y = -
e.
x = 1
22
2
x
y
15. a.
m=1
c. 17. a.
19.
= -
m
-
8
3.
c.
f l ^ x h
e.
f l ^ x h = 3 10
1
=
x +
x 25 4
-
2
1
x 4
79
f l ^ x h =
3 x 2 + 2x + 3 2
c.
f l ^ x h
3
e.
f l ^ x h =
a.
f l^ x h =
2
^ 3 x + 1 h
=
3
8 -
3
3 1
x
5
x 2
+
5
3
x
5
-
5 4
4
x 5
3 x 2 + 2x + 32 2
^ 3 x + 1 h
3t 2 + 2t + 32 9t 2 + 6 t + 1 24 x 7 + 64 x 6 + 30 x 5 - 18 x 4 - 18 x 2 - 2 x + 18 2
x 4 ^ 2x + 3 h
a.
2 cos2 x - 1
c.
cos x
e.
5 ^ 1 + ln
a.
f l ^ v h = v ^ 2 sen v + v cos v h
c.
vl ^ p h
e.
ml ^ a h = sec a ^ 5 tan a + sec a h
g.
f l ^ i h = - sen i ^ i + 1 h + cos i
i.
f l ^ a h
3
+ 4 sen x
x h
=
sec2 p
-
=
Ecuación recta normal: c. Ecuación recta tangente:
Ecuación recta normal:
Página 154. Practica 19
y = - 2x + 4 y =
x
2
y = -
+9
x
4
+
y = 4x + 6
7
5.
-
1
2 cos a
^ sen x
30
21. a. Ecuación recta tangente:
1.
a.
4
f l ^ x h = - 12x 3 + 10x - 7
y = -
5t 5
12
1
= -
- 12
Página 156. Practica 20
74
+
4x
+ 3x - 3
2
1.
13. a.
2
x 5
3
+
12
8
x 2
56h 3 - 30 h2 + 84 h - 30
c.
4 x
3
e.
11. a.
3
-
3
x 2 1
14
c.
y
3
16
5.
7.
1 3
2
-
k.
f ^ i h
m.
yl = 2 sen x cos x
a.
yl = x 2 e x
c.
2e x cos x
e.
yl
=
1
-
1h
csc2 i
4
11. a.
= -
e-
x
f l ^ s h = 4 tan3 ^ s 2 + 3s h sec2 ^ s 2 + 3s h ^ 2s + 3 h
a.
6 x 2
c.
hl ^ x h
c.
16 x 3 - 15 x 2 + 12 x - 7
e.
f l ^ x h = 2 sen ^ x h cos ^ 2x h + cos ^ xh sen ^ 2x h
g.
f l ^ x h
e.
7 2
^ x + 2 h
14 14 - Respuestas
=
=
6x 3 cos ^ x3 h + 2 sen ^ x3 h - 2 x cos ^ x2 h + 2 x^ x2 - 2 h sen ^ x2 h
6 cos ^ x 2 h cos 2 ^ 2 x h
-
6 x sen ^ x 2 h tan ^ 2x h
Página 158. Practica 22 1.
3.
a.
f l ^ x h = 24x 2 - 14x + 1
c.
f l ^ x h =
a.
x ln ^ 5x h + ^ x + 1 h ln ^ x + 1 h x ^ x + 1 h
c.
yl
e.
y l
g.
y l =
9
^
-
m.
y l =
15. a. c.
2
=
4 ^ x
3
3
1h
-
^
yl = 4 x + 3
f ^ x h m
=
=
f ^ x h
= -
n
mm
^ x h
h
12x 2
f ^ x h
f
-
24x
24
=
x cos x
x sen x
-
-
3 sen x
4 cos x
x 2
17. a. Una constante
4 x 4 + 8x 3 - 4x - 2 2
^ x 2 + x h
19. b
^ h 2 ^ x 2 + 1 h 2
- 10 x - 1
a.
yl = - 9 sen 3x + 1
c.
yl
^
= -
2
^ x 2 + 1 h
h
3 csc 3x cot 3x
^
10 ^ 1 - x h 2
ó
y l =
h
-
3 csc2 3x
^
- cos x - 1 + x -
y l =
2
cos x
f l ^ x h =
c.
f l ^ x h = tan x
a.
f l ^ x h = 2e x cos x
c.
f l ^ x h = 4 ln 4
e.
gl x
sen x
=
cos x sen x
= cot
=
-
pies s2
v=
23.
f ^ x h = g ^ x h h ^ x h + 2g ^ x h h ^ x h + g ^ x h h
38t
a=
m
38
m
l
l
m
Página 165. Piensa y aplica 1.
^ x h
x
^ h
pies , s
21.
1 h sen ^ x - 1 h
^ x - 1 h
a.
c.
2
n
3
o.
11 a.
yl
3 x + 2
-
2
13. a.
yl = 30x + 20x - 18x
=
yl = 5x 2
c.
4
y l
c.
4
-
1h
3 2
yl = 5x
c.
3
-
a.
11. a.
35x 6 sen ^ 5x 7 h
4 x
=
k.
e. 7.
= -
9.
x 2 + 1 3 x 2
x x
i.
5.
Página 163. Practica
2 x ln 2 2 2 x
a.
dy dx
=
x
b.
dy dx
=
c.
dy - x ^ x + 2 h = dx y ^ 2 + 5y h
d.
dy = dx
- 6 x +
e.
dy = dx
- 4 x +
3y + 1
- 3 x +
2y + 2
f.
dy = dx
- 3 x -
g.
dy - 4 x 3 - 4xy 2 - y 3 = 4 x 2 + 3xy 2 + 8y 3 dx
h.
dy = dx
-
3 y x 3 4 y 3
-
2
6xy - 2y 2
2 2 - 3 x + 4xy - 3y
2
2 - x
y l =
e
- 2 x
4 - x 2
+ cos x
^ 2 cos ^ 3x h + 16 sen ^ 3x h h
2
4xy + y 2
2
2 x - 2x - 6y 2
3
6y
2
4y
- 8 x + - 3 x +
Página 162. Piensa y aplica 1.
3.
a.
y = 5 cos x
Página 171. Practica 28
c.
yl = 2 cos x
1.
a.
f l ^ x h
c.
f l ^ x h = 12x ^ 3x - 9 h
=
^x
-
2 h ^ 5x 2
-
2h
x 3
b 32 l
5.
hl
7.
f l ^ 1 h
.
1, 101
4
+
^ 3 x - 9 h
3.
a.
x = 0
c.
x = 2
e.
x
3r =
4
, x
=
r
4
, x
=
r 4
a. Punto de inflexión x = 2 c. Cóncava arriba x 2 2
= -
1 2
e. Cóncava abajo x 1 2 15 15 - Respuestas
5.
Si n es 2
7.
a. Cóncava abajo ^ - 3,
c. Números críticos x = 0 3, 5 h
Punto inflexión x
=
1
b. Máximo x = 1
^ - 3, 0 h
Decrece cóncava arriba
c. Punto de inflexión x = 3, 5
^ 0, 12 h
Decrece cóncava arriba
d. Cóncava arriba ^ 3, 5,
^ 12, 3 h
Crece cóncava abajo
3h
e. Mínimo relativo x = 6 f. Números críticos x = 1 9.
x = 12
x = 6
3
7.
a.
9.
Punto inflexión x
x =
4 2
=
3
a, c, f, g Intervalos
11. a. Mínimo relativo ^ 3,
- 27
^ - 3,
Máximo
^ 0,
P. C. x
0
=
f ’ ] x g
f ’’ ] x g
Conclusiones
Decrece cónc. arriba mínimo
h - 2h
]-3g
−
+
0h
]- 1g
+
−
0h
^ - 2, ^ 0,
2h
]1g
−
−
^ 2,
3h
]3g
+
+
x = 3
P. Inflexión ^ 2,
-
^ 0, 0 h
16 h,
c. No existe máximo ni mínimo e. Mínimo ^ 2,
Máximo
Página 178. Piensa y aplica
4h
^ - 2,
-4
h
No hay puntos de inflexión
1.
Los números son x
3.
x =
5.
Números
5.
y =
15
y
30
y = 30
9, 71 cm - 15
Producto mínimo
Página 174. Piensa y aplica 3.
6, 47 cm
=
- 225
a. ^ - 3, 0 h , ^ 4, 3 h
7.
Los tres números son 10, 10 y 10
c. ^ 0, 1 h, ^ 4, - 31 h
9.
Los números son 40 y 20
e. en x = 2
13. a. a = -3
a.
15. Los números son 0,5 y 0,5
f l ^ x h = - 15x 4 + 15 x 3
Números críticos x
=
=
^ - 3, - 1 h Decrece
^ 0, 3 h Crece
0
x
= -
3
Punto inflexión x
^ - 1, 0 h Decrece
b = -9
4
cóncava abajo
cóncava arriba
cóncava abajo
1
19.
^ h = - x 2 + 50x + 500
u x
21. Los números son 6 y 6 23. x = 1,25 m
y = 0,8 m
25. 12 y 12 27.
2
r
= x = y
29. (1,1)
b. Números críticos x = 5
Punto inflexión x
=
^ - 3, 5 h Crece
cóncava abajo
^ 5, 3 h Decrece
16 16 - Respuestas
0
cóncava abajo
Página 187. Practica 33 1.
Error: lim x
"
0
^
1
-
sen x h
^ 6 x h1
=
lim
-
cos x 6 x
6
Crece cónc. abajo máximo Decrece cónc. abajo máximo Crece cónc. arriba mínimo
3.
a. 2
c. (5, 4, 5)
3
d. (5, 0, 8)
c.
2
e. 0 7.
a. c.
e. (9, − 2, 7)
a
f. (9, 0, 10)
b
g. (3, − 6, − 4)
-3
e. 1 9.
4.
a. 0
b. (9, − 9, 6)
c.
2
e.
-
c. (− 1, 13, − 6)
3
1
d. (20, 2, 8)
11. a. 2 c.
a. (6, − 3, 6)
e. (30, 2, 8)
-
3
5.
2
a. 6, 16 b. 12, 33
Página 189. Piensa y aplica 3.
c. 7, 48
a. Es continua en [− 1, 3]
d. 8, 12
Es diferenciable en (− 1, 3)
e. 12, 33
c. Es continua en el intervalo [− 0,2, r]
Es diferenciable en (0, 2r) y
f ^ 0 h = sen 0 = 0
f ^ 2r h = sen 2r = 0
Los números son t
=
t =
f. 19, 95 6.
r
2 3r
7.
2
e. Es continua en el intervalo [- 1, 4]
Es diferenciable en (− 1, 4) f ^
-
1h
=
0
y
f ^ 4 h = 0
Los números son x
= -
11
x = 1
7.
a.
lim h
"
5
lim h
c. e. 11. a. c.
"
-
5
h2 25 h 2 h 20 -
-
2h 2h
-
0 =
-
10 1
=
1 4
1 c=
indet
8.
b.
a
1,3; - 2
a.
i
+
b.
-
c.
i
1
1 2
+
k
j + 4k i+
3 2
j-k
j + 4k
d.
6i - 6j + 18k
e.
- 3i + 5j - 8k
f.
11i - 17j + 30 k
a.
- 4i - 3j - 3k
b.
- 5i + 2j - 8k
c.
- i + 7 j - 5k
9
1 2
1 2
c = 0, c = , c = 1
Página 196. Practica 38 3.
0
a. 6, 7
10. a.
a
.
56, 67c
b.
a
.
90c
b
.
c.
a
.
75, 95c
b
d.
a
.
60, 11c
e.
a
.
97, 49c
11. a.
b
.
97, 89c
{
.
34 , 49 c
14, 03c
{
.
104 , 04 c
.
90c
{
.
14 , 03c
b
.
75, 57c
{
.
33 , 85 c
b
.
12, 04c
{
.
80 , 62 c
. 20
a. (− 2, 5, 2)
b.
.
15, 47
b. (7, 1, 6)
c.
.
13, 02
17 17 - Respuestas
12.
205, 91 km/h; 60, 94 c
sur oeste
14. a. (1, 5, -8) b. (-1, -3, 13) c. (0, 2, 5)
b - 12 , - 12 , 72 l
d.
b.
- 10i - 8j + 5k
c.
i
+ 3j + 3k
d.
i
+ 10j + 3k
e.
8i - 16j - 36k
f.
] bc - ad g j
g. ] ad - bc g k
Página 199. Piensa y aplica 1.
2.
a. 42
h.
- 2 j +
i.
6i + 4j
b. 0
j.
a. 12
k.
0i + 0j + 0k
4
l.
4i - 8j + 4k
3
m.
- 4i + 8j - 4k
b.
-
c.
-
d.
-
11
2.
- i + 3j + 5k
181
a.
181
b.
17
g. (-0,4, 0,8, 2)
c.
654
h. (15, -30, -75)
d.
74
e. 26
17
f. 84
3.
4.
5.
a. Paralelos, opuestos
3.
^ 17i - 13j - 14k h
^ 8i + 3j - k h
a. 0,4152 b. 0,8452
c. Ninguna
c. 0,6679
a.
90c
d. 1
b.
159, 57 c
e. 0
5
a.
c. d.
4.
11
6
11 11
5
5.
7 54
2i + 9 j + 4 k
b.
0i + 0j + 0k
c.
4 j - 4k
a.
- 4i - 4 j
b.
- 7i - 12j -
c.
- 28i - 105j - 21k
k
7
a.
15 9 12 18 17 i - 17 j ; 13 j - 13 k
b.
62 62 155 186 62 93 i + 33 j - 33 k ; - 49 i - 49 j + 49 k 33 •
a.
a.
11
7. 38 New m 8.
^- 2i + 3j - 2k h
654
74
^ - 9i - 6j + 8k h
b. Perpendiculares
b. -
6.
k
10 3
i+
5 3
6.
b. 20,02 unidades al cuadrado 7.
j+
10 3
k
b.
9 7
i-
3 7
j+
15 7
a. 4 unidades al cuadrado
k
a. 2 unidades al cuadrado b. 4,69 unidades al cuadrado c. 7,79 unidades al cuadrado
Página 202. Practica 42 1.
a.
- 9i - 6j
18 18 - Respuestas
d. 10,01 unidades al cuadrado 8.
f 1 = 2500 New
f 2 = 4300 New
9.
a. 9 unid 2
11. a.
b. 32,01 unid 2 10. a.
− 22
b.
- 12i + 6j - 6k
c.
-
11
14 14
44
2
33
-
f.
12i + 6j + 6k
i-
2
l
] 3, - 4, 8 g
b.
2;
c.
6, 16;
d.
7, 68;
b b
1,
3 7 , 2 2
l l
1 1 3 , , 2 2 2
5
12. a. 18,7 j+
11
2
k
b. 2,19 c. 12,34 d. 25,48
11. a. 13 b. 9
e. 2,82
c. 117
f. 17,5
d.
7 3 7 ,- , 2 2 2
^- 2i - 3j + k h
d.
5
b
7, 14;
13. a. Sí
44i - 23j - 17k
b. Sí
14. a. 51,2 unid 2
c. No
b. 25,6 unid 2
d. No e. No
Páginas 206-207. Piensa y aplica 1.
a. 1 unid 3
g. Sí
b. 17 unid 3
14. a.
c. 18 unid 3
c. Sí
15. a.
5.
335,47 unid 3
9.
52 unid 3
-
c.
-
14
d.
-
e.
-
f.
-
42
i+
13 13
3
14 14 6 3
2
14
i-
42 3
b. c.
4
b.
4
d. No existe
b. Sí
3
1
=
c. No existe
a. No
10. a.
{
b. No existe
d. 4 unid 3 3.
f. Sí
2
j +
42
2
i+
13
14 7 6
5
14
14 14 6
6
k
k
k
7
k
16. a.
19
66 33
66 80
66 33
71
66 33
16 24 13 i - 13 k
b. c.
66 11
e. f.
j+
29
42 42
66 33
d.
k
j+
29
k
5
j+
13
6
14
j+
21
i-
i+
29 29
7
14
8
4
y - 5i- 5j
23 23 23 6 i + 30 j + 15 k
2 2 2 3i - 3j + 3k
y
y
69 23 115 38 i + 19 j - 38 k
-i -j -k
19 19 - Respuestas
24 24 24 17 i + 17 j + 17 k
y
b.
40 60 80 29 i - 29 j + 29 k
y
c.
2 10 2 - i+ j - 9k 9 9
17. a.
18 6 9 - 7 i - 7j + 7k 424 53 53 77 i + 77 j - 11 k 165 33 165 i + 51 j - 51 k 51
y
11. Opción A 12. La respuesta correcta es
4 ] x - 1 g
x 2
13. Opción B 14. Opción C
18. 22 dinas/cm = 22 ergios 19. 13,79 New/m
UNIDAD 4
20. a. 8,86 unid 2; 15,27 unidades
Páginas 223. Practica 2
b. 1,82 unid 2; 16,95 unidades
1.
21. a. 40,79 unid 2; 28,8 unidades
a. b.
b. 71,05 unid 2; 44,48 unidades
c.
1 3
x
1 5
x
1 8
x
3
5
8
+
c
+
c
+
c
+
c
2
c. 42,96 unid ; 45 unidades d.
2
d. 28,28 unid ; 24,24 unidades 22.
f 1 = 48, 16 Kgf f 2 = 63, 84 Kgf
Páginas 216 - 217. Preuniversitario 1.
Volumen del sólido =
2.
a. F
1 2
x
4
1
9
e.
27
f.
- x
g.
11
h.
1 -2 + x 4
x
4
5
+
+
11
x
c
c
+
c
4, 5r . 14, 137
b. V
2.
f l ^ x h
c
= sen x cos x
&
f^ x h
c. F d. F
Páginas 226. Practica 5
e. V
1.
3.
Área sombreada = 7,46
4.
a = 5,04
5.
La ecuación de la parábola es y = - ] x + 3 g2 + 5
7.
0, 9999... =
8.
a. Área sombreada: 0,36
m < c = 28,95º
3
/
9
k = 1 10
k
b.
m < b = 46,49º
Esta suma converge a 1.
a.
c. 2.
c.
c. La aproximación de la resta del superior y el inferior 9.
a. Pendiente de BD
0,85 0,75 0,75 0,75 0,75
b. Para encontrar la derivada se tiene en cuenta el mismo procedimiento, pero la diferencia se hace muy pequeña. 10. Opción C 20 20 - Respuestas
3.
2 2 5
b.
x
6
7
+
c
5 x 2 + c
3
a. ] b.
b. Área bajo la curva: 0,31
1
7
x 3
+
c
1
x
1 6
2
-1
g2 + c 3
] 4 x + 3 g 2 + c 3
1
] 2 + 3v2 g2 + c 2 1 cos x +
c
1
c. - 4 cos4 t + c
Página 228. Piensa y aplica 1.
a.
5 sen x + 3 cos x +
b.
-
c.
tan x - sen x +
1 2
cot x +
c
c
c
=
1 sen 2 x 2
-
cos x +
c
d.
e.
- 4 sen x +
c
e.
f.
- 3 cot x - 3e
x
+
c
f.
2e
h.
- cos x + tan x - 2x +
i.
sen x + tan x +
x
- cot x +
3 sen x - 7e
x
+
6.
c
h.
1
+
3
3
2
3
-
+
x
x
2
2
+
c
tan
3
1
c
1
3
2
4
2
+
3
t2 -
3 2
4
8.
c
1
a.
4
3
- 3 x +
3
7
-
4
t3 + c
4
1984
4
3
x
5
5.
-
6
x
2
2
+
2x - 2
x
1
c.
7
5 x 3
4 3
3
x
3
-
5
-
3968 3
x
6
+
x
4
1
+
x
10
2
1
3
4 x 2 -
f.
ln sen x +
c.
t
3
-
1
3 x
3 8
x
-
3
+
2
5-
- x
1 5 x
3
x
9
x
d.
-
e.
x
4 x
5
+
1
3
c
+
c
6
5
2
3
2
x
-
4
1 2
4
x
3
+
3
2
x
2 3
x
-
3
1 x
j.
3 2
x
2
- 2x +
+
+
c
9.
3
c
+
3 x
2
c
-2
2
c
+
c
4 3 t + c 3 1
-
4
+
x
c.
c
d.
c
5 3
+
c
4 3
x
e.
3
-
1
a. b.
c
- 5x +
-
n
c
n
4
+
c
c
c
t2 + c
7
5 3
6
c
c
- 3x +
1
+
c
+
2
3
+
x
+
e
a.
+
x
c
1
] 3 - x 2 g
2
sen
2
h.
7
e.
b.
x
3
g. - 2 t 4 + c
c
-
f.
c
c
3x +
+
10
2
+
c.
i. -
2
d.
a.
x
5 2 3 4 t + t + c 4 2
b.
c
16 3 t + c 3
f.
b.
c
b.
c.
t2 +
7
t
5
+
2
f. -
c
c
e.
a.
c
c
x
csc 2
3
3
4.
+
x
cos
4
e. - 4
- tan x +
x
c
sen t + c
2
d.
2x e 3
2
d.
c
-5 +
7
5 x 3
cos x +
c.
7.
c
c
cos 2a +
10
ln 2 x
4
5
+
2
x
e
-
a. b.
f.
3 - x + 5 ln
i.
c
c
- 4 tan x +
1
a.
-
3e
2
c
4 x3
4
e.
e.
g.
-
-
2
1
3
5 x 2
d.
- 5 x - 20 cos x + x
5
- csc x +
d.
+
2
c.
-
x
2
c
c.
e
3
3 x + 27x + 81x +
csc h + c
tan x + 3 cos x + 2 sen x +
4
3
+ 2t + c
b.
b.
3
4
t
c
] 3 x2 + 5x g3 + c 3
a.
1 12
c
1
f.
3.
5
g.
j. 2.
3
d.
6 2 3
x
6
5
2
2
x
+
c
+ 6x +
c
3 x 2 + c
3 4
x
-
4
1 24
5 7
m
7
+
c
6
t + c
+
c
x
21 21 - Respuestas
f.
7 x
8
-
h.
&
b. c. d. e. f.
+
5
g.
10. a.
8
88
x
3.
c
11
+
b.
c
1
9 - x 2 cos x +
- 2 cos x +
#
1 2
-
x
1 2
c.
0
cos x dx
-
3
cot x +
4
1
1
-
x
3
csc x +
cos x +
3
5 tan x +
10
4
c
] x3 + 1 g2 + c
9
1
] 3m3 - 5 g6 + c
54 -
e.
-
f.
-
3
1
] 9 - x2 g2 + c
3 1
]13 - 3 g + c
3
2
3
]1 - 2t2 g3 + c
8
4
15
] x4 - x2 g3 + c
8
h. ]
c
i. +
2
c
4 x
4 ln 10
3
+ 80t + 150t + 125 t + c 3
2
d.
g.
4
16t
c
- 3 sen t + c 3
a.
1
x
1
11. a. Falso 4.
b. Falso
+9
g2 + c
] 5 x 4 - 3x2 g2 + c
2
c
j.
2
a
1 2
1
1+
r
-2
k
+
c
a. Falsa b. Falsa c. Verdadera
Página 232. Practica 8 1.
a. b. c. d.
2
m
1 2
2
-
+
x
x
3
3
2e 2 +
g.
2e
c. d. e. f. g.
c
c.
c
c
x
x
5 2
1 4 1 3 1 5
1 6
x
c
+
2
+
a.
3 - 2x + e 2
c
1 3
1 4
2 2 3y 2 3 y 3y y e ye + e + c 9
1 5
27
1
sen 5x -
x
5
sen 5x +
c
sec 3x +
x
sen 2x +
1 8
cos 2x +
-
a.
c
c
c.
c
e. 3
]1 - cos 2x g 2
+
g
+1 +
c
c
f. g.
4
h.
1
i.
sen t + c
] 1 - sen x g
22 22 - Respuestas
4
f.
c
sen 2x +
1
+
t sen t + 2t cos t - 2 sen t + c
b. sen 6x +
2
2
1 2
x
2 - x 2 e
h sen x ln x
1 3
x
+
c
1 3
1 2
3
-
1 - x 2 + e 2
h + cos
-
x
+
ln x -
c
1 9
x
3
+
y
3
c
+c
ln
x
2
+1 +
2 1 2
ln t
c
+ 2x -
1 2
e
2t + 3
x
m e
1 2
- 4t + 9 + c
] ln x g2 + c
x
e
2
r
2
- x
e
+c
+1 +
+
+
1 5
e
5r
c
+
c
c
h +c
1 ln 8m + 3 + c 8 1
c
sec m - ln sec m + tan m +
c
7. tan 5n +
x
e.
j.
2
4
m
i.
sen 4t + c
x
1
d.
d. 2
3
h.
c
sec u +
1
1
c
1
j.
5.
b.
+
x
h. - 2 cot ] i.
c
- 14x + 4x +
f.
b.
D. Falsa
2
ln
a.
+
sen 4x +
8
tan x +
49
m
1
e.
h. 2.
1
c
c
8.
10
a. b.
9.
+
-
5
x
3
3
+
c
b. Verdadero c. Verdadero
- 5 y
6
+
+c
10. Las potencias son menores que las bases si
10m +
1 4 ln 4
h.
1
a.
5
x
3
] y + 1 g
+
11
11
] y + 1g
h
x
+3 +
1 6
+c
Para el 8º nivel: 256 caminos
x2 sen ^
x
h
+3 -
1 4
# x
3 2
cos
^
x + 3 h
] x3 + 2x2 - 5x + 5 g + c x
e
- 3x
2
e
x
+ 6xe
x
- 6e
x
+
c.
x
3
x
-
x
+
0 < x < 1
b. Falso
c
- x cos x + 4x sen x + 12x cos x + 251x sen x - 24 cos x +
4
16. x debe valer 18. a. Falso
b.
ln
16
15. Para el 6º nivel: 64 caminos
1
3
1
189
c
+
x 2 cos ^
12
3
14. Opción E
- 20
3
c.
1
13. Opción B
] 4 t + 3 g4 + c
2 ln 5
2
b.
x =
c
12
12
0 > x > 1
c
11. A =
g.
10. a.
x =
9. a. Falso
c
5 ln 5
1
c
- x 2
2 ln 3
n
2
e. f.
3
1
c. d.
+
3 ln 10
-
8.
3m
2
c
20. x2 - 5x - 24 = 0
21. a. V
c
b. V
Página 298 - 299. Preuniversitario 6. a. ] m4 + 2 - m2 g ] m4 + 2 + m2 g
d. F
b. ] b 2 - bc - c 2 g ] b 2 + bc - c 2 g
e. F
c. ^ 5 y2 + 7z2 - 4yz h ^ 5y2 + 7 z2 + 4 yz h d. ] t2 - 10 + 5t g ] t2 - 10 - 5 t g e. ] 5
m
2
2
- 9n - 7mn
c. V
g ]5m2 - 9n 2 + 7mn g
f. V g. V h. F
f. ] 20a4 + 7b4 - 8a2 b2 g ]20a 4 + 7b 4 + 8a 2 b 2 g
i. V
g. ] 7u 4 + 14t 2 v 2 - 11 u2 vt g ] 7 u4 + 14 t 2 v2 + 11 u2 vt g
j. V
h. ^ 9 x 4 - 8 y 2 + 5 yx 2 h ^9x 4 - 8 y 2 - 5 yx 2 h
k. V
i. ] t2 + v2 - tv g ] t2 + v2 + tvg j. ^ 2i 2 + 3j 2 - 2ij h ^ 2i 2 + 3j 2 + 2ij h k. ]
m
2
2
- 6n + 2mn
g ] m2 - 6n 2 - 2mn g
l. ^ 7 y2 - 9z 4 + 5 yz2 h ^ 7y2 - 9z 4 - 5 yz2 h m. ] 4t2 - 3u2 + ut g ] 4t2 - 3u2 - ut g 7. a.
3
3375 cm # 27 = 9 1125 cm 25
b.
10 3, 9
3
átomos
l. F m. F 22. a. 38 b. 142 c. − 11 d. 91 e. 97
d. Falso, porque por ejemplo 13 ! 31 23 23 - Respuestas
UNIDAD 5 4.
Página 309. Practica 6 1. a. Gasto en útiles Ingresos escolares mensuales
50-99 100-149 150-199 200-249 250-299
300-599
2
900-1199
7
1200-1499
2
1500-1799
8
1800-2099
5
7.
2100-2399 2400-2799
0
30-69
0
15
0
70-100
0
0
7
5
6
5
4
3
2
1
36
36
36
36
36
36
36
e9 1 3 3
Nº caras
0
p
1
4
6
4
1
16
16
16
16
16
4. a.
= - 0, 026x + 22 , 89
y
5. a.
0, 64
c.
0, 82
2 1 4 3 4
0 ases
−0,9730
c. y = - 2, 8x + 236
Página 316. Practica 12 1. a. 3. a. c.
3 4
4512
288
4
22100
22100
22100
22100
35
1
a.
2 7 8 1 2 3
3.
a.
5.
10 %
6.
1000
14
de los ensayos
1
Página 322. Piensa y aplica 1.
3
a.
7
2.
P(0)
P(1)
P(3)
P(4)
P(5)
1
1 4
3
1 4
16
16
15 1
3.
k
5.
0,066
5
24 24 - Respuestas
3 ases
17296
4
1
2 ases
18
c.
c. y = - 0, 876 + 1, 104x
4. b.
1 as
0, 48
b.
1. a. 0,916
b. y = - 0, 691x + 1, 802
3 ^ 16 ln 2 - 1 h 1 024 ln 2
P ^ x 2 1 h . 0, 9856
Página 310. Piensa y aplica
3. a. 0,62
4
Página 321. Practica 17 2.
2.
3
1
10.
13.
2
6
c.
11.
1
1
2. a. No hay dependencia b. Si hay dependencia
12
4
9. a. C = 12
11
36
70-100
0
10
3
c. 30-69
9
36
b. 0-29
8
2
8. a.
c. Calificación en Física Calificación en Cálculo 0-29
7
36
3 5
6
1
6.
5
36
c. 13
4
5. a. c = 3
9
600-899
3
=
8
8
1
7.
-$1000
10. Opción B
9.
a. 1
11. Opción B
c. 0 , 8 6
12. Opción E
13. a.
5.
5
4
a. Sí hay dependencia
14. B, D, C, A
b. No hay dependencia
15.
(sí, sí, no); (sí, no, sí); (no, sí, sí); (sí, sí sí)}
4
- 32 b
5
1a
2a
2a
3a
3a
4a
4a
b. Resultado: 0 17.
a. 0,71
f] x g •
b. 0,58 •
c. 0,3
•
8.
0,96
9.
a. 0,24
•
•
b. 0,25
Si se cumple
4.
a. ] x - 2 g3 = c. ] 2 x - 3y g 3
+ 2b
3
g
6
x
5
4
4
3
2
2
3
4
4
- 5x y + 10x y - 10x y + 5xy - y 3
- 2x y + 6
3 2
1 1 4 2 2 3 x y xy + y 2
5
4
16
2
3
3
2
4
64 x + 576x y + 2160 x y + 4 320 x y + 4 860 x y
3125 x
15
6
- 12 500x
+ 6 400 x y
12
y
3
9
6
6
9
+ 20 000 x y + 16 000 x y
15
- 1 024y
19. Mediatriz: lugar geométrico de los puntos del plano que 2
3 - 27y
4
3
8
= 512 a + 384a b + 96 a b + 8b
3 e. ] 1 - a5 g = 1 - 3a5 + 3a10 - a15 3 f. ] 1 - 2m2 g = 1 - 6m2 + 12 m4 - 8 m6
5. PQ = 6
Punto de inflexión f m ^ x h = 0 en x = 0 .
3 12
12x - 8
2
9
, x ! Cóncava hacia abajo cuando x < 0 6
5
= 8x - 36x y + 54xy
4 3
, x ! Cóncava hacia arriba cuando x > 0 6
+ 2 916 xy + 729y
b. ] 2 x - 1g3 = 8x3 - 12x2 + 6 x - 1 3
, x ! Decreciente cuando x < 0 6
b.
d. x 3 - 6x 2 +
Esta función es:
, x ! Creciente cuando x > 0 6
x
Páginas 338-339. Preuniversitario 1.
3
= 3x + 1
18. a.
c.
9.
+ 240 ab
16. a. Resultado: 0
1
d. ] 8a
3
1a
a. {(no, no, no); (sí, no, no); (no, sí, no); (no, no, sí);
2
7.
2
- 720 a b
Función derivada
a. -0,79; sí existe
b.
2
Función
b. -0,19; no existe 6.
3
- 810a b + 1080 a b
b. 32768
Página 331. Piensa y aplica 1.
243a
QR = 5 RS = 3 PS = 7
12
equidistan de otros dos. La intersección de las 3 mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.
20. a. Altura de caras laterales = 5 cm b. Área superficial = 144 cm 22. Los números son 20 y 40
Opción C
25 25 - Respuestas
