Transcript
Powtórz i sprawdź swoje wiadomości z „grawitacji” – materiały pomocnicze dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych. Materiał może być wykorzystany przez nauczycieli fizyki w postaci foliogramu na lekcji powtórzeniowej. Opracowali Cezary Misztela Marek Pleszczyński 1.Prawo powszechnego ciążenia. M
F
F
m
r
F G
Mm r2
Dwa ciała o masach M i m przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji. Wartość siły grawitacji jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał , a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy ich środkami. G – stała grawitacji. G=6,67 10-11Nm2/kg2 Wartość stałej grawitacji odpowiada sile z jaką przyciągają się dwie masy 1kg każda z odległości 1m.
2.Natężenie pola grawitacyjnego. Jest to stosunek siły działającej na ciało znajdujące się w polu do masy tego ciała. Natężenie pola jest wielkością wektorową. Wektor natężenia ma zwrot i kierunek zgodny ze zwrotem i kierunkiem linii sił pola.
M
F m
N kgm 1 m 2 2 kg s kg s
m
M R M
GMm 1 GM 2 2 m r r
MM
R=6370km
g
r
R
Wykres zależności natężenia od odległości dla masy punktowej.
GM R2
Na powierzchni Ziemi natężenie pola jest równe przyspieszeniu grawitacyjnemu g = 9,81 m/s2
r
Wykres zależności natężenia od odległości dla kuli o promieniu R
3. Praca w polu grawitacyjnym. rb m
m
M ra
s W Fśr s
s rb ra Fsr Fa Fb
s – droga na jakiej przesunięto ciało. ra – odległość początkowa rb - odległość końcowa. W polu grawitacyjnym pracę wykonaną przy przesuwaniu ciała ruchem jednostajnym obliczamy jako iloczyn średniej siły działającej na ciało i przesunięcia.
Fsr
GMm GMm ra2 rb2
Fsr
GMm ra rb
W
r r GMm rb ra W GMm b a ra rb ra rb ra rb
1 1 W GMm r r b a
Praca wykonana przez siłę zewnętrzną
1 m
M
2
1 1 W GMm ra rb
W1=W2=W3
Praca wykonana przez siły pola
3
W polu grawitacyjnym praca zależy tylko od położenia początkowego i końcowego , natomiast nie zależy od przebytej drogi. Praca wykonana po krzywej zamkniętej jest równa zero – pole spełniające ten warunek nazywamy zachowawczym.
M m m
M W=0
4. Energia potencjalna w polu grawitacyjnym. Pracę w polu grawitacyjnym ,można obliczyć jako różnicę energii potencjalnych ciała w poszczególnych punktach pola. M
Epa
W E pb E pa Epb
W
Epb m
m Epb
GMm GMm GMm GMm W ra rb rb ra
Ep
Ep
GMm E p 0 r
Ep r
r R
Wykres zależności energii potencjalnej od odległości dla masy punktowej.
Wykres zależności energii potencjalnej od odległości dla kuli o promieniu R.
5. Potencjał pola grawitacyjnego. Jest to stosunek energii potencjalnej ciała umieszczonego w polu do jego masy. GMm Ep J kgm2 1 m 2 GM r V – potencjał grawitacyjny. V V V V 2 2 m m r kg s kg s V
V
r
r
R Wykres zależności potencjału od odległości dla kuli o promieniu R.
Wykres zależności potencjału od . odległości dla masy punktowej.
Pracę w polu grawitacyjnym możemy obliczyć stosując potencjał grawitacyjny. Va
M
Vb
W E pb E pa
W mVb mVa W mVb Va
6.Ciężar i siła grawitacji.
Fod
Fg1
Fg=Q
Fg2
Fg Q
Fg1> Fg2
Fg Q=Fg-Fod
Na biegunie siła grawitacji jest większa, niż na równiku gdyż odległość do środka Ziemi jest tam mniejsza w stosunku do odległości na równiku.
Siła grawitacji równa jest ciężarowi ciała tylko na biegunie, ponieważ w innych punktach Ziemi występuje siła odśrodkowa.
7. Pierwsza prędkość kosmiczna.Jest to prędkość pozwalająca ciłu wejść na orbitę okołoziemską i krążyć wokół Ziemi.
Fg = Fod
V1
GMm mv 2 GM v2 2 R R R GM g 2 GM gR 2 R gR 2 v2 v gR R
M R
Fg
Fod
Rysunek z pracy Newtona. Gdy, prędkość rzutu wzrasta, wzrasta także jego zasięg. Jeżeli F g = Fod wtedy ciało krąży po orbicie.
v 9,81
R
r
m m km 637 10 4 m 7905 7,9 2 s s s
Satelita stacjonarny ma okres obiegu 24h i krąży w płaszczyźnie ziemskiego równika. Orbita stacjonarna ma promień r=42170km
8.Druga prędkość kosmiczna. Jest to najmniejsza prędkość , którą należy nadać ciału wyrzuconemu z Ziemi, aby oddaliło się do nieskończoności. Ep+Ek R
V2
E p 0 2
2
2
mv GMm mv GMm v GM GM 0 v2 2 2 R 2 R 2 R R 2 GM gR km km g 2 GM gR 2 v 2 2 v 2 gR v 2 2v1 v 2 2 7,9 11,2 R s s R
E p E k E p
E p Ek 0
9.Przeciążenie i nieważkość. a v
Fb Q
Stan przeciążenia występuje, w startującej rakiecie. Na kosmonautę działają siła bezwładności i ciężar. FN = Fb + Q
Fg = Fb
Stan nieważkości występuje w satelicie znajdującym się na orbicie.
Fod
10.Prawa Keplera. 1.Orbita każdej planety jest elipsą przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk. p r1
peryhelium
r2 S
aphelium [największa odległość od Słońca] a r1 +r2 =a
2.Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola. S1 =S2 =S3 S2
S3
S1
3.Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.
T12 a13 T22 a 23 a1
a2
Jednostka astronomiczna 1AU =149 600 000 km. – średnia odległość Ziemi od Słońca. Parsek = 206265AU = 3,086 1012 km = 3,262 lat światła. Rok świetlny = 9,46045 1011 km.
Jeżeli zapoznałeś się z powyższym materiałem oraz znasz i rozumiesz podstawowe pojęcia, wielkości i prawa związane z działem „grawitacja” możesz sprawdzić swoje wiadomości rozwiązując dwa umieszczone poniżej testy. Rozwiązanie ich pozwoli ci odnaleźć ewentualne braki w twoich wiadomościach. Na początku rozwiąż wersję A testu.
Wersja A 1. Układ stanowią dwie jednorodne kule o masach M i m. Wzajemne ich położenie przedstawia rysunek. Siła wzajemnego oddziaływania tych ciał spełnia zależność: GMm a) F M r2 m GMm b) F R r R2 c) F d) F
GMm r2 GMm
r
r R2
2. Stała grawitacji w układzie SI jest równa a) 6,67 10
11
N m2 c) 9,81 kg 2
N kg 2 m2
b) 6,67 10 d) 9,81
11
N m2 kg 2
m s2
3. Gdyby nagle zniknęła siła powszechnego ciążenia, to spadające swobodnie ciało a) poruszałoby się ruchem jednostajnym bez zmiany kierunku i zwrotu b) poruszałoby się ruchem jednostajnym ze zmianą zwrotu na przeciwny c) przestałoby się poruszać d) nie zmieniłoby swego ruchu 4. Ciała wytwarzają wokół siebie pole grawitacyjne. Aby można było porównać właściwości tych pól stosujemy wielkość zwaną a) przyspieszeniem grawitacyjnym b) natężeniem pola grawitacyjnego c) punktową masą próbną d) energią pola 5. Który ze wzorów pozwala wyliczyć wartość natężenia pola grawitacyjnego Ziemi w danym punkcie, odległym o r od jej środka: GMm GMm GM GM a) b) c) d) 2 2 r r m r2 r 6. Jeżeli w pewnym punkcie pola grawitacyjnego jego natężenie wynosi 1 m/s 2 , to na umieszczone w tym punkcie ciało o masie 0,5 kg działa siła o wartości a) 19,6 N b) 9,8 N c) 4,9 N d) 0,5 N
7. Miarą pracy wykonanej przez siłę w polu grawitacyjnym Ziemi jest pole powierzchni pod krzywą F(r). Który z wykresów umożliwia obliczenie tej pracy? R - promień Ziemi, r - odległość od jej środka a) b) c) d) F
F
F
F r
R
r
r
R
r
R
R
8. Wartość pracy wykonanej w polu grawitacyjnym nad punktem materialnym, przy przeniesieniu go po torze zamkniętym jest a) zależna od kształtu toru, po którym został przeniesiony b) zależnie od zwrotu działającej siły, większa lub mniejsza od zera c) równa zeru niezależnie od rodzaju ruchu, jakim przenoszono to ciało d) równa zeru gdy ciało przenoszono ruchem jednostajnym 9. Praca wykonana przeciwko siłom grawitacji jest równa zeru przy przemieszczaniu ciała na odcinku drogi między punktami a) 1 - 2 b) 2 - 3 c) 3 - 4 d) 4 - 5
1
2 3
M
4
5
10. Wzór na grawitacyjną energię potencjalną ciała znajdującego się w dowolnej odległości od masy punktowej otrzymujemy z wyrażenia na pracę w polu grawitacyjnym. Który z wykresów poprawnie przedstawia zależność Ep(r)? a) b) c) d) Ep Ep R Ep Ep r
R
r
r
r
11. Potencjał pola grawitacyjnego przedstawia a) stosunek energii potencjalnej ciała umieszczonego w danym punkcie pola do masy ciała wytwarzającego to pole b) pracę, jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie jednostkowej przenieść z powierzchni Ziemi do danego punktu pola c) energię potencjalną przypadającą na jednostkę masy ciała znajdującego się w danym punkcie pola d) pracę, którą trzeba wykonać, aby ciało o masie jednostkowej przenieść z powierzchni Ziemi do nieskończoności 12. Potencjał pola grawitacyjnego ma w każdym punkcie pola a) inną wartość b) wartość równą zero c) wartość większą od zera d) wartość mniejszą od zera 13. Newton wykazał, że prawa Keplera wynikają z prawa powszechnej grawitacji. Która z poniższych zależności pozwala wyprowadzić III prawo Keplera?
G M m 4 2 m b) r2 r2 G M m m v2 d) T r2
GMm mv a) r r2 G M m 4 2 r m c) r2 T2
14. Znając doświadczalnie wyznaczoną stałą grawitacji podaj, które z poniższych danych należy jeszcze znać, aby wyznaczyć masę Ziemi? a) okres obiegu Ziemi wokół Słońca b) przyspieszenie ziemskie i promień Ziemi c) okres obrotu Ziemi wokół własnej osi d) przyspieszenie ziemskie i masę ciała umieszczonego na Ziemi 15. Prędkość liniowa satelity stacjonarnego poruszającego się po orbicie o promieniu r1 = 42 245 km ma wartość v1,a satelity „bliskiego” poruszającego się po orbicie kołowej o promieniu r2 = 6700 km ma wartość v2. Okres obiegu satelity stacjonarnego T1 jest większy od okresu T2 satelity „bliskiego”, ponieważ a) v1 < v2 i 2r1 > 2r2 b) v1 = v2 i r1 > r2 r v c) v1 > v2 ale 1 1 d) v1 < v2 ale 1 > 2 r2 v 2 16. Pojazd wysłany na Marsa z odległości r od środka Ziemi ( M - masa Ziemi ) musi przed wyłączeniem silników osiągnąć prędkość równą a)
GM r
b)
2GM r
c)
GM r
d)
2GM r
17. Dwa pojazdy kosmiczne krążą wokół Ziemi po orbitach kołowych r i 2r. Które z powyższych informacji są prawdziwe? 1) Stosunek energii kinetycznej do potencjalnej jest inny dla każdego z nich. 2) Stosunek energii kinetycznej do potencjalnej jest dla obu taki sam. 3) Prędkość satelity bardziej odległego od Ziemi jest mniejsza od prędkości satelity poruszającego się bliżej Ziemi. 4) Prędkość satelity bardziej odległego od Ziemi jest większa od prędkości satelity poruszającego się bliżej Ziemi. Prawdziwe są tylko: a) 1 i 3 b) 2 i 3 c) 2 i 4 d) 1 i 4 18. W szklanym naczyniu znajduje się cienka warstwa rtęci. Jak zachowa się rtęć jeśli naczynie znajdzie się w stanie nieważkości? a) przyjmie kształt kulisty b) oderwie się od dna i będzie się nad nim unosić bez zmiany kształtu c) nie zmieni swego położenia ani kształtu d) ulegnie rozdrobnieniu na dużą liczbę drobnych cząstek o dowolnych kształtach 19. Masa Słońca zmienia się ustawicznie wskutek promieniowania olbrzymich ilości energii i cząstek elementarnych. Powinno to być przyczyną a) zwiększania się okresów obiegu planet wokół Słońca bez zmiany ich średnich odległości od niego b) zmniejszania się okresów obiegu planet wokół Słońca bez zmiany ich średnich odległości od niego c) zwiększenia się średnich odległości planet od Słońca i wzrostu ich okresów obiegu wokół niego d) zwiększenia się średnich odległości planet od Słońca i zmniejszania się ich okresów obiegu wokół niego 20. Która z poniższych sytuacji pozwala zaobserwować przeciążenie i nieważkość? a) w stanie nieważkości znajduje się skoczek spadochronowy lecąc z zamkniętym spadochronem, po jego otwarciu skoczek znajduje się w stanie przeciążenia b) lecąc myśliwskim samolotem odrzutowym na dużej wysokości pilot jest w stanie nieważkości, przy każdej zmianie wysokości pilot doznaje przeciążenia c) w stanie nieważkości znajduje się skoczek spadochronowy lecąc z otwartym spadochronem, podczas lądowania doznaje przeciążenia d) w czasie skoku do wody skoczek odbija się od trampoliny będąc w stanie przeciążenia, a w chwili osiągnięcia największej wysokości skoczek jest w stanie nieważkości
Teraz porównaj swoje odpowiedzi z tabelą odpowiedzi prawidłowych.
Numer 1 pytania Prawidłowa c odpowiedź
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b
a
b
c
d
a
d
b
b
c
d
c
b
a
d
b
a
c
d
Sprawdź teraz na jakie pytania odpowiedziałeś źle i odszukaj w materiale treści związane z tymi pytaniami. Przeanalizuj jeszcze raz te wiadomości i popraw popełnione błędy. Teraz możesz rozwiązać wersję B testu.
Wersja B 1. Układ stanowią dwie jednorodne kule, których położenie przedstawiają rysunki. Który układ ciał poprawnie ilustruje poniższe wyrażenie na wartość siły grawitacji?
F x a)
M
m
x M R
x r 2 b)
r
R c)
GMm
M
x
r
R x
d) m r
m
M R
m r
2. Stała grawitacji w układzie SI liczbowo jest równa a) sile z jaką działają na siebie punktowe ciała o masie m1 = m2 = 1 kg umieszczone w odległości 1 m od siebie b) sile z jaką Ziemia przyciąga ciało o masie 1 kg c) przyspieszeniu grawitacyjnemu d) sile grawitacji z jaką przyciągają się w próżni dwa ciała o łącznej masie 1 kg z odległości 1 m
3. Gdyby nagle zniknęło powszechne ciążenie , to Księżyc poruszałby się a) w dalszym ciągu po orbicie kołowej wokół Ziemi b) po linii spiralnej oddalając się od Ziemi c) po linii prostej oddalając się od Ziemi d) po linii krzywej opadając na Ziemię 4. Przez natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie pola rozumiemy a) siłę działającą na ciało o masie M umieszczone w danym punkcie pola b) siłę grawitacji przypadającą na jednostkę masy ciała umieszczonego w danym punkcie pola c) przyspieszenie grawitacyjne w tym punkcie d) energię potencjalną przypadającą na jednostkę masy ciała znajdującego się w danym punkcie pola 5. Która z podanych jednostek odnosi się do natężenia pola grawitacyjnego?
kg m 2 a) s2
b)
m s2
c)
N m
d)
kg s2
6. Natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie tego pola zależy od a) obszaru zajmowanego przez pole b) masy ciała znajdującego się w tym polu c) masy ciała wytwarzającego to pole d) masy ciała będącego źródłem pola oraz odległości tego punktu od źródła pola 7. Ciężar danego ciała na Ziemi jest a) największy na biegunie c) niezależny od szerokości geograficznej
b) wszędzie jednakowy d) największy na równiku
8. Początkowa odległość dwóch punktów materialnych o masie M i m wynosi r. Wartość pracy potrzebnej do oddalenia ich na odległość nieskończenie dużą jest a) również nieskończenie duża c) równa zeru
GMm r2 GMm d) równa r
b) równa
9. Przez potencjał pola grawitacyjnego rozumiemy a) stosunek natężenia pola do przyspieszenia grawitacyjnego w danym punkcie pola b) energię potencjalną przypadającą na jednostkę masy ciała znajdującego się w danym punkcie pola
c) pracę jaką trzeba wykonać, aby ciało o jednostkowej masie przenieść z powierzchni Ziemi do danego punktu pola d) stosunek energii potencjalnej ciała umieszczonego w danym punkcie pola do masy ciała wytwarzającego to pole 10.Ciało o masie m przenoszono w polu grawitacyjnym z punktu K do L po trzech różnych torach oznaczonych na rysunku literami a, b, c. Który z poniższych sądów jest prawdziwy? a) najmniejszą pracę nad tym ciałem wykonano przenosząc je po torze b b) największą pracę nad tym ciałem wykonano przenosząc je po torze c c) prace wykonane nad tym ciałem na wszystkich torach są jednakowe d) prace wykonane nad tym ciałem na wszystkich torach są równe zeru
K
b
a
c
L
11.Grawitacyjna energia potencjalna układu mas (punktów materialnych) a) zawsze zwiększa się podczas wzrostu wzajemnej odległości tych mas b) wzrasta lub maleje, np. jeśli umówimy się, że energia potencjalna tych dwóch punktów materialnych przy wzajemnej odległości równej Ro jest równa zeru, to przy ich odsuwaniu dla r > Ro energia potencjalna układu maleje, a dla r < Ro
energia potencjalna wzrasta
c) maleje podczas wzrostu ich wzajemnej odległości, jeżeli przyjmiemy umowę, że energia potencjalna tego układu będzie równa zeru, gdy ciała rozsuniemy na odległość nieskończenie wielką d) zawsze maleje podczas wzrostu wzajemnej odległości tych mas 12.Potencjał V = V ( r ) pola grawitacyjnego Ziemi poprawnie przedstawia wykres a) b) c) d) V V R V V r
r
R
r
r
13.Znając doświadczalnie wyznaczoną stałą grawitacji podaj, które z poniższych danych należy jeszcze znać, aby wyznaczyć masę Słońca? a) okres obrotu Ziemi wokół własnej osi i masę Ziemi b) przyspieszenie ziemskie i promień Ziemi c) okres obiegu Ziemi wokół Słońca i odległość Ziemia - Słońce d) przyspieszenie ziemskie i okres obrotu Ziemi wokół własnej osi 14.Gdyby Księżyc miał 2 razy większą masę i znajdował się 2 razy dalej od Ziemi, to siła wzajemnego przyciągania tych ciał a) zmalałaby 4 razy b) zmalałaby 2 razy c) zwiększyłaby się 4 razy d) zwiększyłaby się 2 razy 15.Gdyby prędkość stacjonarnego satelity Ziemi nagle wzrosła do wartości mniejszej od vII (gdzie vII jest drugą prędkością kosmiczną), to satelita a) odleciałby na zawsze od Ziemi, stając się satelitą Słońca b) poruszałby się dalej po tej samej orbicie ale z większą prędkością c) poruszałby się po orbicie o większym promieniu d) poruszałby się po orbicie eliptycznej 16.Dwie stacje kosmiczne krążą wokół Ziemi: jedna w odległości 300 km, a druga w odległości 400 km od jej powierzchni. Na tej podstawie można powiedzieć, że a) druga prędkość kosmiczna stacji bliższej jest większa b) druga prędkość kosmiczna stacji dalszej jest większa c) ich prędkości ucieczki z pola grawitacyjnego Ziemi mają jednakowe wartości d) trudno określić prędkość ucieczki na podstawie tych danych 17.Sztuczny satelita okrążający Ziemię po orbicie eliptycznej porusza się coraz prędzej gdy zbliża się do Ziemi, a coraz wolniej gdy się od niej oddala. Jego całkowita energia mechaniczna względem układu związanego z Ziemią jest a) największa w punkcie najbliższym Ziemi b) największa w punkcie najbardziej odległym od Ziemi c) jednakowa we wszystkich punktach toru d) największa w tym punkcie, w którym jego ruch zmienia się z przyspieszonego na opóźniony
18.Dwa ciała o masie m i 5m zbliżają się do siebie na skutek oddziaływania grawitacyjnego (wszystkie inne siły zaniedbujemy). Co można powiedzieć o przyspieszeniu tych ciał? a) przyspieszenia chwilowe ciał mają takie same wartości, ale przeciwne zwroty, wartości obu przyspieszeń wzrastają z upływem czasu b) w każdej chwili wartość przyspieszenia ciała lżejszego jest 5 razy większa niż wartość przyspieszenia ciała cięższego c) wartość przyspieszenia ciała lżejszego jest 5 razy większa od wartości przyspieszenia ciała cięższego, a ponadto wartość każdego z tych przyspieszeń jest niezmienna w czasie d) przyspieszenia chwilowe tych ciał są stałe 19.Stan nieważkości w rakiecie lecącej na Księżyc pojawi się gdy a) osiągnie ona pierwszą prędkość kosmiczną b) osiągnie ona drugą prędkość kosmiczną c) ustanie praca silników d) osiągnie ona punkt równowagi przyciągania Ziemi i Księżyca 20.Które z wymienionych praw obowiązuje w warunkach nieważkości? a) prawo Pascala b) prawo Archimedesa dla gazów c) prawo Archimedesa dla cieczy d) prawo równowagi cieczy w naczyniach połączonych Teraz porównaj swoje odpowiedzi z tabelą odpowiedzi prawidłowych. Numer 1 pytania Prawidłowa d odpowiedź
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
a
c
b
b
d
a
d
b
c
a
a
c
b
d
a
Ocena wyników twojej pracy ILOŚĆ UZYSKANYCH PUNKTÓW
OCENA
18 - 20 17 - 15 14 - 12 11 - 9 8 i mniej
5 4 3 2 1
c
b
c
a
Zastosowanie tego opracowania na lekcjach powtórzeniowych powinno pomóc uczniom w zrozumieniu problemów związanych z polem grawitacyjnym. Umożliwia ono także samodzielne powtórzenie materiału uczniom klas maturalnych, którzy przygotowują się do egzaminów wstępnych z fizyki. Mamy nadzieję, że materiały zawarte w tym opracowaniu ułatwią uczniom poznanie praw i zjawisk związanych z polem grawitacyjnym.
Cezary Misztela Marek Pleszczyński
