Transcript
Guida alla lettura per gli insegnanti della scuola secondaria di primo grado
Guida alla lettura di Pensare in matematica per gli insegnanti della scuola secondaria di primo grado di Giorgio Israel a Ana Millán Gasca È stato osservato acutamente che chi insegna matematica nelle scuole secondarie si affida al modello dei propri insegnanti delle scuole medie e delle scuole superiori, sia tentando di avvicinarsi al modo di fare di insegnanti bravi (che non di rado hanno avuto un ruolo centrale nello scegliere le materie scientifiche all’università), sia tentando di evitare ciò che si ricorda come prassi didattiche sbagliate. I docenti universitari non lascerebbero quindi molta traccia nel futuro insegnante. Ma non solo: neanche i contenuti, ossia ciò che viene insegnato, sarebbe influenzato da quanto si è appreso dopo le scuole superiori, perché i corsi universitari specialistici trattano di oggetti matematici molto distanti dalla matematica elementare e la metodologia di esposizione (assiomi, teoremi) non offre esempi che possano essere poi adoperati nelle scuole superiori né tanto meno nelle scuole medie. In altre parole, i vari argomenti di matematica sono spiegati agli alunni a partire dai ricordi dei propri studi matematici scolastici, usando spesso il proprio vecchio manuale e affidandosi poi al manuale di matematica che si è deciso di adottare. È una situazione paradossale, se si pensa al gran parlare che si fa da ormai cinquant’anni del fatto che la didattica della matematica richiede applicazione e una riflessione continua legata all’evoluzione dei ragazzi e dei giovani, all’innovazione degli strumenti tecnologici e ai cambiamenti del ruolo della matematica nell’educazione. Dal nostro punto di vista, un buon insegnamento della matematica, che permetta agli studenti di comprendere e di maneggiare agevolmente i suoi concetti e metodi, non può essere una miscela di vecchie conoscenze scolastiche e di ricette didattiche. Le ricette sono soggette oltretutto al pendolo delle mode, come si è visto negli ultimi decenni: ce ne occupiamo nel capitolo 13. Ma, soprattutto, le ricette distruggono il principale ingrediente di un buon insegnamento e di un apprendimento solido e coinvolgente, vale a dire l’azione autonoma dell’insegnante, la sua intelligenza capace di trascinare all’amore per la cultura cogliendo le difficoltà e la curiosità giorno per giorno, la flessibilità derivata dalla conoscenza del singolo alunno e dei tanti “stili cognitivi”. Questo libro vuole offrire l’unico sostegno che riteniamo utile e necessario all’insegnante, ripercorrendo la matematica elementare per permettere di raggiungere una conoscenza consapevole (da docente, non da discente) e integrando le conoscenze disciplinari e quelle storiche ed epistemologiche in una visione culturale della matematica. Un tale sforzo può giovarsi oggi dalle approfondite ricerche sui fondamenti della matematica sviluppate attorno al 1900: gli assiomi di Peano dei numeri naturali e gli assiomi di Hilbert della geometria euclidea sono un frutto di quella stagione e mantengono tutta la loro vitalità e potenza per la comprensione dei concetti basilari dell’aritmetica e della geometria. Ma, attenzione, questo non vuole dire che la logica matematica sia un ingrediente basilare nella formazione matematica di un insegnante, anzi. Le ricerche fondazionali interessano l’insegnante per l’eredità duratura che hanno lasciato (gli assiomi di Peano sono oggi usati nei testi di matematica per iniziare a parlare di numeri reali, mentre alla teoria degli insiemi non si fa altro che un breve cenno 1
Guida alla lettura per gli insegnanti della scuola secondaria di primo grado
menzionando un po’ di terminologia e ricordando che vi sono anche per quella degli assiomi). Le ricerche del periodo di studi dei fondamenti interessano l’insegnante per le riflessioni sul pensiero matematico che hanno sollecitato (di Poincaré e di Husserl, ad esempio: ce ne occupiamo nei capitoli 3 e 7); e per il modo in cui hanno illuminato la questione dell’insegnamento della matematica (negli scritti di Enriques o di Thom, che citiamo più volte nei vari paragrafi del libro dedicati a temi di insegnamento, che il lettore può seguire anche usando la voce all’interno dell’indice analitico). Un tale sforzo, inoltre, può giovarsi oggi della messe di ricerche di storia della matematica del Novecento, con particolare riguardo per quello che riguardo l’origine dei concetti matematici nel mondo antico e l’evoluzione in età moderna del rapporto fra matematica e conoscenza della realtà. La cattedra di Matematica e scienze della scuola secondaria di primo grado ha un ruolo strategico nella matematica elementare. Ai professori di formazione matematica proponiamo quindi una riflessione sulla matematica elementare – secondo le linee appena tracciate – che molto probabilmente non ha trovato spazio nella loro formazione universitaria oppure lo ha trovato soltanto in modo frammentario, a volte attraverso letture personali; e nel capitolo 10 si troverà anche una discussione sul processo di crescente astrazione della matematica superiore che può essere utile per comprendere in un quadro complessivo il rapporto fra l’insegnamento elementare e superiore della matematica. Al contempo, nei capitoli sull’analisi matematica (Capitolo 9), sulla probabilità e la statistica (Capitolo 11) e sulla matematica applicata (Capitolo 12), proponiamo una riflessione – con molti elementi storici – che può servire anche a stabilire un collegamento fra gli argomenti matematici e gli argomenti di scienze naturali dei programmi di studio della scuola media: le idee scientifiche moderne di misura (derivata dal concetto geometrico di rapporto e basata sui numeri reali) e di legge matematica dei fenomeni sono centrali nel metodo scientifico, eppure spesso sono lasciate nell’ombra, proponendo agli studenti una visione empirista di tale metodo incentrata sull’idea di osservazione e di esperimento (visione attribuita a Galileo, che è invece l’artefice principale del programma di matematizzazione dei fenomeni della scienza moderna). Ai professori di formazione nelle scienze naturali proponiamo un itinerario che porta ad allontanarsi da un modo di vedere la matematica che la riduce a un ruolo puramente utilitaristico nella vita pratica – molto comune oggi per motivi che esaminiamo nel capitolo 13 – oppure come puro strumento di trattamento dei dati nelle scienze (quest’ultimo rafforzato spesso dalla breve esperienza universitaria di un corso o due di matematica di base). Spesso le ore di matematica sono un incubo da sopportare per poter poi trattare con gli studenti i temi delle scienze naturali che interessano il singolo professore. La poca confidenza con la matematica porta a volte a dedicare un tempo enorme a calcoli su calcoli di espressioni aritmetiche o algebriche o decomposizioni in fattori primi, noiosi per gli studenti come per i professori, ma soprattutto frustranti per gli alunni per la continua minaccia dell’errore (un errore senza interesse concettuale di alcun tipo). L’esperienza d’insegnamento degli autori nei corsi delle vecchie scuole di specializzazione mostra che ritornare alla matematica con un punto di vista superiore, integrando anche la storia della matematica e riflettendo sulla relazione fra il pensiero matematico e la conoscenza scientifica dei fenomeni è una strada 2
Guida alla lettura per gli insegnanti della scuola secondaria di primo grado
efficace che rende possibile un nuovo incontro con la disciplina, con ricadute immediatamente positive sugli studenti. Vogliamo concludere discutendo come i temi proposti in questo libro si colleghino al nostro punto di vista sulla matematica nell’ultima fase della scuola dell’obbligo. Nella scuola secondaria di primo grado arrivano molti ragazzi e ragazze il cui punto di vista sulla matematica è già ben consolidato: per molti di loro, si tratta di una materia noiosa, difficile e priva di ogni rapporto con la realtà, un’imposizione degli adulti che è forse la ragione principale dell’antipatia per la scuola e per lo studio. In molti casi la matematica è identificata con conti su conti eseguiti sul quadernone, le quattro operazioni con numeri interi e decimali, e con gli errori nei conti. Il carattere astratto degli oggetti matematici diventa un ostacolo insormontabile nella scuola primaria se gli alunni non trovano alcun suggerimento sul significato di tali oggetti. Nell’adolescenza poi la mancanza di senso crea soltanto rigetto. La mancanza di rapporto con la realtà è esacerbata dalla prassi didattica che riduce la matematica a una tecnica misera fatta di procedure meccaniche e definizioni di cui si può ben fare a meno. Con l’arrivo dell’algebra questo tecnicismo rischia quindi di aggravarsi. La questione cruciale del significato è quella del rapporto fra la matematica e il mondo reale che circonda gli allievi (la vita quotidiana, la scienza, la tecnologia, la cultura). Quante volte abbiamo sentito i futuri maestri o insegnanti di matematica dire: se mi avessero spiegato che i Babilonesi iniziarono a scrivere i numeri per l’amministrazione; se avessi saputo che i Greci ammiravano la matematica per il loro interesse per l’argomentazione politica e giudiziaria… La storia non sarebbe servita ad allietare le noiose ore dedicate ai conti, ma sarebbe servita a dare senso ai conti e quindi ad applicarsi ad essi con interesse. È vero che la questione del rapporto fra matematica e realtà va molto di moda negli ultimi anni, ma vi sono molte confusioni al riguardo e bisogna sfuggire dalle scappatoie superficiali. È una questione difficile, tanto più con ragazzi oggi più esigenti che mai, perché soggetti a molte sollecitazioni proprio dalla realtà! Ai ragazzi lasciano freddi le affermazioni entusiaste del tipo: “la matematica è bella!” Ma anche quelle, fin troppo abusate, del tipo: “La matematica è dappertutto attorno a noi!” Inoltre, la strada per avvicinarli alla matematica non è quella di proiettare filmati – che lasciano poca traccia – per non dire dell’idea di proporre esempi pratici riguardanti statistiche reali o pagamenti di tasse1. Tutto questo si può fare, a patto che si prenda di petto la questione vera, quella del significato degli oggetti matematici, quella cioè di trovare spazio ai concetti matematici nel mondo mentale di un ragazzo o ragazza. Questo è un compito impegnativo ma del quale deve farsi carico l’insegnante. René Thom ha contrapposto la “questione del significato” alla “questione del rigore”: è la prima la chiave di un buon insegnamento, e non la seconda, come spesso si pensa. L’insegnamento eccessivamente rigido della geometria euclidea nella scuola secondaria tradizionale si centrava sul problema del rigore (la perfezione dei ragionamenti deduttivi sulle figure), al quale si attribuiva generalmente il valore formativo della matematica. Così facendo, si negava però ai ragazzi ogni punto di 1 È più facile interessare a questi argomenti i bambini, nei quali è grande il desiderio di entrare nel mondo, nei meccanismi e segreti che ha anche la vita quotidiana ancora per loro, e nei quali scatta un potente meccanismo di immedesimazione. 3
Guida alla lettura per gli insegnanti della scuola secondaria di primo grado
appoggio nella storia, nell’osservazione della realtà e della tecnica, dalle quali la geometria ha preso origine. Nel tentativo di “modernizzare” i programmi, a partire dagli anni 196070 in molti paesi la geometria è stata eliminata, sostituendola con l’algebra; così come sono stati eliminati i problemi tradizionali di proporzionalità. L’algebra elementare è un insieme di tecniche ripetitive molto rigide, e il suo insegnamento è rimasto incentrato sul problema del rigore (la capacità di trattare le espressioni algebriche sempre più complicate applicando le regole senza incorrere in errori2), continuando quindi a rimuovere il problema del significato di oggetti come incognite, variabili, equazioni o polinomi, i quali, oltretutto, sono molto meno intuitivi degli oggetti della geometria euclidea. Con il risultato che, alla fine delle scuole superiori, molti studenti non hanno affatto una idea in mente di cosa sia “la x ”: è irrisolta l’esigenza di “conferirle esistenza del mondo mentale”, per usare le parole di René Thom. La matematica della scuola media non deve essere imperniata sull’algebra, anche se il momento per introdurre i ragazzi all’algebra è proprio nella scuola media. Sembra un paradosso, ma non è così. Siamo ancora nell’inizio della matematica, e il simbolismo algebrico e i concetti dell’algebra acquistano senso se sono ancorati all’intuizione aritmetica e geometrica. Nel libro non vi è un capitolo dedicato all’algebra, ma invece si presenta una riflessione sul rapporto tra algebra e geometria elementare, il quale, per essere capito, necessita di un fondamento storico: dell’alleanza fra algebra e geometria che è alla base di un potente strumento della matematica moderna, la geometria analitica e l’algebra lineare (di cui si parla nel capitolo 8, ed in particolare nelle pagine 250 ss.) e della teoria di Galois e delle origini dell’algebra moderna delle strutture (di cui si parla nel capitolo 10, nel paragrafo 10.2). L’algebra della scuola secondaria, è, in fondo, ripetitiva e relativamente semplice, e ciò che rende possibile insegnarla in modo efficace è la consapevolezza culturale di questi temi. Le “formule” si presentano sia nelle ore di matematica sia in quelle dedicate alle scienze naturali. Non vi è dubbio che fin dalla prima media i ragazzi sono generalmente pronti per compiere un passo avanti nell’astrazione matematica, usando le lettere per designare numeri, ed equazioni per esprimere rapporti fra numeri costanti e variabili. Dovrebbe essere un incontro sereno, quindi, un “crescere” con la matematica, vedendo con altri occhi gli stessi problemi aritmetici e geometrici. Tuttavia, è un passaggio dell’insegnamento molto rischioso, se l’algebra elementare si presenta agli alunni come un insieme di “tecniche” di manipolazione di simboli fine a sé stesse. Un problema aritmetico espresso attraverso un’equazione di primo grado diventa risolvibile in modo meccanico mettendo in evidenza l’incognita, ma lo studente non dotato di una spiccata tendenza astratta perde il contatto con l’intuizione del contare e del misurare, quella “relazione di intimità con in numeri” che permette ai bambini di risolvere tali problemi per tentativi: è quindi necessario legare la formulazione e la risoluzione di equazioni algebriche alla risoluzione di problemi con un enunciato geometrico, scientifico o della vita quotidiana. Allo stesso modo, un sistema di due equazioni di primo grado ci permette di calcolare in modo automatico e preciso il punto di intersezione di due rette, ma senza un disegno che svegli l’intuizione geometrica il sistema algebrico presenta tutti gli inconvenienti che hanno generato l’immagine repulsiva della matematica: anche se le rette hanno un significato 2 Quindi un rigore molto meno formativo di quello della geometria euclidea! 4
Guida alla lettura per gli insegnanti della scuola secondaria di primo grado
“reale” legato a un problema fisico o economico, è l’intuizione geometrica a dare un significato alle formule. Per questo motivo, come abbiamo scritto nell’introduzione al libro, le porte della matematica sono l’aritmetica e la geometria elementare, perché, anche se esse trattano concetti astratti, sono profondamente ancorate all’esperienza e all’operare umano. Il concetto matematico di equazione, che si tratti dell’equazione di una retta oppure dell’equazione che esprime la condizione che verificano uno o più numeri in un problema, rischia di non trovare alcuna motivazione e di non essere compreso dai ragazzi della scuola media se prima – da bambini, nella scuola primaria, e in prima media – non si è pensata la retta geometricamente in modo sintetico e se prima non sono stati risolti singoli problemi con numeri concreti in modo intuitivo. Allo stesso modo, il concetto di rapporto e di proporzione fra grandezze geometriche – che è storicamente alla base dell’idea moderna di funzione come legge che mette in rapporto due o più variabili e delle idee fondamentali del calcolo infinitesimale (si pensi alla definizione di derivata) – rimane una efficace via di accesso al pensiero matematico, ai suoi concetti e alle sue tecniche matematiche3. In Italia, la geometria ha un ruolo ancora nella scuola media che è importante conservare4, proponendo quella geometria intuitiva che è stata delineata da autori italiani come Ugo Amaldi e Emma Castelnuovo.5
3 Nelle indicazioni nazionali statunitensi del 2010 il tema di rapporto e proporzione è stato suggerito proprio come l’argomento centrale del Grade 6, equivalente alla prima media. 4 Ricordiamo intanto che la geometria, in particolare grazie all’uso del computer, ha recuperato oggi un ruolo fondamentale sia nella progettazione tecnica (dove per la verità non lo ha mai perduto), sia nella modellizzazione matematica dei problemi scientifici. 5 Probabilmente i bambini che arrivano in prima media nella scuola primaria non hanno fatto altro di geometria che un po’ di classificazioni di figure e le formule del perimetro e dell’area di alcune figure. Non hanno usato materiali fisici, non hanno mai tracciato una circonferenza con il compasso, non hanno mai risolto un problema semplice di geometria decomponendo e ricomponendo figure, unendo punti, non hanno mai calcolate lunghezze e aree con i conteggi. Quindi probabilmente avranno già dimenticato le formule imparate a memoria e basterà presentare un triangolo rettangolo o un quadrato ruotati per che siano appoggiati su un vertice perché non riescano a identificarli. È essenziale quindi recuperare all’inizio della scuola media questi aspetti. 5
