Transcript
Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Laboratorium 1: Modele ciągłe. Model Lotki-Volterry. mgr. inż. Urszula Smyczyńska
Ćwiczenie 1: proste modele • Prawo Malthus’a – model populacyjny. • Model populacyjny z ograniczoną pojemnością środowiska. • Prawo rozpadu promieniotwórczego. • Model stężenia leku w krwioobiegu: ▫ ze stałym tempem dostarczenia leku, ▫ z malejącym tempem dostarczania leku.
Prawo Malthus’a =
x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę. Można przyjąć = − , przy czym b będzie współczynnikiem urodzeń, a d współczynnikiem umieralności
Prawo Malthus’a - rozwiązanie =
x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę.
=
⋅
x0 – początkowa liczność populacji
Rozwój populacji z ograniczoną pojemnością środowiska =
1−
x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę K – pojemność środowiska
Rozwój populacji z ograniczoną pojemnością środowiska - rozwiązanie =
1−
x – liczebność populacji t - czas r – współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę K – pojemność środowiska
=
=
⋅
⋅ ⋅ + ⋅
- stała obliczona z warunku
początkowego x0 – początkowa liczność populacji
Rozwój populacji ludzkiej Świat
Świat
8,00E+09
8,00E+09
7,00E+09
7,00E+09
6,00E+09
6,00E+09
5,00E+09
5,00E+09 liczba ludzi
liczba ludzi
f(x) = 0,00157 exp( 0,01448 x )
4,00E+09 3,00E+09
4,00E+09 3,00E+09
2,00E+09
2,00E+09
1,00E+09
1,00E+09
0,00E+00 900
1100
1300
1500 rok
Dane z wikipedia.org
1700
1900
2100
0,00E+00 1870
1890
1910
1930
1950
liczba ludzi
1970
1990
2010
2030
Rozwój populacji ludzkiej Afryka Europa 1,40E+09 8,00E+08
1,20E+09
7,00E+08 6,00E+08
1,00E+09
liczba ludzi
liczba ludzi
5,00E+08
8,00E+08 6,00E+08
4,00E+08 3,00E+08 2,00E+08
4,00E+08
1,00E+08
2,00E+08 0,00E+00 1870
0,00E+00 1600
1890
1910
1930
1950
liczba ludzi
Dane z wikipedia.org
1970
1990
2010
2030
1650
1700
1750
1800 liczba ludzi
1850
1900
1950
2000
2050
Rozpad promieniotwórczy =−
N – ilość substancji promieniotwórczej t - czas λ – stała rozpadu
Rozpad promieniotwórczy - rozwiązanie =
=−
N – ilość substancji promieniotwórczej t - czas λ – stała rozpadu
=
⋅
N0 – początkowa ilość materiału promieniotwórczego
ln (2) /
Rozpad promieniotwórczy =
ln (2) /
Izotop
/
8,02 D 5,26 L 3,92 s 109,8 M 1600 L 5730 L D – dni, L – lata, s – sekundy, M - minuty
Stężenie leku w osoczu =−
+
C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku Cz(t) – ilość leku podawanego na jednostkę czasu
Stężenie leku w osoczu, stałe tempo podawania =−
+
C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku I – ilość leku podawanego na jednostkę czasu
Stężenie leku w osoczu, stałe tempo podawania - rozwiązanie =−
+
C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku I – ilość leku podawanego na jednostkę czasu
=
=
−
⋅ −
⋅
C0 – początkowe stężenie
Stężenie leku w osoczu, malejące tempo podawania =−
+
−
C – stężenie leku w krwiobiegu t - czas k – współczynnik naturalnego zanikania leku I0 - vt – tempo podawania leku
Oscylator harmoniczny 2 2
=−
m – masa t - czas k – współczynnik sprężystości
Oscylator harmoniczny - rozwiązanie 2 2
=
=−
⋅ cos(ω − ϕ) =
m – masa t - czas k – współczynnik sprężystości
ϕ=−
0
cos(−ϕ) (−
0̇
⋅
)
0
0–
warunek początkowy dla położenia 0̇ – warunek początkowy dla prędkości (pochodnej położenia)
Model Lotki-Volterry = =−
− +
1 2
x – liczebność ofiar y – liczebność drapieżników A – tempo rozmnażania populacji ofiar B – tempo redukcji populacji ofiar przez drapieżniki C – umieralność drapieżników D – tempo przyrostu populacji drapieżników wskutek zjadania ofiar
