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GONIOMETRIA: FUNZIONI GONIOMETRICHE
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ANGOLI E LORO MISURA Si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Si chiama arco circolare la parte di circonferenza interna
A
all'angolo avente per estremi i punti di intersezione con i
r O
lati dell'angolo. ˆ B e con Nel disegno a fianco è indicato con l’angolo AO
ℓ r
B
ℓ l’arco AB.
In goniometria i sistemi di misura prevalentemente usati per misurare gli angoli sono: - Il sistema sessagesimale: ha come unità di misura il grado, che è la novantesima parte di un angolo retto. Il cerchio risulta diviso in 360 gradi (360°). - Il sistema radiale: ha come unità di misura il radiante. Ricordiamo che gli angoli al centro di una circonferenza sono direttamente proporzionali
agli archi che essi sottendono. Questa
proprietà permette di misurare un angolo al centro in funzione dell’arco che esso sottende: considerando la figura precedente si ha che rad
. r
Il vantaggio dell’uso di questo sistema di misura è che, a differenza di quello sessagesimale, le misure sono numeri reali e quindi si possono rappresentare su una retta orientata. Poiché l’angolo giro (360°) sottende l’intera circonferenza che ha lunghezza 2r, si ha che 360° espresso in radianti è
2r 2 . r
Da questa relazione si ricavano tutti i valori degli angoli in radianti: 180° è la metà dell’angolo giro quindi misura , l’angolo retto è la quarta parte del giro quindi misura /2….. Nella tabella si riporta la corrispondenza tra la misura in gradi e quella in radianti degli angoli principali: (gradi)
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
(radianti)
0
6
4
3
2
3 2
2
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2
Per passare da un sistema di misura all’altro si usa la proporzione gradi : rad 180 : da cui si deduce che gradi
180 rad
e
rad
gradi . 180
Osservazione: In realtà per passare da radianti a gradi è molto più semplice sostituire 180° a e calcolare il risultato:
5 5 180 150 6 6
FUNZIONI GONIOMETRICHE La circonferenza goniometrica è una circonferenza avente il centro coincidente con l’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e il raggio uguale a 1: x2 + y2 = 1. Una circonferenza si dice orientata quando su di essa è fissato un verso di percorrenza. Per la misura degli angoli si assumono come origine il semiasse positivo delle x (quindi il punto A in figura) e per verso quello antiorario.
SENO E COSENO DI UN ANGOLO L’arco AB in figura misura B(0;1) P
C(-1;0)
O
l’arco AD misura
, l’arco AC misura e 2
3 . 2
Per quanto riguarda l’arco AA, esso misura 0 o 2 (un H A(1;0)
giro). Preso un punto P sulla circonferenza, sia la misura
D(0;-1)
dell’arco AP: l’ascissa e l’ordinata di P sono funzioni dell’angolo , cioè ad ogni valore di corrisponde un determinato valore sia per l’ordinata che per l’ascissa del punto.
Si definisce seno di un arco sulla circonferenza goniometrica, l’ordinata dell’estremo dell’arco: sin = PH. Si definisce coseno di un arco sulla circonferenza goniometrica, l’ascissa dell’estremo dell’arco: cos = OH. _____________________________________________________________________________ A cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti
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Il punto P ha quindi coordinate P(cos ; sin ). Applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAP, o anche considerando che P appartiene alla circonferenza goniometrica e quindi le sue coordinate ne verificano l’equazione x2 + y2 = 1, si arriva alla relazione fondamentale della goniometria :
cos2 + sin2 = 1
Vediamo le caratteristiche delle funzioni cose sin:
Il seno assume i valori: 0 a 0°, 1 a 90°, 0 a 180°, -1 a 270° e 0 a 360°. I valori del coseno sono 1 a 0°, 0 a 90°, -1 a 180°, 0 a 270° e 1 a 360°. Sono quindi entrambe funzioni limitate tra – 1 e 1: 1 cos 1 e 1 sin 1
Il seno cresce nel I e nel IV quadrante, decresce nel II e nel III: infatti nel I quadrante passa da 0 a 1, nel IV da –1 a 0, nel II da 1 a 0, nel III da 0 a –1. Il coseno cresce nel III e nel IV quadrante, decresce nel I e nel I: infatti nel I quadrante passa da 1 a 0, nel II da 0 a –1, nel III da –1a 0, nel IV da 0 a 1.
Il seno e il coseno di un angolo di ampiezza 420° sono uguali al seno e al coseno di un angolo di ampiezza 60°: in generale l’angolo di ampiezza e l’angolo di ampiezza +2 assumono gli stessi valori di seno e coseno. Le funzioni seno e coseno sono quindi periodiche di periodo 2: cos(+2) = cos e sin(+2) = sin.
TANGENTE E COTANGENTE DI UN ANGOLO Tracciamo ora la retta tangente alla circonferenza nel B(0;1) P T
punto A (la retta di equazione x=1) e prolunghiamo il raggio OP dalla parte della retta.
Sia T il punto di intersezione delle due rette: si definisce tangente dell’angolo l’ordinata del
C(-1;0)
O
H A(1;0)
punto T. Si ha quindi T(1;tan) o anche tan= AT.
D(0;-1)
Dal Teorema di Talete si deduce che AT:PH=OA:OH: sostituendo ai segmenti le funzioni goniometriche che rappresentano si ha tan : sin = 1: cos da cui tan
sin . cos
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Tracciamo ora la retta tangente alla circonferenza nel punto B (la retta di equazione y=1) e prolunghiamo
B(0;1) PQ
il raggio OP dalla parte della retta.
K
Sia Q il punto di intersezione delle due rette: si definisce cotangente dell’angolo l’ascissa del
C(-1;0)
O
H A(1;0)
punto Q. Si ha quindi Q(cotan;1) o anche cotan= BQ.
D(0;-1)
Dal Teorema di Talete si deduce che BQ:PK=OB:OK: sostituendo ai segmenti le funzioni goniometriche che rappresentano si ha cotan:cos=1: sin da cui cot an
cos . sin
La cotangente è quindi la funzione inversa della tangente.
Vediamo le caratteristiche delle funzioni tane cotan:
La tangente assume valore 0 a 0° e 180° mentre non è definita a 90° e 270°. Viceversa, la cotangente assume valore 0 a 90° e 270°mentre non è definita a 0° e 180°. Sono quindi entrambe funzioni illimitate.
La tangente cresce nel I e nel IV quadrante e decresce nel II e nel III quadrante. La cotangente cresce nel III e nel IV quadrante e decresce nel I e nel II quadrante.
Non solo, come per il seno e il coseno, un angolo di ampiezza 420° ha tangente e cotangente uguali a quelle M
di un angolo di ampiezza 60°, ma gli stessi valori vengono assunti nell’angolo di ampiezza 240°: come si nota in figura, il prolungamento del raggio OL sulla retta x=1 si sovrappone al raggio OM e quindi il punto di intersezione sarà lo stesso.
L
Lo stesso ragionamento vale per la cotangente: in generale l’angolo di ampiezza e l’angolo di ampiezza + assumono gli stessi valori di tangente e cotangente. Le funzioni tangente e cotangente sono quindi periodiche di periodo : tan(+) = tan e cotan(+) = cotan. _____________________________________________________________________________ A cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti
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VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Dalle proprietà dei triangoli rettangoli si deducono i valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli particolari. Tali valori sono riassunti nella seguente tabella: Gradi 0°
Radianti 0
sen 0
cos 1
tg 0
ctg non esiste
1
1
30°
45°
60°
90°
1
0
non esiste
0
180°
0
-1 0
0
non esiste
270°
-1
non esiste
0
360°
0
0
non esiste
1
Dalla tabella e dall’osservazione della figura a lato si possono determinare i valori delle funzioni goniometriche anche in tutti
60°
120°
B
gli angoli che sono multipli di 30° e 45°. Nella figura sono rappresentati gli angoli a 60°, 120°, 240° e 300°, quindi
5 2 4 , , e . 3 3 3 3
Partendo da cos
1 3 1 e sin si deduce che A ;0 , 3 2 3 2 2
3 1 B 0; , C ;0 2 2
C
A D
240°
300°
1 3 ; e D 0; 3 : da ciò si ricavano i valori numerici di tutte le 2 2 2
funzioni goniometriche in
5 2 4 , , e . 3 3 3 3
Per tutti gli altri angoli occorre utilizzare la calcolatrice scientifica. _____________________________________________________________________________ A cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti
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Esercizi Completa la seguente tabella inserendo l’espressione mancante dell’angolo (gradi o radianti) e i valori numerici che le funzioni goniometriche assumono: Gradi
Radianti
sen
cos
tg
ctg
2 3 240°
5 3 150°
5 6 3 4 225° 315°
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GRAFICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE In un sistema cartesiano sia la variabile x il valore dell’angolo espresso in radianti e la y il valore assunto dalla funzione goniometrica: riportando le informazioni sulle funzioni goniometriche, tracciamo il grafico di y = cosx, y = sinx, y = tanx, y = cotanx.
y = cosx
Essendo la funzione periodica di periodo
2
il
grafico,
rappresentato tra
qui
3 , si e 2 2
ripete uguale su tutto l’asse dei reali. _____________________________________________________________________________ A cura della Prof.ssa Francesca Grandinetti
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y = sinx
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Essendo la funzione periodica di periodo
2
il
grafico,
qui
rappresentato tra e 2, si ripete uguale su tutto l’asse dei reali.
y = tanx
Essendo la funzione periodica di periodo
il
grafico,
rappresentato tra
qui
e 2 , si 2
ripete uguale su tutto l’asse dei reali.
y = cotanx
Essendo la funzione periodica di periodo
il
grafico,
rappresentato tra
qui
3 , si e 2 2
ripete uguale su tutto l’asse dei reali.
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