Transcript
Iloczyny wektorowe 8.1. Czy bazy B1 = {[1, 2], [3, 1]} i B2 = {[1, 1], [0, 1]} przestrzeni R2 są zgodnie zorientowane? 8.2. Znaleźć taki wektor [a, b, c], by wektory [1, 1, 0], [0, 1, 0], [a, b, c] tworzyły bazę przestrzeni R3 zgodnie zorientowaną z bazą {[−1, 0, 0], [1, 0, 1], [−1, −1, 0]}. 8.3. Czy przekształcenie f : R3 → R3 o macierzy 1 2 1 A= 0 1 0 1 0 2
w bazie {e1 , e2 , e3 } zachowuje orientację (tzn. {x1 , x2 , x3 } ∼ {f (x1 ), f (x2 ), f (x3 )} dla każdej bazy {x1 , x2 , x3 } przestrzeni R3 )? 8.4. Wykazać, że jeśli 0 6= z0 ∈ C, to przekształcenie f : C → C dane wzorem f (z) = z0 z zachowuje orientację jako automorfizm rzeczywistej przestrzeni CR . 8.5. Niech V = U ⊕ W . Udowodnić, że symetria przestrzeni V względem podprzestrzeni U wzdłuż podprzestrzeni W zachowuje orientację wtedy i tylko wtedy, gdy dim W jest liczbą parzystą. 8.6. Niech iloczyn skalarny w przestrzeni R3 dany będzie wzorem (x|y) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 . Niech orientacja przestrzeni R3 dana będzie przez wybór bazy B = {e1 , e1 + e2 , −e3 }. Obliczyć następujące iloczyny wektorowe: 1. [1, 0, 0] × [0, 1, 0], 2. [0, 0, 1] × [0, 1, 0], 3. [1, 1, 1] × [1, 1, 0]. 8.7. Udowodnić, że w euklidesowej przestrzeni liniowej R3 zachodzą związki: 1. kx × yk2 + (x|y)2 = kxk2 kyk2 , dla dowolnych wektorów x, y ∈ R3 , 2. jeśli x + y + z = 0, to x × y = y × z = z × x, 3. (x × y|z) = (x|y × z), 4. (x + y|(y + z) × (z × x)) = 2(x|y × z), 5. (x × y) × z = y × (x × z) − z × (x × y), 6. (x × y) × z + (y × z) × x + (z × x) × y = 0.
