Integración Numérica
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FA C U LTA D D E I N G E N I E R Í A
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
FÓRMULAS ABIERTAS DE NEWTON-COTES
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
FÓRMULAS ABIERTAS DE NEWTON-COTES
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
FÓRMULAS ABIERTAS DE NEWTON-COTES
Las fórmulas abiertas de
Newton-Cotes no
incluyen los extremos
de 𝑎, 𝑏 como nodos.
Éstas utilizan los nodos 𝑥𝑖
= 𝑥𝑜 + 𝑖ℎ, para cada 𝑖
= 0,1, … , 𝑛, donde
ℎ = (𝑏 − 𝑎)/(𝑛 + 2) y 𝑥
0 = 𝑎 + ℎ. Esto
implica que 𝑥𝑛 = 𝑏 − ℎ,
por lo cual marcamos
los extremos haciendo 𝑥
−1 = 𝑎 y 𝑥𝑛+1 = 𝑏,
como se muestra en la
figura.
Algunas de las fórmulas abiertas de Newton-
Cotes comunes con sus términos de error son:
𝑛 = 0: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑥1 ℎ3 ′′
𝑥−1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2ℎ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥1 . (E.5)
3
𝑛 = 1: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜
𝑥2 3ℎ 3ℎ3 ′′
𝑥−1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥2 . (E.6)
2 4
𝑛 = 2: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛 1/3
𝑥3 4ℎ 14ℎ5 (4)
𝑥−1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑓 𝑥0 − 𝑓 𝑥1 + 2𝑓(𝑥2 ) + 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥3 . (E.7)
3 45
3
𝑛 = 3: 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛
8
𝑥 4 5ℎ 95 5 (4)
= 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑥 24
11𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + 11𝑓(𝑥3 ) +
144
ℎ 𝑓 𝜉 , donde 𝑥−1 < 𝜉 < 𝑥4 .
−1
(E.8)
EJEMPLO APLICATIVO A LA INGENIERÍA CIVIL
Una viga de 11 m está sujeta a una carga, y la fuerza
cortante sigue la ecuación
𝑉 𝑥 = 5 + 0.25𝑥 2
Donde 𝑉 es la fuerza cortante y 𝑥 es la distancia a lo
largo de la vida. Se sabe que 𝑉 = 𝑑𝑀/𝑑𝑥 y 𝑀 es el
momento flexionante. La integración conduce a la
relación
𝑥
𝑀 = 𝑀𝑜 + න 𝑉 𝑑𝑥
0
Si 𝑀𝑜 es cero y 𝑥 = 12, calcule 𝑀 con el empleo de a)
integración analítica, b) aplicación de fórmulas cerradas
con la regla del Punto medio, Trapecio, Simpson y n=4.d)
aplicación de fórmulas abierta con la regla del Punto
medio, Trapecio, Simpson y n=4.
SOLUCIÓN
a) Integración analítica b) Fórmulas cerradas de Newton-Cotes
n 0 1 2 3 4
12
𝑀 = 0 + 0 5 + 0.25𝑥 2 𝑑𝑥 Fórmulas 276 204 204 204
cerradas
𝑥3 12
𝑀 = 5𝑥 + 0 .25 ቚ 0 = Error -72 0 0 0
33
(12)
5 12 + 0.25 −5 0 +
3
0 3 c) Fórmulas abiertas de Newton-Cotes
0.25 = 204
3 n 0 1 2 3 4
Fórmulas 168 180 204 204 204
abiertas
Error 36 24 0 0 0
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Una integral numérica
doble estará basada en la
misma idea. Primero se
aplican métodos, como
la regla de Simpson o del
trapecio para segmentos
múltiples, a la primera
dimensión manteniendo
constantes los valores de
la segunda dimensión.
Después, se aplica el
método para integrar la
segunda dimensión.
EJEMPLO APLICATIVO A LA INGENIERÍA CIVIL
Determinar la masa de la placa limitada por -2≤ 𝑦 ≥ 2 ; 0≤ 𝑥 ≥ 4 . La densidad de
área en cualquier punto es: Densidad (x,y)=𝑥 2 − 3𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 .
Solución:
Recuerde que la densidad se calcula como
m=𝒙 𝒑 𝑫, 𝒚 𝒅𝑨 , por lo tanto para esta placa
se tiene:
m= 𝑥(𝑫2 − 3𝑦 2 + 𝑥𝑦 3 )𝒅𝑨
Ahora, se debe identificar la región D para
definir los límites de integración:
Por lo tanto:
Método numérico
Analíticamente
𝟐 𝟒
M=−𝟐[ 𝑥 ( 𝟎2 −
3𝑦 2 +
𝑥𝑦 3 )𝑑𝑥]𝑑𝑦 =
𝟐 𝑥3
−𝟐[ 3 − 3𝑥𝑦 +
𝑥 2𝑦3 4
] 𝑑𝑦 =
2 0
𝟐
−𝟐[ 8𝑦 3 − 12𝑦 +
64
]𝑑𝑦 = [2𝑦 4 −
3
64𝑦 2
4𝑦 3 + =
3 −2
64
=21.33333 𝑢3
3
CONCLUSIONES
La integración numérica es una herramienta muy importante sobre
todo para nosotros los ingenieros debido a que en la realidad
difícilmente o quizás nunca se nos presente una función la cual sea
sencilla de resolver, sino que serán difíciles de resolver por métodos
analíticos. Por lo tanto, requerimos de aproximaciones para nuestros
objetivos. En este caso especial la integración numérica.