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Investigación de respuestas sísmicas críticas

incorporando la torsión accidental.
Julio J. Hernández1, Oscar A. López2
Asesor, Fundación Venezolana de Investigaciones Sismológicas
(FUNVISIS), Calle Mara, El Llanito, Caracas 1070, Venezuela.
Correo-e: [email protected].
1

Profesor, IMME, Facultad de Ingeniería, Universidad Central de
Venezuela, Caracas, Venezuela.
2

Resumen
Se presenta una investigación de las respuestas sísmicas
críticas, es decir las más desfavorables, que se presentan en los
sistemas estructurales cuando se incluyen las acciones que
conducen a la torsión accidental: componente sísmica rotacional
y variaciones de las excentricidades entre los centros de masa y
de rigidez, considerando diversas propiedades del sistema
estructural. Se estudian sistemas de un piso en el rango elástico
de respuesta, sujetos a la acción de un espectro rotacional y
espectros traslacionales principales en dos direcciones
horizontales, considerando las respuestas máximas ante la
variación del ángulo de incidencia. Se consideran
excentricidades nominales y accidentales según las dos
direcciones principales de la planta. El trabajo atiende a los
desplazamientos máximos en los extremos de la planta, los
cuales sobrellevan las mayores solicitaciones sísmicas,
identificando los casos críticos. Los efectos accidentales
estudiados cubren la respuesta a sismos moderados y son una
referencia de la respuesta posible a sismos severos y de la
respuesta de edificios de varios pisos, indicando situaciones
peligrosas posibles. En función de los resultados obtenidos, se
revisa la relativa precisión de las prescripciones torsionales
contenidas en las normas sísmicas de Venezuela, México y
Estados Unidos, así como del procedimiento de De La Llera y
Chopra.
Palabras clave: torsión accidental, excentricidad accidental,
componente rotacional, momento torsor, respuesta sísmica,
espectro de respuesta, sistema asimétrico, norma sísmica,
procedimiento torsional.
Investigation of critical seismic responses including
accidental torsion.
ABSTRACT
This paper presents a research of the critical, i.e. the more
unfavorable, seismic responses of structural systems when
actions leading to accidental torsion are included: rotational
seismic component and variation of the eccentricities between
the stiffness and mass centers, considering several structural
system properties. Elastic one-story systems are studied,

subjected to rotational spectrum and principal translational
spectra along two horizontal directions, considering the
maximum responses due to the variation of the incident angle.
Nominal and accidental eccentricities along the two plan
directions are included. This work looks at the peak
displacements at plan edges, which withstand the larger seismic
forces, identifying the critical cases. The studied accidental
effects cover the response to moderate seismic motions, and
are a reference of the possible response to severe seismic
motions and of the response of multi-storey buildings, pointing
out possible hazardous situations. The obtained results allow an
evaluation of the relative accuracy of several torsional
specifications incorporated in the seismic codes of Venezuela,
Mexico and USA, as well as that of De La Llera and Chopra
procedure.
Key words: accidental torsion, accidental eccentricity,
rotational component, torsional moment, seismic response,
response spectrum, unsymmetrical system, seismic code,
torsional procedure.
Recibido: 27/03/07 Revisado: 07/08/07 Aceptado: 20/08/07
1. IntroducCión
1.1 Daños por torsión en terremotos
Desde hace bastante tiempo se han reconocido los efectos
sísmicos torsionales como una fuente posible de daños de las
edificaciones [Ayre, 1938; Ayre, 1943; Housner y Outinen,
1958] y se han emitido recomendaciones para afrontarlos desde
1957 y 1959 en las normas mexicana [Distrito Federal, 1957] y
californiana, respectivamente [SEAOC, 1959]. Además, en
importantes libros de la época se expuso la metodología de
implementación [Blume et al., 1961]. En Venezuela se
incorporaron en 1967 en la norma antisísmica, tras el terremoto
de Caracas [MOP, 1967]. Sin embargo, pese a la difusión
internacional de estas prescripciones, estos dañinos efectos
continuaron manifestándose en varios terremotos a lo largo del
siglo XX, incluyendo fechas recientes. Por ejemplo, en el
terremoto de Guatemala de 1976 (M = 7.5) el Hotel Terminal en
la capital falló debido a la torsión generada por el excéntrico
núcleo de servicios. En la Figura 1 se observan la fachada y una
columna del segundo entrepiso que no resistió la fuerza cortante
asociada al momento torsor de la planta superior.

Figura 1. Falla del Hotel Terminal, Ciudad de Guatemala, 1976
[Godden Collection, 1980].
En la Figura 2 se observa el colapso del Hotel New Society en
Cotabato City, Mindanao, Filipinas, debido a la torsión global
que condujo a la falla de las columnas de una esquina en el
primer piso, ocurrido en el terremoto de Mindanao de 1976 (M =
7.9). La fuerte rotación se debió a la gran diferencia de rigidez
entre los planos de fachada (observados en la Figura) y los
otros dos planos no visibles. En la Figura 3 se observa la
fachada de un edificio reciente y el colapso de una columna a
nivel del estacionamiento, ocurrido en la ciudad de Kobe
durante el terremoto Hyogo-ken-Nanbu, Japón, 1995 (M = 6.9),
debido a una combinación de torsión de la planta, entrepiso
blando y diseño poco dúctil. Aún más recientemente, en el
terremoto de Chi-Chi, Taiwán, 1999 (M = 7.6) podemos
encontrar un edificio con falla torsional debida a la poca rigidez
de dos planos de fachada (Figura 4), que condujo a su
inclinación global.

Figura 2. Colapso del primer piso y giro global del Hotel New
Society, Cotabato City, Mindanao, Filipinas, 1976 [Selna y Tso,
1980].

Figura 3. Falla por torsión más otras deficiencias de edificio en
Kobe, Japón, 1995 [EERI, 1998].

Figura 4. Falla torsional y consecuente inclinación de edificio en
Taiwán, 1999 [Taiwan Collection, 2000].
En Venezuela, en el terremoto de Cariaco, 1997 (M = 6.9), el
edificio Miramar (Cumaná) se derrumbó; estaba constituido por
pórticos de concreto armado y muros de gran rigidez en los
núcleos de escalera y ascensor hacia un extremo de las plantas.
Obsérvese el edificio de 8 pisos antes del terremoto en la Figura
5 y un esquema estructural de su Planta Tipo en la Figura 6
[Malaver y Barreiro, 1997]. La ubicación de los muros impuso
una gran excentricidad entre los centros de masa y rigidez y
ocasionó importantes efectos torsionales, que junto con otras
debilidades de la edificación condujeron a su colapso [IMME,
1998]. En la Figura 7 se observa que sólo quedaron en pie dos
pisos de los núcleos excéntricos, alrededor de los cuales el
edificio giró [EERI, 1997].

997. Vista del Edificio Miramar.Figura 5. . Cumaná. 1997]. Esquema estructural de la Planta Tipo del edificio Miramar. Figura 6. Cumaná. mostrando los muros de los núcleos excéntricos de escalera y ascensor [Malaver y Barreiro. antes del terremoto de 1.

designando como torques a los pares de fuerzas directamente aplicados). las cuales conducen a un equilibrio dinámico entre fuerzas inerciales. giros. efectos torsionales. mientras que se usa la palabra rotación y similares: deformaciones angulares. Sólo los dos primeros pisos de los núcleos de escalera y ascensor no colapsaron [EERI. La torsión global se refiere al fenómeno de equilibrio mecánico entre las deformaciones estructurales manifestadas como rotaciones de las plantas de la edificación en su plano (horizontal) y las solicitaciones resultantes según el eje vertical. que no son las únicas. logrando que las distribuciones de masa. elásticas y disipativas. se infiere que aún queda mucho por hacer para la implementación de buenos diseños y que la investigación asociada es importante. etc. Se trata de estimar adecuadamente los requerimientos de los diferentes planos resistentes. de modo que no colapse ninguno. cuando se alude al fenómeno mecánico de fuerzas o esfuerzos versus deformaciones. 1997. 1993]. cuando nos referimos al fenómeno puramente geométrico: Un ejemplo de estas denominaciones son: a) la de vibración torsional. b) la de excitación .. se pueden conseguir diseños relativamente seguros sin incrementar excesivamente los costos de construcción [Hernández.2 Conceptos y definiciones Las normas antisísmicas prescriben que los efectos torsionales se añadan a los efectos traslacionales para el análisis sísmico. denominadas pares de fuerzas o momentos torsores (o torques acumulados. resistencia y ductilidad en planta. para referirse a la respuesta dinámica de la estructura que depende de las propiedades inerciales (masas. De estas experiencias. rigidez. 1997]. 1. Derrumbe del edificio Miramar en el terremoto de Cariaco. Se utiliza la palabra torsión y sus derivadas: respuesta torsional. sean lo más balanceadas posibles.. etc. inercias rotacionales) y las estructurales. En general.Figura 7.

inducida por las componentes sísmicas de traslación del terreno en función de las frecuencias de los modos de vibración. sino solamente centros de masa. Un parámetro que caracteriza los sistemas asimétricos de un piso es la excentricidad entre el centro de masa y el centro de rigidez. definidas como la suma de las fuerzas horizontales aplicadas (en cada dirección) en los centros de masa de cada piso por encima del considerado más el propio piso en cuestión. siendo el empotramiento una representación de las fundaciones del edificio. se usa la denominación de momento de volcamiento o de vuelco (en dirección del eje horizontal). como se comenta más adelante. que es el centro de acción de las fuerzas cortantes horizontales (en dos direcciones perpendiculares) que actúan en el piso. En la mayor parte de los casos tendremos que la torsión se acopla con la traslación: la torsión sísmica se desarrolla debido al acoplamiento lateral-torsional que generan las asimetrías de la edificación. En los análisis sísmicos dinámicos de edificios de varios pisos no es necesario utilizar ni centros de cortantes ni de rigidez. la cual está asociada a determinada dirección. Es obvio que con estas denominaciones se está haciendo un símil entre el edificio y la idealización de una barra vertical empotrada. 2003] en: a) torsión intrínseca. En los análisis sísmicos estáticos de edificaciones suele utilizarse el concepto de centro de cortante por piso. Conexamente. en el caso de sistemas de varios pisos. dada la complejidad de las respuestas torsionales. inducida por las mismas componentes en función de las variaciones aleatorias o inciertas de las distribuciones antedichas y por la componente sísmica . que está asociado a las fuerzas cortantes horizontales y se manifiesta como deformación del edificio en un símil de flexión lateral. La torsión global elástica puede dividirse [Hernández y López. 1997a].rotacional para referirse a la variación geométrica de la posición angular de la base (aunque a su vez dependa del fenómeno mecánico de transmisión de ondas en el medio terrestre). Una respuesta torsional pura (sólo momentos torsores y deformaciones angulares de las plantas) es improbable y sólo posible por efecto de una pura excitación rotacional de la base. Sin embargo. que derivan de las distribuciones nominales de masa y rigidez de las plantas de los sistemas asimétricos. la definición precisa de la estructura suple la indefinición de centros de rigidez. conviene estudiar éstas en sistemas de un piso para luego extenderlas a los edificios de varios pisos. los centros de rigidez sólo pueden definirse en forma aproximada. El centro de rigidez es el punto donde al aplicar una fuerza horizontal el sistema se desplaza sin rotar. puede demostrarse que siempre existe para todo tipo de estructura de un piso y que es también el centro instantáneo de rotación cuando se aplica un torque a la planta [Hernández. b) torsión accidental. mientras que los centros de masa son una propiedad del sistema. Es importante anotar que los centros de cortantes son dependientes de los valores de las fuerzas aplicadas para cada dirección de ellas. tras asociar adecuadamente los distintos centros definidos en cada estructura. cuando el edificio es excitado principalmente en traslación.

Esta necesidad se debe principalmente a la no simultaneidad de los respectivos valores máximos de los cortantes de piso y momentos torsores. también. además.rotacional del terreno. deben considerarse las derivadas de la tabiquería. Generalmente. es conveniente incluirlas como parte de las acciones accidentales. y salvo estudios especiales.. fundamentalmente en los extremos. debido a que ellos no alcanzan simultáneamente el rango elástico. para estimar la demanda en el extremo rígido de las plantas. Hernández y López. 2000]. Es de recordar. rigidez y resistencia (elásticas e inelásticas. Estos elementos (variaciones aleatorias y componente rotacional) los denominamos acciones accidentales. Hernández y López. de acuerdo a la demanda de deformación en cada uno. Distrito Federal. la importancia de considerar la excitación sísmica bidireccional en las evaluaciones de la torsión elástica e inelástica [Hernández. que afectan el comportamiento torsional del sistema.: [COVENIN. la cual sería necesario considerar para estimar con precisión la demanda en el extremo flexible de las plantas y conduciría al requerimiento de otro valor y otro signo del momento torsor. Por consiguiente. 1999a. se ha demostrado que los efectos torsionales elásticos deben evaluarse en términos de sus efectos en las líneas o planos resistentes. Es obvio que. ej. lo más práctico es calcular directamente los desplazamientos críticos en cada plano resistente. 1995. En el caso de respuesta inelástica del sistema. modifican las fuerzas elásticas de diseño (en magnitud y/o posición) con el . Dentro de las distribuciones de masa. las cuales normalmente tienen una incertidumbre o variabilidad superior a la de la estructura. 1998. en este caso). ellos representan los efectos de los movimientos rotacionales del terreno y de las variaciones elásticas e inelásticas de las propiedades de la estructura y la tabiquería. Hernández y López. de no analizarse en forma más precisa. pues generan torsión accidental o efectos accidentales. Hernández y López. 1999b. 2003]. 1984]. frente a antiguas metodologías en términos del momento torsor de piso. 1. 2001. p. 1982. la torsión global depende adicionalmente de la distribución de resistencias de los diversos planos resistentes (pórticos. las cuales se efectúan en los planos resistentes. adicionalmente a los efectos intrínsecos debidos a la excitación sísmica traslacional. donde son más desfavorables [Dempsey y Tso. En conclusión. las normas.3 Antecedentes Es importante anotar que. 1969]. En lugar de esa complicación. muros). de este modo las evaluaciones elásticas se pueden comparar con las inelásticas. ICC. 1997a. y que denominaremos críticos. aquella puede considerarse como parte de las acciones accidentales (aunque en compleja interacción con la torsión intrínseca) desde una perspectiva normativa de la estimación estática de las respuestas sísmicas. cuyo valor puede afinarse con cierta exactitud [Rosenblueth y Elorduy. De Stefano et al. es notoria la importancia de estudiar adecuadamente los efectos torsionales accidentales pues.

Por ejemplo. Los efectos intrínsecos se calculan de manera similar en los métodos torsionales estáticos. en este rango se producen amplificaciones torsionales mayores que en el rango inelástico. soportadas luego por análisis simplificados [Newmark. es decir sin daños en ningún plano resistente. La porción accidental suele incorporarse mediante torques estáticos adicionales. la naturaleza exacta del problema supone que las acciones accidentales se incluyan como parte de la acción sísmica completa y se estudien sus implicaciones en el rango . como se indicó arriba. De La Llera y Chopra. La calibración de los efectos accidentales no ha atendido a la variación de todos los parámetros estructurales. se puede comprobar que para muchos casos de plantas. 1969]. ej. en algunos contextos). es de suma importancia el estudio de los efectos accidentales en el rango elástico. 1980.. Sin embargo. Algunos trabajos han planteado métodos para diseñar conjuntamente para los casos de torsión sísmica elástica e inelástica [Goel y Chopra. 1997b. pero sólo para estructuras simétricas. se toman en cuenta la rigidez torsional y la relación de aspecto de la planta. pero. considerando el requisito de que una estructura exhiba un desempeño elástico ante sismos moderados. por lo tanto. pero se pueden obtener también mediante un análisis dinámico elástico que incluya la rotación de las plantas (llamado análisis con tres grados de libertad por planta. no sería conservador usar los resultados inelásticos como única referencia. pero no las excentricidades. 2000. 1995. el cual se corresponde con un desempeño sin daños o daños leves. 1994. 2001]. 2001]. Lobo. los cuales deben calcularse previamente [JMC. que se asimilan a los efectos accidentales. aun en este caso. FEMA. En realidad. 2005]. para cada dirección del análisis. a fin de que todos dispongan de resistencias elásticas superiores a las demandas. también se permite así en [CEN. Por lo tanto. éstos no han incluido las acciones accidentales como parte de la excitación sísmica. 2003]. Esto es de primordial importancia. pero no han cubierto todas las variantes de plantas posibles. El período estructural de la dirección estudiada fue incorporado en una revisión posterior [Lin et al. exigibles para correspondientes niveles de intensidad sísmica [SEAOC. los efectos accidentales suelen incorporarse estáticamente [Hernández y López. Modernamente se ha hecho énfasis en la conveniencia de diseñar las edificaciones para varios niveles de desempeño sísmico. p. 1994]. Hernández. ni la acción sísmica bidireccional.objeto de estimar aproximadamente los efectos torsionales. para lograrlo hay que estimar la máxima amplificación que se puede producir en ellos. en el trabajo de De La Llera y Chopra (1994) limitado al rango elástico. siguiendo antiguas sugerencias.: [Wong y Tso. 1994]. Muchos estudios se han efectuado en el mundo para calibrar la respuesta de estructuras asimétricas en el rango inelástico. ni los períodos en la dirección perpendicular. Lin et al. sino que han evaluado si las prescripciones accidentales normativas prevén las fuerzas inelásticas. 2003].. En varios casos. Otro enfoque consiste en obtener los efectos torsionales totales (intrínsecos más accidentales) por medio de una amplificación (dependiente de algunas propiedades del sistema) de los efectos intrínsecos.

Dadas las incertidumbres. al respecto. Para otros. 2004]. Esto es prácticamente exacto para la torsión intrínseca de edificios con centros de masa alineados y distribución de rigideces semejante en cada planta [Kan y Chopra. 1995].inelástico de respuesta. para el propósito que nos ocupa. 2003] y el procedimiento planteado por De La Llera y Chopra (1994). . a los que se considera representativos de los edificios de varios pisos. tanto si se trabaja en el rango elástico [De La Llera y Chopra. en el rango de respuesta elástica. Dada su complejidad. Otro objetivo es el de comparar los resultados obtenidos para cada condición del sistema. 2004]. en función de los valores centrales de las acciones accidentales (medias de las variaciones de las propiedades del sistema y de las excitaciones rotacionales). Uno de los objetivos es el de investigar las condiciones críticas de las propiedades del sistema. Es conveniente diferenciar entre acciones accidentales y efectos accidentales: éstos deben quedar cubiertos mediante la aplicación de los “ parámetros accidentales” normativos de diseño. En la evaluación se admiten excentricidades nominales en las dos direcciones de la planta. para valores centrales de las acciones accidentales. las recomendaciones de diseño deben atender a las probabilidades de excedencia aceptables.4 Objetivos y alcance En este trabajo se estudia la influencia de diversas variaciones de las propiedades de sistemas estructurales de un piso. aunque variaciones accidentales de las excentricidades. se ha venido trabajando sobre todo con sistemas de un piso. con los valores derivados de la aplicación de varios procedimientos torsionales de diseño: la norma venezolana [COVENIN. como en el rango inelástico [De-la-Colina y Almeida. los resultados obtenidos son indicativos del tipo de fenómeno torsional. una evaluación precisa de los efectos accidentales requiere un tratamiento probabilístico. como información parcial es importante conocer la variación de los valores medios o las medianas de las respuestas. conviene establecer los patrones o tendencias de variación de los valores centrales de las respuestas accidentales. 1. en general. algunas recomendaciones de mejoras de las normas o de los procedimientos torsionales. conducirán a algunas desviaciones de los valores precisos. la norteamericana [ICC. Podrán sustentarse así. e igualmente las excentricidades accidentales se consideran simultáneamente según ambas. la mexicana [Distrito Federal. 1994]. en el supuesto de la ocurrencia de aquellas acciones. Se atiende a los desplazamientos máximos en los extremos de la planta. para cada situación posible. Sin embargo. que podrían conducir a solicitaciones excesivas. Es decir. un trabajo previo ha presentado un estudio parcial de la influencia de las propiedades del sistema estructural en las respuestas sísmicas con torsión accidental [Hernández y López. los cuales sobrellevan las mayores solicitaciones sísmicas. en direcciones o sentidos diferentes en distintas plantas. 1976]. 2001]. Posteriormente.

Dos simplificaciones asumidas en este trabajo. Figura 8a) y bi-asimétricos en el caso en que ninguna sea nula (ex ≠ 0 . que puede ampliarse para estudiar edificios de varios pisos. mediante la investigación de las situaciones críticas detectadas. y el centro de rigidez (C. Por otro lado. ey ≠ 0. ey = 0 . Sin embargo.R. 2004]. como suele asumirse en los sistemas sencillos [Rutenberg y Tso. sistemas de un piso y rango elástico. MODELO Y METODOLOGÍA 2. . ampliando trabajos anteriores como el de Ayala y Escobar (1992). uni-asimétricos a aquellos con una excentricidad nula (por ejemplo: ex ≠ 0 . Representan una más completa evaluación de los efectos torsionales posibles para sistemas sencillos. 2. 2005]. Para la respuesta elástica ante sismos moderados. gracias al estudio de variables antes omitidas.1 Idealización mecánica del edificio Consideramos sistemas estructurales de un piso con la masa distribuida en la planta y el centro de masa (C. se encuentra que para sistemas de un piso con propiedades determinadas. los patrones de respuesta torsional elástica son similares a los de la correspondiente inelástica [Peruš y Fajfar.) (Figura 8). 2005].) en su centro geométrico y excentricidades (ex y ey) entre el C. establecen alguna limitación sobre la extrapolación de los resultados a edificios de varios pisos y al rango inelástico. Llamamos simétricos a los sistemas con ambas excentricidades nulas (ex = ey = 0). los resultados obtenidos serán del mismo orden [Kan y Chopra. 1976] e indicativos de las situaciones críticas en un caso más general. aunque los resultados serán algo conservadores tras considerar rotulaciones plásticas en las vigas en lugar de en las columnas. pueden servir de guía para el estudio de la respuesta inelástica ante sismos severos. ellos representan un aporte a la dilucidación general de los casos críticos torsionales que pueden ocurrir. en edificios de estructuración semejante en elevación. En efecto.M. Además. pueden ser una referencia para orientar análisis inelásticos de edificios de varios pisos que también suelen mostrar patrones de respuestas similares [Maruš ić y Fajfar.M. Figura 8b).

independientemente del número de líneas y de su diseño resistente. O bien. Para cada dirección. mayores de 1. El resto de casos. sólo en caso de estudiarse sistemas inelásticos sería preciso definir exactamente el número y posición de las líneas resistentes. con  entre 0. εy = ey / ρ . Sistemas de un piso: (a) uni-asimétricos.. que no incluye al C.M.8 y 1. llamando relación de aspecto a Bx / By. representan sistemas torsionalmente rígidos (desarrollan rotaciones pequeñas en comparación con las traslaciones). con sus respectivos extremos rígido y flexible.7 y 2). a fines de obtener respuestas de carácter general. donde ρ es el radio de giro inercial de la planta (= inercia rotacional / masa). en un caso real interesan las rigideces de cada línea. valores grandes de . Por consiguiente.Figura 8. mientras que los de las líneas del sector flexible son mayores a él. Designamos por ex y ey a las excentricidades normalizadas: εx = ex / ρ .R. representando cualquier número de tales líneas para sistemas elásticos. las líneas del sector flexible se desplazan más que las correspondientes simétricas del sector rígido. podemos obviar la distribución precisa de los planos resistentes. frecuencia torsional (w) y frecuencia traslacional (wy):  = w / wy. estableciendo una dirección preferencial de análisis (en este caso la dirección Y). pero ellas conducen a la posición del C..R.M. dado un torque estático aplicado en la planta. menores a 0. cada grupo particular de valores de parámetros representa múltiples situaciones reales que conducen a ellos. y a las relaciones entre las frecuencias de vibración. utilizando los parámetros listados. (b) biasimétricos. el sistema gira en torno al C. representan sistemas torsionalmente flexibles (desarrollan rotaciones grandes en comparación con las traslaciones). Estos nombres derivan de las respuestas estáticas de la planta a cargas típicas. y sector flexible al resto. que es muy frecuente. pero suele estar entre 1.2 se consideran sistemas de rigidez torsional moderada. El conjunto de parámetros listados arriba representa completamente a los sistemas elásticos. designamos por Tx y Ty a los períodos de vibración lateral de un sistema simétrico (o desacoplado) con iguales rigideces globales y por Bx y By a las dimensiones de la planta (Figura 8).R.. Dada una fuerza horizontal estática aplicada en el C.2 aproximadamente (el límite teórico superior es variable. La presentación de la Figura 8 con dos líneas resistentes en cada dirección es simbólica.R. las cuales condicionan exactamente la respuesta torsional. Este parámetro es un índice de la relativa rigidez torsional del sistema: valores pequeños de . Adicionalmente.8 aproximadamente (el límite teórico inferior es x para sistemas uni-asimétricos). aparte de la resistencia y ductilidad de cada una. identificamos como sector rígido de la planta a la zona a un lado del C. .  es la razón entre las frecuencias desacopladas torsional y lateral de un sistema simétrico equivalente con iguales rigideces globales. los desplazamientos de las líneas resistentes del sector rígido son menores a los del C.

7 como valor típico de acuerdo con estudios recientes [López y Hernández. tomando γ = 0. El espectro menor.3 s. . En la Figura 9 pueden observarse valores tipificados de ambos espectros.15 s. A 2.9 s y deformación constante para T ≥ 0. A2/g : espectro principal horizontal menor.2 s y deformación constante para T ≥ 2. σ = 0. A1. rAq/g : espectro equivalente rotacional.1 s ≤ T ≤ 0. La excitación sísmica se define mediante los espectros para 5% de amortiguamiento crítico de las dos componentes de traslación horizontales y la componente rotacional. 1. con pseudo-velocidad constante para 0. Utilizamos las componentes horizontales principales. que actúan en la base del sistema. El espectro mayor.15 s ≤ T ≤ 0. Espectros normalizados de pseudo-aceleración espectral: A1/g : espectro principal horizontal mayor. con pseudo-velocidad constante para 0.7 s.7 s ≤ T ≤ 2.25 g para 0.4 g para T = 0 s. 2002].1 g para T = 0 s .2.2 s. mediante el método de análisis espectral. En el caso de la Figura 9. se considera proporcional al mayor: A2 = γA1. tipificadas para perfil de suelo intermedio. variación lineal entre 0 s ≤ T ≤ 0. En este estudio se consideran varios valores posibles de ρA θ. que mide el escalamiento del espectro rotacional a causa de los valores de r ó de Aθ. toma el valor 0.0 g para 0. definiendo como parámetro de intensidad relativa de la componente rotacional a σ ρAθ (T = 0) / A1 (T = 0). El espectro rotacional se traduce a uno traslacional equivalente presentándolo en términos de ρAθ. mediante una versión suavizada del espectro expuesto en De la Llera y Chopra. (1994): ρAθ toma el valor 0.41 m (correspondiente a una planta cuadrada con Bx = By = 50 m). como casos posibles.2 Acciones sísmicas: nominales y accidentales Analizamos las respuestas estructurales en rango elástico. Figura 9. tomando como radio de giro inercial de la planta ρ = 20.3 s ≤ T ≤ 0. el cual combina las respuestas máximas modales a fin de estimar la respuesta global máxima.25. 0.9 s. es decir las correspondientes a las direcciones con nula correlación mutua.

Por extensión. Figura 10. nominal. Obtenemos variaciones de excentricidades (' e) entre el C.M.M. Puntos 1 a 8 = C.M. Siguiendo una práctica habitual en las investigaciones mundiales del tema. dejando fijo el C. 6 y 8). 5 y 7) y variación según las diagonales del rectángulo circunscrito a la elipse (puntos 2. calculado en un plano resistente extremo de la planta. igual a una determinada proporción () de la longitud de la planta en esa dirección: Δek = ζBk .M. k = X ó Y. a partir de su posición nominal en el centro geométrico de la planta. accidentales. en la posición definida por sus excentricidades nominales con el C.M. esta variación del C.M..M. 2. 4. en una planta rectangular cualquiera. En los análisis de respuesta del sistema ante la acción accidental que representa la ocurrencia de D e. Su valor lo normalizamos .Como simplificación de los modelos a utilizar. bajo las cuales investigamos la torsión accidental. puede modelarse por medio de un valor medio estadístico D e en cada dirección principal de la planta. suponemos que para una cierta tasa de ocurrencia. quedando representada por una circunferencia con centro en el C. para el estudio de la torsión accidental asumimos que la variación de las distribuciones de masa y rigidez de la planta puede representarse por la variación accidental de la posición del C.R. en cualquier dirección en una planta cuadrada. ante cualquier variante de acciones. denominamos “ r” al desplazamiento sísmico esperado.M. nominal. que conducen a excentricidades accidentales. consideramos 9 posiciones del C.M. las posiciones correspondientes de variación del C. Asumimos que existe la misma probabilidad de ocurrencia de variación del C.M.M. Centros de masa: Punto 0 = C. 3. y los C.3 Método de análisis En general. nominal.M. accidentales. que pasa por los puntos de variación de las direcciones principales (Figura 10).R. se encuentran a lo largo de una elipse centrada en el C. en elipse de variación accidental de la posición del C.: Punto 0 para la posición nominal y puntos 1 a 8 para las posiciones accidentales: variación según las direcciones principales (puntos 1.

b) Calculamos la respuesta crítica del sistema ante la acción conjunta de todas las componentes sísmicas mediante la regla de la combinación cuadrática completa con 3 componentes (CQC3 por sus siglas en inglés) [Smeby y Der Kiureghian. cuando no existen frecuencias cercanas . 2000]. Ésta toma en cuenta la correlación entre las respuestas de modos de frecuencias cercanas.o la regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. López et al. sometido a la componente sísmica traslacional mayor (de espectro A1). Para un sistema con propiedades determinadas calculamos las respuestas siguiendo los pasos: a) Sometemos el sistema a la acción de cada componente sísmica por separado. todos los valores presentados. ya que debido al acoplamiento lateral-torsional es frecuente la cercanía entre los períodos de los modos de vibración. Es bueno recordar que la regla de la CQC . además de cumplir otras funciones. pero tomando en cuenta los ángulos de incidencia posibles de las componentes . actuando paralelamente al plano.. calculando las respuestas máximas modales de los desplazamientos estudiados y las combinamos mediante la regla de la combinación cuadrática completa (CQC por sus siglas en inglés) [Rosenblueth y Elorduy. bajo la hipótesis de respuesta a acelerogramas con amplio contenido de frecuencias.M. colocado sólo en el Punto 0 y sin acción de la componente rotacional. considerando los posibles ángulos de incidencia de las componentes horizontales y que la componente rotacional no está correlacionada con las otras. obteniendo una buena aproximación del promedio de los casos reales. asunto muy importante en el análisis de la respuesta torsional. 1969. Por consiguiente. son una referencia de la amplificación torsional respecto a ese caso ideal sin torsión. mientras que con análisis dinámicos temporales se necesitaría analizar muchos casos con acelerogramas independientes para obtener un buen estimado. 1998.respecto al que ocurriría en un sistema ideal desacoplado (sin excentricidades). 1985. Para los diversos sistemas definidos con las propiedades nominales o con las variaciones accidentales previstas.consideran probabilísticamente la no simultaneidad de los máximos modales. 1981]. calculamos las respuestas de los extremos de la planta: c) El valor nominal rnom para el caso en que no se suponen acciones accidentales: el C. Menun y Der Kiureghian. Der Kiureghian.

σ = 0). 3. sin incorporar acciones accidentales (Δe / B = 0.5. mientras que los demás las incluyen tanto por ella como por las variaciones accidentales de excentricidad. podemos suponer que habremos obtenido un estimado (racc) de las medias del valor máximo de los efectos accidentales torsionales. 3. definidos mediante εx = 0. En primer lugar se presenta la valoración de la importancia de las componentes sísmicas traslacionales y su combinación y en segundo lugar la valoración de las diversas direcciones de las variaciones aleatorias (accidentales) de las excentricidades. Tx / Ty = 1. εy = 0. Uno de los casos (Punto 0) supone acciones accidentales debidas únicamente a esta componente. σ = 0).5. Bx / By = 2. .2. definidos mediante εx = 0. ante las componentes traslacionales (en todas las direcciones posibles) junto con la componente rotacional del sismo.M.1 . definido como el máximo entre los valores críticos de los diversos casos de acciones accidentales: las nueve posiciones del C. Por último. Ty =0. d) El valor máximo racc de los efectos accidentales.2. En la Figura 12 puede observarse el mismo tipo de resultados para los desplazamientos en dirección Y de los extremos rígido y flexibles de sistemas bi-asimétricos con períodos fundamentales diferentes en cada dirección.2 . utilizando una planta referencial. Corresponde a la torsión intrínseca. VALORACIÓN DE LAS ACCIONES UTILIZADAS A continuación se presentan resultados correspondientes a la influencia de las acciones utilizadas en el estudio. La relación racc / rnom mide la influencia relativa de las acciones accidentales previstas. ante distintos casos de acción y combinación de las componentes sísmicas traslacionales. Figura 10). obtenidas para los desplazamientos en dirección Y de los extremos rígido y flexible de sistemas bi-asimétricos de rigidez semejante en ambas direcciones. para los mismos casos de acción y combinación de las componentes sísmicas traslacionales. Dado que hemos utilizado valores medios de las acciones accidentales.traslacionales.1 Acciones sísmicas traslacionales En la Figura 11 puede observarse la diferencia entre las respuestas. εy = 0. a fin de que pueda valorarse su relativa importancia.5 s. Ty =0.5. se examina la influencia de los valores de las variaciones accidentales consideradas y de la magnitud del espectro rotacional respecto a los traslacionales. igualmente sin considerar acciones accidentales (Δe / B = 0. Bx / By = 2.5 s. respecto a la respuesta crítica intrínseca de las líneas extremas de la planta. Tx / Ty = 1. consideradas (0 a 8.

a) extremo rígido. σ = 0) en dirección Y. de sistemas definidos por εx = 0.5.1 . Tx / Ty = 1. Bx / By = 2. b) extremo flexible.2.5 s. . Ty =0.Figura 11. εy = 0. Respuesta intrínseca (Δe / B = 0.

5. Y} combinando la respuesta de cada componente con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. podemos obtener la respuesta crítica indicada por {Y}c que produce resultados sensiblemente mayores.2 . Si se considera la posibilidad de dirección variable de esta única componente. Bx / By = 2. Y}. Las menores respuestas se obtienen para el caso {Y}. combinadas con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (en este caso se obtienen iguales resultados para cualquier dirección de aplicación).5 s.5. y otros casos no mostrados.7X . Respuesta intrínseca (Δe / B = 0.2. εy = 0. que es la mayor de todas. bien fija en dirección X para obtener la respuesta {0. o bien en dirección variable para obtener la respuesta crítica {0.Figura 12. para obtener la respuesta {X . correspondiente a la única acción de la componente sísmica mayor actuando en dirección Y. puede inferirse que en general para estimar la respuesta sísmica torsional de sistemas bi- . Ty =0. es decir con excitación uni-axial.7X . Podemos considerar la acción de una componente ortogonal igual al 70% de la anterior. b) extremo flexible. a) extremo rígido. de sistemas definidos por εx = 0. Tx / Ty = 1. De estos. Por último puede considerarse la acción de dos componentes sísmicas iguales. cuyo valor puede calcularse con la citada regla de la CQC3. σ = 0 en dirección Y. Y}c.

pero este caso es de menor importancia. tomando . es recomendable aplicar aquel. es de fundamental importancia la inclusión en el análisis de la variación direccional de la componente sísmica mayor o bien considerar ambas componentes horizontales. es de poca importancia la componente ortogonal a la dirección analizada. con períodos fundamentales de 0. tanto de la zona rígida como de la zona flexible de las plantas. Considerar únicamente una componente sísmica en la dirección del desplazamiento analizado puede conducir a graves errores. 2. cabe anotar que el más sencillo cálculo con dos componentes sísmicas iguales conduce a resultados no excesivamente conservadores. como práctica general conviene efectuar análisis que incluyan ambas componentes sísmicas. Por el contrario. igual a la máxima obtenida al efectuar variaciones accidentales según una parte de las direcciones previstas en la Figura 10.2 Direcciones de la excentricidad accidental A título de ilustración. 1 y 5. ante la acción de las componentes sísmicas traslacionales sin componente sísmica rotacional ( = 0). la envolvente de esas tres respuestas accidentales parciales es la respuesta accidental máxima para el caso particular de componente rotacional nula. b) “ Dir. Considerando que el caso más exacto viene a ser el de la respuesta crítica con las dos componentes horizontales (método CQC3) y que el esfuerzo de cálculo es casi el mismo para igual respuesta con una sola componente. Por el contrario. cual estipulan las modernas normas antisísmicas. para sistemas torsionalmente rígidos. que a su vez es muy cercana a la respuesta con dos componentes iguales. y c) “ Diag. del valor probable. Es de interés indicar que la valoración indicada en las Figuras 11 y 12 corresponde a sistemas bi-asimétricos. dado que al analizar variaciones accidentales se incluirán siempre excentricidades en dirección ortogonal (Figura 10) y siempre se tendrán sistemas accidentalmente bi-asimétricos. y = 0. Obviamente. En la Figura 13 se presentan las relaciones (racc / rnom) entre las respuestas accidentales parciales y las respuestas nominales en dirección Y de ambos extremos de plantas cuadradas (Bx / By = 1). escogiendo tres casos: a) “ Dir.2). 4.2). a continuación se presentan gráficos que muestran la relativa importancia de efectuar variaciones de excentricidades accidentales según distintas direcciones de la planta. para los casos de simetría en ambas direcciones (x = y = 0) y de cierta uni-asimetría ortogonal (x = 0.asimétricos de rigidez torsional pequeña o moderada (valores  ≤ 1. Sin embargo. o más. 6 y 8. 3 y 7.” cuando variamos la excentricidad en ambas direcciones: puntos 0. a sabiendas que en sistemas uni-asimétricos la componente ortogonal a la dirección analizada no produce efectos sobre ésta. En todo caso. que es el cálculo que se efectúa en lo sucesivo en este estudio. que pueden estar entre el 30% al 50%. 3. la respuesta crítica de una sola componente (con todas las direcciones posibles) casi alcanza a la respuesta crítica con dos componentes. Consideramos aquí la respuesta accidental parcial (racc). X” cuando variamos la excentricidad sólo en dirección X: puntos 0. Y” cuando variamos la excentricidad sólo en dirección Y: puntos 0. que responden torsionalmente a la componente ortogonal.5 s en ambas direcciones.

variaciones accidentales de excentricidad básicas iguales a e / B = 0.y = 0. Respuesta accidental parcial en relación a la nominal. de extremos de plantas cuadradas de períodos Ty = 0. En la Figura 14 se muestran las mismas relaciones obtenidas para un sistema bi-asimétrico (x = 0.1 .2) con diferentes valores de los períodos desacoplados en las direcciones principales (Ty = 0. la dirección Y y las direcciones diagonales. para: a) simetría global: x = y = 0. para los extremos rígido y flexible de la planta. .5 s .5 s y Tx / Ty = 1. Las respuestas valen para ambas direcciones debido a la simetría en dirección Y presente en ambos casos (x = 0). Tx = 1 s). con variaciones accidentales e / B = 0. b) uni-asimetría ortogonal: x = 0.05.2. y = 0. Figura 13.05 según la dirección X.

de los extremos de planta cuadrada bi-asimétrica (x = 0. y en general para los sistemas torsionalmente más rígidos ( ≥ 1). Respuesta accidental parcial respecto a la nominal. 3. con variaciones accidentales de excentricidad e / B = 0. a) extremo rígido.5 según la dirección X. Se concluye.2). para los cuales pueden ser críticas las variaciones en dirección Y o en diagonal.1 .5 s y Tx / Ty = 2. independientemente de la condición de asimetría. b) extremo flexible.3 Acciones sísmicas accidentales A fin de examinar la relativa influencia del grado de variación de las variaciones accidentales y de la magnitud del espectro rotacional (normalizado respecto a los traslacionales) se eligen . Se observa que para un sistema simétrico (Figura 13a) basta utilizar la variación de excentricidad en dirección X (perpendicular a la dirección de desplazamientos estudiada). que para cubrir la generalidad de los casos es completamente procedente la decisión tomada de estudiar la excentricidad accidental considerando variaciones en todas las direcciones. y = 0. de períodos Ty = 0. Sin embargo. la dirección Y y las diagonales.Figura 14. no es así para los sistemas torsionalmente más flexibles ( 1).

Este conjunto de respuestas representa bien el conjunto de casos más amplio estudiado y que el espacio no permite presentar.05. sustenta su caracterización como valor intermedio para las evaluaciones posteriores. Se observa un incremento casi lineal (pero no exacto) de los desplazamientos accidentales con el incremento de e / B. y = 0. Los sistemas indicados se toman con otras propiedades fijas: planta cuadrada.2. con el típico valor intermedio igual a 0.05. debido a la simetría). En la Figura 15 se puede observar la relación entre los desplazamientos accidentales (máximos) para los sistemas aludidos. con variaciones accidentales variables: e / B tomando valores entre 0 (sólo componente rotacional) y 0. En primer lugar. Bx / By = 1 y períodos fundamentales iguales en cada dirección.10. conduce a resultados muy semejantes a la que presentan De La Llera y Chopra (1994) (aunque sólo lo hacen para  ≥ 0.6) a partir de resultados estadísticos y que es la base de su propuesta.25. es de anotar que los sistemas con grandes excentricidades no son de relevancia. En relación con este examen. ya que las variaciones accidentales son de poca incidencia frente a aquellas. Tx = Ty =0. c) un sistema moderadamente uni-asimétrico en la dirección del desplazamiento estudiado: x = 0.5 s. que dominan los desplazamientos. para el segundo presentamos la respuesta crítica en los extremos rígido y flexible.1. e / B = 0. y por último para el tercer sistema presentamos la respuesta crítica en el extremo flexible. junto con el uso de ese valor por diversas normas antisísmicas. los sistemas se someten a la acción de las componentes trasnacionales y una componente rotacional dada por  = 0. Esta coincidencia. y = 0. Para el primer sistema presentamos la respuesta crítica en ambos extremos (que es una sola. El caso intermedio.tres sistemas referenciales: a) un sistema simétrico: x = y = 0. como es natural esperar. . b) un sistema ligeramente uni-asimétrico en la dirección del desplazamiento estudiado: x = 0.

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la componente rotacional pasa a ser relativamente influyente. sino que sigue una variación de tipo exponencial.25. dado que el sistema ingresa en el caso de elevadas aceleraciones angulares. De paso. estas conclusiones están determinadas por el parámetro Ty = 0. en la Figura 15 puede observarse que la influencia de la componente rotacional.5 s. sistema: x = 0.5 s.5 los incrementos pueden ser relativamente importantes. y = 0.1 . pero pasando a  = 0.25 incrementa poco las respuestas. Es decir. En caso de períodos mucho menores. respectivamente. sistema: x = y = 0. Sin embargo.5. pasar de  = 0 a  = 0.2 . . a las respuestas para  = 0. componente rotacional:  = 0. En la Figura 16.05. habiendo fijado la variación de excentricidad accidental en e / B = 0. Efecto de la variación de e / B sobre racc / rnom. el incremento de respuesta al incorporar la componente rotacional no es lineal. Respecto. y = 0. b) extremo flexible. presentada más adelante. plantas cuadradas. tiene muy poca influencia en comparación con la variación accidental de excentricidad e / B. a) ambos extremos. como puede comprobarse en la Figura 19. sistema: x = 0. aunque solamente es notable para sistemas torsionalmente flexibles.25 (expresada aislada en e / B = 0). se examina más ampliamente la influencia de la componente rotacional variando s entre 0 y 0. c) y d): extremos rígido y flexible. Tx = Ty = 0.Figura 15. tomada con el valor típico de  = 0.

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5 s.2 . Es de interés observar que para cocientes de frecuencia W en el entorno de 1.35 aproximadamente. E st o s ca s o s r ep r e s en tan l a g en e ral i dad d e l o s f en ó m en o s en c on t ra do s en t r e u n c on j u n t o má s am p li o d e ca s os e stu di ad o s. y d) períodos iguales en ambas direcciones principales: T x / T y = 1. c) d e spl az a mi en t os má xi mo s e n el e xt r e mo fl exi bl e d e l a pl an ta d e l os mi s m os si st e ma s d el pu n t o an t e ri o r. Tx = Ty = 0. y = 0.05 <  < 1. INFLUENCIA DE LAS PROPIEDADES ESTRUCTURALES Se p r e s en tan g r áfi c o s qu e mu es t ran l a i n fl u en ci a d e l a va ri a ci ón d e di v e r sa s p r opi ed ad e s e s tru ctu ral es d e l os si st e ma s a si mét ri c o s. b) planta cuadrada: B x / By = 1. En términos generales: a) para el extremo flexible de las plantas. y d) d e spl az ami e n t os m áxi m o s en el e xt r em o fl e xi bl e d e l a pl an ta d e si st em a s mo d er ada m en t e u n i . sistema: x = y = 0.  y = 0 . c) período fundamental en dirección Y de valor intermedio: T y = 0.a si mé tri c o s en l a di re c ci ón Y d el d e sp l az ami en t o e stu di ad o:  x = 0 . Efecto de la variación de σ sobre racc / rnom. P a ra tod o s es to s si st em a s s e con si d e ra el í n di ce d e ri gi dez to r si on al  va ri an d o en t r e 0. en l a s r e spu e sta s ac ci den tal e s má xi m as . s e u ti l i z an si st em as c o n u n a s p r opi ed ad e s fi j as bá si ca s mi en t ra s s e va rí an ot ra s . a l o s cu al e s s e l e s v a rí an ot ra s p ro pi ed ad e s. b) para el extremo rígido de las plantas se producen una amplificaciones importantes para 1.65 aproximadamente. y = 0.05. se estudian los sistemas indicados en el párrafo anterior.  y = 0 . qu e s on val o r e s e xt r e mo s m u y i n f r e cu en t e m en t e t ra spa s ad o s. pueden producirse amplificaciones importantes.2 .75 . Entonces.1 . sistema: x = 0. 25 y 1 .1 . valor a partir del cual vuelven a crecer en la medida en que decrece . sistema: x = 0.Figura 16. con variaciones accidentales e / B = 0. que disminuyen notablemente para  < 1 hasta  = 0. a partir de  < 1 crecen las amplificaciones en la medida en que decrece .5 s. L os ca s o s p r e s en t ad o s s on l o s mi sm o s q u e s e u sa r on pa ra est u di ar l as a c ci on e s ac ci d en tal e s: a) de spl az a mi en t o s má xi mo s en amb o s ext r em o s d e l a pl an ta d e si st em as si mé tri c o s:  x =  y = 0 .asi m ét ri c o s en l a d i re c ci ón Y d el de spl az a mi en t o es tu di ado:  x = 0 . b) de spl az a mi en t o s má xi mo s en el e xt r em o rí gi do d e l a pl an ta d e si st em as l i ger am en t e u n i . b) extremo flexible. 4. manteniendo . A fi n e s d e c o mp ar aci ón . a) ambos extremos. plantas cuadradas. respectivamente. c) y d): extremos rígido y flexible. C om o r ef e r en ci as gl ob al e s s e p r es en t an aqu í c u at ro ca s o s d e d e sp l az ami en t o s i n ve sti gad o s en t r e s si s te ma s fi j ad o s e n cu an t o a l a asi m et rí a r e sp e ct o a l a di r e c ci ón est u di ada. Como parámetros básicos de referencia fijos tenemos: a) excentricidad ortogonal nula:  y = 0.

5 s. para plantas cuadradas con simetría en la dirección ortogonal.05 y la componente sísmica rotacional asociada a  = 0.tres de estas condiciones fijas y efectuando variaciones de los cuatro parámetros:  y.5 s. Bx / By . sucesivamente. igualando el ortogonal T x . En la Figura 18 se presenta la influencia de la relación de aspecto de la planta B x / By .5 s.25. para plantas cuadradas con simetría en la dirección ortogonal. en cada uno de los sistemas sometidos a las acciones accidentales definidas por la variación de excentricidades acorde con e / B = 0. . Tx / Ty . En la Figura 17 se presenta la influencia de la excentricidad ortogonal  y. supuesto que en la dirección de estudio T y = 0. para plantas cuadradas con T x = T y = 0. En la Figura 20 se presenta la influencia de la variación del cociente entre ambos períodos principales desacoplados. La variable estudiada es la relación r acc / r nom entre la respuesta accidental máxima y la nominal. En la Figura 19 se presenta la influencia del período en la dirección de estudio T y . para plantas con simetría en la dirección ortogonal y T x = Ty = 0. T y y Tx / Ty .

.

1.5 s. acciones accidentales: e / B = 0.Figura 17. a) ambos extremos. respectivamente.2. Efecto de la variación de y sobre racc / rnom. Tx = Ty = 0.05 . x = 0.  x = 0. c) y d): extremos rígido y flexible.25. plantas cuadradas. .  y = 0. b) extremo flexible.  = 0.

.

c) y d): extremos rígido y flexible.  x = 0.  y = 0.Figura 18.1 . . respectivamente.  = 0.  y = 0.25.  x = 0. Efecto de la variación de Bx / By sobre racc / rnom. a) ambos extremos. Tx = Ty = 0. b) extremo flexible.  x =  y = 0.2 .5 s.05 . acciones accidentales: e / B = 0.

.

Tx / Ty = 1.25. y = 0.  y = 0.  x = 0. c) y d): extremos rígido y flexible. acciones accidentales: e / B = 0. .  = 0.2 .  x = 0. b) extremo flexible.  x =  y = 0.Figura 19. Efecto del período Ty (s) sobre racc / rnom.1 .05 . a) ambos extremos. plantas cuadradas. respectivamente.

.

 = 0. lo cual es una situación algo frecuente. no se producen amplificaciones adicionales. en el caso contrario.25 . este resultado no resulta crítico con respecto a la común implementación de los procedimientos torsionales normativos: al especificar un momento torsor de diseño. respectivamente. Una revisión .  x = 0. la amplificación se toma en función de este género de distancia.Figura 20.2 .5 s. Efecto del cociente Tx / Ty sobre racc / rnom. c) y d): extremos rígido y flexible.1 . En la Figura 17 podemos observar que la existencia de biasimetría inicial no incrementa las respuestas esperadas. pues puede presentarse si por ejemplo en un edificio con estructura de concreto armado se diseñan predominantemente pórticos en una dirección y muros en la dirección perpendicular. las cuales en algunos casos tienen consecuencias importantes. la cual comienza a incidir fuertemente en la respuesta de sistemas torsionalmente flexibles. Esta situación no es teórica.  x =  y = 0 . plantas cuadradas. en los procedimientos que amplifican las respuestas intrínsecas. acciones accidentales: e / B = 0. respecto al correspondiente caso uni-asimétrico. ocurren amplificaciones considerables en sistemas torsionalmente flexibles con ciertos índices de rigidez torsional . Sin embargo. Tx < Ty.05 . En sistemas torsionalmente rígidos. se están incorporando las biasimetrías accidentales. b) extremo flexible.  y = 0. Sin embargo. O en un edificio con estructura de acero si se tienen pórticos a momento en una dirección y pórticos arriostrados en la otra dirección. En la Figura 18 se observa la influencia de la relación de aspecto de la planta en los valores de las respuestas en sus extremos. las cuales conducen a respuestas que son múltiplos de la distancia al centro de rotación.  x = 0. en función de él se calculan las rotaciones de la planta. En la Figura 19 se observa la influencia del período fundamental de la estructura en las respuestas accidentales. Puede observarse que si la dirección ortogonal (X) a la estudiada (Y) dispone de estructura más rígida. debe tenerse en cuenta que en las respuestas de estos últimos sistemas. Este resultado es prácticamente obvio: a mayor ancho de la planta.  y = 0. De hecho. Por otro lado. para períodos pequeños el sistema ingresa en la zona de grandes aceleraciones angulares de la componente sísmica rotacional. Ty = 0. dadas unas determinadas rotaciones que se generen en ella. los desplazamientos de los puntos relativamente más alejados del centro de rotación deben ser mayores. la influencia estudiada es de escasa relevancia. de estructura más flexible en la dirección ortogonal a la estudiada: Tx > Ty. o lo que es lo mismo la existencia de rigideces diferentes de la planta en ambas direcciones. Como se comentó antes. En la Figura 20 se observa la influencia de períodos desacoplados distintos de la planta en direcciones ortogonales. normalmente medida al centro de rigidez. a) ambos extremos. que son los que tienen un modo de vibración sensible a dicha componente.

Al revisar críticamente las situaciones examinadas. puede razonarse que si se midiera en función de Tθ y Tx. Estos y otros aspectos de los procedimientos normativos se revisan en la sección siguiente.de los casos conduce a concluir que se producen las mayores amplificaciones relativas en los sistemas en que Ω  1 / (Tx / Ty) = Ty / Tx y valores adyacentes. Para el diseño de la zona flexible de la planta se establece un factor de . puede anticiparse que a los procedimientos normativos comunes les falta tomar en cuenta adecuadamente la influencia en los efectos accidentales de las rigideces o períodos estructurales (tanto en la dirección estudiada como en la ortogonal).). pero no ha tomado en cuenta el período en dirección ortogonal. como superposición de efectos modales. los procedimientos simplificados (o estáticos) de las normas incorporan los fenómenos torsionales mediante la modificación de las excentricidades nominales. Igualmente. PROCEDIMIENTOS TORSIONALES ESTÁTICOS Se exponen sucintamente los procedimientos estáticos torsionales especificados en varias normas. En edificios de varios pisos. para posterior revisión de su relativa adecuación a las respuestas estructurales probables obtenidas. Esta revisión cubre la evaluación de la torsión intrínseca y la torsión accidental incorporada por estos procedimientos. En el caso de que se usen procedimientos dinámicos para calcular la torsión intrínseca. para calcular las excentricidades. en lugar del C. suponiendo que se analice la estructura con componentes sísmicas en las dos direcciones y accesoriamente se incorporen excentricidades accidentales de diseño en ambas.M. (2001) para considerar el período en la dirección de análisis. en función del valor de . esas amplificaciones ocurren por cercanía entre la frecuencia torsional y la lateral ortogonal. se tendría el parámetro equivalente Ωx = θ / x  1 en las situaciones críticas observadas. Estos momentos torsores derivan de contribuciones separadas de estimados de la torsión intrínseca y de la accidental: a) La torsión intrínseca se incorpora mediante modificaciones de la excentricidad nominal en cada dirección del análisis. En otras palabras. es importante recordar que  se está definiendo en función de la relación entre Tθ y Ty. permanecen válidas al efectuar las variaciones de parámetros de esta Sección. ésta queda calculada exactamente y la evaluación presentada puede tomarse en cuenta en los aspectos de la torsión accidental. Las observaciones efectuadas en el último párrafo de la Sección 3.3 respecto a las amplificaciones de las respuestas de los extremos flexible y rígido. de la planta se utiliza el centro de cortante (C. para obtener dos momentos torsores de diseño.C. centro de aplicación de la fuerza cortante global que pondera las posiciones de los centros de masa de los pisos superiores. Comúnmente. en cada dirección del análisis. 5. la cual se suele añadir estáticamente. motivo que explica las elevadas amplificaciones. uno aplicable a la zona flexible de las plantas y otro a la zona rígida. el procedimiento de De La Llera y Chopra fue actualizado en Lin et al. En esta expresión.

B). La Norma Mexicana [Distrito Federal. para 2 ≤ Ω. con dos signos inversos a fin de incrementar alternativamente las solicitaciones en cada una de las zonas de la planta. ′ = 6 (Ω – 1) – 0. En el Método de la Torsión Estática Equivalente de la actual Norma Venezolana [COVENIN. perpendicular a la dirección del análisis.  = 0. i = 1.5 ≤ Ω ≤ 1.2 = V(′e .1 = V(e + B) y MT. en cada nivel estructural: .10.6. b) La torsión accidental se incorpora mediante una excentricidad accidental. Las Normas Norteamericanas [ICC.06 Para valores de  o e fuera de los intervalos especificados. flexible o rígida. acotando -1 ≤ ′ ≤ 1. Calculan inicialmente los desplazamientos máximo (máx) y promedio (prom) de los planos resistentes en cada nivel de la edificación y en cada dirección. para 1 ≤ Ω ≤ 2.  = 0.Ω)] (2 . A partir de ellos infieren el factor de amplificación A de los momentos torsores básicos.05. donde e (excentricidad) y V (fuerza cortante de entrepiso) se toman con signo positivo. = 1 + [4-16 (2 . 2003] utilizan un procedimiento auxiliar para establecer los factores torsionales. para 0. 2001] se estipulan los siguientes parámetros torsionales de diseño (de acuerdo con las definiciones antedichas). Para el diseño de la zona rígida de la planta se utiliza un factor de control (').5 . 1995] en su anexo “ Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo” estableció hace tiempo y mantiene las formulaciones antedichas:  = 1.Ω)4.  ′ = 1. B (Bx ó By). Las zonas de la planta. se exige un análisis dinámico espacial. válidos para estructuras que cumplan en ambas direcciones del análisis:  = 1 + [4-16] Ω. para dos momentos torsores de diseño (MT. que si se omite equivale a ' = 1. respectivamente. bajo la aplicación de las fuerzas cortantes de piso más un momento torsor auxiliar definido con  = 1 y  = 0.i .amplificación () de la excentricidad estática. están gobernadas por i =1 ó 2. Se establece como un porcentaje () del ancho de la planta. 2): MT. = 1.

(2001).7 / Ty) + 1. o mediante el método CQC3 (en el caso de la norma venezolana). Norma mexicana. donde A = 1 + 0. REVISIÓN DE PROCEDIMIENTOS TORSIONALES Como ilustración de las relativas adecuaciones de los procedimientos torsionales citados (Norma venezolana.36 (0. o mediante el método de la raíz cuadrada de la suma de cuadrados.38 si Ty < 0. para e / B = 0. En las Figuras 21.).066 (0. En el procedimiento de De La Llera y Chopra (1994).i . racc. estos autores recomiendan interpolar linealmente usando las distancias al centro de rigidez. con la modificación establecida en Lin et al. 6.0475 (B / ).La estructura se diseña mediante la aplicación momentos torsores de diseño antedichos: (MT. distintos a los extremos.7 s Para otros planos resistentes.7 / Ty)2 + 0. i = 1.  =A. se presentan cocientes rproc / racc. entre las respuestas obtenidas mediante tales procedimientos. se calculan primero los efectos de la torsión intrínseca y luego se obtienen en los extremos de la planta amplificando por: el factor A si 0 ≤ Ω ≤ 1 valor interpolado entre A y 1 si . al tiempo que se varían las excentricidades en la dirección normal al desplazamiento estudiado. rproc y las respuestas accidentales máximas. siendo  = -0.05A. 22 y 23 se presentan estos cocientes para varias situaciones de períodos fundamentales. Norma estadounidense y el Procedimiento de De La Llera y Chopra. o bien añadiendo a cada respuesta ante una componente. modificado por Lin et al. el 30% de la respuesta ante la componente ortogonal. incluyendo períodos ortogonales diferentes. pero  = 2 si Ty ≥ 0.′=1y= En todos los procedimientos normativos indicados se combinan las respuestas de las dos componentes ortogonales del sismo. manteniendo fija la excentricidad ortogonal.25.7 s. . mediante los factores 0. 2).05 y  = 0.

h): Procedimiento de De La Llera y Chopra. e).25. modificado por Lin et al. d).05 . f) y h)}. d): Norma mexicana. g).5 s. varias x. Bx / By = 2 y Tx / Ty = 0.Figura 21. Relaciones entre rproc / racc para los extremos rígido {a). f): Norma estadounidense. Acciones accidentales: e / B = 0. y = 0. c). b): Norma venezolana. . a). c): e) y g)} y flexible {b).  = 0.

05.5 s y Tx / Ty = 1. e). Ty = 0. varias x. b): Norma venezolana.25. g). f): Norma estadounidense. d): Norma mexicana. c): e) y g)} y flexible {b). a). Bx / By = 2 . f) y h)}. y = 0. d).Figura 22.5. modificado por Lin et al.2. . Relaciones entre rproc / racc para los extremos rígido {a). h): Procedimiento de De La Llera y Chopra. c).  = 0. Acciones accidentales: e / B = 0.

h): Procedimiento de De La Llera y Chopra. f) y h)}. e). Bx / By = 2 y Tx = Ty = 0. .1 s. g). Relaciones entre rproc / racc para los extremos rígido {a). d): Norma mexicana. modificado por Lin et al. b): Norma venezolana. c): e) y g)} y flexible {b). sistemas con y = 0 . varias x. c). Acciones accidentales: e / B = 0. d).  = 0.Figura 23. f): Norma estadounidense.25. a).05.

los otros procedimientos presentan fuertes errores por defecto en el extremo rígido de los sistemas torsionalmente flexibles. La norma venezolana aparece en posición ventajosa en este caso. por todos los procedimientos. El fenómeno de amplificación de las respuestas para Ω  0.5.2) con períodos fundamentales diferentes: Ty = 0. pues aunque en otro contexto puedan parecer grandes.1 s. Se denominarán errores pequeños a los que estén en aproximadamente 50% o menos por exceso o en 20% o menos por defecto. La respuesta en el extremo flexible de las plantas es cubierta casi con exactitud (errores menores) para sistemas torsionalmente rígidos. sin llegar a ser crítico sino más bien manteniendo un ligero conservadurismo del lado de la seguridad. mientras que para sistemas torsionalmente flexibles todos los procedimientos tienden a ser muy conservadores.5. . mientras que para sistemas torsionalmente flexibles la norma venezolana es muy conservadora sólo para excentricidades grandes. sin llegar a ser crítico. En la Figura 21 observamos el caso de sistemas uni-asimétricos con iguales períodos fundamentales Tx = Ty = 0. En el extremo flexible las normas mexicana y estadounidense exponen una casi exactitud la primera y conservadurismo la segunda. el procedimiento de De La Llera-ChopraLin conduce a resultados inseguros en el extremo flexible de sistemas torsionalmente flexibles. Es de advertir que para la Norma venezolana se extrapoló la aplicación del Método Estático Equivalente para la excentricidad x = 0. Sin embargo. Los resultados son muy semejantes a los anteriores.5 s .En estas comparaciones se ha utilizado la relación de aspecto B x / By = 2. En la Figura 23 observamos el caso de sistemas uni-asimétricos con iguales períodos fundamentales Tx = Ty = 0. La corrección de Lin et al. Diremos que los resultados son conservadores cuando ocurren errores por exceso (rproc > racc) y liberales cuando ocurren errores por defecto (rproc < racc). que se ajusta razonablemente.67 y valores adyacentes (obtenido al estudiar la influencia de las propiedades estructurales). Tx / Ty = 1. En la Figura 22 observamos el caso de sistemas bi-asimétricos (y = 0. pues cualquier otra relación producirá resultados casi proporcionales. la mayor excitación rotacional de los sistemas de corto período afecta sensiblemente las relaciones entre los resultados procedimentales y los teóricos. ese conservadurismo aumenta con la excentricidad x. Por el contrario. La respuesta en el extremo rígido de las plantas expone errores relativamente pequeños para los sistemas torsionalmente rígidos. el procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin produce resultados ligeramente conservadores. las normas mexicana y estadounidense lo son para excentricidades pequeñas pero son liberales para excentricidades grandes. tanto para el extremo rígido como para el flexible de las plantas. por todos los procedimientos. exceptuando el de De La Llera-Chopra-Lin. utilizando  = 1.5 s. aquí son de carácter menor en relación con la gran amplitud de resultados presentada. se manifiesta como una reducción del conservadurismo. Contrariamente al asunto de los períodos ortogonales diferentes. sin pérdida de generalidad. pues se reduce el conservadurismo ocurrente con períodos moderados.

la puesta en práctica de un principio básico de la ingeniería en general y de la ingeniería sísmica en particular. El modelo de torsión estática tradicional mediante la especificación de momentos torsores (intrínseco más accidental) conduce generalmente a fuertes inexactitudes para sistemas torsionalmente flexibles. fenómeno ausente cuando se tienen períodos mayores. De la comparación entre los cuatro procedimientos examinados. este factor tendría que ser incorporado en las normas mexicana y estadounidense para eliminar diversas situaciones de inseguridad. el modelo de incorporación del factor de control de la zona rígida de la planta es exitoso en sus consecuencias generales. pero la pierde en sistemas de período corto. El procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin es el que ofrece la mayor uniformidad de concordancia en general. Una primera observación de carácter general es que los procedimientos normativos no tienen precisión uniforme ante las diversas situaciones. puede observarse que la norma venezolana es la única que no produce fuertes situaciones de inseguridad en ningún caso. Los otros procedimientos. Los casos presentados ofrecen un panorama de la relativa exactitud de las normas para cubrir la torsión sísmica en rango elástico. puede suponerse que las conclusiones serán semejantes [Peruš y Fajfar. 2005]. tal como ocurre en las normas mexicana y estadounidense conduce a la inseguridad en varios casos. pero necesita ser ajustado para sistemas torsionalmente muy flexibles y períodos laterales de la estructura muy cortos. Corresponden a aproximaciones válidas para ciertos sistemas. pero no para todos. aunque produce conservadurismo en sistemas de rigidez torsional moderada. en cambio. La norma mexicana es la que conduce a las más frecuentes inseguridades en la zona rígida de las plantas torsionalmente flexibles. pueden añadirse otros e incluso estudiar combinaciones de las situaciones presentadas. el modelo de De La Llera-Chopra-Lin es sumamente uniforme para períodos moderados y tiene la perspectiva de lograr ese deseado . ante la ocurrencia de torsión inelástica. En realidad. cual es la búsqueda del mejor equilibrio entre economía y seguridad. Los casos de conservadurismo encontrados para la torsión elástica necesitan ser examinados. conduce a la conveniencia de que estos procedimientos normativos. sean modificados y ajustados. están expuestos a inseguridades eventuales. La introducción de factores de control de la zona rígida de la planta (′). evita la liberalidad.para períodos cortos no cubre los sistemas torsionalmente más flexibles. pero no fácilmente el conservadurismo. El modelo de amplificación de la torsión intrínseca (como el del procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin) tiende a producir resultados más uniformes. Ahora bien. pero su ausencia. tal como se hace en la norma venezolana. Al parecer. incluido el de la norma venezolana. pero las constataciones son semejantes. sin embargo.

equilibrio si se modifica apropiadamente para cubrir los casos en que actualmente conduce a fuertes inseguridades o inconvenientes conservadurismos. se encontró que en general es de mayor incidencia la variación accidental de excentricidades. Se investigó la influencia de diversas propiedades del sistema en la magnitud de la amplificación de las respuestas accidentales respecto a las nominales. Se concluyó que valores de  < 1 producen amplificaciones crecientes de la respuesta del extremo flexible de las plantas con  decreciente. Se infiere que existe la conveniencia y la necesidad de ajustar los procedimientos torsionales para cubrir más exactamente las respuestas esperadas en sistemas torsionalmente flexibles. incluyendo su direccionalidad. aunque para sistemas torsionalmente rígidos en la práctica basta una sola componente sísmica paralela al desplazamiento estudiado. Se examinó la influencia de la variación de las excentricidades accidentales según las diversas direcciones de la planta. debe ajustarse para el caso en que no lo sean. 7. deben revisarse las variantes que se presenten en edificaciones de varios pisos. Se analizó la influencia del cociente de frecuencias torsional a traslacional  en las amplificaciones de las respuestas nominales. pueden servir como guía de la investigación en general y de los casos críticos en particular y de la implementación de especificaciones. mientras que para el extremo rígido de las plantas las mayores amplificaciones ocurren en los intervalos de valores y . encontrándose que para los sistemas torsionalmente flexibles son importantes los casos con excentricidades paralelas a la dirección del desplazamiento analizado. considerando conjuntamente los efectos en el rango elástico e inelástico. los resultados encontrados en el rango elástico para sistemas de un piso. se concluyó que es indispensable incorporar el efecto conjunto de ambas componentes para el análisis de los sistemas torsionalmente flexibles. en caso de que se logre un procedimiento que produzca uniformidad con períodos similares. Se revisó la relativa influencia de las dos clases de acciones accidentales. No debe dejar de tomarse en cuenta que aunque actualmente el caso de períodos ortogonales distintos no presenta peligros fuertes. igualmente. En ambos casos. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Para varias propiedades estructurales del sistema se analizó el efecto de las diversas posibilidades de incorporación de las componentes sísmicas traslacionales. Mientras que para sistemas torsionalmente rígidos bastan las excentricidades con dirección ortogonal al mismo. Esta empresa debe llevarse a cabo. con particularidades de interés para sistemas de período corto y sistemas con períodos fundamentales distintos en cada dirección principal estructural. Se encontró que los casos que . aunque la componente rotacional del sismo es muy influyente para sistemas de período corto.

y Escobar J. los resultados de este estudio pueden servir de orientación. De mayor incidencia es el caso de períodos cortos del sistema. en general. que represente un adecuado equilibrio de economía y seguridad.A. Ayala A. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen el soporte dado por el FONACIT. 8. “ Evaluation of seismic design criteria for asymmetric buildings” . 9. según el caso.25. Ministerio del Poder Popular para Ciencia y Tecnología. se encontró que el de la norma venezolana es el único que no conduce a fuertes situaciones de inseguridad en ningún caso de propiedades del sistema. en la mayor uniformidad de la concordancia deseada. Se estima que para la respuesta elástica ante sismos moderados de edificios de varios pisos. La revisión que se efectúe debe atender al problema de los períodos cortos del sistema y la cercanía de los períodos lateralortogonal y torsional. pero la pierde para períodos cortos. los resultados tendrán el mismo orden en caso de distribuciones de rigideces semejantes en las diversas plantas y serán indicativos de los casos críticos en una situación más general.conducen a valores más elevados corresponden a sistemas torsionalmente flexibles con período corto. mientras que el caso de períodos ortogonales diferentes queda relativamente cubierto por el conservadurismo antedicho. REFERENCIAS 1. Se observa la conveniencia y necesidad de superar los procedimientos torsionales vigentes.G. 10th World Conference on . mexicana y estadounidense y el procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin. Facultad de Ingeniería. La norma mexicana es la que ofrece en general las mayores inseguridades en la zona rígida de plantas torsionalmente flexibles.05 y  = 0. para obtener una concordancia más uniforme en todas las situaciones. pero en sistemas torsionalmente flexibles conducen a resultados conservadores o inseguros. respecto a los resultados teóricos previos para e / B = 0. Se examinó la relativa concordancia de las prescripciones torsionales estáticas de las normas venezolana. bajo el Proyecto S1-2000000606 y por el Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. De los cuatro métodos torsionales examinados. Para el examen de los casos críticos de dichas variantes. El procedimiento de De La LleraChopra-Lin resulta. Se encontró que en sistemas torsionalmente rígidos los diversos métodos conducen a resultados satisfactorios. Universidad Central de Venezuela. investigando e incorporando las variantes que se presenten en el rango de respuestas inelásticas y en edificios de varios pisos. Igualmente. o con período lateral ortogonal coincidente con el torsional. se prevé que al evaluar la respuesta inelástica ante sismos severos los casos críticos tendrán patrones semejantes a los aquí encontrados.

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