La Logica Fregeana

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La logica fregeana - Quando parliamo di logica classica ci riferiamo a quell’insieme di regole sviluppate innanzitutto da Aristotele e perfezionate dagli scolastici medievali. Si parla infatti di logica aristotelico-medievale. In realtà la logica classica come oggi è intesa e accolta dagli studiosi equivale alla reinterpretazione dovuta a Frege (XIX sec.). questa reinterpretazione presenta però delle differenze rispetto alla logica aristotelico-medievale, pertanto si parla più precisamente di logica fregeana o logica formale (o logicismo), visto che nasce dal tentativo di ridurre la matematica a logica. In sintesi all’interno della denominazione logica classica intendiamo la logica da Aristotele a Frege. In questo lungo arco di tempo la logica resta una logica estensionale a due valori: il valore di verità dell’enunciato è funzione del valore di verità delle parti componenti (estensionale) e ogni enunciato può avere due valori (vero o falso). A partire da Aristotele quindi la logica serve a mettere a punto delle regole inferenziali deduttive, ossia delle regole che ci consentano di verificare se un ragionamento è corretto oppure no. - La logica enunciativa è un capitolo della logica fregeana. In questo ambito non ci interessa aprire l’enunciato, ma siamo interessati solo alla relazione tra gli enunciati. 1. Connettivi 2. Tavole di verità - analizzare il linguaggio non è facile, soprattutto per le differenze e sfumature che ci sono tra le lingue. - per questo è utile ridurre le proposizioni alla loro struttura. - attraverso i simboli possiamo fare delle operazioni sul linguaggio che altrimenti risulterebbero molto complesse. - in un certo senso la logica ci permette, paradossalmente, di non pensare tanto, cioè di operare sulle proposizioni in modo più spedito che se dovessimo farlo lavorando direttamente sugli enunciati. Asserti semplici e asserti complessi  Consideriamo l’esempio: “Il signor Rossi vive in Germania e una volta alla settimana viene in Italia”.  Si tratta di un enunciato complesso formato da due enunciati semplici. Infatti ogni enunciato semplice deve avere due caratteristiche:  1. deve essere autonomo 1  2. e non può essere ulteriormente scomposto, pena la perdita di senso.   Ogni asserto semplice può essere sostituito da una lettera (usiamo in questo caso le lettere minuscole) Gli asserti possono essere uniti da diversi termini (termini sincategorematici o connettivi) Congiunzione o Nell’esempio sopra riportato, i due enunciati sono uniti dal termine sincategorametico e. o Quando questo termine serve a unire due enunciati, lo chiamiamo congiunzione e lo indichiamo con un punto (•). o L’asserto complesso, i cui asserti semplici sono uniti dalla congiunzione, è funzione di verità degli enunciati componenti. o Il connettivo della congiunzione ci dice che l’asserto complesso è vero solo se entrambi gli asserti semplici sono veri. o Si tratta quindi di un connettivo verofunzionale. o I valori di verità assunti dall’asserto complesso in funzione dei valori di verità degli enunciati componenti possono essere rappresentati mediante una tavola di verità1 che è l’equivalente del simbolo stesso della congiunzione. Possiamo quindi dire il connettivo della congiunzione o il connettivo che ha questa tavola di verità: p V V F F p•q V F F F q V F V F NB: i valori di verità di p e q sono assunti in quest’ordine per convenzione e ci permettono di avere le 4 situazioni possibili. Negazione Anche la negazione è un connettivo vero-funzionale. Esso serve per negare un enunciato (è l’unico connettivo che si riferisce a un solo enunciato). Per es. È falso che Napoli sia nel caos Non c’è il sole 1 Le tavole di verità sono già presenti nell’opera di Boole, ma saranno rese note solo dal Tractatus di L. Wittgenstein. 2 Non tutti gli uomini sono mortali Tutti questi asserti possono essere rappresentati così: ~p L’equivalente del connettivo della negazione è la sua tavola di verità: p ~p V F F V Disgiunzione Il termine italiano o può avere due significati. Il primo lo chiamiamo disgiunzione inclusiva o debole. Per es.: “stasera entri in discoteca gratis se sei donna o se sei minorenne” In questo caso la disgiunzione è vera sia se sei donna, sia se sei minorenne (ma uomo), sia nel caso in cui sei donna e minorenne. Per cui esso vuol dire: o l’uno o l’altro o eventualmente entrambi. Il termine o può anche essere usato in senso esclusivo o forte, come quando in un menù fisso si dice che a quel prezzo di può avere il dolce o la frutta, ma non entrambi. La lingua latina distingue il termine o: la disgiunzione inclusiva è resa con vel quella esclusiva con aut. La tavola di verità della disgiunzione inclusiva (il cui simbolo è v) sarà allora: p q pvq V V V F “Berlusconi può parlare come presidente del consiglio o come azionista di Mediaset” (conflitto di interessi) La tavola di verità della disgiunzione esclusiva è: p q p\q F V V F Esempio: “All’esame o si è promossi o si è bocciati” Implicazione 3 Se due asserti sono collegati dall’espressione “se…allora”, chiamiamo questo asserto condizionale. L’enunciato preceduto dal “se” è l’antecedente e quello preceduto da “allora” è il conseguente. Il connettivo equivalente a “se…allora” è detto implicazione e possiamo indicarlo con una freccia (→). “Se Mario è iscritto al corso di logica allora deve fare l’esame il 19 dicembre”. L’implicazione asserisce che se l’antecedente è vero allora il suo conseguente è vero. O in altri termini che non si dà nello stesso tempo che l’antecedente sia vero e il conseguente falso. Per cui “se p allora q” si può anche scrivere ~(p•~q) che esprime il valore di p→q ~ V F V V p V V F F • F V F F p→q V F V V ~q F V F V quindi la tavola di verità dell’implicazione è p V V F F → V F V V q V F V F La tavola dell’implicazione può suscitere qualche perplessità, soprattutto circa gli ultimi due casi: ciò l’asserto complesso è vero anche se l’antecedente è vero e il conseguente è falso o se entrambi sono falsi. Osserviamo però questo enunciato matematico: “Tutti i numeri minori di due sono anche minori di quattro” Indicando con x un numero qualunque, esso si può scrivere così: Se x<2 allora x<4 Se proviamo a sostituire x con i numeri 1, 3 e 4, ricordando che l’asserto sarà sempre vero, abbiamo infatti: Se 1<2 allora 1<4 (primo caso della tavola) Se 3<2 allora 3<4 (terzo caso della tavola) Se 4<2 allora 4<4 (quarto caso della tavola) L’asserto matematico da cui siamo partiti è ovviamente sempre vero, infatti non si può mai verificare il caso 2, cioè il caso in cui l’antecedente è vero e il conseguente è falso. Il connettivo dell’implicazione esprime anche il concetto di condizione necessaria. 4 La condizione può essere sufficiente, necessaria o necessaria e sufficiente: [domanda: quale tipo di condizione è espresso dall’implicazione e dall’equivalenza?] Condizione sufficiente ma non necessaria (implicazione materiale) Es: perché un uomo muoia è sufficiente attraversargli il cuore con un coltello, ma non è una condizione necessaria, ce ne potrebbero essere molte altre diverse da quella. È una condizione che, se si verifica, comporta il verificarsi anche della conseguenza, ma non è necessario che ci sia per avere la conseguenza. Condizione necessaria Es: se non c’è benzina nella macchina, la macchina non parte, ma oltre ad esserci le benzina devo anche mettere la chiave nell’accensione, la pompa della benzina non deve essere rotta, la batteria deve funzionare ecc. La condizione necessaria è quella in assenza della quale non si ha la conseguenza, ma la sua presenza non garantisce che l’evento si verifichi. Condizione necessaria e sufficiente (equivalenza materiale) Es: se inserisco l’importo esatto in un distributore automatico immediatamente si verifica l’evento emissione bevanda. È la condizione al cui verificarsi, sicuramente si verifica l’evento. Se inserisco 50 cent nel distributore ottengo un caffè p→q esercizio: se A, B e C sono asserti veri e X, Y e Z sono asserti falsi, determinare quali dei seguenti sono veri, usando le tavole di verità per i simboli di implicazione materiale, congiunzione, disgiunzione e negazione [(A•X)→Y]→[(X→A)→(A→Y)] Equivalenza materiale (contenuto di verità) Due asserti si dicono materialmente equivalenti quando sono o entrambi veri o entrambi falsi. L’equivalenza può essere rappresentata dalla seguente tavola di verità: p V V F F ≡ V F F V q V F V F Un asserto di tale forma è detto anche bicondizionale. Equivalenza logica Si ha quando, dati due asserti, l’asserto complesso che esprime la loro equivalenza materiale è una tautologia: “Piove se e solo se non è vero che non piove” 5 ≡ V V V V p V V F F non V V F F non F F V V p V V F F La differenza tra equivalenza materiale e equivalenza logica è importante, perché solo nel secondo caso un asserto può essere sempre rimpiazzato da un altro asserto equivalente. Ciò non può essere fatto quando si ha solo un’equivalenza materiale. Tautologie e contraddizioni: - Le tautologie sono proposizioni sempre vere / contraddizioni sono proposizioni sempre false. - Le leggi logiche sono necessariamente tautologie, in quanto una legge è tale perché vale sempre. Esercizi: 1. formalizzare il seguente enunciato usando le lettere p, q, r “Se l’Argentina non si mobilita allora o il Brasile non protesterà all’ONU o il Cile non chiederà un incontro di tutti gli stati dell’America latina” p  (q v r) sapendo che p è vero mentre q e r sono falsi verificare la verità o falsità dell’enunciato molecolare V  (F v F) VF F 2. formalizzare e verificare sapendo che p è falso q è vero e r è falso: “Se la camorra sarà sconfitta e non uccideranno Saviano allora l’Italia sarà un paese civile”: (p et non q) implica r NB: quando c’è l’implicazione è l’ultima connettivo a dover essere verificato 3. non (p et q) implica (non p et q) verificare con le tavole di verità I tre principi logici Possono essere resi simbolicamente così: 6 principio di identità “se una asserto è vero allora è vero” p→p principio di non-contraddizione “nessun asserto può essere sia vero che falso” ~ (p • ~ p) Principio del terzo escluso “qualunque asserto è o vero o falso” pv~p Logica predicativa La logica predicativa apre gli enunciati. Mentre la logica aristotelico-medievale vede nell’enunciato una relazione tra soggetto e predicato, la logica fregeana lo interpreta come formato da una funzione proposizionale e da un argomento: “Socrate è mortale” vuol dire che esiste un x (argomento) ed è mortale (funzione proposizionale). La x è l’argomento da saturare. Se esiste un argomento che può stare al posto di x allora la formula è saturata e può essere vera o falsa, visto che solo un enunciato può essere vero o falso. Fin quando la x non è saturata, la formula rimane aperta e non si può porre il problema se sia vera o falsa. La parte della logica che si occupa di questa saturazione si chiama calcolo dei predicati o calcolo predicativo. La logica predicativa studia innanzitutto - Gli enunciati quantificati: “Tutti i camorristi sono delinquenti”; “Ogni seminarista è battezzato” sono enunciati universali e il quantificatore (tutti, ogni) è reso con il simbolo . Sono invece enunciati esistenziali: “qualche studente non è in classe”; “alcuni uomini sono calvi”, il quantificatore esistenziale (qualche, alcuni) è reso con il simbolo . - Un enunciato è vero o falso solo se è quantificato, cioè solo se la variabile è vincolata, altrimenti si tratta di una funzione proposizionale per la quale non si pone il problema della verità o falsita. - Per semplicità prendiamo solo in considerazione gli enunciati di attribuzione, cioè enunciati quantificati in cui si predica qualcosa di qualcos’altro, e consideriamo solo predicati monadici, cioè con una sola variabile: 7 o Enunciati quantificati universali: “Tutti gli f sono x” si rende (x)fx, cioè “per ogni x, f di x”, vale a dire che tutti gli x possiedono la proprietà f. o Enunciati quantificati esistenziali: “Esiste un x che è f” è reso con (x)fx, c’è almeno un x che gode della proprietà f. NB: solo in espressioni quantificate la variabile è vincolata e dunque solo queste espressioni solo enunciati veri e propri, per i quali si pone la domanda se siano veri o falsi. - Negazione con gli enunciati quantificati: o Prendiamo l’enunciato universale “Tutti i gesuiti sono religiosi”: (x)fx o Prendiamo il corrispondente enunciato esistenziale “Alcuni gesuiti sono religiosi”: (x)fx Proviamo a schmeatizzare le possibili negazioni tutti i gesuiti sono religiosi (x)fx alcuni gesuiti sono religiosi (x)fx  (x)fx non tutti i gesuiti sono religiosi o alcuni gesuiti non sono religiosi  (x)fx non esiste un gesuita religioso o nessun gesuita è religioso (x)  fx tutti i gesuiti non sono religiosi o nessun gesuita è religioso (x)  fx esiste almeno un gesuita che non è religioso o alcuni gesuiti non sono religiosi Da questo schema si capisce che negare il quantificatore e negare il predicato non è la stessa cosa. Si vede però anche che una cosa può essere detta in due modi diversi. Si può formulare la regola dello scambio dei quantificatori: la negazione del quantificatore universale applicato a un certo predicato equivale al quantificatore esistenziale applicato alla negazione dello stesso predicato e viceversa. Dallo schema possiamo anche dedurre che ci sono 4 tipi di enunciati: - Tutti i gesuiti sono religiosi (Universale affermativo) - Nessun gesuita è religioso (Universale negativo) 8 - Alcuni gesuiti sono religiosi (Particolare affermativo) - Alcuni gesuiti non sono religiosi (Particolare negativo) Nella logica aristotelico-medievale erano state colte le relazioni tra questi quattro tipi di proposizione. Rileggendo il quadrato logico alla luce della logica fregeana possiamo costurire il seguente quadrato logico: 1. (x)fx 2. (x) fx  (x)  fx  (x) fx 3. (x) fx 4. (x)  fx  (x)  fx  (x) fx 9 1 e 2 sono contrarie (possono essere entrambe false, ma non entrambe vere): “Tutti i gesuiti sono napoletani” / “Nessun gesuita è napoletano” 3 e 4 sono subcontrarie (possono essere entrambe vere, ma non entrambe false): “Alcuni gesuiti sono napoletani” / “Alcuni gesuiti non sono napoletani” 1 e 4 sono contraddittorie (o è vera l’una o è vera l’altra, non possono essere né entrambe vere né entrambe false): “Tutti i gesuiti sono napoletani” / “Alcuni gesuiti non sono napoletani” 2 e 3 sono contraddittorie: “Nessun gesuita è napoletano” / “Alcuni gesuiti sono napoletani” 1 e 3 sono subalterne (l’universale implica il particolare, ma non viceversa): “Tutti i gesuiti sono napoletani” dunque è vero che “Almeno un gesuita è napoletano” 2 e 4 sono sublaterne: “Nessun gesuita è napoletano” dunque è vero che “Almeno un gesuita non è napoletano” Esercizi: formalizzare secondo la logica dei predicati (distinguere qual è l’argomento e qual è la funzione) 1. 2. 3. 4. Nessun seminarista è sposato Alcune suore portano il velo Esiste almeno un politco che non è corrotto Tutti gli uomini hanno dei genitori 10