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MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI
LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne.
⎛1 3 7⎞ M =⎜ ⎟ ⎝ 2 −5 1 ⎠ M è una matrice formata da 2 righe e 3 colonne. DEFINIZIONE: Se il numero delle righe coincide con quello delle colonne, la matrice è quadrata.
ELEMENTI DI UNA MATRICE L’elemento di una matrice appartenente alla riga i e alla colonna j si indica con:
Esempio:
mij
⎛1 3 7⎞ M =⎜ ⎟ ⎝ 2 −5 1 ⎠
dim = 2 × 3 m12 = 3
DEFINIZIONE Dimensione di una matrice:
dim = no righe × nocolonne
VETTORI I vettori sono delle matrici particolari:
V = [5 12 8 0]
Vettore colonna
dim = 4 ×1
Vettore riga
dim = 1× 4
⎡4⎤ ⎢8⎥ V =⎢ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣3⎦
La dimensione è differente!!!!
MATRICI PARTICOLARI(1/2) • MATRICE NULLA: NULLA matrice composta da zeri. • MATRICE IDENTITA’: IDENTITA matrice quadrata avente gli elementi della diagonale principale uguali a 1.
⎛1 0⎞ I =⎜ ⎟ 0 1 ⎝ ⎠ • MATRICE SIMMETRICA: SIMMETRICA la matrice A è simmetrica se aij =aji per ogni i e j con i=j.
⎛1 2⎞ S =⎜ ⎟ 2 3 ⎝ ⎠
MATRICI PARTICOLARI(2/2) • MATRICE TRIANGOLARE: è una matrice quadrata i cui elementi al di sopra (m. triangolare inferiore) o al di sotto (m. triangolare superiore) della diagonale sono tutti nulli.
⎛ a11 ⎜ 0 ⎜ T= ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 0
a12 K a1n ⎞ ⎟ a22 K a2 n ⎟ 0 K K⎟ ⎟⎟ 0 0 ann ⎠
Matrice triangolare inferiore
• MATRICE DIAGONALE: è una matrice in cui gli elementi aij sono nulli per ogni i e j con i=j. Si osservi che una matrice diagonale è simmetrica, ed è triangolare sia superiore che inferiore.
ALGEBRA DELLE MATRICI (1/3) 1. ADDIZIONE • date 2 matrici A e B (stessa dimensione), si definisce la loro somma la matrice C i cui elementi sono le somme dei corrispondenti elementi di A e B:
C = A + B → cij = aij + bij 2. MOLTIPLICAZIONE PER UN NUMERO
• si definisce il prodotto di un numero reale λ per una matrice A come la matrice λA i cui elementi sono quelli di A moltiplicati per λ:
C = λ A → cij = λ aij
ALGEBRA DELLE MATRICI (2/3) 3. PRODOTTO • Siano M e N due matrici dello stesso ordine, si definisce il loro prodotto la matrice P i cui elementi pij si ottengono come somma dei prodotti degli elementi della riga i-esima di M per gli elementi della colonna j-esima di N.
⎛1 3 7⎞ M =⎜ ⎟ 2 − 5 1 ⎝ ⎠
p11 = 1* 2 + 3*1 + 7 *0 p12 = 1*3 + 3* 2 + 7 * 4 p21 = 2* 2 + (−5) *1 + 1*0 p22 = 2*3 + (−5) * 2 + 1* 4
X
⎛ 2 3⎞ ⎜ ⎟ N = ⎜1 2⎟ ⎜0 4⎟ ⎝ ⎠
⎛ 5 37 ⎞ P = M ×N =⎜ ⎟ − 1 0 ⎝ ⎠
ALGEBRA DELLE MATRICI (3/3) ATTENZIONE: ATTENZIONE Il prodotto tra matrici non è in generale commutativo!!! Il prodotto tra 2 matrici A e B può essere effettuato solo se il numero di colonne di A coincide col numero di righe di B:
A = [ n × m] B = [m × p] C = A ⋅ B = [ n × m] ⋅ [ m × p ] = [ n × p ] es:( 2 x 3 ) ( 3 x 2 ) = ( 2 x 2 ) dimensione della matrice prodotto.
TRASPOSTA DEFINIZIONE: DEFINIZIONE Si definisce matrice trasposta di A e si indica con AT la matrice i cui elementi aij sono gli elementi aji della matrice originaria. La matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne. ⎛1 3 7⎞ M =⎜ ⎟ 2 − 5 1 ⎝ ⎠
⎛1 2 ⎞ ⎜ ⎟ M T = ⎜ 3 -5 ⎟ ⎜7 1 ⎟ ⎝ ⎠
INVERSA E DETERMINANTE(1/2) DEFINIZIONE: DEFINIZIONE Si definisce matrice inversa di A e si indica con A-1 la matrice (se esiste) tale che:
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I Se una matrice A ammette inversa, allora A è detta INVERTIBILE o NON SINGOLARE. DEFINIZIONE: DEFINIZIONE Si definisce determinante di una matrice A(2x2) la quantità ⎛ a11 a12 ⎞ A=⎜ det( A) = a11a22 − a21a12 ⎟ ⎝ a21 a22 ⎠
INVERSA E DETERMINANTE(2/2) TEOREMA: TEOREMA La matrice A è invertibile se e solo se
det( A) ≠ 0 In tal caso l’inversa della matrice A è:
1 ⎛ a22 A = ⎜ det( A) ⎝ −a21 −1
−a12 ⎞ ⎟ a11 ⎠
RANGO E ORDINE Una qualsiasi matrice possiede delle sottomatrici quadrate. Ad esempio una matrice 3 x 5 possiede sottomatrici quadrate di ordine 1 , 2 , 3 e per tali sottomatrici è possibile calcolare il determinante.
⎛ 2 -2 0 4 1 ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜ 3 7 1 -3 8 ⎟ ⎜ 0 9 5 5 6⎟ ⎝ ⎠
Con minore si intende il determinante di una sottomatrice quadrata e con ordine la dimensione di tale sottomatrice. La caratteristica o RANGO di una matrice A, denotata con il simbolo r(A), è il massimo ordine dei minori non nulli.
RANGO E ORDINE (esempio) Determinare il rango della matrice Essendo A di dimensioni 3 x 4, la massima dimensione di una sua ⎛ 2 5 1 3⎞ sottomatrice quadrata è 3 e quindi r(A) ⎜ ⎟ ≤3. A = ⎜1 0 2 1⎟ Poiché la matrice A possiede almeno ⎜ 1 5 -1 2 ⎟ ⎝ ⎠ un elemento diverso da zero, il suo rango è sicuramente maggiore uguale a 1, quindi
1 ≤ r ( A) ≤ 3
Per stabilire se r(A) = 3 si devono calcolare i determinanti delle sottomatrici 3 x 3. Le sottomatrici di 3 x 3 possibili sono 4!!. Calcolo i determinanti.
⎛2 5 1 ⎞ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ 1 0 2 ⎟ ⎜ 1 5 -1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 5 3⎞ ⎜ ⎟ A2 = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜1 5 2⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 1 3⎞ ⎜ ⎟ A3 = ⎜ 1 2 1 ⎟ ⎜ 1 -1 2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛5 1 3⎞ ⎜ ⎟ A4 = ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎜ 5 -1 2 ⎟ ⎝ ⎠
RANGO E ORDINE (esempio) Una delle sottomatrici 3 x 3 è la seguente:
⎛2 5 1 ⎞ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ 1 0 2 ⎟ ⎜ 1 5 -1⎟ ⎝ ⎠ Regola facile per calcolare il determinante di una matrice 3 x 3:
⎛ 2 5 1 2 5⎞ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ 1 0 2 1 0 ⎟ ⎜ 1 5 -1 1 5 ⎟ ⎝ ⎠
1. si aggiungono 2 colonne uguali alle prime 2; 2. si addizionano i prodotti delle diagonali destra-sinistra; 3. si sottraggono i prodotti delle diagonali sinistra-destra.
det(A)= 0 + 10 + 5 - 0 - 20 + 5 = 0 Anche le altre sottomatrici 3 x 3 hanno determinante nullo. La matrice A ha rango 2.
DETERMINANTE DI UNA MATRICE DI ORDINE n In generale ad ogni matrice quadrata è possibile associare determinante reale che permette di stabilire l’invertibilità o meno di una matrice. Il calcolo del determinante è effettuato tramite lo sviluppo di Laplace . minore complementare n
det( A) = ∑ (−1) j =1
i+ j
aij det( Aij )
dove Aij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.
(−1)i + j det( Aij )
complemento algebrico
ESEMPIO ⎛ 1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 3⎟ ⎜ 0 4 1⎟ ⎝ ⎠
det( A) = (−1)1+11det A11 + (−1)1+2 0det A12 + (−1)1+31det A13
⎡ 1 3⎤ ⎡2 1⎤ det( A) = det ⎢ + det ⎢ = −3 ⎥ ⎥ ⎣ 4 1⎦ ⎣0 4⎦
