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c F i n e s s o , P a v o n , P i n z o n i 2 0 0 1 - 2 0 1 2 SEGNALI E SISTEMI (Ingegneria dell’Energia), a.a. 2013-2014 Lezione 1 (Marted`ı 1 ottobre, 16:30–18:15) 1.1 Informazioni generali Presentazione del corso, aspetti organizzativi e contenuti. 1.2 Richiami sui numeri complessi – parte I Il corso di Segnali e Sistemi presuppone la perfetta padronanza dei numeri complessi.Queste note non sostituiscono un testo di Analisi Matematica, al quale il lettore `e rinviatoper una presentazione sistematica.Un numero complesso a `e determinato da due numeri reali α e β , la parte reale e la parteimmaginaria rispettivamente. Solitamente si scrive a = α + jβ dove j `e l’unit`a immaginaria per cui vale j 2 = − 1In Matematica la notazione usuale `e z = x + iy , ma in Elettrotecnica i si `e compromessacon la corrente elettrica e in Segnali e Sistemi anche x,y e z sono gi`a impegnate.La parte reale e quella immaginaria si denotano α = Re a, β = Im a L’insieme dei complessi si denota C . Il sottoinsieme dei complessi a parte immaginarianulla si identifica con l’insieme dei numeri reali R . I complessi a parte reale nulla si dicononumeri immaginari o numeri immaginari puri. Attenzione! (a.) La parte immaginaria di a = α + jβ `e β (un numero reale), non jβ . (b.) L’insieme C non `e ordinato: non hanno alcun senso le scritture a < b o a > b tranumeri complessi. Hanno invece senso scritture del tipo Re a > Im b o Im a > Im b ecc.essendo, queste, relazioni tra numeri reali. 1.3 Rappresentazioni cartesiana e polare Poich`e un numero complesso `e specificato da due numeri reali `e naturale identificare a = α + jβ ∈ C con la sua rappresentazione cartesiana ( α,β ) ∈ R 2 . ReIm αβ aρφ 1 Il piano diventa allora una rappresentazione di C , l’asse delle ascisse si dice asse reale equello delle ordinate asse immaginario. Nel piano i punti si possono specificare assegnandole coordinate polari ( ρ,φ ), dove ρ > 0 `e il modulo e φ ∈ R la fase o argomento. La fase `einerentemente non unica: punti con lo stesso modulo e fasi che differiscono per multipli di2 π coincidono. Quando `e necessario avere una determinazione univoca della fase si prendeusualmente φ ∈ ( − π,π ], o in alcuni casi φ ∈ [0 , 2 π ).Dato il numero complesso a = α + jβ, la trigonometria fornisce α = ρ cos φ, β = ρ sin φ, quindi, nota la rappresentazione polare ( ρ,φ ) di un punto sul piano C il passaggio allarappresentazione cartesiana ( α,β ) `e univoco ed immediato.Il passaggio dalla rappresentazione cartesiana a quella polare richiede maggiore attenzione.Si ricorda che mentre il modulo `e univocamente determinato, l’argomento `e determinatoa meno di multipli di 2 π (tranne che nell’srcine dove `e indeterminato). Noti ( α,β ) latrigonometria fornisce ρ = α 2 + β 2 φ = arctan βα α > 0+ π 2 α = 0 , β > 0 − π 2 α = 0 ,β < 0arctan βα + π α < 0 , β > 0arctan βα − π α < 0 , β < 0 π α < 0 , β = 0Non serve memorizzare queste formule: in pratica basta calcolare arctan βα e aggiustarel’angolo in base al quadrante in cui si trova a . Fare gli esercizi! Notazioni. Si denota | a | = ρ il modulo di a e con una delle notazioni arg a = ∠ a = φ l’argomento. 1.4 Aritmetica in C Richiamiamo le operazioni aritmetiche in C . Siano a = α + jβ e b = γ + jδ . Somma a + b := ( α + γ ) + j ( β + δ )La somma `e associativa, commutativa, ha elemento neutro 0 = 0+ j 0 La rappresentazionecartesiana consente di dare un’interpretazione geometrica alla somma di numeri complessi(disegnare una figura!). Prodotto ab := ( αγ − βδ ) + j ( αδ + βγ )2 Il prodotto `e associativo, commutativo, distributivo rispetto alla somma, con elementoneutro 1 = 1 + j 0.Si osservi che per il calcolo del prodotto non `e necessario memorizzare la precedenteformula: `e sufficiente applicare le usuali regole dell’algebra reale e la regola j 2 = − 1 perottenere ab = ( α + jβ )( γ + jδ ) = ( αγ + αjδ + jβγ + j 2 βδ ) = ( αγ − βδ ) + j ( αδ + βγ ) Complesso coniugato a := α − jβ una notazione alternativa per il coniugato `e a ∗ . Si osservi che (dimostrarlo!) a + b = a + bab = ab Alcune utili espressioni con il coniugato sono le seguenti (dimostrarle!) a + a 2 = Re aa − a 2 i = Im aaa = ( α + jβ )( α − jβ ) = α 2 + β 2 = | a | 2 = ρ 2 L’ultima di queste formule `e utilissima per esprimere l’inverso di un numero complesso edil quoziente di due numeri complessi. Attenzione! Se a ∈ R allora a 2 = | a | 2 mentre se a ∈ C a 2 = ( α + jβ ) 2 = ( α 2 − β 2 ) + j 2 αβ, | a | 2 = aa = α 2 + β 2 , quindi a 2 = | a | 2 se a ∈ C \ R . Inverso moltiplicativo Se a = 0 1 a = aaa = α − jβ ( α + jβ )( α − jβ ) = αα 2 + β 2 − j β α 2 + β 2 Basta moltiplicare numeratore e denominatore per a e svolgere i calcoli. In particolarevale1 j = − j Quoziente ab = α + jβ γ + jδ = ( α + jβ )( γ − jδ )( γ + jδ )( γ − jδ ) == ( α + jβ )( γ − jδ ) γ 2 + δ 2 = αγ + βδ γ 2 + δ 2 + j βγ − αδ γ 2 + δ 2 Anche in questo caso non `e necessario memorizzare la formula per il quoziente: `e sufficientemoltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore ed eseguire icalcoli.3 1.5 Esponenziale complesso Per ogni a ∈ C si definisce e a := ∞ k =0 a k k !Questa definizione `e formalmente identica a quella che si d`a nel caso di a reale. Anche nelcaso complesso la serie `e assolutamente convergente e dunque vale e a + b = e a e b e quindi per a = α + jβ e a = e α + jβ = e α e jβ Particolare attenzione merita l’esponenziale immaginario puro. Dalla definizione e jβ = ∞ k =0 ( jβ ) k k !e si osservi che le potenze j k , k = 0 , 1 , 2 ,... assumono i valori 1 , j, − 1 , − j, 1 , j,... ripetendosi periodicamente con periodo 4. Una felice manipolazione fornisce allora e jβ = ∞ k =0 ( jβ ) k k ! = ∞ k =0 ( − 1) k β 2 k (2 k )! + j ∞ k =0 ( − 1) k β 2 k +1 (2 k + 1)! . Nelle due sommatorie si riconoscono le serie di Taylor della funzione cos β e sin β rispet-tivamente 1 . Si ricava cos`ı la fondamentale formula di Eulero e jβ = cos β + j sin β Da qui `e facile ricavare che | e jβ | = 1 ed estendere il risultato a | e a | = e Re a (dimostrare que-ste affermazioni!) Dalla periodicit`a di cos β e sin β si ricava e jβ = e j ( β +2 kπ ) . L’esponenzialeimmaginario `e periodico di periodo 2 π !In particolare per β = π si ottiene la portentosa e jπ + 1 = 0Questa formula non `e utile per s´e, ma contiene la summa della matematica settecente-sca, legando tra loro le principali costanti delle varie branche 0 , 1 ,j dall’algebra, π dallageometria, e dall’analisi. Non fermarsi un attimo ad ammirarla sarebbe imperdonabile.L’esponenziale immaginario `e strettamente legato alla rappresentazione polare dei numericomplessi. Basta osservare che per a ∈ C a = α + jβ = ρ (cos φ + j sin φ ) = ρe jφ = | a | e j arg a 1 Una funzione che ammette infinite derivate, uniformemente limitate, nell’origine, `e sviluppabile inserie di Taylor-MacLaurin f ( x ) = f (0) + f (0) x + f (0)2 x 2 + f (0)3! x 3 + ... . In questo modo si ricavacos β = 1 − β 2 2 + β 4 4! ... ed analogamente sin β = β − β 3 3! + β 5 5! ... . In queste due formule si riconoscono iprimi termini delle due serie nel testo. 4
