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a.a. 2002-2003
LOGICA E FONDAMENTI DI MATEMATICA Corso di laurea in scienze della formazione primaria Prof. Roberto Giuntini (
[email protected]) Ufficio 22; tel. 0706757299
La costruzione dei sistemi numerici PROGRAMMA PER L’ESAME
MODULO 1
1. Logica classica proposizionale La nozione di proposizione (enunciato). Relazioni n-arie e loro rappresentazione cartesiana. Funtori n-ari e loro rappresentazione come funzioni. I connettivi logici: , , , , . La formalizzazione del linguaggio naturale. Tavole di verità per i connettivi , , , , . Valori di verità e circuiti logici. Le nozioni di soddisfacibilità, falsificabilità, verità logica, contraddizione logica, equivalenza logica. Verità logiche (obbligatorie): “a fortiori”, “assorbimento di premesse”, “transitività di ”, “attenuazione della congiunzione e della disgiunzione”, “importazione delle premesse”, “esportazione delle premesse”, “idempotenza di e di ”, “commutatività di e di ”, “assorbimento”, “distributività di su ”, “distributività di su ”, “doppia negazione”, “contrapposizione”, “terzo escluso”, “Duns Scoto”, “leggi di de Morgan”, “leggi di Filone”. La nozione di regola di inferenza. Regole di inferenza (obbligatorie): “modus ponens”, “modus tollens”, “modus tollendo ponens”. La nozione di conseguenza logica. Teorema semantico di deduzione (dimostrazione obbligatoria): | sse | . 2. Teoria ingenua degli insiemi La definizione di insieme per enumerazione e per comprensione. Il principio di comprensione e il paradosso di Russell. Le relazioni di inclusione, di inclusione propria e loro proprietà. Insieme vuoto, singoletto, n-ple ordinate. L’insieme delle parti. Le operazione insiemistiche: intersezione (Teorema 3.1: dimostrazione obbligatoria); riunione (Teorema 3.2); complemento (Teorema 3.4 e Teorema 3.5). L’interpretazione insiemistica dei valori di verità e dei connettivi classici.
MODULO 2
3. Teoria delle relazioni Coppia ordinata e principio della coppia ordinata. Il prodotto cartesiano e le sue proprietà (Teorema 4.1). Relazioni binarie e loro grafi. Dominio e condominio di una relazione binaria. La conversa di una relazione binaria. Proprietà delle relazioni binarie: riflessività, irriflessività, simmetria, antisimmetria, transitività, linearità. Le nozioni di preordine, di ordine parziale e ordine totale. Le relazioni di equivalenza e le classi di equivalenza (Teorema 4.2: dimostrazione obbligatoria). Partizione di un insieme (Teorema 4.3: dimostrazione obbligatoria) 4. Teoria delle funzioni La definizione di funzione unaria. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. La definizione di funzione binaria. La nozione di chiusura di un insieme rispetto a una funzione. 5. I numeri cardinali La relazione di equipotenza e le sue proprietà (Teorema 6.1: dimostrazione obbligatoria). La definizione di numero cardinale. La costruzione dei numeri naturali (Teorema 6.2 : dimostrazione obbligatoria). Le operazioni sui numeri cardinali: somma, prodotto, potenza (Teorema 6.3).
MODULO 3 6. Il sistema dei numeri naturali La definizione di sistema dei numeri naturali. Il principio di induzione matematica. Teorema 4.1. La definizione delle funzioni somma, prodotto e elevamento a potenza. Teorema 4.2 (dimostrazione obbligatoria). Teorema 4.3 (dimostrazione obbligatoria). Teorema 4.5 (dimostrazione obbligatoria). Teorema 4.6 (dimostrazione obbligatoria). La definizione della relazione < e della relazione . La legge di tricotomia (Teorema 4.7). Teorema 4.8 (dimostrazione obbligatoria).
