Transcript
MAKALAH INTEGRAL GARIS Disusun untuk Memenuhi Tugas Kalkulus Lanjut 2 Dosen Pengampu : Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd
oleh Kelompok IV : 1.
Achmad Fauzan
(4101409004) (4101409004)
2.
Arina Dwi Nur Afriyani
(4101409016) (4101409016)
3.
Jefri Mahendra Kisworo
(4101409018) (4101409018)
4.
Hanifah Mawaddah
(4101409046) (4101409046)
5.
Taulia Damayanti
(4101409050) (4101409050)
Rombel 04 Hari Kamis pukul 07.00
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011
1
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Deskripsi
Makalah ini akan membahas tentang konsep dan cara menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua. 1.2. Prasyarat
Materi prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut: 1. Geometri Dasar 2. Kalkulus 1, Kalkulus 2, dan Kalkulus Lanjut 1 3. Materi sebelumnya tentang integral lipat dua dalam koordinat kartesius dan koordinat kutub 1.3. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut: 1. Bagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar? 2. Bagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada koordinat kartesius, koordinat silinder, dan koordinat bola? 1.4. Kompetensi Dasar dan Indikator
Kompetensi Dasar : Memahami dan menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua. Indikator : 1. Mengetahui dan memahami konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar, koordinat kartesius, koordinat silinder, dan koordinat bola. 2. Dapat menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar dengan menggunakan integral lipat dua. 1.5. Tujuan Pembelajaran Pembelajaran
Mahasiswa mampu memahami dan dapat mencari massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua.
2
BAB II PEMBAHASAN 2.1
MASSA DAN PUSAT MASSA SUATU KEPING DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Selain untuk menghitung isi benda padat, salah satu penggunaan lain dari integral lipat dua adalah untuk menentukan massa, pusat massa, dan momen inersia suatu keping datar dengan rapat masa yang tak homogen. Rapat massa keping di setiap titiknya bergantung pada letak titik tersebut, yaitu merupakan fungsi dua peubah. Kerapatan massa keping datar yaitu besar massa per satuan luas, dapat dinyatakan sebagai fungsi dalam
dan
≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤
biasanya disimbolkan dengan ( , ).
Dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa tak homogen yang
berbentuk daerah
=
,
,
pada atau
.
=
,
, dimana
dan
kontinu
, dimana
dan
kontinu
……(gambar.1)
,
,
pada [ , ] ……(gambar.2)
Rapat massa di setiap titik pada keping ( , ) pada keping di mana
adalah ( , )
merupakan fungsi kontinu pada D.
Kedua keping datar tersebut diperlihatkan pada gambar berikut:
=
( ) d
= ( )
∅
= ( )
o a
∅
=
c X
X
o
b
gambar 1
gambar 2
3
( )
2.1.1
Kontruksi Rumus Massa, Momen Terhadap Sumbu Koordinat dan Pusat Massa Keping
Buatlah jaring
∆
.
untuk keping
yang terdiri dari
buah persegi
panjang yang semuanya beririsan dengan daerah diperlihatkan pada gambar dibawah ini
∆
0
=
( )
Gambar 2
=
( )
∆
D
∆ =
seperti
Gambar 1
∆
( )
D
0
∆
∆ =
( )
Komponen jaring yang ke- i adalah
∆ ∆ ∆ ∆ =
Ukuran jaring ke-i didefinisikan sebagai persegi panjang diagonal terbesar dari persegi panjang
4
ditulis dengan lambang | |.
… ∆ ∆ ∆ ∆
Pilihlah titik ( , Keping
dapat dipandang sebagai sistem
,
titik maka
) pada komponen jaring ke- i.
, = 1, 2 ,
partikel yang terletak di
, . Jika massa partikel ke- i adalah
=
∆
,
,
Massa sistem n partikel tersebut adalah
=
=1
,
=1
Bentuk ini merupakan jumlah Riemann yang mempunyai limit karena
2.1.2
.
kontinu pada
Definisi Massa dan Pusat Massa Suatu Keping Datar dalam Koordinat Kartesius
∆ → ∆ Massa keping
didefinisikan sebagai limit dari jumlah Riemann ini,
yaitu
= lim |
| 0
=
,
=
=1
( , )
( , )
Momen Massa Keping D Terhadap Sumbu X
Momen massa keping terhadap sumbu
didefinisikan sebagai limit
jumlah Riemann dari momen massa sistem n partikel terhadap
sumbu , yaitu
∆ ∆ →
= lim |
=
| 0
,
=1
( , )
5
=
( , )
Momen Massa Keping D Terhadap Sumbu
Y
∆ → ∆ Momen massa keping terhadap sumbu
didefinisikan sebagai limit
jumlah Riemann dari momen massa sistem
partikel terhadap
sumbu , yaitu
= lim |
| 0
=
,
=
( , )
Pusat Massa Keping D
Pusat massa keping
=
( , )
=1
dan
adalah titik ( , ), dimana
=
,
=
,
CATATAN Perhatikan bahwa untuk menghitung integral lipat duanya kita mengambil proyeksi daerah
terhadap sumbu
atau terhadap sumbu
. Perhatikan
kembali kedua gambar pada masalah di atas, yang pertama bila
proyeksinya pada sumbu
adalah selang [ , ] sedangkan yang kedua,
bila proyeksinya terhadap sumbu
adalah selang [ , ]. Untuk
memudahkan perhitungannya, seringkali kita harus membuat transformasi ke koordinat kutub.
2.2
MOMEN INERSIA PADA SUATU KEPING DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Momen suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap disebut momen pertama, yang didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel dengan jaraknya
terhadap
titik
atau
garis
tersebut.
Sekarang
kita
akan
mendefinisikan momen kedua dengan cara serupa tetapi jaraknya diganti oleh kuadrat jaraknya.
6
Momen kedua suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap, dikenal sebagai momen inersia, didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kuadrat jarak partikel terhadap titik atau garis itu. Berikut ini definisinya secara matematis.
Definisi Momen Inersia, Momen inersia dari partikel dengam massa
≤≤ ≤≤ ∅ ≤≤ ≤≤ ∅ ∆→ ∆ dan jaraknya
satuan dari garis
=
, ditulis
, didefinisikan sebagai
2
Seperti halnya dengan momen pertama untuk keping datar
inersia dari keping
terhadap kedua sumbu koordinat didefinisikan sebagai
limit jumlah dari momen inersia sistem koordinat itu. Sistem
( ,
, momen
-partikel terhadap kedua sumbu
-partikel tersebut masing-masing terletak di titik
) dengan rapat massa
( ,
) .
Dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa terdistribusi secara
kontinu berbentuk daerah tertutup
= {( , )|
yang dapat ditulis sebagai
,
(
}, di mana
dan
,
(
}, di mana
dan
kontinu pada [ , ]
atau
= {( , )|
kontinu pada [ , ]
Rapat massa di setiap titik ( , ) pada keping
mana
merupakan fungsi kontinu pada
terhadap sumbu koordinat dan titik asal
( , ), di
adalah
, maka momen inersia keping
didefinisikan sebagai berikut
Momen Inersia Terhadap Sumbu
= lim
=
2
0
2
,
=
=1
,
7
2
,
Momen Inersia Terhadap Sumbu
∆ ∆ →
= lim |
=
| 0
2
,
=
=1
2
,
Momen Inersia Terhadap Titik
=
2
,
+
Jari-jari kitaran
Jari-jari kitaran (radius of gyration) suatu keping
terhadap suatu sumbu
didefinisikan sebagai bilangan positif yang memenuhi
2
di mana
=
adalah adalah momen inersianya terhadap sumbu itu dan
adalah massa kepingnya.
2.3
MASSA, PUSAT MASSA, DAN MOMEN INERSIA SUATU BENDA DALAM KOORDINAT KARTESIUS
Salah satu aplikasi dari integral lipat tiga adalah untuk menentukan massa dan pusat massa dari benda pejal berdimensi tiga. Konsep massa dan pusat massa dikembangkan dari konsep yang sama pada pelat datar yang sangat tipis yang disebut lamina. Tiga macam sistem koordinat dapat digunakan dalam menghitung integral, namun pemilihan sistem koordinat yang akan dipakai harus tepat agar dalam melakukan integral menjadi lebih mudah.
8
Konsep massa dan pusat massa digeneralisasi secara mudah ke daerah-daerah benda pejal. Besar kerapatan massa dari benda pejal berdimensi tiga adalah menyatakan besarnya massa tiap satuan volum.
Khusus benda pejal yang homogen kerapatan massa pada titik ( , , ) biasa dinotasikan dengan
( , , ) berupa konstanta. Saat ini, proses yang
mengarah pada rumus integral yang benar telah dikenal dengan baaik dan dapat diringkas dalam sebuah motto, yaitu iris, hampiri, integralkan. Sebagaimana dalam pembahasan pusat massa lamina, dalam benda pejal juga dikenal istilah total massa, total momen inersia, dan pusat massa. Dengan langkah penurunan yang serupa seperti pada lamina, kita peroleh beberapa rumus untuk benda pejal berikut Total Massa
=
, ,
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
=
2
+
2
, ,
9
.
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
2
=
2
+
.
, ,
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
2
=
2
+
, ,
Pusat Massa Benda Pejal
, ,
=
,
,
10
.
2.4
MASSA, PUSAT MASSA, DAN MOMEN INERSIA SUATU BENDA DALAM KOORDINAT SILINDER
Ketika sebuah daerah benda padat
dalam ruang bedimensi tiga
mempunyai sebuah sumbu simetri, maka perhitungan integral lipat tiga atas
seringkali dipermudah dengan menggunakan koordinat silinder. Koordinat
silinder dan koordinat kartesius saling dihubungkan oleh persamaan – persamaan
= cos =
sin
=
2
+
2
2
=
Ketika dituliskan dalam koordinat silinder. Sebagai hasilnya, fungsi
( , , ) ditransformasikan menjadi , ,
=
cos , sin ,
=
, ,
=
Dengan langkah penurunan yang serupa seperti pada lamina, kita
peroleh beberapa rumus untuk benda pejal pada koordinat silinder adalah berikut Total Massa
=
, ,
2
=
1
2(
1(
)
)
2(
1(
, )
, )
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
11
cos , sin ,
Momen Inersia Terhadap Bidang
=
(
2
+
2
)
.
, ,
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
2
=
+
2
.
, ,
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
=
2
+
2
, ,
12
.
Pusat Massa Benda Pejal
, ,
2.5
=
,
,
MASSA, PUSAT MASSA, DAN MOMEN INERSIA SUATU BENDA DALAM KOORDINAT BOLA
Koordinat bola dan koordinat kartesius saling dihubungkan oleh persamaan – persamaan
=
sin
cos
= sin
sin
=
cos
Ketika dituliskan dalam koordinat bola. Sebagai hasilnya, fungsi ditransformasikan menjadi
≤≤ ≤≤ , ,
=
dimana, 0 dan 0
sin
cos , sin =
2
sin , cos
=
( , , )
, ,
sin
2 dari sumbu
2 dari sumbu
positif ke sumbu
positif ke sumbu
negatif
negatif
Dengan langkah penurunan yang serupa seperti pada lamina, kita peroleh beberapa rumus untuk benda pejal pada koordinat bola adalah berikut Total Massa
=
, ,
=
, ,
13
2
sin
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
=
(
2
+
2
)
.
, ,
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
sin
sin
, ,
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
=
(
2
+
2
)
, ,
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
=
sin
cos
, ,
14
.
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
=
Momen Inersia Terhadap Bidang
=
(
2
2
+
.
) ( , , )
Pusat Massa Benda Pejal
, ,
=
,
,
CONTOH SOAL 1.
Carilah massa, momen massa terhadap kedua sumbu, dan pusat massa dari lamina segitiga
dengan titik sudut (0,0), (1,0) dan (0,2) jika fungsi
,
kerapatannya adalah
=1+3 + .
(James Stewart. 1999. Kalkulus Edisi Keempat. Halaman: 360) Penyelesaian: Daerah Y
yang terjadi adalah
− =2
2
2
D X 0
1
15
−− −− ⟺ −− ⟺⟺− − − ≤≤ ≤≤ − − − − − − − − − − − − − − Dari titik 1,0 dan (0,2) didapat persamaan perbatasan daerah
0
2
=
0
(
1
0
1
1
=
2
yaitu:
1
)=2
=2
2
2
Apabila daerah
dipartisi terhadap sumbu
, diperoleh daerah integrasi
yaitu:
=
,
0
1, 0
Massa lamina
2
2
adalah
12 2
=
,
=
1+3 +
0
1
=
2
+3 +
2
0
0
1
=2 2
3 1
=4
=0
2
1
=4
3
0
8
Jadi, massa lamina
adalah satuan massa. 3
Momen massa keping
terhadap sumbu 12 2
=
,
=
(1 + 3 + )
0
2
12 2
1
=
+3
0
2
+
=
2
+3
2
2
+3
2
2
2
+
0
1
=
2
2
+
0
1
=
2
2
2
+6
2
6
3
+
0
16
(4
2
2
2
2
8 +4 2
2
)
2
=2 2
=0
=
0
8 3
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− −− 1
1
=
2
2
2
2
+6
3
6
+2
2
4
3
+2
=
0
4
4
3
0
1
4 1
2
3
=4
=4
2
0
Jadi, momen massa keping Momen massa keping
=4
4
0
1
1
2
4
terhadap sumbu
1
= 4.
=1
4
adalah 1.
terhadap sumbu 12 2
=
,
=
1+3 +
0
0
12 2
1
=
+3
0
1
=
=
0
3 +1
2
2
1
2
3 +1 2
2
2
4
8 +4
2
4
8 +4
2
+
2
2
=
20 + 28
=
0
=
+
2
3
=0
3
2
1 3
(2
+
2 ) 2
2
2
2
2
3
6
2
40
56 + 20
3
+ 28
2
6
0
1
2
5 +7
0
1
+
2
1
+
=2 2
3
3
3
3 +1
0
=
2
2
2
0
1
=
=
0
0
1
2
+
1
20
6
5
2
6
3
3
2
3+
2
28 6
6 +
=
5
Jadi, momen massa keping
28
4
=
6
20
=
terhadap sumbu
17
4
12
18+28
6
2
3
3
3
11 6
.
adalah
11 6
.
2
+
28 6
1
0
Pusat massa lamina
=
=
=
1 3 = . 8 8 3
11 11 3 33 11 = 16 = . = = . 8 16 8 48 16 3
Pusat massa lamina
2.
berada dititik
→→
Diketahui suatu keping
= 8 dan sumbu
grafik
,
adalah
=1+
3 11
,
8 16
.
yang dibatasi oleh suatu grafik fungsi
, tentukan momen inersia dari keping
, sumbu
keping
terhadap sumbu . (Koko Martono, halaman 69).
2 3
= 0,
= 0.
= 8,
= 4.
yang terjadi adalah Y
=
2 3
4
2
DD
X 0
,
terhadap
, dan titik O. Kemudian tentukan juga jari-jari kitaran
Penyelesaian:
Daerah
2 3
. Jika rapat massa di setiap titik ( , ) pada
sumbu
Grafik =
=
2
4
8
6
18
≤≤ ≤≤ Apabila daerah
=
,
dipartisi terhadap sumbu
0
2 3
8, 0
Momen inersia keping
terhadap sumbu 2 3
8
2
=
,
, sehingga daerah integrasi
2
=
1+
0 0
2 3
8
2
=
3
+
2 3 3
=
3
0
=
9
2 4 3
+
+
56
=
9
3584 + 55296 63
=
3
0
512
+
2
+
3.84 . 83 56
58880 63
= 3
1
4
4
=0
11 3
2
=
=
+
3
=
4
512 9
+
3.83 . 22 7
+
9
=
2
,
56
9
+
0
6144
adalah 934,6
terhadap sumbu 2 3
8
=
14 8 3
= 934,6
terhadap sumbu
Momen inersia keping
3
512
Momen inersia keping
8
4
14 3
3 8
3
3
0
8
=
1
=
0 0
83
2
8
2
=
1+
0 0
2 3
8
8
2
=
+
3
0 0
8 3
+
0
= =
3.211 11
+
73728 11
+
0
8
=
2
=
1 2
13 3
3.25 . 211 32
=
=
3
11 3
11
6144 11
+
1
19
3 2
2
3
32
+ 6144 =
= 6702,5.
2 3
16 8 3 0
0
=
11
16
3.8 3
3.8 3
11
+
6144 + 67584 11
32
7
Jadi, momen inersia keping
adalah 6702,5.
Momen Inersia terhadap titik O adalah
=
terhadap sumbu
+
= 934,6 + 6702,5 = 7637,1
Untuk menentukan jari-jari kitaran keping D terhadap sumbu y, kita harus menghitung dahulu massa keping. Massa keping
2 3
8
=
,
=
1+
=
0 0
8
2 3
=
+
0
864
=
5
1
7 3
2
=
5
5 3
+
3
20
10 8 3 0
=
3.25 5
memenuhi
=
=
6702,5
≥
Diketahui keping 2
3.210 20
=0
=
96 5
+
768 5
+
pada keping
2
> 0 yang
= 38,79
172,8
Jadi, jari-jari kitaran keping D terhadap sumbu
lingkaran
2
2
adalah bilangan
= 6,228
3.
+
1
= 3
= 172,8.
Jari-jari kitaran keping D terhadap sumbu
2
+
0
3
2
8
adalah 6,228
berbentuk daerah tertutup yang dibatasi oleh setengah
= 10 ,
0 dan sumbu
,
adalah
. Jika rapat massa disetiap titik
2
=1+
+
2
tentukan massa keping,
momen massa terhadap kedua sumbu koordinat dan titik pusatnya. (Koko Martono. Halaman : 66) Penyelesaian: Persamaan lingkaran Sehingga diperoleh:
⟺ − 2
+
2
= 10
20
2
+
2
10 = 0.
Pusat lingkarannya adalah
− − − − − − − − 1 2
1
,
1
=
2
1
. 0,
2
.
2
10
= 0,5 .
Jari-jarinya adalah
1
=
2
4
Daerah
+
1
2
=
4
1 4
.0 +
1
10
4
2
1
0=
4
. 1 00 = 25 = 5.
yang terjadi adalah
≥
Y
2
10
+
2
= 10 ,
10
D
5
X
0
Daerah
=
dibawa ke dalam koordinat kutub, diperoleh
≥
2
2
10
+
2
= 10 ,
10
D
5
0
=0
⟺ ⟺ ≤≤ ≤≤ 2
Dalam koordinat kutub, persamaan lingkaran sebagai 2
2
= 10 ,
= cos , dan
=
+
2
= 10
sin .
= 10
2
= 10 sin
= 10 sin
Sehingga daerah integrasi
=
,
21
0
2
,0
10 sin
ditulis
,
Rapat massanya dalam koordinat kutub menjadi
=1+
=
elemen luasnya menjadi
.
dan
Massa keping
2 10 sin
=
,
=
,
=
2 10sin
2
2
=
0
2
=
3
+
3
1000 3
100
0
3
1
3
0
1000
0
1
=
0
0
=
+
1+
+
10 sin
2
2
0
2
2
2
2
2
2
+ 50
0
0
⟺ −− , sin2
+ cos2
sin2
=1
sin
=1
=
− − − − − − − − ≈ =
=
= =
2
1000 3
2
1000 3
0
2
2
3
3
3
1
1
3
+
50
4
Jadi, massa keping
Momen massa keping
=
+ 50
0
0
1000 2 3
+ 50
0
1000 1 3
2
1
,
+
+
50 2
0
50
2
2
0
0 =
2
0
50 sin2 2
9
+
terhadap sumbu
22
2
50
2
2000
sin
1
2
1
adalah 237,9
=
1
,
4
25 2
2
1 2
2
0
237,9
2
cos 2 cos
− − − − − − − − − − − 2 10 sin
=
0
sin
1+
3
+
0
2 10 sin
=
0
2
=
0
sin
2
sin
0
1
4
4
sin
+
1
10 sin
3
3
0
2
sin5
= 2500
sin
+
2
1000 3
0
sin4
0
2
= 2500
cos2
1
2
cos
+
1000 3
0
2
0
1
1
2
2
2
cos2
2
= 2500
1
2cos2
1
1
+ cos4
cos
0
+
1000 3
2
1 cos2 + cos2 2 2 4
4
0
2
= 2500
2
1
cos
+
1000 1 3
4
2cos 2
+
0
2
cos4
cos
0
2
0
1
1
4
2
0
2
cos2
+
0
2
1 4
cos2 2
,
0
,cos2 = 2 c os2
= 2500
cos
2 0
+2
cos
cos3 3
23
2
0
cos5 5
2
0
+1
− − − − − − − +
1000 1 3
4
= 2500
0
+
2 0
1
3
= 2500
8
= 2500 4000 3
1 3
3 1 5
5+3 15
+
2
0
4
0 +
2
2
+
1 sin2
2
125 2
+
1 5
+ +
+
3
3
8
1000 3
8
8
+
1
+
8
+
,
terhadap
=
cos
cos
1+
3
+
0
2 10 sin
=
0
2
=
0
cos
2
cos
0
1 4
4
cos
1 5
1 1 8 4
1 4
sin4
2
0
2
0
1 2
+
1 8
8 2
= 2500.
8
15
+
1000 3 . 3 16
+
adalah 1529,7.
1 3
10 sin
3
cos
0
24
,
2 0
1
terhadap sumbu
2 10 sin
0
2
0
+
0 +
16
cos4 + 1
= 1529,7.
Momen massa keping
=
4
2
0
1000
1
cos4
1000
Jadi, momen massa keping
=
2
2
0
3
1 4
+
1
1 +2 0
1000
= 2500 1
=
−
=
10000 4
2
sin4
cos
1 5
= 500 +
2
sin5
+
0
250 3
=
1750 3
Jadi, momen massa keping
Pusat massa keping
=
=
=
1000 3
0
= 2500
=
+
583,3 237,9
1000 1 3
4
sin4
2
sin3
cos
0
2
0
= 583,3.
terhadap
adalah 583,3.
adalah
= 2,5
1529,7 237,9
= 6,4
Jadi, pusat massa keping
adalah
25
,
= 2,5; 6,4
BAB III PENUTUP
3.1. Simpulan
1. Jika dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa tak homogen yang
≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ berbentuk daerah
=
.
,
,
,
, dimana
dan
kontinu pada
,
, dimana
dan
kontinu pada
atau
=
,
[ , ]
Rapat massa di setiap titik pada keping ( , ) pada keping
( , ) di mana
adalah
merupakan fungsi kontinu pada D.
Maka diperoleh:
Massa keping Momen
massa
( , )
Momen
( , )
.
keping
terhadap
sumbu
adalah
=
keping
terhadap
sumbu
adalah
=
.
massa
( , )
=
adalah
.
Pusat massa keping
adalah titik
,
=
,
.
Momen inersia terhadap sumbu
adalah
=
2
,
.
Momen inersia terhadap sumbu
adalah
=
2
,
.
Momen inersia terhadap titik O adalah Jari-jari kitarannya adalah
2
=
+
.
=
2. Massa, pusat massa dan momen inersia pada koordinat kartesius adalah Total massanya adalah
∶ =
, ,
Total momen inersia terhadap sumbu
Pusat benda relatif terhadap sumbu Z adalah
26
=
=
, ,
Momen inersia terhadap bidang 2
=
2
+
adalah
, ,
,
Secara serupa , dapat diperoleh
, , , ,
selanjutnya pusat
massa benda pejal adalah ( , , ).
3. Massa, pusat massa dan momen inersia pada koordinat silinder adalah
Total massanya adalah 2
=
1
2(
) ( ) 1
2(
, ) ( , ) 1
=
, ,
cos , sin ,
Total momen inersia terhadap sumbu Z adalah =
, ,
Pusat benda relatif terhadap sumbu
adalah
=
Momen inersia terhadap bidang
adalah
=
2
)
(
2
+
, ,
,
Secara serupa , dapat diperoleh
, , , ,
selanjutnya pusat
massa benda pejal adalah ( , , ).
4. Massa, pusat massa dan momen inersia pada koordinat bola adalah Total massanya adalah
=
2
, ,
=
, ,
sin
Total momen inersia terhadap sumbu Z adalah
=
( , , )
2
sin
Pusat benda relatif terhadap sumbu
adalah
Momen inersia terhadap bidang
adalah
=
(
2
+
2
) ( , , )
2
Secara serupa , dapat diperoleh
massa benda pejal adalah ( , , ).
27
=
sin ,
, , , ,
selanjutnya pusat
DAFTAR PUSTAKA J. Purcell, Edwin. dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Martono, Koko. 1990. Kalkulus Integra Lipat Dua. Bandung: Institut Teknologi Bandung. Stewart, James. 1999. Kalkulus Edisi Keempat . Jakarta: Erlangga Sugiman. 2003. Kalkulus Lanjut. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.
28
