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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas - CCE Departamento de Matemática MAT093, MAT095 e MAT 097 Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral Apostila DMA - UFV 010 Sumário 1 Função Noções básicas Domínio e imagem de uma função Funções pares e ímpares Função Crescente e Decrescente Função Modular Composição de funções Funções inversíveis Funções eponenciais e logarítmicas Funções trigonométricas Funções trigonométricas inversas Eercícios de Geometria Analítica Limites e continuidade 19.1 Noção intuitiva de limite Teorema do confronto (ou do sanduíche ) Limites Fundamentais Continuidade Teoremas Assíntotas Derivadas Coeficiente Angular da Reta Regras de Derivação Regra da Cadeia Funções trigonométricas Derivação Implícita Teoremas Antiderivadas Introdução Métodos de Integração Integração por substituição ou mudança de variável SUMÁRIO 4.. Integração de potências de funções trigonométricas Integração por Partes Integração por Frações Parciais Integração por Substituição Trigonométrica Integral Definida Introdução Propriedades da Integral Definida Área entre Curvas Construção de Gráficos Funções Crescentes e Funções Decrescentes Etremos de Funções Teste da Derivada Primeira para Etremos Relativos Teste da Concavidade Teste da Derivada Segunda para Etremos Relativos Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas Esboço de Gráficos Aplicações de Derivada Taas de Variação Taas Relacionadas Problemas de Otimização Diretrizes para a resolução de problemas de otimização Capítulo 1 Função 1.1 Noções básicas 1. O que é uma função? Dê um eemplo. A equação satisfeita pelos pontos de uma circunferência é uma função?. O que são o domínio e a imagem de uma função? 3. O que é variável? Considere uma função em que a variável está indicada por. Se trocarmos por outra letra, por eemplo t ou s, a função muda? Estabeleça as diferenças entre variável independente e variável dependente. 4. Quando duas funções são iguais? 5. O que é um par ordenado? Dê eemplos práticos. 6. O que se entende por plano cartesiano e coordenadas de um ponto no plano? 7. O que se entende por gráfico de uma função? 8. O que entendemos por função polinomial? Eercícios 1. Dadas as curvas representadas na figura 1.1, quais representam gráfico de função? Justifique sua resposta.. Dadas as funções f() = + 1 e g() = + 1, pede-se (a) Calcular f(0), g(0), f() e f(3) + g(); (b) f(1 + a) é igual a f(1) + f(a), onde a é um número real? (c) Eiste algum que anula f ou g? Caso eista, determine-o(s). 3 4 Função y y 500 y Figura 1.1: Eercício 1 1. Domínio e imagem de uma função Domínio de uma função f É o conjunto de todos os valores admissíveis de (variável independente) e o denotamos por D f. Eemplo: Para f() = 1, temos D f = { R : 1 0} = { R : 1 ou 1}. Imagem de uma função f É o conjunto Im f de todos os valores y tal que f() = y, para algum no domínio de f. Em notação de conjunto escrevemos Im f = {y R : D f com f() = y}. Qual é o conjunto imagem da função f() = 1? Eercícios 1. Seja f() = a + b, onde a, b R. Esta é uma função polinomial de grau 1 (ou afim se b 0 e linear caso b = 0). Seu gráfico é uma reta, que pode ser obtida com apenas dois pontos distintos. Pede-se: (a) D f. (b) Traçar os gráficos da função f, no mesmo plano cartesiano, para a = e b assumindo os seguintes valores:, 0 e 3. (c) Onde as retas obtidas acima interceptam o eio y (eio das ordenadas)? Há alguma relação com o valor adotado por b? Por que isto ocorre? Como o valor b é chamado? (d) Mantendo a fio e variando o valor de b o que ocorre com as retas resultantes? Como o valor a é chamado? (e) Traçar os gráficos da função f, no mesmo plano cartesiano, para b = e a assumindo os seguintes valores: 5, 0 e 1. Domínio e imagem de uma função 5 (f) Que característica observada nos gráficos deve-se ao valor adotado por b? (g) Descreva suas observações referentes à influência do valor adotado por a no traçado das retas. E, quando a = 0, qual o nome dado à função obtida? (h) Calcule o valor em que cada reta, obtida no item (e), intercepta o eio das abcissas, ou seja, calcule as raízes das funções. (i) Para que valores de R temos f() 0 ou f() 0, considerando as funções obtidas no item (e). Estas funções são crescentes ou decrescentes?. Seja h(t) = at + bt + c, onde a, b, c R, com a 0. Esta é uma função polinomial de grau (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. Pede-se: (a) Traçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para a = 1, b = e c assumindo os seguintes valores: 3, 1 e 4. (b) Considerando o item (a) responda, em que ponto cada curva intercepta o eio das ordenadas? Comente a relação eistente com os valores adotados por c. (c) Determine, justificando suas respostas, para que valores de c a função h admite: i. duas raízes reais; ii. uma raiz real; iii. nenhuma raiz real. (d) Calcule as raízes das funções obtidas no item (a). (e) Esboçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para b = 0, c = 3 e a assumindo os seguintes valores: 1, 1 e. (f) O valor de a pode influenciar o número de raízes reais de h? Justifique. (g) Determine o intercepto das curvas com o eio das ordenadas e verifique sua relação com os valores de c. (h) Descreva a(s)característica(s) determinada(s) pelo valor de a. (i) Para que valores de t R temos h(t) 0 e h(t) 0, das funções obtidas no item (a)? (j) Determine o ponto de máimo ou de mínimo das funções obtidas no item (e) e avalie sua concavidade. 3. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções e encontre o domínio e a imagem de cada uma: { 1 +, se (a) f() = 1, se 9, se 0 (b) f() = 9, se 0 3 16, se 3 6 Função 4. Qual o domínio das funções abaio? (a)f() = + 1 (c)f() = (e)f() = 1 (b)f() = ( 3 + 3)( 1) (d)f() = As funções reais f e g cujas leis de formação são f() = são iguais? Justifique sua resposta e g() = Em um curso de cálculo é fundamental conhecermos os gráficos das funções e entender o que eles significam. Não precisamos conhecer o gráfico de todas as funções mas ao menos o das principais. Os gráficos das funções polinomiais de grau 1 e já são conhecidos (a reta e a parábola). É interessante conhecer também os gráficos das funções de grau 3, mas mais importante é entender o que ele significa. Vamos estudar um pouco o gráfico de uma função cúbica (grau 3). Consideremos, por eemplo, g() = = ( 3)( + 1)( + ). O gráfico de g está ilustrado na figura 1. abaio: y Figura 1.: Eercício 6 (a) Determine os valores para os quais g() = 0 (as raízes de g). (b) Determine os subconjuntos dos números reais onde g() 0 e onde g() 0. (c) Esboce o gráfico da função h() = g(). 7. Relacione as funções dadas abaio com seus respectivos gráficos ilustrados na figura 1.3 (basta estudar as raízes de cada função). (a) f() = 4 (b) g() = = ( 4)( 3)(?)(?) (c) h() = = ( 5)( 4)( 3)( + 1)( + 3) Funções pares e ímpares 7 (d) p() = + (e) r() = 5 3 y 5 y y y 3 1 y Figura 1.3: Eercício 7 8. Dadas as funções f() = 4 e g() = 3. Determine: ( ) f (a) (f + g)(), (f g)(), (f g)(), (). g (b) Domínio de f, g, f + g, f g, f g, f g. 9. Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que a taa média diária de monóido de carbono (CO) no ar será de C(p) = 0, 5p + 1 partes por milhão, quando a população for de p milhares. Imaginemos que, daqui a t anos, a população da comunidade será de p(t) = , 1t milhares. (a) Epresse a taa de CO no ar como uma função do tempo. (b) Quando o nível de CO atingirá 6, 8 partes por milhão? 10. A função f definida em R {} por f() = + é inversível. O seu contradomínio é R {a}. Calcule a. 1.3 Funções pares e ímpares Uma função f é dita: par se f( ) = f() para todo em seu domínio e 8 Função ímpar se f( ) = f() para todo em seu domínio. Eemplos A função f() = é par, pois f( ) = ( ) = = f() e a função g() = é ímpar, pois f( ) = = () = f(). O que você pode concluir com relação ao gráfico destas funções? Já a função h, dada por h() = + 1 não é nem par nem ímpar (Verifique!). Eercícios 1. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhum destes dois. (a) f() = 3 (b) g() = (c) h() = 1 (d) q(t) = t + 1. O produto de duas funções pares é par? E o produto de duas funções ímpares? Justifique suas respostas! 3. Uma função pode ser simultaneamente par e ímpar? Jusifique sua resposta! 1.4 Função Crescente e Decrescente Uma função é dita crescente no intervalo (a,b) se, e somente se, 1, (a, b) com 1 f( 1 ) f( ) Uma função é dita decrescente no intervalo (a,b) se, e somente se, 1, (a, b) com 1 f( 1 ) f( ) 1.5 Função Modular É a função f : R { R definida por f(u) = u. Ela também pode ser escrita da u, se u 0 seguinte forma: f(u) = u, se u 0 Eemplo: 1. Seja f : R R definida por f() = 1 = { ( 1), se 1 0 ( 1), se 1 0. Composição de funções 9 Logo temos f() = 1 = Eercícios { 1, se 1 ou 1 + 1, se 1 Construa o gráfico de cada função modular dada abaio e determine o seu domínio e sua imagem. u + (a) t(u) = u + (b) r() = Considere a função f definida por f() = 1. (a)escreva f() eliminando o módulo, ou seja, escreva f() definida por várias sentenças. (b)faça um esboço do gráfico de f. 1.6 Composição de funções Definição: Sejam f e g duas funções tais que Imf D g. A função dada por y = g(f()), D f denomina-se função composta de g e f. É usual a notação g f para indicar a composta de g e f. Assim (g f)() = g(f()), D f. Observe que g f tem o mesmo domínio que f. O domínio de uma função composta f g é: D f g = { D g : g() D f }, onde D g é o domínio de g e D f é o domínio de f. Eercícios 1. Usando funções elementares, decomponha as funções abaio, conforme pedido: u() = ( ) 10 u() = g(f()), onde f() = e g() = 10. (a) r() = ( funções) ( ) (b) f() = (3 funções) 3 10 Função. Se f() = 4 5, g() = e h() = 1, resolva: (a)f(g(0)) (b)g(f(0)) (c)h(f(g())) (d)h(h(g())) 3. Sejam as funções f() = + 1 se 0 se 0 4 3 se e g() = + 1 (a)faça um esboço do gráfico de f. (b)encontre o domínio de g f. (c)encontre (f g)(). 4. Sejam f e g funções tais que f() = 1 9 e g() = 16. (a)encontre o domínio de f g. (b)encontre (f g)(). 1.7 Funções inversíveis Uma função f é bijetora quando para todo y em seu contra-domínio eiste um único no domínio de f tal que f() = y. Uma função f : X Y se diz inversível se eiste uma função g : Y X, tal que g(f()) = id X (), e f(g(y)) = id Y (y), ou seja, a função g associa o valor y = f() ao valor g(y) =. A função g é chamada de função inversa de f e é denotada por f 1. Uma função é inversível se, e somente se, for uma função bijetora. Eercícios 1. Determine a inversa f 1 e verifique que (f f 1 )() = (f 1 f)() =. (a) f() = + 3 (b) f() = (c) f() = 3 1 (d) f() = ln( ) (e) f() =, 0 Funções eponenciais e logarítmicas 11. Determine y nas seguintes equações: (a) lny = t + 4 (b) ln(y 1) ln = + ln 3. Considere f() = ln( ) (a) Esboce o gráfico de f; (b) Justifique que f é inversível; (c) Encontre a inversa de f eibindo seu domínio e sua imagem; (d) Esboce o gráfico de f Funções eponenciais e logarítmicas Se a for um número real positivo qualquer, a função f() = a é chamada função eponencial de base a. O gráfico de uma função eponencial é crescente caso a 1, figura 1.8 abaio à esquerda, e decrescente para 0 a 1, figura 1.8 abaio à direita. y 6 4 y Figura 1.4: Representação gráfica da curva a, a esquerda para a 1 e à direita para 0 a 1. Se a e b forem números positivos e e y números reais quaisquer, então 1. a a y = a +y. (a ) y = a y 3. a a y = a y 4. (ab) = a b 5. a 0 = 1 1 Função A cada positivo corresponde um único y tal que = a y. Escrevemos y = log a e chamamos y de logaritmo de na base a. Conseqüentemente, y = log a tem o mesmo significado que = a y. Considerando isso, a função logarítmica de base a, g() = log a (), tem as seguintes propriedades: 1. log a (y) = log a () + log a (y) ( ). log a = log y a () log a (y) 3. log a (1) = 0 4. log a ( y ) = ylog a () O gráfico de uma função logarítmica de base a é crescente se tivermos a 1, vide figura 1.5 à esquerda, e é decrescente no caso de 0 a 1, vide figura 1.5 abaio à direita. y y Figura 1.5: Representação gráfica da curva log a, a esquerda para a 1 e à direita para 0 a 1. Eercícios 1. Considere as funções f() = e g() =. O que as diferencia? As propriedades de potências são válidas para ambas as situações? ( ) 1. Faça um esboço dos gráficos das funções: f() = e g() = e responda: (a) Em que ponto cada gráfico corta o eio das ordenadas? (b) De modo geral, quando a função eponencial será crescente? E decrescente? (c) Para que valores de as funções acima estão definidas? Quais os valores que f() pode assumir? 3. Determine o domínio das funções definidas pelas epressões abaio (e =, 718). (a) f() = e 1 Funções trigonométricas 13 (b) f() = e Faça um esboço do gráfico da função f() = log e responda às questões (a), (b) e (c) do eercício. Que conclusões pode-se retirar, observando-se os gráficos das funções f() = e f() = log? Qual a relação entre as respostas do eercício com as dadas neste eercício? 5. Sabendo-se que log e = 0, 69 e log e 3 = 1, 09 calcule log e 6 e log e Determine o domínio da função definida pela epressão: 7. Resolva as equações abaio: (a) 8 +1 = 4 + (a)f() = ln( + 1) (b)y = log ( 1)( ) (b) (log log 5 1) + log 5 ( 3 7) = 0 (c) 5 3 = 1 (d) log 5 + log 5 ( 3) = log Funções trigonométricas Considere uma circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas e raio 1. Imagine agora um ponteiro preso no centro do círculo com etremidade final P, como o do relógio, mas girando no sentido anti-horário a partir do ponto D(1, 0). Se o ângulo que o ponteiro faz com o eio das abscissas é radianos, então as coordenadas da etremidade P do ponteiro que está sobre a circunferência são eatamente (cos, sen). Veja a figura 1.6 abaio: r 1 B O P A C D Figura 1.6: figura ilustrativa do ciclo trigonométrico. Assim, temos OA=cos e OB=sen. Definimos a função seno como a função f de R em R que a cada 0 faz corresponder o número real y =sen (abscissa de P ) e a cada 14 Função 0, faz corresponder a abscissa do ponto P, mas girando no sentido horário a partir do ponto (1, 0). Analogamente, definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cada R faz corresponder o número real y =cos (ordenada de P ). O domínio da função cosseno é R e a imagem é o intervalo [ 1, 1]. Na figura, a reta r é a reta tangente ao círculo no ponto D(1, 0). Na figura 1.7 temos a função cosseno representada pela linha contínua e a função seno pela linha pontilhada. y Figura 1.7: A tangente de é a medida do segmento compreendido entre o ponto (1, 0) e o ponto de interseção da reta que contém o ponteiro com a reta r, isto é, tg = CD. O sinal da tangente será positivo se o segmento em questão estiver acima do eio, e negativo caso contrário. É fácil ver que tg = sen cos. Note que quando = π, 3π, 5π (n + 1)π,... =, com n = 0, 1,, 3, 4, 5... a função g() =tg não está definida (por quê?). O Gráfico da função tangente está ilustrado na figura 1.8 abaio: y Figura 1.8: Gráfico da função tangente Funções trigonométricas 15 Algumas relações trigonométricas cos + sen = 1 sen = sen cos cos = cos sen 1 + cotg = cosec 1 + tg = sec tg() = sen() cos() Eercícios sec() = 1 cos() 1. Calcule: cossec() = 1 sen() cotg() = cos() sen() = 1 tg() (a) o valor de no triângulo tracejado da figura 1.9. (b) Utilizando o item (a) mostre que sen45 o = 1, cos45 o = e tg45o = Figura 1.9: Eercício 1.. Usando as relações do seno, cosseno e tangente e observando o triângulo retângulo tracejado na figura 1.10, mostre que: (a) cos30 o = cat.adjacente 3 hipotenusa = (b) tg30 o = cat.oposto cat.adjacente = = (c) sen60 o = cat.oposto 3 hipotenusa = (d) cos60 o = cat.adjacente hipotenusa = 1 16 Função 1 1 Figura 1.10: Eercício. 3. Qual o domínio e a imagem da função seno? 4. Apenas observando o círculo trigonométrico (e sabendo que π radianos correspondem a 180 o ), dertemine: (a) sen(0); cos(0); (b) sen(π); cos(π); (c) sen( π ); cos(π ); (d) sen( π 4 ); cos( π 4 ); (e) sen( 3π ); cos( 3π ); (f) sen(π); cos(π); (g) sen(kπ), cos(kπ), k Z; (h) sen( + π); cos( + π); ( π ) ( π ) 5. Determine, se possível, tg(0), tg, tg( π), tg(π), tg(kπ), k Z, tg ( ) 4 3π tg. e 1.10 Funções trigonométricas inversas As funções trigonométricas [ não são inversíveis, pois não são bijetoras. Contudo, é fácil ver que, restrita ao intervalo π, π ] a função seno é inversível. Sua inversa é a função g() = arcsen() ([ chamada arco-seno, vide seu gráfico na figura 1.11 abaio à esquerda. Como, sen π, π ]) [ = [ 1, 1] então g() = arcsen() está definida no intervalo π, π ]. Da mesma forma, restringindo o domínio da função cosseno e da função tangente é possível definir suas inversas, arccos() e arctg(), vide seu gráfico na figura 1.11 abaio à direita. Eercícios de Geometria Analítica 17 y 1 y Figura 1.11: Gráfico das funções arcsen() e arctg(, respectivamente). Eercícios 1. Calcule: (a) arcsen(0) (b) arccos (d). Mostre que: ( arccos 1 ) (a) arccos( ) = π arccos() ( ) 1 (b) arcsec() = arccos (c) arcsec( ) = π arcsec() ( ) 1 (c) ( ) 3 arcsen ( ) 1 (e) arctg(1) (f) arctg Eercícios de Geometria Analítica 1. Determine as equações das retas que passam pelos pontos: (a) P (, 7) e Q(5, 6); (b) P (3, 5) e Q(4, 8);. Determine se as retas do item a e b do eercício anterior cortam os pontos (1, 3) e (1, 5), respectivamente. 3. Determine se as retas abaio são perpendiculares. (a) 3y = 0 e y 7 + = 0 (b) y = 0 e 3y + 8 = 0 18 Função 4. Qual é o coeficiente angular da reta 3y = 3? 5. Determine o ponto de interseção das retas: { 8 + y = 9 (a) y = 9 { 3 + y 8 = 0 (b) y + 6y + 4 = 0 { 6 3y = 4 (c) y = 3 6. Determine as equações das circunferências: (a) Raio = 4 e centro (3, ). (b) Raio = 1 e centro (0, 0) 7. Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto de interseção das retas y = 0 e y + = 0, sendo o raio igual a Determine a equação da circunferência que corta os eios coordenados nos pontos (0, ) e (, 0). (Sugestão: desenhe). Capítulo Limites e continuidade.1 Noção intuitiva de limite Em geral, se uma função f é definida em todo um intervalo aberto contendo um número real a, com a possível eceção que f() não precisa estar definida em a, podemos perguntar: 1. À medida que está cada vez mais próimo de a (mas a), o valor de f() tende para um número real L?. Podemos tornar o valor f() tão próimo de L quanto queiramos, escolhendo suficientemente próimo de a (mas a)? Se a resposta a estas perguntas é afirmativa, escrevemos lim f() = L a e dizemos que o limite de f(), quando tende para a é L, ou que f() se aproima de L quando se aproima de a. É possível também fazer essas perguntas considerando sempre maior do que a, ou sempre menor do que a. O primeiro caso é chamado limite lateral à direita de a e o segundo é chamado limite lateral à esquerda de a. Se a resposta ainda é afirmativa escrevemos lim a a f() = L e lim f() = L. + Considere uma função f() para a qual tem-se lim f() = 0. O que se pode afirmar sobre 0 os valores de f() quando está próimo de 0? Analisemos, por eemplo, qual valor da função f() = 1 cos() quando se aproima de zero. -0,01-0,001-0,0001 0,0001 0,001 0,01 f() = 1 cos() -0, , , , , , 0 Limites e continuidade Vimos que ao aproimarmos o valor de de zero (tanto pela direita quanto pela esquerda), o valor da função se aproima do valor zero. Que informação lim f() dá a 0 respeito da função f()? Propriedades: Se lim p f() = L e lim p g() = M, então: 1. lim p (f() + g()) = lim p f() + lim p g() = L + M. lim p (f().g()) = lim p f(). lim p g() = L.M 3. lim p (k.f()) = k. lim p f() = k.l lim f() f() 4. lim p g() = p lim g() = L M, se M 0 p Eercícios 1. Calcule os seguintes limites: (a) lim (d) lim 3 ln 4 (g) lim (j) lim 1 (m) lim 0,5 (p) lim 1 (s) lim ( 1) (b) lim (e) lim (h) lim (k) lim y 5 y 5 y 5 {( ) ( )} + 5 (n) lim (q) lim (t) lim 5 4 (c) lim (f) lim 0 (i) lim 0 (l) lim t 1 t 4 1 t 3 1 (o) + + lim ( 3) + (r) lim 3 (u) lim (v) lim p n n p p Teorema do confronto (ou do sanduíche ) 1. Calcule os limites no infinito (a) lim (d) lim (g) lim ( ) (b) lim (e) lim ( + 1) (h) lim (c) lim (F ) lim ( ) (i) lim ( + 1). Teorema do confronto (ou do sanduíche ) Suponha
