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Università degli Studi di Enna “Kore” Facoltà di Ingegneria e Architettura Ingegneria Aerospaziale e delle Infrastrutture Aeronautiche
Programma del Corso MECCANICA RAZIONALE (6 CFU) SSD MAT/07 1 Matrici e sistemi lineari. Definizioni ed esempi di matrice. Determinante. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Operazioni sulle matrici. Sistemi lineari, teorema di Rouchè-Capelli. Incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. I teoremi di Laplace. Calcolo dell’inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker. 2 I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti. 3 Spazi vettoriali e loro proprietà. Definizione ed esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Generatori, indipendenza lineare. Base di uno spazio, dimensione di uno spazio. Lemma di Steinitz e teorema di equicardinalità delle basi. Formula di Grassmann. Somme dirette. 4 Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Teorema delle dimensioni. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici. 5 Geometria lineare nel piano e nello spazio. Equazioni di rette sul piano. Coefficiente angolare. Fasci di rette. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Piani e loro equazioni. Rette e loro equazioni. Elementi impropri. Mutua posizione tra rette. Fasci di piani. Distanze. 6 Coniche. Definizioni ed esempi. Matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti e polari. Teorema di reciprocità. Fasci di coniche. 7 Quadriche . Definizioni ed esempi. Matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche. Coni e cilindri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti. Sfere. 8
Teoria dei Vettori Liberi
Vettori liberi. Elementi di calcolo vettoriale: prodotti scalari e vettoriali (proprietà e rappresentazione cartesiana) e loro applicazioni. Equazioni vettoriali. Funzioni a valori vettoriali:
derivazione, integrazione, formule di derivazione di un prodotto scalare e vettoriale, condizioni analitiche affinché un vettore sia di modulo costante. 9 Teoria dei Vettori Applicati Sistemi di vettori applicati: risultante, momento polare e assiale. Legge di variazione del momento al variare del polo. Coppia di vettori applicati. Invariante scalare e vettoriale. Asse centrale. Sistemi equivalenti. Sistemi equilibrati. Coppia di trasporto. Riduzione di un sistema di vettori ad un polo assegnato. Sistemi che ammettono risultante equivalente. Sistemi di vettori applicati con rette di azione concorrenti. Sistemi di vettori applicati paralleli: centro e proprietà. Sistemi di vettori complanari. Poligono funicolare. Scomposizione di un vettore lungo direzioni assegnate. Cambiamenti di base e matrici di rotazione. 10 Geometria e Cinematica dei Sistemi di Punti Materiali Velocità e accelerazione di un punto materiale. Moti uniformi, progressivi, retrogradi, accelerati e ritardati. Moti piani, moti circolari, moti armonici. Vincoli semplici, doppi e tripli per un punto materiale. Velocità possibili, virtuali e di trascinamento per un punto materiale. Generalità sui vincoli per sistemi di punti materiali: vincoli olonomi, anolonomi, fissi, mobili, unilateri, bilateri. Gradi di libertà e parametri lagrangiani. Sistemi olonomi. Sistemi a vincoli inefficaci, sistemi labili, statici e iperstatici. Spazio delle configurazioni e rappresentazione lagrangiana delle velocità possibili, virtuali e di trascinamento per sistemi di punti materiali. Moti rigidi. Gradi di libertà di un sistema rigido. Angoli di Eulero. 11 Cinematica dei Rigidi e Cinematica Relativa Formula fondamentale della cinematica dei rigidi. Teorema di Poisson. Asse istantaneo di moto. Moti rigidi traslatori, rotatori, elicoidali, roto-traslatori, polari e di precessione. Cinematica relativa: velocità assoluta e relativa; accelerazione assoluta, relativa, di trascinamento e di Coriolis; teorema di composizione delle velocità e teorema di Coriolis. Condizione affinchè due riferimenti misurino la stessa accelerazione. Applicazione delle cinematica relativa ai moti rigidi: composizione di moti rigidi. Moti rigidi piani: centro di istantanea rotazione, teorema di Chasles, base e rulletta. 12 Cinematica delle Masse per Sistemi di Punti Materiali Quantità di moto e momento delle quantità di moto per sistemi di punti materiali. Centro di massa. Moto intorno al baricentro. Legge di variazione del momento delle quantità di moto al variare del polo. Momento delle quantità di moto nel moto intorno al baricentro. Endomorfismo d'inerzia. Energia cinetica per sistemi di punti materiali. Energia cinetica nel moto intorno al baricentro. Teorema di König. Espressione del momento delle quantità di moto e dell'energia cinetica per sistemi rigidi discreti. 13 Geometria delle Masse Momenti polari e assiali. Teorema di Huygens. Formula di trasposizione della matrice d'inerzia. Ellissoide d'inerzia. Proprietà geometrico-materiali degli assi principali d'inerzia, uso di piani e rette di simmetria geometrico-materiale per la determinazione degli assi principali d'inerzia. Condizione affinché l'ellissoide sia rotondo. Ricerca degli altri due assi principali d'inerzia, noto il primo, tramite la ricerca delle direzioni estremanti per il momento assiale. 14 Dinamica e Statica dei Sistemi di Punti Materiali Principi della dinamica. Equazioni di moto in spazi non inerziali. Definizione di forza peso. Potenza di un sistema di forze applicate. Potenza di un sistema di forze applicate a punti di un rigido. Definizione di vincolo ideale (postulato delle reazioni vincolari) per sistemi olonomi. Esempi di vincoli ideali: vincoli lisci, vincoli di rigidità, condizioni di rotolamento senza strisciamento, condizioni di perfetta aderenza. Configurazioni di equilibrio. Condizioni di equilibrio
assoluto e relativo. Equazioni cardinali nella prima forma. Teorema del moto del baricentro e del momento delle quantità di moto: equazioni cardinali nella seconda forma. Utilizzo delle equazioni cardinali per sistemi costituiti da parti rigide vincolate tramite vincoli lisci (principio di disgregazione ed equazioni di bilancio in presenza di nodi carichi). Equazioni cardinali della statica. Condizioni pure di equilibrio per un rigido con un asse liscio e fisso. Condizioni di equilibrio per un rigido appoggiato su di un piano liscio e fisso. Modi di realizzazione dei vincoli in modo da rendere il problema staticamente determinato nei casi precedenti. Statica grafica: asta isostatica variamente caricata e arco a tre cerniere. Esempi di forze ripartite. 16 Elementi di Meccanica Analitica Teorema delle forze vive. Sistemi di forze conservative. Condizioni per l'esistenza dei potenziali. Determinazione del potenziale per forze costanti (forza peso) e forze elastiche. Potenziale di una coppia. Integrali primi deducibili dalle equazioni cardinali. Integrale primo dell'energia. Equazione simbolica della statica. Condizioni lagrangiane di equilibrio. Note: L’esame di verifica prevede una prova scritta ed una prova orale. Testi Adottati • G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica Due, Ed. Monduzzi; • G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di calcolo in più variabili, Ed. Zanichelli – Decibel; • C. Maderna, Esercizi di Analisi Matematica II, Città Studi Edizioni; • Marcellini P., Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 2, Ed. Liguori; • E. Oliveri, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed. CULC, Catania; • G. Grioli, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed. Libreria Cortina, Padova; • F. Bampi, C. Zordan, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed. Culturali Internazionali, Genova; • A. Grasso, A.M. Rigano, Esercizi di Meccanica Razionale, Ed. CULC, Catania; • S. Bressan, G. Grioli, Esercizi di Meccanica Razionale, Ed. Libreria Cortina, Padova; • V. de Rienzo, A. Messina, Esercizi di Meccanica Razionale, Parte I e II, ED. Adriatica, Bari.
