Model Hubbarda Teoria I Symulacja Dla Przypadku 1d

Transcript

Model Hubbarda Teoria i symulacja dla przypadku 1D Rafał Topolnicki KNF ”Migacz” Uniwersytet Wrocławski IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 1 / 41 Plan Plan Idea modelu Hubbarda, Wybrane twierdzenia na przypadku 1D, Analityczne rozwiązanie dla ”kryształu” składającego się z dwóch elektronów i dwóch węzłów, Symulacja komputerowa: Problemy numeryczne, Operacje na macierzach rzadkich, Schemat działania programu, Wyniki Literatura Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 2 / 41 Plan O modelu Model Hubbarda to ”skrajnie uproszczony model” uwzględniający oddziaływania elektron-elektron w ciele stałym Ashcroft Mermin Fizyka ciała stałego Możliwości Mimo swojej prostoty model jest niezwykle trudny do rozwiązania. Niemniej jednak pozwala na opis takich zjawisk jak: antyferromagnetyzm, ferromagnetyzm, ferrimagnetyzm, nadprzewodnictwo, przewidywanie metal/izolator Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 3 / 41 Plan O potrzebie modelu Hubbarda Model prawie swobodnych elektronów: elektrony poruszają się w periodycznym U (r + R) = U (r) potencjalne rdzeni jonowy (oddziaływanie jon-elektron), istnienie słabego potencjału prowadzi do pasmowej struktury ciała stałego, przybliżenie Hartree-Focka może prowadzić do błędnych wyników, przykład: CoO ma nieparzystą liczbę elektronów w komórce elementarnej zgodnie z teorią pasmową powinien być przewodnikiem. Niestety jest izolatorem. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 4 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Określenie modelu Założenia modelu: Sieć krystaliczna Λ składa się z węzłów Λ = {x, y, . . .} Zakładamy, że atomy sieci znajdują się w stanie podstawowym, Elektrony wewnętrznych powłok pozostają niezaburzone i związane z rdzeniem. Mogą jednak z niezerowym prawdopodobieństwem tunelować do sąsiednich węzłów. Pomijamy elektrony wewnętrznych powłok (za duża energia wzbudzenia) Pomijamy całkowicie strukturę wewnętrzną atomów. Elektrony ”żyją” na sieci. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 5 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów Gdy pominiemy oddziaływania elektron-elektron X Ht = − tij c†i cj ij∈Λ gdzie tij = tji odpowiada prawdopodobieństwu przejścia elektronu z węzła j do węzła i Z tij ∝ hi|ji = d3 rφ(r − Ri )∗ φ(r − Rj ) φ(r − Ri ) - funkcja falowa elektronu na i-ty węźle. Uwzględniamy spin: X X Ht = − tij c†iσ cjσ ij∈Λ σ=↑,↓ Ht uwzględnia więc wszystkie możliwe przeskoki elektronów w układzie Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 6 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów W przybliżeniu ograniczamy się do najbliższych sąsiadów X X † Ht = − tij c†iσ cjσ =1D − ciσ c(i+1)σ + c†(i+1)σ ciσ iσ hijiσ Bliskość w sensie geometrycznym nie musi oznaczać bliskości w sensie energetycznym. Gdy elektron znajduje się orbitalu p- lub d- wtedy łatwiej przeskoczyć mu do sąsiada po przekątnej. Najlepsze wyniki uzyskuje się uwględniając przeskoki do najbliższego i drugiego-najbliżeszego sąsiada. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 7 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów W przybliżeniu ograniczamy się do najbliższych sąsiadów X X † Ht = − tij c†iσ cjσ =1D − ciσ c(i+1)σ + c†(i+1)σ ciσ iσ hijiσ Bliskość w sensie geometrycznym nie musi oznaczać bliskości w sensie energetycznym. Gdy elektron znajduje się orbitalu p- lub d- wtedy łatwiej przeskoczyć mu do sąsiada po przekątnej. Najlepsze wyniki uzyskuje się uwględniając przeskoki do najbliższego i drugiego-najbliżeszego sąsiada. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 7 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Oddziaływanie elektronów ze sobą Najogólniejsza postać: Z U= d3 r1 d3 r2 |φ(r1 )|2 V (|r1 − r2 |)|φ(r2 )|2 Oddziaływanie Columbowskie jest długo zasięgowe. W ciele stałym jest ono jednak ekranowane: 1 V (r) = e−rk r długość ekranowania k −1 jest wielkością rzędu promienia Bohra stąd największy wkład mają dwukrotnie okupowane stany: X HU = U ni↑ ni↓ i Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 8 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Hamiltonian Hubbarda H = Ht + HU =− XX ij∈Λ σ = −t X  hi,ji,σ tij c†iσ cjσ + U XX niσ i∈Λ σ  X c†iσ cjσ + c†jσ ciσ + U niσ iσ . . . i jego podstawowe właściwości fizyka układu zależy od U/t U −→ ∞ podwójne obsadzanie węzłów jest energetycznie niekorzystne. Gdy N = |Λ| układ dąży stanu njσ = 1 ∀j, σ. Fluktuacje ładunku są kosztowne energetycznie - izolator. dla U < ∞ człon kinetyczny i potencjalny konkurują ze sobą dla U = 0 metal Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 9 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Hamiltonian Hubbarda H = Ht + HU =− XX ij∈Λ σ = −t X  hi,ji,σ tij c†iσ cjσ + U XX niσ i∈Λ σ  X c†iσ cjσ + c†jσ ciσ + U niσ iσ . . . i jego podstawowe właściwości fizyka układu zależy od U/t U −→ ∞ podwójne obsadzanie węzłów jest energetycznie niekorzystne. Gdy N = |Λ| układ dąży stanu njσ = 1 ∀j, σ. Fluktuacje ładunku są kosztowne energetycznie - izolator. dla U < ∞ człon kinetyczny i potencjalny konkurują ze sobą dla U = 0 metal Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 9 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Użyteczne obserwable Operator całkowitej liczby cząstek ˆ = N X ni,σ i∈Λ,σ Oczywiście 0 ¬ N ¬ 2|Λ| Operator spinu w węźle i ∈ Λ 1 X † (α) (α) c (p )σ,τ ciσ Sˆi = 2 σ,τ iσ gdzie α = 1, 2, 3 i p(α) to macierze Pauliego:      0 1 0 −i 1 p(1) = , p(2) = , p(3) = 1 0 i 0 0  0 −1 Operator całkowitego spinu (α) Sˆtot = X (α) Si i∈Λ Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 10 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości . . . i ich własności ˆ , H] = 0 - hamiltonian nie zmienia liczby cząstek w układzie, [N (α) (α) [Sˆtot , Ht ] = [Sˆtot , HU ] = 0 (α) operatory Sˆtot nie komutują ze sobą. Postępujemy podobnie jak w wypadku momentu pędu. Operator kwadratu całkowitego spinu: ˆ tot )2 = (S 3 X (α) (Sˆtot )2 α=1 (3) (3) ˆ tot )2 to odpowiednio Stot Wartości własne Sˆtot i (S i Stot (Stot + 1). Maksymalny spin  Smax = Rafał Topolnicki N/2 gdy 0 ¬ N ¬ |Λ| |Λ| − N/2 gdy |Λ| ¬ N ¬ 2|Λ| Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 11 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Non-Hopping System Wróćmy do najogólniejszej postaci HH. Załóżmy, że tij = 0. Wtedy macierz hamiltonianu jest diagonalna. Niech Xσ ⊂ Λ to zbiór wszystkich węzłów sieci zajętych przez elektrony o spinie σ. Stan własny hamiltonianu:    Y † Y † Ψ= ci↑   cj↓  |∅i i∈X↑ j∈X↓ Energia własna: E= X Ux x∈X↑ ∩X↓ Stan podstawowy dla danej liczby elektronów E można wybrać tak aby minimalizował energię E. Jeżeli N = |X↑ | + |X↓ | ¬ |Λ| stan można wybrać tak aby X↑ ∩ X↓ = ∅, wtedy E = 0. Brak uporządkowania. Paramagnetyk Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 12 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Non-Interacting System Oddziaływanie między elektronami znosimy przyjmując Ui = 0 ∀i ∈ Λ. Gdy widmo energii własnych jest niezdegenerowane a N parzyste stan podstawowy jest zadany jednoznacznie   N/2 Y † † aj↑ aj↓  |∅i ΨGS =  j=1 Całkowity spin tego stanu wynosi 0 a stan wykazuje właściwości paramagnetyczne. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 13 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Najniższa energia Niech N jest ustaloną liczbą elektronów. Dla S = 0, 1, . . . , Smax . Określamy ˆΦ = NΦ Emin (S) jako najniższą możliwą energię własną stanów które spełniają N oraz (Sˆtot )2 Φ = S(S + 1)Φ Magnetyczne właściwości układu Jeżeli całkowity spin stanu podstawowego jest proporcjonalny do wielkości sieci |Λ| =⇒ ferrimagnetyzm Jeżeli dodatkowo całkowity spin stanu podstawowego jest równy Smax to mówimy że system wykazuje ferromagnetyzm. Zgodnie z poprzednią definicją możemy warunek na ferromagnetyzm możemy zapisać jako: Emin (S) > Emin (Smax ) ∀S < Smax Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 14 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Najniższa energia Niech N jest ustaloną liczbą elektronów. Dla S = 0, 1, . . . , Smax . Określamy ˆΦ = NΦ Emin (S) jako najniższą możliwą energię własną stanów które spełniają N oraz (Sˆtot )2 Φ = S(S + 1)Φ Magnetyczne właściwości układu Jeżeli całkowity spin stanu podstawowego jest proporcjonalny do wielkości sieci |Λ| =⇒ ferrimagnetyzm Jeżeli dodatkowo całkowity spin stanu podstawowego jest równy Smax to mówimy że system wykazuje ferromagnetyzm. Zgodnie z poprzednią definicją możemy warunek na ferromagnetyzm możemy zapisać jako: Emin (S) > Emin (Smax ) ∀S < Smax Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 14 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Lieba-Mattisa Rozważmy model Hubbarda na jednowymiarowej sieci Λ = {1, 2, . . . , N } z otwartymi warunkami brzegowymi. Zakładamy, że 0 < |txy | < ∞ gdy |x − y| = 1 i |txy | = 0 w przeciwnym przypadku. Niech dodatkowo |Ux | < ∞, wtedy energia minimalna Emin (S) spełnia nierówność: Emin (S) < Emin (S + 1) dla każdego S = 0, 1, . . . , Smax . Wnioski stan podstawowy układu ma całkowity spin Stot = 0, brak ferromegnetyzmu, twierdzenie nie jest udowodnione dla periodycznych warunków brzegowych, zupełnie inne zachowanie układu gdy dopuszczamy przeskoki do drugiego sąsiada, Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 15 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Lieba-Mattisa Rozważmy model Hubbarda na jednowymiarowej sieci Λ = {1, 2, . . . , N } z otwartymi warunkami brzegowymi. Zakładamy, że 0 < |txy | < ∞ gdy |x − y| = 1 i |txy | = 0 w przeciwnym przypadku. Niech dodatkowo |Ux | < ∞, wtedy energia minimalna Emin (S) spełnia nierówność: Emin (S) < Emin (S + 1) dla każdego S = 0, 1, . . . , Smax . Wnioski stan podstawowy układu ma całkowity spin Stot = 0, brak ferromegnetyzmu, twierdzenie nie jest udowodnione dla periodycznych warunków brzegowych, zupełnie inne zachowanie układu gdy dopuszczamy przeskoki do drugiego sąsiada, Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 15 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Koma-Tasakiego Rozważmy model Hubbarda w 1 lub 2 wymiarach z skończonymi przeskokami. Istnieją wtedy stałe α, γ oraz  |x − y|−αf (β) dla d = 2 † † |hcc↑ cx↓ cy↑ cy↓ + h.ciβ | ¬ exp(−γf (β)|x − y|) dla d = 1 i  |hSx · Sy iβ | ¬ |x − y|−αf (β) dla exp(−γf (β)|x − y|) dla d=2 d=1 dla odpowiednio dużego |x − y|, gdzie h. . .iβ to średnia kanoniczna w granicy termodynamicznej β = 1/kT a f (β) to malejąca funkcja β która dla małych β zachowuje się jak | ln β| a dla dużych jak β −1 . Wnioski Nie tworzą się pary elektronowe −→ nie ma nadprzewodnictwa. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 16 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Koma-Tasakiego Rozważmy model Hubbarda w 1 lub 2 wymiarach z skończonymi przeskokami. Istnieją wtedy stałe α, γ oraz  |x − y|−αf (β) dla d = 2 † † |hcc↑ cx↓ cy↑ cy↓ + h.ciβ | ¬ exp(−γf (β)|x − y|) dla d = 1 i  |hSx · Sy iβ | ¬ |x − y|−αf (β) dla exp(−γf (β)|x − y|) dla d=2 d=1 dla odpowiednio dużego |x − y|, gdzie h. . .iβ to średnia kanoniczna w granicy termodynamicznej β = 1/kT a f (β) to malejąca funkcja β która dla małych β zachowuje się jak | ln β| a dla dużych jak β −1 . Wnioski Nie tworzą się pary elektronowe −→ nie ma nadprzewodnictwa. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 16 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Half-Filled Systems Half-Filled System - N = |Λ| - fizycznie najczęściej spotykana sytuacja. Definicja: Dwudzielność Rozważmy dowolny model Hubbarda na sieci Λ. Powiemy, że układ jest dwudzielny, jeżeli Λ może być przedstawiony jako rozłączna suma dwóch zbiorów A i B (tj. Λ = A ∪ B i A ∩ B = ∅) oraz txy = 0 (∀x, y ∈ A lub x, y ∈ B) Twierdzenie Lieba Rozważmy dowolny dwudzielny model Hubbarda na dowolnej spójnej sieci Λ. Zakładamy, że |Λ| jest parzyste oraz że Ux = U > 0 ∀x ∈ Λ. Wtedy stan podstawowy jest niezdegenerowany i jego spin całkowity wynosi Stot = ||A| − |B||/2 Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 17 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Half-Filled Systems Half-Filled System - N = |Λ| - fizycznie najczęściej spotykana sytuacja. Definicja: Dwudzielność Rozważmy dowolny model Hubbarda na sieci Λ. Powiemy, że układ jest dwudzielny, jeżeli Λ może być przedstawiony jako rozłączna suma dwóch zbiorów A i B (tj. Λ = A ∪ B i A ∩ B = ∅) oraz txy = 0 (∀x, y ∈ A lub x, y ∈ B) Twierdzenie Lieba Rozważmy dowolny dwudzielny model Hubbarda na dowolnej spójnej sieci Λ. Zakładamy, że |Λ| jest parzyste oraz że Ux = U > 0 ∀x ∈ Λ. Wtedy stan podstawowy jest niezdegenerowany i jego spin całkowity wynosi Stot = ||A| − |B||/2 Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 17 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie o znaku korelacji spinowych Przy założeniach poprzedniego twierdzenia zachodzi:  > 0 gdy x, y ∈ A albo x, y ∈ B ˆ ˆ hΨGS Sx Sy ΨGS i = < 0 gdy x ∈ A, y ∈ B albo x ∈ B, y ∈ A Ferrimagnetyzm na przykładzie CuO sieć możemy podzielić na dwie podsieci czarną i białą, na czarnej sieci długości L znajduje się L2 czarnych i 2L2 białych węzłów, zakładamy, że txy 6= 0 dla każdej krawędzi, z tw. Lieba mamy Stot = ||A| − |B||/2 = L2 /2 ale całkowity spin ∝ 3L2 ferrimagnetyzm Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 18 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Prawdziwa sieć CuO Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 19 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Ferromagnetyzm w modelu Hubbarda Ferromagnetyzm - wszystkie spiny w tą samą stronę, Układy Half-Filled mają tendencję do antyferromagnetyzmu, Twierdzenie - brak ferromagnetyzmu dla małych U Niech {εj }j=1,...,N to energie własne stanów jednoelektronowych εj ¬ εj+1 . Jeżeli 0 ¬ U ¬ εN − ε1 to Emin (Smax − 1) < Emin (Smax ) i w stanie podstawowym nie zachodzi Stot = Smax Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 20 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Mielke’s Ferromanetism Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu ”kagome”, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy układu ma Stot = Smax i jest niezdegenerowany. Ferromagnetyzm w prostym modelu Λ = {1, 2, 3}, jeden elektron σ =↑, jeden σ =↓, t12 = t23 = t0 , t13 = t stany: Φxy = c†x↑ c†y↓ , x 6= y U1 = U2 = U3 = U −→ ∞ stan podstawowy ma spin Stot = 1 ferromagnetyk Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 21 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Mielke’s Ferromanetism Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu ”kagome”, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy układu ma Stot = Smax i jest niezdegenerowany. Ferromagnetyzm w prostym modelu Λ = {1, 2, 3}, jeden elektron σ =↑, jeden σ =↓, t12 = t23 = t0 , t13 = t stany: Φxy = c†x↑ c†y↓ , x 6= y U1 = U2 = U3 = U −→ ∞ stan podstawowy ma spin Stot = 1 ferromagnetyk Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 21 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Ferromagnetyzm w osobliwym krysztale 1D Λ = {1, 2, . . . , N }, periodyczne warunki brzegowe, 0 Twierdzenie o ferromagnetyzmie w osobliwym krysztale tx,x+1 = tx+1,x = t Jeżeli dwa bezwymiarowe parametry t/s i  t x parzyste U/t są wystaczająco duże, to stan tx,x+2 = −s x nieparzyste podstawowy jest niezdegenerowany i posiada Stot = Smax √ t0 = 2(t + s) Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 22 / 41 Model Hubbarda i jego właściwości Ferromagnetyzm w osobliwym krysztale 1D Λ = {1, 2, . . . , N }, periodyczne warunki brzegowe, 0 Twierdzenie o ferromagnetyzmie w osobliwym krysztale tx,x+1 = tx+1,x = t Jeżeli dwa bezwymiarowe parametry t/s i  t x parzyste U/t są wystaczająco duże, to stan tx,x+2 = −s x nieparzyste podstawowy jest niezdegenerowany i posiada Stot = Smax √ t0 = 2(t + s) Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 22 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Model N=2, |Λ|=2 Weźmy skrajnie uproszczony przypadek - N=2 elektrony, |Λ|=2 węzły sieci stan |φ1 i |φ2 i |φ3 i |φ4 i |φ5 i |φ6 i • ↑ ∅ ↑ ↓ ↓↑ ↓ • ↑ ↑↓ ↓ ↑ ∅ ↓ wektory bazowe c†1↑ c†0↑ |∅i c†0↓ c†0↑ |∅i c†0↓ c†1↑ |∅i c†1↓ c†0↑ |∅i c†1↓ c†1↑ |∅i c†0↓ c†1↓ |∅i binkod |1010i |0011i |1001i |0110i |1100i |0101i Obserwacje: Macierz dowolnego operatora w bazie {|φi i}i będzie macierzą 6x6, Suma jedynek w binkodzie jest równa ilości elektronów, Wektory bazowe nie są zadane jednoznacznie, Stany c†iσ c†iσ nie są dozwolone, Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 23 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część potencjalna Widać, że część potencjalna daje wkład jedynie gdy dany węzeł jest zajmowany przez 2 elektrony. Jest to miara ich elektrostatycznego oddziaływania.  0|φi i i = {1, 3, 4, 6} HU |φi i = U |φi i i = {2, 5} Stąd macierz potencjalnej składowej hamiltonianu ma postać:   0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0   HU = U   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 24 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Aby znaleźć stan Ht |φi i korzystamy z relacji antykomutacyjnych dla fermionów: {ar , a†s } = δrs ⇒ ar a†s = 1 − a†s ar  † † ar as = −a†s a†r {a†r , a†s } = {ar , as } = 0 ⇒ ar as = −as ar Dla przykładu znajdziemy: Ht |φ2 i = −t(c†1↑ c0↑ + c†1↓ c0↓ )c†0↓ c†0↑ |∅i † † † † † † = −t(c  1↑ c0↑ c0↓ c0↑ + c1↓ c0↓ c0↓ c0↑ )|∅i  = −t −c†1↑ c†0↓ c0↑ c†0↑ + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i   = −t −c†1↑ c†0↓ (1 − c†0↑ c0↑ ) + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i     = −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↑ c†0↓ c†0↑ c0↑ +c†1↓ c†0↑ − c†1↓ c†0↓ c0↓ c†0↑  |∅i {z } | {z } | =0 =0   = −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↓ c†0↑ |∅i = −t(|φ3 i + |φ4 i) Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 25 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Aby znaleźć stan Ht |φi i korzystamy z relacji antykomutacyjnych dla fermionów: {ar , a†s } = δrs ⇒ ar a†s = 1 − a†s ar  † † ar as = −a†s a†r {a†r , a†s } = {ar , as } = 0 ⇒ ar as = −as ar Dla przykładu znajdziemy: Ht |φ2 i = −t(c†1↑ c0↑ + c†1↓ c0↓ )c†0↓ c†0↑ |∅i † † † † † † = −t(c  1↑ c0↑ c0↓ c0↑ + c1↓ c0↓ c0↓ c0↑ )|∅i  = −t −c†1↑ c†0↓ c0↑ c†0↑ + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i   = −t −c†1↑ c†0↓ (1 − c†0↑ c0↑ ) + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i     = −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↑ c†0↓ c†0↑ c0↑ +c†1↓ c†0↑ − c†1↓ c†0↓ c0↓ c†0↑  |∅i {z } | {z } | =0 =0   = −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↓ c†0↑ |∅i = −t(|φ3 i + |φ4 i) Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 25 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Efektywniejsze sposoby znajdowania elementów macierzowych Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 26 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Efektywniejsze sposoby znajdowania elementów macierzowych Metoda obrazkowa Załóżmy, że mamy układa składający się z dwóch elektronów i trzech węzłów. Element macierzowy Hij między stanem |ψi i i |ψj i |ψi i = ↑ Rafał Topolnicki ↓ |ψj i = ↑ ∅ ↓ Hij = −t przeskok |ψk i = ↑ ↑ ∅ Hik = 0 obrót spinu |ψl i = ∅ ↓ ↑ Hil = 0 podwójny przeskok |ψn i = ↑↓ ∅ ∅ ∅ Model Hubbarda Hin = −t przeskok IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 27 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Podobnie znajdujemy pozostałe stany: Ht |φ1 i Ht |φ2 i Ht |φ3 i Ht |φ4 i Ht |φ5 i Ht |φ6 i Rafał Topolnicki =0 = −t(|φ3 i + |φ4 i) = −t(|φ2 i + |φ5 i) = −t(|φ2 i + |φ5 i) = −t(|φ3 i + |φ4 i) =0 Model Hubbarda Stąd macierz Ht ma postać:  0 0 0 0 0 0 0 1 1 0  0 1 0 0 1 Ht = −t  0 1 0 0 1  0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010  0 0  0  0  0 0 28 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Podobnie znajdujemy pozostałe stany: Ht |φ1 i Ht |φ2 i Ht |φ3 i Ht |φ4 i Ht |φ5 i Ht |φ6 i Rafał Topolnicki =0 = −t(|φ3 i + |φ4 i) = −t(|φ2 i + |φ5 i) = −t(|φ2 i + |φ5 i) = −t(|φ3 i + |φ4 i) =0 Model Hubbarda Stąd macierz Ht ma postać:  0 0 0 0 0 0 0 1 1 0  0 1 0 0 1 Ht = −t  0 1 0 0 1  0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010  0 0  0  0  0 0 28 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Zmniejszenie wymiaru macierzy H Zachowanie Sz pod działaniem H, które wynika z ogólnego faktu [H, Sz ] = 0, pozwala zredukować macierz 6x6 do dwóch macierzy 1x1 i jednej 4x4 Operator odbicia lustrzanego Zdefiniujmy operator odbicia lustrzanego na sieci Λ = {0, 1} M (0) = 1 , M (1) = 0 Z operatorem M można stowarzyszyć operator M w przestrzeni Hilberta rozwiązań: Mc†0σ c†1π |∅i = c†M (0)σ c†M (1)π |∅i = c†1σ c†0π |∅i Rafał Topolnicki Model Hubbarda σ, π ∈ {↓, ↑} IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 29 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Zmniejszenie wymiaru macierzy H Zachowanie Sz pod działaniem H, które wynika z ogólnego faktu [H, Sz ] = 0, pozwala zredukować macierz 6x6 do dwóch macierzy 1x1 i jednej 4x4 Operator odbicia lustrzanego Zdefiniujmy operator odbicia lustrzanego na sieci Λ = {0, 1} M (0) = 1 , M (1) = 0 Z operatorem M można stowarzyszyć operator M w przestrzeni Hilberta rozwiązań: Mc†0σ c†1π |∅i = c†M (0)σ c†M (1)π |∅i = c†1σ c†0π |∅i Rafał Topolnicki Model Hubbarda σ, π ∈ {↓, ↑} IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 29 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Wartości własne     H=    0 0 0 0 0 0 0 0 0 U −2t 0 −2t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U 0 0 0 0 0 0 0  Wartości własne macierzy H E = 0 tryplet dla trzech wartości spinu   (Sz = +1, 0, −1),   E = U wartość odpowiadająca   wektorowi |ψ5 i,  p E± = U/2 ± (U/2)2 + 4t2 Stan podstawowy ma energię odpowiada energii E− < 0 i jest singletem. Pierwszy stan wzbudzony jest trypletem o energii E = 0. Funkcja falowa stanu podstawowego GGGGGGGGGGA   p U t |ψ3 i ∼ |φ3 i + |φ4 i |E− i = 4|ψ2 i + U + U 2 + 16 |ψ3 i Dla U  t mamy: E− ≈ − Rafał Topolnicki 4t2 , U E+ ≈ U Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 30 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Wartości własne     H=    0 0 0 0 0 0 0 0 0 U −2t 0 −2t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U 0 0 0 0 0 0 0  Wartości własne macierzy H E = 0 tryplet dla trzech wartości spinu   (Sz = +1, 0, −1),   E = U wartość odpowiadająca   wektorowi |ψ5 i,  p E± = U/2 ± (U/2)2 + 4t2 Stan podstawowy ma energię odpowiada energii E− < 0 i jest singletem. Pierwszy stan wzbudzony jest trypletem o energii E = 0. Funkcja falowa stanu podstawowego GGGGGGGGGGA   p U t |ψ3 i ∼ |φ3 i + |φ4 i |E− i = 4|ψ2 i + U + U 2 + 16 |ψ3 i Dla U  t mamy: E− ≈ − Rafał Topolnicki 4t2 , U E+ ≈ U Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 30 / 41 Toy-Model N=2, |Λ|=2 Zależność energii stanów od wartości U Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 31 / 41 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że:



2N 18 18 1 Macierze są bardzo duże np: 2N M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620. Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U , 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 32 / 41 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że:



2N 18 18 1 Macierze są bardzo duże np: 2N M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620. Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U , 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 32 / 41 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że:



2N 18 18 1 Macierze są bardzo duże np: 2N M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620. Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U , 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 32 / 41 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że:



2N 18 18 1 Macierze są bardzo duże np: 2N M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620. Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U , 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 32 / 41 Problemy numeryczne Jak szukać wartości własnych Istnieje wiele bibliotek numeryczncyh umożliwiających szukanie wartości własnych. Skupimy się na dwóch: GSL ARPACK++ W stylu C, Obiektowość, Prosta w obsłudze, Trudna i nieintuicyjna w obsłudze, Nie obsługuje macierzy rzadkich, Obsługa macierzy rzadkich, Działa jedynie na double, Nie narzuca typu danych, Bardzo popularna. Niewiele szybsza niż GSL. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 33 / 41 Problemy numeryczne Jak szukać wartości własnych Istnieje wiele bibliotek numeryczncyh umożliwiających szukanie wartości własnych. Skupimy się na dwóch: GSL ARPACK++ W stylu C, Obiektowość, Prosta w obsłudze, Trudna i nieintuicyjna w obsłudze, Nie obsługuje macierzy rzadkich, Obsługa macierzy rzadkich, Działa jedynie na double, Nie narzuca typu danych, Bardzo popularna. Niewiele szybsza niż GSL. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 33 / 41 Problemy numeryczne Przykłady macierzy w modelu Hubbarda Rysunek: Niezerowe elementy macierzy dla 7 elektronów i 7 węzłów, stanowią jedynie ≈ 0.2% wszystkich elementów Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 34 / 41 Problemy numeryczne Przykłady macierzy w modelu Hubbarda Rysunek: Zależność procentowej ilości niezerowych elementów od ilości elektronów dla przypadku N = M . Prawo potęgowe! Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 35 / 41 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Znajdujemy przestrzeń Hilberta. Na sieć M = |Λ| węzłów można nanieść 0 ¬ N ¬ 2M elektronów na 22M sposobów. W tym celu wprowadzamy innną numerację stanów węzeł spin nr 0 ↑ 0 1 ↓ 1 ↑ 2 2 ↓ 3 ↑ 4 ↓ 5 ... ... ... Wtedy każdemu stanowi odpowiada liczba w systemie dwójkowym np: węzeł 0 1 2 ... spin ∅ ↓ ↑ ↓ ∅ ∅ . . . bin 0 1 1 1 0 0 . . . Spośród wszystkich wszystkich możliwych stanów wybieramy te z ustaloną liczbą elektronów N - ilość jedynek w binkodzie musi być równa N X † c0σ c1σ + h.c = c†0↑ c1↑ + c†0↓ c1↓ + h.c =⇒ c†0 c2 + c†1 c3 + h.c σ Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 36 / 41 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Znajdujemy przestrzeń Hilberta. Na sieć M = |Λ| węzłów można nanieść 0 ¬ N ¬ 2M elektronów na 22M sposobów. W tym celu wprowadzamy innną numerację stanów węzeł spin nr 0 ↑ 0 1 ↓ 1 ↑ 2 2 ↓ 3 ↑ 4 ↓ 5 ... ... ... Wtedy każdemu stanowi odpowiada liczba w systemie dwójkowym np: węzeł 0 1 2 ... spin ∅ ↓ ↑ ↓ ∅ ∅ . . . bin 0 1 1 1 0 0 . . . Spośród wszystkich wszystkich możliwych stanów wybieramy te z ustaloną liczbą elektronów N - ilość jedynek w binkodzie musi być równa N X † c0σ c1σ + h.c = c†0↑ c1↑ + c†0↓ c1↓ + h.c =⇒ c†0 c2 + c†1 c3 + h.c σ Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 36 / 41 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 W takiej reprezentacji niezwykle łatwo jest zaprogramować operatory kreacji i anihilacji: a†j |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i = aj |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i =  0 |b1 , b2 , . . . , bj−1 , 1, bj+1 , . . . , b2M i gdy bj = 1 gdy bj = 0  0 |b1 , b2 , . . . , bj−1 , 0, bj+1 , . . . , b2M i gdy bj = 0 gdy bj = 1 operator liczby cząstek nj |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i = bj |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i iloczyn skalarny hb1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M |b01 , b02 , . . . , b0j , . . . , b02M i = δbb01 · . . . · δbb02M 1 Rafał Topolnicki Model Hubbarda 2M IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 36 / 41 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Szukanie wartości własnych Istnieją specjalne metody szukania wartości własnych macierzy rzadkich metoda Lanczosa, metoda Arnoldiego. GSL nie potrafi obsługiwać macierzy rzadkich stąd szukanie wartości własnych z jego użyciem jest niezwykle czasochłonne. ARPACK++ potrafi w bardzo efektywny sposób szukać wartości własnych macierzy rzadkich. Przykład: N = 6, |Λ| = 6, U = {100, 101, . . . , 110}, t = 1 Elementy macierzowe + wartości własne GSL Elementy macierzowe + wartości własne ARPACK ++ j.w z indeksowaniem Rafał Topolnicki Model Hubbarda 28,5s 200.9-28.5=172,4s 39.2s 25.5s IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 36 / 41 Wyniki symulacji Energia stanu podstawowego Energia stanu podstawowego w funkcji U . N = 2, |Λ| = 2, t = 1 Zgodność wyniku symulacji z teorią. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 37 / 41 Wyniki symulacji Energia stanu podstawowego Wartości energii własnych są wielokrotnie zdegenerowane Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 38 / 41 Wyniki symulacji Energia stanu podstawowego Energia stanu podstawowego wyznaczona za pomocą rachunku zaburzeń dla M = N = 40. Za [7]. Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 39 / 41 Literatura Literatura 1 Hal Tasaki, The Hubbard Model - Introduction and Selected Rigorous Results arXiv:cond-mat/9512169v4, 19 Dec 1997 2 Samuel Bieri, Some Introductory Notes on the Hubbard Model 3 S. Akbar Jafari, Intoduction to Hubbard Model and Exact Diagonalization 4 Philippe A. Martin, Francois Rothen, Many-Body Problems and Quantum Field Theory 5 A.L. Fetter, J.D. Walecka, Kwantowa teoria układów wielu cząstek 6 Witold Baryluk, Silnie skorelowany kwantowy układ wielu ciał - model Bose-Hubbarda i metody numeryczne jego badania 7 Bogdan Damski, Jakub Zakrzewski, The mott insulator phase of the one dimensional bose-hubbard model arXiv:cond-mat/0603030 8 ARPACK++ user’s guide, http://www.ime.unicamp.br/~chico/arpack++/arpackpp.ps.gz Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 40 / 41 Literatura Dziękuję za uwagę Rafał Topolnicki Model Hubbarda IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010 41 / 41