Transcript
Zbiór zadań maturalnych
Profil rozszerzony
Autor: Andrzej Staszewski
Zbór zadań obejmuje zadania otwarte z matur z lat 2005 – 2014 oraz egzaminów próbnych organizowanych przez OPERON Spis treści: Lp.
Dział
Numery zadań
Strona
1 2 3 4 5
Działania na liczbach rzeczywistych Działania na potęgach i pierwiastkach Działania na logarytmach Działania na wyrażeniach algebraicznych Działania na wielomianach Rozwiązywania równań, nierówności oraz układów równań i nierówności I stopnia z jedną lub dwiema niewiadomymi Rozwiązywanie równań i nierówności II stopnia z jedną niewiadomą Rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych Wybrane zadania dotyczące ogólnych własności funkcji, rachunek różniczkowy Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Funkcja wielomianowa, wymierna i homograficzna Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Ogólne własności ciągów liczbowych Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Ciąg arytmetyczny i geometryczny – zadania łączne Funkcje trygonometryczne oraz rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych Planimetria – podstawowe definicje, trójkąty, wzajemne położenie okręgu i trójkąta Planimetria – czworokąty, wzajemne położenie okręgu i czworokąta Planimetria - położenie okręgów na płaszczyźnie i kątów w okręgu Geometria analityczna Stereometria Kombinatoryka Rachunek prawdopodobieństwa
1-9 10 11 - 15 16 - 22 23 - 28
1 2 3 4 5
29 - 30
6
31 - 44
7
45 - 53
9
54 - 55
10
56 - 62
11
63 64 - 71
13 14
72 - 77
16
78 - 88 89 - 94 95 - 98 99 - 108
17 19 20 21
109 - 115
22
116 - 137
24
138 - 156
27
157 - 166
29
167 - 169
32
170 - 195 196 - 221 222 - 228 229 - 247
33 35 40 41
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
1.1
Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na liczbach rzeczywistych
Zadanie 1 Znajdź ujemny pierwiastek równania 2 x 1 2 4 Zadanie 2 Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną a. Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej?. Wskazówka: zbadaj podzielność sumy cyfr. Zadanie 3 Korzystając z własności wartości bezwzględnej, uzasadnij, że wyrażenie: 2 przedstawia liczbę naturalną. Podaj konieczne założenia. x2 4 x2 4 2 x 4 x 12 Zadanie 4 Wykaż, że wśród rozwiązań równania: x 2 x 4 6 istnieje takie, które jest liczbą niewymierną. Zadanie 5 Rozwiązać nierówność: 3x 6 x 2 x . Zadanie 6 Rozwiąż nierówność: 2 x 4 x 1 6. Zadanie 7 Rozwiąż nierówność x 2 x 1 3x 1 . Zadanie 8 Rozwiąż nierówność 2 x 5 x 4 2 2 x. Zadanie 9 Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie: 2 x 57 x 39 . Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby n .
2.1
Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na potęgach i pierwiastkach
Zadanie 10 Wykaż, że jeżeli: A 34
2 2
B 32
2 3
, to B 9 A.
3.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na logarytmach Zadanie 11 Wykaż, że dla dowolnej liczby a > 0 zachodzi nierówność: 2 log 2 a log 2 a log log a 10 Zadanie 12 Wykaż, że dla a > 0 i x > 1 zachodzi nierówność: log a x log x a log 100. Zadanie 13 Nie używając kalkulatora, porównaj liczby: a 3
log3
3
12
4
; b 10
1 2 log 81 2
Zadanie 14 Oblicz: log 3 4 27 log 3 log 3 3 3 3 . Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku: Zadanie 15 Niech m log 21 7. Wykaż, że log 7 27
31 m . m
4.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na wyrażeniach algebraicznych Zadanie 16 Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7, to a4 + b4 = 31. Zadanie 17 Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k 6 − 2k 4 + k 2 jest podzielna przez 36. Zadanie 18 Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b , a ≠ c , b ≠ c i a + b = 2c , to
a b 2. ac bc
Zadanie 19 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność
ac bd a 2 b 2 c 2 d 2 . Zadanie 20 Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby: a + b oraz a∙b są podzielne przez k, to liczba a3 – b3 też jest podzielna przez k. Zadanie 21 Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest x y nierówność: x 1 y 1 2. y x Zadanie 22 1 Udowodnij, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 1, to ab . 4
5.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na wielomianach Zadanie 23 Dany jest wielomian W ( x) 2 x 3 nx 2 mx 8. Wyznacz liczby m i n, jeśli wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x+2) jest równa 4 i jednym z pierwiastków jest liczba (-1). Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki. Zadanie 24 Reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez (x – 1), (x + 1), (x + 2) są odpowiednio równe: 1; 1; 3. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = (x -1 )(x+1)(x+2). Zadanie 25 Przedstaw wielomian W ( x) x 4 2 x 3 3x 2 4 x 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden. Zadanie 26 Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian (x −1) otrzymujemy iloraz Q(x) = 8x2 + 4x −14 oraz resztę R(x) = −5. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x). Zadanie 27 Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x) x 3 ax 2 bx 1 wiedząc, że W(2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x – 3) jest równa 10. Zadanie 28 Wielomian W ( x) x 4 ax 3 bx 2 24 x 9 jest kwadratem wielomianu P( x) x 2 cx d . Oblicz a oraz b.
6.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań, nierówności oraz układów równań i nierówności I stopnia z jedną lub dwiema niewiadomymi Zadanie 29
3 x y Rozwiąż układ równań: . 3 2 x y Zadanie 30 Oblicz najmniejszą liczbę naturalną n spełniającą nierówność
2n 10 2 1 . 3n 1 3 30
7.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności II stopnia z jedną niewiadomą Zadanie 31 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: m 1x 2 2m 1x m 4 0 ma jedno rozwiązanie. Zadanie 32 Określ, dla jakich wartości parametru k równanie: x 2 k 1x 0,5k 5 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie. Zadanie 33 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rozwiązania: x1 ; x2 równania x 2 13x 24 10 mx 15 spełniają warunek: x12 x22 3x1 x2 0 . Zadanie 34 Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x 2 m 5x m 7 0 jest najmniejsza? Zadanie 35 Liczby: x1 5 23 x 2 5 23 są rozwiązaniami równania: x 2 p 2 q 2 x p q 0 z niewiadomą x. Oblicz p i q. Zadanie 36 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2+ mx + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m2−13 . Zadanie 37 Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 4mx m 3 6m 2 m 2 0 ma dwa różne pierwiastki: x1 , x2 takie, że ( x1 x2 ) 2 8(m 1). Zadanie 38 Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.; Zadanie 39 Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 (m 2) x m 4 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że x1 x 2 4m 3 6m 2 32m 12. 4
4
Zadanie 40 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2 x 2 3 2mx m 1 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że x1 x2 3. Zadanie 41 y x 2 0 Rozwiąż układ równań: 2 . 2 x 4 x y 2
Zadanie 42 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: x 2 2(1 m) x m 2 m 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 , x2 spełniające warunek: x1 x 2 6m x1 x 2 . 2
2
Zadanie 43 Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność: 20 x 2 24mx 18m 2 4 x 12m 5. Zadanie 44 Równanie x 2 48 x 1 0 ma dwa rozwiązania x1 ; x2 . Liczba 12 12 jest liczbą całkowitą x1
x2
dodatnią. Znajdź tę liczbę. Zakoduj cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.
8.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych Zadanie 45 Wykaż, że suma odwrotności pierwiastków wielomianu: W ( x) x 4 x 3 4 x 2 2 x 4 jest liczbą wymierną. Zadanie 46 Rozwiąż nierówność: x 4 x 2 2 x Zadanie 47
Wykaż, że liczby a sin 60 0 cos 60 0 b tg 450 cos 30 0 są pierwiastkami wielomianu: W ( x) 4 x 3 8x 2 x. 2
Zadanie 48 Reszta z dzielenia wielomianu W ( x) 4 x 3 5x 2 23x m przez dwumian x + 1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu. Zadanie 49 O wielomianie W ( x) 2 x 3 ax 2 bx c wiadomo, że liczba 1 jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz że W(x) jest podzielny przez dwumian x + 2. Oblicz współczynniki a, b, c. Dla obliczonych wartości a, b, c rozwiąż nierówność: W(x + 1)<0. Zadanie 50 Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie: (𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 1)[𝑥 2 − (2𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚2 + 𝑚] = 0 ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Zadanie 51 Wielomian W ( x) x 4 2 x 3 5x 2 6 px 9 jest podzielny przez dwumian x – 1 . Oblicz p. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zadanie 52 Reszta z dzielenia wielomianu W( x) przez dwumian (x + 2) jest równa 4, reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez dwumian ( x − 2) to (−8), a reszta z dzielenia wielomianu przez (x − 1) wynosi 6. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez (x + 2)(x −2)(x−1). Zadanie 53 Rozwiąż nierówność: x 3 4 x 2 5 x 0 .
9.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności wymiernych Zadanie 54 Wyznacz wartość parametru a, dla którego równanie: ax 49 a 2 7 x ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zadanie 55 Wyznacz wszystkie liczby całkowite x, dla których wartość wyrażenia liczbą całkowitą.
9 x
4 x 1 jest 3x 2 x 2 3x 2 3
2
10.1. Wybrane zadania otwarte dotyczące ogólnych własności funkcji, rachunek różniczkowy Zadanie 56 Dana jest funkcja f ( x) x 1 x 2 dla x R . a) b) c) d)
Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x (−∞,−2). Naszkicuj wykres tej funkcji. Podaj jej miejsca zerowe. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f (x) = m nie ma rozwiązania.
Zadanie 57 2 x 1 2 x 0 . Określ liczbę rozwiązań równania: Narysuj wykres funkcji: f ( x) x 4 4 x 0 f ( x) m w zależności od parametru m.
Zadanie 58 W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że f ma następujące własności: - jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, - f jest funkcją nieparzystą, - f jest funkcją ciągłą oraz: f ' ( x) 0 x 8;3 1;0,
f ' ( x) 0 x 3;1, f ' (3) f ' (1) 0, f (8) 0, f (3) 2, f (2) 0,
f (1) 1. W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji f w przedziale 8;8 , wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach. Zadanie 59 Dana jest funkcja f określona wzorem 𝑓(𝑥) = Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
|𝑥+3|+|𝑥−3| 𝑥
dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0.
Zadanie 60 Dana jest funkcja f określona wzorem: f ( x)
x 8 dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz x2 6
1 wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku 2 rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 61
2 x 4 15 dla wszystkich liczb rzeczywistych x, 6 x2 takich że x 6. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 1. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonego wyniku. Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x)
Zadanie 62 Funkcja f jest określona wzorem f ( x) pochodną funkcji f w punkcie x = 12.
x2 dla każdej liczby rzeczywistej x 4. Oblicz x4
11.1 Wybrane zadania otwarte dotycząc funkcji liniowej Zadanie 63 Funkcja liniowa f określona jest wzorem f (x) = ax + b dla x R. a) Dla a = 2008 i b = 2009 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt P = (2009, 20092); b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór: 1 A x; y : x 1;3 y x b b 2;1 . 2
12.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji kwadratowej Zadanie 64 Dana jest funkcja kwadratowa f ( x) m 2x 2 3m 2x 1. Wyznacz w zależności od 1 1 parametru m wzór funkcji g ( x) , gdzie x1 , x2 są różnymi miejscami zerowymi x1 x 2 funkcji f. podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g. Zadanie 65 Funkcja kwadratowa f ( x) 2 x 2 bx c jest malejąca w przedziale ;4 i rosnąca w przedziale 4; , a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12. Wyznacz współczynniki b i c oraz nie wyznaczając miejsc zerowych funkcji oblicz wartość wyrażenia: x12 x22 . Zadanie 66 Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu: y
1 2 x 1 jest równoodległy od osi O X i 4
od punktu F = (0, 2) . Zadanie 67 Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji f ( x) x 2 6 x. Punkt C leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta. Zadanie 68 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa: f ( x) x 2 (2m 2) x 2m 5 ma dwa różne pierwiastki x1 ; x2 takie, że suma kwadratów odległości punktów A ( x1 ;0) i B ( x2 ;0) od prostej o równaniu: x + y + 1 = 0 jest równa 6. Zadanie 69 Dana jest parabola o równaniu y x 2 1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do paraboli w punkcie A. Zadanie 70 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f określona wzorem f ( x) m 2 1x 2 21 mx 2 przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej. Zadanie 71 Dany jest trójmian kwadratowy: f ( x) m 1x 2 m 1x 2m 3. Wyznacz wzór funkcji g(m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę miejsc zerowych funkcji f. Narysuj wykres funkcji g.
13.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji wielomianowej, wymiernej i homograficznej Zadanie 72 x3 2x 2 x 2 x2 x 2 a) przedstaw wzór funkcji w najprostszej postaci b) naszkicuj wykres funkcji c) narysuj wykres funkcji g ( x) f ( x) f ( x) i podaj jej zbiór wartości.
Dana jest funkcja f ( x)
Zadanie 73 Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia warunek f (0) = 90 . Wielomian g dany jest wzorem g ( x) x 3 14 x 2 63x 90. Wykaż, że: g (x) = − f (− x) dla x R .
Zadanie 74 1 . Przeprowadzono prostą x2 równoległą do osi OX , która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3,−1) . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji: f ( x)
Zadanie 75 Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = (𝑚 − 5)𝑥 4 + 4𝑥 2 + 𝑚 + 7, 𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑥 ∈ 𝑅. Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚 ∈ 𝑅, dla których funkcja ma 4 różne miejsca zerowe. Zadanie 76 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) 4 x 3 2 x 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta l o równaniu 10x – y + 9 = 0 jest styczna do wykresu funkcji f. Zadanie 77 Funkcja f jest określona wzorem f ( x) x 4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f , która jest równoległa do prostej y = 4x + 7.
14.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji wykładniczej i logarytmicznej Zadanie 78 Dana jest funkcja f ( x) log 2 x . Naszkicuj wykres funkcji, a następnie napisz wzór funkcji y g (m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania
f(x) = m. Naszkicuj wykres funkcji g. Zadanie 79 x
3 Funkcja f określona jest wzorem: f ( x) . Funkcja g powstaje w wyniku przesunięcia 2 wykresu funkcji f o wektor: 1;2. a) zapisz wzór funkcji g, uzyskanej w wyniku tego przesunięcia; b) sporządź wykres funkcji g; c) wskaż największą liczbę m ( m R ) taką, dla której równanie g(x) = m nie ma rozwiązania.
Zadanie 80 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) log x2 3 x 3 4 x 2 x 4 i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Zadanie 81 2 x 2 3 x 2
1 Dane są funkcje: f ( x) 3 i g ( x) . Oblicz, dla których argumentów x 9 wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g. x 2 5 x
Zadanie 82 Rozwiąż nierówność: log 1 x 2 1 log 1 5 x log 1 3x 1.
3
3
3
Zadanie 83 Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji: f ( x) log
8x x . 2
2 2
Zadanie 84 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f ( x) a x x R.
a) Oblicz a. b) Narysuj wykres funkcji g(x) = f ( x) 2 i podaj wszystkie wartości parametru m ∈ R, dla których równanie g(x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zadanie 85 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) log 2 cos x 9 x 2 i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych. Zadanie 86 Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f(x) = log2(x – p).
Podaj wartość p, narysuj wykres funkcji określonej wzorem y f (x) . podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f ( x) m ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach. Zadanie 87 Określ dziedzinę funkcji: f ( x) log 2 log 1 x 1 . 3 Zadanie 88 Narysuj wykres funkcji f ( x) 2 x2 x . Następnie w osobnym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji g ( x) f ( x) 3 i na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania g( x)= m w zależności od parametru m.
15.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ogólnych własności ciągów liczbowych Zadanie 89
5n 6 dla każdej liczby naturalnej n 1. 10n 1 a) Zbadaj monotoniczność ciągu a n .
Dany jest ciąg a n , gdzie a n
b) Oblicz
lim an . n
c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b takie, że dla każdego n spełniony jest
warunek: a a n b. Zadanie 90
3n 2 5n 2 Oblicz granicę ciągu: lim . n 8n 7 n 4 Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy. Zadanie 91 2n3 3n lim . Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego Oblicz n 1 4n 3 otrzymanego wyniku. Zadanie 92 a1 32 Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym . Wyznacz czwarty wyraz 1 a n 1 a n 2 7 tego ciągu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 93 Oblicz granicę ciągu określonego wzorem ogólnym a n
n 43n 2 1
. 11n 3 5n 2 Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego przybliżenia. Zadanie 94 2 n2 n 2 . Oblicz granicę lim n n 2 n 444
16.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu arytmetycznego Zadanie 95 Ciąg a n jest arytmetyczny. Wiedząc, że
a1 a3 , wyznacz różnicę tego ciągu. a 2 a5
Zadanie 96 W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet. Zadanie 97 W ciągu arytmetycznym a n , dla n 1, dane są: a1 2 oraz różnica r = 3. Oblicz największe n takie, że a1 a 2 a3 ... a n 2012. Zadanie 98 Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem.
17.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu geometrycznego Zadanie 99 Wyznacz x, tak aby liczby: x 3; x 2 3x;11x 2 były w podanej kolejności wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych. Zadanie 100 Ciąg (x − 3, x + 3, 6x + 2,...)jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach S 1 dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że 19 , gdzie Sn oznacza sumę n S 20 4 początkowych wyrazów tego ciągu. Zadanie 101 O ciągu a n dla n 1 wiadomo, że:
a) ciąg a n określony jest wzorem: a n 3 xn dla n 1 jest geometryczny o ilorazie q = 27. b) x1 x2 ... x10 145. Oblicz x1 . Zadanie 102 Spiralę tworzymy następująco: kreślimy półokrąg o średnicy AB 2r i środku O, do tego półokręgu dorysowujemy półokrąg o średnicy OB. i środku C. Następnie kreślimy półokrąg o średnicy OC i środku D. itd. Oblicz długość spirali złożonej z dziesięciu otrzymanych półokręgów.
A
O
D
C
B
Zadanie 103 Pole kwadratu K jest równe 8. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt C1. Następnie połączono środki boków czworokąta C1, tworząc czworokąt C2. W podobny sposób utworzono czworokąty C3, C4,... K C1
C2
Suma pól czworokątów: K + C1 +C2 + ... + Cn jest równa 15,75. Znajdź liczbę n. Zadanie 104 Wyznacz liczbę x, tak aby liczby dodatnie: tworzyły ciąg geometryczny.
1 log 2 (2 x 5);3 log 8 (2 x 5); log 3
3
3 log 32 9
Zadanie 105 Ciąg geometryczny a n ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz log a1 log a 2 log a3 ... log a100 100. Oblicz a1 . Zadanie 106 3 1 Dany jest ciąg geometryczny a n o wyrazach dodatnich taki, że a1 , a 3 . Oblicz sumę 4 3 wszystkich wyrazów tego ciągu.
Zadanie 107 Suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 8. Suma nieskończonego ciągu 512 utworzonego z sześcianów wyrazów danego ciągu jest równa . Wyznacz pierwszy wyraz 7 i iloraz tego ciągu. Zadanie 108 Niech Pn oznacza pole koła o promieniu
1 ; n 1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu 2n
(Pn).
18.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego Zadanie 109 Suma trzech różnych liczb, tworzących ciąg geometryczny, jest równa 156. Liczby te są jednocześnie pierwszym, siódmym i dwudziestym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby. Zadanie 110 Dany jest rosnący ciąg geometryczny a n , w którym a1 6; a3 24. Wyznacz wzór na n- ty a wyraz ciągu a n oraz oblicz x, jeśli wiadomo, że liczby a2 1; 5 ;3x 2 tworzą ciąg 4 arytmetyczny. Zadanie 111 Udowodnij, że jeżeli ciąg (a, b, c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a=b=c.
Zadanie 112 O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c =10 , zaś ciąg (a +1, b + 4, c +19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby. Zadanie 113 Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64,to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości. Zadanie 114 Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a + b + c =33, natomiast ciąg (a-1, b+5, c + 19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c. Zadanie 115 Wiedząc, że ciąg a n jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu bn określony jest wzorem bn 5 an , Wykaż, że ciąg bn jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od n, iloczyn b1 b2 b3 ... bn , przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu a n jest równy 1, a jego różnica jest równa 3.
19.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji trygonometrycznych oraz rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych Zadanie 116 Rozwiąż równanie: sin( x
3
) sin( x
3
)
1 w przedziale 0;2 . 2
Zadanie 117 Dla jakich x liczby:
1 ; cos x; sin x w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu 2tgx
geometrycznego? Zadanie 118 Rozwiąż równanie: tgx(2 sin x cos x cos x) 0 x ;2 . Zadanie 119 Określ, jaką liczbą – dodatnią czy ujemną, jest sin x cos x, wiedząc, że 1 1 x ; 1 sin x tgx 0 . 2 cos x 3 Zadanie 120
Wyznacz rozwiązanie równania: 2 cos 2 x 3 sin x x 0; . 2 Zadanie 121 Wykaż, że cos cos 1. Zadanie 122 Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji y = f (x), otrzymanego z wykresu funkcji g(x) = sin x w wyniku odpowiednich przekształceń. Znajdź wzór funkcji f i rozwiąż równanie: f ( x) 3.
Zadanie 123 a) Naszkicuj wykres funkcji: f ( x) sin 2 x w przedziale 2 ;2 . b) Naszkicuj wykres funkcji f ( x)
sin 2 x sin 2 x
w przedziale 2 ;2 i zapisz, dla których
liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność
sin 2 x sin 2 x
0.
Zadanie 124 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x)
sin 2 x sin x sin x
dla x 0; ;2 .
a) Naszkicuj wykres funkcji f . b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. Zadanie 125 Rozwiąż równanie: 4cos2 x = 4sin x +1 w przedziale <0, 2π>. Zadanie 126 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 cos 2 x 5 sin x 4 0 należące do przedziału: 0;2 . Zadanie 127 Rozwiąż równanie: 2 sin 2 x 2 sin 2 x cos x 1 cos x w przedziale <0, 2π>. Zadanie 128 Rozwiąż równanie: cos 2x 2 3 cos x . Zadanie 129 4 Kąt α jest taki, że sin cos . Oblicz wartość wyrażenia: cos sin . 3 Zadanie 130 Rozwiąż równanie: cos 2x cos x 1 0 dla x 0,2 .
Zadanie 131 Rozwiąż równanie: sin x cos x 0,25 x 0;2 . Zadanie 132 Rozwiąż równanie:
3 cos x 1 sin x x 0;2 .
Zadanie 133 Rozwiąż równanie sin 5x cos 2x sin x 0 Zadanie 134 Wykaż, że dla każdego kąta prawdziwa jest równość: 4sin 6 cos 6 1 3 cos 2 2 . Zadanie 135 Rozwiąż nierówność: cos 5 x
1 dla x ; . 2
Zadanie 136 Rozwiąż równanie: sin 3x sin 9 x 0 x 0; . Zadanie 137 Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie: sin 5x sin x 0
20.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące planimetrii – podstawowe definicje, trójkąty, wzajemne położenie okręgu i trójkąta Zadanie 138 W trójkącie o polu
1 ab dwa boki mają długość a i b. Znajdź długość trzeciego boku. 4
Zadanie 139 W trójkącie ABC są dane: AC 10; BC 10 2. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość: R = 10. Oblicz miarę kąta ACB. Zadanie 140 Boki trójkąta ABC są równe a, b, c. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka A do boku a. Zadanie 141 3 Dany jest trójkąt o bokach długości 1; ;2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw 2 najkrótszego boku tego trójkąta.
Zadanie 142 W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: BC = 9 , CA = 12 . Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość odcinka AD . Zadanie 143 Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra
Zadanie 144 Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz b. Wyznacz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu. Zadanie 160 Trapez o ramionach długości 6 i 10 jest opisany na okręgu. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 3 : 5. Oblicz długości podstaw trapezu. Zadanie 161 Trapez ABCD podzielono na trzy figury o równych polach. Sposób podziału ilustruje rysunek. Wiedząc, że bok kwadratu CDEF jest równy 6, oblicz: a) obwód trapezu ABCD, b) cosinus kąta CBF. D C
E
F
A
B
Zadanie 162 Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu ma długość 12, a długość okręgu wynosi 13 . Oblicz pole trapezu. Zadanie 163 Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i CS 2 krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że . Wyznacz długość ramienia SB 5 tego trapezu oraz oblicz cosinus CBD . Zadanie 164 Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
3 8
.
Zadanie 165 Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 17 i BC 10. Na boku AB leży punkt D taki, że
AD : DB 3 : 4 oraz DC 10. Oblicz pole trójkąta ABC. Zadanie 166 Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa ma długość 5 i każde z ramion też ma długość 5. Oblicz długość dłuższej podstawy tego z rozpatrywanych trapezów, który ma największe pole. Oblicz to pole.
21.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące położenia okręgów na płaszczyźnie i kątów w okręgu Zadanie 167 Okrąg o środku A i promieniu długości r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu R (R > r). Prosta k jest styczna do obu okręgów i tworzy z prostą AB kąt ostry α. Wyznacz sin α w zależności od r i R. Zadanie 168 Dane są trzy okręgi o środkach: A, B, C i promieniach równych odpowiednio: r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC. Zadanie 169 Punkty: P1 , P2 , P3 ,..., P23 , P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw: P11P22 i P1 P16 .
Udowodnij, że P16 AP11 60 0.
23.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące geometrii analitycznej Zadanie 170 Dany jest okrąg o środku S = (3; -4) i promieniu r = 5. Okrąg ten przekształcono przez jednokładność o środku O = (2; -1) i skali k = -3. Wyznacz równanie okręgu po tym przekształceniu. Zadanie 171 Oblicz, dla jakich wartości parametru k punkt przecięcia prostych o równaniach: y = -x; 2 2 y = x + k należy do koła o nierówności x 1 y 1 10. Zadanie 172 Napisz równanie okręgu o środku S = (10; -3) stycznego do prostej o równaniu: 3 y x 3. 4 Zadanie 173 Obrazem odcinka AB, gdzie A = (1; 0), B = (2; 1) w jednokładności o skali k > 1 i środku P jest odcinek CD, gdzie C = (4; 0); D = (6; 2). Zapisz równanie okręgu o środku w punkcie P i promieniu AB . Zadanie 174 Punkty równoległe od prostej o równaniu: y
1 1 i punktu P (0; ) należą do wykresu 2 2
funkcji f. Znajdź wzór tej funkcji. Zadanie 175 Dany jest okrąg o środku w punkcie (2; 1) i promieniu 17 . Punkty A, B są punktami przecięcia tego okręgu z osią OX. Punkt C leży na prostej 3x – y +3 = 0, a pole trójkąta ABC jest równe 24. Oblicz współrzędne punktu C. Zadanie 176 Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y x 2 6 x Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi OX . Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta. Zadanie 177 Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu: x 162 y 2 4 jest okrąg o równaniu: x 62 y 42 16 , a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną. Zadanie 178 2 2 W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu x 2 y 3 4 oraz zaznacz punkt A = (0,−1). Prosta o równaniu x = 0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt A.
Zadanie 179 Punkt A = (−2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym | AC |=| BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y = x +1. Oblicz współrzędne wierzchołka C. Zadanie 180 Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu: x 2 y 2 2 x 2 y 3 0 poprowadzonymi przez punkt A = (2; 0). Zadanie 181 5 1 W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P m ; m , gdzie 2 2 2 55 m 1;7 . Oblicz najmniejszą i największą wartość PQ , gdzie Q ;0 . 2 Zadanie 182 Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A =(0; 2) i B = (2; 0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C = (1; a) , gdzie a > 1. Wyznacz równanie prostej l.
Zadanie 183 Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3; -2) i B = (11; 4) . Na prostej o równaniu y = 8x + 10 znajdź punkt P, dla którego suma AP BP , jest najmniejsza. 2
2
Zadanie 184 Dane są zbiory punktów, określone nierównościami: A : x 2 6 x y 2 12 y 4 i B : 3x y 0. Narysuj figurę F A B i wyznacz jej pole. Zadanie 185 Prosta o równaniu 3x – 4y -36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3; 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu. Zadanie 186 W trójkącie ABC punkty: K = (2; 2); L = (-2; 1), M = (-1; -1) są odpowiednio środkami boków AB, BC, AC. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta A’ B’ C’, który jest obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Zadanie 187 Z punktu A = (6; 3) poprowadzone styczne do okręgu 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 = 0. Podaj równania stycznych. Oblicz odległość punktów styczności oraz pole figury zaznaczonej na rysunku.
Zadanie 188 Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym 𝐴 = (0; 2√3); 𝐵 = (2; 0), a C leży na osi OX. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E. Zadanie 189 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu: y = mx + (2m + 3) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0; 0) i promieniu: r = 3. Zadanie 190 Rozważamy wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku AB, gdzie A = (-1; 4) i B = (1; 4), a pozostałe dwa na paraboli o równaniu y 2 x 2 2 (zobacz rysunek). Wyznacz wymiary tego z prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to pole.
Zadanie 191 Okrąg jest styczny do osi OX w punkcie A = (2; 0). Punkt B = (-1; 9) leży na tym okręgu. Wyznacz równanie tego okręgu. Zadanie 192 2 2 Okrąg o środku S = (3; 2) leży wewnątrz okręgu o równaniu x 6 y 8 100 i jest do niego styczny. Wyznacz równanie prostej stycznej do obu tych okręgów. Zadanie 193 Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(3,−1), B=(−1, 1), jeśli wiadomo, że jego środek należy do prostej o równaniu: y = 4 − x. Zadanie 194 Oblicz odległość punktu A = (5,−6) od prostej l: y = 2x + 1. Podaj przybliżenie dziesiętne otrzymanego wyniku z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zakoduj cyfrę jedności i dwie początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia. Zadanie 195 2 2 Dany jest okrąg Oo o równaniu x 3 y 1 1. W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi O1; O2 styczne zewnętrznie do okręgu Oo jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów O1 oraz O2 .
24.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące stereometrii Zadanie 196 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H = 8 i krawędzi podstawy a = 12. Przez krawędź podstawy i środki rozłącznych z nią krawędzi bocznych poprowadzono płaszczyznę. Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz pole otrzymanego przekroju. Zadanie 197 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 2a. Miara kąta miedzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa . Oblicz objętość graniastosłupa. Zadanie 198 Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długości 2a. Oblicz cosinus kata dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony w zadaniu kąt dwuścienny. Zadanie 199 Dany jest ostrosłup trójkątny, którego podstawą jest trójkąt równoramienny o bokach długości 5; 5; 6 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 2 cm. Spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zadanie 200 Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 60. Wysokość jest o 2 większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej ścianie, poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego w ten sposób przekroju. Zadanie 201 Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi 2/3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika. Zadanie 202 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H – wysokość ostrosłupa oraz α – miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( 450<α <900 ). 4 H3 . a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa: 3 tg 2 1 2 b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa: H 3 . Wynik 9 podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni. Zadanie 203 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość ai krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
Zadanie 204 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α .Wyznacz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 205 Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. Zadanie 206 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy AC : AS = 6 : 5 . Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Zadanie 207 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz AS 8 210 ; BS 118; CS 131 . Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 208 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AB = 30 , BC = AC = 39 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 209 W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 210 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α. Oblicz objętość ostrosłupa. Zadanie 211 Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku.
Zadanie 212 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę 45 0 (zobacz rysunek). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 213 Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek)
Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość. Zadanie 214 Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa 24. Wyznacz promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę objętość. Zadanie 215 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt jest kątem między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Kąt jest kątem przy podstawie ściany bocznej (tzn. kątem między krawędzią podstawy i krawędzią boczną ostrosłupa) zobacz rysunek. Wykaż, że cos tg 2 1.
Zadanie 216 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zadanie 217 Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi równej 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH. Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD opuszczoną z wierzchołka D na ścianę ACS. Oblicz długości odcinków AW, CW i SW. Zadanie 218 Kwadrat ABCD o boku długości 1 jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Odcinek HS jest wysokością ostrosłupa, przy czym punkt H dzieli przekątną AC podstawy w stosunku 2 : 1 (z0bacz rysunek). Krawędzie boczne BS i DS mają długość równą 1. Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz długości krawędzi AS i CS.
Zadanie 219 Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, jeśli wiadomo, że krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Zadanie 220 Sześcian o krawędzi a = 6 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do niej pod kątem 30°. Oblicz wysokość otrzymanego przekroju. Podaj przybliżenie otrzymanego wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku i zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia. Zadanie 221 Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym suma wszystkich krawędzi jest równa 18. Oblicz możliwie największą objętość takiego graniastosłupa.
25.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące kombinatoryki Zadanie 222 Rozwiąż równanie P x2 Vx2 10 P x1 , widząc, że: Pn - oznacza liczbę wszystkich różnych permutacji bez powtórzeń zbioru nelementowego. V nk - oznacza liczbę wszystkich różnych k- elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n- elementowego.
Zadanie 223 Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki. Zadanie 224 Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12. Zadanie 225 Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15. Zadanie 226 Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5. Zadanie 227 Oblicz ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4. Zadanie 228 Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie dwójki i jedna jedynka.
25.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rachunku prawdopodobieństwa Zadanie 229 Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 kul czarnych losujemy jedną. Po obejrzeniu koloru zwracamy ją do urny. Następnie wyciągamy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosujemy 3 kule jednego koloru. Zadanie 230 W konkursie „Jaka to melodia” uczestnik zna 12 spośród 20 piosenek. Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki, a uczestnik musi odgadnąć co najmniej tytuł jednej piosenki, by przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu podając wynik z dokładnością do 0,01. Zadanie 231 Ze zbioru Z 1;2;3;...;2n 1 n N wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było 7 . większe od 13 Zadanie 232 W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że 13 wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest o mniejsze od 33 prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek było w szufladzie. Zadanie 233 Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego kursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki. Zadanie 234 Niech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P(A)i P(B). Wykaż, że jeżeli P(A)= 0,85 i P(B)= 0,75, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność P(A/ B) ≥ 0,8. Zadanie 235 Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie. Zadanie 236 W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul 9 prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od . 22
Zadanie 237 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3. Zadanie 238 A, B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykaż, że jeżeli P( A) = 0,9 i P(B) = 0,7 ,to P( A ∩ B') ≤ 0,3 ( B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Zadanie 239 Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P A B' 0,7 ( A’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A , B’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).Wykaż, że P A'B 0,3. Zadanie 240 Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P A B' 0,1 i P A'B 0,2. Wykaż, że P A B 0,7 ( A’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B). Zadanie 241 Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60. Zadanie 242 W zielonym pudełku jest 10 monet pięciozłotowych i 5 monet dwuzłotowych, a w białym pudełku są 2 monety pięciozłotowe i 3 monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy jednocześnie 2 monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w sumie 7 złotych. Zadanie 243 Na ile sposobów można ze standardowej talii 52 kart wybrać 13 kart tak, aby mieć co najwyżej jednego czerwonego (kier lub karo) asa? Jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia? Zadanie 244 Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, ze numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie dwóch pozostałych kul. Zadanie 245 Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo pk otrzymania liczby k jest wzorem: 1 6 pk . Rozważamy dwa zdarzenia: 64 k zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {1; 3; 5}, zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {2; 3; 4; 5; 6}. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P A / B.
Zadanie 246 Ze zbioru cyfr {1,2,3,...,9} wylosowano dwa razy po jednej bez zwracania i ułożono w kolejności losowania w liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób ułożono liczbę większą od 55. Zadanie 247 Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.
