Oddziaływanie Promieniowania Jądrowego Z Materią

Transcript

ODDZIAŁYWANIE PROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Z MATERIĄ WSTĘP Oddziaływanie, jakiego doznaje materia od czynników zewnętrznych może być bardzo rozmaite. Ze względów praktycznych oddziaływania takie dzielimy na pewne grupy w rozmaity sposób, czasem bardziej merytoryczny a czasem tradycyjny. Oddziaływanie promieniowania jądrowego jest przykładem istniejących problemów. Źródło emitujące dużą liczbę określonych elementów nazywamy źródłem promieniowania. Zbiór tych emitowanych elementów, które nazywamy promieniowaniem, tworzy wiązkę, rozchodzącą się w pewnym obszarze przestrzeni. Dlatego też w opisie klasycznym możemy mówić np. o promieniowaniu elektronowym, protonowym, neutronowym czy innym oprócz „prawdziwego” promieniowania elektromagnetycznego. Uzasadnieniem jest hipoteza de Broglie’a, która korpuskułom przypisuje cechy falowe a falom cechy korpuskuł. Pierwotnie do promieniowania jądrowego zaliczano cząstki, które były bezpośrednio związane z jądrem atomowym a więc promieniowanie , i . Po pewnym czasie trzeba było również dołączyć neutrony, protony, mezony. Ze względów praktycznych dołączono również promieniowanie X, produkty dzielenia ciężkich jąder, ciężkie jony oraz inne cząstki. Zwykle energia przekazywana w akcie oddziaływania jest dostateczna do wzbudzenia lub jonizacji napotykanych atomów, cząstek, makrocząstek itp. Dzięki istnieniu rejestrowalnego wpływu tego promieniowania można z jednej strony konstruować detektory promieniowania jądrowego, z drugiej, promieniowanie to działa destrukcyjnie, szczególnie na materię organiczną. Ogólny opis oddziaływania promieniowania jądrowego z materią jest skomplikowany ze względu na różnoraką możliwość takiego oddziaływania, która zależy od wielu cech fizycznych zarówno samego promieniowania jak i materii, na którą oddziałuje. Do opisu oddziaływania promieniowania jądrowego z materią wykorzystuje się głównie kwantową i czasem klasyczną teorię zderzeń. Oprócz tego przy opisie oddziaływania promieniowania jonizującego wystarczy w zasadzie uwzględnienie oddziaływań kulombowskich, do opisu reakcji jądrowych trzeba również uwzględniać oddziaływania silne. Promieniowanie jądrowe, ze względu na specyfikę zarówno oddziaływania jak i opisu można podzielić na promieniowanie korpuskularne naładowane (np. promieniowanie , promieniowanie ), i promieniowanie korpuskularne nienaładowane (np. neutrony, neutrina) oraz promieniowanie elektromagnetyczne wysokiej energii (promieniowanie  i promieniowanie X). Niektóre rodzaje promieniowania były od dawna stosowane w innych dziedzinach, np. promieniowanie X w medycynie. Tam na to promieniowanie przyjęła się nazwa promieniowanie jonizujące, ale z fizycznego punktu widzenia, jonizacja następuje pod wpływem oddziaływania kulombowskiego. Zjonizowana materia może natomiast powstać na skutek działania różnych czynników, w tym też oddziaływania czysto mechanicznego (elektrony drapane). Dopiero jednak w roku 1956 Międzynarodowa Komisja Jednostek Radiologicznych (ICRU) podzieliła umownie promieniowanie jonizujące na promieniowanie jonizujące bezpośrednio i jonizujące pośrednio. Zgodnie z takim rozstrzygnięciem, promieniowanie, które tradycyjnie nazywamy jądrowym, można podzielić nieco dokładniej, biorąc pod uwagę ich masę spoczynkową cząstek tego promieniowania:  promieniowanie jonizujące bezpośrednio Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 1 - lekkie (elektrony, pozytony, ...) - ciężkie (protony, deuterony, cząstki , ciężkie jony ...)  promieniowanie jonizujące pośrednio - kwanty promieniowania elektromagnetycznego - ciężkie (neutrony, ...). Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią zależy nie tylko od rodzaju cząstek, ale również od ich ładunku elektrycznego, energii, masy oraz nieraz od innych parametrów. Skutek oddziaływania zależy również od rodzaju materii, z która promieniowanie oddziałuje. W akcie oddziaływania cząstka, będąca elementem promieniowania, może przekazać napotkanemu elementowi materii część lub całą swoją energię kinetyczną. Oddziaływanie to może zachodzić w różnych procesach, których prawdopodobieństwo zależy od charakterystycznych cech zarówno cząstek jak i materii. Może ono wywoływać zmiany w warstwie elektronowej atomu czy cząsteczki w procesach jonizacji, wzbudzenia czy rozproszenia, ale również w jądrze atomowym, czyli inicjować przemiany jądrowe. Niektóre procesy oddziaływania promieniowania jądrowego z materią prowadzą do skutków podobnych do skutków wywołanych inną przyczyną. Można np. otrzymać zjonizowany element materii przez działanie mechaniczne, elektryczne, cieplne czy jeszcze w inny sposób. Ogólny mechanizm zjawiska jest we wszystkich przypadkach podobny. Dlatego przy opisie niektórych zjawisk oddziaływania promieniowania jądrowego z materią wykorzystuje się opis wynikający z analizy klasycznego procesy jonizacji. Promieniowanie jądrowe wywołuje również skutki, które można opisywać jedynie w sposób przybliżony. Przykładem jest oddziaływanie z materią biologiczną, w którym mechanizm oddziaływania jest tak złożony, a niektóre skutki są widoczne po dłuższym czasie i to na tle skutków innych przyczyn. Opisanie analityczne jest wtedy bardzo trudne a czasem wręcz niemożliwe. Tradycyjnie, oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią dzieli się na dwie części, oddziaływanie promieniowania jonizującego (bezpośrednio czy pośrednio) z materią i przemiany (reakcje) jądrowe. Oddziaływanie promieniowania jonizującego obejmuje procesy, w których struktura jądra nie jest w zasadzie naruszona. Przemiany jądrowe obejmują bezpośrednie oddziaływanie cząstek z jądrem. Cząstce posiadającej energię kinetyczną E można przypisać długość fali de Broglie'a  i podobnie kwantowi o energii  i masie spoczynkowej m = 0 można przypisać długości fali: c ,  gdzie c oznacza prędkość światła, oraz określony pęd:  p 2  . ( 1) ( 2)  Dlatego też w opisie wielu zjawisk można używać terminu cząstka, jeżeli wiadomo, czy w danym przypadku jest mowa o cząstce o masie spoczynkowej m  0 czy o kwancie energii o masie spoczynkowej m = 0. Jeżeli na drodze poruszającej się cząstki znajdzie się inna cząstka i dochodzi do określonego oddziaływania, to takie oddziaływanie zwyczajowo nazywamy zderzeniem. Zderzenia dwu lub więcej jednakowych lub różnych cząstek stanowią dużą i różnorodną grupę procesów zachodzących zarówno w makro jak i mikroświecie. Jeżeli jednakowe ciała A tworzą strumień cząstek, który oddziałuje z dużą liczbą ciał B tworzących pewną objętość, zwaną tarczą, to taki proces nazywamy zwykle rozpraszaniem cząstek A na cząstkach B. Ogólny opis rozpraszania cząstek jest skomplikowany, ale w wielu zagadnieniach Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 2 wystarczy przybliżenie rozpraszania sprężystego. Badanie rozpraszania sprężystego cząstek  na cienkich foliach metalicznych doprowadziło do odkrycia przez Rutherforda jądra atomowego. Przy opisie rozpraszania istotna jest również geometria pola sił rozpraszających. Stosunkowo prosto opisuje się rozpraszanie w przypadku sił centralnych, np. grawitacyjnych czy kulombowskich. ODDZIAŁYWANIE PROMIENIOWANIA JONIZUJĄCEGO BEZPOŚREDNIO WSTĘP Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią zależy zarówno od rodzaju cząstek, ich ładunku elektrycznego oraz ich energii jak i rodzaju materii. W akcie oddziaływania cząstka może przekazać materii część lub całą swoją energię kinetyczną. Całkowitą drogę cząstki w materii nazywamy zasięgiem R, zależy on również od rodzaju cząstki, jej ładunku i energii kinetycznej E oraz własności materii. Dla naładowanej cząstki ciężkiej, (np. protonu, cząstki ) kolejne akty oddziaływania z materią niewiele wpływają na zmianę kierunku cząstki i dlatego zasięg R, jest równy odległości R' od źródła do końca jej drogi wyznaczonej w kierunku ruchu (rys.1.a). R R(E) R R(E) S-0000 (a) S-0000 (b) Rys. 1. Zasięg w materii cząstki ciężkiej (a) lekkiej (b) W przypadku naładowanej cząstki lekkiej (np. promieniowania ), kolejne zderzenia z atomami ośrodka powodują jej rozpraszanie w różnych kierunkach i dlatego odległość R' wyznaczona geometrycznie może się znacznie różnić od zasięgu R wyliczonego z początkowej energii kinetycznej cząstki (rys.1.b). Całkowita energia kinetyczna E strumienia cząstek przechodzących przez materię stopniowo maleje. Stratę tę opisuje się w sposób, najbardziej charakterystyczny dla danego typu promieniowania. Dla promieniowania naładowanego do opisu straty energii wprowadza się tzw. zdolność hamowania S, czyli stosunek energii dE traconej na drodze dx do wielkości drogi dx:  dE  S    [J m-1] ; ( 3)  dx  (w literaturze spotyka się jednostkę nie występującą w układzie SI: MeV/cm = 1.60210-11J/m). Jeżeli wyrazimy drogę cząstki w materii w jednostkach jej gęstości powierzchniowej to wówczas tzw. masową zdolność hamowania Sm określa zależność:  1 dE   [J m2 kg-1] S m     dx  (spotyka się również jednostkę pozaukładową MeV cm2g-1 = 1,602 10-14J m2 kg-1). Znając zdolność hamowania S materii można określić zasięg cząstki R(E) w tej materii: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II ( 4) OPM 3 E 1 R(E)    dE . S ( 5) 0 Dla promieniowania nienaładowanego strata energii odbywa się głównie przez oddziaływania z jądrami, które prowadzi zarówno do częściowego rozproszenia energii jak i do innych przemian. Neutrony np. mogą wywołać przemianę jądrową. Parametrem charakteryzującym stratę energii dla neutronów jest średnia droga swobodna  między kolejnymi zderzeniami. Stratę energii na samej drodze swobodnej można całkowicie zaniedbać. W dalszym ciągu będziemy zajmowali się głównie oddziaływaniem z materią niektórych tylko cząstek naładowanych, a mianowicie cząstek  i cząstek . Opis oddziaływania promieniowania z materią ograniczymy w zasadzie do przedziału tzw. energii średnich, czyli do energii cząstek powstałych na skutek rozpadów promieniotwórczych. Cząstka naładowana przechodząc przez materię może tracić swoją energię kinetyczną w kilku procesach, takich jak jonizacja, wzbudzenie, rozproszenie, reakcje jądrowe. Dla omawianego zakresu energii dominującym procesem oddziaływania naładowanych cząstek ciężkich (np. cząstek ) jest jonizacja, wywołana oddziaływaniami kulombowskimi. Jeżeli energia uzyskana przez jon w tym procesie jest dostatecznie duża, to jon pierwotny może wywołać jonizację wtórną, a emitowane elektrony nazywamy wówczas elektronami . Dla ciężkich cząstek naładowanych liczba aktów jonizacji przypadająca na jednostkę drogi, czyli zdolność jonizacji, jest bardzo duża, nawet dla stosunkowo niewielkich energii cząstek (ze względu na ich dużą masę cząstek, a więc małą swojej drodze od 0.6·105 do 2.4·105 par jonów. Strata energii cząstek naładowanych SJ związana z oddziaływaniami kulombowskimi z atomem zależy od odległości toru cząstki od atomu, czyli od wielkości parametru zderzenia b w stosunku do promienia atomu r (rys.1). Jeżeli mamy b » r to oddziaływanie kulombowskie jest słabe i występuje między cząstką a elektronami atomowymi. Prowadzi to do straty energii, którą nazywamy elektronową stratą energii Se. Gdy parametr zderzenia b < r, wówczas cząstka naładowana oddziałuje z polem wytworzonym przez protony co prowadzi do jądrowej straty energii Sn. Całkowita strata energii na jonizację cząstki naładowanej na skutek oddziaływań kulombowskich SJ jest więc równa sumie strat energii na oddziaływanie z elektronami Se i nukleonami Sn. M b r S-0161 Rys. 2. Cząstka naładowana i atom W wyniku oddziaływania cząstki naładowanej z materią prowadzącego do wzbudzenia atomu, może powstać promieniowanie elektromagnetyczne, tzw. promieniowanie hamowania, a odpowiednie straty energii nazywamy stratami energii na promieniowanie hamowania Sph. Przy bardzo dużej prędkości cząstka naładowana przechodząc przez dielektryk może spowodować w nim polaryzację elektronową, w wyniku której emitowane jest promieniowanie elektromagnetyczne z zakresu widzialnego, tzw. promieniowanie Czerenkowa; występuje wtedy strata energii na promieniowanie Czerenkowa Spc. Łączne straty energii na promieniowanie hamowania i na promieniowanie Czerenkowa nazywamy stratami energii na promieniowanie SP. Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 4 Cząstka naładowana, należąca do grupy hadronów (np. proton), lub jądro o odpowiedniej energii (np. cząstka ), może na skutek oddziaływań silnych wywołać przemianę jądrową. Proces ten dla przedziału średnich energii cząstek naładowanych jest jednak znacznie mniej prawdopodobny od poprzednio wymienionych i dlatego można go pominąć. Całkowita strata energii cząstki naładowanej na jednostkę drogi jest sumą wymienionych wyżej procesów: S  SJ  SP  Se  Sn  Sph  Spc . ( 6) Maksymalne straty energii związane z tymi procesami leżą zwykle w różnych przedziałach energii kinetycznej cząstek naładowanych i dlatego każdy proces można rozpatrywać oddzielnie. STRATA ENERGII NA ODDZIAŁYWANIE KULOMBOWSKIE Strata energii SC wynikająca z kulombowskiego oddziaływania poruszającej się cząstki A posiadającej ładunek elektryczny oraz nieruchomej naładowanej cząstki B zależy nie tylko od energii EA cząstki A, ale również od maksymalnej energii Emax która może zostać przekazana w akcie oddziaływania, oraz od minimalnej energii Emin koniecznej do takiego oddziaływania. Oddziaływanie to jest scharakteryzowane przez różniczkowy przekrój czynny '(Ep). Strata energii SC będzie więc równa: SC  B Emax  (E )dE p p , ( 7) Emin gdzie B oznacza gęstość cząstek B w materii. Jeżeli przez Eh oznaczymy pewną energię oddziaływań kulombowskich cząstki A z elektronami i nukleonami, to straty energii na oddziaływania kulombowskie możemy opisać wyrażeniem: Eh Emax Enin Eh  SC   e  e (Ep ) d Ep   n   (E )dE n p p , ( 8) gdzie  e (E p ) i  n (E p ) oznaczają odpowiednio różniczkowe przekroje czynne na oddziaływanie cząstki naładowanej z elektronami i nukleonami, a e i n - gęstości elektronów i nukleonów. B db b A dx b v’ 2b (a) (b) S-0074 Rys. 3. Oddziaływanie poruszającej się cząstki A z nieruchomą cząstką B Rozpatrzmy najpierw oddziaływanie ciężkiej cząstki naładowanej A o masie MA, ładunku ZAe i prędkości v z cząstką swobodną w spoczynku o masie M « MA i ładunku Ze. Zakładamy przy tym, że oddziaływanie to można traktować jako rozproszenie sprężyste o parametrze zderzenia b oraz, że kąt rozproszenia  jest bardzo mały. Jeżeli dla uproszczenia przyjmiemy, że efektywne oddziaływanie pomiędzy cząstkami zachodzi na drodze 2b (rys.3.a) to czas oddziaływania t jest równy: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 5 2b . v Przekaz pędu p dla niezaburzonej siły kulombowskiej, będzie równy: t  p  2 C . bv ( 9) ( 10) Energia kinetyczna Ep przekazana przez cząstkę A cząstce B podczas pojedynczego zderzenia wynosi: p2 C2 1 . 2 2MB MB v 2 b2 Energia kinetyczna cząstki B będzie więc wynosiła: ΔE  C 2 MA . E b2 MB a odpowiedni przekrój czynny: ( 11) EB  ( 12) C 2 MA  E  2π 2 d Ep . E Ep MB ( 13) Opisane oddziaływanie zachodzi np. pomiędzy cząstką  a elektronami atomów materii zawartej w pewnej objętości dV, danej przez pierścień o grubości dx i szerokości db (rys.3.b). Liczba elektronów biorąca udział w oddziaływaniu jest równa: ( 14) dN  2πe b db d x , gdzie e oznacza gęstość elektronów. Energia dE tracona przez cząstkę A w wyniku oddziaływania ze wszystkimi elektronami w objętości dV będzie: Ze  2 2 db , ( 15) m0v b gdzie Se oznacza stratę energii na jednostkę objętości przy oddziaływaniu z elektronami materii, m0 - masę spoczynkową elektronu. Teoretycznie parametr zderzenia b może zmieniać się w granicach (0,). W praktyce jednak będzie miał on wartości skończone od bmin do bmax. Elektronowa strata energii Se na skutek oddziaływania z elektronami zawartymi w objętości V będzie równa: Se (dV )  dE dN  4πe Ze  2 2  d b  4π Ze   ln bmax , Se  4π e  e m0v 2  b m0v 2 bmin bmax 2 2 2 ( 16) bmin Parametr zderzenia b jest ściśle związany z energią. Za minimalną energię Emin można przyjąć energię jonizacji Ej, natomiast energia maksymalna dla modelu kul sztywnych będzie wynosiła: Emax  2mv 2 . Straty energii na jednostkę drogi opisuje więc zależność: Ze   4π ( 17)  m0v 2  . ( 18)  m0v 2 E  j  Obliczenia kwantowe Bethego i Blocha, wykorzystujące przybliżenie Borna, prowadzą do dokładniejszego oszacowania granic całkowania oraz uwzględnienia efektów relatywistycznych. Dla 2 2 Se  e ln Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 6 cząstek ciężkich o energii kinetycznej E (« (M/m)Mc2) maksymalna energia przekazywana Emax jest w przybliżeniu równa:  2   Emax  2mc2  2  1   a wzór na stratę energii ma wtedy postać: ( 19)     m0 c 2 Z 2   2mv 2 Eh  2 2 ( 20)     Se  2B ln  ln 1     ,   2   E 2  j     gdzie E j oznacza średnią energię jonizacji materii o liczbie porządkowej Z, w której porusza się   cząstka, Eh - umowną górną granicę energii oddziaływania kulombowskiego z elektronami; stała B jest równa: N Z  B  πr02  A A   πr02  e ( 21)  A  gdzie r0 oznacza klasyczny promień elektronu (e2/m0c2), natomiast e- gęstość elektronów w materii. Dla cząstek naładowanych o dużych energiach, gdy spełniony jest warunek Eh « Emax, mamy oddziaływania kulombowskie z jądrem. Straty energii związane z takim oddziaływaniem zgodnie z przybliżeniem Bethego-Blocha są opisane wzorem:  m0 c 2Z 2   Emax  2   ln    .  2   Eh   Całkowita strata energii na oddziaływanie kulombowskie dana jest wtedy wyrażeniem: Sn  2B     m0 c 2 Z 2   2m0v 2 Emax  2 2 SC  2B ln   ln(1   )    .  2   E 2 j     Podstawiając wyrażenie na Emax do tej zależności otrzymamy ostatecznie: SC  4 B   m0 c 2 Z2   2m0 v 2  2 2 . ln  ln( 1   )     2   Ej 2      m ( 22) ( 23) ( 24) -3 Sc [MeV g cm ] 160 Al powietrze 120 Cu 80 Pb 40 0 Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II 0,001 0,01 0,1 E [MeV] 1 S-0163 OPM 7 Rys. 4. Zależność masowego współczynnika strat energii SCm od energii cząstki dla różnych rodzajów materii Wielkość straty energii SC na oddziaływania kulombowskie zależy od wielu czynników, z których najważniejszymi są prędkość cząstki naładowanej i rodzaj materii, nie zależy ona natomiast od masy cząstki. Straty energii SC maleją z prędkością cząstki proporcjonalnie do 1/v2. Ze wzrostem liczby porządkowej Z maleje natomiast stosunek Z/A oraz rośnie przekazywana energia, co powoduje również zmniejszenie wartości SC. Zmniejszenie wartości SC jest znacznie większe przy zmianie liczby Z. Na rys.4 pokazana jest zależność masowego współczynnika strat energii na oddziaływania kulombowskie SCm od energii cząstki dla różnych rodzajów materii. Wzór (24) jest słuszny w przypadku, gdy prędkość poruszającej się cząstki jest znacznie większa od prędkości orbitalnej elektronów, czyli dla warunku ( Z c/v)2 « 1. Dla prędkości mniejszych na wielkość oddziaływania kulombowskiego wpływają również elektrony powłok atomowych K, L, ..., działające ekranująco. Wzór Bischela (1968 r.) jest modyfikacją wzoru Bethego-Blocha, zawierającą półempiryczną poprawkę (P/Z):   m0 c 2 Z2   2m0 v 2 Emax  P 2 2 . ( 25) SC  4 B ln  ln( 1   )      2   Ej 2 Z     Poprawka (P/Z) ma taką samą wartość dla cząstek naładowanych o tej samej prędkości. Elektronowe straty energii dominują dla ciężkich cząstek (np. cząstek ) poruszających się z prędkościami nierelatywistycznymi. Na rys.5 widzimy typową zależność strat energii Se od energii E dla cząstek . S-0075 Rys. 5. Zależność strat energii Se od energii cząstek  w suchym powietrzu ( = 1,226 mg/cm3, E j = 80,5 eV, Z = 7,22) Gdy prędkość cząstki  jest porównywalna z prędkościami elektronów orbitalnych atomów materii, następuje rekombinacja cząstki , w wyniku czego powstaje jon He+ lub obojętny atom He. Proces ten połączony jest ze zwiększeniem straty energii i następnie z nagłym jej zmniejszeniem. Zależność całkowitych strat energii SC na oddziaływanie kulombowskie od drogi cząstki  (rys.6) nazywa się krzywą Bragga. Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 8 S-0076 Rys. 6. Zależność strat energii Se od drogi cząstki  (krzywa Bragga) (R - zasięg ekstrapolowany) Jeżeli przez materię przechodzi wiązka elektronów, to oddziaływanie z elektronami w rozważaniach należy uwzględnić, że cząstki biorące udział w oddziaływaniu mają taką samą masę. Należy zaznaczyć, że wzór Bethego-Blocha w postaci (25) może być stosowany jedynie do elektronów o bardzo małych energiach. Dla prędkości relatywistycznych należy zastąpić go przez wyrażenie: m c 2   m c 2E SC  2 B 0 2 ln  2 0 e2    E j 1       2 2    2 1  2 2  ln 2   2  1  c  1       1    c2 8c 4      2   ( 26) gdzie Ee oznacza energię kinetyczną padającego elektronu. Dla małych energii (Ee« mc2) wzór (26) ma postać: m0 c 2  m0 v 2 e  . ln  ( 27)  2  2E j 2  Na rys.7 pokazana jest zależność straty energii elektronów w powietrzu, wyliczona ze wzoru (26). SC  4 B S-0077.doc Rys. 7. Zależność straty energii SC dla elektronów powietrzu od energii Ee Powyższe wzory oparte są na bardzo upraszczających założeniach. Dokładniejsze wyrażenia wymagają wprowadzenia poprawek, związanych zarówno z ekranującym wpływem elektronów, jak również z ich gęstością i polaryzacją. Wzór rozszerzający rozważania Bethego-Blocha (25) oraz Mǿllera i Bhabha na całkowite straty energii związane z oddziaływaniami kulombowskimi, podali w roku 1978 Kase i Nelson: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 9   2   (  2)m0 c 2  P    ( 28) SC  2 B 2 Z ln  F ( )    2 , 2      Z 2E j     gdzie  oznacza energię elektronu w jednostkach (m0c2),  - czynnik korelacyjny związany z polaryzacją i gęstością, natomiast funkcja F() dla negatonów i pozytonów ma postać: m0 c 2 2 2 F ( )  1    8   (2  1)ln 2 2 (  1) 2 . ( 29) 1 2 14 10 4     23    2 12    2 (  2) (  2) 4  Poprawka  zależy od energii cząstki i od gęstości materii (rys.8). F  ( )  2ln 2  S-0162 Rys. 8. Poprawka  (%) w zależności od energii dla różnych materiałów (gęstość materiału unormowana względem gęstości w stanie gazowym) WZORY MOTTA W poprzednim paragrafie przedstawiono, dokonaną przez Rutherforda, analizę oddziaływania cząstek naładowanych z jądrami dla przypadku m« M. Oddziaływania opisano w układzie laboratoryjnym (L). Nie można więc tego opisu stosować gdy obie masy są porównywalne. Dla porównywalnych mas cząstek oddziałujących, ze względu na dużą zmianę energii cząstki podczas zderzenia, wygodniej jest prowadzić analizę w układzie środka mas (S). W układzie tym różniczkowy przekrój czynny na rozproszenie ’() dla dwu identycznych mas, czyli wzór Rutherforda, będzie miał postać: 2  Z2e2  1  ( )   , 2   m v  4 sin 4  2'  ( 30) gdzie m wyraża masę zredukowaną. Przechodząc do układu laboratoryjnego otrzymamy wyrażenie: 2  Z 2 e 2  cos   ()   . ( 31) 4  E  sin  Wyrażenie to nie daje jednak eksperymentalnie wyznaczonej wartości różniczkowego przekroju czynnego dla porównywalnych mas. Jedną z przyczyn jest identyczność cząstek, co prowadzi do niemożności rozróżnienia, czy dana cząstka jest rozproszona pod kątem  czy pod kątem (/2)-. Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 10 Uwzględnienie tego efektu wymaga wprowadzenia dodatkowo czynnika proporcjonalnego do 1/cos4: 2  Z 2e 2  1   1  cos  4   ()   ( 32) . 4 E sin  cos      Jeszcze lepszą zgodność z eksperymentem daje zastosowanie wzorów Motta, które uwzględniają wszystkie efekty kwantowe. Dla najprostszego przypadku, dla cząstek nierelatywistycznych o spinie zerowym (np. rozpraszanie cząstek  na jądrach helu), wzór Motta ma postać:    Z 2e 2 2    2 cos ln tg  2      Z 2e2   1 1    cos  ,   ()     4 4 2 2   E sin  cos  sin  cos        natomiast dla cząstek o spinie 1/2 (rozpraszanie protonów na jądrach wodoru) mamy: ( 33)    Z 2e 2 2    2 cos ln tg  2       Z 2e 2   1 1    cos  .   ' ()     4 4 2 2   E sin  cos  sin  cos        ( 34) ELEKTRONY  Elektron powstały w akcie jonizacji o energii większej od energii jonizacji, tzw. elektron  , może, jak wiadomo, dalej jonizować atomy. Różniczkowy przekrój czynny na tworzenie elektronów  w przedziale kątów (','+d') można uzyskać ze wzoru Rutherforda (w układzie S): 2  Ze 2  2 sin   .  ( )   2    v  4 sin 4  2'  ( 35) Kąt wylotu  elektronów  w układzie L jest zawarty w przedziale (0,/2), stąd energia kinetyczna elektronów , która wynosi 4mM E cos 2  , ( 36)  (m  M ) gdzie E oznacza energię kinetyczną cząstki jonizującej, jest zawarta w przedziale od 0 do (4m/M) E. Różniczkowy przekrój czynny przypadający na jednostkę energii jest dany wzorem: E  Ze   ( E )  2 2 2 1 . mv E 2 Ze wzory tego można wyznaczyć liczbę elektronów  zawartych w przedziale energii (E1,E2): 2 Ze   2 2 2 N mv 2 1 1   ,  E1 E2   e  ( 37) ( 38) a stąd można oszacować również ładunek wytworzony przez elektrony . Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 11 STRATY ENERGII NA PROMIENIOWANIE HAMOWANIA Przy omawianiu oddziaływań cząstek naładowanych z materią prowadzących do strat na jonizację zakłada się, że przekaz pędu jest na tyle mały, iż kierunek lotu cząstki po oddziaływaniu nie zmienia się. Jednak każde oddziaływanie, nawet przy bardzo małym przekazie pędu, prowadzi do zmiany kierunku ruchu. Zmiana kierunku ruchu zależy zarówno od energii cząstki jak i od liczby porządkowej Z materii. Załóżmy, że cząstka o masie m1 i ładunku Z1e przechodzi w pobliżu jądra o ładunku Z2e. W wyniku oddziaływania kulombowskiego pomiędzy cząstką a jądrem doznaje ona przyspieszenia -a, tracąc przy tym część swojej energii. Energia ta zostaje przekazana polu atomu i jest następnie wyemitowana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego, tzw. promieniowania hamowania. Całkowita moc tego promieniowania jest dana wzorem Larmora dla ładunku poruszającego się ruchem przyspieszonym: 2e 2 2 ( 39) a , 3c 3 gdzie a oznacza przyspieszenie cząstki. Ponieważ dla cząstek o jednakowych ładunkach siła oddziaływania jest proporcjonalna do (1/M)2, efekt ten będzie miał dużą wartość dla cząstek lekkich (np. elektronów), albo cząstek ciężkich o dużych energiach. Dla cząstek naładowanych, emitowanych przez źródła promieniotwórcze, straty energii na promieniowanie hamowania są ważnym składnikiem całkowitej straty energii dla cząstek , natomiast całkowicie są do zaniedbania dla cząstek . Przykładem promieniowania hamowania elektronów jest widmo ciągłe promieniowania X, powstałe w lampie rentgenowskiej w wyniku bombardowania antykatody szybkimi elektronami. Przy oddziaływaniu cząstki naładowanej o energii E i pędzie p, w wyniku którego otrzymujemy kwant promieniowania hamowania, są spełnione prawa zachowania energii i pędu: P E  E' E , ( 40) Δp | p  p  π |  | k  k   κ | , ( 41) gdzie E i p oznaczają energię i pęd cząstki po zderzeniu, E i  - energię i pęd kwantu hamowania, p - przekazywany pęd. Dla nierelatywistycznych prędkości cząstek, pęd kwantu można zaniedbać. Prawdopodobieństwo emisji kwantu promieniowania hamowania zależy od wzajemnej odległości obu cząstek (klasycznie - parametru zderzenia), która jest rzędu /p, gdzie p jest pędem odrzutu jądra. Jeżeli ta odległość jest mała w porównaniu z rozmiarami jądra, w rozważaniach stosować można nieekranowany potencjał kulombowski. Podstawą teorii promieniowania hamowania są założenia klasycznej elektrodynamiki; teorię kwantową dla cząstek jądrowych opracowali w roku 1934 Bethe i Heitler stosując przybliżenie Borna. Kwantowa teoria promieniowania hamowania Rozpatrzmy przypadek, gdy elektron o pędzie p = k przelatuje w pobliżu atomu Ze. W wyniku rozpraszania, elektron dalej poruszać się będzie z pędem p’ = k’. W wyniku energii przekazanej atomowi Ze emitowany jest foton promieniowania hamowania, którego pęd jest równy  =  Zachodzi więc oddziaływanie zgodne ze schematem: e- + Ze  (e-)’ + Ze -  Elektron e- oddziałuje z kulombowskim polem atomu: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II ( 42) OPM 12 Ze 2 1 exp( iκ r) , 3  L    2 oraz z polem wirtualnych fotonów V  4π ( 43) e 2π c ( 44) (αa  ) exp( i c t  i κ r ) .  L   Ponieważ oddziaływanie kulombowskie jest efektem drugiego rzędu (emisja fotonu wywołana przez pewien ładunek i absorpcja przez inny), promieniowanie hamowania trzeba traktować jako efekt rzędu trzeciego, czyli odpowiedni element macierzowy będzie proporcjonalny do e3. Ruch elektronu w tych dwu polach opisany jest równaniem: U  3/ 2 Dˆ  ( N  1)  Wˆ  ( N ) , gdzie Wˆ  oznacza operator oddziaływania: ( 45) Wˆ   (U  Dˆ 1V  VDˆ 1U  ) . ( 46) Rozwiązując powyższe równanie metodą rachunku zaburzeń, otrzymujemy odpowiednio wyrażenie na początkową funkcję falową 0 i końcową funkcję falową ’: 0  b exp( i cKt  i kr) ( N ) , L3 / 2 ( 47) b  c(t ) exp(i cK t  i kr) ( N  1) . L3 / 2 Jeżeli spełnione są warunki:   ( 48) Ze Ze k k  1     1   c   c    K; K , ; ; ( 49) gdzie  i ’ oznaczają odpowiednio prędkości elektronu przed i po oddziaływaniu, można zaniedbać wpływ oddziaływania kulombowskiego na funkcję falową. Energia oddziaływania jest opisana zależnością:  W  0  b L3 / 2 W  κ,κ (κ , κ ) exp[ i ct  i r (κ  κ )] 0 , ( 50) gdzie:  2πe 2   W (κ , κ )   3   cL  3/ 2 2Zc  ( ) 2  .  K    [α (k  κ )]   3 k0 K  [α(k  κ )]   3 k0   (αa  )  (αa  )  2 2 2 K 2  (k  κ ) 2  k02   ( K   )  (k  κ )  k0 Prawdopodobieństwo emisji promieniowania hamowania jest dane wzorem: P 64π 2 Z 2 e 6 c 2  3 L9 S S  ( )   (k   k   ) . k , 4 ( 51) ( 52) gdzie:   2(ka )  i[σ(κa  )]   (αa  )  2(k a  )  i[σ(κa  )]   (αa  )  S  (b)    b . 2[ K  (kκ )] 2[ K   (k κ )]   Liczba cząstek Ne padająca w jednostce czasu na jednostkę powierzchni jest równa: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II ( 53) OPM 13 ck , ( 54) KL3 czyli różniczkowy przekrój czynny na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu na zjawisko hamowania jest dany wzorem: Ne  P PL3 K . ( 55)  Ne ck Dla przypadku nierelatywistycznego, czyli dla tzw. ciągłego widma rentgenowskiego, mamy:  (t , S )  (k  k )a  ( 56) b, k 0κ i wówczas różniczkowy przekrój czynny na emisję kwantu promieniowania hamowania o energii E = c ma ostatecznie postać: S  (b)  3  e 2   k  k   d   ln  .   c   k  k    Wprowadzając energie kinetyczne padającego i rozproszonego elektronu:  (t , S )  16 Z 2 3k 2 T  E  E0  c k2 , 2k 0 E0 = m0c2 (k ) 2 T'  E'E0  c , 2k 0 oraz energię kwantu promieniowania hamowania: E  T  T' , ( 57) ( 58) ( 59) mamy:   2   8 r02 Z 2 E0  T  T  E   E  e2 e2 ( 60)  (t , S )  ln d T  ; r0  m c 2 ;   c . 3k 2 E  E   0   Dla bardzo małych prędkości elektronów nie można zaniedbywać oddziaływań kulombowskich i wówczas trzeba różniczkowy przekrój czynny pomnożyć przez parametr Somerfelda: 4π 2  . [exp( 2π ) - 1][1  exp( 2π )] W przypadku ultrarelatywistycznym, gdy mamy: f ( ,  )  E  cK ; E'  cK   E0 , różniczkowy przekrój czynny wyraża się wzorem: ( 61) ( 62)   E 2  E' 2 2  2EE'    2 ln  1 dE . ( 63) 2  3  E m0c  EE'  W powyższych rozważaniach nie uwzględniano ekranującego wpływu pola elektronów atomowych, czyli przyjęto założenie, że pole kulombowskie jądra atomu jest dokładnie centralne. Można oszacować graniczny parametr zderzenia rmax, powyżej którego trzeba uwzględnić wpływ ekranujący pola elektronów. Z wzoru na potencjał kulombowski oraz praw zachowania wynika zależność:  (t , S )  2 r02 Z 2 E' EE Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 14 1 1  ,   min k  k   a w przypadku skrajnie relatywistycznym mamy: rmax ~ ( 64) KK  . k o2 Przyjmując wielkość efektywnego promienia atomu z modelu Thomasa-Fermiego: rmax  ( 65) 137 1/ 3 Z , ( 66) k0 gdzie a0 oznacza promień pierwszej orbity Bohra, ekranowanie można zaniedbać dla rmax < a, czyli dla: a ~ a0 Z 1/ 3 ~ EE'  137 Z 1 / 3 , E m0c 2 natomiast dla: ( 67) EE'  137 Z 1 / 3 2 E m0c należy przyjąć pełne ekranowanie. Różniczkowy przekrój czynny jest wówczas w postaci:  (t , S )  2 r02 Z 2 E'  E 2  E' 2 2  1   ln( 183Z 1 / 3 )   dE .  E E  EE' 3 9 ( 68) ( 69) Klasyczna teoria promieniowania hamowania Przy niewielkich kątach rozproszenia cząstki o masie m1 i ładunku Z1e w polu nieruchomego ładunku punktowego Z2e o masie m2 do określenia przekazu pędu p można wykorzystać wzór Rutherforda: 2 d  2 Z1Z 2 e 2  1    ( 70) d  p c  (2 sin  2 ) 4 wynikający z teorii klasycznej. Z wzoru (70) można, dla zderzenia sprężystego, otrzymać wyrażenie na różniczkowy przekrój czynny na jednostkowy przekaz pędu p: 2  2Z Z e 2  1 d  8π 1 2  . 3 d(Δp)   c  Δp ( 71) Dla cząstek dla których p < 2m1c całkowite natężenie promieniowania (gdy częstość   0) jest równe: 2 dI ( , Δp) 2  Z1e    Δp 2 ,  d 3π c  m1c  ( 72) a różniczkowy przekrój czynny ”(,) na promieniowanie o częstości d z przedziału (,+d) wysyłane w głąb kąta bryłowego d jest równy: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 15 d 2 dI ( , Δp) d ( 73)  Δp . d d d d(Δp) Różniczkowy przekrój czynny na jednostkowy przekaz pędu i na jednostkowy przedział częstości jest dany wzorem:  ( ,  )  2  Z 22 e 2  1   , ( 74) 2   m1c  Δp który jest słuszny dla małych częstości  i pędów p. Całkując względem pędu otrzymujemy różniczkowy przekrój czynny d'() na emisję kwantu promieniowania hamowania: 16 Z12 e 2  ( , Δp)  3c  2 2  Z 22 e 2   Δpmax    ln   . ( 75) 2  m c Δ p  1   min  Jeżeli poruszająca cząstka ma niewielką prędkość, stosunek maksymalnego i minimalnego przekazu pędu, wynikający z zasad zachowania, jest równy: 16 Z12 e 2  ( )  3c  2 2 Δpmax p  p [ E  E - E ]  0  , Δpmin p0  p E ( 76) a po podstawieniu do (76) uzyskujemy przekrój czynny d '() na emisję kwantu promieniowania hamowania w postaci: 2 2 16 Z12e2  Z22e2   [ E  E - E ]     , ( 77)  ( )  ln  3 c  2  m1c 2   E   podobną do wzoru (69) uzyskanego z rozważań kwantowych. Dla cząstek poruszających się z prędkościami relatywistycznymi stosunek maksymalnego i minimalnego przekazu pędu jest w przybliżeniu równy: Δpmax 2m1c 4m E E   2 1 20 . Δpmin p  p   m1 c E ( 78) Dla energii kwantów E << E0, oraz gdy E0 >> m1c2 postać różniczkowego przekroju czynnego na emisję kwantu hamowania jest następująca: 2 2 16 Z12e 2  Z22e 2   E 3 E    2E0E  1     ( 79)  ()   . 1    ln 3 c  m1c 2   E0 4 E02    m1c 2E  2  Jeżeli mamy do czynienia z przypadkiem oddziaływania w warunkach całkowitego ekranowania różniczkowy przekrój czynny d'() jest dany wyrażeniem:  E 3 E2    A m1  1     ( 80) ln  1   2    1/ 3  E0 4 E0    Z m2  2  gdzie stała A, według różnych autorów, ma wartości od 183 do 233. Strata energii elektronów o energii E0 na promieniowanie hamowania w warstwie materii dx będzie 16 Z12e2  Z22e2     (  )  3 c  m1c 2  Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II 2 OPM 16   S ph   c  ( )d  0 , gdzie c oznacza gęstość cząstek naładowanych. Dla energii ostatnie wyrażenia po scałkowaniu otrzymamy : m1c2 « E0 « mc2/( ( 81) Z1/3) porównując 2E0 4  2E 4      c BZ(Z  1)E0  4 ln 02   , ( 82) 2 mc 3  mc 3    gdzie  oznacza stałą struktury subtelnej, r02 - klasyczny promień elektronu, stała B jest równa 5,810-28 cm2. Dla oddziaływania zachodzącego w warunkach całkowitego ekranowania strata energii jest dana wzorem: S ph   c r02 Z(Z  1)E0  4 ln A 2   , ( 83) 1/ 3 Z 9  gdzie stałe A i stała B mają takie same wartości jak we wzorze (82), wyraz poprawkowy  jest bliski jedności (od 1,4 dla Z = 1 do 1,14 dla Z = 92). Straty energii na promieniowanie hamowania dla elektronów, jak to widać na rys.9, są one istotne od energii kilku MeV i dla ciężkich pierwiastków. S ph   c BZ(Z   )E0  4 ln 125 10 -18 2 -1 Sph [MeV cm elektron ] e 100 75 50 Pb 25 Fe 0 0,1 1 E [MeV] 10 Al 20 S-0622 Rys. 9. Zależność strat energii na promieniowanie hamowania eSph (na jeden elektron) dla elektronów od energii Dla bardzo dużych energii E0 (dla których trzeba stosować całkowicie ekranowany potencjał kulombowski) strata energii elektronów zależy logarytmicznie od energii. Wprowadza się wówczas tzw. długość radiacyjną L(Z), która jest równa drodze, na której energia elektronu maleje e razy: S ph  1 E (1   ) , L ( Z) 0 ( 84) gdzie  jest małą poprawką (dla powietrza  = 0.012, dla ołowiu  = 0.015). Przyjmując umownie określoną energię Eu traconą przez elektron  w wyniku straty energii na promieniowanie hamowania Sph lub straty energii na jonizację Sj, można oszacować tzw. energię krytyczną Ekr elektronu , przy której oba efekty prowadzą do tej samej straty energii Eu. Jak widać z danych zawartych w tabeli 1, są to energie znacznie większe od energii pochodzących od typowych źródeł promieniowania  stosowanych w laboratoriach. Tabela 1 Długości radiacyjne L i energia krytyczna Ekr (Eu = 5 MeV) Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II Ciało Z L [g/cm2] Ekr [MeV] H He O N Al 1 2 6 7 13 58 85 42,5 38 23,9 340 220 103 87 47 OPM 17 Fe Pb powietrze woda 26 82 13,8 5,8 36,5 35,9 24 6,9 83 93 ROZPROSZENIE WIELOKROTNE Cząstka naładowana poruszająca się w materii gęstej może doznać na swojej drodze wielu kolejnych zderzeń, wywołanych oddziaływaniami kulombowskimi, zwanych rozproszeniem wielokrotnym. Rozproszenie wielokrotne jest zależne zarówno od parametrów cząstki jak i ośrodka. Wywołuje ono szereg efektów, jak np. zmianę kierunku ruchu cząstki, pozorne zakrzywienie toru cząstki, rozrzut zasięgów itp. i dlatego ogólny opis tego zjawiska nie jest możliwy. Charakterystyką ogólną jest średni kwadratowy kąt rozproszenia dla pojedynczego rozproszenia:    ( )d     ( )d  2  2 . ( 85) Biorąc pod uwagę, że kąt rozproszenia cząstki  jest związany z parametrem zderzenia b zależnością: ZZ1e 2 1 , pv b liczba zderzeń N(b) na drodze x, które prowadzą do odchylenia o kąt (b) będzie:  (b)  tg   2 N (b)  2π  xbd b , a po zastosowaniu definicji (85) ostatecznie otrzymamy:  ( 87) 2 8π max  ZZ1e 2  d b    x  pv  b . n bmin b 2 ( 86) ( 88) Średni kwadrat kąta rozproszenia wielokrotnego  2 będzie:  2  N 2 . ( 89) Dla dużej liczby N rozkład kątów rozproszenia można opisać wzorem:  2  ( 90) exp   2  . 2       Istnieje wiele zależności empirycznych stosowanych w różnych zagadnieniach, dających czasem lepsze wyniki niż przytoczone wzory ogólne. p  d   2 PROMIENIOWANIE CZERENKOWA Cząstka poruszająca się w dielektryku z prędkością relatywistyczną wywołuje zmianę polaryzacji elektronowej. Odpowiedzią materii jest emisja promieniowania elektromagnetycznego (z przedziału pasma widzialnego), zwanego promieniowaniem Czerenkowa (zaobserwowanego w roku 1934 przez P.Czerenkowa). Warunkiem powstania takiego promieniowania o częstości  jest, by cząstka padająca miała prędkość v większą od prędkości fazowej fali elektromagnetycznej o tej częstości: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 18 c ,  ( ) gdzie () oznacza przenikalność elektryczną materii dla częstości . v ( 91)  v’t v’t vt vt (b) (a) S-0079 Rys. 10. Czoła fali elektromagnetycznej Na rys.10.a pokazane są kolejne położenia czoła fali elektromagnetycznej, gdy prędkość cząstki jest mniejsza od prędkości fazowej światła, na rys.10.b, gdy jest większa. W tym przypadku kąt, jaki tworzy czoło fali z kierunkiem ruchu cząstki można wyliczyć z warunku spójności. Jak wynika z rys.10.b jest określony wzorem:   1   (v / c) n( )    arccos(cos  )  arccos 80° ( 92)  n=2 60° 1,7 40° 1,5 20° 0° 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 v/c S-0080 Rys. 11. Zależność kąta od prędkości cząstki (v/c)  ( ) 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60  70 S-0081 Rys. 12. Pasmo częstości zjawiska Czerenkowa Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 19 Ze wzoru (92) wynika, że dla określonej wartości n() istnieje minimalna wartość prędkości cząstek (v/c)min. Zależność kąta  od prędkości cząstki dla kilku wartości współczynnika załamania światła n =  ( ) pokazuje rys.11. Promieniowanie Czerenkowa jest zawarte w paśmie nieco poniżej dyspersji anomalnej, dla której () > (v/c)-2 (rys.12). Dla ()  (v/c)-2 pasmo to jest dosyć szerokie. Straty energii na promieniowanie Czerenkowa opisuje wzór podany przez Franka i Tamma: Ze 2   1 1   d  . ( 93) 2 c ( v / c )2  1  (v / c)  ( )  Zależność strat energii na promieniowanie Czerenkowa od częstości jest wykorzystywana do zwiększania czułości detektorów szybkich cząstek. Zmieniając współczynnik załamania materii (np. gazowej przez zmianę ciśnienia) uzyskuje się bardzo selektywną rejestrację energii padających cząstek. S pC   2 ODDZIAŁYWANIE PROMIENIOWANIA JONIZUJĄCEGO POŚREDNIO WSTĘP Strumień promieniowania  o energii E   ( 94) gdzie  - oznacza stałą Plancka,  - częstość kołową, przechodząc przez materię traci swoją energię w wyniku kilku różnych procesów. Prawdopodobieństwo tych procesów zależy zarówno od energii E kwantów  jak i od rodzaju materii (liczby porządkowej Z pierwiastka). Straty energii określają odpowiednie przekroje czynne dla danego procesu. Energię promieniowania  w rozważaniach teoretycznych podaje się często w postaci bezwymiarowej, jako stosunek energii kwantu E do energii spoczynkowej elektronu E0; stosunek ten będziemy oznaczać przez  :  E   . ( 95) E0 m0c 2 Kwanty promieniowania  o małych energiach E (rzędu kilku keV) oddziałują jedynie z elektronami swobodnymi lub słabo związanymi. W przypadku energii średnich E, kwanty  mogą wybijać elektrony silnie związane. Dla dużych energii E (rzędu 102 MeV) kwanty  mogą oddziaływać już z polem jądra atomowego. Z grubsza biorąc można wydzielić kolejno następujące procesy oddziaływania promieniowania  z materią: rozproszenie klasyczne, zjawisko fotoelektryczne, zjawisko Comptona, zjawisko tworzenia par pozyton-negaton i dla energii dostatecznie dużych - przemiany jądrowe, czyli reakcje fotojądrowe. W wyniku niektórych procesów oddziaływania promieniowania  z materią zachodzą efekty wtórne, dzięki którym przywrócony jest stan równowagi energetycznej wzbudzonego atomu. Takimi procesami są: emisja promieniowania fluorescencyjnego (zwanego również charakterystycznym promieniowaniem rentgenowskim) oraz emisja elektronów Augera. Oddziaływanie promieniowania  z materią, jako typowe oddziaływanie elektromagnetyczne, można opisać przy użyciu wykresów Feynmana. Na rys.13 pokazane są odpowiednie wykresy dla zjawisk fotoelektrycznego, promieniowania hamowania i tworzenia pary negaton-pozyton. Przy powstawaniu promieniowania hamowania elektron e- (lub inna cząstka naładowana) przechodząc w Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 20 pobliżu jądra Ze oddziałuje z nim za pośrednictwem wirtualnego fotonu, co jest wymagane przez zasadę zachowania pędu). Podobną sytuację mamy w przypadku tworzenia pary pozyton-negaton. e- e-   e- Ze  e-   wirtualny foton e- e-  Ze s-0611 Ze  s-0612 (a)  wirtualny stan s-0613 (b) (c) Rys. 13. Wykresy Feynmana oddziaływania elektromagnetycznego: (a) - zjawisko fotoelektryczne, (b) - promieniowanie hamowania, (c) - powstawanie pary negaton-pozyton Promieniowanie  ulega w materii zarówno pochłanianiu jak i rozpraszaniu. Całkowity przekrój czynny t na stratę energii S kwantów  o energii E jest sumą przekrojów czynnych na wszystkie zjawiska zachodzące dla danej energii. ROZPROSZENIE KLASYCZNE e   d S-0286 Rys. 14. Propagacja promieniowania  Fala elektromagnetyczna o częstości , padająca na elektron e, pobudza go do drgań. Drgający elektron emituje następnie falę elektromagnetyczną o tej samej częstości  co fala pobudzająca. Różniczkowy przekrój czynny na energię rozpraszaną przez elektron w głąb stożka o rozwartości d  pod kątem  wyliczony klasycznie, dany jest wyrażeniem: 1 2 re 1  cos2 , ( 96) 2 gdzie kąt  oznacza kąt pomiędzy kierunkiem ruchu elektronu a kierunkiem propagacji fali elektromagnetycznej (rys.14); wielkość re oznacza tzw. klasyczny promień elektronu, równy: e   ( )    e2 , ( 97) mc 2 gdzie m oznacza masę spoczynkową elektronu, e - ładunek elektronu, c - prędkość światła. Kątową zależność różniczkowego przekroju czynnego e   ( ) wyliczoną ze wzoru ( 96) przedstawia krzywa na rys.15. Różniczkowy przekrój czynny na rozproszenie klasyczne przypadający na element kąta : re  e   ( )   re2 sin 1  cos2 , ( 98) określa część energii elektronu rozpraszaną w głąb stożka ograniczonego kątami  i +d. Zależność tą przedstawia krzywa na rys.16; powierzchnia pod krzywą jest miarą całkowitej energii rozproszonej przez elektron, równą: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 21 8 ( 99) 3 która jest niezależna od energii kwantów . Wielkość e0 nazywa się współczynnikiem rozpraszania Thomsona. W tym zjawisku elektron nie otrzymuje energii kinetycznej a energia promieniowania elektromagnetycznego przekształca się w inny rodzaj energii. e  0   re2  6,654  10 25 cm 2  0,6654 barna , ’() [b elek-1 rad-1], e’() [b elek-1 strad-1] e 30 25 e ’() 20 15 10 e ’() 5 0 0 30 60 90 120 150 180  S-0101 Rys. 15. Zależność różniczkowego przekroju czynnego na rozpraszanie klasyczne e’() oraz e’() od kąta  -23 log e’() [j.um.] 0,4 MeV 2,8 MeV -25 -27 Pb -29 Al -31 -33 Pb Al 0 90 180 270 360 0 90 180 270 360  S-0102 Rys. 16. Zależność różniczkowego przekroju czynnego na rozpraszanie klasyczne e’() od kąta  dla energii E 0,41 MeV i 2,76 MeV w aluminium i ołowiu Powyższy opis dotyczy jednego elektronu (atom wodoru) i nie jest słuszny dla atomów o większej liczbie elektronów. Doświadczenie wykazuje, że dla atomów o wielu elektronach znacząca część (około 75%) energii promieniowania rozproszonego przez kwanty o energii E skupiona jest stożku o bardzo małej rozwartości , opisanym zależnością empiryczną:   2mc2 3 Z arcsin( 2,6.102 ) . E ( 100) Dla aluminium dla energii kwantów E = 3,8 MeV rozwartość stożka  wynosi 1,5, dla ołowiu przy energii E = 0,411 MeV rozwartość ta jest 16. Na rys.16 pokazane są wyznaczone doświadczalne różniczkowe przekroje czynne na rozpraszanie klasyczne e'(). Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 22 ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE Dla energii kwantu promieniowania typowego dla promieniowania , wybicie elektronu zachodzi z orbity bliskiej jądru, zwykle z orbity K. Pozostały atom wzbudzony, dzięki efektom wtórnym przez emisję promieniowania fluorescencyjnego lub elektronów Augera, powraca do stanu podstawowego, co schematycznie pokazuje rys.17. Ee E X K lub L elektron Augera S-0096 Rys. 17. Zjawisko fotoelektryczne E’e = E  Ej  Ea p’e = 0 - E =  p = /c e  E’a= 0 p’a  p’ S-0097 Rys. 18. Wykres pędowy zjawiska fotoelektrycznego Kinetyczny schemat zjawiska fotoelektrycznego pokazany jest na rys.18. Przyjmując, że kwant  przekazuje całą swoją energię i pęd elektronowi, z praw zachowania energii i pędu otrzymujemy następujące wyrażenia:   E 1   .  1 , p  m0c  1  2  c 1  2   Równoczesne spełnienie obu praw prowadzi do zależności: E  m0c 2  1 ( 101) ( 102) (1   2 )  1   2 , spełnionej jedynie albo dla  = 0, czyli dla E = Ee = 0, albo dla  = 1, co w przypadku elektronu o masie m  0 nie ma fizycznego sensu. Wynika stąd, że zjawisko fotoelektryczne może zachodzić jedynie dla elektronu związanego z atomem, i wówczas: E = Ee + Ew  Ea , ( 103) gdzie Ea oznacza energię uzyskaną przez atom, oraz: p  p e  p a . ( 104) Prędkość odrzutu jądra jest jednak bardzo mała w porównaniu z prędkością elektronu i dlatego Ea  0 . Pęd elektronu pe jest również bardzo mały ze względu na różnicę mas elektron - atom, czyli można przyjąć, że pe  0. Z powyższej analizy wynika również, że dla atomów o małej energii Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 23 wiązania elektronu, lub ze wzrostem energii kwantu , maleje prawdopodobieństwo przekazywania atomowi odpowiedniego pędu a tym samym maleje prawdopodobieństwo efektu fotoelektrycznego. Prawdopodobieństwo zjawiska fotoelektrycznego zależy więc od liczby elektronów czyli liczby porządkowej Z atomu. Kwantowa teoria zjawiska fotoelektrycznego Teoretyczny opis zjawiska fotoelektrycznego komplikuje możliwość oddziaływania kwantu  z różnymi poziomami elektronowymi w atomie. W ogólnym ujęciu zjawisko fotoelektryczne jest to proces polegający na pochłonięciu kwantu promieniowania o energii: E =  = c, ( 105) gdzie  oznacza liczbę falową kwantu, w wyniku czego elektron z a-tej orbity, posiadający energię Ea < 0 przechodzi do stanu widma ciągłego o energii E’a > 0, czyli zachodzi jonizacja atomu. Energia kinetyczna wybitego elektronu jest równa: ( 106) E  c  Ea gdzie Ea oznacza energię jonizacji a-tej orbity atomu. Dla kwantów o energiach porównywalnych z Ea emisja elektronu zachodzi z orbit zewnętrznych. Dla kwantów o energiach znacznie większych od Ea, emisja zachodzi z orbit bliskich jądru, głównie z orbity K czasem z orbity L. Rozpatrzmy emisję elektronu z orbity K. Elektron o masie spoczynkowej m0 i liczbie falowej k0 posiada wówczas energię kinetyczną równą: p2 k2 mc  c ; k0  0 . 2m0 k0  Początkowy stan układu ma energię równą energii jonizacji: EK  Ze 2 Z k0  c 2rK 2 gdzie rK oznacza promień K-tej orbity,  - stałą struktury subtelnej: EK  Ea   e2 1 2 1 rK     2  c 137 . Zm0 e Z k 0 , Funkcja falowa tego stanu jest dana wyrażeniem: ( 107) ( 108) ( 109) 3/ 2  r  8 π (k0 ) 5 / 2 1 1 exp( ik r )   exp     K  . ( 110)  3 2 2 L π  rK  k  ( k )  ( k 0 )  rK  Dla stanu końcowego Eb, ograniczając się do przybliżenia Borna, słusznym dla rmax<> 10 m0c2 pochłanianie kwantów na skutek tego zjawiska można całkiem zaniedbać. Jeżeli energia E padającego kwantu  jest większa od energii wiązania Ea elektronów na danej orbicie, zwanej również krawędzią absorpcji (np. krawędź K), wyrażenie na przekrój czynny na zjawisko fotoelektryczne dla jednego atomu aF można zapisać w postaci:  F  C   Z5 f (E ) [cm2/atom] ( 120) gdzie C oznacza stałą liczbową, 0 - współczynnik rozpraszania Thomsona, Z - liczbę porządkową atomu, f(E) – wypadkową funkcję energii. a Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 25 Dla kwantu  o energii większej od energii wiązania elektronów na danej orbicie Ea, jednak nie nadającej elektronowi energii relatywistycznej, stała C i funkcja energii f(E) mają następujące wartości: C  4 2, E  1 . ( 121) 7 Na rys.19 pokazana jest zależność przekroju czynnego na zjawisko fotoelektryczne na jeden atom aF od energii E kwantu  obliczona ze wzoru ( 120), skoki wartości aF odpowiadają krawędziom absorpcji. Jak widać, przekrój czynny aF gwałtownie maleje wraz ze wzrostem energii kwantów , co wynika z poprzednio przytoczonych przyczyn.  [b atom-1]  [b atom-1] a F a F 100000 100000 10000 10000 1000 1000 100 100 10 10 1 1 0,1 0,1 0,01 0,01 0,1 1 10 0,01 100 E (MeV) 0,01 0,1 1 10 (a) 100 E (MeV) S-0619 S-0620 (b) Rys. 19. Zależność przekroju czynnego na zjawisko fotoelektryczne dla jednego elektronu aF od energii kwantów  dla ołowiu (a) i aluminium (b) Dla energii kwantów E dla których elektrony uzyskują energie relatywistyczne, stosując również przybliżenie Borna, otrzymujemy bardziej skomplikowaną zależność na funkcję energii: f (E )    23  4 (  1)(  3) 1     1  ln  2 2  1   1  1    1  1   12  1      12  1   ( 122)  3   2     natomiast stała C jest równa 3/2. Dla energii kwantów E porównywalnych z energią wiązania elektronu nie można stosować przybliżenia Borna. W tym przypadku można stosować tzw. przybliżenie przejścia dipolowego, w którym przyjmuje się, że elektron może otrzymać moment pędu większy od . W tym przypadku, we wzorze (122), opisującym zjawisko fotoelektryczne zachodzące na orbicie K, pojawi się czynnik poprawkowy f() równy: f ( )  2π 7  exp( 4 arctg  ) EK Ze 2 ,   ,   EK v 1   2 1  exp( 2π ) ( 123) gdzie EK oznacza energię jonizacji orbity K; wielkość  określa stosunek prędkości elektronu na orbicie K do prędkości elektronu, emitowanego z tej orbity. Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 26 =0 0,25 0,50 0,75  S-0104 Rys. 20. Kątowy rozkład fotoelektronów w zależności od  Rozkład kątowy elektronów, emitowanych w zjawisku fotoelektrycznym, zależy od ich energii (rys.20). Dla energii bardzo małych rozkład ten może być w przybliżeniu opisany zależnością: sin 2 , ( 124) (1   cos) 2 gdzie kąt  jest kątem pomiędzy kierunkami ruchu kwantu  i fotoelektronu,  = v/c. Dla energii dużych, rozkład staje się bardziej ostry i kąt  dąży do 2. W praktycznych oszacowaniach stosuje się często uproszczone wyrażenie na przekrój czynny na zjawisko fotoelektryczne F: N ()   F  const Zn Ek , ( 125) gdzie wykładniki potęgowe zmieniają się od wartości n = 4, k = 3,5 dla małych energii (E « mc2) do n = 4,6, k = 1 dla energii bardzo dużych (E » mc2). Dla ciężkich pierwiastków (np. ołowiu), zjawisko fotoelektryczne odgrywa rolę nawet przy energiach rzędu 5 MeV, podczas gdy dla pierwiastków lekkich powyżej energii 0,5 MeV jego udział można całkowicie zaniedbać. WYCHWYT ELEKTRONÓW PRZEZ ZJONIZOWANY ATOM Zjonizowany atom może wychwycić elektrony z tzw. widma ciągłego, czyli może zajść proces odwrotny do efektu fotoelektrycznego. Przyjmijmy, że dziura znajduje się na powłoce K. Wówczas energia i funkcja falowa atomu opisane są wyrażeniami Eb, b, natomiast stan końcowy, przez Ea, a. Podstawiając do wzoru na prawdopodobieństwo emisji w jednostce czasu Pba liczbę kwantów N=0, znajdziemy prawdopodobieństwo wychwytu elektronu, wyrażone przez różniczkowy przekrój czynny: 5    L3 Pba 128π 2 4 5  v  ck  r0  Z   ; v  , vS 3 k0 c  ( 126) gdzie v jest prędkością początkową elektronu. Dla małych prędkości elektronów: Ze2  1, ( 127) v należy uwzględnić wpływ pola kulombowskiego jądra, mnożąc przekrój czynny przez wyraz poprawkowy: v  Z c ;   Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 27 2π exp(4 arcctg ) . (1   2 )2 1 - exp(2π ) Dla v>>Z c ( << 1) funkcja f() dąży do jedności, natomiast dla v0 ( >> 1) mamy: f ( )  2π 1 ,  3 e4 czyli wówczas przekrój czynny na wychwyt elektronu jest równy: f ( )  ( 128) ( 129) 2 v 256π 3 4 2    e r0  Z 2   , 3 c  natomiast dla elektronów o energii kinetycznej Ee dla ultrawysokich prędkości vc mamy: m0 c 2 , Ee czyli wyrażenie podobne jak dla efektu fotoelektrycznego.    4 π r02 4 Z 5 ( 130) ( 131) ZJAWISKO COMPTONA Jeżeli energia kwantu  przewyższa znacznie energię wiązania danego elektronu w atomie, to elektron taki można traktować jako swobodny. Padający kwant  o energii  i pędzie /c po rozproszeniu na elektronie swobodnym będzie miał energię ' i pęd '/c (rys.21); kierunki obu kwantów  są różne. E =  p = /c  E’ = ’ p’ = ’/c   e E’e =  - ' p’e = /c - ’/c S-0105 Rys. 21. Wykres pędowy zjawiska Comptona Elektron o masie spoczynkowej m uzyskuje, zgodnie z zasadami zachowania, energię kinetyczną: EC  mc2 1  2  mc2    '   mc2   mc2 , ( 132) oraz pęd: pe  mc 2 1  2 cos      cos   mc   mc cos , c c ( 133) gdzie  i ' oznaczają odpowiednio energie kwantów  przed i po rozproszeniu w jednostkach bezwymiarowych [ / mc 2 ] . W zjawisku Comptona część energii kwantu  otrzymuje rozpraszany foton, część energii zostaje przekazana elektronowi. Stąd też, rozpatrując oddziaływanie promieniowania  z materią rozróżnia się energię rozproszoną, czyli energię przekazaną kwantowi ' i energię pochłoniętą przez materię, czyli przekazaną elektronowi odrzutu. Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 28 ENERGIA ROZPROSZONA Stosunek energii ' kwantu rozproszonego do energii kwantu padającego, można otrzymać z równań (132) i (133):   ' 1   ;   1   (1  cos ) na rys.22 pokazany jest ten stosunek energii w zależności od energii kwantu padającego. ( 134)  / ’ 1 ,0  = 0 ,1 0 ,8 0 ,6 0 ,5 0 ,4 1 5 0 ,2 0 0 45 90 135  180 S-0378 Rys. 22. Stosunek energii kwantu padającego do energii kwantu rozproszonego ’ dla różnych energii kwantu padającego  w zjawisku Comptona [w jednostkach  /mc2] Dla niespolaryzowanej wiązki kwantów  różniczkowy przekrój czynny na jednostkę kąta bryłowego d na liczbę kwantów rozproszonych pod kątem , przypadający na jeden elektron, opisuje zależność którą podali Klein i Nishina stosując metody mechaniki kwantowej: 1           sin2  ,   2        która, biorąc pod uwagę zależność (134), ma postać:   re2  e  SC ( )  2  1 2 1   re  e  SC ( )  2  1   (1  cos )  ( 135) 2   2 (1  cos )2   1  cos 2  . ( 136) 1   (1  cos )   Wzór ten dla małych energii (  0) przechodzi w klasyczny wzór Thomsona (6). Na rys.23 pokazany jest kątowy rozkład rozproszonych kwantów . Dla małych energii rozproszonego kwantu jest on symetryczny względem kierunku padania kwantu , który staje się coraz bardziej niesymetryczny w miarę wzrostu energii rozproszonych kwantów. Dla energii ' powyżej 3,5 MeV rozproszenie „wstecz” praktycznie nie istnieje. =0 0,1 0,5 1 5  S-0108 Rys. 23. Rozkład kątowy rozproszonych kwantów  w zależności od ich energii  [w jednostkach  /mc2] W przypadku rozpraszania klasycznego różniczkowy przekrój czynny na energię rozpraszaną na jednostkę kąta bryłowego d jest taki sam jak różniczkowy przekrój czynny na liczbę rozpraszanych Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 29 fotonów, gdyż w tym przypadku elektron nie uzyskuje energii kinetycznej. W zjawisku Comptona różniczkowy przekrój czynny na rozproszoną część energii kwantu  otrzymamy, mnożąc różniczkowy przekrój czynny na jednostkę kąta bryłowego d na liczbę kwantów rozproszonych pod kątem  (135) przez stosunek energii obu kwantów (134):  1 2 1  re  e  'EC ( )  2  1   (1  cos  )  3   2 (1  cos  )2   1  cos 2   . ( 137) 1   (1  cos  )   Na rys.24 pokazane są zależności różniczkowego przekroju czynnego e'SC (krzywe a) oraz różniczkowego przekroju czynnego e'EC (krzywe b) na zjawisko Comptona od kąta rozproszenia . Widać, że różnica pomiędzy obu różniczkowymi przekrojami czynnymi uwidacznia się wyraźnie dopiero dla dużych energii kwantu .  [b elektron-1 sr-1] e 8  = 0,05 6 0,5 4 a b 2 b 0 a 5 0 0 b a 0 45 0 90 0 0 135  180 S-0377 Rys. 24. Zależność różniczkowego przekroju czynnego e'SC (krzywe a) oraz różniczkowego przekroju czynnego e'EC (krzywe b) na zjawisko Comptona od kąta rozproszenia dla kilku energii kwantów  [w jednostkach  /mc2]  [b elektron-1] e 6 SC 4 2 e EC e AC e 0 0 5 10 15 E [MeV] 20 S-0379 Rys. 25. Zależność przekroju czynnego (na jeden elektron) na zjawisko Comptona: całkowity eSC, na rozpraszanie eEC i na pochłanianie eAC od energii kwantów  Całkowity przekrój czynny na liczbę rozpraszanych fotonów w zjawisku Comptona eSC przypadającą na jeden elektron otrzymamy, całkując wyrażenie (137) w przedziale od  = 0 do  = 2: 1    21    ln1     ln1  2  1  3  ( 138)    . 2    2 1  2     1  2 Całkując wyrażenie (136) otrzymamy całkowity przekrój czynny na energię przypadającą na jeden elektron, rozproszoną przez kwant : e  SC  2 re2  Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 30 4 2 1 ln(1  2 )  .  2 (1  2  2 2 )  3 2 2 2   3(1  2 )  (1  2 )  2 e  EC  2 re   ( 139) Przebiegi przekrojów czynnych eSC, eEC i eAC w funkcji energii kwantu  widzimy na rys.25. ENERGIA POCHŁONIĘTA Z równań (135) i (136) można otrzymać zależność pomiędzy kątem  odrzutu elektronu a kątem  rozpraszania kwantu :      ctg    1  tg  1   tg . ( 140) 2  2  mc  2 Zależność tę dla kilku energii kwantu  widzimy na rys.26. Z rysunku tego widać wyraźnie, że w miarę wzrostu energii kwantu rośnie prawdopodobieństwo rozpraszania elektronu pod kątem   0. 90  =0 0,1 0,5 45 1 5 10 0 0 45 90 135  180 S-0106 Rys. 26. Zależność pomiędzy kątem  rozpraszania elektronu w zjawisku Comptona a kątem ' rozpraszania kwantu  dla różnych energii  [w jednostkach  /mc2] Stosunek energii rozproszonego elektronu EC do energii fotonu , można otrzymać również z równań (135) i (136): EC 1 1   1   (1  cos ) . ( 141) Na rys.26 pokazany jest stosunek energii padającego kwantu  do energii rozproszonego elektronu /Ee w zależności od energii kwantu   /Ee 1,0 =5 0,8 1 0,6 0,5 0,4 0,1 0,2 0 0 Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II 45 90 135  180 S-0819 OPM 31 Rys. 27. Stosunek energii  kwantu padającego do energii Ee elektronu rozproszonego w zjawisku Comptona dla różnych energii kwantu  [w jednostkach  /mc2] Różnica pomiędzy różniczkowymi przekrojami czynnymi na zjawisko Comptona (przypadającymi na jeden elektron), na energię całkowitą e'SC() i na energię rozproszoną e'EC() jest różniczkowym przekrojem czynnym na zjawisko Comptona na energię kinetyczną elektronu, czyli na energię traconą przez kwant  na pochłanianie e'AC(). Po scałkowaniu jej otrzymujemy całkowity przekrój czynny na zjawisko Comptona na pochłanianie promieniowania :  2(1   )2 1  3 (1   )(1  2  2 2 ) 4 2     2 2  2 (1  2 )2 3(1  2 )3   (1  2 ) (1  2 ) 2 e  AC  2 re  ( 142) 1   1 1   2   2  ln(1  2 ) 2 2     Przebieg całkowitego przekroju czynnego na pochłanianie w zjawisku Comptona na jeden elektron eAC w funkcji energii kwantu  widzimy również na rys.27. Atomowy przekrój czynny na zjawisko Comptona będzie Z razy większy od przekroju czynnego dla jednego elektronu i zmieniać się będzie proporcjonalnie do Z/E (rys.28). a  [b atom-1] 10000  a SC 1000 100 Pb  a EC 10  a EC 1  a SC Al   a AC a AC 0,1 0,01 0,01 0,1 1 E [MeV] 10 20 S-0112 Rys. 28. Zależność przekroju czynnego (na jeden atom) na zjawisko Comptona: całkowity eSC, na rozpraszanie eEC i na pochłanianie eAC od energii kwantów  dla aluminium i ołowiu W zagadnieniach praktycznych a w szczególności w spektrometrii promieniowania , ważna jest znajomość różniczkowego przekroju czynnego '(E) na przekazanie elektronowi w zjawisku Comptona energii, zawartej w przedziale energii (E, E+dE). Odpowiednie wyrażenie można otrzymać ze wzoru (142) przez zróżniczkowanie względem energii:  E   2 mc 2  ( ) .  ( 143) Można je również napisać w funkcji energii padającego kwantu  i energii elektronu Ee: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 32 re2 mc2   E     Ee 2 2 2  mc2 Ee     Ee    Ee Ee  mc2 2  m2c 4     2 2   2 3           ( 144) Na rys.29 widzimy różniczkowy przekrój czynny '(E) obliczony z równania (144) w zależności od Ee dla kilku energii kwantu . Największą energię (Ee)max otrzymuje elektron przy rozpraszaniu pod kątem  = 0; wówczas: Ee max    'min  2()2 . 2  mc 2 e'(E) 10 ( 145) -1 -1 [b elektron MeV ] E = 0,2 MeV 0,3 MeV 0,4 MeV 0,5 MeV 1 0,6 MeV 0,8 MeV 1 MeV 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Ee [ MeV] S-0689 Rys. 29. Zależność różniczkowego przekroju czynnego (na jeden elektron) e'(E) na przekazanie elektronowi energii dE w zjawisku Comptona od energii Ee dla kilku energii kwantów E Zjawisko Comptona odgrywa istotną rolę przy energiach kwantów  leżących w przedziale od około 0,5 MeV do 10 MeV, a więc dla przedziału energii najważniejszego z punktu widzenia praktycznego zastosowania promieniowania . ZJAWISKO POWSTAWANIA PAR NEGATON-POZYTON Zjawisko powstawania pary negaton-pozyton (n-p), przewidziane teoretycznie przez Diraca w roku 1928, zachodzi wtedy, gdy energia kwantu  przewyższa sumę dwu mas spoczynkowych elektronu, czyli jest większa od 2m0c2. Ponieważ w układzie kwant  - para n-p nie mogą być zachowane równocześnie prawa zachowania energii i pędu, para n-p powstaje jedynie w obecności innej cząstki, która zapewnia zachowanie praw zachowania. Cząstką tą może to być jądro atomowe, elektron czy kwant . Ostatni przypadek, ze względu na bardzo małe prawdopodobieństwo nie był obserwowany w praktyce. Energię kwantu , potrzebną do wytworzenia pary n-p w obecności cząstki i masie M, można wyliczyć z praw zachowania; jest ona równa: m  ( 146) (E )p  2mc 2  1   . M  Ze wzoru tego wynika, że gdy cząstką dodatkową jest elektron, energia progowa jest w przybliżeniu dwa razy większa. Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 33 + E =  p = /c E’a= 0 p’a  p’ e - e S-0111 Rys. 30. Pędowy wykres powstawania pary negaton-pozyton Na rys.30 pokazany jest wykres pędowy powstawania pary n-p. Przyjmując, że powstaje jedynie para n-p, oraz, że ich masy i prędkości są identyczne, prawa zachowania energii i pędu mają postać:   2 mc2 1  2 , ( 147) p  pe  pe  , ( 148) czyli  mc mv mc  2 ,|pe  |  , 2 2 c 1  1  1 2 skąd wynika, że |p | ( 149) |p ||pe  ||pe  |, ( 150) co jest sprzeczne z prawem zachowania pędu, czyli założenie, że powstaje jedynie para n-p nie jest słuszne. Elektrony pary otrzymują średnio energię kinetyczną E równą:   2mc2 EC  , 2 2 gdzie EC oznacza całkowitą energię kinetyczną; średni kąt, pod którym wylatują jest równy: E ( 151) 2mc 2 mc 2  . ( 152)   2mc 2 E Dla kwantu  o energii E= 5 MeV elektrony pary o średniej energii E = 1,989 MeV będą tworzyły z kierunkiem toru kwantu kąt  = 15°. Klasyczna teoria powstawania par n-p, opracowania przez Bethego i Heitlera, wykorzystuje bezpośredni związek teorii promieniowania hamowania z procesem anihilacji pary n-p (proces odwrotny do tworzenia pary n-p). Przyjmując, zgodnie z teorią Diraca, pozyton jako dziurę w kontinuum stanów elektronowych, anihilację traktuje się jako przejście elektronu ze stanu o energii dodatniej do stanu o energii ujemnej, przy czym różnica energii emitowana jest w postaci promieniowania hamowania. Różniczkowy przekrój czynny na powstanie pary elektron-pozyton w polu jądra, wynikający z teorii Bethego i Heitlera, uwzględniająca różne energie i pędy obu elektronów pary, wyraża się bardzo skomplikowaną zależnością. Przyjmując przybliżenie Borna oraz brak ekranowania, różniczkowy przekrój czynny na powstanie pary n-p: pozytonu o energii E+ zawartej w przedziale (E+, E++dE+) oraz negatonu o energii E- w polu kulombowskim jądra o ładunku Ze przez kwant  o energii  można wyrazić wzorem:  Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 34  P (E)  C p p  4 p2  p2 EF FF  2 E F   2 E E  mc 2    3    3         3  2 2 ( )  3 p p p p p   p  ( )2 2 E E   EE 8 E E (mc 2 )2  E E  L  3 3 E2 E2  p2 p2    F   3  F   3 3 3 3 p p 2p p p p p2 p2    p p C  Z( Z -1) r02  Z( Z -1)  5,793  1028 cm2 , (153) ( 154) gdzie  oznacza stałą struktury subtelnej a r0 - klasyczny promień elektronu, p+ i p- - pęd pozytonu i negatonu pomnożony przez prędkość światła c (pęd ma wówczas wymiar energii); funkcje L, F+, Foznaczają odpowiednio wyrażenia: E +p E +p E E  p p  (mc2 )2 , F  2 ln  2 + , F  2 ln - 2 ( 155) 2 mc mc  mc Wyrażenie (153) zakłada symetryczny rozkład energii pomiędzy pozytonem a negatonem. Nie jest to całkiem słuszne, gdyż negaton jest przyciągany a pozyton odpychany przez jądro atomowe. Prowadzi to do nadmiaru pozytonów o większych energiach, co jest jednak widoczne albo dla bardzo lekkich materiałów, albo dla bardzo małych energii promieniowania . Wpływ ekranowania można zaniedbać przy niewielkiej energii kinetycznej powstałej pary n-p. Odpowiedni przekrój czynny 'P(E) można wyrazić w postaci: L  2ln 4(E2  E2  23 E E )  2E E 1   ln ( 156)  P (E)  C   . 2 ()3   mc 2  Dla dużych energii E+ i E - trzeba uwzględnić ekranowanie, co wymaga wprowadzenie odpowiednich czynników zależnych od stopnia ekranowania. Dla całkowitego ekranowania przekrój czynny 'P(E) ma postać: 2 1  2   2 1 / 3 ( 157)  E  E  E E  ln183 Z   E E  ()  3 9   Rozkład energii składników pary n-p, obliczony z powyższych wzorów, dla różnych wartości energii pary pokazany jest na rys.31. Jak widać, wpływ liczby Z jest widoczny przy dużych wartościach energii kwantu.  'P (E)  C 4 3 Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 35 ’P (E+) EC /C] 8 25 MeV Al Pb 6 15 MeV 10 MeV 4 7,5 MeV V 5 MeV 2 3 MeV 2 MeV 1,5 MeV 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 E+-mc2 [EC-1] S-0440 Rys. 31. Zależność różniczkowego przekroju czynnego na rozkład energii pomiędzy negaton i pozyton (w jednostkach C/EC) od względnej energii pozytonu (E+-mc2)/EC dla kilku energii kwantu dla aluminium i ołowiu Całkowity przekrój czynny P na tworzenie par negaton-pozyton w funkcji energii kwantów  uzyskuje się po scałkowaniu przekroju różniczkowego ’P. Na rys.32 pokazana jest zależność całkowitego przekrój czynnego P dla aluminium i ołowiu. Jak widać, wpływ masy jądra uwidacznia się dopiero przy energiach powyżej 10 MeV. p [b atom-1] 100 Pb 10 a 1 Al a 0,1 Pb b 0,01 Al b 0,001 0,0001 1 10 100 E [MeV] S-0110 Rys. 32. Zależność całkowitego przekroju czynnego P na tworzenie par od energii kwantu: (a)- w polu nukleonu, (b)- w polu elektronów Proces tworzenia par dominuje w całkowitej stracie energii promieniowania  przy energiach większych od 5 MeV. PROCESY WTÓRNE PROMIENIOWANIE FLUORESCENCYJNE Oddziaływanie kwantów o dużej energii z atomami prowadzi do wybicia elektronów z powłok położonych najbliżej jądra (orbity K, L, M, ...). Oczywiście wtedy elektrony z wyższych poziomów energetycznych przechodzą na puste miejsca wypromieniowując kwanty promieniowania Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 36 elektromagnetycznego. Gdy elektron wypełnia puste miejsca na poziomie K powstaje seria K promieniowania fluorescencyjnego (rentgenowskie promieniowanie charakterystyczne). Podobnie, wypełnienie miejsca po elektronach na poziomach L, M, N,..., prowadzi do powstania serii L, M, N,... . (rys.33). I II III N IV V   I   M II III IV 1 2 1 2 3 4 1  I II III L seria L 1 2 1 2 K seria K S-0374 Rys. 33. Serie widmowe promieniowania fluorescencyjnego K, L (schematycznie) Przegrupowania te trwają aż do momentu osiągnięcia przez atom stanu równowagi (osiągnięcie minimum energii potencjalnej dozwolonej przez zakaz Pauliego). Proces ten zachodzi zwykle w czasie rzędu 10-8 s. Z zasady zachowania energii wynika, że: ij  Ei  E j , ( 158) gdzie ij oznacza energię promieniowania powstałego przy przejściu elektronowym ij, pomiędzy poziomami i-tym i j-tym. Promieniowanie fluorescencyjne jest ściśle związane z liczbą porządkową Z atomów. Jak to wynika z doświadczeń Moseley'a (1913) pomiędzy energią  a liczbą porządkową Z swobodnego atomu istnieje zależność, którą można zapisać w postaci: ij  a(Z  s)2 , ( 159) gdzie a oznacza współczynnik proporcjonalności natomiast s - stałą ekranowania. Zależność energii promieniowania fluorescencyjnego (159) od liczby porządkowej Z atomów dla serii K i L pokazana jest na rys.34. E [keV] 100 K 10 L 1 0,1 0 20 40 60 80 Z 100 S-0375 Rys. 34. Zależność energii promieniowania linii K i L od liczby porządkowej Z dla promieniowania fluorescencyjnego Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 37 ELEKTRONY AUGERA Energia pochłonięta przez atom może być przekazana bezpośrednio jednemu z elektronów, wówczas przegrupowanie elektronów w atomie odbywa się na drodze bezpromienistej. Mechanizm tego procesu pokazuje schematycznie rys.35. Puste miejsce na powłoce po emisji fotoelektronu zostaje zapełnione przez elektron z następnej powłoki, a różnica energii wzbudzenia atomu oraz energii wiązania elektronu wypełniającego puste miejsce jest przekazana kolejnemu elektronowi, zwykle z najbliższej podpowłoki. Na rys.35 przedstawiony jest przypadek emisji z podpowłoki LII. Elektron, który uzyskuje energię i opuszcza atom nazywamy elektronem Augera. W wyniku tego procesu uzyskujemy podwójnie zjonizowany atom, który ma niezapełnione miejsca na wyższej powłoce elektronowej. LII LI K S-0376 Rys. 35. Schemat emisji elektronów Augera K-LI LII Energię elektronu Augera E0 można ocenić, biorąc pod uwagę energię wiązania elektronów na odpowiednich orbitach. Dla procesu K-LI LII mamy: EO  EK  (E'LI E'LII ) ( 160) gdzie EK i EL oznaczają energie wiązania elektronów na odpowiednich orbitach w atomie neutralnym, natomiast E'L - energię orbity dla jonu. Średnia energia jonizacji Całkowita jonizacja jest sumą jonizacji pierwotnej i jonizacji wtórnej; efekty wywołane jonizacją pierwotną i wtórną nie są jednak normalnie rozróżnialne. Przy opisie detekcji promieniowania, zagadnień związanych z osłonami, procesami biologicznymi itp. istotne są procesy prowadzące w rezultacie do jonizacji materii i dlatego określa się średnią energię jonizacji E j , czyli energię potrzebną na wytworzenie jednej pary jonów, nie precyzując pochodzenia tej energii: EC , ( 161) N gdzie EC oznacza całkowitą energię promieniowania, N - całkowitą liczbę powstałych jonów. Całkowita energia EC promieniowania rozpraszana w materii może być rozłożona na trzy składowe: Ej  ( 162) EC  EJ  EP  ET , gdzie EJ oznacza całkowitą energię zużytą na jonizację, EP - całkowitą energię zużytą na wzbudzenie, ET - całkowitą energię zużytą na efekty cieplne. Całkowita energia jonizacji jest równa: EJ  N E j , ( 163) gdzie Ej oznacza energię jonizacji atomu, N - liczbę atomów. Dzieląc energię całkowitą promieniowania rozpraszaną w materii (163) przez całkowitą energię jonizacji EJ otrzymamy: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 38  E E  ( 164) E j  EJ  1  P  T  .  EJ EJ  Średnia energia jonizacji E j zawarta jest w granicach od 26 eV do 37 eV. Dla powietrza i innych gazów E j prawie nie zależy od energii padającej cząstki (Tabela 2). Tabela 2 Energia jonizacji gazów Ej i średnia energia jonizacji E j jednej pary jonów [eV] Ej cząstki  protony elektrony Ej powietrze H He N O Ar 15,0 15.6 24.5 15.5 12.5 15.7 35.0 33.3 34.0 36.0 35.3 37.2 30,2 29.9 32.5 36.0 33.6 35.8 32.2 31.5 32.2 25.8 25.5 27.9 CH4 C 4H 4 29.0 27.0 27.3 26.1 W przypadku promieniowania  średnia energia jonizacji powietrza jest bliska 34 eV i zmienia się w granicach kilku procent dla do energii rzędu 1 MeV (rys.36). E [eV] 36 35 34 33 0,001 0,01 0,1 E [MeV] 1 S-0107 Rys. 36. Średnia energia jonizacji E j dla powietrza Średnią energię E j można przedstawić za pomocą wyrażenia korzystając z półempirycznej teorii Fano:  w Ew   i 1Ei 1   i 2 Ei 2 , ( 165)  i1   i2 gdzie Ew oznacza energię wzbudzenia atomu przez cząstkę jonizującą w wyniku którego powstaje elektron wtórny, Ei1 i Ei2 - energie elektronów wybitych o energiach odpowiednio mniejszej i większej od energii jonizacji Ej, i1 i i2 - odpowiednie przekroje czynne na dany proces. Stosunek przekrojów czynnych e/i1 nie zmienia się dla różnych energii cząstki padającej, natomiast wartość dla i2 jest mała. Nie zmieniają się również średnie energie Ew i Ei1. Tłumaczy to jakościowo niezależność średniej energii jonizacji E j od energii E cząstki jonizującej. Ej  Średnia liczba par jonów N wytworzona przez cząstkę o energii E jest równa: E , ( 166) Ej jest wielkością przypadkową. Fluktuację liczby par jonów można opisać wyrażeniem podanym przez Fano: N Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 39  E   N  E  ( 167) s  Pj  1  j   Pe  1  w   ,    P   E j  E j     gdzie Pi i Pw oznaczają prawdopodobieństwa jonizacji i wzbudzenia, P całkowite prawdopodobieństwo jonizacji, Ei i Ew odpowiednio część energii straconą na jonizację i wzbudzenie. Pierwszy wyraz wzoru obejmuje zderzenia prowadzące do jonizacji, drugi - do wzbudzenia. Stosunek fluktuacji par jonów s do średniej liczby par jonów N : 2 2 s , N nazywa się współczynnikiem Fano; jest on zwykle mniejszy od (1-P). F ( 168) POCHŁANIANIE PROMIENIOWANIA  CAŁKOWITY WSPÓŁCZYNNIK POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA  Całkowity współczynnik pochłaniania , charakteryzujący całkowite pochłanianie promieniowania  w danym materiale, jest sumą współczynników pochłaniania w efekcie fotoelektrycznym F, w zjawisku Comptona C i w efekcie tworzenia par P:    F  C   P . ( 169) Na rys.37 i rys.38 pokazane są całkowite współczynniki pochłaniania  oraz ich składowe dla aluminium i ołowiu. Z rysunków tych widać wyraźnie, że udział poszczególnych składowych zależy zarówno od rodzaju materiału jak i od energii promieniowania . Na rys.39 pokazane są obszary na płaszczyźnie (Z,E) w których dominują poszczególne procesy oddziaływania. Krzywe łączą punktu, w których współczynniki pochłaniania dla sąsiednich procesów mają taką samą wartość.  [cm-1] 100 Al 10 1 C 0,1 F 0,01 P 0,001 0,0001 0,01 0,1 1 E [MeV] 10 S-0617 Rys. 37. Zależność całkowitego współczynnika pochłaniania  promieniowania  od energii kwantu E w aluminium (C składowa od zjawiska Comptona, F - od efektu fotoelektrycznego, P - od efektu par n-p) Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 40  [cm-1] 10000 Pb 1000 100 10 1 C 0,1 F 0,01 0,001 P 0,01 0,1 1 10 E [MeV] S-0618 Rys. 38. Zależność całkowitego współczynnika pochłaniania  promieniowania  od energii kwantu E w ołowiu (C składowa od zjawiska Comptona, F - od efektu fotoelektrycznego, P - od efektu par n-p) Z 100 80 F 60 C P 40 20 0 0,01 0,1 1 10 100 E [MeV] S-0090 Rys. 39. Obszary na płaszczyźnie (Z,E) w których dominują procesy: F- fotoelektryczny, C-Comptona, P- tworzenia par Całkowity współczynnik pochłaniania  można również przedstawić jako sumę współczynników pochłaniania dla dwu różnych procesów: ( 170)   1   2 , gdzie 1 oznacza współczynnik związany z procesami prowadzącymi do powstania wtórnych elektronów (składowa „jonizująca”), 2- współczynnik związany z powstaniem promieniowania elektromagnetycznego (składowa „niejonizująca”), czyli 1  re F  CA  P , ( 171) 2  rs F  CE gdzie współczynniki re i rs oznaczają odpowiednio część współczynnika pochłaniania F dla efektu fotoelektrycznego, odpowiadającą powstaniu fotoelektronu i promieniowania hamowania, natomiast CA oraz CE znaczą odpowiednio części współczynnika na zjawisko Comptona odpowiadające pochłanianiu i rozpraszaniu. Składowa 1 w szerokich granicach energii promieniowania  jest prawie stała (rys.40) Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 41 1,0 1 [cm-1] 0,5 0 0 1 2 3 E [MeV] 4 S-0621 Rys. 40. Zależność składowej 1 w spółczynnika pochłaniania promieniowania  od energii kwantów E w aluminium Do omówienia zależności składowej „joniozującej” 1 od energii E wygodnie jest brać pod uwagę elektronowy współczynnik pochłaniania e, związany z współczynnikiem pochłaniania  zależnością: e   A , ( 172) NZ gdzie N oznacza liczbę Avogardro,  - gęstość ciała, Z i A jego liczby porządkową i masową. Dla elektronowego współczynnika pochłaniania związanego z efektem fotoelektrycznym eF najczęściej stosuje się empiryczną zależność, którą można stosować powyżej krawędzi pochłaniania K: eF  kF n Z n , [nm]  123,4 E [keV] ( 173) gdzie  jest długością fali promieniowania  o energii E, kF - stałą, n - wykładnikiem o wartościach od 2,3 do 3; wykładnik ten prawie nie zależy od energii E . Elektronowy współczynnik pochłaniania związany z zjawiskiem Comptona nie zależy od rodzaju materii a jedynie od energii E: eC  f E  . ( 174) Elektronowy współczynnik pochłaniania, związany ze zjawiskiem tworzenia par jest wprost proporcjonalny do liczby porządkowej Z materiału pochłaniającego: eP  kP Z , ( 175) gdzie kP oznacza współczynnik proporcjonalności. Składową 1 całkowitego współczynnika pochłaniania można więc zapisać w postaci: N kF n Z n1  eC  kP Z 2  . ( 176) A Jeżeli ciało pochłaniające składa się z r różnych atomów o liczbach atomowych A1 wówczas wypadkowy współczynnik 1 będzie: 1  Ni kF n Zin1  eC Zi  kP Zi2 , Ai i 1 gdzie wi oznacza skład procentowy r atomów składowych. r 1  wi ( 177) RÓWNOWAGA ELEKTRONOWA Część 1 współczynnika pochłaniania określa energię przekazaną absorbentowi przez promieniowanie . Dla absorbenta o grubości dl liniowy współczynnik pochłaniania 1 wynosi: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 42 1 dE1 , ( 178) Z dl gdzie dE1 jest energią kinetyczną wszystkich powstałych elektronów (ściślej - cząstek naładowanych) w obszarze o grubości dl. 1  dV  r Vr R S-0099 Rys. 41. Schemat do określenia równowagi elektronowej Jeżeli w objętości Vr energia przekazywana przez promieniowanie  jest równa energii kinetycznej elektronów, to w objętości Vr istnieje równowaga elektronowa. Równowaga elektronowa istnieje wówczas, gdy objętość Vr, mała w porównaniu z maksymalnym zasięgiem elektronów, znajduje się w jednorodnym i stacjonarnym polu promieniowania . Rozpatrzmy najprostszy model równowagi elektronowej. Objętość Vr w postaci kuli (rys.41), znajduje się w polu o stałym natężeniu promieniowania  o energii kwantów E. Energia promieniowania  potrzebna na to, aby każdy z elektronów znajdujących się w objętości Vr uzyskał taką samą energię Ee będzie wynosiła: 4 E  Vr  e Ee   r 3  e Ee , ( 179) 3 gdzie e oznacza gęstość elektronów powstałych w czasie t w objętości Vr. Stała energia Ee oznacza, że wszystkie elektrony mają taki sam zasięg R. Energię Ee może uzyskać również elektron powstały poza obszarem Vr pod warunkiem, że jego droga będzie przebiegała przez obszar Vr. Liczba N takich elektronów wychodzących z elementu objętości dV będzie określona zależnością:  edV  r 3 eR , ( 180) 4 V gdzie  oznacza kąt bryłowy, a całkowanie przeprowadzono po całej objętości kuli o promieniu R. Średnia strata energii elektronu na jednostkę drogi jest równa Ee/R. Jeżeli przyjmiemy, że średnia droga elektronu w objętości Vr jest równa średniej cięciwie (4r/3), to całkowita energia Er pochłonięta w objętości Vr będzie wynosiła: N 4 4 rNE e   r 3  e Ee . ( 181) 3 3 Energia ta jest przekazana do objętości Vr przez promieniowanie  o energii E (179), czyli w objętości Vr istnieje równowaga elektronowa. Równość ta jest spełniona również i dla innych małych objętości Vi, gdyż podobnie jak w tym przypadku, brakujące w tej objętości elektrony są uzupełniane z obszaru o promieniu R. E  Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 43 ŚREDNIA LICZBA PORZĄDKOWA Do opisu oddziaływania promieniowania  z materią złożoną z różnych atomów należy stosować, podobnie jak dla przypadku cząstek naładowanych, średnią liczbę porządkową Z , która uwzględnia specyfikę oddziaływania promieniowania  z materią. Liczba Z jest równa liczbie porządkowej ciała prostego (zbudowanego z jednego rodzaju atomów) który ma taki sam elektronowy współczynnik pochłaniania 1e jak ciało zbudowane z kilku rodzajów atomów. Energia promieniowania  przekazywana ciałom o jednakowych średnich liczbach porządkowych jest taka sama. Składowa 1e elektronowego współczynnika pochłaniania jest równa: 1  e1  1 , e gdzie e oznacza liczbę elektronów w jednostce objętości ciała złożonego: r Zi i 1 Ai e  wi Ni . ( 182) ( 183) N oznacza liczbę Avogardro, i- gęstość i-tego ciała, Zi i Ai jego liczby porządkową i masową. Względna liczba i elektronów i-tego rodzaju atomów w ciele złożonym wynosi: i Zi . ( 184)  e Ai Jeżeli przez i oznaczymy liczbę atomów i-tego rodzaju w jednostce objętości ciała złożonego, to wyrażenie na liczbę e elektronów w jednostce objętości ciała złożonego ma postać:  i  wi N r e  i Zi , ( 185) i 1 czyli i  i Zi . r  Z i 1 i ( 186) i Biorąc pod uwagę zależność (184) otrzymujemy wyrażenie: Ni kF n Zin1  eC Zi  kP Zi2 , ( 187) e i 1 Ai które może być użyte do określenia średniej liczby porządkowej dla trzech procesów oddziaływania promieniowania  z materią. Współczynnik pochłaniania dla efektu fotoelektrycznego jest określony zależnością:  e1  1 eF  1 e r w i r w i 1 i n 1 Ni kF n Z in1  kF n Z . Ai ( 188) Jeżeli uwzględnimy współczynniki i (184) lub (186), to wyrażenie na średnią liczbę porządkową Z dla efektu fotoelektrycznego (dla n=3) będzie określone wzorem: Z 3 r  Z i 1 i 3 i . ( 189) Dla zjawiska Comptona współczynnik pochłaniania ma postać: Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 44 r Ni ( 190)  e1   wi eC   i eC , . e i 1 Ai i 1 Ponieważ suma wszystkich współczynników i jest równa jedności, nie ma potrzeby określania średniej liczby porządkowej dla zjawiska Comptona. Dla zjawiska tworzenia par mamy współczynnik pochłaniania w postaci: 1 r r Ni 2  e 1   wi kF Zi   i Zi  kP Z , e i 1 Ai i 1 czyli 1 r ( 191) r Z   i Zi . ( 192) i 1 Z powyższych rozważań wynika, że średnia liczba porządkowa Z jest określona przez najbardziej prawdopodobny proces oddziaływania promieniowania  o danej energii E z materią. Dla przedziału energii promieniowania  dla której dominują proces fotoelektryczny i zjawisko Comptona średnią liczbę porządkową Z dominują procesy Comptona i tworzenia par - ze wzoru (192). Obliczenie średniej liczby atomowej dla ciał złożonych z wielu pierwiastków ma szczególne znaczenie dla materiałów biologicznych. W tabeli 3 podane są obliczone średnie liczby atomowe dla energii promieniowania  równej 1 MeV, oraz odpowiednie gęstości elektronów. Tabela 3 Średnie liczby atomowe dla promieniowania  dla materiałów biologicznych ciało powietrze woda mięśnie kości tłuszcz gęstość [g/cm3] 0,001293 1,00 1,00 1,85 0,91 gęstość elektronów [.1023 g/cm3] 0,00375 3,34 3,34 5,55 3,08 Zśrednie (dla efektu fotoelektrycznego) 7,64 7,42 7,42 13,8 5,92 Zśrednie (dla zjawiska Comptona) 7,36 6,60 6,60 10,0 5,2 Na rys.42 widzimy względny współczynnik pochłaniania promieniowania  dla podstawowych materiałów biologicznych. Jak widać, dla energii promieniowania  powyżej 100 keV różnice są bardzo małą. Dla energii mniejszych (z zakresu promieniowania X) różnice są bardzo duże, szczególnie dla kości. pow 6 5 kości 4 3 2 1 woda tłuszcz 0 0,01 0,1 1 10 100 E [MeV] Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II S-0985 OPM 45 Rys. 42. Zależność względnego współczynnika pochłaniania promieniowania  od energii promieniowania dla podstawowych materiałów biologicznych Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 46 Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią 1 Wstęp 1 Oddziaływanie promieniowania jonizującego bezpośrednio 3 Wstęp 3 Strata energii na oddziaływanie kulombowskie 5 Wzory Motta 10 Elektrony  11 Straty energii na promieniowanie hamowania 12 Kwantowa teoria promieniowania hamowania 12 Klasyczna teoria promieniowania hamowania 15 Rozproszenie wielokrotne 18 Promieniowanie Czerenkowa 18 Oddziaływanie promieniowania jonizującego pośrednio 20 Wstęp 20 Rozproszenie klasyczne 21 Zjawisko fotoelektryczne 23 Kwantowa teoria zjawiska fotoelektrycznego 24 Wychwyt elektronów przez zjonizowany atom 27 Zjawisko Comptona 28 Energia rozproszona 29 Energia pochłonięta 31 Zjawisko powstawania par negaton-pozyton 33 Procesy wtórne 36 Promieniowanie fluorescencyjne 36 Elektrony Augera 38 Średnia energia jonizacji Pochłanianie promieniowania  38 40 Całkowity współczynnik pochłaniania promieniowania  40 Równowaga elektronowa 42 Średnia liczba porządkowa 44 Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II OPM 47