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Prácticas 0 a 11 Matemática 61 Agronomía 014 CICLO BÁSICO COMÚN UBA MATEMÁTICA 61 (AGRONOMÍA) Introducción Esta guía de trabajos prácticos corresponde a la materia Matemática 61 del Ciclo Básico Común que se dicta para carreras de la Facultad de Agronomía. La materia fue especialmente diseñada a pedido de la Facultad para incluir las herramientas básicas de matemática necesarias para sus carreras. Esencialmente, los temas a estudiar son los conceptos clásicos del análisis matemático en una variable, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y una primera noción de combinatoria y probabilidad. Todos los temas se desarrollarán en clase con la teoría correspondiente, varios ejemplos y resolución de ejercicios. El trabajo del alumno consiste en estudiar los conceptos y las explicaciones dados y resolver todos los ejercicios de esta guía, de forma tal que, en el momento de las evaluaciones, sea capaz de resolver en forma correcta ejercicios similares sobre los temas explicados. Durante las clases también se dedicará cierto tiempo a consultas individuales o colectivas de los alumnos para disipar las dudas que puedan surgir. El contenido de la materia se dará completamente en clase, por lo que no es obligatorio el uso de bibliografía. Sin embargo, se sugieren a continuación algunos textos que, si bien no se adecuan estrictamente al programa de la materia, pueden servir para ahondar, repasar o ver otro enfoque de algunos temas, así como para obtener más ejercitación. 1 Libros de consulta ALLENDOERFER, Carl B. y OAKLEY, C. Matemáticas Universitarias. McGraw - Hill. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 1. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 3. ANAYA. de GUZMÁN, Miguel y COLERA J. Matemática II. C.O.U. ANAYA. PROFESORES DEL ÁREA MATEMÁTICA DEL CBC. Matemática Teórica. CCC Educando. PURCELL, Edwin J. y VARBERG. D. Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall. SPIEGEL, Murray R. Cálculo Superior. McGraw - Hill. ZILL, Dennis G. Álgebra y Trigonometría. McGraw - Hill. Práctica 0 Preliminares Ejercicio 1. Calcular: a) ( ) b) ( ) c) e) ( 4 3 ) 1 ( ) d) ( ) : ( ) ( ) ( 5 5 : 1 ) 4 f ) 3 (5 + 1, ) 5, 8 ( ) : (3 +, 1) g) ( h) 15 3)1 ( ) 1 4 ( ) i) ( 1 ) j) [ (1 5 ) 3 ( ) ] k) [ ( ) 6 : 5 ( ) ] 4 1 l) 5 ( ) Ejercicio. Reducir cada expresión a una sola fracción: a) 4 5 x b) 3 x + 1 c) x x x x x d) x x x e) x x ( 5x ) ( + 15x g) : ) x + 6 x f ) h) x + 3x x + 3x 1 + x 1 4 x 3 Ejercicio 3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: a) x + 5 = 9 b) 4x 11 = 5x + 7 c) 3 x = 1 d) 5 x + = 3 e) 6x 1 3x 4 = x f ) 3 + x = x g) 10 x + = 5 h) 4 x x x 4 = 7 3x 6 i) 3x 7 x + 6 k) 3x 7x 5 = j) x + x = x + 3 x = 0 l) x 3x = x + 5x m) x x 3 = x n) 5 x 3 + x = x 3 Ejercicio 4. a) Desarrollar cada expresión: i) (x 5) ii) (x + 7) iii) (x 3)(x + 1) iv) (x y)(x + y) b) Escribir en cada caso como producto de dos factores: i) x 81 ii) x 3 11x iii) x 4 16 iv) x 4 + 3x 3 + 5x v) x 10x + 5 vi) 4x 9 Ejercicio 5. Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales para todos los posibles valores de a, b, c y d especificados. En caso de no ser iguales, encontrar valores fijos que hagan que las expresiones sean distintas: a) ab y b) a + b y a b (a, b 0) a + b (a, b 0) 4 c) 1 a y a a (a 0) d) (a + b) y a + ab + b e) (a + b) y a + b f) a + b a g) a + b c h) 1 a + b y y y 1 + b a a c + b c 1 a + 1 b (a = 0) (c = 0) (a = 0, b = 0, a + b = 0) i) a 5 3 y 3 a 5 j) a b y (a b)(a + b) k) a 1 y 1 a (a = 0) l) a 1 y a (a = 0) ( a ) 1 m) y b n) a b : c d y b a ad bc (a = 0, b = 0) (b = 0, c = 0, d = 0) Ejercicio 6. En cada uno de los siguientes casos, escribir en lenguaje algebraico la información relativa a un rectángulo utilizando la base b y la altura h : a) La base excede en unidades a la altura. b) El perímetro del rectángulo es de 50 cm. c) La base es el doble de la altura. d) El área del rectángulo es de 00 cm. e) La diagonal del rectángulo mide 5 cm. f) El rectángulo es un cuadrado. g) La altura es igual a 5 de la base. 5 Ejercicio 7. El Gran Mago me dijo: Pensá un número. Sumale 7. Multiplicá el resultado por 3. Al número obtenido, restale 15. Dividí por 3. Sumá. Decime el resultado. Le dije 53 y, de inmediato, el Gran Mago dijo Pensaste el 49. Cómo hizo el Gran Mago para responder tan rápidamente? Ejercicio 8. Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente: a) El área de un triángulo es base por altura dividido por. i) 7 3a b) 7 menos el triple de un número. ii) a 3 b c) La diferencia de dos cuadrados. iii) (a b) d) El triple de un número menos 7. iv) A = bh e) El cuadrado de la diferencia de dos números. v) 3a 7 f) La diferencia de dos números dividida por 3. vi) a b g) La tercera parte de un número menos otro. vii) a b 3 Ejercicio 9. Cuántos minutos hay en 3 8 de día? Ejercicio 10. Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes de la mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero? Ejercicio 11. Un automóvil cuesta hoy $ Si cada año pierde el 10 % de su valor, calcular cuánto valdrá dentro de dos años. Ejercicio 1. Una pastilla que pesa g contiene 5 % de aspirina, 35 % de vitamina C y el resto es excipiente. Cuántos gramos de cada sustancia contiene? 6 Ejercicio 13. Un patio rectangular mide 4 m de perímetro. Si el largo es tres veces el ancho, cuánto miden el largo y el ancho del patio? Ejercicio 14. María tiene 36 años y Juan, 8. Dentro de cuántos años la edad de María será el triple de la edad de Juan? Ejercicio 15. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas: a) Si a 3 y a 3 entonces a = 3. b) Si a = entonces a = 4. c) Si a = 4 entonces a =. d) Si a = entonces a. e) Si a.b = 0 entonces a = 0 o b = 0. f) Si a.b = 0 entonces a = 0 y b = 0. g) Si a = 0 y b = 0 entonces a.b = 0. h) Si a = 0 o b = 0 entonces a.b = 0. i) Si a = 3 entonces a 4 3a = 0. j) Si a 4 3a = 0 entonces a = 3. k) Si a 4 3a = 0 y a = 0 entonces a = 3. l) Si a 1 entonces a 0. m) Si a 0 entonces a 1. 7 ALGUNAS RESPUESTAS 1. a) 7 1 b) 3 c) 8 5 d) 4 e) 1 4 f) 10 g) 1 h) 13 8 i) 1 j) 1 5 k) 5 4 l) 1 4. a) 4x 5 x b) 4x 1 x + 1 c) 3 x d) x + 3 x 4 e) 4x 8x 0 1 x f) + 3x3 x g) 5x x + 5 h) 5 5x 3(x 4) 3. a) x = b) x = c) x = 8 d) x = 1 e) x = 3 f) No hay solución. g) x = 0 h) x = 10 3 i) x = 1 j) x = 1 k) x = 3 l) x = 1 4 m) x = 1 n) No hay solución. 3(x + 7) Si x es el número que pensé, la cuenta que me hizo hacer el Mago es + = 3 x + 4. Es decir, para responder rápidamente, debe restarle 4 al número que le dije minutos. 10. El primero come 5 7 de la pizza, el segundo 1 16 mayor que la del primero. de la pizza, que resulta ser una porción 11. $ , 5 g de aspirina, 0, 7 g de vitamina C y 0, 8 g de excipiente m de largo y 3 m de ancho. 14. Dentro de 6 años. 8 Práctica 1 Números reales Ejercicio 1. Representar en la recta real: a) Todos los números enteros x tales que x(x 1) = 0. b) Todos los números naturales x tales que x 16 = 0. c) { x R/(5 x)(x 9) = 0 } d) { x N/x 6x + 9 = 0 } e) { x R/x 3 6x + 9x = 0 } f ) { x R/x + 10 = 0 } Ejercicio. a) En cada caso, decidir si los números a y b pertenecen al conjunto C : i) C = {x R/3x 4} a = 5 b = 0 ii) C = {x R/ x 8} a = 3 b = 4 iii) C = { x R/x 5 0 } a = 0 b = 5 iv) C = { x R/x 3 x 10 } a = 5 b = 1 { v) C = x R/ x 1 x 1 x } 3 a = 9 b = 4 4 b) En cada caso, dar dos números que pertenezcan y dos que no pertenezcan a A : i) A = {x R/ x 4} ii) A = { x R/x 5 } Ejercicio 3. Escribir cada conjunto como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por extensión y representarlo en la recta real: a) El conjunto A de todos los números reales menores que. b) El conjunto B de todos los números reales mayores o iguales que 1. c) El conjunto C de todos los números enteros mayores que 3 y menores o iguales que 7. d) El conjunto D de todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 7. e) El conjunto E de todos los números reales que no son menores que 5. f ) F = {x R/x 3} g) G = {x R/ 1 x y x 5} 9 h) H = {x R/x 0 y x 1} i) I = {x R/x 1 y x 3} j) J = {x R/x 1 ó x 5} k) K = {x R/x 3 ó x 0} Ejercicio 4. Escribir en cada caso el conjunto resultado como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por extensión y representarlo en la recta real: a) A = ( 1 ; 5) [4 ; 7, 3] b) B = [ ; 3, 5] (0 ; 4) c) C = [ ; 4] (0 ; 6) ( ) ( ) 4 d) D = ( ; 4] (0 ; + ) e) E = {1; ; 4; 5} 3 ; 9 31 f ) F = ; (0 ; 6) 3 g) G = N (1, 5 ; 7) h) H = ( ; 3) [3 ; + ) i) I = ( ; 3] [3 ; + ) Ejercicio 5. Escribir en cada caso el conjunto dado como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por extensión y representarlo en la recta real: a) A = {x R/5 + x x + 3} b) B = {x R/8 x 3} c) C = {x R/3x 3x + 5} d) D = {x R/5 x x + 3} { e) E = x R/ x 1 x 1 x } 3 4 f ) F = {x R/ 1 x 4} Z g) G = {x R/x 1 0} {x R/3x + x 5} { h) H = x R/5x 3 1 } x {x R/3 x 1 7} i) I = {x R/3 x 1 7} {x R/ x } Ejercicio 6. Representar en la recta real cada uno de los siguientes conjuntos. Escribir en cada caso el conjunto dado como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por extensión: a) El conjunto A de todos los números reales que están a distancia 3 del 0. b) El conjunto B de todos los números reales cuya distancia al 0 es menor o igual que 5. c) El conjunto C de todos los números reales cuya distancia al 3 es mayor que. d) D = {x R/ x = 4} e) E = {x R/ x 3} f ) F = {x R/ x = } g) G = {x R/ x 5} h) H = {x R/ x = } 10 Ejercicio 7. a) Representar en el plano los siguientes puntos: P = (3, 1); Q = ( 4, ); R = (0, ); S = ( 1, 0); T = ( 5, 1 ) y U = ( 3, ). b) Para los puntos del ítem anterior, hallar las coordenadas de sus simétricos con respecto al eje x y al eje y y representarlos en el plano. Ejercicio 8. Representar en el plano los siguientes conjuntos: a) El conjunto A de puntos de abscisa 8. b) El conjunto B de puntos de abscisa positiva o nula. c) El conjunto C de puntos de abscisa y ordenada positiva. d) El conjunto D de puntos de ordenada mayor o igual que 1 y menor que 5. Ejercicio 9. a) Hallar la distancia entre los puntos P y Q en cada caso: i) P = (3, ), Q = (7, 5) ii) P = ( 1, 0), Q = (3, ) iii) P = (0, ), Q = ( 4, 1) b) Hallar el perímetro del triángulo de vértices P = (, 1), Q = (1, 3) y R = (, 3). Ejercicio 10. a) Dar cinco puntos del plano que estén a distancia del punto P = (3, 1). Graficar. b) Hallar todos los puntos del eje x que estén a distancia 5 del punto P = (1, 3). Graficar. c) Decidir si existe algún punto del eje x a distancia del punto P = (, 3). Justificar gráficamente. Ejercicio 11. a) Hallar todos los puntos de la forma P = (a, ) con a R que están a distancia 5 del punto Q = (0, 1). 11 b) Hallar todos los puntos de la forma P = (a, a) con a R que distan 13 del punto Q = (5, 1). c) Hallar todos los puntos de la forma P = (a, a 1) con a R que están a distancia 5 del punto Q = (3, 3). Ejercicio 1. Dar una ecuación que caracterice a todos los puntos (x, y) del plano que equidistan de los puntos P = (0, 0) y Q = (4, 0). Graficarlos. 1 Práctica Funciones: generalidades - Algunas funciones usuales Ejercicio 1. Un avión tarda 60 minutos en llegar desde Buenos Aires hasta Bahía Blanca. El siguiente gráfico describe aproximadamente la altura en metros del avión en función del tiempo durante el viaje: A partir del gráfico, responder: a) Cuál fue la altura máxima que alcanzó el avión? Cuánto tiempo voló a esa altura? b) Cuánto tardó en llegar a la altura máxima? c) A qué altura se encontraba a los 30 minutos de partir? d) Cuántas veces estuvo a 3000 m de altura? e) En qué momentos subió? En qué momentos bajó? f) Cuántas veces voló a altura constante? Ejercicio. a) Sea f (x) = x + 4x 5. Calcular f (0), f (1), f (6) y f ( 1). b) Sea f (x) = 4x(x + 1) 3. Completar la siguiente tabla: x 4 3 f (x) 13 Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos, escribir Dom ( f ) como intervalo o unión de intervalos y decidir si 3 Im ( f ) : a) f (x) = x x c) f (x) = 5x x 4 b) f (x) = x + d) f (x) = x + 3 x e) f (x) = x x f ) f (x) = 3x x 4 Ejercicio 4. Determinar para cada una de las funciones graficadas su conjunto de ceros, los conjuntos de positividad y negatividad y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) b) c) 0 1 f g h Ejercicio 5. Graficar la función lineal f y decidir si el punto (1, 4) pertenece al grafico de f en cada uno de los siguientes casos: a) f (x) = x + 6 b) f (x) = x + 4 c) f (x) = 4x d) f (x) = 3 x + e) f (x) = 4 Ejercicio 6. a) En cada uno de los siguientes casos, encontrar la función lineal f que satisface simultáneamente: i) f (1) = 0 y f () = 5 14 ii) f ( 1) = 1 y f (3) = 5 iii) f (1) = 3 y f (4) = 3 b) Hallar la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por los puntos P y Q, indicando en cada caso su pendiente y su ordenada al origen: i) P = (1, ) Q = (3, 6) ii) P = (, ) Q = (4, 5) iii) P = (, 5) Q = ( 4, 5) c) En cada caso, hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P : i) P = (0, ) m = 3 ii) P = ( 1, 3) m = 1 iii) P = (, 5) m = 0 iv) P = (, 5) m = 3 Ejercicio 7. En cada caso, hallar la ecuación de la recta graficada: a) b) 3 c) Ejercicio 8. Decidir, en cada caso, si existe una función lineal f de modo que los puntos P, Q y R pertenezcan simultáneamente al gráfico de f : a) P = (, 5) Q = (0, 7) R = (4, 11). b) P = (, 5) Q = (0, 3) R = (4, 0). Ejercicio 9. Sea f (x) = mx + 5. Encontrar el valor de m R tal que f () = 3. Para el valor hallado, determinar los puntos en los que el gráfico de f corta a los ejes coordenados. Ejercicio 10. Dada la recta que pasa por (3, ) y (4, a), a) para qué valor de a la pendiente vale 8? 15 b) para qué valor de a la recta corta al eje y en el punto (0, 3)? c) para qué valor de a la recta pasa por el punto (, 9)? Ejercicio 11. Dada f (x) = x 8, hallar sus ceros y el conjunto de positividad, el de negatividad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Ejercicio 1. Encontrar la función lineal f tal que f (4) = 9 y cuyo conjunto de negatividad es (7; + ). Para la f hallada, calcular f (10). Ejercicio 13. Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g en cada caso: a) f (x) = x +, g(x) = x + 8. b) f (x) = 1 x 3, g(x) = 4. c) f (x) = x + 1, g es la función lineal cuyo gráfico es la recta de pendiente 4 y ordenada al origen 5. d) f (x) = x 6, g es la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente. Ejercicio 14. Escribir el conjunto A = {x R/ f (x) g(x)} como intervalo o unión de intervalos. En cada caso, representar gráficamente en un mismo plano f y g y el conjunto A en el eje x. a) f (x) = x + 10, g(x) = 3x +. b) f (x) = 3x +, g(x) = 4. c) f (x) = x + 1, g la función lineal tal que g(1) = y g( ) = 8. Ejercicio 15. La boleta mensual de luz tiene un cargo fijo de $ 5 y $ 0,0 por cada KWH consumido. a) Dar la función lineal que dice cuánto se debe pagar (en $) en función de los KWH consumidos. Representar gráficamente. b) Si Pedro consume en un mes 300 KWH, cuánto debe pagar? 16 c) Si Pedro debe pagar $ 40, cuánto consumió? Ejercicio 16. Una empresa de celulares tiene dos planes. El plan TANGO tiene un abono mensual fijo de $30 y además cobra $1 por cada minuto de llamada (sin minutos libres). El plan TONGO no tiene abono pero cobran $ por cada minuto de llamada. a) Cuánto se debe pagar con cada plan si se realizan en el mes 0 minutos de llamadas? Y si se realizan 60 minutos? b) Dos personas, una abonada al plan TANGO y la otra al plan TONGO, pagaron $100 cada una. Cuál de las dos habló más minutos? c) Cuántos minutos se deben utilizar para que ambos planes cobren lo mismo? Cuándo conviene más cada plan? Ejercicio 17. Para cada función f, hallar el vértice de su gráfico, calcular su imagen, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y graficarla aproximadamente: a) f (x) = x 9 b) f (x) = (x + ) c) f (x) = x d) f (x) = 3x + 1x 9 e) f (x) = 4x (x 1) + 1 f ) f (x) = 1 4 x 3x g) f (x) = x + x h) f (x) = x + x 3 Ejercicio 18. Hallar en cada caso los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de f : a) f (x) = 5 (x + 1) (x ) b) f (x) = 1 (x 3) c) f (x) = x 5x + 6 d) f (x) = x + 3x 3 e) f (x) = x + 8 f ) f (x) = 3x + 6x Ejercicio 19. En cada uno de los siguientes casos, hallar la función cuadrática f que verifica lo pedido: a) El gráfico de f tiene vértice V = (4, 5) y pasa por el punto (3, 3). b) El conjunto de positividad de f es (0; 6) e Im ( f ) = ( ; 4]. c) El intervalo de crecimiento de f es (3; + ), su imagen es [ ; + ) y f (4) = 6. Ejercicio 0. Sea f (x) = 3x 3x 18. Encontrar la función cuadrática g que tiene los mismos ceros que f y satisface g(1) = 4. Ejercicio 1. Hallar los puntos de intersección de los gráficos de f y g en cada caso: a) f (x) = x + 5x + 4 y g (x) = 3x + 7. b) f (x) = x + x + 1 y g (x) = x + 4. c) f (x) = 3 (x + 1) (x + 7) y g (x) = 15. d) f (x) = 3x + 5x 7 y g (x) = x + x e) f (x) = x + 5x 7 y g (x) = x x + 5. f) f es la función lineal tal que f () = 5 y f (4) = 9 y g (x) = x + 8x + 6. Ejercicio. El precio en pesos de una torta circular de x cm de radio viene dado por p(x) = 1 x a) Cuál es el precio de una torta de 10 cm de radio? Y de una de 0 cm? b) Cuál es el radio de una torta si su precio es de $ 19? Ejercicio 3. Un artesano confecciona cuadros rectangulares, en los que la base mide el doble que la altura. La placa de madera de fondo tiene un costo de $ 0,10 el centímetro cuadrado, y las varillas que adornan los bordes cuestan $ el centímetro. a) Cuál es el costo en materiales de un cuadro cuya altura mide 10 cm? b) Cuáles son las dimensiones de un cuadro cuyo costo en materiales es de $5? 18 Ejercicio 4. Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco utiliza 3,0 m de varilla metálica. a) Cuál es el área de la abertura si la construye con una base de 0,40 m? Y si la base es de 0,60 m? Y si es de 0,90 m? b) Cuál debe ser la base para que el área de la abertura sea de 0,55 m? Cuántas posibilidades hay? c) Es posible hacer una ventana cuya área sea de 1,0 m? Ejercicio 5. a) Dada f (x) = x 3 3x + 4x, describir por extensión el conjunto A = {x R/ f (x) = 0}. b) Sea f una función polinómica de grado 3 que corta al eje x en los puntos ( 1, 0), (1, 0) y (, 0). Determinar f si se sabe que f (3) = 16. c) Hallar la función polinómica f de grado 3 tal que su conjunto de ceros es { 1, 1, 5} y f () = 9. Ejercicio 6. En cada caso, representar gráficamente en forma aproximada cada grupo de funciones polinómicas y comparar sus gráficos: a) f 1 (x) = x 3 f (x) = (x + 1) 3 f 3 (x) = x 3 1 f 4 (x) = x 3. b) g 1 (x) = x g (x) = x g 3 (x) = 1 4 x g 4 (x) = (x 1) Práctica 3 Composición de funciones - Más funciones usuales Ejercicio 1. Dadas las funciones f y g, calcular f g y g f en cada caso: a) f (x) = 3x, g(x) = x + 3 b) f (x) = x 4, g(x) = x + 1 x 3 c) f (x) = 3 x +, g(x) = 3 x d) f (x) = x 1, g(x) = x x + Ejercicio. a) La relación funcional entre grados Celsius ( o C) y la escala Kelvin (K) es lineal. Sabiendo que 0 o C = 73 K y que 7 o C = 300 K, encontrar la función f que da la temperatura en grados Celsius conocida la misma en la escala Kelvin. b) La función g(x) = 1, 8 x + 3 expresa la temperatura en grados Fahrenheit si x es la temperatura en grados Celsius. Encontrar la expresión de la temperatura en grados Fahrenheit en función de la temperatura en la escala Kelvin. Es lineal? Ejercicio 3. a) Sean f (x) = x + k y g(x) =. Hallar el valor de k R de manera que (g f )(1) = 4. x Para el valor de k encontrado, calcular ( f g)(1). b) Sean f (x) = kx y g(x) = x + 6. Hallar el valor de k R de modo que (g f )(1) = 5. x + 4 Para el valor de k hallado, calcular ( f g)(1). Ejercicio 4. En cada caso, resolver la ecuación f (x) = b para cada uno
