Transcript
Praticando
6 MATEMÁTICA Edição Renovada
Á L V A R O
ANDRINI
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M A R I A
J O S É
VASCONCELLOS
COLEÇÃO PRATICANDO M A T E M Á T I C A
M AT E M ÁT I C A
18/05/2015 11:19
Praticando
6 Matemática Edição Renovada
Coleção Praticando M a t e m á t i c a
Á L V A R O
ANDRINI
M at e m át i c a
Licenciado em Matemática. Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos. Autor de diversos livros didáticos.
M a r i a
J o s é
vasconcellos Licenciada em Matemática. Coordenadora de Matemática em escola da rede particular. Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.
4a edição São Paulo, 2015
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Andrini, Álvaro Praticando matemática 6 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – 4. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2015. – (Coleção praticando matemática; v. 6) Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia ISBN 978-85-10-05889-6 (aluno) ISBN 978-85-10-05890-2 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Vasconcellos, Maria José. II. Título. III. Série. 15-03473 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática: Ensino fundamental 372.7 © Editora do Brasil S.A., 2015 Todos os direitos reservados Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti Supervisão editorial: Erika Caldin Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero Supervisão de revisão: Dora Helena Feres Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda. Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete Consultoria técnica: Eduardo Wagner e Nilza Eigenheer Bertoni Edição: Igor Marinho Guimarães da Nóbrega Assistência editorial: Andriele de Carvalho Landim e Rafael Volner Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa Coordenação de revisão: Otacilio Palareti Copidesque: Gisélia Costa e Ricardo Liberal Revisão: Alexandra Resende, Ana Carla Ximenes, Elaine Fares e Maria Alice Gonçalves Coordenação de iconografia: Léo Burgos Pesquisa iconográfica: Elena Ribeiro, Joanna Heliszkowski e Juliane Orosco Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves Assistência de arte: Leticia Santos Design gráfico: Andrea Melo Capa: Patrícia Lino Imagem de capa: Pygmalion Karatzas com pesquisa iconográfica de Léo Burgos Ilustrações: DAE, Danillo Souza, Estúdio Ornintorrinco, Hélio Senatore, Ilustra Cartoon, Jorge Zaiba, Leonardo Conceição, Marcelo Azalim, Paulo José, Pedro Sotto, Reinaldo Rosa, Ronaldo Barata e Zubartez. Produção cartográfica: Sônia Vaz Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos Editoração eletrônica: Adriana Albano, Armando F. Tomiyoshi, Débora Jóia, Gabriela César, Gilvan Alves da Silva, José Anderson Campos e Sérgio Rocha Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes e Rafael Machado 4a edição, 2015
Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001 Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br
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Apresentação
Prezado aluno, Você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor: “Para que eu devo estudar Matemática?” Há três respostas possíveis: 1. A Matemática permite que você conheça melhor a realidade. 2. A Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios. 3. A Matemática pode ajudar você a fazer descobertas. Este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida. O caminho para o conhecimento é você quem faz. Os autores
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“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.” Lobachevsky
Agradecemos ao professor Eduardo Wagner pelos comentários e sugestões que contribuíram para a melhoria deste trabalho.
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Sumário Unidade 1 – Sistema de
Unidade 5 – Potenciação e raiz
numeração decimal
quadrada de números naturais
1. Um pouco da história dos números............. 7
1. Potenciação......................................................................79
2. Criando símbolos e regras...................................10
2. Quadrados, cubos e potências.......................81
3. O sistema de numeração decimal
3. O expoente 0 e o expoente 1..........................82
e os algarismos indo-arábicos..........................14
4. Raiz quadrada.................................................................84
4. Leitura e escrita de números no
sistema de numeração decimal......................16 Unidade 2 – Números naturais 1. Os números naturais e os
processos de contagem.........................................25
Unidade 6 – Múltiplos e divisores 1. Sequência dos múltiplos
de um número...............................................................91 2. Fatores ou divisores de um
número natural.............................................................93
2. A reta numérica e os números naturais.......28
3. Critérios de divisibilidade –
Unidade 3 – Adição e subtração
4. Números primos..........................................................99
economizando cálculos........................................95
de números naturais
5. Quando os múltiplos
1. As ideias da adição e da subtração.............35
6. Divisores comuns e o mdc..............................106
se encontram...............................................................103
2. Cálculo mental nas adições
e nas subtrações...........................................................40 3. Estimando por arredondamento..................42
Unidade 4 – Multiplicação e
divisão de números naturais
Unidade 7 – Dados, tabelas
e gráficos de barras 1. Para que servem os gráficos?..........................113 2. Vamos fazer uma
pesquisa estatística?...............................................119
1. As ideias da multiplicação..................................49 2. As ideias da divisão....................................................54
Unidade 8 – Observando formas
3. Expressões numéricas.............................................62
1. As formas da natureza e as formas
4. Propriedade distributiva
criadas pelo ser humano...................................123
da multiplicação..........................................................66
2. Formas planas e não planas............................125
5. Vamos resolver mais problemas?..................68
3. Investigando os blocos retangulares..........130
6. Medindo o tempo.....................................................71
4. Perspectivas e vistas...............................................133
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Unidade 9 – Ângulos
Unidade 12 – Números decimais
1. Falando um pouco sobre ângulos............141
1. A notação decimal..................................................205 2. Números decimais e o registro
2. Ângulos – elementos
e representação..........................................................142 3. Medidas de ângulos...............................................144 4. Utilizando o transferidor...................................147 5. Retas perpendiculares
e retas paralelas..........................................................149 6. Os esquadros................................................................151
Unidade 10 – Polígonos
e circunferências 1. Polígonos..........................................................................157 2. Triângulos........................................................................160 3. Quadriláteros...............................................................161 4. Polígonos regulares.................................................164 5. Perímetro.........................................................................166
de medidas.....................................................................210 3. Números decimais na forma de fração...........................................................................212 4. Comparando números decimais...............212 5. Adição e subtração de números decimais............................................................................214 6. Multiplicando por 10, 100, 1 000..................216 7. Multiplicação de números decimais.........218 8. Divisão de números naturais com quociente decimal.....................................221 9. Divisão de números decimais.......................222 Unidade 13 – Porcentagens 1. O que é porcentagem?........................................231 2. Calculando porcentagens.................................234 3. A forma decimal das porcentagens............238
6. Circunferências...........................................................168
Unidade 14 – Medidas
7. Simetria nos polígonos
1. O que é medir?...........................................................243 2. Comprimentos no sistema
e no círculo....................................................................171 Unidade 11 – Frações 1. Inteiro e parte do inteiro....................................177 2. Frações de uma quantidade...........................180 3. Números mistos e frações
impróprias.......................................................................182 4. Frações equivalentes..............................................185 5. Comparação de frações.....................................188 6. Operações com frações......................................191 7. Inversa de uma fração..........................................196 8. Potenciação e raiz quadrada
de frações........................................................................199
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métrico decimal.........................................................245 3. Medindo superfícies..............................................250 4. A área do retângulo...............................................251 5. Volumes............................................................................256 6. Quando usamos cada unidade?.................259 7. Medidas de massa...................................................261
Sugestões de livros e sites.........273 Referências..................................276 Moldes e malhas.........................277 Respostas dos exercícios...........284 Manual do Professor ................293
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Sistema de numeração decimal
1
unidade
1. Um pouco da história dos números
Ilustrações: Ronaldo Barata
Você sabe o que cinco pessoas, cinco flores e cinco pedras têm em comum?
A quantidade!
Isso mesmo!
Hoje, podemos responder à pergunta acima com facilidade, mas nem sempre foi assim. A humanidade levou centenas de milhares de anos para construir a ideia de número. É isso mesmo! Antigamente, a Matemática não existia na forma que conhecemos hoje. Na maior parte da história da humanidade, as pessoas não sabiam contar! E como elas aprenderam? Provavelmente a partir de suas necessidades práticas. Quando as antigas civilizações começaram a criar animais e a plantar, contar passou a ser importante para que pudessem controlar o que possuíam. Sistema de numeração decimal
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7
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Aprendendo a contar Para cada ovelha que volta, no final do dia, retiro uma pedra do saquinho.
Para cada ovelha que sai para pastar, coloco uma pedra no saquinho.
De manhã, o pastor separava uma pedrinha para cada ovelha que levava para pastar. Essas pedrinhas eram guardadas em um saquinho. À tarde, o pastor comparava a quantidade de ovelhas que voltava do pasto com a quantidade de pedrinhas do saquinho. Se não sobrassem pedrinhas após a passagem do rebanho, ele sabia que todas as ovelhas haviam voltado. Desde a utilização das pedrinhas, muito tempo se passou. Várias civilizações contribuíram com a criação de métodos de contagem e símbolos para representar quantidades. Hoje, usamos os números para contar, medir, ordenar, identificar... Vale sempre a pena lembrar quanto a humanidade trabalhou para chegar até aqui!
Ronaldo Barata
Veja uma situação que pode ter acontecido em um tempo bem distante...
Sim, pois ele estabeleceu uma correspondência um a um; ou seja, cada carteira corresponde a um aluno.
Em certa sala de aula, o número de carteiras é igual ao número de alunos. Um dia, ao chegar na sala, o professor observou duas carteiras vazias e comentou que dois alunos haviam faltado. O comentário dele tem relação com o processo de contagem usado pelo pastor dos quadrinhos acima? Justifiquem a resposta no caderno.
Fernando Favoretto/Criar Imagem
Jorge Zaiba
Numeral é a forma usada para expressar um número. O numeral pode ser um símbolo gráfico, uma palavra ou um gesto.
Forest/Shutterstock
Número e numeral
Para representar um mesmo número, podemos usar numerais diferentes. Veja alguns numerais que representam o número cinco: cinco five
V
5
Na linguagem comum, costumamos usar a palavra número no lugar da palavra numeral. 8
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EXERCÍCIOS 2. A quantidade de latas de refrigerante consumidas durante uma festa, num restaurante, foi registrada de dois modos:
1. Observe as ilustrações. I
om garç
te clien
Em qual dessas anotações é mais fácil ler o resultado? Por quê? Resposta pessoal. Espera-se que o aluno responda que é a anotação do garçom, porque os tracinhos foram agrupados de 5 em 5.
3. Carlos gosta de brincar com palitos de fósforo usados. Para representar a quantidade de palitos que reunia em cada caixinha, ele inventou o seguinte código:
II
51
55
5 10
10 1 10 1 5 1 1 1 1 1 1 5 28
Ilustrações: Ilustra Cartoon
III
5 1 1 1 1 1 10 5 17 Agora é a sua vez! Identifique o número representado em cada situação. a) b)
Responda: a) Em qual situação há menos jogadores do que bolas? II b) Em qual situação há mais jogadores do que bolas? III c) Em qual situação há o mesmo número de jogadores e de bolas? I d) Para responder a essas perguntas é preciso saber contar? Não. Foi fazendo a correspondência um a um que durante muitos anos o ser humano pré-histórico pôde praticar a contagem, antes mesmo de estabelecer o que é número.
24 18
c)
26
d)
19
e)
35
f)
28
g) 4. Se vale
29
vale 32 e
vale 45, quanto
? 27
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
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Ilustrações: DAE
Para escrever um número, bastava somar os valores de cada símbolo. Veja os exemplos:
9
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2. Criando símbolos e regras Ilustra Cartoon
Outra dificuldade que as pessoas provavelmente encontravam, há milhares de anos, era trabalhar com grandes quantidades. Afinal, registrar essas quantidades empilhando pedras ou fazendo marcas na madeira devia ser difícil e pouco prático.
Daí veio a ideia de agrupar, para visualizar melhor as quantidades, criando símbolos especiais para esses agrupamentos e regras para registrar quantidades com esses símbolos. Surgiam, então, os primeiros sistemas de numeração.
O sistema de numeração egípcio
um
dez 10
cem 10
dez mil
mil
10
10
cem mil
10
um m
ilhão
Ilustrações: Jorge Zaiba
Os antigos egípcios contavam formando grupos de 10 elementos. Observe, no papiro, que cada símbolo representa 10 vezes o que o símbolo anterior representa:
10
Nesse sistema, um mesmo símbolo poderia ser repetido até 9 vezes. Cada agrupamento de 10 era trocado por um novo símbolo. No sistema egípcio, a posição ocupada pelo símbolo não altera seu valor. Veja o exemplo:
23
23
23
10
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Ilustrações: Jorge Zaiba
Coleção particular
Representação do número 999 no sistema egípcio:
A repetição de símbolos faz os registros ficarem longos! Pintura que representa a colheita de linho no Egito Antigo. A civilização egípcia contribuiu bastante para o conhecimento matemático.
Veja a adição 86 1 47 no sistema egípcio:
Fazer operações no sistema egípcio é trabalhoso!
EXERCÍCIOS 5. Com base nas informações do texto sobre o
6. Copie e complete a tabela.
sistema de numeração egípcio, responda: a) Quantos símbolos eram usados? 7 símbolos b) Quantas vezes era permitido
53
26
Até repeti-los? 9 vezes.
c) Havia símbolo para o zero? Não.
204
345
d) A posição em que os símbolos eram colocados para representar um número influía no valor desse número? Não.
411
2 352 1 527
e) O valor do número era dado pela soma dos valores dos símbolos usados? Sim. f) Os números eram representados de forma resumida (poucos símbolos)? Não. g) Isso facilitava os cálculos (somar, subtrair etc.)? Não.
10 231
7. O Nilo é um dos maiores rios do mundo. Ele tem 6 741 quilômetros de extensão e corta o Egito de norte a sul. Como os egípcios representavam esse número antigamente?
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O sistema de numeração romano Os antigos romanos também tinham um sistema de numeração formado por sete símbolos: I
V
X
L
C
D
M
Observe exemplos de números escritos em nosso sistema e no sistema romano: sistema de numeração romano (forma moderna) 1
I
10
X
100
C
1 000
M
2
II
20
XX
200
CC
2 000
MM
3
III
30
XXX
300
CCC
3 000
MMM
4
IV
40
XL
352
CCCLII
4 000
5
V
50
L
400
CD
5 000
6
VI
60
LX
500
D
5 700
VDCC
7
VII
70
LXX
600
DC
10 000
X.
8
VIII
80
LXXX
700
DCC
16 500
XVID
9
IX
90
XC
800
DCCC
1 000 000
tIV V.
Os antigos romanos registravam o 4 assim: IIII, pois IV eram as duas primeiras letras do nome Júpiter (deus romano): não se podia invocar esta palavra em vão. Aqui usaremos a forma moderna do sistema romano, na qual cada símbolo será repetido até três vezes.
No sistema romano encontramos: VIII 5 V 1 III, ou seja, 8 é representado com 5 1 3.
inxti/Shutterstock
Mu
No entanto, para representar o 9, em vez de VIIII, escreve-se IX. IX
9
10 1 I antes do X
Da mesma forma: XL
40
50 10 X antes do L
XC
90 100 10 X antes do C
Observe que usamos a subtração para não repetir o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas. Durante mais de 1 000 anos, o sistema de numeração romano foi utilizado na Europa. Por volta do século XIII, com a expansão do comércio e das navegações, os símbolos romanos foram substituídos pelos algarismos indo-arábicos. Hoje, a numeração romana ainda é utilizada em algumas situações, como nos mostradores de alguns relógios, na escrita dos números dos séculos, na numeração de capítulos de livros e de leis, na designação de reis ou papas de mesmo nome etc.
Com base nas informações do quadro anterior, você e seus colegas devem responder oralmente às questões. 1. Todos os símbolos romanos podem ser repetidos? Não. 2. Quais os símbolos que podem ser repetidos? I, X, C e M 3. O que acontece com o símbolo do número VI quando colocamos um traço horizontal sobre ele?
Seu valor passa de 6 para 6 000. XCIX
4. Como registramos 99 no sistema romano? E 999? CMXCIX
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EXERCÍCIOS 8. No sistema de numeração romano moderno, usamos a subtração para não repetir o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas. a) Usando esse raciocínio, escreva como se representa 900 no sistema romano. CM b) O número CM tem o mesmo valor que MC? Não. c) Observando o item anterior, podemos concluir que no sistema romano a posição do símbolo é importante? Sim. d) Qual número está escrito na fachada desta casa?
11.Estou lendo o capítulo 49 de um livro. Como podemos representar esse número no sistema romano? XLIX 12. Descubra o menor número que se pode escrever com os símbolos I, V, X e L. XLIV 13. Para escrever os séculos, por exemplo, usamos os símbolos romanos. Veja o quadro e faça o que se pede.
Rubens Chaves/Pulsar Imagens
1911
Ano
Século
1 a 100
I
101 a 200
II
201 a 300
III
301 a 400
IV
e assim por diante…
a) Em que século nasceu Vítor? Século XX. Zubartez
Nasci em 1992, em São Paulo.
9. Descubra o segredo da sequência e continue-a. a) b)
V III
X
XX
XXV
XXX
XXXV
XL
XII
XV
XVIII
XXI
XXIV
Invenção
Ano
XVII
telescópio
1609
XIX
bicicleta
1842
XV
VI
IX
10. Copie e complete o quadro. 26
XXVI
LXXIII
73
505
DV
DCCCII
802
1 034 1 409
b) Copie o quadro e escreva o século referente às seguintes invenções:
MXXXIV
MCDIX
Século
c) Em que século Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil? Século XV. d) Em que ano começou e em que ano terminará o século XXI? 2001 e 2100 e) E o século XXX? 2901 e 3000 14. O que você descobre neste quadrado? II
VII
VI
IX
V
I
IV
III
VIII
Em qualquer linha, coluna ou diagonal, a soma é sempre 15.
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3. O sistema de numeração decimal e os algarismos indo-arábicos Muitas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração. Um deles, inventado na Índia, deu origem ao sistema de numeração que hoje usamos. Depois de aperfeiçoado, ele apresentou características que o tornaram mais prático que os outros. Vamos resumir essas características. ◆◆
As quantidades de 1 a 9 têm símbolos diferentes para representá-las.
◆◆
O sistema é decimal ou de base 10, ou seja, agrupamos quantidades de 10 em 10. 10 unidades
1 dezena
10 dezenas
1 centena
10 centenas
1 unidade de milhar
10 unidades de milhar
1 dezena de milhar
10 dezenas de milhar
1 centena de milhar
10 centenas de milhar
1 unidade de milhão
e assim por diante. ◆◆ ◆◆
Possui um símbolo (o zero) para representar no número a ausência de unidades, dezenas, centenas etc. Com somente dez símbolos (os algarismos) é possível registrar todos os números, pois o mesmo algarismo assume valor diferente de acordo com sua posição na escrita do número. Zero – a grande sacada! Sem um símbolo para indicar a ausência de agrupamentos em determinada posição, fica difícil diferenciar registros feitos com os mesmos algarismos, como: 23, 203, 2 003, 230 etc.
5 5 5 valor 5
valor 500
Cada posição à esquerda vale 10 vezes a posição imediatamente à direita. Sistemas de numeração em que a posição do algarismo altera seu valor são chamados sistemas posicionais.
valor 50 7 0 4 6 valor 6 valor 40
valor 7 000
o zero nesta posição indica que não há centenas 15 648
5
10 000 1 dezena de milhar
1
5 000 5 unidades de milhar
1
600 6 centenas
1
40 4 dezenas
1
8 8 unidades
14
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EXERCÍCIOS 15. (Saresp) Numa farmácia, um medicamento foi embalado em caixas onde cabem 1 000, 100, 10 e 1 unidades. O total de caixas utilizadas aparece na figura a seguir.
17. Responda: verdadeiro ou falso? a) b) c) d)
35 centenas são 3 500 unidades V 1 200 unidades são 12 dezenas F 18 milhares são 108 centenas F 23 460 unidades são 2 346 dezenas V
18. Escreva o número formado por: a) 2 centenas mais 9 dezenas; 290 b) 1 milhar mais 5 dezenas; 1 050 c) 8 milhares mais 6 centenas mais 6 unidades. Danillo Souza
8 606
Quantas unidades desse medicamento foram embaladas? 2 364 unidades
20. Copie e complete.
ponto valeria um cartão branco;
◆◆ quando
uma equipe fizesse 10 pontos, trocaria os cartões brancos por um cartão azul; uma equipe juntasse 10 cartões azuis, trocaria por 1 cartão vermelho.
400
5
5 60 000 1 600 1 6
c) 60 606
1 3 000 1
d) 13 076 5 e) 50 555 5
Equipe C
cartões vermelhos
cartões azuis
1 70
10 000
Veja o resultado no final das provas: Equipe B
1 30 1
b) 8 435 5 8 000 1
◆◆ quando
Equipe A
5 5 000 1 80 1 9
a) 5 089
16. Numa gincana ficou acertado que: ◆◆ cada
19. Qual número tem uma centena a mais que 13 centenas e 8 unidades? 1 408
1 500 1
6
15 50
50 000
5 400 000 1 30 000 1 600 1 2
f) 430 602
21. Considere o número 9 580 752. Quantas unidades representa o algarismo 5 que está à esquerda do 2? E o que está à esquerda do 8? 50; 500 000
cartões brancos
Sou um número com 249 dezenas,
Marcelo Azalim
22. Descubra o número: 2 494
e o meu algarismo das unidades a) b) c) d)
Quantos pontos fez cada equipe? A: 254; B: 298; C: 266 Qual é a equipe vencedora? A equipe B. Qual equipe fez menos pontos? A equipe A. O que aconteceria com a equipe B se tivesse conseguido mais 2 cartões brancos?
é o mesmo que o das centenas.
Completaria 300 pontos e deveria trocar seus cartões brancos e azuis por mais um cartão vermelho.
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4. Leitura e escrita de números no sistema de numeração decimal AMilkin/iStockphoto.com
Cheques, recibos, notícias... É preciso saber ler e escrever os números corretamente para não ter dificuldades na vida prática! Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), em certo momento do ano de 2015 a população brasileira era de 203 987 223 habitantes. Lê-se: duzentos e três milhões, novecentos e oitenta e sete mil, duzentos e vinte e três habitantes.
Esse número tem nove algarismos. Partindo da direita para a esquerda, cada algarismo corresponde a uma ordem. Note que também separamos os algarismos da direita para a esquerda em grupos de três ordens. Cada grupo desses forma uma classe. Assim, temos: 2 0 3 ordem das ordem das ordem das centenas dezenas unidades de milhão de milhão de milhão classe dos milhões
9 8 7 ordem das ordem das ordem das centenas dezenas unidades de milhar de milhar de milhar classe dos milhares
2 2 3 ordem ordem ordem das das das centenas dezenas unidades classe das unidades simples
1. Nas manchetes e reportagens de jornais e revistas é comum encontrarmos números. Em dupla com um colega, procurem, recortem e colem no caderno um número que tenha: a) 5 ordens; b) o algarismo 4 na ordem das centenas; c) o algarismo 2 na ordem das unidades de milhão; d) a classe dos bilhões. Escrevam por extenso cada um dos números encontrados.
Jorge Zaiba
À esquerda da classe dos milhões vem a classe dos bilhões, depois dela, a classe dos trilhões, dos quatrilhões, e assim por diante.
Respostas pessoais.
2. No caderno respondam às questões ou faça o que se pede. a) A posição do símbolo no registro de números no sistema de numeração Nas quantias em dinheiro decimal é importante? devemos separar as classes Expliquem, deem exemplos. Sim, pois posições diferentes determinam números diferentes: 803 380. com um ponto. b) Escrevam o número que é dez vezes maior que oito centenas. 8 000 c) Uma centena equivale a quantas dezenas? 10 d) Quais são as classes de um número escrito com oito algarismos no sistema de numeração decimal? Classe dos milhões, classe dos milhares, classe das unidades simples. e) Quanto falta: ◆ a 350 para completar 1 unidade de milhar? 650 ◆ a 1 200 para completar 1 dezena de milhar? 8 800 16
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EXERCÍCIOS 23. Copie e complete o quadro:
26. No painel de controle dos automóveis podemos ler o número de quilômetros que o veículo já percorreu. Observe:
20 100
vinte mil e cem 9 660
Gorvik/Dreamstime.com
nove mil, seiscentos e sessenta trinta e dois mil e
32 062
sessenta e dois um milhão e um
1 000 001
12 004 005
doze milhões, quatro mil e cinco
Jorge Zaiba
24.Quando emitimos um cheque, é necessário escrevermos por extenso o seu valor. Escreva por extenso a quantia que deveria ser preenchida neste cheque. Trinta mil e dezoito reais.
060423
#30.018,00# a) Quantos quilômetros esse automóvel já percorreu? Escreva por extenso. Sessenta mil, quatrocentos e vinte e três.
b) Qual é o maior número que esse marcador de quilometragem pode mostrar? 999 999
Agora entendi o significado da expressão: “um zero à esquerda”. Zubartez
Ronaldo Barata
25. Ao final de um jogo de futebol, o painel eletrônico mostrou:
Renda: quinhentos e quarenta mil, seiscentos e oitenta e cinco reais.
a) Como você escreveria por extenso esses números? Público: vinte e seis mil e nove pessoas. b) E como escreveria com algarismos esta outra renda: ◆◆ dois
milhões e cinquenta reais? R$ 2.000.050,00
27. Considere o número 81 235. a) Coloque um zero entre dois dos seus algarismos, de modo a obter o maior número possível. 812 305 b) Escreva a leitura do número obtido. Oitocentos e doze mil, trezentos e cinco.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
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Danillo Souza
28. O número da credencial de Sílvia tem seis algarismos distintos. Entre eles não há 0, 4, 7 e 1. Os seis algarismos vão do menor ao maior. Qual é o número da credencial de Sílvia? 235 689
Ilustrações: DAE
29. (CPII-RJ) Veja como o número de habitantes do Brasil foi representado em um jornal carioca: Hoje, a população brasileira é de: 190 milhões de habitantes
30. Relacione três círculos, um de cada cor, fazendo a correspondência correta entre as quantidades. Exemplo: A F K A
10 centenas
B
50 dezenas
C
50 milhares
D
5 milhões
E
500
F
1 000
G
5 000 000
H
50 000
I
5 000 dezenas
J
50 000 centenas
K
1 milhar
L
5 centenas
(B) (E) (L); (C) (H) (I); (D) (G) (J)
31. Considere o número: 8 972 056 143. Nesse número: a) Qual algarismo ocupa a ordem das dezenas de milhar? 5 b) Qual ordem o algarismo 8 ocupa? Unidades de bilhão. c) A que classe pertence o algarismo 4? E o 9? Unidades; milhões. d) Quantas unidades vale o algarismo 2? 2 000 000 32.(CAP-UFPE) Sérgio tem um relógio digital que marca horas e minutos, variando de 00:00 até 23:59. Quantas vezes em um dia os algarismos 1, 2, 3 e 6 aparecerão todos juntos no visor do relógio? Alternativa b.
Ronstik/Dreamstime.com
a) Escreva o número de habitantes do Brasil utilizando apenas algarismos do sistema de numeração decimal. 190 000 000 b) A quantos habitantes corresponde cada da representação acima? 10 milhões ou 10 000 000 c) Na representação abaixo, cada corresponde a 20 milhões de habitantes.
12 : 36;
Quantos habitantes estão representados? 220 milhões ou 220 000 000
a) b) c) d)
13 : 26;
5 vezes 6 vezes 7 vezes 8 vezes
16 : 23;
16 : 32;
21 : 36;
23 : 16
A fotografia mostra uma das possibilidades.
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Objeto educacional digital
História dos numerais indo-arábicos
Os hindus trouxeram muitas contribuições para a Matemática. O sistema de numeração decimal posicional é a mais conhecida delas. O primeiro registro que temos de um número nesse sistema é uma data (346) escrita em um prato do ano 595. STRUIK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.
século vi (indiano)
século X (árabe oriental)
século X (europeu)
século Xv (árabe oriental)
Jorge Zaiba
Veja como a grafia dos numerais indo-arábicos foi se modificando com o passar do tempo: século Xv (europeu)
um dois três quatro cinco seis sete oito nove zero
A forma de desenhar os numerais variava porque antigamente os livros e documentos eram todos escritos à mão, obviamente com diferentes caligrafias. Somente depois da invenção da imprensa é que os símbolos foram padronizados até chegar aos que utilizamos hoje, chamados de algarismos.
O sistema de numeração que hoje usamos é conhecido como sistema de numeração decimal, ou indo-arábico. (indo porque o antigo povo indiano foi seu criador, e arábico porque os árabes ajudaram a aperfeiçoá-lo e também foram os responsáveis por sua divulgação, principalmente na Europa). A palavra algarismo vem do nome de um matemático árabe, Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, que escreveu e traduziu muitas obras matemáticas levadas pelos árabes para o Ocidente. O sistema de numeração decimal está presente em inúmeras situações do nosso dia a dia. Escrevemos, lemos e fazemos operações com números usando seus símbolos e regras. É difícil imaginar a vida sem ele. Trata-se de uma das mais importantes invenções da humanidade. Lembre-se sempre de quanto tempo e trabalho foram necessários para desenvolvê-lo!
Eduard Kim/Shutterstock
Por que o nome indo-arábico?
Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi.
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VALE A PENA LER
Matemática – uma grande criação da humanidade É comum as pessoas imaginarem que a Matemática foi inventada por grandes gênios, que, debruçados sobre seus livros, programavam suas criações.
Ronaldo Barata
Hoje vou inventar os números, amanhã as operações e no domingo, algumas fórmulas bem difíceis...
“... pensar não é triste. Pensar é exercício de alegria”
Jorge Zaiba
Mas não é assim que as coisas acontecem... O conhecimento matemático vem sendo construído pela humanidade ao longo de milênios. Além de ter necessidade de criar ferramentas matemáticas para resolver problemas práticos, o ser humano é curioso por natureza. Gosta de investigar, descobrir e explicar coisas que acontecem ao seu redor! Por isso, a Matemática é construída com tentativas, erros e acertos. Portanto, com muito trabalho... Hoje, nossa sociedade utiliza esses conhecimentos, desde os mais simples, como o cálculo de um troco ou a medição de um terreno, até os sofisticados, que permitem termos computadores, radares, TV digital e aparelhos de tomografia, por exemplo. A Matemática possibilita descrever e estudar fenômenos da natureza como o clima, o movimento dos planetas, as ligações químicas, a estrutura do DNA dos seres vivos... Além disso, quando aprendemos e aplicamos a Matemática, desenvolvemos nossas habilidades de raciocínio e de pensamento lógico, importantes para a vida pessoal e profissional. E então? A Matemática não é mesmo uma grande criação da humanidade? Pense nisso!
Carlos Drummond de Andrade
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REVISANDO 39. Veja a placa de um carro: Valéria Vaz
33. É correto falar assim? Os telefones da minha cidade têm 8 números. Não. O correto é falar “oito algarismos”.
34. Reescreva a notícia representando os números com algarismos. Dos 7 000 000 000 de habitantes do planeta,
a) Quantos algarismos há nesta placa? 4 b) Escreva por extenso o número da placa. Zero, um, nove, quatro: cento e noventa e quatro. c) Qual é o maior número que se pode escrever utilizando todos esses algarismos? 9 410 d) Nesta situação, o zero pode ser suprimido?
800 000 000 passam fome.
Dos sete bilhões de habitantes do planeta, oitocentos milhões passam fome.
Não, aqui ele aparece como código.
40. Considere os números:
35. Os cientistas afirmam que a Terra existe há cerca de quatro bilhões e seiscentos milhões de anos. a) Escreva esse número usando algarismos. 4 600 000 000 b) Escreva, por extenso, o número de séculos que a Terra tem. Quarenta e seis milhões de séculos.
770
7 700
7 707
777
7 077
70 700
Quais deles têm 77 centenas? 7 700 e 7 707
Léo Burgos
36.Veja o número representado no visor da calculadora:
41. Uma turma de 8 alunos brincava com feijões. Cada um tirou de uma caixa um cartão em que aparece um número escrito. Em seguida, cada um tirou, ao acaso, três feijões de um único saco com feijões pretos, vermelhos e brancos. Anteriormente, haviam combinado a seguinte regra de cores: 1 feijão branco vale uma unidade; 1 feijão vermelho vale 10 feijões brancos; 1 feijão preto vale 10 feijões vermelhos.
Escreva como se lê esse número. Três milhões, cinquenta mil, duzentos e sete.
Ari
Carla
Lucas
Sílvia
3
12
201
21
Pedro
Solange
Luís
Maria
30
111
300
102
Ilustra Cartoon
No quadro seguinte, embaixo do nome de cada participante, aparece o número que havia no cartão e os três feijões extraídos.
37. Indique quantas vezes você vai usar a tecla 0 da sua calculadora para representar nela cada um dos seguintes números: a) nove mil e doze; Uma. b) oitenta mil e oito; Três. c) quatrocentos mil e quinze. Três. 38. Sim ou não? a) Os números 6 873 e 06 873 são iguais? Sim. b) O número 085 é considerado de dois algarismos? Sim.
Ganharia a brincadeira quem conseguisse acertar com os três feijões o número escrito no cartão. Quem ganhou? Lucas.
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DESAFIOS 45. Um número de cinco algarismos apresenta: ◆◆ zero
nas duas primeiras ordens;
◆◆ o
algarismo de maior valor posicional é 3;
◆◆ o
algarismo das centenas é 5;
◆◆ o
algarismo 8 tem valor posicional 8 000.
Qual é esse número? 38 500 46. No país dos quadrados, o povo desenha: 5 6
Ilustrações: Jorge Zaiba
42. O ábaco é um instrumento que possibilita contar e calcular. No Brasil, ele é muito usado nas escolas. Os japoneses são extremamente hábeis para calcular com o ábaco, chamado por eles de soroban. Entre os vários tipos de ábaco, um deles é composto de hastes verticais em que são encaixadas pequenas bolinhas. O valor de cada bolinha muda de acordo com a posição da haste na qual é colocada. A haste na 1a posição à direita representa a casa das unidades; na 2a posição, a das dezenas; na 3a posição, a das centenas, e assim por diante. Veja um número representado no ábaco:
para representar 56 e 2
a) Como se lê esse número? Cinquenta e três mil, duzentos e trinta e sete. b) Quantas unidades vale o algarismo 2? 200 c) Na escrita do número aparece duas vezes o algarismo 3. Será que esse algarismo tem o mesmo valor em ambas as posições?
3
7
para representar 723.
Não. Um representa 30 unidades e o outro, 3 000 unidades.
43. Paulo, Mauro e Carlos deveriam representar números num ábaco de acordo com a legenda: ◆◆ Paulo:
Que número está representado abaixo? 40 832 2
3
dois mil cento e quatro
◆◆ Mauro:
dez mil e cinquenta e três
◆◆ Carlos:
cento e sete mil e dezoito
8
4
47. (OBM) Num relógio digital que marca de 0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais? 0:00; 1:11; 2:22; 3:33; 4:44; 5:55; 11:11; 22:22
Ronstik/Dreamstime.com
Paulo
Mauro
Carlos
Quem errou? Mauro. Alternativa c.
44. Represente no sistema de numeração decimal o número formado por 1 centena de milhar mais 4 milhares mais 3 dezenas. 104 030
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
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AUTOAVALIAÇÃO Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
55. (Saresp) Rubens contou e separou alguns selos. Ele registrou a quantidade de cada tipo de selo em 3 ábacos.
48. Se somarmos 3 centenas com 30 dezenas e com 300 unidades, quanto obtemos? Alternativa c. a) 333
b) 660
c) 900
d) 963
49. (Saresp) A população de uma cidade é de um milhão trezentos e oito mil e quarenta e sete habitantes. Utilizando algarismos, o total de habitantes dessa cidade é: Alternativa b. a) 1 308 407
c) 1 308 470
b) 1 308 047
d) 1 380 047
1o ábaco
50. Anunciou-se que o próximo prêmio da Loto será de cinco milhões e cinquenta mil reais. Qual é outra forma de escrever essa quantia? Alternativa c. a) R$ 500.050,00
c) R$ 5.050.000,00
b) R$ 5.005.000,00
d) R$ 5.000.050,00
51. Em qual dos números abaixo o algarismo das dezenas de milhar é igual ao das centenas? Alternativa c. a) 239 459
c) 835 317
b) 655 738
d) 428 816
2o ábaco
a) 658
c) 586
b) 856
d) 685
53.A diferença entre o maior número de 4 algarismos diferentes e o menor número também de 4 algarismos diferentes é: Alternativa b. a) 8 642
b) 8 853
c)
9 876 1 023 5 8 853 8 999 d) 9 000
54. (OM-SP) No sistema decimal de numeração, um número apresenta 3 classes e 7 ordens. Então, esse número tem: Alternativa b. a) 3 algarismos. b) 7 algarismos. c) 10 algarismos. d) Nenhuma das anteriores.
Ilustrações: Jorge Zaiba
52.Em um número, o algarismo das unidades é 8 e o das dezenas é 5. Colocando o algarismo 6 à esquerda deles, obtemos um novo número, que é: Alternativa a.
3o ábaco
Na ordem da figura, quantos selos de cada tipo havia? Alternativa b. a) 3 890, 583, 750 b) 1 426, 4 302, 6 050
c) 6 421, 3 402, 5 070 d) 5 735, 4 374, 4 700
56. Rodrigo deveria escrever vários números usando as palavras quarenta, duzentos, mil e quatro, uma só vez em cada número. Ele cometeu um erro em: Alternativa d. a) 4 240 b) 1 244
c) 40 204 d) 4 244
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AUTOAVALIAÇÃO 57. Qual das frases corresponde a uma leitura do número 8 540? Alternativa b. a) b) c) d)
Oito mil e cinquenta e quatro unidades. Oitocentos e cinquenta e quatro dezenas. Oito mil e cinquenta e quatro centenas. Oito centenas e cinquenta e quatro milhares.
58. Qual alternativa mostra o maior número possível usando os mesmos algarismos do número representado no ábaco da figura abaixo? Alternativa b.
62. Sou um número com o algarismo das unidades 4 e tenho 218 dezenas. Quem sou eu? Alternativa a. a) 2 184 b) 2 1804 c) 2 1844 d) 2 1884 63. (Prominp) Considere um sistema de representação de quantidades em que Dessa forma,
vale 1 e
vale 3.
vale 4. Nesse sistema, para
Jorge Zaiba
representar 17, precisamos de: Alternativa b.
a) 70 353 b) 53 320
c) 43 302 d) 35 230
a) 5
e1
b) 5
e2
c) 5
e3
d) 4
e3
64. Observe o número 68 734 219 e indique a opção correta. Alternativa c. a) O número apresenta 3 ordens. b) O algarismo da unidade de milhar é 8.
59. A leitura do número representado pela expressão 2 1 000 000 1 5 10 000 1 6 é: Alternativa d. a) b) c) d)
dois milhões quinhentos mil e seis. dois milhões cinco mil e seis. duzentos mil e cinquenta e seis. dois milhões cinquenta mil e seis.
60. O número formado por 1 centena de milhar mais 3 milhares mais 8 dezenas é: Alternativa c. a) 130 080 b) 103 800
c) 103 080 d) 1 308 000
61. (Saresp) Usando os algarismos 1, 2 e 3, sem repetir nenhum, é possível formar: Alternativa d. a) b) c) d)
dois números de três algarismos. três números de três algarismos. quatro números de três algarismos. seis números de três algarismos.
c) O algarismo da sexta ordem é 7. d) Os algarismos que formam a classe dos milhões são 7, 3 e 4. 65. (Saresp) No número 1 372, foi colocado um zero entre os algarismos 3 e 7. Pode-se afirmar que, no novo número representado, o valor do algarismo 3 ficou: Alternativa c. a) dividido por 1. b) dividido por 10. c) multiplicado por 10. d) multiplicado por 100. 66. (Obmep) Cláudia inverteu as posições de dois algarismos vizinhos no número 682 479 e obteve um número menor. Quais foram esses algarismos? a) 6 e 8
Alternativa c.
b) 2 e 4 c) 8 e 2 d) 4 e 7
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2 Leonardo Conceição
UNIDADE
Números naturais 1. Os números naturais e os processos de contagem Muitas situações de nosso dia a dia envolvem contagens. Dona Sílvia foi à padaria comprar oito pãezinhos. Enquanto coloca os pães no saquinho, o funcionário vai contando: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Para contar, usamos os números 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc. Eles são chamados de números naturais. Alguns matemáticos, mais recentemente, optaram por incluir o zero nesta sequência. Escrevemos a sequência de números naturais assim: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... As reticências ao fim indicam que a sequência prossegue infinitamente, pois é sempre possível escrever o sucessor de um número natural. Basta somar 1 a ele. 0,
1, 11
2, 11
3, 11
4,
...
11
Sucessor de um número natural é o que vem imediatamente depois dele.
Estúdio Ornitorrinco
Observe que: ◆◆ o sucessor de 8 é 9; ◆◆
o sucessor de 13 é 14;
◆◆
o sucessor de 2 345 é 2 346, e assim por diante.
Repasse mentalmente suas ações no dia de hoje. Você utilizou os números naturais?Em quais situações?
NÚMEROS NATURAIS
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Mais sobre os números naturais Com base no conceito de sucessor, podemos entender o que é antecessor de um número natural: é o número que vem imediatamente antes dele. ◆◆ ◆◆
Responda às questões a seguir no caderno. Depois discuta com os colegas as respostas.
O antecessor de 10 é 9.
1. Que número natural não tem antecessor? O zero.
O antecessor de 2 413 é 2 412, e assim por diante.
2. Pense em um número natural bem grande. Ele tem sucessor? Sim.
E o que seriam números naturais consecutivos? Veja alguns exemplos: ◆◆ ◆◆
3. Escreva cinco números consecutivos compreendidos entre 12 e 20. Há mais de uma possibilidade de sequência ? Procurem escrever todas elas. Há três possibilidades; 13, 14, 15, 16, 17; 14, 15,
7 e 8 são consecutivos;
16, 17, 18; 15, 16, 17, 18, 19
4. As palavras sucessor e antecessor aparecem na linguagem comum. Os sentidos atribuídos a elas são os mesmos da Matemática? Crie sentenças que exemplifiquem sua resposta.
23, 24 e 25 são consecutivos;
4 300, 4 301, 4 302 e 4 303 são consecutivos. Conhecemos também a sequência dos números naturais pares: ◆◆
Sim. Resposta pessoal.
5. Um número natural pode ter dois sucessores?
Não.
6. Quantos são os números naturais de dois algarismos? 99 9 90
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
7. O sucessor de um número par é sempre ímpar. O sucessor de um número ímpar é sempre par. Essas afirmações são verdadeiras? Sim.
E a sequência dos números naturais ímpares:
8. Qual é o décimo número par? 18 9. Qual é o décimo número ímpar? 19
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
Danillo Souza
Documentos de identificação, que atribuem um número para cada pessoa, ...
... para identificar endereços, telefones, ...
... placas de automóveis e ...
A HORA DA NOTÍCIA
DAE
Friso Gentsch/dpa/ Corbis/Latinstock
Edson Antunes/Gelpi JM/Shutterstock
A seguir vemos alguns exemplos do uso de números naturais.
CAMPO GRANDE, 6 DE NOVEMBRO DE 2010.
... sentido de ordem.
Felipe Massa larga em 9o no GP do Brasil
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EXERCÍCIOS 1. Veja os números que aparecem a seguir:
4. Responda.
Jorge Zaiba
a) b) c) d)
Qual é o sucessor do zero? 1 Todo número natural tem sucessor? Sim. O 4 000 é sucessor de que número? 3 999 O 1 690 é antecessor de que número? 1 691
Jorge Zaiba
Danillo Souza
5. Descubra os números que estão faltando. 27
a)
9
15
21
b)
69
68
66
45
33
63
39
59 54
48
6. Veja os números:
Leonardo Conceição
1 011
a) b) c) d)
1 101
1 110
1 100
1 001
Qual é o maior deles? E o menor? 1 110; 1 001 Quais são menores que 1 010? 1 001 Quais são maiores que 1 111? Nenhum. Qual deles é sucessor de outro? 1 101 é sucessor de 1 100
7. Dois números naturais consecutivos somam 325. Quais são eles? 162 e 163 Professor, estimule os alunos a descobrir a solução por tentativas.
Quais deles representam números naturais? 1, 99, 319, 451 e 54 683
Invente um problema parecido e peça a um colega para resolvê-lo. Resposta pessoal.
2. Responda. a) Qual é o menor número natural? O zero. b) Existe o maior número natural? Não. c) Quantos números naturais existem? Infinitos.
8. Numa rua, a numeração das casas é indicada pela prefeitura. Para quem segue do começo para o fim da rua as casas do lado direito são as de número par, e as do lado esquerdo, as de número ímpar.
Antecessor
Número
199 999
200 000
100 100
100 101
3 004 998
3 004 999
Sucessor
Danillo Souza
3. Copie e complete o quadro.
200 001
100 102
3 005 000
a) Qual será o número da casa azul? 328 b) Eu moro na casa de número 436. A casa vizinha tem um número par ou ímpar? E a casa de frente? Par; ímpar.
NÚMEROS NATURAIS
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2. A reta numérica e os números naturais Para visualizarmos melhor a sequência dos números naturais, vamos representá-la em uma linha reta que chamaremos de reta numérica. 0
◆◆ ◆◆
1
2
3
4
5
6
7
8
Escolhemos um ponto para representar o zero. Caminhando para a direita, a partir do zero, e considerando sempre a mesma distância, marcamos os pontos correspondentes aos números naturais 1, 2, 3, 4 e assim por diante.
Você sabe comparar números naturais e dizer quando um é maior (), igual () ou menor () que outro. A reta numérica possibilita visualizar facilmente essa comparação. Dados dois números, o maior número é o que estiver representado à direita do outro na reta numérica. Veja os exemplos: 0
1
2
3
4
5
maior menor igual
◆◆
4 2 (lemos: quatro é maior que dois)
◆◆
1 0 (um é maior que zero)
◆◆
2 7 (dois é menor que sete)
◆◆
5 5 (cinco é igual a cinco)
Observe: ◆◆
Quais são os números naturais menores que 7?
◆◆
Quais são os números naturais maiores que 7? Resposta: 8, 9, 10, 11, ... Existem infinitos números naturais maiores que 7.
◆◆
Quantos números naturais há de 3 até 7? Resposta: Há cinco números naturais: 3, 4, 5, 6 e 7.
◆◆
Paulo José
Resposta: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. de 3 até 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … ficam entre 3 e 7
Quantos números naturais há entre 3 e 7? Resposta: Há três números naturais: 4, 5 e 6.
Pense e responda no caderno. a) Quantos números há de 38 até 46? 9 números De 1 até 46 são 46 números. Porém, de 1 a 37 não servem. 46 37 9 b) Quantos números há entre 38 e 46? 7 números De 1 até 45 são 45 números. Porém, de 1 a 38 não servem. 45 38 7 Compare suas respostas com os exemplos acima. Você descobriu padrões? Calcule quantos números há: c) de 124 até 345; 222 números d) entre 124 e 345. 220 números 28
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Exercícios 9. Copie as retas numéricas e complete-as com os números que correspondem a cada um dos pontos assinalados. a) 0
6 9
3
12
b) 0
1 2. Antes de dormir, Sabrina sempre lê um pouco. Sábado, ela leu do início da página 20 até o final da página 65 de um livro. Quantas páginas Sabrina leu? 46 páginas 1 3. Na tabela seguinte estão indicados os preços de alguns modelos de automóvel e o consumo de combustível aproximado, de cada um, para percorrer 100 km. Modelo
Preço (em reais)
Consumo (em litros)
A
28 613
8
B
31 584
7
C
37 006
12
D
29 508
10
E
56 227
19
10 4
2
6
8
c)
12
d)
300
750
Luminis/Dreamstime.com
1 000
200
500 100 250
0
0
10. Encontre todos os números naturais que são maiores do que 35 e menores do que 42.
a) O modelo mais caro é o de menor consumo? Não. b) O modelo mais barato é o de maior consumo? Não. c) Ordene os modelos de automóveis em ordem crescente de preços. A, D, B, C, E. d) Ordene os modelos de automóveis em ordem decrescente de consumo. E, C, D, A, B.
36, 37, 38, 39, 40, 41
1 4. Descubra o nome de uma cidade paulista, colocando os números indicados em ordem decrescente.
35 x 42
Boituva.
11. Copie e preencha cada 6 600, 6 006 ou 6 660. 6 000
6 066 6 006
com um dos números:
6 606 6 600
6 666
8 808
I
8 088
U
8 008
A
8 880
O
8 080
V
8 888
B
6 660
Você acabou de escrever números em ordem crescente.
8 800
T
números naturais
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29
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Atleta
Tempo
Lico
13 segundos
Zeca
16 segundos
Dinei
12 segundos
Dudu
15 segundos
18. Observe o gráfico.
Quantidade de habitantes em algumas capitais brasileiras DAE
15. Veja, na tabela abaixo, o resultado final de uma corrida de 100 metros.
Brasília
Belo Horizonte
Manaus
Curitiba
Quais começam por 4? 459, 495 Quais começam por 5? 549, 594 Quais começam por 9? 945, 954 Quantos são no total? Seis.
Fonte: Censo 2010/IBGE. Greg Brezinski/iStockphoto.com
a) b) c) d)
Natal
16. Considere todos os números naturais de três algarismos diferentes, formados por 4, 5 e 9. Responda.
Cuiabá
a) Quem foi o vencedor? Dinei. b) Quem correu com menor velocidade? Zeca.
17. Escreva o número em que os três amigos estão pensando. 1 555
Os seus três últimos algarismos são iguais. Tenho a soma dos seus algarismos na camiseta.
Manaus, AM.
Ilustra Cartoon
É um número entre 1 000 e 2 000.
a) Associe as cidades ao número que mais se aproxima da população de cada uma delas. I 785 722 Natal IV 530 308 Cuiabá II 1 678 965 Curitiba
Belo V 2 258 096 Horizonte
III 2 469 489 Brasília
VI 1 718 584 Manaus
b) Quais cidades têm menos de um milhão de habitantes? Cuiabá e Natal. c) Quais cidades têm população entre 1 milhão e 2 milhões de habitantes? Manaus e Curitiba. d) Qual cidade tem mais de dois milhões e seiscentos mil habitantes? Nenhuma.
30
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VALE A PENA LER
Senso numérico é a capacidade de reconhecer e comparar pequenas quantidades.
Steve Byland/Dreamstime.com
Quando olhamos para a fruteira e dizemos que nela há 5 maçãs, normalmente fazemos isso sem precisar contar: um, dois, três, quatro, cinco. Estamos usando o senso numérico, que é diferente da capacidade de contar – capacidade mais elaborada que, em todo o reino animal, somente o ser humano tem.
Pixelspieler/Dreamstime.com
Senso numérico
Os animais não sabem contar, mas muitos têm senso numérico. Se retirarmos dois ou três ovos do ninho, o pássaro o abandona, pois percebe que a quantidade de ovos se alterou. As leoas são capazes de comparar a quantidade de elementos de seu grupo com a de um grupo de leoas invasoras e avaliar se devem defender seu território ou fugir. Podemos citar também uma espécie de vespa em que a fêmea é maior do que o macho. Quando uma vespa mãe bota seus ovos, ela coloca ao lado de cada ovo algumas larvas de inseto que servirão de alimento para quando o filhote nascer. O notável é que, de alguma maneira, a mãe sabe se um dado ovo originará uma vespa macho ou fêmea e deixa cinco larvas de insetos se for um ovo de vespa macho e dez se for ovo de vespa fêmea.
Professores da Universidade da Pensilvânia fizeram um experimento interessante com macacos. Eles ofereciam ao macaco dois pratos com pedaços de chocolate: um com sete pedaços, um com seis pedaços. O prato escolhido, na grande maioria das vezes, era o prato com sete pedaços. Os macacos começavam a errar quando o número de pedaços ficava maior do que dez, o que mostra que o senso numérico é limitado. Por que será que a natureza, na evolução das espécies, dota os animais de senso numérico? Sobrevivência! A capacidade de distinguir e comparar pequenas quantidades presentes no meio ambiente ajuda o animal a se alimentar melhor, fugir de seus predadores e controlar o número de filhotes de sua ninhada, fatores importantes para a perpetuação da sua espécie. A natureza é mesmo maravilhosa!
NÚMEROS NATURAIS
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31
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REVISANDO 22. Observe os marcadores de quilometragem de alguns carros:
19. Veja os números que aparecem neste texto:
A
C
B
D
Ilustra Cartoon
Jorge Zaiba
Lúcio foi ao médico. Ele tem 23 anos, mede 1,67 metro de altura, pesa 65 quilos e está com 38,6 °C de febre.
a) Qual desses carros rodou mais? B b) E qual rodou menos? A c) Escreva todos esses números em ordem crescente. 999, 7 814, 32 607, 80 001
Quais desses números citados são naturais? 23 e 65
21. Complete as sequências, substituindo as letras pelos números convenientes: a)
28
35
A
b)
4 500
C
3 500
49
56
B
3 000
D
2 000
42
1 089
1 099
2 500
E 1 109
São Paulo
A
1 004
434
586
1 366
1 148
1 015
B
408
Brasília
716
Curitiba
1 004
1 366
Rio de Janeiro
C
1 148
852
São Paulo
586
1 015
408
429 429
63
4 000
c)
Rio de Janeiro
Belo Horizonte
Curitiba
d)
Brasília
b)
23. No quadro estão registradas as distâncias, em quilômetros, entre algumas cidades brasileiras.
Belo Horizonte
c)
DAE
a)
Ilustrações: Jorge Zaiba
20. Os números naturais nem sempre representam quantidades. Em quais situações abaixo ocorre o uso do número como código? 807, 10 e 46
F
1 129
1 139
1 119
Invente duas sequências e peça a um colega que as complete.
a) Quais são as distâncias representadas por A, B e C? 716; 852; 434, respectivamente b) Das cidades indicadas, qual é a mais próxima de São Paulo? E a mais afastada? Curitiba; Brasília. c) Indique duas cidades que distam uma da outra mais de 1 200 quilômetros. Curitiba e Brasília.
32
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DESAFIOs
10 243
481
699
54
374
100
60
10 234
999
5 400
998
479
26. Dona Romilda acabou de lavar umas camisetas. Para pendurar 5 camisetas no varal, usou 6 prendedores de roupa. Danillo Souza
2 4. Veja:
Continuando a usar os prendedores dessa maneira, em um mesmo varal, quantos prendedores serão necessários para pendurar: a) 8 camisetas? 9 prendedores
Utilize os números representados acima e indique qual deles: a) é igual a cinco dúzias; 60 b) é o menor número; 54 c) é o maior número; 10 243 d) é o antecessor de 480; 479 e) é o sucessor de 480; 481 f) tem 100 unidades a mais que 274; 374 g) tem cinquenta e quatro centenas; 5 400 h) forma com 700 um par de números consecutivos; 699 i) é o menor número de 3 algarismos; 100 j) é o maior número par de 3 algarismos; 998 k) é o maior número de 3 algarismos; 999 l) é o menor número de 5 algarismos que se pode escrever sem repetição. 10 234
b) 19 camisetas? 20 prendedores c) 40 camisetas? 41 prendedores d) n camisetas? n 1 1 prendedores 2 7. Nos cartões abaixo estão escritos cinco números. 409
3
Qual é o menor número que você pode formar ao juntar os cinco cartões? 34 095 168 2 8. Quatro amigos querem saber o número que os identifica como sócios de um clube. 396
7 2
a) o maior número ímpar; 6 427 b) o menor número par; 2 476 c) o menor número ímpar maior que 6 000; 6 247 d) o maior número par menor que 6 000. 4 762
825 137
6
Arranje-os de modo a representar:
8
6
2 5. Desenhe e recorte cartões como estes: 4
51
972
Descubra o número de cada um, sabendo que: ◆◆ os números de
Paula e Rodrigo não são pares;
◆◆ o
número de Rodrigo não é o menor, nem o maior de todos;
◆◆ o número de Luciana não é maior que o número
de Rui. Rodrigo: 825; Luciana: 396; Paula: 137; Rui: 972.
números naturais
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AUTOAVALIAÇÃO Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. 29. O sucessor do número setenta e três milhões, cento e nove mil e sessenta e nove é: Alternativa a. a) 73 109 070 b) 73 109 069
c) 73 019 070 d) 73 109 068
30. São números naturais consecutivos: Alternativa b.
a) 28 b) 29
c) 31 d) 32
35. (SEE-RJ) Quatro pacotes de farinha de trigo foram entregues na padaria. O padeiro comparou os quatro pacotes em uma balança e disse que o mais pesado é o pacote: Alternativa d.
c) 4, 5, 6, 8 d) 100, 200, 300
Ilustrações: Danillo Souza
a) 0, 7, 14 b) 49, 50, 51
34. A soma de três números naturais consecutivos é igual a 90. Qual é o maior desses três números? Alternativa c.
Estúdio Ornintorrinco
31. (Saresp) Ana está escrevendo uma sequência de sete números:
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
36. Na sequência dos números naturais, considere:
Os próximos números a serem escritos são: Alternativa d.
a) 20 e 31 b) 22 e 33
c) 24 e 30 d) 24 e 31
32. Um produto ficou em promoção do dia 17 de maio ao dia 8 de junho. Quantos dias esse produto ficou em promoção? Alternativa c. a) 21 dias b) 22 dias
c) 23 dias d) 24 dias
33.Alfredo está em uma fila. Quando as pessoas na fila são contadas de trás para frente, Alfredo é o 6o. No entanto, se contadas da frente para trás, ele ocupa a 10a posição. Quantas pessoas há nessa fila? Alternativa b. a) 14 b) 15
9
A
5
c) 16 d) 17
◆◆ os
quatro primeiros números; 0, 1, 2, 3
◆◆ os
quatro primeiros números ímpares; 1, 3, 5, 7
◆◆ os
quatro primeiros números pares. 0, 2, 4, 6
Quantos números você considerou? Alternativa b. a) 7 b) 8
c) 9 d) 12
37. A quantidade de números naturais compreendidos entre 300 e 400 que podemos formar usando apenas os algarismos 3, 4 e 5, é: Alternativa b. a) 8 b) 9
c) 10 d) 12
333, 334, 335, 343, 344, 345, 353, 354, 355
38. Uma pessoa escreve os números naturais entre 1 e 100. Quantas vezes ela escreve o algarismo 6? Alternativa d. a) 10
b) 11
(6,16, 26, …, 96) (60, 61, 62, …, 69)
34
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c) 19 10 1 10 20
d) 20
(unidades) (dezenas)
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3 UNIDADE
Adição e subtração de números naturais 1. As ideias da adição e da subtração A tabela a seguir apresenta o número de peças de roupa produzidas por uma fábrica nos meses de janeiro e fevereiro de 2016. Peças
Janeiro
Fevereiro
calças
73
89
camisetas
130
110
bermudas
92
48
camisas
105
74
Para saber quantas calças foram confeccionadas no total, nos meses de janeiro e fevereiro, fazemos uma adição: 73 1 89 5 162
Ilustra Cartoon
89 1 73 também é 162. Mudar a ordem das parcelas não altera a soma!
Adição A adição está ligada à ideia de juntar, acrescentar. Veja: a cada par de parcelas, associamos sua soma: 9 1 5 5 14 parcela parcela
soma
Subtração Efetuamos subtrações para responder às perguntas: ◆◆ Quanto resta? ◆◆ Quanto falta? ◆◆ Quanto a mais? Numa subtração, temos: 2 5 12 7 5 minuendo subtraendo diferença ou resto ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
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Lembrando algoritmos Você lembra como funciona o algoritmo da adição? Começamos pelas unidades: 1
73 189 162
◆◆
3 unidades 1 9 unidades 5 12 unidades 5 1 dezena 1 2 unidades
Depois adicionamos as dezenas: ◆◆
7 dezenas 1 8 dezenas 1 1 dezena (que veio da adição das unidades) 5 16 dezenas ou 1 centena e 6 dezenas
O total é de 1 centena, 6 dezenas e 2 unidades, ou seja, 162. Para saber a produção total de peças de cada mês, também utilizamos a adição: 73 1 130 1 92 1 105 5 400
A produção de janeiro foi de 400 peças. 130 1 105 1 92 1 73 também resulta em 400. A ordem das parcelas não altera a soma! 89 1 110 1 48 1 74 5 321
A produção de fevereiro foi de 321 peças.
A fábrica produziu mais peças em janeiro que em fevereiro. Para descobrir quantas peças foram produzidas a mais, fazemos uma subtração: 400 2 321 5 79
Epa! Na subtração é diferente! 321 2 400 não resulta em um número natural! Então não dá para trocar minuendo por subtraendo!
Ilustrações: Ilustra Cartoon
Vou fazer: 89 1 110 5 199, 48 1 74 5 122 e finalmente 199 1 122 5 321. Que legal! O resultado final foi o mesmo!
36
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Agora observe o cálculo: 3 9 1
4 0 0 2 3 2 1 7 9 ◆◆
Vamos recordar as ideias envolvidas nesse cálculo?
Começamos pelas unidades: Quando trabalhamos com números naturais, não é possível tirar 1 de zero; então recorremos às dezenas. Como também não há dezenas, fazemos: 4 centenas 5 3 centenas 1 10 dezenas 5 3 centenas 1 9 dezenas 1 10 unidades Logo, 10 unidades 1 unidade 5 9 unidades.
◆◆
Em seguida, subtraímos as dezenas e as centenas: 9 dezenas 2 2 dezenas 5 7 dezenas 3 centenas 2 3 centenas 5 0 centena A diferença é de 7 dezenas e 9 unidades, ou seja, 79.
Adição e subtração: operações inversas
1 12 5 28 ◆◆
Fernando Favoretto
Em certa escola, o 6o ano A tem 28 alunos, entre meninos e meninas. Quantos são os meninos? Quantas são as meninas? Somente com esses dados não podemos responder às perguntas. No entanto: ◆◆ se soubermos que são 12 meninas, podemos calcular o número de meninos: 28 2 12 5 16 meninos
se soubermos que são 16 meninos, podemos calcular o número de meninas: 16 1
5 28
28 2 16 5 12 meninas
Se da soma de dois números subtraímos um deles, obtemos o outro. A subtração é a operação inversa da adição. Veja: 17
15
1 28
22 27
1 10
50 2 28
29 1 11 5 40
14
60 2 10
64 24
40 2 11 5 29 40 2 29 5 11
Repare como no dia a dia há ações que apresentam uma ação inversa: ◆ Subir 10 degraus. Descer 10 degraus. ◆ Dar 2 passos para a esquerda. Dar 2 passos para a direita. ◆ Engordar 1 kg. Emagrecer 1 kg. adição e subtração de números naturais
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EXERCÍCIOS 1. Considere os seguintes números: 7 001 7 077
7 707
Banco Central do Brasil
7 700
4. Tenho R$ 10,00 a mais que você. Se eu lhe der R$ 2,00, com quanto ficarei a mais que você? R$ 6,00
7 770
Calcule e escreva os totais obtidos com: a) a soma dos dois números menores; 14 078 b) a soma dos dois números maiores; 15 477 c) a soma do número maior com o menor. 14 771
5. Em seu último aniversário, Raquel foi presenteada pelos familiares com dinheiro em notas de 20, 10 e 5 reais. Qual é a quantidade mínima de notas que ela precisa usar para pagar um brinquedo que custa R$ 75,00 e não receber troco? 5 notas; 20 1 20 1 20 1 10 1 5
2. A diferença entre dois números é 68. Um dos números é 100.
6. Observe o quadro de um jogo.
a) Qual é o outro? 32 ou 168 b) Quantas soluções haverá? Duas soluções.
Sílvia
3. A figura mostra trechos de estradas de rodagem. Os números indicam quantos quilômetros há em cada trecho.
D
93
C Danillo Souza
187
185
279 193
Carlos Maria
214
Total
428 451
Responda.
7. (Unicamp-SP) Minha calculadora tem lugar para 8 algarismos. Eu digitei nela o maior número possível, do qual subtraí o número de habitantes do estado de São Paulo, obtendo, como resultado, 63 033 472. Qual era a população do estado de São Paulo nesse ano? 36 966 527 habitantes 99 999 999 2 63 033 472 5 36 966 527
Fonte: Censo 2000, IBGE. Léo Burgos
B
83
Pontos na 2a etapa
Responda: a) Quantos pontos Sílvia fez no jogo? 464 pontos b) Quantos pontos Carlos fez na 1a etapa? 235 pontos c) Quantos pontos Maria fez na 2a etapa? 237 pontos d) Quantos pontos foram feitos na 1a etapa? 634 pontos e) Quantos pontos fizeram as meninas? 915 pontos
161
A
Pontos na 1a etapa
a) Quantos quilômetros percorrerá um ônibus para ir de A até C passando por B? 254 quilômetros b) Quantos quilômetros percorrerá um automóvel para ir de A até C passando por D? 270 quilômetros c) A viagem mais curta é a do ônibus ou a do automóvel? A diferença é de quantos quilômetros? Ônibus; a diferença é de 16 quilômetros.
38
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Pedro Sotto
8. Quantos centímetros de material serão necessários para emoldurar esta tela? 88 cm
13. A tabela abaixo mostra o número de alunos (me-
ninos e meninas) matriculados numa escola. Manhã Classe
Tarde
meninos meninas meninos meninas
25 cm
6o ano
98
124
137
108
7o ano
84
101
86
52
8o ano
70
85
54
39
9o ano
65
71
28
18
19 cm
9. Calcule o número que falta em:
b) 49 1
5 85 36
c)
2 8 5 17 25
d) 85 2
5 71 14
1 0. Quando minha filha nasceu, eu tinha 28 anos. Hoje minha filha fez 12 anos. Qual é a soma de nossas idades? 52 anos 11. A
soma de quatro dos seis cartões abaixo dá como resultado 65.
19 25 15 12 20 9 Quais são os dois cartões que ficam de fora dessa soma? 20 e 15
a) Quantos alunos cursam o 9o ano? 182 alunos b) Quantas meninas cursam o 7o ano? 153 meninas c) Quantos meninos cursam o 8o ano? 124 meninos d) Em que período há mais meninas matriculadas? Manhã. e) Quantos meninos estão matriculados no período da tarde? 305 meninos 1 4. Observe as figuras: Ilustrações: Pedro Sotto
1 3 5 20 17
a)
50 reais
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
DAE
2. (Saresp) O gráfico abaixo mostra a quantidade 1 de árvores de um sítio.
120 reais
Quantos reais custa uma bola? 20 reais
abacateiros
limoeiros
bananeiras
laranjeiras
a) Quantas árvores estão plantadas nesse sítio? 39 árvores b) Qual é o tipo de árvore mais plantada? Quantas? Bananeira; 13 árvores. c) Qual é a diferença entre o número de limoeiros e o de laranjeiras plantadas? 3 árvores
1 5. Os quadrados abaixo são “mágicos”. Neles, a soma dos números de qualquer linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. Sabendo disso, copie e complete adequadamente cada quadrado. 9
a)
4
8
2 5
3
8
7
6 1
b) 1
5
3 4
6
c) 30
40 25
2 35
5
15
20 0
7
10
45
adição e subtração de números naturais
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Você costuma calcular mentalmente? Acompanhe a história dos irmãos Felipe e Carlos. Certo dia, eles foram a uma loja de miniaturas comprar um novo carrinho para a coleção deles. Cada um levou sua carteira com as economias que tinha. Felipe tinha R$ 34,00 e Carlos, R$ 25,00. Logo encontraram uma miniatura sensacional! Seu preço: R$ 57,00. Mentalmente, Felipe calculou: 34 1 25 5 34 1 20 1 5 5 54 1 5 5 59 54 Carlos também não perdeu tempo e pensou: 34 1 25 5 30 1 4 1 20 1 5 5
50
Felipe decompôs 25 em 20 1 5 para achar a soma mais facilmente.
Já Carlos decompôs as duas parcelas: 34 5 30 1 4 25 5 20 1 5
5 30 1 20 1 4 1 5 5 50 1 9 5 59 9
Podemos comprar este para nossa coleção!
Ilustrações: Leonardo Conceição
2. Cálculo mental nas adições e nas subtrações
É nosso!
3. É par quando os dois números são pares ou quando são ímpares. É ímpar quando um deles é par e o outro é ímpar.
Respondam no caderno. 1. Uma adição tem 7 parcelas. Se aumentarmos em 2 unidades cada parcela, em quanto aumentaremos a soma? 14
O cálculo mental é rápido. As passagens acontecem em nossa mente. Observe agora algumas maneiras de efetuar subtrações mentalmente: 80 2 34 5 80 2 34 5 80 2 30 2 4 5 50 2 4 5 46 (Subtraímos 30 de 80 e depois subtraímos 4 do resultado.) Podemos resolver essa mesma subtração usando a ideia de completar: de 34 para 40 de 40 para 80
6 40
Portanto, faltam 46 ao 34 para completar 80.
2. Numa subtração, se aumentarmos 15 unidades no minuendo e diminuirmos 25 unidades no subtraendo, o que acontecerá com a diferença? Ficará 40 unidades maior.
3. A diferença entre dois números naturais pode ser par ou pode ser ímpar. Investigue com os colegas: Quando a diferença é par? Quando é ímpar? 4. Como você costuma efetuar adições mentalmente? Dê exemplos e troque ideias com os colegas. Resposta pessoal.
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EXERCÍCIOS 16. Calcule mentalmente e anote os resultados.
21. Qual é o número desconhecido da tabela abaixo? 160
d) 19 1 36 55 e) 480 1 25 505 f) 290 1 110 400
a) 12 1 7 19 b) 4 1 39 43 c) 13 1 45 58
Período Manhã
17. Continue calculando mentalmente. d) 790 1 43 1 110 943 e) 320 1 590 1 10 1 80 1 000 f) 69 1 77 1 31 1 23 200
a) 5 1 17 1 15 37 b) 9 1 28 1 11 48 c) 156 1 4 1 120 280
18. Continue calculando mentalmente.
Tarde
125
Noite
75
Total
360
22. Entrei em uma loja e comprei os três produtos da propaganda abaixo para pagar em três prestações.
d) 275 2 99 176 e) 546 2 98 448 f) 800 2 101 699
a) 83 2 9 74 b) 405 2 9 396 c) 170 2 11 159
Atendimentos
Liquidificador ◆◆
19. Observe a cena abaixo: Ronaldo Barata
São 97 reais.
TV
Tem 2 reais?
O consumidor pagou a compra com uma nota de R$ 100,00. Quanto o consumidor vai receber de troco da moça do caixa? Por que a moça pediu R$ 2,00 ao comprador?
◆◆
Preço: R$ 600,00 ou 0 1 3 de R$ 200,00 Total: R$ 600,00
Bicicleta
Ilustrações: Pedro Sotto
Sim.
Preço: R$ 75,00 ou 0 1 3 de R$ 25,00 Total: R$ 75,00
◆◆
Preço: R$ 540,00 ou 0 1 3 de R$ 180,00 Total: R$ 540,00
Qual valor terei de pagar em cada prestação? R$ 405,00
Receberá R$ 5,00; para facilitar o troco, pois 102 2 97 5 5.
Resolva os problemas 20, 21, 22 e 23 “de cabeça”. Em seguida, confira suas respostas com a calculadora! 20. Calcule mentalmente.
23.Lúcia saiu para fazer compras com 2 notas de R$ 100,00 na carteira. Gastou no supermercado R$ 142,00, na padaria R$ 6,00 e no açougue R$ 32,00. Com quanto Lúcia ficou após essas compras? R$ 20,00 Ilustra Cartoon
(19 1 11) 1 (18 1 12) 1 (17 1 13) 1 (16 1 14) 1 15 5 135
Ronaldo Barata
11 1 12 1 13 1 14 1 15 116 1 17 1 18 1 19
Qual é a forma mais rápida de chegar ao resultado?
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
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3. Estimando por arredondamento Observe abaixo uma vitrine de loja e pense na situação:
Camis et R$ 28 a ,00
ênis Par de t 0 R$ 87,0 Calça R$ 62,00
Você tem R$ 200,00 para gastar nessa loja e quer saber rapidamente se o dinheiro é suficiente para comprar uma camiseta, uma calça e um par de tênis. Como fazer? Uma soma aproximada, arredondando os preços para a dezena mais próxima, é uma alternativa. 28 para 30 62 para 60 87 para 90
30 1 60 1 90 5 180
Esta é uma boa estimativa, pois o valor exato da compra é R$ 177,00.
Então, o dinheiro é suficiente. Fizemos uma estimativa para o valor da compra. Usamos estimativas quando queremos obter um valor aproximado para uma grandeza. As estimativas utilizando arredondamentos podem nos auxiliar a detectar erros no resultado de operações. Acompanhe:
Vou usar os arredondamentos para estimar resultados e evitar erros!
Arredondando, fazemos uma estimativa para a soma: 12 000 1 6 000 5 18 000 Assim, sabemos que o resultado deve estar próximo de 18 000. Efetuamos a operação 12 035 1 5 828 5 17 863 e comprovamos que o resultado está bem próximo da estimativa inicial. Se você estivesse usando uma calculadora para efetuar a operação acima e, sem querer, esquecesse de digitar o zero do número 12 035, o resultado no visor seria 7 063, muito longe da estimativa inicial. Seria fácil perceber que houve erro.
Ilustrações: Reinaldo Rosa
12 035 1 5 828 5
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EXERCÍCIOS 24. Leia e faça o arredondamento dos seguintes números para a centena exata mais próxima.
575 está mais próximo de 600 do que de 500.
Arredonde cada número para a centena mais próxima.
Estúdio Ornitorrinco
Mês
Consumo de água (em litros)
janeiro
5 175
fevereiro
3 804
março
4 485
27. Em cada uma das situações seguintes, faça uma estimativa do custo total e, em seguida, calcule o preço exato. Situação 1: R$ 130,00; R$ 132,00.
550 está no meio de 500 e 600.
Arredonde cada preço para a dezena mais próxima. Situação 1
Quando um número está precisamente no meio, entre outros dois, arredonda-se para a centena seguinte. a) b) c) d)
165 200 312 300 850 900 1 038 1 000
e) f) g) h)
Ilustrações: Pedro Sotto
543 está mais próximo de 500 do que de 600.
26. Qual foi o consumo aproximado de água no trimestre indicado no quadro? 13 500 litros
2 050 2 100 6 999 7 000 41 684 41 700 380 609 380 600
Situação 2
Edson Grandisoli/Pulsar Imagens
25. Um trem leva 481 passageiros sentados e 57 em pé. Use o arredondamento do número de passageiros para a dezena mais próxima para estimar quantas pessoas podem viajar nesse trem. 540 pessoas Situação 2: R$ 1.530,00; R$ 1.527,00.
28. Para cada diferença, procure no quadro abaixo o valor que corresponde à sua melhor estimativa: a) 92 2 38 50 b) 591 2 193 400 c) 25 031 2 4 920 20 000 50
20 000 400
21 000
500 19 000
60
40 300
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
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SEÇÃO LIVRE
Calculadora – usando as teclas de memória Em nosso cotidiano, fazemos muitas contas, não é? Para isso, usamos cálculo mental, papel e lápis e, quando necessário, a calculadora.
mais simples, têm as chamadas teclas de memória e
MRC
M
,
Thorsten Rust/iStockphoto.com
Para fazer bom uso da calculadora, precisamos aprender a operá-la, conhecendo seus recursos. As calculadoras, mesmo as M
.
As teclas
M
e
M
servem para guardar na memória da cal-
culadora o resultado de uma operação que depois será usado em outra operação. A tecla
MRC
resgata as informações da memória.
Aprenderemos a usá-las resolvendo um problema. Luís e Márcio estão numa loja de brinquedos. Luís tem R$ 119,00, e Márcio R$ 76,00. Juntaram essas quantias para comprar três jogos que custam R$ 39,00, R$ 83,00 e R$ 54,00. Quanto do dinheiro que levaram vai sobrar depois da compra? Na calculadora, digitamos: 119 76
M
e aparece 195.
(Somamos as quantias que eles possuem e guardamos o resultado na memória.) Em seguida digitamos: 39 83 54
M
e aparece 176.
(Somamos os preços dos jogos e guardamos o total na memória, avisando que será subtraído.) Apertamos então a tecla
MRC
para chamar os dados da memória.
Aparece 19, pois a calculadora efetuou 195 176 19. Sobrarão R$ 19,00 do dinheiro que Luís e Márcio levaram. Terminado o cálculo, aperte a tecla
MRC
novamente para limpar a memória e a tecla
ON/C
para
voltar ao zero no visor.
Use a calculadora e as teclas de memória para resolver o problema a seguir. ◆
Priscila compra sapatilhas de uma fábrica para revender em sua loja. Ela escolheu uma dúzia de sapatilhas que custam R$ 18,00 cada e duas dúzias de um modelo mais caro: R$ 29,00 cada uma. Quanto Priscila gastará no total? R$ 912,00
Martin Bureau/AFP/Getty Images
Fácil e útil, não?
12 18 M 24 29 M MRC
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34. (Fesp-RJ) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5 reais, 10 reais e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá receber?
2 9. (OM-MG) Quanto é? 10 305 12 345 2 2 345 1 345 2 45 1 5
Confira na calculadora o seu resultado! 30. (Prominp) Cláudio estava no 6o degrau de uma escada. Desceu 4 degraus e, depois, subiu 6. Para atingir o 7o degrau, Cláudio deve: Alternativa b.
Alternativa b.
a) 8 b) 9
a) subir 1 degrau. b) descer 1 degrau. c) subir 2 degraus. d) descer 2 degraus.
35. (IBGE) O primeiro censo brasileiro foi realizado em 1872. Na época, o Brasil era uma monarquia e ainda existia escravidão. Foram contadas 9 930 480 pessoas, das quais 1 510 806 foram declaradas escravas. Em 1872, quantas pessoas foram declaradas não escravas no Brasil? 8 419 674 pessoas
31. Copie e complete as igualdades. 5 1 243 614
a) 629 1 b)
3 6. Observe o quadro com informações do Censo 2010 e responda às questões utilizando uma calculadora.
1 309 5 5 041 4 732
c) 8 782 2
c) 10 d) 11
5 8 072 710
Rido/Shutterstock
3 2. (Fesp-RJ) Os pais de Carlos casaram-se em 1988 e ele nasceu três anos depois. Carlos completou 18 anos no ano de: Alternativa c. a) 2006 b) 2008 c) 2009 d) 2010 33. (Saresp) A tabela mostra a distribuição dos alunos dos 3 turnos de uma escola, de acordo com o sexo. 1o turno
2o turno
3o turno
Meninas
135
120
105
Meninos
120
115
125
Cidade
População
São Paulo
10 931 749
Rio de Janeiro
6 143 046
Belo Horizonte
2 304 377
Salvador
2 593 768
Fortaleza
2 397 176 Fonte: IBGE.
a) Qual é a cidade com maior população? São Paulo. b) Qual é a população total dessas cidades? 24 370 116 habitantes c) Quantos habitantes Salvador tem a mais que Belo Horizonte? 289 391 habitantes d) Qual é a diferença em número de habitantes entre a cidade mais populosa e a menos populosa? 8 627 372 habitantes Gero/Fotoarena
Banco Central do Brasil
revisando
É correto afirmar que: Alternativa d. a) a escola tem um total de 360 alunos. b) todos os turnos têm o mesmo número de alunos. c) o número de meninas é maior que o de meninos. d) o terceiro turno tem 230 alunos.
adição e subtração de números naturais
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DESAFIOS 37. (Vunesp) Observe a pirâmide de números:
41. Fabiana tem 37 CDs. Sua amiga Flávia disse-lhe: “Se você me desse 10 dos seus CDs, ficaríamos as duas com o mesmo número de CDs”. Quantos CDs tem Flávia? 17 CDs
x
5
2
20 8
Dica:
27 15
12 3
42.(Obmep) Mariana, ao comprar uma blusa de R$ 17,00, enganou-se e deu ao vendedor uma nota de R$ 10,00 e outra de R$ 50,00. O vendedor, distraído, deu o troco como se Mariana lhe tivesse dado duas notas de R$ 10,00. Qual foi o prejuízo de Mariana? R$ 40,00; 50 2 10 5 40
a1b a
b
6 9
Qual é o número que deve substituir a letra x, assim que a pirâmide for preenchida com números naturais, de acordo com a regra fixada? 82
43.Uma professora quer comprar exatamente 123 bombons. Na doceria, só há caixas com dez, cinco ou dois bombons. Como ela poderá Existem várias soluções. Por exemplo: fazer a compra? 10 caixas de 10 bombons 5 100
38. (NCE-UFRJ) Do lado de cá somos 84; do lado de lá, são 72. Se 32 dos de cá forem para lá e 43 dos de lá vierem para cá, então a diferença entre a quantidade final dos de cá e dos de lá será: 2 32
1 43
a) 23
Cá: 84
b) 34
104 61 Lá: 72 Diferença 5 95 2 61 5 34
52
1 32
95
2 43
3 caixas de 5 bombons 5 4 caixas de 2 bombons 5
Alternativa b.
c) 38 d) 41
39. A rodovia que liga as cidades A e B mede 180 km. Percorrendo a rodovia, Ari saiu de A para B e andou 87 km; Jair saiu de B em direção a A e percorreu 52 km. Que distância os separa? 41 km B
180 km 87 km
52 km
40. Foi feita uma pesquisa entre os 50 alunos de uma classe para saber quantos gostavam e quantos não gostavam de MPB (Música Popular Brasileira). Parte do resultado da pesquisa encontra-se na tabela: Rapazes Gostam de MPB
Garotas
44.(Obmep) O aniversário de Carlinhos é no dia 20 de julho. Em agosto de 2005, ao preencher uma ficha em sua escola, Carlinhos inverteu a posição dos dois últimos algarismos do ano em que nasceu. A professora que recebeu a ficha disse: 2 Carlinhos, por favor, corrija o ano de seu nascimento, senão as pessoas vão pensar 2 56 5 1949 que você tem 56 anos! 2005 Ele deveria ter escrito 1994. 2005 2 1994 5 11
Total
17
21
5
38
Não gostam de MPB 7 Total
Compare sua resposta com a dos colegas.
Danillo Souza
A
15 1 8 123
Danillo Souza
15
7
47
Ilustra Cartoon
35
12 50
28 22
a) Quantos rapazes gostam de MPB? 21 rapazes b) Quantas garotas não gostam de MPB? 5 garotas c) Qual é o total de garotas nessa classe? 22 garotas
Qual a idade de Carlinhos? 11 anos
46
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Autoavaliação Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
45. (Obmep) Quanto é 99 1 999 1 9 999? Alternativa d. a) 9 997
b) 10 997
c) 11 007
d) 11 097
46. (Prominp)
A tabela abaixo apresenta a quantidade de calorias, por 100 gramas, de algumas frutas.
47. (Vunesp) Um grande mágico se apresentou no Teatro Municipal, cuja lotação é de 650 pessoas. Observando a frequência do público (adultos e crianças) na tabela, pode-se afirmar que o dia em que o Teatro ficou completamente lotado foi: Alternativa c.
5a-feira 6a-feira Adultos 239 228 Crianças 307 324
a) quinta-feira b) sexta-feira
Sábado 297 353
c) sábado d) domingo
Indústria de transformação
68 920 57 889
Construção civil
Fruta
Calorias por 100 g
abacaxi
52
banana
88
maçã
64
mamão
67
morango
39
pêssego
52
uva
78
Agropecuária Serviços de água, luz e gás Indústria extrativa
g é o símbolo de grama
2 538 1 192
Dia da semana
Manhã
Tarde
Noite
2a-feira
sol
nublado
chuva
3 -feira
nublado
chuva
chuva
4 -feira
nublado
nublado
nublado
5 -feira
sol
sol
estrelado
a
a
6 -feira
sol
sol
nublado
sábado
chuva
nublado
nublado
domingo
sol
sol
estrelado
a
Para preparar meio quilo de salada de frutas, Carla misturou 100 g de morango, 100 g de banana, 100 g de abacaxi, 100 g de mamão e 100 g de uva. Levando-se em consideração os dados apresentados na tabela, quantas calorias tem a salada de frutas que Carla preparou? Alternativa a. c) 362
4 143
49. (Vunesp) A tabela mostra o clima durante uma semana.
a
b) 340
54 330
Quantas vagas com carteira assinada a construção civil ofereceu a mais do que o setor agropecuário, em janeiro de 2010? Alternativa b. a) 49 953 b) 50 187 c) 51 213 d) 53 746
Disponível em:
. Acesso em: out. 2014.
a) 324
DAE
Fernando Favoretto/Criar Imagem
48. (Cesgranrio-RJ) O Brasil começou o ano com um forte ritmo de contratações com carteira assinada. O gráfico abaixo apresenta o número de empregos com carteira assinada criados em alguns setores da economia, em janeiro de 2010.
Serviços
Domingo 252 298
d) 388
É correto afirmar que nessa semana o total de períodos de chuva e de sol superam o total de períodos nublados em: Alternativa c. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
47
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AUTOAVALIAÇÃO 50. A diferença entre o número cento e vinte mil e o número trinta mil e dois é: Alternativa a. a) 89 998
b) 80 098
c) 90 098
d) 90 002
a) 260
b) 300
c) 340
d) 380
e Jorg
Ele cometeu um erro na coluna de: Alternativa c.
a) unidades. b) dezenas.
56.Um dado comum foi lançado sobre uma mesa. A soma de todas as faces visíveis vale 17. O valor da face que está em contato com a mesa é:
Reinaldo Rosa
Zaib
a
51. Mauro completou a conta com os números que faltavam.
55. (Cesgranrio-RJ) Uma pesquisa realizada com 500 empresas mostrou que somente 120 utilizam papel reciclado. A diferença entre o número de empresas pesquisadas que não usam e que usam papel reciclado é: Alternativa a.
Alternativa c.
c) centenas. d) milhares. 52. Veja a representação de uma adição em que os algarismos A, B e C são desconhecidos. A 3 C
a) b) c) d)
2 3 4 5
57. Daniel tem na carteira uma nota de 5 reais, uma moeda de 1 real e uma nota de 2 reais.
1 5 B 8 1 3 3 3 Qual é o valor da soma A 1 B 1 C? Alternativa c. B59
C55
b) 19
c) 21
Banco Central do Brasil
A57
a) 165
d) 26
53. Abaixo está representada uma subtração. D 8 B 6 2 2 C 1 A 5 9 4 2 Os algarismos A, B, C e D são, respectivamente: Alternativa d.
a) 2, 5, 9, 8
c) 4, 5, 1, 8
b) 4, 5, 8, 9
d) 4, 5, 9, 8
54. (OJM-SP) Dom Pedro II, imperador do Brasil, que morreu em 1891, com 66 anos de idade, começou a reinar quando fez 15 anos. Em que ano ele começou a reinar? Alternativa b. a) 1810 b) 1840
1 891 2 66 5 1 825 1 825 1 15 5 1 840
c) 1825 d) 1876
Qual dos seguintes valores Daniel não pode pagar sem receber troco? Alternativa a. a) 4 reais c) 7 reais b) 6 reais d) 8 reais 58. Um pai tem 35 anos, e seus filhos 6, 7 e 9 anos. Daqui a 8 anos, a soma das idades dos três filhos menos a idade do pai será de: Alternativa b. 14 1 15 1 17 2 43 5 3
a) 2 anos. b) 3 anos.
c) 11 anos. d) 13 anos.
59. (Obmep) Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença? Alternativa d. 864 2 135 5 729
a) 507
b) 531
c) 777
d) 729
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4 UNIDADE
Multiplicação e divisão de números naturais 1. As ideias da multiplicação A turma do 6o ano de certa escola mandou confeccionar camisetas e pretende, com a venda delas, conseguir dinheiro para uma excursão. Foram vendidas 78 camisetas por R$ 22,00 cada uma. Quanto foi arrecadado? Acompanhe: Temos 78 camisetas vendidas por R$ 12,00 cada:
◆
22 22 22 22 22 ... 22 Leonardo Conceição
78 parcelas iguais a 22 Para simplificar o registro dessa operação, fazemos: 78 3 22 5 1 716
Portanto, foram arrecadados R$ 1.716,00. Existem dois sinais que indicam multiplicação: 3 ou . 78 3 22 5 78 22 5 1716
Usaremos com mais frequência o ponto, para evitar que o sinal da multiplicação seja confundido com a letra x. Multiplicação Usamos a multiplicação para registrar uma adição de parcelas iguais. 3 3 3 3 5 4 3 5 12 4 4 4 5 3 4 5 12 4 parcelas iguais a 3 3 parcelas iguais a 4 Os números multiplicados são chamados fatores e o resultado é o produto. 5 fator
3
2
5 10
ou
5 2 5 10
fator produto MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
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Lembrando o algoritmo Nos algoritmos, usa-se o sinal 3 para indicar multiplicação. Veja como foi feito o cálculo a seguir: 2 7 17 15 4 171
3
2 8 6 0 6
8 vezes 22 unidades 5 8 unidades 3 22 unidades 5 176 unidades 70 vezes 22 unidades 5 7 dezenas 3 22 unidades 5 1 540 unidades 176 1 540 5 1 716
É comum usarmos nomes especiais para indicar algumas multiplicações. Exemplos: ◆ O dobro de 6 é o mesmo que 2 3 6. ◆ O triplo de 7 é o mesmo que 3 3 7. ◆ O quádruplo de 3 é o mesmo que 4 3 3. ◆ O quíntuplo de 2 é o mesmo que 5 3 2.
Contando possibilidades
Qual a soma do dobro de uma dezena com o triplo de uma dúzia? Use cálculo mental! 56
Além das camisetas, os alunos encomendaram chaveiros, bonés e porta-lápis. Montaram kits contendo uma camiseta e um dos outros itens: boné, chaveiro ou porta-lápis. A tabela mostra as opções de kits que eles podem montar.
Leonardo Conceição
Acessórios Camisetas
Com duas cores de camiseta e três tipos de acessório, os alunos podem montar seis kits diferentes: 2356
Multiplicando o número de cores de camiseta pelo número de tipos de acessório, obtivemos o número de kits diferentes com uma camiseta e um acessório. A multiplicação é aplicada na contagem de possibilidades.
Com três cores de camiseta e quatro tipos de acessório, quantos kits diferentes poderiam ser montados?
3 4 5 12; 12 kits
50
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EXERCÍCIOS 1. Numa papelaria há 15 caixas com 12 lápis de cor em cada uma. rge Jo
Nos itens a e b o produto é 21; em c e d o produto é 72.
iba Za
a) 3 7
c) 8 9
b) 7 3
d) 9 8
Paulo José
s: õe aç str Ilu
4. Determine os produtos.
Agora responda. a) Para calcular de forma mais rápida o número total de lápis, podemos fazer uma operação. Que operação é essa? Multiplicação. b) Que nome se dá aos números 15 e 12 nessa operação? Fatores. c) Qual é o valor do produto? 180
f) O que você observa nos resultados dos itens c e d? São iguais. g) O que você pode concluir? Trocando a ordem dos fatores, o produto não se altera.
5. Calcule mentalmente.
2. Represente o número de xícaras: Respostas possíveis:
a) usando o sinal ; 3 3 3 3 b) usando o sinal 3. 4 3 3 ou
e) O que você observa nos resultados dos itens a e b? São iguais.
ou
444
334
a) 9 4 1 36
f) 25 60 0 0
b) 7 3 10 210
g) 63 2 50 6 300
c) 605 1 000 605 000
h) 2 000 1 15 30 000
d) 2 18 5 180
i) 27 2 5 5 2 2 700
e) 39 4 25 3 900
j) 96 200 5 96 000
6. O que acontece com o produto quando um dos fatores da multiplicação é igual a zero? O produto também é zero.
3 37 5 111
3. Escreva duas multiplicações que representem o número de caixas de leite da figura. 5 2;
25
ou
Marcelo Azalim
7. Sabendo que
6 37 5 222
10 1
9 37 5 333 12 37 5 444
escreva o valor dos seguintes produtos, sem efetuar cálculos: a) 15 37 555
b) 21 37 777
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8. Calcule os produtos.
13. O piso de uma cozinha está sendo revestido com cerâmica quadrada. Já foram colocadas 9 cerâmicas, como mostra a figura abaixo.
a) 6 10 60
d) 59 100 5 900
b) 45 10 450
e) 7 1 000 7 000
c) 4 100 400
f) 82 1 000 82 000
Agora responda. g) O que você observa nos resultados dos itens a e b? Foi acrescentado um zero à direita do último algarismo do primeiro fator.
h) O que você observa nos resultados dos itens c e d? Foram acrescentados dois zeros à direita do último algarismo do primeiro fator.
i) O que você observa nos resultados dos itens e e f? Foram acrescentados três zeros à direita do último algarismo do primeiro fator.
9. Um saco de cimento pesa 50 kg. Calcule mentalmente. a) Quanto pesam 10 sacos de cimento? 500 kg
14.Quantas caixas de sapato estão empilhadas na loja? 140 caixas Jorge Zaiba
b) Quanto pesam 100 sacos de cimento? 5 000 kg
Quantas cerâmicas faltam para cobrir o piso da cozinha? 15 cerâmicas
10. Calcule mentalmente. 7 280 728 728 728 728 728 728 728 728 728 728 11. O produto de dois números é 30. Multiplicando cada um dos fatores por 3, o produto fica: Alternativa d.
a) o mesmo. b) aumentado de 6 unidades.
15. Subtraindo o dobro de dois mil e vinte e sete do triplo de dois mil e quatro, obtém-se:
c) multiplicado por 6.
Alternativa a.
a) 1 958 b) 2 050
d) multiplicado por 9. 12. Efetue a multiplicação completando-a com os algarismos representados por . a) 6
4
b) 8
1
2
3
3 1 9 1 1
2 4
4
9 0
4
7
5
2
3
4
9 6
3
2
7
6
8
5
7
1
2
4
4
c) 3 958 d) 10 066
16. Flávia tem 7 anos de idade, e sua irmã Daniela tem o dobro de sua idade. O pai das meninas tem o dobro da idade das duas juntas. Quantos anos tem o pai de Flávia e Daniela? 42 anos 17. Somando o quádruplo de 135 com o quíntuplo de 206, obtemos: Alternativa b. a) b) c) d)
1 560 1 570 1 300 1 499
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6, pois 2 · 3 5 6 ◆ de A para ◆
21. Observe o gráfico.
Quantidade de refeições servidas em uma escola
B existem 2 caminhos diferentes;
de B para C existem 3 caminhos diferentes. B
C
Estúdio Ornitorrinco
A
Quantidade de refeições (em unidades) 150
DAE
18. De quantas maneiras diferentes este garoto pode ir de A até C, passando por B, sabendo-se que:
125 100 75 50 25
19.Uma loja oferece os seguintes carros com as cores:
0
seg.
ter.
qua.
qui.
sex. Dia da semana
Marcelo Azalim
a) Em que dia da semana foram servidas menos refeições? Quarta-feira. b) Qual é o total de refeições servidas durante a semana? 575 refeições c) Se o custo de cada refeição é R$ 8,00, quanto se gasta semanalmente? R$ 4.600,00 22. (OBM) A calculadora de Juliana é bem diferente. Ela tem uma tecla D, que duplica o número escrito no visor, e a tecla T, que apaga o algarismo das unidades do número escrito no visor. Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor e apertamos D, teremos 246; depois, apertando T, teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se apertarmos D, depoisT, em seguida D, depois T, teremos o número: Alternativa c.
Quantas escolhas possíveis tem um consumidor? 3 · 4 5 12, ou seja, 12 escolhas
Pão
Recheio
Verdura/ Legume
de forma
queijo
alface
de leite
presunto
tomate
De quantas formas diferentes poderia montar meu sanduíche combinando um ingrediente de cada coluna? 8 formas
Ma rce lo Az alim
Aryaphoto1000/ Dreamstime.com
20. (Saresp) Para montar um sanduíche, tenho disponíveis os seguintes ingredientes:
a) 96
c) 79
b) 98
d) 99
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2. As ideias da divisão Usamos a divisão para repartir uma quantidade em partes iguais ou descobrir quantas vezes uma quantidade cabe em outra. Considere a situação: Distribuir igualmente 20 bombons entre 8 crianças. Quantos bombons recebe cada uma? Sobram bombons? Quantos? Para obter a resposta, efetua-se uma divisão. dividendo resto
20 4
8 2
divisor quociente
Com 20 unidades podemos formar 2 grupos de 8 e sobram 4 unidades; ou ainda ◆ 8 unidades cabem 2 vezes em 20 e sobram 4 unidades. ◆
Cada criança recebe 2 bombons. Sobram 4. 20 8 tem quociente 2 e resto 4
Professor, espera-se que os alunos percebam que cada criança deve receber o maior número possível de bombons. Enquanto o resto for maior que o divisor, é possível fazer uma nova distribuição.
20 5 8 8 4 5 2 3 8 4
Numa divisão: ◆ o resto é sempre menor que o divisor; ◆
Por que não demos 1 bombom a cada criança e dissemos que sobraram 12?
se o resto é zero, a divisão é exata.
Multiplicação e divisão: operações inversas A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Acompanhe: 4
7
6
28 34
5
30 36
Vamos recorrer à ideia de operação inversa para ver como o zero se comporta nas divisões. Por exemplo, 0 4 5 0. Veja que esse exemplo faz sentido: zero objeto dividido em 4 partes dá zero para cada parte, pois 0 4 5 0. Até aí, tudo bem. E 4 0? O resultado de 4 0 deveria ser o número que, multiplicado por zero, resultasse 4. Não há número que, multiplicado por zero, dê 4. Então, é Atenção! impossível efetuar 4 0. Conclusão: É impossível Fizemos esse raciocínio para o caso particular de 4 0. dividir por zero, ou seja, o No entanto, ele é válido para qualquer outro exemplo de divisão por zero. zero nunca pode ser divisor.
54
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EXERCÍCIOS 23. Calcule mentalmente. 27 3 9 80 4 20 70 2 35 120 6 20 95 5 19
f) g) h) i) j)
74 74 1 0 29 0 420 7 60 900 10 90 6 000 100 60
Alternativa c.
24. Copie e complete as expressões sem efetuar qualquer cálculo. 35
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
Reinaldo Rosa
a) b) c) d) e)
29. (OMRP) Sofia lançou um dado quatro vezes e obteve um total de 23 pontos. Quantas vezes ela obteve 6 pontos?
14
a) 14 35 5 490
490 14 5
490 35 5
b) 700 28 5 25
25 28 5
700 25 5 700
28
Bear66/Dreamstime.com
25. Observe a caixa de bombons.
30. (NCE-UFRJ) Tentei distribuir as laranjas que colhi em meu pomar por sete pessoas de modo que todas recebessem a mesma quantidade de laranjas; verifiquei entretanto que, desse jeito, sobravam três laranjas.
Para conseguir distribuir minhas laranjas da forma planejada, preciso então colher mais: Alternativa a.
Az alim
Se em cada linha há 5 bombons, quantos bombons há em cada coluna? 13 26. (Saresp) Paulo deseja distribuir 60 bolas de gude de maneira que todos os favorecidos recebam a mesma quantidade, sem sobrar nenhuma bolinha. Para qual dos grupos abaixo ele poderá fazer corretamente a distribuição? Alternativa a. a) Seus 6 primos. b) Seus 8 vizinhos.
a) quatro laranjas. b) cinco laranjas.
c) seis laranjas. d) sete laranjas.
31. Uma sala de aula tem 18 carteiras de dois lugares igualmente distribuídas por três filas. Leonardo Conceição
Ma rce lo
c) Seus 11 colegas. d) Seus 7 sobrinhos.
27. O resto de 37 dividido por 4 é igual ao resto de: Alternativa b.
a) 42 dividido por 5. b) 61 dividido por 3.
c) 89 dividido por 6. d) 100 dividido por 7.
28. Pensei num número. Dividi esse número por 2. Em seguida, multipliquei o resultado por 6 e obtive 54. Em que número pensei? 18 36
2 18
9
54
a) Qual é o número total de lugares? 36 b) Quantas carteiras há em cada fila? 6 c) Quantos alunos há em cada fila? 12
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Algoritmo usual
Leonardo Conceição
Lembra-se dos kits dos alunos do 6o ano? Com a venda deles, os alunos arrecadaram R$ 1.965,00. Quantos kits foram vendidos, se cada um custava R$ 15,00? A divisão permite descobrir essa quantidade. 1 965 15 5 ?
Como fazer essa divisão? ◆
1 9 6 5 15
Não dá para dividir 1 por 15. Mas 1 unidade de milhar 5 10 centenas e, como já temos 9 centenas no número 1 965, ficamos com 10 centenas 9 centenas 5 19 centenas.
1 9 6 5 15 1 5 1 04
◆
1 9 6 5 15 1 5 1 046
4 centenas 5 40 dezenas ◆ 40 dezenas 6 dezenas 5 46 dezenas
1 1 0
9 5 4 4 0
6 5 15 13 6 5 1
1 1 0
9 5 4 4 0
6 5 15 13 6 5 15
1 1 0
9 5 4 4 0
6 5 15 131 6 5 15 15 0
◆
◆
◆
Dividimos 19 centenas por 15. Dá 1 e restam 4 centenas.
Dividimos agora 46 dezenas por 15. Dá 3 e resta 1 dezena.
1 dezena 5 10 unidades 10 unidades 5 unidades 5 15 unidades
Finalmente dividimos 15 unidades por 15. Dá 1 e resta zero. Esta é uma divisão exata, pois o resto é zero.
Portanto, os alunos do 6o ano venderam 131 kits.
Usando a ideia de que multiplicação e divisão são operações inversas, que cálculo devemos fazer para verificar se realmente 1 965 15 5 131? 131 3 15
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EXERCÍCIOS Paulo José
32. Observe a divisão abaixo.
1854 6 054 39 00
38. Calcule: a) a soma de 28 com metade de 12; 34 b) a diferença entre o triplo de 7 e a terça parte de 30; 11 c) a quinta parte de metade de 120. 12 d) a décima parte do dobro de 70. 14
acertou a conta. errou a conta, pois o quociente é 139. errou a conta, pois o quociente é 309. errou a conta, pois o quociente é 319.
33. Calcule mentalmente. a) 624 2 312 b) 963 3 321 c) 848 4 212
?
37. Três milhões e seiscentos é o triplo de: Alternativa d. a) 1 200 000 c) 1 000 020 b) 1 020 000 d) 1 000 200
Nessa divisão o aluno: Alternativa c. a) b) c) d)
36.Quais números devem ocupar o lugar dos a) 250 5 5 18 32 b) 480 8 5 3 15 4 c) 300 10 5 70 40
39. (Ipad-PE) A terça parte dos aeroportos do mundo fica localizada nos Estados Unidos. Sabendo que existem 1 650 aeroportos no mundo, quantos deles ficam nos Estados Unidos? 550
Primeiro estime o quociente; depois, calcule. Confira os resultados na calculadora!
167 5 17 32 7
268 3 28 88 4
40. Um sitiante cria galinhas e tem caixas para armazenar 6 ovos e caixas para armazenar 12 ovos. Qual é o menor número de caixas que ele precisa para armazenar 78 ovos? Alternativa b. Estúdio Ornitorrinco
34. Observe as divisões e responda:
Leonardo Conceição
f) 7 490 7 1 070
Paulo José
e) 6 036 6 1 006
Estúdio Ornitorrinco
d) 1 010 5 202
Estão certas ou erradas? Por quê? Erradas; porque o resto é maior que o divisor.
486 17 ..... 28 10
Qual é o menor número que se deve adicionar ao dividendo para obter um quociente exato? 7
Paulo José
35. Considere a divisão.
a) 6
b) 7
c) 9
d) 13
41. (Vunesp) De mesada, Júlia recebe mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. Se em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, então, de sua mãe ela recebe, por mês: Alternativa b. a) R$ 15,00 375 5 5 75 c) R$ 30,00 b) R$ 25,00 75 3 5 25 d) R$ 35,00
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Divisão por subtrações sucessivas Há um outro modo de registrar essa divisão que acabamos de mostrar na página 56. Para saber quantos kits foram vendidos, você também poderia raciocinar assim: ◆
Vendendo 100 kits, os alunos arrecadariam 15 100 5 1 500 reais: 1965 15 1500 100 465 1 965 1 500 5 465 (Ficam faltando 465 reais para completar o valor arrecadado.)
◆
Por aproximação, podemos colocar mais 30 kits, pois 30 15 5 450. 465 15 450 30 15
◆
Como 465 450 5 15, sobram 15 reais, que correspondem a mais 1 kit. Você quer sugerir outro procedimento para efetuar essa divisão? Vá em frente! Mostre-o aos seus colegas!
15 15 15 1 0 ◆
Finalmente, 100 30 1 5 131.
Atenção!
Zubartez
Repare que o resultado foi o mesmo para os dois raciocínios feitos: algoritmo usual e por subtrações sucessivas.
Respondam no caderno 1. O produto de dois números é ímpar. O que podemos afirmar sobre eles? São ambos ímpares. 2. O produto de dois números é zero. O que podemos afirmar sobre eles? Que pelo menos um deles é zero. 3. Se x y 5 x e x e y são diferentes de zero, qual é o valor de y? y 5 1 4. Na divisão de um número por 13, qual é o maior resto possível? 12 5. Um número natural dividido por 6 deixa resto 4. Qual é o resto da divisão deste número por 3? 1 6. Procurem todos os números naturais que divididos por 5 dão resto igual ao quociente. 6,12,18 e 24
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Seção livre 2014 King Features Syndicate/Ipress
4 2. (Cotuca/Unicamp-SP)
Usando a “velha matemática”, divida o número quarenta e sete mil seiscentos e quarenta e quatro por dezenove. O quociente e o resto obtidos valem, respectivamente: Alternativa d. a) 257 e 11
b) 2 057 e 9
c) 2 507 e 9
d) 2 507 e 11
43. Veja uma sequência de bolinhas azuis e brancas que Tiago desenhou. Na sequência, há um padrão que se repete sempre. 80 5 5 16 16 3 3 5 48
a) Quais são as três bolinhas que vêm a seguir na sequência? b) Tiago desenhou um total de 80 bolinhas na sequência. Quantas bolinhas azuis ele desenhou? 48 4. Na figura, cada um dos três símbolos representa um algarismo. Os números indicados são a soma dos 4 algarismos de cada linha e de cada coluna. Qual é o algarismo representado por cada símbolo? 5 7;
5 4;
55
♦ ♥
16
♥ ♥ ♥
12
♦ ♦ ♥
14
14
13
15
Multiplicação e divisão de números naturais
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Relação fundamental da divisão Em todas as divisões temos: quociente 3 divisor 1 resto 5 dividendo Veja exemplos: Divisão não exata 45 6 3 7
◆
◆
Divisão exata 24 8 0 3 8 3 3 5 24
42 1 3 5 45, que é o dividendo.
24 1 0 5 24, que é o dividendo. Paulo José
7 3 6 5 42
Tente descobrir mentalmente.
Qual é o divisor? 77 ? 5 9
Zubartez
Qual é o dividendo? ? 12 3 5
63
8
Copie o quadro no caderno e complete-o. Dividendo
Divisor
37 3 2
74
3 2
Quociente
resto
5
7
2
10
7
4
3 3
111
3 3
15
7
6
3 4
148
3 4
20
7
8
3 5
185
3 5
25
7
10
Troque ideias com os colegas e responda no caderno às questões a seguir. 1. O que acontece com o quociente de uma divisão quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero? Professor, os alunos devem concluir que o quociente não se altera. 2. O que acontece com o resto de uma divisão quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero? Professor, os alunos devem concluir que o resto de uma divisão é multiplicado por esse número.
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eXerCÍCioS 45.Um garoto sujou com tinta um papel no qual estavam escritas duas divisões. 4
b) 121 17 2
a) 29 1
7
Você consegue reconstituí-las?
7
50.Tiago precisa de mais uma figurinha para completar as 18 páginas de seu álbum, que tem 12 figurinhas por página. Quantas figurinhas tem Tiago? 215 18 3 12 2 1 5 215 51. Um número natural dividido por 20 deixa resto 8. O resto da divisão desse número por 5 é igual a: Alternativa c.
46.O dividendo e o resto desta divisão foram apagados: 4 15 a) Quais são os valores possíveis do resto nesta divisão? 0, 1, 2 ou 3 b) Que números naturais podem ser escritos no dividendo? 60, 61, 62 ou 63 47. Procure os números que faltam: 4
5
3 1 4 2 7 5 2
7
Time
Pontos ganhos
No de vitórias
No de empates
Corinthians
x
8
0
Vasco
y
6
1
Cruzeiro
17
z
2
6
9
48. A igualdade 41 5 6 1 7 ? 5 pode representar uma divisão cujo divisor é igual a: Alternativa b. a) 5 b) 7
52. Nos jogos válidos de um campeonato de futebol, cada vitória dá ao time 3 pontos, enquanto cada empate vale 1 ponto. Se perder, o time não ganha pontos. Um jornal publicou uma tabela com a classificação dos três melhores times. Entretanto, três números da tabela não puderam ser identificados, sendo substituídos pelas letras x, y e z, conforme é mostrado abaixo:
41 1
c) 3 d) 4
Calcule o valor de: a) x 24
c) 7 ou 5 d) 6 ou 7
Leonardo Conceição
49. Uma sala de teatro tem 395 lugares, em filas de 26 poltronas, exceto a última que tem mais.
b) y 19
c) z 5 Francois Xavier Marit/Afp/Getty Images
7
2
a) 1 b) 2
a) Quantas poltronas tem a última fila? 31 b) Quantas filas de 26 poltronas existem? 14
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3. Expressões numéricas Na língua portuguesa encontramos expressões como as mostradas nas figuras. Até amanhã! Ilustrações: Reinaldo Rosa
Silêncio!
Que calor!
Na Matemática encontramos as expressões numéricas, que envolvem números e operações. Quando efetuamos uma expressão numérica, chegamos a um número. A expressão numérica 3 1 2 ? 7 envolve adição e multiplicação. Como podemos efetuá-la? Sabemos que 2 ? 7 5 7 1 7.
Ilustra Cartoon
O número 3 deve ser somado a 7 1 7.
Então: 3 1 2 ? 7 5 3 1 7 1 7 5 17 3 1 2 ? 7 5 3 1 14 5 17 A multiplicação deve ser efetuada antes da adição.
Então, o resultado da expressão do nosso exemplo é 17, pois devemos fazer primeiro a multiplicação e depois a adição.
1o) As multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem na expressão (da esquerda para a direita). 2o) As adições e as subtrações na ordem em que aparecem na expressão (da esquerda para a direita).
Ilustra Cartoon
Para resolver expressões numéricas, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:
62
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Que tal mais alguns exemplos? Observe: 18 2 3 3 1 7 ? 3 2 2 5 5 18 2 1 1 21 2 2 5 5 17 1 21 – 2 5 5 38 2 2 5 5 36
Muitas vezes utilizamos uma expressão numérica para representar e resolver um problema. Veja os exemplos: 1. Dona Zélia comprou 2 kg de muçarela e 3 kg de linguiça, pagando por quilo o preço anunciado no cartaz ao lado. Se ela pagou a compra com uma nota de R$ 100,00, quanto recebeu de troco? Podemos descobrir a resposta resolvendo a expressão numérica que representa o problema. Dos R$ 100,00 devemos tirar: ◆ 2 kg de muçarela a R$ 22,00 o quilo: 2 ? 22
Ilustrações: Marcelo Azalim
2?93255 5 18 3 2 5 5 56255 51
3 kg de linguiça a R$ 15,00 o quilo: 3 ? 15 A expressão fica: Vamos efetuar primeiro 100 2 2 ? 22 2 3 ? 15 5 as multiplicações. 5 100 2 44 2 45 5 5 56 2 45 5 11 Então, ela recebeu R$ 11,00 de troco.
◆
No exemplo 2, vamos encontrar uma situação nova. Acompanhe. 2. Durante a semana, Ana preparou deliciosos pães de mel para vender às freguesas no sábado e no domingo. Para controlar a produção, utilizou o quadro a seguir. Invente uma situação que possa ser resolvida pela expressão 8 1 12 2. Respostas pessoais.
Os pães de mel serão embalados em caixas com 6 unidades. Ana precisa de nossa ajuda para calcular de quantas caixas ela vai precisar. Para resolver o problema, devemos calcular o total de pães de mel produzidos na semana e, depois, dividir esse total por 6. No entanto, se escrevermos a expressão 47 1 59 1 42 1 44 1 54 6 e obedecermos às regras que determinam a ordem das operações, teremos de efetuar primeiro a divisão e depois a adição. Não é o que queremos! Mas Ana não precisa se preocupar, pois existem regras para evitar esse tipo de erro.
Atenção! Para indicar que certas operações devem ser feitas antes de outras, usaremos símbolos: ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
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Ordem de resolução Na expressão que escrevemos para o problema de Ana, devemos colocar parênteses para indicar que a adição deve ser efetuada antes da divisão. (47 1 59 1 42 1 44 1 54) 6 5 246 6 5 41 Ana precisa de 41 caixas. A ordem de resolução para expressões que apresentam parênteses, colchetes e chaves é:
Mas, além desses símbolos, devemos obedecer também à ordem de resolução das operações que já vimos anteriormente, certo?
Ilustra Cartoon
1o) resolver as operações que estão dentro dos parênteses; 2o) resolver as operações que estão dentro dos colchetes; 3o) resolver as operações que estão dentro das chaves.
Atenção! Ao escrever uma expressão numérica, observe se os parênteses, os colchetes e as chaves são mesmo necessários.
Por exemplo:
◆ sem parênteses: com parênteses: (7 ? 2 2 6) 1 5 5 7?226155 5 (14 2 6) 1 5 5 5 14 2 6 1 5 5 58155 58155 5 13 5 13 Respeitando a ordem em que as operações devem ser efetuadas, obtemos o mesmo resultado. Portanto, nesse caso os parênteses são desnecessários e não precisam ser escritos. ◆
As sentenças abaixo expressam a mesma ideia? Não. ◆ Hoje não vou estudar!
◆ Hoje, não! Vou estudar!
O que fez com que o sentido mudasse? A pontuação. Agora resolva as expressões no caderno: a) (15 2 7) ? 3 2 1 8 ? 3 2 1 5 23 b) 15 2 7 ? (3 2 1) 15 2 7 ? 2 5 15 2 14 5 1 Elas têm o mesmo resultado? Não. No caderno, escreva suas conclusões sobre a importância da posição de parênteses, colchetes e chaves numa expressão numérica. Crie exemplos que comprovem essas ideias. Respostas pessoais.
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eXerCÍCioS 55. Copie as expressões e descubra onde devem ser colocados os parênteses para que os resultados sejam os indicados.
um
dos sinais 1 ou 2 de modo a obter igualdades. a) 5 3 1 5 7 1 2 b) 8
1
a) b) c) d) e) f)
5 5 2 2 2
c) 15
5
10 5 30 1 1
d) 16
2
1 5 15 2 1
54. Faça o que se pede. a) Resolva as expressões que constam em cada ficha. A 9 1 5 ? 6 39
F 20 4 1 6 ? 8 53
B 21 3 1 4 11
I 50 1 12 2 56
C 30 2 6 2 27
J 16 2 1 6 14
D 40 2 5 ? 8 0
K 3 ? 7 2 2 ? 5 11
E 6 ? 10 2 8 2 56
L 5?63282
56. Viviane tem R$ 185,00 para fazer compras. Das coisas que viu, ela decidiu comprar:
2
27
12
56
53
31
3
0
11
39
2 pares de sapatos por R$ 68,00 cada um;
◆
1 camiseta por R$ 14,00;
◆
5 pares de meias por R$ 3,00 cada um.
Pedro Sotto
84
◆
Escreva e resolva a expressão numérica que indica quanto dinheiro sobrou. 185 2 (2 ? 68 1 14 1 5 ? 3) 5 20
b) Identifique a caixa abaixo em que deve ser colocada cada ficha, observando que o resultado da expressão deve ser igual ao número indicado na caixa. 14
16 2 ? 4 5 2 16 (2 ? 4) 5 2 14 1 3 ? 12 5 204 (14 1 3) ? 12 5 204 4 ? 3 1 6 ? 7 5 252 4 ? (3 1 6) ? 7 5 252 2 1 7 ? 3 1 5 5 58 2 1 7 ? (3 1 5) 5 58 2 1 7 ? 3 1 5 5 32 (2 1 7) ? 3 1 5 5 32 2 1 7 ? 3 1 5 5 72 (2 1 7) ? (3 1 5) 5 72
Reinaldo Rosa
53. Copie as expressões e coloque em cada
57. Calcule o valor das expressões. c) Responda. ◆
Quantas caixas receberam duas fichas? 2 caixas
◆
Quantas caixas receberam uma ficha? 6 caixas
◆
Quantas caixas não receberam ficha? 4 caixas
a) b) c) d) e) f)
(12 1 2 ? 5) 2 8 14 25 2 (15 1 6 : 3) 8 25 1 [7 1 (8 2 4 : 2)] 38 60 2 [8 1 (10 2 2) : 2] 48 80 2 [22 1 (5 ? 2 2 1) 1 6] 43 14 2 1 [13 2 (4 ? 2 1 1)] 11
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Reinaldo Rosa
4. Propriedade distributiva da multiplicação Três amigos foram juntos a uma lanchonete. Cada um deles tomou um suco e comeu um mega-hambúrguer. O mega-hambúrguer custa R$ 4,00 e o suco, R$ 2,00. Quanto eles gastaram no total? Vamos pensar em dois modos de resolver esse problema: 1. Determinar quanto cada um gastou (1 mega-hambúrguer 1 1 suco) e multiplicar o valor por 3, porque são 3 pessoas.
2. Calcular 3 vezes o preço do mega-hambúrguer, 3 vezes o preço do suco e então somar esses valores. 3 ? 4 1 3 ? 2 5 12 1 6 5 18
3 ? (4 1 2) 5 3 ? 6 5 18
preço de 1 suco
preço de 1 suco
preço de 1 mega-hambúrguer
preço de 1 mega-hambúrguer Lembre-se de que os parênteses indicam que faremos primeiro a adição.
Lembre-se de que devemos fazer primeiro as multiplicações.
Como você viu, os dois procedimentos levaram à mesma solução: a conta da lanchonete ficou em R$ 18,00. Podemos dizer que: 3 ? (4 1 2) 5 3 ? 4 1 3 ? 2
Objeto educacional digital
É possível distribuir a multiplicação pelas parcelas da adição! Veja mais exemplos: ◆ 5 ? (2 1 7) 5 5 ? 2 1 5 ? 7 5 10 1 35 5 45 ◆ (3 1 5) ? 2 5 3 ? 2 1 5 ? 2 5 6 1 10 5 16 5 ? 9 5 45 8 ? 2 5 16 A propriedade que verificamos envolve a multiplicação e a adição. Seu nome é propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Também podemos distribuir a multiplicação em relação à subtração. Observe os exemplos: ◆ 3 ? (6 2 2) 5 3 ? 6 2 3 ? 2 5 18 2 6 5 12 ◆ (4 2 1) ? 2 5 4 ? 2 2 1 ? 2 5 8 2 2 5 6 3 ? 4 5 12
3?256
Para calcular mentalmente 6 ? 157, José fez 6 ? 157 5 6 ? (100 1 50 1 7) 5 5 6 ? 100 1 6 ? 50 1 6 ? 7 5 5 600 1 300 1 42 5 942 Ele encontrou o resultado correto? Você costuma usar esse procedimento de cálculo mental? Converse com os colegas. Sim. Resposta pessoal.
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eXerCÍCioS
a) 6 1 5 1 3 b) 6 1 (5 1 3)
c) (6 1 3) ? 5 d) 6 ? (3 1 5)
63. Acompanhe os quadros:
4 ? 50 são 200, e 4 ? 9 são 36
Faço 4 ? 59 assim...
Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco
58. Silvina trabalha 6 dias por semana, 3 horas de manhã e 5 horas à tarde. Qual das expressões seguintes representa o número de horas que Silvina trabalha numa semana? Alternativa d.
59.Em uma parede da cozinha há 15 fileiras de 10 azulejos e em outra há 13 fileiras de 10 azulejos. Calcule, de duas maneiras diferentes, a quantidade de azulejos que há nessa cozinha. 280 azulejos 15 ? 10 1 13 ? 10 5 280 ou (15 1 13) ? 10 5 280
Marcelo Azalim
60. Calcule, de dois modos diferentes, a pontuação total dos dados. 27 pontos; 3 ? (5 1 4) 5 27 ou 3 ? 5 1 3 ? 4 5 27
200 1 36 são 236
Pensando desse mesmo modo, calcule mentalmente. a) 6 ? 25 150 b) 9 ? 81 729 c) 4 ? 72 288 d) 9 ? 15 135 e) 8 ? 35 280
61. Em volta de um terreno retangular de 20 metros por 30 metros, deve-se construir uma cerca com 3 fios de arame farpado, vendido em rolos de 50 m. Quantos rolos devem ser comprados? 6 rolos 3 ? 100 5 300
g) 13 ? 101 1 313 h) 50 ? 102 5 100
300 : 50 5 6
Ilustra Cartoon
2 ? (20 1 30) 5 100
f) 5 ? 140 700
64. Calcule mentalmente.
O item a vou resolver assim: 7 ? 60 – 7 ? 1.
62. Aplique a propriedade distributiva para resolver cada uma das expressões. a) 2 ? (8 1 9) 2 ? 8 1 2 ? 9 5 34 c) 3 ? (8 2 2) 3 ? 8 2 3 ? 2 5 18 b) (2 1 4) ? 6 2 ? 6 1 4 ? 6 5 36 d) (7 2 5) ? 4 7 ? 4 2 5 ? 4 5 8
a) 7 ? 59 413 b) 5 ? 78 390
c) 8 ? 99 792 d) 4 ? 19 76
e) 12 ? 29 348 f) 3 ? 198 594
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5. Vamos resolver mais problemas? Nesta seção, nos exercícios a seguir, trabalhe em dupla, pois assim você poderá trocar informações e comparar os resultados com um colega. Leia, a seguir, algumas sugestões que podem ajudá-los nesta tarefa. ◆
Leia com atenção o enunciado do problema, identificando as informações dadas e o que se quer descobrir.
◆
Imagine uma estratégia para a resolução, ou seja, quais são os passos para resolver o problema.
◆
Registre essa estratégia para que outras pessoas possam entender como você chegou à resposta.
◆
Esse registro pode conter desenhos, expressões e algoritmos, desde que apresentados com clareza e coerência.
◆
Confira estratégias e resultados.
◆
Apresente a resposta do problema de forma completa.
eXerCÍCioS
Pedro Sotto
65. Para promover a venda de uma televisão, o cartaz anuncia:
68. Dona Eliana quer dividir igualmente certa quantia de dinheiro entre seus 6 netinhos. Ela tem oito cédulas (duas de 100, cinco de 10 e uma de 5 reais) e três moedas de 1 real. Quanto vai receber cada neto? R$ 43,00 69. Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela primeira hora. A partir da segunda, o valor é de R$ 2,00. Quanto pagará o proprietário de um carro que esteve estacionado durante 7 horas? R$ 15,00
Quanto pagará a mais quem comprar a prazo? a
R$ 28,00
Pedro Sotto
12 dias
So llo ni Da
70. Leia o que Carla disse e responda.
Eu tenho 5 anos, minha irmã é 7 anos mais velha que eu, e a idade de meu avô é o produto de nossas idades.
Zubartez
67. Um paciente deve tomar uma cápsula de 8 em 8 horas. A caixa de remédio receitada contém 36 cápsulas. Quantos dias demorará o tratamento?
uz
66. Maristela possuía R$ 71,00 e Maurício, R$ 85,00. Juntaram suas quantias para comprar 12 CDs de mesmo preço. Quanto custou cada CD se gastaram todo o dinheiro? R$ 13,00
Quantos anos tem o avô de Carla? 60 anos, pois 5 ? 12 5 60
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Doce
Caixas Doces em Doces que compradas cada caixa sobraram
beijinho
2
215
325
brigadeiro
1
400
312
Quantos doces foram consumidos na festa? 193 doces
72. Enilda, diretora de uma escola, deseja que todas
as salas do 9o ano fiquem com o mesmo número de alunos. Sala A 31 Alunos
Sala B 27 Alunos
Sala D 29 Alunos
Sala C 40 Alunos
Sala E 38 Alunos
Que cálculo deve ser feito? Qual será seu resultado? 33 (31 1 27 1 40 1 29 1 38) 5 5 33
76. (Fesp-RJ) Dona Carmem é doceira. Para entregar uma encomenda, ela fez três pacotes. No primeiro, havia certa quantidade de doces. No segundo pacote havia 10 doces a mais que no primeiro. No terceiro, havia 15 doces a mais que no segundo. Se, ao todo, dona Carmem entregou 170 doces, quanto havia no primeiro pacote? 45 doces 170 2 10 2 25 5 135 135 3 5 45
77. Um
grupo de 12 amigos encomendou um jantar a um bufê. No dia do jantar, quatro deles não puderam comparecer. Com isso, para que o pagamento do jantar fosse efetuado, cada um dos participantes precisou desembolsar R$ 45,00 a mais. Qual era, em reais, o valor total 45 ? 8 5 360 desse jantar? R$ 1.080,00 360 4 5 90 90 ? 12 5 1 080
78. (Obmep) Pedro Américo e Cândido
Portinari foram grandes pintores brasileiros, e Leonardo da Vinci foi um notável artista italiano. Pedro Américo nasceu em 1843. Já Leonardo da Vinci nasceu 391 anos antes de Pedro Américo e 451 anos antes de Portinari. Em que ano Portinari nasceu? a) 1903 b) 1904
c) 1905 d) 1906
Alternativa a.
e) 1907 1 843 2 391 5 1 452 1 452 1 451 5 1 903
Coleção particular
7 1. (Saresp) A tabela abaixo indica a quantidade de doces que foi comprada para a festa de aniversário de Glorinha e a quantidade de doces que sobrou no final da festa.
O número que você determinou é a média aritmética.
73. Um aluno obteve as seguintes notas bimestrais em Geografia: 8 9 6 5 Qual é a média aritmética dessas notas? 7 4. Comprei dois CDs. Um custou R$ 19,00, e o outro 7 R$ 13,00. Qual é o preço médio (média aritmética dos preços) desses dois CDs? R$ 16,00 5. (Saresp) Uma pilha comum dura cerca de 90 dias, 7 enquanto que uma pilha recarregável chega a durar 5 anos. Se considerarmos que 1 ano tem aproximadamente 360 dias, poderemos dizer que uma pilha recarregável dura, em relação a uma pilha comum: Alternativa c. 360 : 90 5 4 5 ? 4 5 20 a) 10 vezes mais. c) 20 vezes mais. b) 15 vezes mais. d) 25 vezes mais.
Cândido Portinari. Meninos no balanço, 1960. Óleo sobre tela, 61 cm 3 49 cm.
Multiplicação e divisão de números naturais
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79. Glaucia gastou R$ 284,00 para comprar seu uniforme. Sabe-se que ela gastou R$ 156,00 para comprar 3 calças e que o restante foi utilizado para a compra de 4 camisetas idênticas. Quanto 284 2 156 5 128 custou cada camiseta? R$ 32,00
82. Ontem resolvi trazer bombons para meus 35 colegas de classe. Dei 4 bombons para cada um; dos que sobraram dei metade para a professora e comi o que restou, isto é, 3 bombons. Quantos bombons eu trouxe? 146 bombons, pois 35 ? 4 1 3 1 3 5 146
80.A figura abaixo representa algumas ruas de mão única.
83. (CPII-RJ) Leia com atenção a história em quadrinhos abaixo e depois responda às perguntas.
128 4 5 32
Danillo Souza
Ronaldo Barata
Maurício adora ler revistinhas de histórias em quadrinhos. Ele possuía 20 revistinhas e já tinha lido todas elas.
◆
128 carros entraram em A
◆
Na esquina em que há duas opções de direção, o tráfego se divide igualmente entre elas.
Responda.
Um dia encontrou um jornaleiro que troca duas revistinhas velhas por uma nova. Maurício saiu correndo para trocar suas 20 revistinhas velhas por outras novas.
a) Quantos carros saem por B? 32 carros b) Quantos carros saem por C? 96 carros 81. (OBM) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos ele ainda poderá carregar? 144 tijolos
Danillo Souza
400 50 5 8; 50 – 32 5 18; 18 ? 8 5 144
Ele leu rapidamente todas as novas revistinhas que trocou... ... e voltou ao jornaleiro para uma nova troca. E assim, Maurício foi fazendo trocas, sempre trocando o maior número de revistinhas que podia... ... até que não pudesse fazer mais nem uma troca. 20 10
4
2
1 1 1
10
2
1
1
5
guardou 1
a) Quantas revistinhas trocadas pelo jornaleiro Maurício leu? 19 revistinhas b) Quantas vezes ele foi ao jornaleiro para trocar revistinhas? 5 vezes
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6. Medindo o tempo Meu aniversário é daqui a cinco dias!
O tempo e suas medidas são importantes em nossa vida. Distribuímos nossas atividades e marcamos compromissos com base na passagem do tempo. Há milhares de anos o ser humano percebeu que as sombras projetadas pela incidência da luz do Sol se moviam e, pelo caminho percorrido por elas, era possível medir o tempo entre o amanhecer e o anoitecer. Em algum momento, nessa longa história, estabeleceu-se que o dia teria 24 horas. Só depois surgiram os minutos e os segundos. Hoje utilizamos várias unidades de tempo. Vamos relacionar algumas delas? ◆ 1 ano 5 365 dias ◆ 1 dia 5 24 horas Atenção! ◆ 1 hora 5 60 minutos A cada 4 anos temos um ano com 366 ◆ 1 minuto 5 60 segundos
É importante dormir oito horas por noite! Ilustrações: Reinaldo Rosa
Ronaldo Barata
Pênalti aos 45 minutos do 2o tempo.
Njnightsky/Dreamstime.com
dias: são os chamados anos bissextos.
Irochka/Dreamstime.com
Vemos ao lado a fotografia de um relógio de sol. O deslocamento da sombra projetada pela haste mede a passagem do tempo. O mais antigo relógio de sol existente está exposto no Museu de Berlim. Acredita-se que pertenceu ao faraó Tutmés III, do Egito (1504-1450 a.C.).
A ampulheta apareceu por volta do século VIII como um importante instrumento para marcar o tempo. A areia leva um tempo fixo para cair de um recipiente de vidro para o outro por uma pequena passagem. Quando a areia escoa totalmente, vira-se o instrumento para ter um novo e igual intervalo de tempo. Os soldados romanos usavam ampulhetas para marcar a troca de guarda. Carlos Magno tinha uma ampulheta de 12 horas. Cristóvão Colombo usava uma de meia hora.
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As medidas de tempo estão presentes em inúmeras situações do cotidiano. Vamos examinar algumas delas? 1. Lendo as informações no encarte do DVD a que pretendo assistir, vi que o filme tem duração de 168 minutos. Coloquei o DVD às 13h30min. A que horas terminarei de assistir ao filme? 2 horas têm 120 minutos 168 2 120 5 48 minutos O filme tem duração de 2 horas e 48 minutos. Como são 13h30min, temos:
Luisa Henriqueta/www.laeti.com.br
Situações e problemas envolvendo medidas de tempo
13h30min 1 2h48min 15h78min Mas 78 minutos correspondem a 1 hora e 18 minutos, ou seja, 15h78min 5 15 h 1 1 h 1 18 min 5 16h18min. Portanto, o filme terminará às 16h18min.
44min75s 2 44min45s 0min30s A diferença entre os tempos foi de 30 segundos.
Paulo Pinto/Estadão Conteúdo
2. A corrida de São Silvestre, tradicionalmente disputada em São Paulo no dia 31 de dezembro, teve como vencedor em 2010 o brasileiro Marilson Gomes dos Santos com um tempo de 44 minutos e 2 segundos. O segundo e o terceiro lugar foram conquistados pelos quenianos, sendo Barnabas Kiplagat Kospei com 44 minutos e 45 segundos e James Kipsang Kwambai com 45 minutos e 15 segundos. Qual é a diferença entre o tempo dos dois atletas quenianos? Precisamos efetuar 45 min 15 s 2 44 min 45 s. Para poder subtrair os segundos procederemos assim: 45 min 15 s 5 44 min 1 60 s 1 15 s 5 44 min 75 s Agora fazemos a subtração:
1. Quantos segundos há em uma hora e meia? 5 400 s. 2. O 4o lugar da prova destacada no exemplo acima também foi conquistado por um brasileiro: Giovani dos Santos, com 45min33s. Calcule no caderno a diferença entre o tempo de Marilson e o de Giovani. 1 minuto e 31 segundos
3. Durante testes, uma prensa usada para cortar peças em aço apresentou um defeito intermitente: a cada 45 segundos, produzia uma peça defeituosa. Se o defeito não for corrigido, quantas peças serão perdidas por hora? 80 peças 4. Pesquisem informações sobre instrumentos utilizados para medir o tempo nos dias de hoje. Resposta pessoal.
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Exercícios 8 4. Responda.
9 0. (Cesgranrio-RJ) O sinal de trânsito de certa rua permanece aberto para pedestres por 30 segundos. Uma pessoa partiu de uma das calçadas 5 segundos após a abertura do sinal e levou 16 segundos atravessando a rua. Quando ela terminou a travessia, quantos segundos faltavam para que o sinal fechasse para os pedestres?
a) Quantos minutos têm 5 horas? 300 min b) Quantos segundos têm 2 minutos? 120 s c) Quantos minutos tem meia hora? 30 min d) Quantas horas equivalem a 420 minutos? 7 h
9 segundos
Enmanuel/Shutterstock
5. Diga que horas são: 8
a) 35 min depois das 8h; 8h35min b) 25 min depois das 8h35min; 9h c) 10 min depois das 10h55min; 11h05min d) 17 min depois das 8h45min; 9h02min e) 55 min depois das 21h50min; 22h45min f) 35 min depois das 23h45min. 0h20min 6. Em uma faxina, Silmara gasta 7 horas de trabalho 8 diário. Se ela iniciar a faxina às 8 horas, a que horas ela vai terminar, se parar uma hora e 30 minutos para o almoço? 16h30min
João Prudente/Pulsar Imagens
8 7. O ônibus saiu de São Paulo às 5h45min. A viagem até Catanduva demorou 4 h e 25 min. A que horas o ônibus chegou? 10h10min 91. O piloto Felipe Massa dá uma volta em uma pis-
ta em 1 minuto e 20 segundos. Supondo condições equivalentes, em quanto tempo dará 3 voltas? 4 minutos 92. Um show tem início exatamente às 21h15min35s
Paulo José
e termina às 23h48min15s. Qual foi a duração desse espetáculo? 2 h 32 min 40 s
23h48min15s 2 21h15min35s
23h47min75s 2 21h15min35s
88. Paulo
foi dormir às 22h15min e, na manhã seguinte, acordou às 7h20min. Durante quanto tempo Paulo dormiu, já que ele não acordou durante a noite? 9h05min
89. Lúcia
foi assistir ao filme Central do Brasil, que tem duração de 112 minutos e começou a ser exibido às 18h30min. A que horas terminou o filme? 20h22min
93. Fiz uma viagem em duas etapas. Os tempos gas-
tos foram:
Etapa A: 6 h 43 min 39 s Etapa B: 5 h 24 min 35 s
Qual foi o tempo total da viagem? 12 h 08 min 14 s
Multiplicação e divisão de números naturais
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Seção livre Aprendendo coisas novas! A técnica russa
Fedor Sidorov/Dreamstime.com
Vamos conhecer uma técnica interessante para resolver a multiplicação? Essa técnica era usada por camponeses russos. É fácil aplicá-la, pois só envolve dobros, metades e somas. Vamos usá-la para efetuar 24 ? 16.
24 3 16 12 32 6 64 3 128 1 256
Área rural no norte da Rússia. Na primeira coluna, dividimos os números por 2 a partir do 24. Se sobrar resto, despreze-o, até terminar as divisões. Na segunda coluna, dobramos cada número a partir do 16. Em seguida, riscamos as linhas que têm número par na primeira coluna. Somamos os números que restaram na segunda coluna: 128 1 256 5 384 Esse é o produto procurado. Confira o resultado no caderno! Use essa técnica para calcular 32 ? 21 e confira se o resultado está novamente correto. 672 Por que será que dá certo? Qual é a explicação matemática para isso? Acompanhe. Quando multiplicamos 24 por 16, podemos imaginar 24 grupos com 16 objetos em cada um. O processo parte da seguinte ideia: Ter 24 grupos de 16 dá no mesmo que ter: 42 42
12 grupos de 32 6 grupos de 64 3 grupos de 128
32 32
Como agora devemos dividir 3 por 2 e 3 2 5 1 e sobra 1, fazemos: 1 grupo de 256, sem esquecer que sobrou um grupo de 128 da divisão acima. Daí, 24 ? 16 5 256 1 128 5 384. Junte-se a um colega e tentem explicar, com base na justificativa do processo, por que os camponeses somam apenas os números da segunda coluna correspondentes a números ímpares da primeira coluna. Pratiquem a técnica russa para efetuar: 48 ? 35 e 127 ? 204. 1 680; 25 908 Que tal ensinar a técnica para outras pessoas? Não se esqueçam de explicar por que ela funciona!
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reviSANDo 94. Quem sou? a)
97. Como você colocaria os pacotes na balança para ela ficar equilibrada? 16 1 8 1 7 1 5 1 4 5 40 b)
Se me multiplicar por 7, você obtém 84.
40 2 5 20 16 1 4 5 8 1 7 1 5
Se me dividir por 15, você obtém 6.
3 7 5 84
4 15 5 6
12
90
95. (Saresp) Joãozinho resolveu várias operações utilizando uma calculadora e encontrou os resultados mostrados na tabela abaixo: Números digitados resultado na calculadora
1a
838
162
1 000
2a
160
15
2 400
3a
3 600
2
1 800
4a
1 864
17
1 847
Pedro Sotto
No da operação
98. A média de idade de quatro pessoas que viajam num carro é 36 anos. Entrando uma criança de 6 anos, qual passa a ser a média da idade dos ocupantes do automóvel? 30 anos
As teclas que ele apertou para chegar a esses resultados foram: Alternativa d. 1
2
4
3
b)
1
4
2
3
c)
2
1
4
3
d)
1
3
4
2
Rolandm/Dreamstime.com
a)
DAE
96. (Cesgranrio-RJ) Você conhece o sistema de pontuação das multas de trânsito?
7
5
99. O gerente de uma empresa vai comprar macacões para seus funcionários. Veja a oferta que ele encontrou em uma loja:
4
3
pontos
pontos
pontos
pontos
Gravíssimas
Graves
Médias
Leves
Fonte: Petrobras. Disponível em: .
Durante o ano de 2008, João recebeu 2 multas graves, 3 multas médias e 1 multa leve. Quantos pontos foram acrescentados à carteira de motorista de João em 2008 se uma multa média foi cancelada? 21 pontos
PREÇO DE CADA MACACÃO: R$ 65,00 LEVE 4 E PAGUE 3 Se aproveitar a oferta, quanto pagará por 120 macacões? R$ 5.850,00 100.(SEE-RJ) Há 4 meses o salário de Mário vem sendo depositado num banco, e seu saldo atual é R$ 182,00. O talão de cheques mostra que nesse tempo ele fez retiradas no total de R$ 3.658,00 e um depósito de R$ 224,00. Qual é o valor do salário mensal depositado na conta de Mário? R$ 904,00
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
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DESAFIOs 1 01. Cláudia tem 3 pares de tênis e 4 pares de meias. De quantas maneiras diferentes ela pode calçar seus pés com um par de meias e um par de tênis? 12 maneiras, pois 3 ? 4 5 12
1 07. Eva tem 12 anos de idade. Sua mãe, Vilma, tem o triplo da idade de Eva. Que idade terá Vilma quando Eva tiver o dobro da idade que tem agora? 48 anos
102. U m
1 08. Uma lanchonete tem 18 mesas com 4 cadeiras cada uma. No sábado à noite apenas uma das mesas não estava com todos os ocupantes.
Ilustrações: Danillo Souza
ônibus tem 1 banco de 7 lugares e 26 bancos de 2 lugares. Viajam nesse ônibus 83 passageiros.
e resolva a expressão numérica que indica quantos passageiros estão em pé. 83 2 (26 ? 2 1 7) 5 24; 24 passageiros
103. A
jornada de trabalho em uma empresa é de 42 horas semanais. Em 2 dias da semana os funcionários trabalham 8 horas por dia. Qual é a carga horária diária nos outros 4 dias de trabalho? 6 horas e 30 minutos
1 04. (Uerj) O serviço bancário atende uma pessoa a cada três minutos. Às 15 horas, com 24 pessoas a serem atendidas, prevê-se que o atendimento será encerrado a que horas? 16h12min 1 05. (Cesgranrio-RJ) A distância entre duas árvores vizinhas é sempre a mesma. Se de A até F são 35 metros, qual a distância, em metros, de C a E? 14 m
A
B
C
D
E
F
Qual é o número mínimo de clientes que se encontravam na lanchonete? 69 clientes b ) Qual é o número máximo? 71 clientes a)
109. (Obmep) Ester vai a uma papelaria para comprar
cadernos e canetas. Nesta papelaria os cadernos custam R$ 6,00 cada um. Se ela comprar 3 cadernos, sobram R$ 4,00. Se o seu irmão lhe emprestar R$ 4,00, com o total ela conseguirá comprar 2 cadernos e outras 7 canetas iguais. a) Quanto custa cada caneta? R$ 2,00 b ) Se ela comprar 2 cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas das canetas acima Ester poderá comprar? 5 canetas Luiz Santos Jr/Laeti Images
Escreva
1 06. Pensei em um número, dividi por 2, adicionei 14, tirei 8 e ficou 25. Em que número pensei? 38, pois 25 1 8 5 33; 33 2 14 5 19 e 19 ? 2 5 38
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AUToAvAliAção
a) b) c) d)
resto 4 e divisor 5. resto 4 e divisor 3. resto 3 e divisor 5. resto 4 e divisor 19.
? ?
114. (Obmep) Qual é o resultado de 2 1 4 ? 8 2 4 2? Alternativa d.
111.Considere as seguintes expressões: I) 10 5 1 5 5 7 III) 6 ? 3 2 2 ? 5 5 8 II) 2 ? 1 ? 0 ? 3 5 6 IV) 48 16 1 8 4 5 5
19 4
Paulo José
110.O dobro de 1 003 e a metade de 10 030 são, respectivamente: Alternativa c. a) 2 006 e 515 c) 2 006 e 5 015 b) 2 060 e 5 150 d) 2 060 e 5 015
113.(OM-SP) Da igualdade: 19 5 3 ? 5 1 4 podemos obter uma divisão de: Alternativa a.
a) 9
b) 12
c) 22
d) 32
2 48 4:2?
e) 46 Zubartez
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
Podemos afirmar que: Alternativa d. a) todas estão certas. b) todas estão erradas. c) somente a primeira está errada. d) somente a segunda está errada. 115.(Obmep) Uma professora de Matemática escreveu uma expressão no quadro-negro e precisou sair da sala antes de resolvê-la com os alunos. Na ausência da professora, Carlos, muito brincalhão, foi ao quadro-negro e trocou todos os algarismos 3 por 5, os 5 por 3, o sinal de 1 pelo de 3 e o de 3 pelo de 1, e a expressão passou a ser (13 5) 3 (53 1 2) 2 25.
(13 : 5) (53 2) 25 ?
Zubartez
Ilustra Cartoon
112.Qual das expressões numéricas não indica a quantidade de fotos no quadro? Alternativa b.
Qual é o resultado da expressão que a professora escreveu? Alternativa d. (15 3) 1 (35 3 2) 2 23 5 52
a) 22
b) 32
c) 42
d) 52
e) 62
116.(Obmep) Na adição abaixo, o símbolo ♣ representa um mesmo algarismo. Qual é o valor de ♣ ? ♣ 1 ♣ ? Alternativa b
a) 3 ? 8 1 4 b) 3 ? 8 1 2 ? 5
c) 3 ? 6 1 2 ? 5 d) 5 ? 8 2 6 ? 2
3 3 3 1 3 5 12
4 ♣ 7 18 9 5 1♣♣2
a) 6
c) 20
b) 12
d) 30
e) 42
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Autoavaliação
d ) 41 e) 42
124. (Prominp) Cada vez que uma máquina residencial de lavar roupas é utilizada, são gastos 150 litros de água. Na casa de Maria, a máquina é utilizada cinco vezes a cada 15 dias. Quantos litros de água são gastos em um mês? Alternativa b.
Alternativa c.
a) 38 b) 39 c) 40
118. Hoje, o pai de Douglas tem o dobro de sua idade. Daqui a 6 anos, Douglas terá 30 anos. O pai de Douglas tem hoje: Alternativa c. a ) 44 anos. c) 48 anos. b) 46 anos. d ) 60 anos. 119. Uma diretora deseja formar turmas de 38 alunos. Como existem 450 alunos matriculados, uma delas ficará incompleta. Para completar essa turma, ela deverá matricular: Alternativa a. a ) 6 alunos. c) 12 alunos. 450 38 32 11 b) 11 alunos. d) 32 alunos.
a ) 750
c) 2 500
b) 1 500
d) 7 500 Tale/Dreamstime.com
1 23. (Vunesp) A cozinheira precisa fazer 1 000 bombas de chocolate. Já estão prontas 22 assadeiras com 42 bombas em cada uma. Ela ainda deverá fazer: Alternativa a. a ) 76 bombas. c) 102 bombas. b) 84 bombas. d) 116 bombas.
Zubartez
1 17. (Obmep) O pé do Maurício tem 26 centímetros de comprimento. Para saber o número de seu sapato, ele multiplicou essa medida por 5, somou 28 e dividiu tudo por 4, arredondando o resultado para cima. Qual é o número do sapato de Maurício?
Pense nisso! Use a máquina de lavar sempre na capacidade máxima, dessa forma você economizará água e energia.
Faltam 6 alunos para completar a turma.
a ) 12
b) 16
c) 24
d) 30
121. (UMC-SP)
Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá: Alternativa a. a ) 70 litros. c) 75 litros. 600 50 5 12 b) 68 litros. 840 12 5 70 d) 80 litros.
122. (Ipad-PE) No grupo de trabalho de Cristina, Maria tem dois anos a menos que ela, e Paulo tem cinco anos a mais que Cristina. A média da idade desse grupo é de 26 anos. Qual é a idade de cada um do grupo? Alternativa b. a ) Cristina 30, Maria 25, Paulo 23. b) Cristina 25, Maria 23, Paulo 30. c) Cristina 23, Maria 30, Paulo 25. d) Cristina 25, Maria 23, Paulo 25.
Alexeyboldin/Dreamstime.com
a) 1 080 celulares b) 1 820 celulares c) 2 640 celulares d) 2 880 celulares Alternativa d. 26. (Vunesp) Uma pessoa comprou 5 envelopes 1 grandes, para colocar o mesmo número de folhas dentro de cada um deles. Como 2 envelopes foram rasgados e não puderam ser utilizados, essa pessoa precisou colocar 16 folhas a mais em cada um dos envelopes restantes. O número total de folhas que deveriam ser colocadas nos envelopes era: Alternativa c.
a) 80
b) 100
16 3 3 5 48 48 2 5 24 24 3 5 5 120
An tun es
B
son
A
125. (Ipad-PE) A cada cinco segundos, quatro celulares são vendidos no Brasil. Nesse ritmo, quantos celulares são vendidos por hora no país?
Ed
120. (Ufla-MG) Caminhando sempre no sentido da direita, o número de caminhos possíveis entre A e B é: Alternativa c. 4 ? 2 ? 3 5 24
c) 120 d ) 160
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5 UNIDADE
Potenciação e raiz quadrada de números naturais 1. Potenciação Vamos calcular quantas chaves estão guardadas no armário a seguir? Observe: ◆
o armário tem cinco gavetas;
◆
em cada gaveta há cinco caixas;
◆
em cada caixa há cinco chaveiros;
◆
cada chaveiro tem cinco chaves.
e Za
iba
Para responder a essa pergunta devemos efetuar uma multiplicação de fatores iguais: Jorg
5 ? 5 ? 5 ? 5 5 625 4 fatores iguais a 5 Estão guardadas no armário 625 chaves.
Uma multiplicação de fatores iguais chama-se potenciação e pode ser escrita de forma simplificada. Veja: número de fatores 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 54
(Lemos: cinco elevado à quarta potência.)
fator que se repete potência Em 54 5 625, temos que: ◆
5 é a base;
◆
4 é o expoente;
◆
625 é o valor da potência.
PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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EXERCÍCIOS 1. Escreva na forma de potência.
6. Qual é o maior:
d) 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 75 e) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 27 f) 13 ? 13 ? 13 ? 13 134
a) 6 ? 6 ? 6 63 b) 9 ? 9 92 c) 5 ? 5 ? 5 ? 5 54
2. Indique na forma de produto e calcule.
c) 52 ou 25? 25 d) 04 ou 019? São iguais.
7. Digitaram numa calculadora: 5
d) 19 19 ? 19 5 361 e) 203 20 ? 20 ? 20 5 8 000 f) 104
a) 7 7 ? 7 5 49 b) 25 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32 c) 53 5 ? 5 ? 5 5 125
3
5
3
5
3
5
3
10 ? 10 ? 10 ? 10 5 10 000
Potência
Base
Expoente
302
30
2
82
8
2
43; 3
4
3
5
5
Valor da potência 900
243
3
64
64 3
7;7
343
0
09 10
104; 4
10 000
a) Que potência foi calculada? 57 b) Quanto é 58? E 56? 390 625; 15 625 8. (SEE-RJ) As bandejas para expor os doces ou salgados da padaria são numeradas de acordo com o tamanho: 1
2
3
4
225
152
118
1
18 1
4. O que você pode dizer a respeito de: a) uma potência cuja base é 0? É sempre zero. b) uma potência cuja base é 1? É sempre igual a 1. 5. Em geral, o valor de uma potência é alterado se trocarmos a base pelo expoente. Veja um exemplo:
Seguindo esse modelo, quantos doces cabem na bandeja de número 8? 64 doces 9. Todos os livros de uma sala de aula estão em 8 estantes. Cada estante tem 8 prateleiras, cada prateleira tem 8 livros. Quantos livros há na sala de aula? 512 livros Ilustrações: Jorge Zaiba
15; 2
5
5
3
0; 9
3
No visor apareceu o resultado:
3. Copie e complete o quadro.
3; 5
5
2
Edson Antunes
2
a) 32 ou 23? 32 b) 72 ou 27? 27
52 5 5 ? 5 5 25 25 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32 No entanto, há um caso em que a base é diferente do expoente e isso não acontece. Descubra qual é. 24 e 42
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PRATICANDO MATEMÁTICA
12a PROVA
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2. Quadrados, cubos e potências As potências com expoente 2 e com expoente 3 recebem nomes especiais. O expoente 2 é chamado de quadrado. Então: ◆ 72 será lido como sete ao quadrado ou o quadrado de sete; 132 será lido como treze ao quadrado ou o quadrado de treze, e assim por diante. Quer saber de onde vem esse nome? Observe a sequência formada por quadrados:
◆
12 5 1 ? 1 5 1
22 5 2 ? 2 5 4
32 5 3 ? 3 5 9
42 5 4 ? 4 5 16
troque ideias com os colegas e respondam no caderno às questões a seguir: 1. Quantos quadradinhos terá o próximo quadrado da sequência? 25 2. ana tentou formar um quadrado com 15 quadradinhos, e não conseguiu. Vocês sabem explicar por quê? É possível formar um quadrado com 10 quadradinhos? E com 81? 15 não é quadrado de um número natural. 2
Não, porque 10 não é quadrado de um número natural. Já com 81 é possível, pois 9 5 81.
3. Quantos quadradinhos formarão o quadrado cujo lado mede n unidades? n2
4. o quadrado de um número natural será sempre maior que o próprio número? 5. o quadrado de um número ímpar é par ou ímpar? Ímpar.
Somente para 0 e 1 isso não acontece. Para os demais é verdadeiro.
Então? Percebeu por que o expoente 2 se chama quadrado? Quando elevamos os números 1, 2, 3, 4, 5, ... ao quadrado, obtemos a sequência dos números quadrados: 22 32 42 52 12
DAE
1, 4, 9, 16, 25, … E o expoente 3? Veja abaixo outra sequência: ela é formada por cubos.
23 5 2 ? 2 ? 2 5 8
33 5 3 ? 3 ? 3 5 27
O expoente 3 recebe o nome de cubo. Assim: ◆ 53 lê-se cinco elevado ao cubo ou o cubo de cinco; ◆ 83 lê-se oito elevado ao cubo ou o cubo de oito.
43 5 4 ? 4 ? 4 5 64
Quantos cubinhos terá o próximo cubo dessa sequência? Escreva no caderno esse número na forma de potência. 53 5 125
PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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3. O expoente 0 e o expoente 1 Vimos que, na potenciação, o expoente indica o número de fatores iguais da multiplicação. Por isso, é estranho pensar em: ◆ expoente 1 só um fator na multiplicação? ◆
expoente 0
nenhum fator na multiplicação?
No entanto, para que outros fatos ligados à potenciação funcionassem bem, os matemáticos precisavam determinar o que aconteceria quando esses números aparecessem no expoente. Eles observaram padrões que ocorriam nas potências: ◆ 25 5 32 2 ◆
24 5 16
◆
23 5 8
◆
22 5 4
Quando o expoente diminui uma unidade, a potência é dividida pela base.
2 2
Para manter o padrão, deveriam ter: ◆ 21 5 2 2 ◆
20 5 1
Como isso também ocorria em outras bases, ficou resolvido que: ◆ se a é um número, a1 5 a. se a é um número diferente de zero, a0 5 1.
Então: ◆ 61 5 6
80 5 1
◆
◆
151 5 15
◆
430 5 1
robert_s/Shutterstock
◆
Sendo a base diferente de zero, eliminamos mais uma situação complicada: 00 5 ? Para nós, essa expressão não terá significado.
A calculadora e as potenciações Podemos efetuar potências em uma calculadora comum. Quer ver como é fácil? Digite 5 e a tecla 3 e a seguir a tecla 5 . aparece 25, que é 52. Digite 5
novamente.
aparece 125, que é 53. Digite 5
pela terceira vez para obter 625, que é 54.
Entendeu? Para calcular 27, por exemplo, digitamos: 2 3
5
5
5
5
5
5
e
obtemos 128. Vamos explorar os recursos da calculadora? Experimente formas de obter 220 usando o mínimo de teclas possíveis. registre suas tentativas no caderno. Respostas pessoais. Professor, incentive a troca de ideias entre os alunos.
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PRATICANDO MATEMÁTICA
12a PROVA
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Exercícios
Produto 52
Potência
cinco ao quadrado; sete ao cubo
1 4. Quantos cubinhos tem cada um dos cubos desta sequência? DAE
1 0. Copie e complete o quadro.
Leitura da potência
5?5
73
7?7?7
Escreva esses números na forma de potência.
18 ? 18; 182
1 5 13 ; 8 5 23 ; 27 5 33 ; 64 5 43 ; 125 5 53
dezoito ao quadrado
15. Calcule: 64
6?6?6?6
a) o dobro do número 10; 20 b) o quadrado do número 10; 100 c) o triplo do número 10; 30 d) o cubo do número 10. 1 000
26
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 8?8?8?8?8 85
oito à quinta seis à quarta; dois à sexta
1 1. Calcule o valor das potências. c) 93 729 d) 132 169
a) 82 64 b) 63 216
1 6. Calcule o valor das potências. a)
e) 113 1 331 f) 502 2 500
2. Calcule: 1
a) o quadrado de 15; 225 b) o quadrado de 28; 784 c) o cubo de 8; 512 d) a quinta potência de 3. 243
b)
c)
34
81
44 256
54
625
33
27
43 64
53
125
32
9
42 16
52
25
31
3
41 4
51
5
30
1
40 1
50
1
Nas sequências acima, quando o expoente da potenciação diminui uma unidade, o que acontece com o resultado da potenciação?
DAE
1 3. Veja as figuras da sequência:
A potência fica dividida pela base da potenciação.
17. Dê
o valor das potências. c) 720 1 d) 721 72
a) 61 6 b) 100 1
e) 1050 1 f) 1051 105
18. Responda.
a) Qual é maior: 2000 ou 0200? 2000 b) Qual é maior: 1501 ou 1150? 1501 c) Qual é menor: 6000 ou 0600? 0600
a) Desenhe as duas figuras seguintes da sequência. Quadrado de lado 5 quadradinhos (total 25 quadradinhos) e quadrado de lado 6 quadradinhos (total 36 quadradinhos).
b) Escreva o número de quadradinhos de cada figura usando a forma de potência. 12, 22, 32, 42, 52, 62 c) Construa um quadrado que tenha entre 80 e 90 quadradinhos. Quadrado de lado 9 quadradinhos (total 81 quadradinhos).
d) Lê-se 3 , habitualmente três ao quadrado. Por que será? A quantidade de quadradinhos no 2
19. Sabendo que 75 5 16 807, faça uma só conta e calcule:
a) 76 117 649
b) 74 2 401 Confira na calculadora!
quadrado 3 3 3 é igual a 3
2
Potenciação e raiz quadrada de números naturais
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Praticando Matemática
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4. Raiz quadrada Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta em 9? Acertou quem respondeu 3, pois 32 5 9. ◆ Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta em 25? Acertou quem respondeu 5, pois 52 5 25. Sabe do que mais? Você acabou de achar a raiz quadrada de 9 e a raiz quadrada de 25. Fácil, não?
A raiz quadrada de 9 é 3, pois 32 5 9. Na Matemática, escrevemos 9 5 3. ◆ A raiz quadrada de 25 é 5, pois 52 5 25. Escrevemos 25 5 5. ◆
O símbolo
recebe o nome de radical.
Estúdio Ornitorrinco
Radical!!! Para encontrar 49 basta procurar o número natural que elevado ao quadrado dá 49. Já sei: 49 5 7, pois 72 5 49.
Danillo Souza
◆
√9 5 3
√25 5 5
Atenção a raiz quadrada de muitos números naturais não é um número natural. Por exemplo, não existe número natural que elevado ao quadrado resulte em 12. acompanhe: 32 é 9 e 2 4 já é 16. Então, √12 não é um número natural. 1. Encontre exemplos de outros números cuja raiz quadrada não seja um número respostas natural. Algumas possíveis: 10, 18 e 27. 2. Escreva no caderno os números naturais de 0 até 100 cuja raiz quadrada é um número natural. 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100
Muitas calculadoras possuem a tecla
. Para encontrar 49 , digite 49 e aperte a tecla
. No visor
aparecerá o número 7. As potenciações e as raízes quadradas aparecem nas expressões numéricas. Veja exemplos de como efetuá-las: ◆
5 ? 23 100 1 36 40 5
◆
(4 ? 5 2 3 ? 6)5 ( 81 2 14) 5
5 5 ? 8 10 1 6 1 5
5 (20 2 18)5 (9 2 1) 5
5 40 10 1 6 1 5
5 25 8 5
5 4 1 6 5 10
5 32 8 5 4
Primeiro efetuamos as potenciações e as raízes quadradas. Depois, seguimos a ordem já conhecida para as outras operações. Se a expressão tiver parênteses, eles devem ser resolvidos em primeiro lugar.
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PRATICANDO MATEMÁTICA
12a PROVA
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EXERCÍCIOS 20. Descubra o número natural que:
26. Obtenha a resposta mentalmente:
a) elevado ao quadrado resulta 25; 5
45
b) elevado ao quadrado resulta 49; 7 c) elevado ao quadrado resulta 100; 10
elevado ao quadrado
dividido por 9
d) elevado ao quadrado resulta 121. 11
extraída a raiz quadrada
somado com 11
21. Por que a raiz quadrada de 1 600 é 40? Porque 402 5 1 600.
22. Calcule. a)
9
3
d)
81
b)
4
2
e)
0
0
c)
64
f)
1
1
8
6
9
27. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 81 e a raiz quadrada de 49. 2 28. Complete o quadro com raízes quadradas de modo a obter um “quadrado mágico”.
23. Copie e faça do mesmo modo. Paulo José
1
81
49
e) 20 5
400
b) 12 5
144
f ) 25 5
625
c) 13 5
169
g) 30 5
900
d) 15 5
225
h) 50 5
2 500
4
9 16
29. O chão de uma cozinha de forma quadrada está coberto com 144 ladrilhos quadrados. Quantos ladrilhos há em cada lado do chão? 12 ladrilhos Estúdio Ornitorrinco
a) 7 5
25
49
10 5 √100
64
36
24. Um dos seguintes números: 17, 18, 19 ou 20 30. Calcule.
representa o valor de 324 . Qual é esse número? 18 25. Calcule. a)
36 1 64
b)
36 1 64
10 14
c)
4 ? 25
d)
4 ? 25
10 10
a) b) c) d) e) f)
22 1 81 9 5 23 1 100 5 2 32 1 2 ? ( 1 ? 5 2 16 ) 2 82 (6 ? 2 2 100 ) 32 12 ? [92 2 ( 64 1 7 ? 10)] 36 23 4 1 3 ? [ 25 2 (3 2 2)] 2 7 7
PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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revisando 3 5. Qual número falta em cada sequência?
31. Qual é o valor da potência? a) A base é 2 e o expoente é 7. 128 b) A base é 1 e o expoente é 5. 1 c) A base é 6 e o expoente é 3. 216
a)
b)
2. Copie e complete o quadro. 3
Número
Quadrado
1
9
8
16
25
36
49
27
64
125
216
64
343
36. Sabendo que 25 5 32 e 33 5 27, calcule mentalmente:
Cubo
1
1
2
a) 26 64 b) 27 128
4; 8
16
4; 64
5
37. Qual
25; 125
27
é maior?
a) 62 ou 26? 26 b) 42 ou 24? São iguais.
3; 9
100
10; 1 000
400
20; 8 000
c) 34 81 d) 35 243
c) 9 ou 16 ? √ 16 d) 8 ou 3? 3
8. Rodrigo pensou em um número e determinou 3 a sua raiz quadrada. O resultado foi 25. Em que número ele pensou? 252 625
33. Escreva as potências em ordem crescente. 110
25
43
52
32
020
92
23
72
102
33
62
3 9. Numa chácara há 7 mangueiras. Com as mangas de cada uma, encheram-se 7 caixas com 7 kg cada. Qual é o número de quilogramas de mangas colhidas? 73; 343 quilogramas
020; 110; 23; 32; 52; 33; 25; 62; 72; 43; 92; 102
34. Calcule.
Edson Antunes
a) 101 10 b) 102 100 c) 103 1 000 d) 104 10 000 e) 105 100 000 f) 106 1 000 000
Nas potências de 10, o expoente nos indica quantos zeros tem o número.
4 0. Considere a expressão 2 1 32 ? 5 2 1. Danillo Souza
O que você pode concluir sobre as potências de base 10?
a) Mostre que ela representa o número 46. 2 1 45 2 1 5 46 b) Será possível modificar essa expressão colocando parênteses, de2 modo que represente Ficaria 2 1 3 ? (5 2 1). 38? E 54? Sim. Sim. Ficaria (2 1 32) ? 5 2 1.
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Praticando Matemática
12a prova
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DESAFIOS DESAFIO 41. Um professor de Educação Física precisa separar 64 alunos em filas. O número de filas deve ser igual ao número de alunos em cada fila. Qual deve ser o número de filas? 8 filas
45. (CPII-RJ) Você sabe o que é e-mail? É uma mensagem enviada ou recebida através do computador.
Reinaldo Rosa
Flávio recebeu por e-mail um desenho engraçado de um monstrinho. Ele abriu o arquivo e, dez segundos depois, viu que, em vez de um, havia dois monstrinhos na tela do computador; tinha aparecido um outro igualzinho ao primeiro. Foi assim que Flávio descobriu que havia um vírus no arquivo recebido. Esse vírus fazia a quantidade de monstrinhos duplicar a cada dez segundos.
42. Calcule o valor das expressões. a) 72 2 10 1 (23 2 5) 42
Leonardo Conceição
b) 25 2 (16 2 1 32) 15 c) [100 2 (52 2 32)] 2 42 d) 7 1 [52 (10 2 5) 1 23 ? 2] 28 e) 50 2 2 ? [8 1 (10 2 32) 2 3] 38 f) 2 ? [(6 1 7 ?
9 ) 32 1 (21 2 5 ?
4 )] 28
43. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 81 e a raiz quadrada de 16. 5
Leonardo Conceição
44. Um garoto colocou na primeira gaveta uma bolinha de gude e, em cada gaveta seguinte, o dobro do número de bolinhas da gaveta anterior.
Responda às perguntas a seguir, mostrando como você fez. a) Quantas figuras do monstrinho vão aparecer na tela depois de 50 segundos? 25 5 32; 32 figuras b) sabendo que a tela ficou completamente cheia de monstrinhos em um minuto e meio, quanto tempo foi necessário para encher a Quantas bolinhas colocou na 9 gaveta? 28 5 256 a
metade da tela? 1 minuto e 20 segundos
PotEnCiação E raiz QuaDraDa DE númEros naturais
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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SEÇÃO LIVRE Expressões numéricas - resoluções com uso da calculadora M1
,
problemas guardando resultados na memória da calculadora e resgatando-os no momento necessário
e
M2
(
MRC
M1
da calculadora. Você resolveu
e
M2
)
robert_s/Shutterstock
Na página 44, mostramos como são úteis as teclas
( MRC ). Faremos parecido para re-
solver algumas expressões numéricas. Vamos resolver dois exemplos passo a passo? Junte-se a um colega, peguem a calculadora e acompanhem! 1) √ 81 1 23 ? 6 5 . Aparece 9 no visor.
Digitamos 81 e a tecla
Como a multiplicação deve ser feita antes da adição, guardamos o 9 na
Digitamos agora 2 E aí,
6
Teclamos
M1
MRC
M1
.
para calcular 23.
Há calculadoras em que a tecla MRC é substituída pelas teclas MR (resgata a memória) e MC (apaga a memória).
para guardar na memória 23 ? 6 5 48. e aparece o resultado final da expressão: 57.
Agora vamos puxar os resultados da memória usando a tecla MRC!
Para resolver uma nova expressão, precisamos limpar a memória da calculadora. Teclamos novamente
MRC
e em seguida
AC
.
2) 152 2 8 ? √ 100 1 200 8 5 Fazemos inicialmente 15
e guardamos o resultado (225) teclando
Efetuamos a multiplicação 8 ? √ 100 digitando 8
100
esse resultado (80) na memória para subtrair, teclando
M2
M1
.
e guardamos Leonardo Conceição
memória para ser somado depois, apertando a tecla
.
Finalmente digitamos 200 8 e teclamos M1 para somar esse resultado (25) aos demais. Resgatamos tudo digitando MRC , e aparece no visor 170, que é o resultado final da expressão.
1. resolvam vocês, registrando, no caderno, as teclas usadas. Confiram os resultados com as demais duplas! a) 24 1 125 5 2 49 34 b) ( 81 1 36 2 22) 121 1 2. Para resolver a expressão 100 16 25 será preciso usar as teclas da memória? E para resolver 240 1 60 20? Expliquem as respostas, troquem ideias com os colegas! Não, pois as operações já estão na ordem em que devem ser efetuadas. Sim, pois precisamos efetuar primeiro a divisão e guardar o resultado na memória.
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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AUTOAVALIAÇÃO
46. O dobro de 8 e o quadrado de 8 são, respectivamente: Alternativa b a) 16 e 16 c) 64 e 16 b) 16 e 64 d) 64 e 64 47. Os resultados de 152 , 172 e 303 são, respectivamente: Alternativa d. a) 225, 289 e 900 c) 225, 289 e 2 700 b) 225, 189 e 900 d) 225, 289 e 27 000 48. (Obmep) Qual das expressões abaixo tem como resultado um número ímpar? Alternativa c.
53. Observe o tabuleiro de xadrez.
tto So dro Pe
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
A quantidade de casas brancas do tabuleiro pode ser indicada por: Alternativa b. a) 24
b) 25
c) 26
d) 28
54. Heitor dos Prazeres, carioca nascido no morro, foi compositor de sambas e marchinhas, cantadas até hoje nos bailes de Carnaval, mas foi também pintor de quadros de renome internacional.
Leonardo Conceição
Foto Arquivo/Agência O Globo
Par ou ímpar?
a) 52 1 32 b) 7 ? 5 ? 11 ? 13 ? 2 c) 3 ? 5 1 7 ? 9 1 11 ? 13 d) 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 49. Qual dos números é o maior? Alternativa d. a) 222
b) 2 ? 2 ? 2
c) 222
d) 222
50. (Saresp) O Teatro Martins Pena tem 243 poltronas. O número de poltronas do teatro equivale a: Alternativa b.
a) 34
b) 35
c) 36
d) 37
51. A metade de 2 bilhões de reais corresponde a: Alternativa c.
a) 107 reais. b) 108 reais.
c) 109 reais. d) 1010 reais.
2 ? 24 1 3 ? 13 2 6 5 51
b) 62
c) 75
O valor da expressão 2 ? 103 2 (102 1 4 ) fornece o ano do seu nascimento, que é: Alternativa a. a) 1898
52. Quanto é o dobro de 24 mais o triplo de 13 menos o quadrado de2 6? Alternativa a. a) 51
Os bailes de Carnaval foram inspiração para muitas obras de Heitor dos Prazeres.
d) 123
b) 1900
c) 1896
d) 1902
55. O dobro do quadrado de sete é igual a: Alternativa c. a) 14 b) 28
c) 98 d) 196
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PRATICANDO MATEMÁTICA
5/13/15 3:17 PM 12a PROVA
AUTOAVALIAÇÃO 56. A raiz quadrada da metade de 200 é: Alternativa a. b) 20
c) 50
d) 100
57. Se 2 1 n 5 5, então n é igual a: Alternativa c. a) 3 b) 6
c) x < y d) x 5 2y
62. Qual das expressões numéricas indica a quan-
c) 9 d) 23
tidade de
58. Matilde deixou cair no seu caderno, manchando um algarismo em uma expressão que lá estava escrita. A expressão ficou assim: 52 1 8 16 2
Alternativa b.
a) x 5 y b) x > y
3950
da figura? Alternativa a. DAE
a) 10
61. Se x 5 100 e y 5 4 1 9 2 1 , então:
a) b) c) d)
62 2 22 2 1 62 2 22 1 1 52 2 4 2 1 6?52421
Qual foi o algarismo manchado? Alternativa b. b) 3
c) 4
d) 6
63. (CAP-Uerj) O resultado da expressão 13 ? (14 2 4 ? 3) (72 12 2 22) é: Alternativa b.
59. Calcule: I 2 a soma da raiz quadrada de 16 com o quadrado de 16. 16 1 162 5 260
0
II 2 a diferença entre o quadrado de 7 e a raiz quadrada de 49. 72 2 49 5 42 III 2 o produto da metade de oito pelo quadrado de três. 8 2 ? 32 5 36 Organizando os valores obtidos em ordem crescente, tem-se: Alternativa b. a) i, ii, iii b) iii, ii, i
c) ii, i, iii d) i, iii, ii
60. Cada quadradinho da figura deve ser preenchido com um sinal de adição (1) ou de multiplicação (3). 2 ? 3 1 0 1 8 ? 9 1 1 5 79
a) 0 b) 1
64. (Vunesp) Seguindo o mesmo padrão de construção do prédio abaixo, foi construído um outro com 8 blocos, também numerados de cima para baixo como o da figura, na qual cada quadradinho representa uma janela. Nesse novo prédio, o número de janelas do 8o bloco (o mais próximo do chão) é: Alternativa c. a) b) c) d)
3
√0
b) 79
2o bloco
3o bloco
8o bloco: 82 5 64
8
9
√1
Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadradinhos? Alternativa b. a) 78
1o bloco
32 48 64 128
c) 80
DAE
Paulo José
2
c) 2 d) 3
65. Um gato come 5 ratos por dia. Quantos ratos 5 gatos comem em 5 dias? Alternativa c. a) b) c) d)
Ilustra Cartoon
a) 2
15 25 125 625
53 5 125
d) 81
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6 UNIDADE
Múltiplos e divisores 1. Sequência dos múltiplos de um número Paulo nasceu em 2006. No ano 2066 ele completará 60 anos.
Ilustra Cartoon
Ele esteve imaginando: ◆◆
O que estará acontecendo nesse ano?
◆◆
Haverá eleições para presidente do Brasil?
◆◆
Haverá Olimpíadas?
Vamos usar a Matemática para ajudar Paulo a encontrar as respostas para essas questões. Antes, acompanhe: 0, 7, 14, 21, 28, ... é a sequência dos múltiplos naturais de 7
Ela é obtida multiplicando-se os números naturais por 7. A sequência dos múltiplos de 7 começa com o zero!!
Sim, mas muitas sequências “vão de 7 em 7” e não formam a sequência dos múltiplos naturais de 7. Veja: • 3, 10, 17, 24, 31, ... • 12, 19, 26, 33, ... etc.
Estúdio Ornitorrinco
A sequência dos múltiplos de 7 “vai de 7 em 7”!
0?750 1?757 2 ? 7 5 14 3 ? 7 5 21 4 ? 7 5 28
A sequência dos múltiplos naturais de 7 é infinita. Por praticidade, nesta unidade usaremos em várias oportunidades a denominação “sequência de múltiplos” para indicar a sequência dos múltiplos naturais de um número natural. MÚLTIPLOS E DIVISORES
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Como saber se um número é múltiplo de outro? Veja o exemplo: Para saber se 805 é múltiplo de 7, basta verificar se existe um número natural que multiplicado por 7 dê 805. 7 115
Descobrimos que 115 ? 7 5 805. Então 805 é múltiplo de 7.
Da mesma forma, podemos verificar que 1 035 não é múltiplo de 7, pois 1 035 7 não é uma divisão exata. 1035 7 33 147 55 resto 6
Não há número natural que multiplicado por 7 resulte em 1 035.
Reinaldo Rosa
805 10 35 0
Você deve estar pensando: “Dizer que 805 é múltiplo de 7 é o mesmo que dizer que 805 é divisível por 7?” É isso mesmo! As sentenças “805 é múltiplo de 7” e “805 é divisível por 7” são equivalentes.
Observe que se o resto é 6, basta subtrair 6 do dividendo para que a divisão fique exata. Então, 1 029 (que é o resultado de 1 035 6) é múltiplo de 7. E se 1 029 é múltiplo de 7, então 1 029 7, que resulta em 1 036, é múltiplo de 7. E assim por diante. Mas vamos voltar ao Paulo. Atualmente, as eleições para presidente do Brasil acontecem de 4 em 4 anos. No entanto, os anos em que acontecem as eleições não são múltiplos de 4. Veja: Houve eleições para presidente em 2014. As próximas serão em 2018. 2014 014 2
4 503
2018 018 2
4 504
Os anos de eleição deixam resto 2 quando divididos por 4.
Estúdio Ornitorrinco
◆◆
A sequência “ vai de 4 em 4”, mas os anos não são múltiplos de 4.
Para saber se em 2066 haverá eleições para presidente, faremos: 2066 06 26 2
4 516 resto
Sim! Se a legislação não mudar, em 2066 haverá eleições para presidente no Brasil.
Agora é com você! Ajude Paulo a descobrir se em 2066 teremos Jogos Olímpicos. Em 2066 não teremos Jogos Olímpicos.
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2. Fatores ou divisores de um número natural Dizer 24 é múltiplo de 4 é o mesmo que dizer 4 é divisor de 24, ou ainda que 4 é fator de 24.
Por que fator? Vamos escrever 24 como produto de dois números naturais. Temos as seguintes possibilidades: 24 5 1 ? 24 24 5 2 ? 12 24 5 3 ? 8 O 1 é divisor 24 5 4 ? 6 4 é um dos fatores dessa multiplicação de todos os números Observe que 24 tem 8 fatores ou divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
naturais, e tem um único divisor, que é ele mesmo.
Veja outros exemplos: ◆◆ Divisores ou fatores de 15: 1, 3, 5, 15 15 5 1 ? 15 15 5 3 ? 5
◆◆
Divisores ou fatores de 33: 1, 3, 11, 33 33 5 1 ? 33 33 5 3 ? 11 Divisores ou fatores de 17: 1, 17 17 5 1 ? 17
Danillo Souza
◆◆
1. Observe: 0 150
0 250
0 350
Quais são os divisores de zero? Todos os números naturais com exceção do zero. 2. Escreva no caderno os divisores ou fatores de 25, 32 e 13. De 25: 1, 5, 25; de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32; e de 13: 1, 13.
3. É verdade que quanto maior o número mais divisores ele tem? Não. Por exemplo, 23 12, mas 23 tem dois divisores, e 12 tem seis divisores.
4. Que números entre 10 e 40 deixam resto 2 quando divididos por 5? 12, 17, 22, 27, 32 e 37
5. O zero é múltiplo de zero? Sim, é o único múltiplo de zero. 6. Os múltiplos de um número ímpar são todos ímpares? Não. O produto de um número par por um ímpar resulta em um número par. Exemplo: 18 é múltiplo de 3, que é ímpar. 7. Quais números de dois algarismos são múltiplos de 30? 30, 60 e 90 8. Podemos escrever todos os múltiplos de um número diferente de zero? Não, a sequência dos múltiplos desses números é infinita.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
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EXERCÍCIOS 5. O Campeonato Mundial de Futebol acontece a cada 4 anos. A primeira Copa do Mundo de futebol foi realizada em 1930, no Uruguai, e a mais recente em 2014, no Brasil. a) Copie e complete o quadro indicando os anos em que aconteceram as últimas cinco Copas do Mundo antes de 2014.
a) a sequência dos múltiplos de 6; 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... b) a sequência dos múltiplos de 11; 0, 11, 22, 33, 44, ... c) a sequência dos múltiplos de 1; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... d) a sequência dos múltiplos de 0. 0 2. Determine:
Ano
a) os múltiplos de 3 menores que 10; 0, 3, 6 e 9
País
b) os múltiplos de 7 maiores que 40; 42, 49, 56, 63, ...
1994
Estados Unidos
c) os múltiplos de 5 maiores que 10 e menores que 40; 15, 20, 25, 30 e 35
1998
França
2002
Japão-Coreia
2006
Alemanha
2010
África do Sul
d) os múltiplos de 7 compreendidos entre 20 e 30. 21 e 28
3. Os números que se seguem são múltiplos de que número?
2014
a)
12
26
20
40
2
b)
10
80
35
25
5
Andreykuzmin/Dreamstime.com
1. Escreva:
Brasil
b) Divida por 4 cada um dos números da tabela acima. Essas divisões são exatas? Não. c) O que há em comum nessas divisões? O resto é igual a 2. d) Está prevista uma Copa do Mundo para o ano 2022? Por quê? Sim. Porque a divisão de 2022 por 4 tem resto 2.
6. Paulo, Leo e Rui estão contando de 3 em 3. 174 3 5 58
21
49
14
28
7
d)
18
30
21
12
3
3
6 Ilustrações: Zubartez
c)
A divisão 58 por 3 tem como resto 1.
4. Responda usando apenas estes números: Paulo
a) b) c) d)
35
6
12
14
17
8
Qual é divisor de 32? 8 5 é divisor de qual número? 35 7 é divisor de dois números. Quais são? 14 e 35 Quais são os dois divisores de 12? 6 e 12
Leo
12
9
Rui
Paulo
Quem dirá 174? Paulo.
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3. Critérios de divisibilidade – economizando cálculos Divisibilidade por 2, 5 e 10 Sebastian Czapnik/Dreamstime.com
Uma indústria de materiais plásticos produziu 1 359 478 bolinhas coloridas e pretende dividir igualmente essa quantidade entre duas filiais, para que elas vendam o produto. Mas será que o número 1 359 478 é divisível por 2? Para saber, não precisamos efetuar a divisão. É só olhar para o algarismo das unidades do número. Os múltiplos de 2 são 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ..., ou seja, são os números pares. Como 1 359 478 termina em 8, ele é um número par. Daí, é divisível por 2, e a indústria poderá dividir a quantidade de bolinhas entre suas duas filiais.
Todo número par é divisível por 2.
O algarismo das unidades também nos informa se um número é divisível por 5 e se ele é divisível por 10. ◆◆
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...
◆◆
Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
Pense e responda no caderno. 1. Quando um número é divisível por 5? Quando o algarismo das unidades é zero ou cinco.
2. Quando um número é divisível por 10? Quando o algarismo das unidades é zero. 3. Todo número divisível por 10 é divisível por 5? Sim. 4. O que há de comum entre: ◆ os números divisíveis por 2; ◆ os números divisíveis por 5; ◆ os números divisíveis por 10? O zero como algarismo das unidades. 5. A soma de dois números ímpares quaisquer é sempre divisível por 2? E o produto? Sim; não.
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Divisibilidade por 4 e por 8 É fácil perceber que 100 é divisível por 4, pois 100 5 25 ? 4. Da mesma forma, 200, 300, 400, 1 700, 95 500, enfim, os números terminados em 00 (dois zeros) são divisíveis por 4, pois: ◆◆
200 5 2 ? 100 5 2 ? 25 ? 4 50
◆◆
300 5 3 ? 100 5 3 ? 25 ? 4 75
◆◆
Os múltiplos de 4 são obtidos multiplicando-se 4 pelos números naturais.
1 700 5 17 ? 100 5 17 ? 25 ? 4 425
Conhecendo esse fato, podemos descobrir se um número qualquer é divisível por 4. Acompanhe: ◆◆
5 632 é divisível por 4? Danillo Souza
5 632 5 5 600 32 5 600 termina em dois zeros: é divisível por 4. Como 32 também é divisível por 4, concluímos que 5 632 é divisível por 4. ◆◆
19 326 é divisível por 4? 19 326 5 19 300 26 19 300 é divisível por 4, mas 26 não é. Então, 19 326 não é divisível por 4. Para descobrir se um número é divisível por 4, precisamos verificar se o número termina em 00 ou se os dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4.
Será que 1 000 é divisível por 8? 1000 20 40 0
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8 125 Como a divisão é exata, 1 000 é divisível por 8.
A partir das ideias anteriores, descubra o critério de divisibilidade por 8. Pense e responda no caderno: Todo número divisível por 8 é divisível por 4? Confira com o professor! Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos da direita é divisível por 8. Sim.
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Divisibilidade por 3 e por 9 Para descobrir se um número é divisível por 3 ou é divisível por 9, não adianta observar o algarismo das unidades.
Veja alguns números divisíveis por 3: 261 3 2 1 87 0
Somando os algarismos de 261, temos 2 6 1 5 9, que é divisível por 3.
82032 3 Somando os algarismos de 82 032, temos 8 2 0 3 2 5 15, que é divisível por 3. 22 27 3 4 4 10 13 Os matemáticos 12 provaram que essa 0 Esses exemplos não são casos particulares. regra vale sempre.
Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco
Se a soma dos algarismos de certo número é um número divisível por 3, então esse número é divisível por 3. Usando esse critério, podemos saber, sem efetuar divisões, que: ◆◆
◆◆
5 489 não é divisível por 3, pois 5 4 8 9 5 26, e 26 não é divisível por 3. 777 777 é divisível por 3, pois 7 7 7 7 7 7 5 42, e 42 é divisível por 3, porque 4 2 5 6.
De forma semelhante, podemos saber se um número é divisível por 9. Se a soma dos algarismos de certo número é um número divisível por 9, então esse número é divisível por 9.
◆◆ ◆◆
738 é divisível por 9, pois 7 3 8 5 18, e 18 é divisível por 9. 543 701 não é divisível por 9, pois 5 4 3 7 0 1 5 20, e 20 não é divisível por 9.
1. Descubra mentalmente: ◆ o menor número de três algarismos divisível por 3; 102 ◆ o menor número de três algarismos divisível por 9. 108 2. Pense e responda no caderno: Todo múltiplo de 9 é também múltiplo de 3? Sim.
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Divisibilidade por 6 Observe a sequência dos múltiplos de 3: 0 , 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21 , 24 , 27, 30 , 33, 36 , ... Circulamos nessa sequência os números que também são múltiplos de 2. Obtivemos a sequência dos múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Os múltiplos de 6 são múltiplos de 2 e de 3 simultaneamente, ou seja: Um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e também por 3. Acompanhe: ◆◆ 1 530 é divisível por 6, pois é divisível por 2 (é par) e é divisível por 3 (1 5 3 0 5 9). ◆◆
73 066 não é divisível por 6, pois, embora seja par, não é divisível por 3 (7 3 0 6 6 5 22, que não é divisível por 3).
EXERCÍCIOS 9. Considere os números:
7. Considere os números:
432 244
1 575
183
621
824
15 144
2 136
a) Quais são os números divisíveis por 2? 432, 824, 2 136, 15 144
b) Quais são os números divisíveis por 3? 432, 621, 2 136, 15 144
c) Quais são os números divisíveis por 2 e 3? 432, 2 136, 15 144
640
1 842
1 900
Desses números, indique aqueles que são: a) divisíveis por 2; 244, 640, 1 842, 1 900 b) divisíveis por 5; 640, 1 575, 1 900 c) divisíveis por 10; 640, 1 900 d) divisíveis por 100; 1 900 e) divisíveis por 5 e não por 2. 1 575 8. Qual é o maior número de três algarismos que é: a) divisível por 2? 998 b) divisível por 5? 995 c) divisível por 2 e por 5? 990
d) Os números divisíveis por 2 e 3 são divisíveis por 6? Sim. 10. Identifique o menor algarismo que deve ser colocado no lugar do
para que o número 5 83
seja divisível por 4. 2 11. Um número é formado por três algarismos, sendo o algarismo das unidades desconhecido: 3
A
4
Quais devem ser os valores de A, de modo que o número seja divisível: a) por 2 e não por 3? 0, 4 ou 6
b) por 3 e não por 6? 5
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4. Números primos Existem números que têm exatamente dois divisores: a unidade e o próprio número. Como o número 13 e o 17, por exemplo. Esses números são chamados de números primos. Veja a seguir os números primos até 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
O número 1 não é primo, pois tem somente um divisor.
Quer saber mais sobre os números primos?
Os demais números pares são divisíveis por 2, portanto não são primos.
Os números primos intrigam a humanidade há mais de 2 mil anos. Os matemáticos já provaram, por exemplo, que há infinitos números primos. No entanto, não encontraram um padrão geral para a formação dessa sequência. Desde 1951, computadores vêm procurando determinar números primos cada vez maiores. Existem sites especializados na busca desses números. Como curiosidade, em 5 de fevereiro de 2013 o projeto GIMPS encontrou um número primo com mais de 17 milhões de algarismos. O número 257 885 161 1 está escrito por completo no endereço: .
GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) é um grupo que busca grandes números primos, utilizando uma fórmula matemática chamada fórmula de Mersenne.
2. Descubra, com os colegas, os números primos compreendidos entre 30 e 50. 31, 37, 41, 43, 47
Maximilian Schonherr/Dpa/Zuma Press/Glow Images
Qual é o interesse de encontrar esses números enormes? Por exemplo, para proteger os computadores contra hackers. Os números primos são usados na criptografia, ciência que estuda as formas de enviar uma mensagem em código. Na computação, a criptografia consiste em técnicas e processos que permitem armazenar e trocar informações de forma que somente as pessoas autorizadas tenham acesso a elas.
1. O número 2 é o único número primo que é par. Você sabe explicar por quê?
Eratóstenes foi um importante geógrafo e matemático nascido em 276 a.C. onde hoje está a Líbia. Atribui-se a ele a criação de um método para encontrar números primos até um limite escolhido, por meio de uma tabela conhecida como crivo de Eratóstenes. Pesquise com seus colegas como funciona esse método.
Consulte o Manual do Professor.
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Decomposição em fatores primos Sabe-se que: ◆◆ há infinitos números primos; ◆◆ todo número natural maior que 1 e não primo pode ser escrito como produto de números primos. É isso mesmo! Acompanhe os exemplos.
Danillo Souza
Como? Qualquer número natural maior que 1, que não seja primo, em que eu pensar, pode ser escrito por meio de uma multiplicação de números primos?
Comecemos com o número 30. 30 5 2 ? 15 30 5 2 ? 3 ? 5
O número 30 foi decomposto num produto de fatores primos: 2 ? 3 ? 5 é a forma fatorada prima de 30.
Na forma fatorada prima de 30, encontramos os seus divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Veja como é: 2 3 5 30 5 2 ? 3 ? 5
2?356 2 ? 5 5 10 3 ? 5 5 15
Atenção! Não esqueça o 1, que é divisor de todo número natural!
2 ? 3 ? 5 5 30 Vamos fazer o mesmo com o número 45: 45 5 9 ? 5 45 5 3 ? 3 ? 5 ou, usando a potenciação, 45 5 32 ? 5 3 5 45 5 3 ? 3 ? 5
3?359
Então, os divisores de 45 são os números: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
3 ? 5 5 15 3 ? 3 ? 5 5 45 100
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Para decompor números maiores, em que é mais difícil descobrir os fatores primos que os formam, existe um processo prático. Vamos apresentá-lo por meio de exemplos. 1. Decompor 540 em fatores primos. Procuramos o primeiro número primo pelo qual o número a ser decomposto é divisível. Neste exemplo é o 2. 540 270 135 45 15 5 1
2 2 3 3 3 5
540 2 270 2 135 3 45 3 15 3 5 5
5 270 5 135 5 45 5 15 55 51
O primeiro número primo que divide 540 é 2. Não é mais possível dividir por 2. ◆◆ O próximo número primo que divide 135 é o 3. ◆◆ ◆◆
Não é mais possível dividir por 3. O número primo que divide 5 é o próprio 5. ◆◆ Terminou o processo. ◆◆ ◆◆
A coluna da direita apresenta os fatores primos de 540. 540 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ou, usando a potenciação, 540 5 22 ? 33 ? 5
2. Decompor 1 323 em fatores primos. 1 323 441 147 49 7 1
3 3 3 7 7
1 323 3 5 441 441 3 5 147 147 3 5 49 49 7 5 7 7 7 51
◆◆
O primeiro número primo que divide 1 323 é 3.
Não é mais possível dividir por 3. O número primo que divide 49 é 7. ◆◆ O número primo que divide 7 é o próprio 7. ◆◆ Terminou o processo. ◆◆ ◆◆
1 323 5 3 ? 3 ? 3 ? 7 ? 7 5 33 ? 72
Tomamos os números primos em ordem crescente por uma questão de organização. Nada impede que se inicie o processo dividindo 1 323 por 7 e depois por 3.
1. A soma de um número natural com seu sucessor é divisível por 2? Não, pois essa soma é um número ímpar. 2. Escrevam no caderno quatro números primos cujo algarismo das unidades é 3. Por exemplo: 13, 23, 43 e 53. 3. O número 91 é primo? Expliquem por quê. Não, 91 é divisível por 7. 4. O número 32 ? 5 é divisor de 34 ? 53? Sim. 5. A forma fatorada prima de certo número natural x é a ? b². Classifiquem as afirmações em verdadeiras ou falsas. b) Verdadeira, pois todos os fatores da forma “fatorada prima” são divisores do número. a) a é primo e b é primo. b) a e b são divisores de x. c) a ? b é divisor de x. d) a² ? b² é divisor de x. Verdadeira, pois na forma “fatorada prima” todos os fatores são primos. Verdadeira. Falsa, pois a² ? b² x. 6. Quais são os divisores do número cuja forma fatorada é 2² ? 3 ? 5? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
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Exercícios 16. Considere
1 2. Explique por que: a) 37 é um número primo; Tem apenas dois divisores: 1 e 37. b) 25 não é um número primo; Tem mais que dois divisores: 1, 5 e 25. c) 1 não é um número primo; Tem apenas um divisor: 1. d) zero não é um número primo.
o número 36.
a) Ele é primo? Não. b) Ele é divisível por quais números naturais? 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 c) Decomponha o número 36 em produto, de modo que todos os fatores sejam primos. 36 5 2 ? 2 ? 3 ? 3
Tem mais que dois divisores: 1, 2, 3, 4, ...
19
320
261
56
17. Decomponha
45
111
98
93
60
a) 23 ? 5 b) 24 ? 3
11
31
57
414
423
156
14. Observe o os números: 75
105
235
445
665
725
1 005
5 555
8 095
Responda: a) Algum desses números é primo? Não. b) Por que não existe número primo terminado em 5 e formado por mais de um algarismo? Porque o número será divisível por 1, por ele próprio e por 5.
em fatores primos os números:
a) 40
f) 125
b) 48
g) 154
c) 72
h) 220
d) 80
i) 312
e) 60
j) 578
c) 23 ? 32 d) 24 ? 5
e) 22 ? 3 ? 5 f) 53
g) 2 ? 7 ? 11 h) 22 ? 5 ? 11
Paulo José
13. Quais destes números são primos? 11, 19, 31
i) 23 ? 3 ? 13 j) 2 ? 172
18. Qual é o número cuja fatoração resulta em 22 ? 32 ? 11? 396 1 9. Copie e complete com os fatores primos que faltam. a) 44 5 22 ?
11
c) 117 5 32 ?
b) 80 5 24 ?
5
d) 231 5 3 ?
13
? 11 7
2 0. Considere o número A 5 2 ? 3 ? 5 ? 11. Sem efetuar os cálculos, responda: a) A é divisível por 5? Qual é o quociente? Sim; 66. b) A é divisível por 6? Qual é o quociente? Sim; 55. c) Qual é o quociente da divisão de A por 15? 22 21. Considere
os números A e B sendo:
A 5 22 ? 3 B 5 23 ? 32 ? 5
a) O número B é múltiplo de A? Sim. b) Qual é o número que deve ser multiplicado por A para obter B? 2 ? 3 ? 5 5 30
15. Sou número primo de dois algarismos.Trocando
a posição de meus algarismos, continuo primo. Quem sou? Há várias possibilidades: 11, 13, 31, 17, 71, 37, 73, 79, 97.
2. Descubra dois números naturais consecutivos 2 cujo produto seja 1 260. 35 e 36 1 260 5 22 ? 32 ? 5 ? 7
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5. Quando os múltiplos se encontram Numa estrada de 200 km, a partir do km 0 serão colocados: ◆◆
um telefone para emergências a cada 9 km;
◆◆
um radar para fiscalização de velocidade a cada 12 km.
Em quais quilômetros da estrada haverá simultaneamente telefone de emergência e radar? Os telefones serão instalados nos quilômetros múltiplos de 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198
Observe que há números que são múltiplos de 9 e também de 12. Eles são múltiplos comuns de 9 e 12.
Os radares serão colocados nos quilômetros múltiplos de 12:
Nilton Fukuda/Agência Estado
Ilustra Cartoon
0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192
Atenção! O excesso de velocidade é a causa da maioria dos acidentes com vítimas. As pessoas não deveriam precisar de multas para assumir suas responsabilidades em relação à nossa segurança. A vida é o que temos de mais precioso. Pense nisso!
O radar é um instrumento que ajuda a fiscalizar a velocidade dos carros.
Nas sequências tomaremos os múltiplos comuns de 9 e 12 existentes de 0 a 200. Assim determinamos quais os quilômetros em que haverá telefone e radar. São eles: 0, 36, 72, 108, 144 e 180. Os múltiplos comuns de 9 e 12 formam uma nova sequência. É fácil perceber que para continuar a escrever seus termos bastaria ir somando sempre 36. Assim, 36 é o menor número diferente de zero que é múltiplo comum de 9 e 12. Por isso, diremos que 36 é o mínimo múltiplo comum de 9 e 12. Para economizar palavras, escrevemos: mmc (9, 12) 5 36
Lemos: o mínimo múltiplo comum de 9 e 12 é 36. MÚLTIPLOS E DIVISORES
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Em muitos casos, podemos determinar mentalmente o mmc de números. Acompanhe: mmc (4, 6, 15) 5 ?
Listamos mentalmente a sequência dos múltiplos de 15, até encontrar o primeiro múltiplo comum a 4 e 6. 0, 15, 30, 45, 60
É múltiplo de 15 e de 6, mas não é múltiplo de 4. Não serve.
É múltiplo de 4, de 6 e de 15. É o mmc procurado. Então, mmc (4, 6, 15) 5 60.
1. Experimente determinar mentalmente: ◆ mmc (12, 16) 48 ◆ mmc (4, 6) 12 ◆ mmc (20, 25) 100 ◆ mmc (8, 10) 40 2. Observe, pense e responda no caderno. ◆ mmc (4, 8) 5 8 ◆ mmc (7, 14) 5 14 ◆ mmc (15, 30) 5 30 ◆ mmc (6, 12, 36) 5 36 O que acontece com o mmc de dois ou mais números quando um desses números é múltiplo dos outros? O mmc é o número que é múltiplo dos outros.
O cálculo do mmc pela decomposição em fatores primos Para calcular o mmc de números também podemos usar a decomposição em fatores primos. Exemplos: 1. mmc (48, 150) Fatoramos simultaneamente 48 e 150. 150 75 75 75 75 25 5 1
Há casos em que calcular mentalmente o mmc é muito difícil! É melhor resolver no papel.
2 2 2 2 3 5 5
Ilustra Cartoon
48, 24, 12, 6, 3, 1, 1, 1,
O mmc será o produto dos fatores primos encontrados: mmc (48, 150) 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 5 5 1 200
2. mmc (28, 30, 147) 28, 30, 14, 15, 7, 15, 7, 5, 7, 1, 1, 1, 1, 1,
147 147 147 49 49 7 1
2 2 3 5 7 7
Nesse segundo exemplo, vamos usar a potenciação para escrever o mmc. Veja: mmc (28, 30, 147) 5 22 ? 3 ? 5 ? 72 5 2 940
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Exercícios a) Indique todos os que são menores que 36. 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33
b) Dos números que escreveu, quais são também múltiplos de 5? 0, 15 e 30 c) Qual é o mínimo múltiplo comum entre 3 e 5? 15
2 8. (OM-RN) Um pai e um filho são pescadores. Cada um tem um barco e vão ao mar no mesmo dia. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. Em quantos dias se encontrarão em casa pela primeira vez? 60 dias; mmc (15, 20) 5 60
Museu Nacional de Belas Artes, Rio de Janeiro
2 3. Pense nos múltiplos de 3.
2 4. Sou maior que 100 e menor que 170. Sou múltiplo de 10 e de 25. Quem sou? 150 2 5. Calcule mentalmente. a) mmc (2, 4) 4 b) mmc (7, 5) 35 c) mmc (9, 1) 9 d) mmc (8, 9) 72 e) mmc (3, 6, 9) 18 f) mmc (2, 4, 6) 12 2 6. Substitua as letras por números para que as decomposições fiquem corretas e, em seguida, calcule o mmc dos pares de números. 2
B, 9
C
D, E
3
5, 1
F
2 9. O senhor José Quintino toma: mmc (4, 6) 5 12 ◆◆ um
comprimido de 4 em 4 horas;
◆◆ uma
colher de xarope de 6 em 6 horas.
mmc (30, 18) 5 90 A 5 18 B 5 15 C53 D55 E53 F55
Ronaldo Barata
a) 30, A
Antônio Garcia Bento. Porto de Valência, 1927. Óleo sobre tela, 110 cm 3 116 cm.
1, 1 b) A, 350
2
150, B
C
D, 175
3
E,
F
5
5,
G
5
1,
7
H
1,
1
mmc (300, 350) 5 2 100 A 5 300 B 5 175 C52 D 5 75 E 5 25 F 5 175 G 5 35 H57
27. Calcule.
a) mmc (50, 75) 150 b) mmc (60, 24) 120 c) mmc (28, 48) 336 d) mmc (10, 12, 45) 180 e) mmc (6, 8, 12, 15) 120 f) mmc (12, 18, 36, 40) 360
Às 10 horas da manhã ele tomou os dois remédios. A que horas ele voltará a tomar os dois remédios juntos? Às 22 horas. 3 0. Em uma cesta há menos de 40 ovos. ◆◆ Se
tirarmos de 6 em 6, sobra 1 ovo.
◆◆ Se
tirarmos de 10 em 10, sobra 1 ovo.
◆◆ Se
tirarmos de 15 em 15, sobra 1 ovo.
Quantos ovos há na cesta?
31 ovos; mmc (6, 10, 15) 5 30 e 30 1 1 5 31
Múltiplos e divisores
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Leonardo Conceição
6. Divisores comuns e o mdc Vamos resolver este problema? Um teatro está em fase final de construção. Ele terá três setores para acomodar o público: ◆◆ setor A, de frente para o palco, com 135 lugares; ◆◆
setor B, na lateral direita do palco, com 105 lugares;
setor C, na lateral esquerda do palco, com 90 lugares. O número de poltronas por fileira será o mesmo nos três setores e esse número deve ser o maior possível. Quantas fileiras de quantas poltronas haverá em cada setor? Como o número de poltronas em cada fileira deve ser o mesmo nos três setores, ele deve ser ao mesmo tempo divisor de 135, 105 e 90. ◆◆
◆◆
Divisores de 135: 1 , 3 , 5 , 9, 15 , 27, 45, 135.
◆◆
Divisores de 105: 1 , 3
◆◆
Divisores de 90: 1 , 2, 3 , 5 , 6, 9, 10, 15 , 18, 30, 45, 90.
5 , 7, 15 , 21, 35, 105.
Os números 1, 3, 5 e 15 são os divisores comuns de 135, 105 e 90. Como queremos que esse divisor seja o maior possível, escolhemos o 15. Então, 15 é o máximo divisor comum de 135, 105 e 90. Escrevemos abreviadamente assim:
Também podemos determinar o mdc de dois ou mais números por meio da decomposição em fatores primos. mdc (120, 84) 5 ? 120
2
84
2
60
2
42
2
30
2
21
3
3 7 7 15 5 5 1 1 Marcamos os fatores primos comuns a 120 e 84. O mdc será o produto destes fatores: mdc (120, 84) 5 5 2 2 3 5 12
mdc (135, 105, 90) 5 15
Setor A: 9 fileiras de 15 poltronas cada.
135 15 5 9
Setor B: 7 fileiras de 15 poltronas cada.
105 15 5 7
Se a forma fatorada for escrita usando potências, o mdc será o produto dos fatores comuns, tomados com o menor expoente. 120 5 23 3 5 84 5 22 3 7 mdc (120, 84) 5 22 3 5 12
Setor C: 6 fileiras de 15 poltronas cada.
90 15 5 6
Experimente usar o processo no cálculo do mdc (135, 105, 90).
Logo, as fileiras devem ter 15 poltronas. E quantas serão as fileiras?
Registrem no caderno. 1. Um número é divisor de outro. Qual será o mdc desses números? O número que é divisor do outro.
2. Qual o máximo divisor comum de dois números primos? 1 3. Por que não consideramos o zero ao determinar o mmc de dois ou mais números? Porque zero é múltiplo de todos os números.
4. Qual o mínimo múltiplo comum de dois números primos? O produto deles. 5. Indique pares de números cujo mmc seja igual ao produto desses números. Por exemplo: 4 e 5; 3 e 7.
6. Encontre um valor possível para x, tal que mmc (35, x) 5 2 5 7. Por exemplo: 14.
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EXERCÍCIOS 31. Pense nos divisores de 60. a) Quais desses números são também divisores de 45? 1, 3, 5 e 15 b) Qual é o máximo divisor comum entre 45 e 60? 15
35. Dois rolos de corda, um de 200 metros e outro de 240 metros de comprimento, precisam ser cortados em pedaços iguais e no maior compri(200, 240) 5 40 mento possível. mdc 200 40 5 5 240 40 5 6
a) mdc (35, 10) 5 b) mdc (18, 30) 6 c) mdc (15, 40) 5
Leonardo Conceição
32. Qual é? d) mdc (22, 46) 2 e) mdc (85, 75) 5 f) mdc (20, 130) 10
Este é para resolver mentalmente. 33. O senhor Sebastião tem uma banca de frutas na feira. Nela há uma penca com 18 bananas e outra com 24 bananas. Ele quer dividir as duas em montes iguais. Qual é o maior número possível de bananas em cada monte? 6 bananas; mdc (18, 24) 5 6
Responda. a) Quanto medirá cada pedaço? 40 m b) Quantos pedaços serão obtidos?
Leonardo Conceição
11 pedaços; 5 1 6 5 11
36. Todos os alunos de uma escola de Ensino Médio participarão de uma gincana. Para essa competição, cada equipe será formada por alunos de um mesmo ano com o mesmo número de participantes. Veja no quadro a distribuição de alunos por ano.
34. Em uma mercearia o proprietário deseja estocar, em quantidades iguais, 72 garrafas de água, 48 de suco e 36 de mel em caixas com o maior número possível de garrafas, sem misturá-las e sem que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa? 12 garrafas; mdc (72, 48, 36) 5 12
Ano
Número de alunos
1o
120
2o
108
3o
100
Pedro Sotto
Responda. a) b) c) d)
Qual é o número máximo de alunos por equipe? 4 alunos; mdc (120, 108, 100) 5 4 Quantas serão as equipes do 1o ano? 30 equipes; 120 : 4 5 30 Quantas serão as equipes do 2o ano? 27 equipes; 108 : 4 5 27 Quantas serão as equipes do 3o ano? 25 equipes; 100 : 4 5 25
MÚLTIPLOS E DIVISORES
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Jogando com múltiplos Vamos encerrar esta Unidade com um jogo?
Material necessário: peões, tampinhas ou fichinhas diferentes (1 para cada jogador); ◆◆ um dado; ◆◆ pista numerada de 1 a 100 que está na página 281, em Moldes e malhas. ◆◆
Instruções 1a rodada ◆◆ Estabeleçam uma ordem para jogar. Quem será o primeiro, o segundo, o terceiro jogador etc. ◆◆ Na sua vez, o jogador lança o dado e vai para a casa que corresponde ao número de pontos obtidos. Por exemplo, com 6 pontos o peão é colocado na casa 6. Rodadas seguintes ◆◆ Na sua vez, o jogador lança o dado. Seu peão deve ocupar a casa indicada pelo primeiro múltiplo do número de pontos obtidos no dado, depois da casa onde ele se encontra. Exemplos ◆◆ O jogador está na casa 6 e obtém 4 pontos no dado. O primeiro múltiplo de 4, depois da casa 6, é o 8. Seu peão deve ocupar a casa 8. Se esse mesmo jogador obtivesse 5 pontos no dado, iria para a casa 10, que é a primeira casa com um múltiplo de 5. ◆◆ O jogador está na casa 13 e obtém 6 pontos no dado. Ele deve avançar para a casa 18. ◆◆ A partir da segunda rodada, o jogador que parar sobre uma casa em que haja um número primo ficará a próxima rodada sem jogar. Vence o jogo quem primeiro chegar à casa 100 ou ultrapassá-la.
Entendeu?
Sim, vamos jogar!
Reinaldo Rosa
◆◆
Depois de jogar uma partida, vocês podem combinar outras regras que tornem o jogo mais difícil! 108
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revisando 3 7. Encontre e anote:
41. Esta
a) os quatro menores múltiplos de 102; 0, 102, 204, 306 b) os múltiplos de 28 menores que 100; 0, 28, 56, 84 c) o maior múltiplo de 17 menor que 300; 289 d) o menor múltiplo de 17 maior que 300. 306 8. Os cartões numerados de 1 a 30 devem ser colo3 cados nas caixas correspondentes.
A
é uma cartela de um jogo de bingo.
B
I
N
G
O
5
18
33
48
64
12
21
31
51
68
14
30
60
71
13
16
44
46
61
11
27
41
49
73
Indique os números:
Só para cartões cujo número é múltiplo de 3.
a) pares; 18, 48, 64, 12, 68, 14, 30, 60, 16, 44, 46 b) divisíveis por 3; 18, 33, 48, 12, 21, 51, 30, 60, 27 c) múltiplos de 3; 18, 33, 48, 12, 21, 51, 30, 60, 27
B
d) divisíveis por 5; 5, 30, 60
Só para cartões cujo número é múltiplo de 4.
e) divisíveis por 6; 18, 48, 12, 30, 60 f) múltiplos de 7; 21, 14, 49 g) múltiplos de 10; 30, 60
C
h) primos; 5, 31, 71, 13, 61, 11, 41, 73
Só para cartões cujo número é ímpar.
i) divisíveis por 1; Todos. j) divisíveis por 0. Nenhum.
a) Quais caixas podem receber o cartão 15? A e C. b) Quais caixas podem receber o cartão 17? C. c) Quais caixas podem receber o cartão 24? A e B.
2. Marcílio tem 12 azulejos quadrados para colocar 4 sobre uma prancheta. Ele vai fazer um retângulo com os azulejos.
d) Quais caixas podem receber o cartão 28? B.
9. Um número natural foi multiplicado por 3. Qual 3 dos seguintes números não pode representar o resultado final? 103
103
195
204
444
Es túd io
Or
nito
rrin
co
e) Quais cartões não podem ser colocados em nenhuma caixa? 2, 10, 14, 22 e 26
987
40. Qual é o número de dois algarismos que é o quadrado de um número natural e que tem 9 divisores? 36
a) De quantas formas diferentes ele pode fazer o retângulo? Explique o seu raciocínio usando desenhos. Três. b) Quais são os divisores de 12? 1, 2, 3, 4, 6 e 12
Múltiplos e divisores
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DESAFIOS 43. Considere os algarismos: 0
5
47. Somos dois múltiplos consecutivos de 4. A nossa soma é 52. Adivinhe quem somos nós! 24 e 28 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...
8
48.
Utilizando uma única vez todos os algarismos, escreva todos os números de três algarismos que são divisíveis por: a) 2
508, 580, 850
b) 5
580, 850, 805
c) 10
580, 850
Os divisores de 143 são: 1, 11, 13 e 143. As idades são 11 e 13.
44. Diga quanto custou o tênis de Marcela, sabendo que: ◆◆ pagou
com 3 notas de R$ 100,00;
◆◆ recebeu
As idades atuais dos meus dois filhos são números primos. O produto das duas idades é 143. Que idade eles têm?
troco;
preço é múltiplo de 65. R$ 260, 00
Zubartez
Reinaldo Rosa
◆◆ o
45. Um número é divisível por 10 se terminar em zero. Que condição tem de satisfazer um número para ser divisível por 100? Terminar em dois zeros.
49. Lúcia levou um pacote de balas para os amigos e observou que, se as dividisse: ◆◆ por
2, sobraria uma bala; 3, 5, ..., 19, 21, 23
◆◆ por
3, não sobraria nenhuma; 3, 6, ...,18, 21, 24
◆◆ por
5, também sobraria uma bala. 6, 11, ...,16, 21
Marcelo Azalim
46. Uma prateleira do supermercado estava cheia de caixas de ovos, cada uma com 12 ovos. Qual é o total de ovos na prateleira, sabendo que esse número é maior que 1 000 e menor que 1 010? 1 008 ovos
Quantas balas Lúcia levou, sabendo que é um número inferior a 25? 21 balas 50. Um cerealista tem:
Jorge Zaiba
◆◆ 75
kg de arroz do tipo A;
◆◆ 105
kg de arroz do tipo B;
◆◆ 120
kg de arroz tipo C.
Para servir os seus clientes, quer fazer pacotes iguais de 20 kg da mistura. a) Quantos pacotes de 20 kg ele pode fazer? 15 pacotes; 300 20 5 15 b) Qual é a composição de cada pacote? 5 kg do tipo A 1 7 kg do tipo B 1 8 kg do tipo C
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SEÇÃO LIVRE
“Todo número par maior que 4 pode ser escrito como soma de dois números primos.” Não sabemos se Goldbach estava certo, pois não se encontrou até hoje nenhum número par que não obedecesse a essa afirmação. Mostre isso para os seguintes números pares:
54. Na Grécia Antiga chamava-se o número 6 de número perfeito porque a soma dos seus divisores menores do que 6 é igual a 6. 6511213 Verifique que 12 não é um número perfeito e tente encontrar o número perfeito compreendido entre 20 e 30. 28 Serjedi/Dreamstime.com
51. O matemático Goldbach (se fala “goldbá”), no século XVIII, afirmou:
Professor, existem outras soluções possíveis.
a) 24 11 1 13 b) 30 13 1 17
c) 64 23 1 d) 72 31 1
41 41
52. Quando o mdc de dois números é igual a 1, dizemos que eles são primos entre si. Usando essa informação, verifique quais desses pares de números são primos entre si. Alternativa b. a) 4 e 6 b) 5 e 8
c) 26 e 39 d) 55 e 121
53. Um ano é bissexto se o número que corresponde ao ano é divisível por 4. Mas há um detalhe: um ano terminado em 00 só é bissexto quando seu número for divisível por 400. Dos anos indicados a seguir, quais são bissextos?
55. Quando você vai ao médico e ele receita-lhe um medicamento para tomar mais de uma vez por dia, durante um certo período, geralmente indica um intervalo de: 12 em 12 horas, 8 em 8 horas, 6 em 6 horas... O médico com certeza não indica um intervalo de: 9 em 9 horas, 7 em 7 horas, ou 5 em 5 horas... Por que isso ocorre? Marcelo Azalim
d) 2040 Sim. e) 2000 Sim. f) 2050 Não. Marcelo Azalim
a) 1984 Sim. b) 1992 Sim. c) 1998 Não.
Partenon, em Atenas, Grécia, construído por volta de 440 a.C.
Porque, utilizando os divisores de 24 (um dia tem 24 horas), não haverá mudanças nos horários de um dia para o outro.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
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Autoavaliação
56. O número 60 é: Alternativa b. a) múltiplo de 8 e divisor de 120. b) múltiplo de 4 e divisor de 120. c) múltiplo de 5 e divisor de 100. d) múltiplo de 9 e divisor de 180. 57. O menor e o maior divisor de 12 são, respectivamente, iguais a: Alternativa d. a) 0 e 6
c) 0 e 12
b) 1 e 6
d) 1 e 12
58. Os números 10 e 15 são: Alternativa c.
mmc (4, 6, 10) 5 60 2h 1 1h 5 3h
a) 3 horas. b) 4 horas. c) 2 horas e 30 minutos. d) 3 horas e 30 minutos.
Pense nisso! Fique de olho nos desperdícios e nos vazamentos. Além de pagar menos na conta você economiza água que é um bem fundamental para nossa saúde.
b) divisíveis por 90. c) divisores de 60. d) divisores de 100. 59. (OM-SP) Subtraindo uma unidade do quadrado do número 17, encontramos: Alternativa b. a) um número divisível por 5. b) um número divisível por 8. c) um número divisível por 17. d) um número divisível por 28. 60. (FCMSCSP-SP) Considere o número 3 1 3 1 3 1 A
em que A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir é: Alternativa c. a) 0
c) 6
b) 4
d) 8
61. (UFMT) Das sequências abaixo, aquela que não contém números primos é: Alternativa b. a) 13, 427, 1 029
c) 2, 111, 169
b) 189, 300, 529
d) 11, 429, 729
6 3. (PUC-MG) Em uma turma do 6o ano com mais de 30 alunos foi distribuído um total de 126 borrachas, 168 lápis, 210 livros e 252 cadernos. Essa distribuição foi feita de modo que cada aluno recebesse o mesmo número de borrachas, de lápis, de livros e de cadernos. Nesse caso, pode-se estimar que o número de alunos dessa turma era: Alternativa c. mdc (126, 168, 210, 252) 5 42
a) 26 b) 32
c) 42 d) 45
64. (PUC-RJ) Um terreno retangular de 108 m 3 51 m vai ser cercado com arame farpado fixado em estacas igualmente espaçadas. Se existe uma estaca em cada vértice, então o número mínimo de estacas a usar é: Alternativa c Ronaldo Barata
a) divisíveis por 60.
6 2. Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; da segunda, uma de 6 em 6 minutos; e da terceira, uma de 10 em 10 minutos. Exatamente às 2 horas cai uma gota de cada torneira. A próxima vez em que pingarão juntas novamente será às: Alternativa a.
megainarmy/Shutterstock
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
a) 102 b) 104
c) 106 d) 108
mdc (51, 108) 5 3 318 : 3 5 106
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Dados, tabelas e gráficos de barras
7 UNIDADE
1. Para que servem os gráficos? Você já viu gráficos como o apresentado abaixo? Eles aparecem com frequência em jornais, revistas e outros meios de comunicação.
Quantidade de bicicletas produzidas
DAE
Produção de bicicletas Superbike 1o semestre de 2016 350 300 250 200 150 100
Usando gráficos, é mais fácil visualizar e comparar dados. Ao lado, temos um gráfico de barras. Muitas vezes o gráfico tem um título que informa o assunto do qual ele trata. Observe que cada barra se refere a um mês. Os meses estão marcados no eixo horizontal. O eixo vertical fornece o número de bicicletas produzidas pela indústria em cada mês.
50 0
jan.
fev.
mar.
abr.
maio
jun.
Mês
Observem o gráfico e respondam no caderno: 1. Qual é o título desse gráfico? Ele indica claramente o assunto? Produção de bicicletas Superbike 1o semestre de 2016. Sim.
2. Quantas bicicletas foram produzidas em janeiro? 3. E em maio?
150 bicicletas
250 bicicletas
4. Em que mês a produção de bicicletas foi maior?
Junho.
5. Em que mês a produção de bicicletas atingiu o dobro da produção de janeiro? 6. Em quais meses a produção de bicicletas manteve-se constante?
Junho.
Março e Abril.
DADOS, TABELAS E GRÁFICOS DE BARRAS
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Construindo um gráfico de barras
Paulo José
Como você aproveita suas horas de lazer? Os 30 alunos de um 6o ano responderam a essa pergunta. Os dados obtidos foram colocados numa tabela. Observe:
Resposta
Frequência
Pratico esportes
10 4
Passeio com a família
8
Assisto à TV
3
Jogo video game
5
Ronaldo Barata
Leio livros e revistas
Entendi! A frequência indica quantos alunos deram determinada resposta. Por exemplo, nesta pesquisa, 10 alunos responderam que aproveitam suas horas de lazer para praticar esportes.
Os alunos apresentaram os dados dessa tabela por meio de um gráfico de barras. Quer ver como eles fizeram?
Ilustrações: DAE
Forma de lazer preferida Frequência
O eixo horizontal também é chamado de eixo das categorias.
◆◆
◆◆
Forma de lazer
Deram um título ao gráfico: Forma de lazer preferida. Traçaram e nomearam dois eixos: um horizontal (Forma de lazer) e um vertical (Frequência).
Forma de lazer preferida Frequência
e m ga
TV
eo
Forma de lazer
◆◆
Como foram obtidas 5 respostas diferentes, o gráfico deve ter 5 barras (retângulos), todas com a mesma largura.
vi d
le itu ra pa ss ei os
es po rt
es
O eixo vertical também é chamado de eixo dos valores.
114
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◆◆
Em seguida, graduaram o eixo vertical para marcar a frequência de cada resposta. A frequência é indicada pela altura de cada retângulo.
◆◆
Finalmente, traçaram os retângulos.
Forma de lazer preferida DAE
Frequência 10 9
Gráficos de barras aparecem com frequência em jornais, revistas, internet. Recorte ou imprima um gráfico de barras que trate de um assunto do seu interesse e traga para a aula. Você e seus colegas podem montar um cartaz com gráficos, escrevendo abaixo de cada um deles uma pequena análise dos dados que ele apresenta.
8 7 6 5 4 3 2 1
e
Forma de lazer
vi d
eo
ga
m
TV
pa ss ei os
le itu ra
es po rt
es
0
Não é difícil, não é mesmo? Para construir corretamente um gráfico de barras, basta tomar alguns cuidados.
1. É comum dar um título ao gráfico. O título deve se referir ao assunto abordado.
2. Nomeie os eixos e faça-os com comprimento suficiente para que caibam todas as barras e todas as frequências da tabela.
3. Deixe a mesma distância entre as barras no eixo horizontal.
Reinaldo Rosa
Lembre-se de que todas as barras devem ter a mesma largura.
4. Escolha uma escala adequada e use-a regularmente no eixo vertical. Por exemplo, se você escolher que 1 centímetro vale 1 aluno, esse valor deve ser mantido em todo o eixo vertical. DADOS, TABELAS E GRÁFICOS DE BARRAS
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Seção livre 1. Para saber se você realmente entendeu, use papel quadriculado para fazer o gráfico de barras referente às atividades de lazer preferidas pelos alunos de uma classe de 7o ano, indicadas na tabela abaixo. 14
Frequência
12
Atividades de lazer
Resposta
Frequência
Pratico esportes
12
Leio livros e revistas
6
Passeio com a família
8
Assisto à TV
5
Jogo video game
8
12
10
8
8
6
6
8 5
4 2 0
esportes leitura passeio TV Resposta
video game
2. Veja, na tabela abaixo, o resultado de um estudo realizado em certa escola, sobre a frequência dos alunos à biblioteca em cada dia da semana.
Frequência de alunos à biblioteca 60 Frequência
50 40 30
34
38
45
50
Dia da semana
Frequência de alunos à biblioteca
Segunda-feira
25
Terça-feira
34
Quarta-feira
38
Quinta-feira
45
Sexta-feira
50
25
20 10 0
segunda terça quarta quinta sexta Dia da semana
A partir dessa tabela, foi montado um gráfico de barras. Observe-o. O gráfico contém erros. Identifique-os e refaça o gráfico corretamente usando papel quadriculado. Há erro na escala do eixo vertical. Além disso, as barras devem ter a mesma largura.
Frequência de alunos à biblioteca 50
DAE
Frequência
45 38 34 25
qu in ta -fe ira se xt afe ira
afe ira
-fe ira
qu ar t
te rç a
se gu nd a-
fe ira
0
Dia da semana
116
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Número de passes
2. 30
27
25 20
10 5 0
1. O professor de Educação Física perguntou aos alunos do 6o ano qual era o esporte preferido deles. Todos os alunos responderam escolhendo um esporte apenas. O resultado dessa consulta pode ser visto no quadro abaixo.
Diego
Gabriel
Paulo
Roberto Davi
Nome do atacante
3. A um grupo de crianças foi feita a seguinte pergunta: Você tem algum animal de estimação em sua casa?
Como espectador
Blend Images/Alamy/Glow Images
Como praticante
19 15
15
Exercícios
Esporte preferido
23 20
meninos meninas meninos meninas
futebol
10
2
5
6
vôlei
1
5
6
1
basquete
2
3
2
2
tênis
0
4
2
7
outros
2
3
0
1
Responda.
2. O quadro seguinte refere-se ao número de passes certos que cada atacante do time da escola realizou durante um jogo de futebol em maio de 2016.
Este gráfico foi apresentado como resultado da pesquisa.
10
9
Meninas Meninos
8 7 6 5 4 3 2
Nome do atacante
Número de passes
Diego
20
Gabriel
27
Paulo
15
Roberto
23
b) Quantas crianças disseram “não”? 13 crianças
Davi
19
c) Quantas crianças disseram “sim”? 17 crianças
Construa um gráfico, de acordo com os dados fornecidos.
DAE
Crianças com animal de estimação
Frequência
a) Quantos alunos essa turma tem? 32 alunos b) Qual é o esporte a que as meninas mais gostam de assistir? Tênis. c) Qual é o esporte que os meninos mais gostam de praticar? Futebol. d) É possível que nessa turma haja um menino que prefira assistir a uma competição de judô? Não. e) É possível que nessa turma haja duas meninas que prefiram praticar natação? Sim.
1 0
sim
não
sim
não
Tipo de resposta
a) Quantas meninas disseram “não”? 5 meninas
d) Quantos meninos responderam à pergunta? 17 meninos
e) Quantas crianças responderam à pergunta? 30 crianças
Dados, Tabelas e gráficos de barras
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4. (Vunesp) O número de horas trabalhadas por uma professora, durante uma semana, está registrado no gráfico. 11
Ilustrações: DAE
No de horas trabalhadas
6. (Cesgranrio-RJ) A tabela abaixo apresenta as notas dos 25 alunos de uma turma em uma prova que valia de zero a 10 pontos. 7
6
9
3
5
6
7
7
4
3
6
7
5
6
8
8
9
2
5
4
7
7
3
8
7
6
5
10 9
6 se gu nd afe ira te rç afe ira qu ar ta -fe ira qu in ta -fe ira se xt afe ira
5 Dia da semana
Qual é a média aritmética de horas diárias trabalhadas pela professora de 2a a 6a? 9 horas; (8 1 9 1 10 1 11 1 7) : 5 5 9
5. O quadro abaixo e o gráfico a seguir referem-se à produção de uma fábrica de confecções, durante um mês. Tipo de peça
Número de peças
Camisa
200
Saia Casaco
250
Vestido
300
Blusa
450
a) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0
Alternativa a.
0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10
b) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0
0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10
c) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0
Peças produzidas em maio No de 500 peças 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
Qual das opções abaixo apresenta um gráfico de barras compatível com as notas apresentadas?
0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10
d) No de alunos
bl us a
id o
ve st
co sa
ca
sa ia
ca m is
a
12 10 8 6 4 2 0
Tipo de peça
a) Qual é o número de saias produzidas pela fábrica? 400 saias b) No gráfico há um erro. Qual é?
A barra referente aos casacos não tem comprimento correto.
0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10
e) No de alunos 12 10 8 6 4 2 0
0 ou 1 2 ou 3 4 ou 5 6 ou 7 8 ou 9 Notas ou 10
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2. Vamos fazer uma pesquisa estatística? A proposta está detalhada no Manual do Professor.
Como é a sua escola? ◆◆ O que mais lhe agrada nela? ◆◆ A escola tem problemas? ◆◆ Quais você considera mais sérios e gostaria de ver solucionados?
Delfim Martins/Tyba
◆◆
Propomos que você e seus colegas façam uma pesquisa sobre os pontos positivos e negativos da escola onde estudam. Vocês entrevistarão alunos, professores e funcionários. Cada entrevistado deverá escolher somente uma entre as cinco alternativas propostas para cada uma das perguntas. Veja os exemplos: DAE
1. O que mais lhe agrada na escola? a) O pátio. 2. Em sua opinião, qual o maior problema da escola? a) Ter somente uma quadra de esportes.
Prédio escolar e região vizinha.
Dica! O IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) criou um programa intitulado “Censo 2010 nas escolas”. Um das propostas é a realização de um censo na escola, envolvendo toda a comunidade. Você pode consultar este material no site www.ibge.gov.br/vamoscontar.
Para elaborar as alternativas para as respostas, os alunos da classe devem conversar e levantar os principais aspectos positivos e negativos da escola. Entrevistem um grupo de aproximadamente 100 pessoas: alunos, professores, direção, funcionários, pais, marcando atentamente a quantidade de respostas que cada alternativa teve. Em classe, com a ajuda do professor, elaborem uma tabela de frequência para cada pergunta e construam os gráficos de barras em papel quadriculado. Gráficos prontos, partam para a análise dos resultados e conclusões: ◆ Quais foram os aspectos positivos mais apontados pela pesquisa? ◆ De acordo com a pesquisa, qual é o principal problema da escola? Algumas questões podem ser debatidas: ◆ Como conservar e melhorar o que a escola tem de bom? ◆ O que podemos sugerir ou mesmo realizar para que os principais problemas da escola sejam resolvidos ou minorados? Troquem opiniões, conversem. Depois, cada aluno deve elaborar um pequeno relatório com suas observações e conclusões.
Laeti Images
A atividade proposta está detalhada no Manual do Professor.
Garota fazendo entrevista.
DADOS, TABELAS E GRÁFICOS DE BARRAS
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revisando
DESAFIO DESAFIOs 9. Uma pesquisa eleitoral estudou as intenções de voto nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados:
Intenção de votos Número de votos
Ilustrações: DAE
7. No gráfico abaixo está representado, no eixo horizontal, o número de DVDs alugados por semana numa locadora, por cliente. No eixo vertical, a correspondente frequência, isto é, a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de DVDs.
DVDs alugados de 1 a 7 jun. 2014 Frequência
810 750 700
25 20 15 10
440
5 1
2
3
4 5 6 Número de DVDs
a) Qual é o número de pessoas que alugaram 4 ou mais DVDs? 15 1 5 1 5 5 25; 25 pessoas b) Se cada DVD é alugado por R$ 4,00, quanto a locadora recebeu nesta semana?
A
(10 1 1 25 2 1 20 3 1 15 4 1 5 5 1 6 5) 4 5 940 R$ 940,00
8. Este gráfico mostra o tempo médio de vida de alguns animais.
Tempo médio de vida 30
Tempo (anos)
24 18 12
el ho
Animal
co
ra
co ru ja ca rn ei ro ca va lo
0
to
6
Fonte: . Acesso em: out. 2014
a) Qual é o animal que vive, em média, 15 anos de idade? É o carneiro. b) Quais dos animais indicados vivem, em média, mais de 20 anos? A coruja e o cavalo. c) Qual é o tempo médio de vida de cada um dos animais indicados? Coruja: 24 anos; carneiro: 15 anos;
B
C
indecisos Candidatos
Responda
2 700 pessoas
a) Qual é o número de pessoas consultadas? b) O candidato B pode se considerar eleito? Não. c) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleições? Sim. d) Se o candidato C obtiver 525 votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A, o candidato C assume a liderança? Sim. Lucas Lacaz Ruiz/Fotoarena/Folhapress
0
cavalo: 30 anos; rato: 3 anos; coelho: 12 anos.
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Autoavaliação Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
10. (Saresp) A tabela abaixo indica o número de medalhas que alguns países receberam nas Olimpíadas de 1996. Alternativa c.
1 2. (Enem) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre as 20 h e as 21 h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras abaixo:
Ilustrações: DAE
Número de residências 100 80
País
Bronze
Prata
Ouro
Total
EUA
25
32
43
100
França
15
7
15
37
Alemanha
27
18
20
65
Brasil
9
3
3
15
Fonte: .
Analisando as informações da tabela, é correto afirmar que: a) os Estados Unidos obtiveram 73 medalhas a mais que a França. b) a França obteve exatamente o dobro de medalhas em relação ao Brasil. c) a Alemanha ganhou 50 medalhas a mais que o Brasil. d) o Brasil obteve 12 medalhas a menos que a França. 11. (Saresp) A tabela mostra o número de carros vendidos, em certa concessionária, no primeiro trimestre do ano. Alternativa c.
60 40 20 0
TVA
TVB
TVC
TVD nenhum Canal de TV
O número de residências ouvidas nessa pesquisa foi de aproximadamente: Alternativa b. a) 135
b) 200
c) 150
d) 220
13. Um grupo foi ao zoológico e contou a quantidade de visitas que alguns animais receberam. Com os dados, o grupo construiu o gráfico abaixo. Alternativa d.
Quantidade de visitas aos animais Número de visitas recebidas
60
40
20
Número de carros vendidos
12
Y
16
18
20
É correto afirmar que: a) foram vendidos 31 carros do tipo X. b) o melhor mês de vendas foi janeiro. c) foram vendidos 41 carros em fevereiro. d) em fevereiro foram vendidos mais carros do tipo Y.
tig re s
23
ar ar as
15
s
X
0 on ça
Março
os
Fevereiro
ac
Janeiro
m ac
Tipo de carro
Animais
É correto afirmar que: a) 120 pessoas visitaram os macacos e os tigres. b) os macacos e as onças foram os animais mais visitados. c) 130 pessoas visitaram macacos, onças, araras e tigres. d) as araras receberam metade das visitas recebidas pelas onças.
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1 4. (Saresp) Foi realizada uma pesquisa sobre o local onde cada aluno do 6o ano A nasceu. Com as informações obtidas o professor construiu o seguinte gráfico de barras: Alternativa a.
Ilustrações: DAE
Número 16 de alunos 14
15. (Saresp) O professor fez uma figura na lousa, dividiu-a em várias partes iguais e pediu que quatro alunos colorissem todas as partes usando quatro cores diferentes. Ao final, a figura f icou mais ou menos assim:
12 10 8 6
Depois, pediu que desenhassem um gráfico que representasse o número de partes de cada cor. Qual dos gráficos seguintes foi feito corretamente? Alternativa d.
4 2 s m pi na
Cidade
a)
c)
b)
d)
Ca
Ba ur u
s Sa nt o
Sã
o
Pa ul o
0
Qual tabela deu origem ao gráfico? a) Local de nascimento
No de alunos
São Paulo
15
Santos
06
Bauru
04
Campinas
05
b) Local de nascimento
No de alunos
São Paulo
06
Santos
04
Bauru
05
Campinas
15
c) Local de nascimento
No de alunos
São Paulo
06
Santos
15
Bauru
05
Campinas
04
d) Local de nascimento
16. (Furb-SC) O gráfico mostra as vendas de televisores em uma loja: Unidades 60 vendidas 50 40 30 20 10 0 Pode-se
No de alunos
São Paulo
06
Santos
05
Bauru
15
Campinas
04
jan.
fev.
mar.
abr.
maio
jun.
Mês
afirmar que: Alternativa d.
a) as vendas aumentaram mês a mês. b) foram vendidos 100 televisores até junho. c) as vendas do mês de maio foram inferiores à soma das vendas de janeiro e fevereiro. d) foram vendidos 90 televisores até abril.
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8 unidade
Observando formas 1. As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano
Pirâmide do Museu do Louvre, Paris.
Charles Stirling (Diving)/Alamy/Other Images Galit Seligmann/Robert Harding World Imagery/Getty Images
Nikitu/Dreamstime.com Bruce Robbins/Dreamstime.com
Valéria Vaz
Olhando ao redor, encontramos inúmeras formas. Algumas são obras da natureza, outras foram criadas pelo ser humano.
Palácio da Alvorada, Brasília, DF. Observando formas
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Valéria Vaz
Valéria Vaz
iStockphoto/Thinkstock
Os seres humanos, desde a Antiguidade, observam e estudam as formas presentes na natureza. Muitas delas inspiraram objetos que atualmente utilizamos.
E como é que um arquiteto, engenheiro, projetista e outros profissionais conseguem criar formas bonitas e com tantas aplicações na vida prática? Entre outras coisas, utilizando a Geometria, que é a parte da Matemática que estuda as formas. Na Geometria, as formas são idealizadas, perfeitas. O conhecimento geométrico é aplicado na construção do mundo real. Você já sabe algumas coisas de Geometria: são noções que aprendeu na escola ou no seu dia a dia. Vamos aprender um pouco mais?
Muitos profissionais utilizam a Geometria em seu trabalho. Citamos algumas destas profissões no texto ao lado. Combine com seus colegas e pesquisem um pouco sobre elas: Quantos anos é necessário estudar para formar-se, em que ramo de atividades podem trabalhar, quais as especializações existentes etc. Socializem as pesquisas.
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Marcelo Azalim
2. Formas planas e não planas Desenhe um triângulo em uma folha de papel. Observe que o triângulo ficou todo contido no plano da folha. Agora pegue uma caixa. Pode ser, por exemplo, uma caixa de fósforos vazia. Em qualquer posição que você a coloque sobre o tampo de uma mesa, partes dela “saem” do tampo. Não conseguimos fazer com que a caixa fique totalmente contida no plano, como ocorreu com o triângulo desenhado. Mauricio Morais
O triângulo representa uma forma plana. A caixa representa uma forma não plana. Veja mais exemplos:
Formas não planas Ilustrações: DAE
Formas planas
Espera-se que os alunos digam que formas não planas “saem” do plano, isto é, não é possível que um único plano as contenha completamente.Professor, seria interessante mostrar exemplos de formas bimensionais não planas.
Escreva em seu caderno, com a ajuda dos colegas e do professor, o que diferencia as figuras planas das não planas.
OBSERVANDO FORMAS
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As formas planas Classificamos as formas planas em: polígonos e não polígonos. Veja os exemplos:
Polígonos
Ilustrações: DAE
Não polígonos
Observe bem os quadros anteriores e responda: Que características uma figura plana deve ter para ser um polígono? Professor, definiremos polígonos na página 158. Aqui o objetivo é observar características como não ter linhas curvas no seu contorno e ser uma figura fechada.
As formas não planas
Fernando Favoretto
Mauricio Morais
Observe as imagens.
A superfície da caixa de fósforos é formada somente por figuras planas: seis retângulos. Nela não encontramos formas arredondadas. Isso também ocorre com a outra embalagem cuja superfície é formada por dois triângulos e três retângulos.
Leonardo Conceição
Entendi! As duas formas não são planas, mas a superfície delas é formada por figuras planas.
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Atenção! Aldodi/Dreamstime.com
Newscast/Alamy/Glow Images
Milho
vapno or
Na lata de milho da fotografia, temos duas formas planas (círculos), mas sua superfície lateral é arredondada. Já a bola não tem superfícies planas. Sua superfície é toda arredondada.
Os objetos retratados não estão em proporção.
Pensando nestas características, vamos classificar as formas não planas em dois grandes grupos: poliedros e não poliedros.
Não poliedros Ilustrações: DAE
Poliedros
A superfície dos poliedros é formada somente por polígonos. Cada polígono é uma face do poliedro. Como os polígonos são figuras planas com contornos retos, os poliedros não têm formas arredondadas. OBSERVANDO FORMAS
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EXERCÍCIOS
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
O que você considerou para formar os dois gru pos? Responda. Figuras planas: B, D, F, G, I, L. Figuras não planas: A, C, E, H, J, K.
2. Rodrigo desenhou 7 figuras planas, sendo 4 po lígonos e 3 não polígonos. As figuras desenha das por Rodrigo estão representadas em: a)
3. Observe as figuras representadas a seguir: A
B
C
D
E
F
a) b) c) d) e) f)
Na posição em que está a figura E, ela rola? Não. Em alguma outra posição ela pode rolar? Sim. Quais desses objetos podem rolar? A, C e E. Qual desses objetos rola em qualquer posição? C. Quais desses objetos não rolam? B, D e F. Em que os objetos B e D são diferentes? Nas dimensões.
4. Observe os objetos abaixo: A
B
C
D
E
F
G
H
Ilustrações: Marcelo Azalim
A
Ilustrações: DAE
1. Como você separaria todas as figuras abaixo em dois grupos?
Alternativa c.
b)
c)
d)
Escreva quais deles são formados: a) apenas por superfícies planas; B e G. b) apenas por superfícies arredondadas; D e E. c) por superfícies planas e superfícies arredondadas. A, C, F e H.
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B
A
H
C
D
E
L
J
I
F
Ilustrações: DAE
5. Veja as figuras geométricas e responda: G
M
K
a) Quais são poliedros? A, B, C, E, G, H, I e L. b) Quais não são poliedros? D, F, J, K e M. 6. Qual é a principal característica de um poliedro?
Ter a superfície formada somente por polígonos.
poli: muitas
edro: faces
Na Grécia Antiga, muitos matemáticos estudaram Geometria. Dentre eles, podemos citar Platão (427-347 a.C.), um dos grandes pensadores da história da filosofia. Fundou em Atenas, por volta de 387 a.C., uma espécie de escola: Busto de Platão. a Academia. Há registro de que na porta da Academia lia-se: “Que ninguém que ignore Geometria entre aqui!” Este poliedro chama-se dodecaedro. O nome teve origem na língua grega: dodeca: doze
edro: faces
Pesquisas arqueológicas encontraram em Pádua, Itália, um dodecaedro de pedra provavelmente esculpido antes de 500 a.C. Veja como o interesse humano pelos poliedros é antigo! Fonte de pesquisa: BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1979.
Junte-se aos colegas e elaborem uma lista com exemplos de objetos e construções criados pelo ser humano que representem poliedros e não poliedros. Depois, pensem e respondam no caderno: 1. Por que as latas em forma de cilindro, como as de refrigerante, ervilhas etc., geralmente são empilhadas em pé, e não deitadas?. 2. Por que vocês acham que escolheram a forma da esfera para a bola de futebol e não a de um cone ou um cubo? 3. A escolha da forma que terá um objeto, pelo engenheiro, desenhista etc., deve ter relação com a função a que se destina?
Marcelo Azalim
O nome poliedro vem do grego:
Photos.com
O poliedro tem muitas faces
1. Em pé elas se apoiam nos círculos (bases do cilindro) que são formas planas; 2. Resposta pessoal. Possivelmente por rolar mais facilmente; 3. Resposta pessoal. Espera-se que percebam que é importante OBSERVANDO FORMAS conhecer as características das formas geométricas para melhor aplicá-las a situações reais.
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3. Investigando os blocos retangulares O poliedro representado abaixo, cuja forma aparece em muitas construções e objetos, recebe o nome de bloco retangular. uma das arestas
um dos vértices
c 5 comprimento
uma das faces
5 largura
a
a 5 altura
DAE
c
Vamos nomear partes do bloco retangular. Pegue uma caixa de fósforos: ela tem a forma de um bloco retangular. O bloco retangular possui três dimensões: comprimento, largura e altura. Utilizando uma régua, obtenha o comprimento, a largura e a altura de uma caixa de fósforos. Registre as medidas em seu caderno e compare com as medidas tiradas pelos colegas.
O trecho de reta produzido pelo encontro de duas faces chama-se aresta. O bloco retangular possui 12 arestas. Localize-as na caixa de fósforos. O ponto de encontro das arestas é um vértice. O bloco retangular possui oito vértices. Confira na caixa de fósforos.
Mauricio Morais
O bloco retangular possui seis faces, todas retangulares. Repare que as faces opostas são idênticas. Identifique-as na caixa de fósforos.
Vemos ao lado a fotografia de um dado que tem a forma parecida com a de um cubo. Troque ideias com seus colegas e responda às questões em seu caderno: 1. O cubo é um poliedro? Sim. 6 faces, 12 arestas
Cameramannz/ Dreamstime.com
Todo poliedro possui faces, arestas e vértices.
2. Quantas faces, arestas e vértices ele possui? e 8 vértices
3. Qual é a forma das faces de um cubo? Compare o cubo com o bloco retangular. O que você observa? Quadrada. O cubo é um bloco retangular especial, com todas as faces iguais.
4. Maíra quer saber o comprimento das arestas de um cubo. Para isso, mediu com a régua o comprimento de uma delas. Ela precisa medir as demais arestas? Por quê? Não, pois no cubo, todas as arestas têm a mesma medida.
5. Como você descreveria um bloco retangular por telefone a um amigo? Resposta pessoal.
6. No bloco retangular, cada vértice é ponto de encontro de quantas arestas? 3 arestas
7. Expliquem por que Mariana errou ao raciocinar como abaixo: “Cada face do cubo tem 4 vértices. Como são 6 faces, o cubo tem 24 vértices.” O mesmo vértice pertence a 3 faces. São na verdade 8 vértices. (24 3 5 8)
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Vamos aproveitar as faces, arestas e vértices do bloco retangular para compreender melhor três figuras básicas para o estudo da Geometria: ponto, reta e plano. Observando o encontro das arestas chegamos à ideia de ponto. Vamos representar um ponto com uma marquinha no papel. Para ponto dar nome aos pontos, usamos as letras maiúsculas do nosso alfabeto, como nestes exemplos: B representação de pontos
M
Imagine uma aresta do bloco retangular prolongando-se indefinidamente como na figura a seguir.
Um trecho de reta limitado por dois pontos, como uma aresta do bloco retangular, por exemplo, chama-se segmento de reta. A
Você imaginou uma reta. Usaremos as letras minúsculas do nosso alfabeto para representá-las.
s
A ‡AB⁄
B
lemos: reta t
P
PQ
lemos: reta AB
Os pontos A e B são as extremidades do segmento AB.
Veja ao lado formas de representar e a maneira de nomear retas e segmentos.
t
lemos: reta s
CD
D
C
lemos: segmento CD Q
lemos: segmento PQ
B
Estúdio Ornitorrinco
A
O segmento de reta é um trecho de reta limitado por dois pontos. A reta é ilimitada.
Qual é a diferença entre reta e segmento de reta?
OBSERVANDO FORMAS
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Ilustrações: DAE
Ponto e reta
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Plano Por fim, imagine uma face do bloco retangular prolongando-se indefinidamente, como na figura ao lado. Você imaginou um plano, que é outra figura fundamental para a Geometria. O plano precisa de uma representação. A mais usual é a apresentada abaixo, mas é preciso ter em mente que o plano é ilimitado.
Ilustrações: DAE
Como já utilizamos as letras maiúsculas do nosso alfabeto (para os pontos) e as minúsculas (para as retas), vamos nomear os planos com letras do alfabeto grego, como e , por exemplo.
Portanto, nos elementos de um poliedro encontramos: pontos vértices
◆ ◆
retas e segmentos de retas
◆
planos
gerados pelas arestas
Planificação de blocos retangulares
Fotos: Edson Antunes
Consiga uma embalagem em forma de bloco retangular. Desmonte-a com cuidado para não rasgá-la. Se ela tiver abas para colar as faces, corte-as fora. Você obterá uma figura plana formada por seis retângulos. Essa figura representa a planificação da embalagem em forma de bloco retangular.
Ilustrações: Leonardo Conceição
gerados pelas faces
Nesta planificação de bloco regular, um retângulo foi destacado acidentalmente. Desenhe-a em seu caderno e indique em que posições o retângulo poderia estar.
132
Você saberia apontar quais são as faces opostas de um bloco retangular observando sua planificação? Explique como.
Os alunos devem perceber que as faces opostas do bloco retangular são polígonos idênticos e que, ao montar o bloco, as faces opostas não têm arestas ou vértices comuns.
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4. Perspectivas e vistas
Ilustrações: DAE
Muitas vezes precisamos representar formas não planas no papel. Para isso, podemos usar, por exemplo, desenhos em perspectiva. A perspectiva é uma técnica que permite representar figuras tridimensionais, como poliedros, no plano (representado pelo papel). Vamos começar desenhando um bloco retangular em perspectiva. A malha quadriculada nos ajudará nesta tarefa.
Desenhe a face do bloco retangular que ficará “de frente”.
Assinale os vértices da face oposta. Lembre-se de que as faces opostas do bloco retangular são idênticas.
Usando régua, trace as arestas visíveis com linha contínua e as demais com linha pontilhada.
Use papel quadriculado e desenhe um bloco retangular e um cubo em perspectiva.
Faça como Marcela: experimente desenhar outros poliedros usando perspectiva. Ao fazer cada desenho, anote ao lado dele: ◆ os nomes dos polígonos que formam suas faces; ◆ quantas são as faces; ◆ qual é o número de vértices e arestas. Depois, troque seus desenhos com um colega. Você confere as respostas dele, e ele as suas.
Reinaldo Rosa
Desenhar poliedros em perspectiva é bem legal! Veja como eu desenhei outros poliedros no papel quadriculado.
OBSERVANDO FORMAS
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E o que são vistas? Danillo Souza
Veja ao lado um exemplo de planta baixa de um apartamento, retirada de um anúncio de jornal. Essa planta representa uma vista superior do imóvel. Observe que as paredes, as portas e os móveis estão representados no plano como se fossem vistos “de cima”. Essa representação é útil, pois nos dá uma boa ideia do espaço e da disposição dos ambientes. Tente desenhar em papel quadriculado como seria sua casa vista de cima se ela não tivesse telhado. Localize cada cômodo, procurando representar os móveis no plano, como na planta do exemplo ao lado.
Cilindro, esfera e cone. Frontal: Superior:
Observe os objetos a seguir.
Fotos: Edson Antunes
Laeti Images
A embalagem da fotografia tem a forma de um poliedro.
Ilustrações: DAE
Podemos representar sua vista superior e sua vista frontal no papel:
vista superior
vista frontal
Que formas cada um deles nos lembra? Desenhe em seu caderno como seria a vista planificada frontal e superior de cada um deles.
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EXERCÍCIOS 7. Observe os poliedros: A
10. Copie os pontos A, B, C e D.
B
C
C B A
cubo
paralelepípedo
Construa um quadro como este e completeo. Poliedro 6, 8, 12
A
6, 8, 12
B
5, 5, 8
C
Quantas faces?
D
pirâmide de base quadrada
Quantos vértices?
Quantas arestas?
a) Trace três retas que passem pelo ponto A. É possível traçar mais? Quantas? Sim; Infinitas. b) Quantas retas que passam pelos pontos B e D você consegue traçar? Uma. c) Existe uma reta que passa por três dos pontos indicados? Sim, a reta que passa por A, B e C. 11. (EnccejaMEC) Observe o esquema com a loca lização de uma escola e de um supermercado. D
8. Observe a figura e responda.
B A 0
a) (1, C) B
C
Supermercado 1
2
3
4
Se, nesse esquema, o supermercado pode ser indicado pelo ponto (1, A), então a escola pode ser indicada pelo ponto: Alternativa b.
9. Observe os polígonos e responda:
A
Escola
C
A figura é plana ou não plana? Não plana. Qual é o número de vértices? 12 vértices Quantas são as arestas?18 arestas Qual é o número de faces? 8 faces Quantas faces são retangulares? 6 faces Quantos lados tem cada uma das faces que não são retangulares? 6 lados
D
Quais e quantos desses polígonos são ne cessários para forrar os “esqueletos” destes poliedros?
I
II
III
IV
6B
1B e 4D
2A e 6C
1A e 6D
b) (3, C)
c) (C, 0)
d) (C, 2)
12. Qual das peças deve ser encaixada neste obje to para que ele fique com a forma de um bloco retangular? Alternativa b.
a)
c)
b)
d)
Ilustrações: DAE
a) b) c) d) e) f)
OBSERVANDO FORMAS
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1 3. Observe as figuras e faça o que se pede:
1 6. A figura mostra uma das 11 possibilidades de planificação do cubo.
13. b)
Será que as figuras a seguir também represen tam planificações do cubo?
Dica! Se necessário, copie e recorte um modelo em papel para verificar. a) Sim. Use uma malha quadriculada para: a) reproduzir as duas figuras da parte inferior do quadro; b) reduzir o comprimento de todas as arestas do bloco retangular à metade.
b) Sim.
14. Se a figura abaixo fosse recortada e depois do brada de forma conveniente nas linhas traceja das, que forma espacial resultaria? Bloco retangular.
Ilustrações: DAE
c) Não.
1 5. Observe as caixas cúbicas empilhadas e res ponda.
17. Evaldo desenhou uma planificação em cartoli na para construir uma caixa com a forma de um bloco retangular. Ele escreveu a mesma letra em cada par de faces opostas. Anote qual é a caixa de Evaldo. Alternativa c. a) A
c)
C B
B
B C
A
C
C
A B
A
a) Quantas já foram colocadas? 23 b) Quantas faltam na segunda camada? E na terceira? 3; 11 c) Quantas caixas faltam ser colocadas para construir um bloco retangular de 5 camadas? 37
b)
d)
C B
A
B A
C
C A
B
C
C A
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Construindo poliedros Forme dupla com um colega. Vimos que as faces dos poliedros são polígonos. Nas páginas 279 e 280, em Moldes e malhas, há moldes de polígonos: quadrados, retângulos e triângulos. Vocês devem reproduzir os polígonos com capricho, em cartolina, recortá-los e, com o auxílio de fita adesiva, construir modelos de poliedros. Em cada modelo de poliedro, observem e registrem no caderno: ◆ forma e número de faces; número de vértices;
◆
número de arestas.
Vocês devem produzir e recortar vários polígonos de cada tipo para ter mais opções de combinação das formas.
Leonardo Conceição
◆
Ferna
ndo F
avore
tto
Vejam um exemplo de modelo de poliedro que pode ser construído:
Este é um poliedro com 5 faces: 2 triângulos e 3 retângulos. Ele possui 6 vértices e 9 arestas.
Para finalizar, criem novas formas combinando as figuras que vocês construiram. Se desejarem, façam uma exposição das composições obtidas para os demais alunos da escola! OBSERVANDO FORMAS
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REVISANDO
Ronaldo Barata
1
21. Gustavo fez a seguinte construção com seis cubos: Ilustrações: DAE
18. Acompanhe, nas figuras, esta montagem e de pois responda. 2
Observe as diferentes vistas abaixo e identifi que qual delas é a: a) vista de cima; B b) vista de lado; A c) vista de frente. C
3
a) A figura do primeiro desenho é plana? Sim. b) E a do último? Não. 19. Imagine que você está conversando com um amigo ao telefone. Descrevalhe a figura abai xo de modo que seu amigo descubra o que é. Não vale utilizar a palavra cubo. Resposta pessoal.
A
C
B
Danillo Souza
22. Observe as figuras, copie o quadro e preenchao.
B
A
C
A B x x 5 – 9 – 6 –
E
D
20. Usando cubos podemos fazer as seguintes cons truções: A
B
C
D
C D E x x x 7 5 – 15 8 – 10 5 1
E
Poliedro Não é poliedro Quantas faces?
Na primeira usamos 1 cubo; na segunda, 6 cubos; e na terceira, 11 cubos. ◆
Quantos cubos usaremos na oitava construção?
Quantas arestas? Quantos vértices?
36 cubos. A sequência é 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.
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DESAFIOS 26. Esta pilha tem 2 tijolos de comprimento, 2 tijo los de largura e 3 tijolos de altura.
Danillo Souza
23. Observe estes dois objetos e responda.
Edson Antunes
Ambos têm 8.
a) Quantos vértices tem o cubo? E a caixa? b) Quantas arestas tem o cubo? E a caixa? Ambos têm 12. c) Quantas faces tem o cubo? E a caixa? Todas são planas? Ambos têm 6. Sim. d) Que conclusão se pode tirar observando o cubo e a caixa? O cubo e a caixa têm o mesmo número de vértices, faces e arestas. e) Qual é a diferença entre as faces do cubo e as faces da caixa? No cubo, todas as faces são quadradas. Na caixa, há faces retangulares.
24. Veja a planificação de um cubo. Quais são as Rosa e azul. cores das faces opostas?
DAE
Verde e vermelho. Roxo e amarelo.
A de um bloco
a) Qual é a forma de cada tijolo? retangular. de um bloco b) Que forma tem a pilha de tijolos? Aretangular. c) Quantos tijolos formam a pilha? 12 tijolos A pilha de tijolos vai ficar maior. Ela vai passar a ter 3 tijolos de comprimento, 3 de largura e 7 de altura.
a) Quantos pontos tem a face oposta a
?5
b) Quantos pontos tem a face oposta a
?3
c) Quantos pontos tem a face oposta a
?6
d) Quantos tijolos terá a nova pilha? 63 tijolos 27. Imagine que a figura abaixo seja uma sala. No ponto A temos uma aranha e, em H, uma mos ca. Percorrendo a sala pelas “arestas”, a ara nha pretende chegar até a mosca.
Reinaldo Rosa
E
Sabe quantos pontos somam as faces dos três dados que estão apoiadas na mesa? 10 pontos
4m
G
6m
Ilustra Cartoon
25. Num dado, a soma dos valores das faces opos tas é sempre 7. Com base nesta informação, responda:
3m
A D
F H
B C
Calcule a distância percorrida pela aranha se ela seguir o percurso: a) A, D, C e H. 13 m b) A, B, F, E, G e H. 19 m c) A, E, G, D, C e H. 25 m
OBSERVANDO FORMAS
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Autoavaliação 3 2. (Saresp) A foto abaixo é de uma pirâmide de base quadrada, a Grande Pirâmide de Quéops, uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo. O núme ro de faces desta pirâmide, incluindo a base, é:
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. 28. Quantos cubos estão empilhados? Alternativa a.
Ilustrações: DAE
Pius99/Dreamstime.com
Alternativa b.
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
29. Se colocarmos o bloco retangular sobre a face ABCD, a face que fica voltada para cima é: C
a) ABFH b) CBEF c) GHFE d) DCEG
Alternativa c.
B
E
F G
D
A
a) igual ao número de arestas. b) igual ao número de vértices. c) a metade do número de arestas. d) o dobro do número de vértices. 33. (Saresp) Abaixo estão desenhadas as vistas superior e frontal de uma figura.
H
30 A linha vermelha mede 18 cm. O comprimento total das arestas invisíveis do cubo é: Alternativa a. 18 : 6 5 3 33359
a) 9 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 18 cm
vista superior
vista frontal
Dentre as opções abaixo, a única figura com es sas vistas é: Alternativa b.
31. (Saresp) Bia recortou a figu ra ao lado e, em seguida, fez uma colagem para obter um sólido de papelão.
a)
c)
b)
d)
O sólido que Bia obteve foi: a)
b)
Alternativa c.
c)
d)
34. A superfície do bloco ao lado foi pintada de verde e, depois, os pequenos cubos foram sepa rados. O número de pequenos cubos com exatamente duas fa ces verdes é: Alternativa c. a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
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9 UNIDADE
Ângulos 1. Falando um pouco sobre ângulos Parkinsonsniper/Dreamstime.com
as pontas da tesoura aberta formam entre si um ângulo.
Globe Turner/Shutterstock
Oleg Belov/Shutterstock
Darios/Shutterstock
Baloncici/Dreamstime.com
encontramos ângulos na natureza, nas construções e nos objetos criados pelo ser humano.
nesta unidade, vamos aprender a representar, medir e traçar ângulos. ÂNGULOS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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Semirreta Quando marcamos um ponto sobre uma reta, ela fica dividida em duas partes.
A
Cada uma dessas partes é uma semirreta de origem no ponto A. Para representar e nomear as semirretas, fazemos assim:
B AB-
A
P
A OP-
OA-
O
Lemos: semirreta AB ou semirreta de origem em A passando por B.
Lemos: semirreta OP ou semirreta de origem em O passando por P.
B
O OB-
OA- e OB- são semirretas opostas. Observe que elas estão numa mesma reta.
2. Ângulos - elementos e representação Quando traçamos no plano duas semirretas de mesma origem, como você vê na representação a seguir, separamos o plano em duas regiões. Cada uma dessas regiões é um ângulo.
outro ângulo
A
Como as semirretas fazem parte de ambas as regiões, é preciso identificar com qual ângulo vamos trabalhar. Para isso usaremos um pequeno arco (veja a figura ao lado). OA% e OB% são os lados do ângulo e fazem parte dele. O ponto O (origem das semirretas) é o vértice do ângulo. Podemos nomear o ângulo assim: ABOB (lê-se ângulo AOB) ou simplesmente BO (lê-se ângulo O).
Ilustrações: DAE
um ângulo
O
B
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Praticando Matemática
14a prova
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Sim! As arestas dos poliedros formam ângulos!
Reinaldo Rosa
Já falamos em vértices quando estudamos poliedros.
aresta Ilustrações: DAE
aresta
aresta vértice
e se as semirretas de mesma origem estiverem numa mesma reta? ◆ Se elas forem opostas, teremos dois ângulos rasos: dois ângulos de meia volta. ângulo raso O
A
B
ângulo raso ◆
Se elas coincidirem, como as semirretas OA e OB abaixo, teremos: O
A
B
O
A
B
… e o ângulo de uma volta, que toma o plano todo.
o ângulo nulo…
Jorge Zaiba
Giros e ângulos renata prendeu dois palitos de sorvete com um percevejo, como você vê na imagem ao lado. Manteve um deles fixo e girou o outro. ela percebeu que o giro do palito descreve um ângulo.
ÂNGULOS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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3. Medidas de ângulos A
Ilustrações: DAE
a medida de um ângulo depende de sua abertura. C
O B
O
D
a medida de ABOB é menor do que a medida de CBOD, pois ABOB tem abertura menor.
Ilustrações: Jorge Zaiba
Observe os ângulos assinalados nos desenhos abaixo. Discuta com os colegas: esses ângulos têm a mesma medida? Mostrem no texto as frases que justificam suas respostas. Sim. O texto diz que a medida do ângulo depende de sua abertura e as aberturas são iguais.
a unidade de medida mais utilizada para medir ângulos é o grau, cujo símbolo é º. a medida do ângulo de uma volta é 360 graus, ou 360 . O ângulo nulo mede 0 .
360º
Zubartez
O
a medida do ângulo de meia-volta, ou ângulo raso, é 180 . 180º
O 180º
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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É este instrumento, chamado transferidor, que usamos para traçar e medir ângulos. O transferidor ao lado é de 360º. temos também o transferidor de 180º.
Ilustrações: Marcelo Azalim
Se dividirmos o ângulo de uma volta (360º) em 360 ângulos de mesma medida, cada ângulo medirá 1º.
O ângulo de 90º é chamado ângulo reto.
este símbolo indica que o ângulo mede 90º.
Uma volta tem 360 Mesopotâmia
Mar Cáspio
P
Mar Mediterrâneo
O
TÂ
Tigre
E S es O
R io
M
Rio Euf ra t
© DAE/Sônia Vaz
40° L
Mar Negro
M
IA
N 30° N
O
L
Golfo Pérsico
S
r Ma elho rm Ve
De onde vem a ideia de o ângulo de uma volta corresponder a 360º? Trata-se de uma herança muito antiga. Os mesopotâmios, também chamados babilônios, que viveram há milhares de anos numa região que hoje faz parte do Iraque e do Irã, trouxeram muitas contribuições para a Matemática e a Astronomia. Observando o céu, eles imaginaram que o Sol girava ao redor da Terra e levava 360 dias para dar uma volta completa. Hoje sabemos que é a Terra que gira ao redor do Sol e que uma volta completa leva 365 dias e algumas horas. Mas para a época a aproximação era boa.
Mesopotâmia quer dizer “terra entre dois rios”. essa região ficava entre os rios tigre e eufrates.
0
253
506 km
Fonte: Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 6. ed., 2012.
ÂNGULOS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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EXERCÍCIOS 1. Na figura abaixo há três ângulos. Quais são?
5. Cada um dos círculos abaixo está dividido em um número de “fatias” do mesmo tamanho.
A
A
B
12 fatias
24 fatias
B O
AÅOB B ÅOC A ÅOC
DAE
C
2. O vértice do ângulo é o centro do círculo. a) A que parte do círculo corresponde um ângulo reto? Quarta parte do círculo. b) A que parte do círculo corresponde um ângulo raso? Metade do círculo. c) A que parte do círculo corresponde um ângulo de uma volta? Círculo inteiro. 3. Escreva outro horário em que os ponteiros do relógio formam um ângulo reto. Sugestão de resposta: 9 horas.
C
36 fatias
Faça a estimativa de quantas fatias de cada tipo (A, B ou C) serão necessárias para construir cada ângulo que segue.
Miflippo/Dreamstime.com
a)
b)
4. Copie e complete o quadro referente aos ângulos descritos pelo ponteiro dos minutos quando gira:
c)
◆
Quantas fatias A? 2
◆
Quantas fatias B? 4
◆
Quantas fatias C? 6
◆
Quantas fatias A? 3
◆
Quantas fatias B? 6
◆
Quantas fatias C? 9
◆
Quantas fatias A? 4
◆
Quantas fatias B? 8
◆
Quantas fatias C? 12
De
Para
Medida do ângulo
1
2
30°
2
5
90°
5
9
120°
9
3
180°
Ilustrações: Marcelo Azalim
6. Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros deste relógio? 105°
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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4. Utilizando o transferidor Vamos construir um ângulo de 50º com auxílio do transferidor. ◆
◆
◆
◆
trace a semirreta OA.
O
O ponto O será o vértice do ângulo e OA% um de seus lados.
◆
B
Coloque o centro do transferidor sobre o ponto O de modo que a linha de 0º a 180º fique sobre OA%. O
Geralmente, o transferidor tem duas escalas. Utilize a que tem o zero sobre o lado do ângulo. Como queremos um ângulo de 50º, marque o ponto B.
A B
retire o transferidor e trace a semirreta OB, obtendo o ângulo AB O B que mede 50º. Simbolicamente, med(AB O B) = 50º.
agora, vamos medir o ângulo CBOD utilizando o transferidor. ◆ O centro do transferidor deve ser posicionado sobre o vértice do ângulo. ◆
A
a linha de 0º a 180º deve coincidir com um dos lados do ângulo. Meça o ângulo a partir do zero que está sobre o lado do ângulo.
O
A Ilustrações: Marcelo Azalim
◆
D
O C
a semirreta OD passa pela marca 135, ou seja, med(CBOD) = 135º.
1. Que relação há entre: a) ângulo reto e ângulo raso? O ângulo reto tem medida igual à metade da do raso. b) ângulo reto e ângulo de uma volta? A medida do ângulo reto é a quarta parte da medida do ângulo de uma volta. 2. Em quais horas exatas do dia os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio formam um ângulo reto? E um ângulo raso? Raso: 6h, 18h. Reto: 9h, 3h, 15h e 21h.
na atividade acima, você deve ter encontrado ângulos retos, ou seja, ângulos de 90º. Os ângulos com medida menor que 90º são chamados ângulos agudos. Os que têm medida maior que 90º são chamados ângulos obtusos.
alguns revestimentos, como este piso, têm ladrilhos poligonais com diferentes medidas de ângulos. ÂNGULOS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
Milan Baloun/PantherStock/Glow Images
3. Procure objetos e construções em que seja possível utilizar o transferidor para medir ângulos. Registre as medidas que encontrar no caderno, escrevendo onde obteve cada uma. Compartilhe seus registros com os colegas.
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EXERCÍCIOS 7. Qual é maior: a) um ângulo agudo ou um ângulo reto? Ângulo reto. b) um ângulo reto ou um ângulo obtuso? Ângulo obtuso. c) um ângulo agudo ou um ângulo obtuso?
x 52º
Ângulo obtuso.
8. Observe como Pedro desenhou os movimentos que fez na aula de Educação Física. Seus braços e tronco formam vários ângulos. Classifique-os como retos, agudos ou obtusos. Obtusos
a)
DAE
10. Qual é o valor de x? 128°
11. Usando um transferidor, determine as medidas dos ângulos indicados de uma praça representada no desenho abaixo. A = 50°, B = 120°, C = 45° e D = 145°
d)
B
Obtusos
C illo
n Da
b)
A
e)
c)
D
Reto e agudo Ilustrações: Leonardo Conceição
Agudos
a
uz
So
12. Veja a representação de vários ângulos, bem como a medida de cada um deles. Por estimativa, indique no caderno a letra que acompanha o ângulo e a medida a ele correspondente. 30
45
85
120
145
f) Retos
Obtuso e agudo
a) 85°
b) 120°
9. Identifique todos os ângulos retos da figura. D E 26°
32°
32°
d) 30°
32° G
B
28°
45°
DAE
F
c)
C
Ilustrações: DAE
AÔD, DÔG e CÔF
30° O
A
e) 145°
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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5. Retas perpendiculares e retas paralelas A rua Quinze é perpendicular à rua Treze.
Rua Treze
Avenida Oito
ze Rua Quin
Danillo Souza
Considerando que as ruas ilustradas no mapa nos dão a ideia de retas, vamos usar a Geometria para entender melhor o diálogo entre essas pessoas?
Rua Vinte
Rua Doze
Avenida Nove
E as avenidas Oito e Nove são paralelas.
Quando duas retas de um mesmo plano se cortam em um único ponto, elas são chamadas de retas concorrentes. Veja: r
a
b
s
as retas a e b também são concorrentes (o ponto de interseção delas está fora do papel).
as retas r e s são concorrentes.
duas retas concorrentes que formam entre si ângulos retos são chamadas retas perpendiculares. t c
d
u
as retas t e u são perpendiculares.
as retas c e d são perpendiculares.
r
Ilustrações: DAE
Quando duas retas em um mesmo plano não têm ponto comum, ou seja, não se intersectam, são chamadas de retas paralelas. u
s
as retas r e s são paralelas.
v
as retas u e v são paralelas.
Volte ao mapa ilustrado no alto da página. Encontre mais pares de ruas que podem ser consideradas retas: ◆ paralelas. Rua Doze e Rua Vinte. ◆ perpendiculares; Por exemplo: Rua Doze e Av. Nove.
ÂNGULOS
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EXERCÍCIOS 13. Olhe para a folha do seu caderno e para esta fotografia. O que você pode dizer sobre a direção das linhas desenhadas nesta folha?
16. Em papel quadriculado, copie e complete o mapa da figura de acordo com as instruções. o
São paralelas.
J
o
Utilize cópia da malha quadriculada disponível na página 278.
R
u
a
S
ã
o
Edson Antunes
ã
Dica!
R
u
a
S
ã
o
J
o
r
g
e
A
B
C
D
Danilo Souza
14. Mário quer ir até o muro pelo caminho mais curto.
E
a) Desenhe no mapa a rua São Pedro paralela à rua São João. Há diversas possibilidades. b) Desenhe a rua São Sebastião, que não pode ser paralela nem pode ser perpendicular à rua São Jorge. Há diversas possibilidades.
Jorge Zaiba
17. Indique se as linhas a seguir são paralelas ou perpendiculares.
Qual caminho deverá escolher? Por quê? O caminho C, pois é perpendicular ao muro.
Danilo Souza
15. Observe a planta de um bairro mostrada na figura abaixo e responda:
linha lateral linha do meio
linha de fundo
a) As duas linhas de fundo. Paralelas. b) Uma linha lateral e uma linha de fundo. Perpendiculares.
a) Quais ruas são paralelas? A e B; M e N. b) Quais ruas são perpendiculares? A e C; B e C.
c) A linha do meio em relação às linhas laterais. Perpendicular.
d) A linha do meio em relação às linhas de fundo. Paralela.
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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6. Os esquadros
Fotos: exopixel/Shutterstock
Você já viu um esquadro? Os esquadros são usados por desenhistas e outros profissionais para traçar alguns ângulos e também retas paralelas e perpendiculares. existem dois tipos de esquadro:
este tipo tem um ângulo de 90º, um ângulo de 60º e um ângulo de 30º.
este tipo tem um ângulo de 90º e dois ângulos de 45º.
1. Providencie um par de esquadros. Cole uma etiqueta em cada ângulo dos esquadros, marcando suas medidas: 90º, 30º e 60º e 45º, 45º e 90º. 2. Atualmente, muitos profissionais traçam retas perpendiculares ou paralelas e ângulos necessários a seus trabalhos no computador. Eles contam com o auxílio de softwares especializados. No entanto, para usar corretamente esses softwares é preciso conhecer Geometria. Procure entrevistar um desses profissionais, como um arquiteto ou projetista, para saber que importância tem a Geometria em seu trabalho.
30º
45º
90º
90º
45º
60º
Com o par de esquadros você pode traçar alguns ângulos:
45º 35º
135º 45º
90º
150º 90º
Ilustrações: Jorge Zaiba
75º
60º
1. O que há em comum nos dois tipos de esquadro? São triangulares e possuem um ângulo reto. Retas perpendiculares possuem um único ponto em comum, por isso são concorrentes. Retas
2. Justifiquem a afirmação abaixo. concorrentes podem não formar entre si 4 ângulos retos, ou seja, podem não ser perpendiculares. “Retas perpendiculares com certeza são concorrentes, mas retas concorrentes podem não ser perpendiculares.” 3. Uma reta r é paralela a uma reta s. A reta s, por sua vez, é paralela à reta t. O que ocorre com as retas r e t? São paralelas.
ÂNGULOS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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Veja agora como traçar retas perpendiculares e paralelas como auxílio de régua e esquadro.
Retas perpendiculares
t
s
s
s
2) apoie um lado do ângulo 3) retire o esquadro e prolongue a reta t. reto do esquadro sobre a reta s e trace um trecho da reta t perpendicular a s.
1) trace uma reta.
Retas paralelas Ilustrações: Jorge Zaiba
s
s
s
t
t
1) apoie um lado do ângulo reto 2) Mantenha a régua fixa e deslize 3) retire o esquadro e a régua o esquadro para traçar a reta t. do esquadro sobre a régua e e prolongue s e t, que são trace a reta s. paralelas. também podemos traçar retas paralelas usando o outro lado do esquadro. Veja a seguir. s
s
s
t
t
1) apoie um lado do ângulo reto 2) Mantenha a régua fixa e deslize 3) as retas s e t são paralelas. o esquadro para traçar a reta t. do esquadro sobre a régua e trace a reta s. 152
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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EXERCÍCIOS 18. Com o auxílio de esquadros, desenhe um ângulo de: a) a) 60° b) 45°
60°
c) 90° d) 135°
b) 45°
c)
d)
21. Qual é a medida do ângulo assinalado na figura? 105°
135°
19. Usando régua e esquadro verifique a posição relativa das retas.
a
d
b
22. Qual é a medida do ângulo determinado pelas semirretas verdes na figura? 15°
c
a) duas retas paralelas; b e d b) duas retas perpendiculares; a e b ou a e d c) duas retas com um só ponto comum e que não são perpendiculares. c e b ou c e d 20. Para traçarem uma reta perpendicular a r passando por P, Rita e Mauro colocaram os seus esquadros como mostram as figuras: r
Mauro
Ilustrações: Jorge Zaiba
Indique:
23. A figura abaixo mostra a trajetória seguida por um grupo de ciclistas. Nesse percurso, quantas vezes eles mudaram de direção? 3 vezes
C
P A
Rita
B
Q
r P Leonardo Conceição
P
Só um deles colocou corretamente o esquadro. Quem foi? Rita.
ÂNGULOS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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REVISANDO
DESAFIOS
24. Sem utilizar o transferidor, indique a medida aproximada de cada um dos ângulos assinalados nas figuras. a)
b)
45°
28. Na figura há quatro ângulos. Quanto mede cada um deles? A
120°
BA = 90°
BB = 45°
D
c)
B
90°
BC = 135° BD = 90°
C
Jorge Zaiba
Ilustrações: Jorge Zaiba
29. Quanto mede o ângulo determinado pelas semirretas verdes? 105°
25. Use o transferidor para medir os ângulos A B , BB e BC. O que você descobriu? B
C
Os três ângulos têm medidas iguais a 90°.
O
26. Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando:
b)
c)
60°
Hélio Senatore
a)
90°
2 horas?
3 horas?
d)
150°
5 horas?
30. Vamos imaginar um relógio parado indicando 2 horas. Você dá corda nele e os ponteiros começam a rodar. Nos primeiros cinco minutos, logo após o início do funcionamento, o menor ângulo formado pelos dois ponteiros vai diminuir ou aumentar? O ângulo vai diminuir.
120°
8 horas?
R. Gino Santa Maria/Shutterstock
A
27. A que horas os ponteiros do relógio formam um ângulo de: a) 0°? Resposta possível: 12 h. b) 180°? Resposta possível: 6 h. Indique uma solução para cada caso.
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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Seção livre 31. Observe a figura: Danilo Souza
3 4. (Saresp) Imagine que você tem um robô tartaruga e quer fazê-lo andar num corredor sem que ele bata nas paredes. Para fazer isso, você pode acionar 3 comandos: avançar (indicando o número de casas), virar à direita e virar à esquerda. Para que você acione de forma correta o comando, imagine-se dentro do robô.
Paulo
João
André
Qual dos três jogadores tem: a) maior ângulo de visão do gol? João. b) menor ângulo de visão do gol? Paulo.
Final
3 2. Um cavalo puxa uma carroça sempre em linha reta, em uma estrada de terra umedecida pela chuva. O que você pode dizer das marcas deixadas pelas duas rodas da carroça na estrada?
entrada
Estúdio Ornitorrinco
Pedro Sotto
Dão a ideia de retas paralelas.
3 3. Um estudante desenhou numa folha de papel um ângulo de 20°. Em seguida, resolveu admirar o próprio desenho (imitando um célebre detetive) através de uma lupa que aumentava 4 vezes um objeto qualquer. Ele enxergará, olhando através da lupa, um ângulo de: Alternativa a.
a) 20° b) 10°
c) 40° d) 80°
Seus comandos para que o robô vá até o final deverão ser: Alternativa a. a) Avançar 4 casas, virar 90° à direita, avançar 3 casas, virar 90° à direita, avançar 2 casas. b) Avançar 4 casas, virar 90° à esquerda, avançar 3 casas, virar 90° à esquerda, avançar 2 casas. c) Avançar 4 casas, virar 90° à direita, avançar 3 casas, virar 90° à esquerda, avançar 2 casas. d) Avançar 4 casas, virar 90° à esquerda, avançar 3 casas, virar 90° à direita, avançar 2 casas.
Ângulos
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Praticando Matemática
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AUTOAVALIAÇÃO
E
Danilo Souza
35. Na ilustração, está representado o caminho que um garoto fez para ir de sua casa à biblioteca. Cada esquina por onde o garoto passou está indicada por uma letra.
Sílvia André Gil
Paula
100 m
H
38. (Saresp) A figura abaixo mostra a localização de quatro crianças em relação às ruas Alegria e Beija-flor. As demais ruas traçadas são paralelas à rua Alegria ou à rua Beija-flor. A distância entre cada uma das ruas é de 100 metros. Rua Beija-flor
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
G
F
Nessa trajetória há um ângulo: Alternativa d. a) de 90° em todas as esquinas. b) menor do que 90°, na esquina E. c) maior do que 90°, na esquina H. d) menor do que 90°, na esquina G. 36. (Escola Técnica-UFPR) No sinal de entroncamento oblíquo, podem ser identificados três ângulos:
Rua Alegria
100 m
Assinale a alternativa correta. Alternativa a. a) André está à mesma distância das ruas Alegria e Beija-flor. b) Paula está a 100 m da rua Alegria e a 200 m da rua Beija-flor. c) Sílvia está a 200 m da rua Alegria e a 100 m da rua Beija-flor. d) Gil está a 200 m da rua Alegria e a 100 m da rua Beija-flor. 39. Na figura, os três ângulos indicados têm a mesma medida. O valor de x é: Alternativa c.
DAE
entroncamento oblíquo à esquerda. adverte o motorista de que em frente há uma via de saída à esquerda.
x x x
Com relação às suas medidas, esses ângulos são classificados como: Alternativa a. agudo, obtuso e raso. agudo, obtuso e reto. obtuso, reto e raso. agudo, reto e raso.
40. O ângulo assinalado na figura mede: Alternativa c.
37. O ângulo que o ponteiro dos minutos descreve em 14 minutos é de: Alternativa d. a) 14° b) 24°
c) 120° d) 135°
c) 82° d) 84°
a) b) c) d)
105° 120° 135° 150°
Jorge Zaiba
a) b) c) d)
a) 60° b) 90°
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10 UNIDADE
Polígonos e circunferências 1. Polígonos
Ilustra Cartoon
Repare como na estrutura ilustrada ao lado foram utilizados triângulos. Isso é bastante comum nas construções de prédios, telhados, móveis etc. Você sabe por quê? O triângulo torna as estruturas mais firmes, rígidas. Podemos comprovar isso construindo um triângulo e um quadrado com palitos de sorvete e percevejos, como os das fotografias a seguir. Em seguida, tentamos deformar essas figuras.
Fotos: Edson Antunes
Observe que o quadrado é deformável e o triângulo é rígido. Numa estrutura de telhado, por exemplo, a rigidez é uma característica importante. No entanto, em outras situações, a maleabilidade pode ser desejável.
Os polígonos apresentam características e propriedades importantes. Estudando-os, poderemos utilizá-los melhor no nosso dia a dia. POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS
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Nomeando polígonos A palavra polígono origina-se do idioma grego:
poli: muitos gonos: ângulos
Polígono é uma figura geométrica plana limitada por segmentos de reta, chamados lados do polígono. Observe o polígono: O prefixo poli aparece em várias palavras da língua portuguesa. Procure no dicionário o significado de: ◆ polissílaba; ◆ polivalente; ◆ poliglota. Acrescente a essa lista outras palavras que tenham o prefixo poli, com seus respectivos significados.
DAE
A
Angelo Gilardelli/Dreamstime.com
C
B
Esse polígono é um triângulo. Ele apresenta: ◆◆
3 lados que são segmentos de reta: AB, BC e CA;
◆◆
3 ângulos internos: BA, B B e BC;
◆◆
3 vértices: A, B e C.
Podemos chamá-lo de triângulo ABC. De acordo com o número de lados ou ângulos que o polígono apresenta, ele recebe um nome. Veja os principais: No de lados
Nome do polígono
3
triângulo
4
quadrilátero
5
pentágono
Muitos artistas utilizam-se de polígonos em suas obras. Acima vemos um exemplo de mosaico que faz esse uso. Utilize o quadro ao lado para nomear os polígonos abaixo. A
B
pentágono
6
hexágono
7
heptágono
8
octógono
9
eneágono
10
decágono
12
dodecágono
C
octógono
D
decágono
hexágono
E
heptágono
158
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Exercícios 1. Por que será que os engenheiros utilizam tantas vezes o triângulo na construção de estruturas?
4. Faça a correspondência do número com a letra. A – 1; B – 4; C – 3; D – 2.
B
C
D
( 1) Tenho 12 lados. (2) Tenho 3 vértices.
Porque o triângulo é um polígono rígido. Isso não acontece com uma figura que tenha mais de três lados.
2. Veja estas três estruturas:
5. O desenho das bandeiras é formado por várias figuras geométricas. Quais destas bandeiras apresentam apenas figuras que são polígonos? Globe Turner/Shutterstock
Jordânia e Emirados Árabes.
C B
Qual delas é rígida? B
Coreia do Sul
A
B
Esancais/Shutterstock
3. Entre os polígonos representados, indique aque les que são: C
Emirados Árabes E
F
G
Ilustrações: DAE
D
H
I
Paquistão
6. Decomponha o polígono dado em: a) três triângulos; b) um triângulo e um quadrilátero; c) dois quadriláteros.
J
B
A
a) hexágonos;E e G b) quadriláteros; A e B c) pentágonos; H
d) decágonos; D e) octógonos; C f) dodecágonos. Nenhum.
Globe Turner/Shutterstock
Jordânia
C
E
DAE
A
(3) Tenho 8 lados. (4) Sou um heptágono.
ARTEKI/Shutterstock
Fotos: Anselmo Jr.
Ilustrações: DAE
Esebene/Dreamstime.com
A
D
Polígonos e circunferências
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2. Triângulos Copie no caderno o quadro abaixo. Medidas dos lados em centímetros Triângulo ABC
AB
5
BC
5
AC
5
Triângulo DEF
DE
5
EF
7
FD
3
Triângulo GHI
GH
6
HI
5
IG
5
Usando a régua, meça os lados de cada triângulo a seguir e anote as medidas no quadro. B
H
E
Ilustrações: DAE
I
C
A
D
F G
De acordo com as medidas dos lados, classificamos os triângulos em: ◆◆
equilátero: 3 lados com medidas iguais;
◆◆
isósceles: 2 lados com medidas iguais;
◆◆
escaleno: 3 lados com medidas diferentes.
A partir do quadro que você construiu, responda no caderno: 1. Qual dos triângulos é equilátero? ABC 2. Qual dos triângulos é isósceles? GHI 3. Qual dos triângulos é escaleno? DEF
Agora, veja como os triângulos são classificados de acordo com seus ângulos:
Pense e responda: 1. Existe triângulo com dois ângulos retos? triângulo acutângulo 3 ângulos agudos
triângulo obtusângulo 1 ângulo obtuso triângulo retângulo 1 ângulo reto
Não.
2. Existe triângulo com dois ângulos obtusos? Não.
160
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3. Quadriláteros A
O polígono ao lado é um quadrilátero. Ele apresenta: ◆◆ 4 lados: AB, BC, CD e DA; ◆◆
Ilustrações: DAE
B
4 ângulos internos: : BA, B B, BC e BD;
D 4 vértices: A, B, C e D. Alguns quadriláteros têm características especiais e por isso recebem nomes especiais.
C
◆◆
Edson Antunes
Os trapézios são quadriláteros que apresentam 1 par de lados paralelos.
Parinyabinsuk/Dreamstime.com
Os paralelogramos são quadriláteros que apresentam 2 pares de lados paralelos.
Atenção! Observe que paralelogramos são trapézios, pois apresentam um par de lados paralelos.
Mas não para por aí. Entre os paralelogramos existem alguns que recebem nomes especiais por causa de suas propriedades. Polígonos e circunferências
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Os paralelogramos Os paralelogramos que apresentam todos os ângulos retos são chamados de retângulos.
Zubartez
Ilustrações: DAE
Então retângulos são paralelogramos que têm uma característica especial: 4 ângulos de 90 .
Os paralelogramos que apresentam todos os lados com a mesma medida são chamados de losangos.
Zubartez
E os losangos também são paralelogramos especiais!
Por fim, temos os quadrados, que são paralelogramos que apresentam todos os ângulos retos e todos os lados com mesma medida.
Zubartez
Puxa! O quadrado é um paralelogramo, é um retângulo e é um losango também!
162
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eXerCÍCios
1
a) Essa bandeira é formada apenas por triânguO polígono vermelho é los? Justifique. Não. um quadrilátero. b) Identifique e escreva a cor dos dois triângulos retângulos representados na bandeira. Verde e azul. c) Identifique dois triângulos obtusângulos representados na bandeira. Amarelo e branco. d) Identifique três triângulos escalenos representados na bandeira. Três triângulos quaisquer entre os da figura, pois todos são escalenos.
8. Responda usando duas das palavras a seguir: equilátero
isósceles
escaleno
acutângulo
obtusângulo
retângulo
9. No painel estão representados diferentes qua driláteros.
a) A praça tem a forma de um triângulo. Classifique esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos. Equilátero e acutângulo.
2
5
3
4
Ilustrações: DAE
DAE
7. O desenho da bandeira é formado por figuras geométricas. Veja a bandeira do Seychelles, o menor país africano.
7
6
9
8
10
a) Quais não têm lados paralelos? 3, 6 e 10 b) Quais têm apenas um par de lados paralelos? Como se chamam? 1, 8 e 9; trapézios c) Quais têm dois pares de lados paralelos? Como se chamam? 2, 4, 5 e 7; paralelogramos d) Quais têm todos os lados com medidas iguais? 4e7 e) Quais têm todos os ângulos retos? 2 e 4 f) Quais são retângulos? 2 e 4 g) Quais são losangos? 4 e 7 h) Quais são quadrados? 4
A
15
B
C
DAE
m
15
m
10. Observe a figura:
15 m
b) Os esquadros têm a forma de triângulos. Classifique-os quanto aos lados e quanto aos ângulos. D
B
Jorge Zaiba
A
Escaleno e retângulo.
Isósceles e retângulo.
E
F
Há 4 triângulos: ABD, BCE, DEF, BDE. 4 quadriláteros: ACED, quadriláteros? Há ABED, CBDE, BEFD.
a) Há quantos triângulos? b) Há quantos
c) Há quantos pentágonos?
Há 3 pentágonos: ACEFD, ABEFD, BCEFD.
POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS
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4. Polígonos regulares
Estes polígonos não são regulares:
Registrem nos cadernos. 1. Expliquem por que cada um dos quatro polígonos acima não é regular. Retângulo: os lados não têm todos a mesma medida.
Valéria Vaz
Zubartez
Ilustrações: DAE
Um polígono é regular quando tem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos com medidas iguais. Estes polígonos são regulares:
Use régua e transferidor para medir os lados e os ângulos de cada polígono e verificar que eles realmente são regulares.
Triângulo escaleno: os lados não têm a mesma medida (os ângulos também não).
2. Qual é o nome do polígono regular de: Losango: os lados têm a mesma medida, mas os ângulos, não. a) 3 lados? Triângulo equilátero. Pentágono: os ângulos não têm todos a mesma medida (os lados também não). b) 4 lados? Quadrado. 3. O número de vértices de um polígono é sempre igual ao número de lados? Sim. 4. Todo quadrado é um losango. Todo losango é um quadrado? Não, pois o quadrado tem 4 ângulos retos. O losango pode não ter.
5. Na figura abaixo, combinamos dois polígonos para formar um mosaico. Identifique e nomeie esses polígonos. Qual deles é regular? Hexágonos e quadriláteros; os hexágonos são regulares.
O vitral retratado ao lado é um exemplo do uso de quadriláteros para compor um mosaico.
Na página 277, na seção Moldes e malhas, há um modelo de malha triangular que facilita desenhar figuras geométricas. Você pode fotocopiá-la e criar uma composição bem bonita de formas, usando polígonos regulares e não regulares. 164
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eXerCÍCios 11. Quais destas placas de trânsito têm forma de polígono regular? C e D. A
C
14. (Saeb) Cristina desenhou quatro polígonos re gulares e anotou dentro deles o valor da soma de seus ângulos internos.
540°
D
900°
12. Os polígonos representados a seguir têm os la dos com medidas iguais, mas não são regula res. Por quê? Os ângulos não têm a mesma medida.
Ilustrações: DAE
B
720°
1 080°
Qual é a medida de cada ângulo interno do he xágono regular? 120° 15.Dos polígonos abaixo apenas dois são regulares. Observe as figuras e anote a alternativa correta. Alternativa b.
13. Observe o polígono da figura e responda:
a) Qual é o nome que se dá a esse polígono? Octógono. b) Quantos graus mede cada um dos ângulos desse polígono? 135° c) É um polígono regular? Por quê? Não, pois nem todos os lados têm a mesma medida.
a) b) c) d)
Retângulo, paralelogramo. Quadrado, triângulo equilátero. Losango, quadrado. Retângulo, losango.
POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS
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5. Perímetro O senhor Lima possui um terreno em forma de trapézio. Ele pretende cercar esse terreno com arame. Para isso, faremos um desenho representando o terreno, marcando as medidas necessárias como ele marcou:
Danillo Souza
Zubartez
10 48 30 52 140
DAE
A soma das medidas dos lados do terreno é 140 m. Para contornar o seu terreno, o senhor Lima precisa de 140 m de arame.
A medida do contorno de uma figura geométrica plana é o seu perímetro.
Este hexágono regular tem perímetro de 12 cm. Confira!
1. Podemos construir vários retângulos diferentes cujo perímetro seja de 24 cm. Um retângulo de 8 cm de comprimento por 4 cm de largura, por exemplo, tem perímetro de 24 cm. Apresente outras possibilidades para as medidas de comprimento e largura desses retângulos. 2. Estime qual deve ser o perímetro da capa retangular do seu livro de Matemática. Tire as medidas com régua, calcule o valor correto do perímetro e avalie se sua estimativa foi boa. 3. Com um colega, faça estimativas para o perímetro da sala de aula. Com auxílio de trena ou metro de carpinteiro para tirar as medidas, determinem esse perímetro e vejam se as estimativas foram satisfatórias. Foi mais fácil estimar o perímetro da capa do livro ou o perímetro da sala de aula? Justifiquem a resposta no caderno. 1. 9 cm 3 cm; 5 cm 7 cm; 1 cm 11 cm; 2 cm 10 cm, por exemplo. 2 e 3.: respostas pessoais.
166
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eXerCÍCios 19. Qual é o menor trajeto que uma formiga deve fazer para ir de A até B usando o contorno da figura? P 10 5 6 21. Portanto: 21 cm.
16 lados de Danillo Souza
17. Todos estes quadrados têm as mesmas di mensões:
12 cm
A
4 cm
Ilustrações: DAE
16. Use o lado do quadradinho como unidade de medida de comprimento e responda: Qual é o perímetro da figura que foi montada?
B
10 cm
2 cm 5 cm
20. Queremos fazer uma cerca de 3 fios de arame em volta do terreno indicado pela figura abaixo. Cada rolo de arame tem 50 m. Quantos rolos se rão necessários? Juntando os quatro quadrados é possível for mar figuras com 20 cm de perímetro. Descubra pelo menos duas dessas figuras e faça o dese nho delas.
14 cm
28 cm
18. Responda. a) Quanto mede o lado desconhecido? 11 cm
26 cm ? 9 cm
Tenho perímetro de 30 cm.
10 cm
b) Quanto mede o lado do hexágono regular? 8 cm
Tenho perímetro de 48 cm. c) Qual é a largura do retângulo? 3 cm
Tenho perímetro de 18 cm e o meu comprimento é o dobro da largura.
32 cm 6 rolos, pois P 32 28 14 26 100 3 100 300 300 50 6
21. Qual é o perímetro do polígono da figura? Soma dos “degraus” horizontais: 9 cm. Soma dos “degraus” verticais: 4 cm. P 4 9 4 9 26 Perímetro: 26 cm.
4 cm
9 cm
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6. Circunferências A palavra circum em latim quer dizer “ao redor”. Mas ao redor do quê? Vamos descobrir? Faça assim:
P
1. Marque um ponto P na folha de seu caderno. 2. Usando régua, marque um ponto sobre a folha que esteja a 2 cm de P. Vá girando a régua e marcando na folha outros pontos distantes 2 cm de P.
Marcelo Azalim
P
3. Se tomarmos todos os pontos da folha que distam 2 cm de P, obteremos uma linha fechada ao redor de P: uma circunferência.
r
P
O círculo é uma figura plana. O centro e o raio do círculo coincidem com o centro e o raio de sua circunferência.
r
Use a régua para determinar a medida do raio desta circunferência, que tem centro no ponto O.
O
Ilustrações: DAE
P
2 cm
P é o centro dessa circunferência. A distância de P até qualquer ponto da circunferência é o seu raio. A circunferência do exemplo tem raio de 2 cm. Unindo a circunferência e os pontos do seu interior, obtemos um círculo:
O ponto P é o centro da circunferência abaixo. PA e PB são raios da circunferência. O segmento AB é um diâmetro da circunferência. Qual é a relação entre a medida do raio e a do diâmetro de uma circunferência?
r 2,5 cm
A
P
B
A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio.
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O compasso Para traçar uma circunferência precisamos: fixar um ponto no plano (centro da circunferência);
◆◆
fixar uma distância (raio da circunferência);
◆◆
traçar todos os pontos do plano que estão a essa distância do centro. Fotos: Fernando Favoretto/Criar Imagem
◆◆
O compasso é o instrumento ideal para esta tarefa, pois: ◆◆ ◆◆
as hastes se abrem, o que permite fixar uma distância com auxílio da régua; uma de suas hastes tem uma ponta metálica que espeta no papel, a ponta seca, fixando o centro da circunferência e na outra haste tem um grafite, que permite traçar a circunferência.
Às vezes precisamos traçar circunferências e não dispomos de um compasso. No entanto, quem sabe o que é preciso para traçar uma circunferência é capaz de improvisar. Para uma brincadeira, a professora precisa traçar no piso do pátio uma circunferência de 3 m de raio. Imagine uma forma de ajudá-la a resolver essa situação.
Ilustra Cartoon
Experimente traçar algumas circunferências com compasso em seu caderno. Em cada uma nomeie o centro e anote a medida do raio.
Resposta possível: fixar uma ponta de um barbante com 3 m de comprimento, esticar e girar o barbante ao redor do ponto fixo, traçando a circunferência com giz.
POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS
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eXerCÍCios Pedro Sotto
22. Veja a posição dos jogadores e responda:
Luís
Rui
24. Observe o quadro e responda qual é o planeta que tem: a) o menor diâmetro? Mercúrio. b) o maior diâmetro? Júpiter. c) o diâmetro mais próximo do da Terra? Vênus.
Lico
planeta
Ari
a) Qual menino está mais próximo da bola? E qual está mais longe dela? Lico; Rui. b) Dois meninos estão à mesma distância da bola. Quais são? Ari e Luís.
Mercúrio
4 879
Vênus
12 104
Terra
12 756
Marte
6 794
Júpiter
142 984
Saturno
120 536
Urano
51 118
Netuno
49 492
Fonte: .
25. Quero confeccionar uma capa quadrada para guardar um CD que tem 6 cm de raio. Qual de ve ser a menor medida da lateral dessa capa? 12 cm
Marcelo Azalim
Ilustrações: Ronaldo Barata
23. Observe as argolas, na primeira ilustração, e o CD, na segunda, e responda:
diâmetro (em km)
26. Veja um tubo cilíndrico de ferro, oco, com as di mensões indicadas:
DAE
7 mm de espessura
a) Qual objeto nos dá ideia de circunferência? Argola. b) Qual objeto nos dá ideia de círculo? CD.
34 mm de diâmetro externo
Qual é o diâmetro interno? 20 mm
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7. Simetria nos polígonos e no círculo Tire uma cópia e recorte com cuidado os modelos de polígonos que estão nas páginas 282 e 283, na seção Moldes e malhas. Identifique-os a partir das letras marcadas nas figuras. A) B) C) D) E)
triângulo isósceles triângulo equilátero triângulo escaleno quadrado retângulo
F) G) H) I) J)
Comece pelo triângulo isósceles. Dobre-o pela reta r como indica a figura abaixo.
C
Pegue o triângulo equilátero. Ele apresenta três eixos de simetria. Veja abaixo como fazer as dobras.
Dobre assim, fazendo coincidir os vértices B e C.
Ilustrações: DAE
r A
B
Observe que a reta r separou o triângulo em duas partes idênticas que se superpõem perfeitamente. A reta r é o eixo de simetria deste triângulo. O triângulo isósceles apresenta somente um eixo de simetria.
Junte-se a dois colegas. Procurem eixos de simetria nos demais polígonos e no círculo. Copiem e completem o quadro ao lado nos cadernos. Discutam com os demais colegas as questões propostas. 1. O paralelogramo F apresenta eixo de simetria? Não.
2. Você recortou um hexágono e um pentágono que são regulares. Além deles, há mais dois polígonos entre os recortados que são regulares. Quais? O triângulo equilátero e o quadrado. 3. Observe a tabela e escreva a relação entre o número de lados de um polígono regular e o número de eixos de simetria que ele apresenta. São iguais.
4. Quantos eixos de simetria apresenta o círculo? Infinitos.
paralelogramo losango hexágono regular pentágono regular círculo
Já o triângulo escaleno não apresenta eixo de simetria. Confira!
Número de eixos de simetria
Letra
Polígono
A
triângulo isósceles
1
B
triângulo equilátero
3
C
triângulo escaleno
0
D
quadrado
4
E
retângulo
2
F
paralelogramo
0
G
losango
2
H
hexágono regular
6
I
pentágono regular
5
J
círculo
Infinitos
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revisando 2 7. Observe os mosaicos:
2 9. Observe as figuras seguintes e escreva quais das retas assinaladas são eixos de simetria. a, c, e, f
A
f
b
e
a retângulo d
c
g
hexágono regular
triângulo isósceles
Fotos: Globe Turner/Shutterstock
3 0. Observe as bandeiras de alguns países:
B
Finlândia 1
Brasil 0
Japão 2
Photoonlife/Shutterstock
a) No mosaico A há apenas um tipo de polígono. Qual é o nome dele? Dodecágono. b) Dois tipos de polígonos formam o mosaico B. Quais os nomes desses polígonos?
Grécia 0
Octógono e quadrado.
28. Observe
a figura: A Colômbia 1
Jamaica 2
Responda: Quantos eixos de simetria há em cada bandeira? 31. Indique o número de eixos de simetria de cada uma das figuras. Escreva a resposta, mas lem bre-se: não risque o livro!
C
D
B
C
D
E
a) Indique os triângulos retângulos. ABC, ACD e ACE b) Indique um triângulo isósceles e acutângulo. ABD c) Indique um triângulo obtusângulo. ADE
Ilustrações: DAE
B
A
A: 0 B: 1 C: 2 D: 2
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desaFios 32. De um retângulo de 30 cm de largura e 40 cm de comprimento, foram retirados dois quadra dos, cada um com 10 cm de lado, como mostra a figura.
36. Desenhe um quadrado. Recorteo de modo a obter 4 triângulos retângulos. Tente, com dois ou mais desses triângulos, construir:
a)
a) um retângulo; b) um paralelogramo; b)
c)
c) um losango; d) um trapézio. d)
37. Mário contou três quadrados na figura A. Quantos quadrados conseguirá contar na figu ra B? 5 quadrados
a) Calcule o perímetro do octógono obtido.140 cm b) Calcule o perímetro do retângulo inicial. 140 cm c) Compare os dois perímetros. O que você verifica? Como você explica? Os perímetros são iguais. Tal como foi feito o corte, não houve alteração no comprimento do contorno da figura.
Figura A
Figura B
e Za
iba
33. Uma fita de 70 cm serviu para contornar uma toalha quadrada, sobrando 2 cm de fita. Qual é o comprimento do lado do quadrado? 17 cm 17 cm Jorg
38. (Obmep) Pedrinho deseja cercar seu terreno quadrado usando 5 estacas em cada lado. Quantas estacas ele vai precisar?
34. No contorno de um jardim retangular há uma calçada que tem sempre a mesma largura. O perímetro exterior da calçada mede 8 me tros a mais que o perímetro interior da calçada. Qual é a largura dessa calçada? 1 m
39. Observe as figuras:
1
interior
n
4 n
n
5 n
n
6 n
Ilustrações: DAE
35. Escreva uma expressão do perímetro de cada um dos polígonos regulares.
n
4
9
a) Conte o número de triângulos pequenos das últimas figuras. Anote-os. 16 e 25 b) Escreva o número de triângulos pequenos que seriam usados em cada figura se essa sequência continuasse. 36, 49, 64, ...
exterior
3 n
4 5 4 16
Danillo Souza
16 estacas
Discuta com seu colega sobre como descobrir cada número da sequência. 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, ...
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Vale a pena ler
Simetria: beleza e equilíbrio
Margaridas.
Somchai Som/Shutterstock
irin-k/Shutterstock
Encontramos simetria na natureza, na arquitetura, na arte... A simetria nos dá a sensação de equilíbrio, ordem, estabilidade, harmonia.
Taj Mahal, Agra, Índia.
Fotos: 2014 The M.C. Escher Company-Holland
Observe as fotografias abaixo. São obras do artista gráfico holândes Maurits Cornelis Escher, cujo trabalho impressionou o mundo.
M. C. Escher. Limite Circular I, 1958 Xilogravura com diâmetro de 42 cm.
Muitas gravuras de Escher lembram mosaicos. Além de figuras geométricas, ele explora outros elementos em suas composições: plantas, peixes, figuras humanas.
DAE
M. C. Escher. Limite Circular III, 1959. Xilogravura, prova de 5 matrizes, com diâmetro de 41,5 cm.
Converse com os colegas: Há simetria nessas obras? Que tal desenhar figuras simétricas? Você vai precisar de papel quadriculado, lápis, régua e alguns lápis de cor. Comece com figuras mais simples. Depois, você pode criar uma composição inspirada nas obras acima. Veja exemplos que apresentamos ao lado. As linhas em preto são eixos de simetria.
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aUToavaliaÇÃo
40. Lúcia desenhou um polígono ABC, em que as letras A, B e C representam os vértices do po lígono. O polígono desenhado por Lúcia é um: Alternativa c.
a) quadrado. b) pentágono.
c) triângulo. d) hexágono.
a) b) c) d)
E3 D3 F3 E6
3 4 5
8
quadrado. paralelogramo. retângulo. nenhuma das anteriores.
A B C D E F
G H I
45. (Saresp) Um artista plástico está construindo um painel com ladrilhos decorados. Ele fez um esquema desse painel mostrado na figura e uti lizou as formas de: Alternativa d.
O
A
Ilustrações: DAE
O ponto A. O ponto B. O ponto C. Nenhuma das anteriores.
2
7
42. Nesta figura, qual dos pontos está mais próximo do ponto O? Alternativa d. a) b) c) d)
1
6
41. Um polígono de 4 lados chamase: Alternativa d. a) b) c) d)
Ilustra Cartoon
44. (CefetSP) Uma das condições para tornar o rosto do palhaço simétrico é desenhar a outra sobrancelha no quadradinho: Alternativa b.
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
C B
43. (EnccejaMEC) Observe o desenho abaixo:
a) virar à direita até o ponto A. b) virar a esquerda até o ponto A. c) descer dois quadradinhos e virar à direita até o ponto A.
a) b) c) d)
n
46. (Saresp) Na figura abaixo temse representado um canteiro de flores que foi construído com a forma de quadrilátero de lados iguais e dois a dois paralelos. Sua forma é de um:
rtoo
Para você completar o desenho do triângulo retângulo na malha quadriculada, partindo do ponto em que o lápis está desenhado e chegan do ao ponto A, seria necessário: Alternativa d.
quadrados e hexágonos. triângulos e quadrados. triângulos e pentágonos. triângulos e hexágonos.
a Ca
A
a) b) c) d)
Ilustr
B
trapézio. retângulo. losango. quadrado.
Alternativa c.
d) descer um quadradinho e virar à direita até o ponto A.
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47. (SEERJ) As peças abaixo podem ser encaixa das de várias maneiras para formar quadrados ou retângulos inteiros.
49. Se a soma dos lados de um triângulo equilátero é menor do que 17 cm e maior do que 13 cm e a medida de seus lados é um número natural, o lado desse triângulo mede: Alternativa c. a) 3 cm b) 4 cm
c) 5 cm d) 6 cm
50. (Saresp) Uma folha de papel de seda tem 40 cm de perímetro. Ela tem a forma de um retângulo e um dos seus lados tem 4 cm de comprimento. Então os outros lados medem: Alternativa c. Para formar um retângulo utilizando necessa riamente a peça branca, você precisa de: Alternativa c.
a) b) c) d)
2 peças pretas. 2 peças azuis. 1 peça azul 1 peça preta. 1 peça cinza 2 peças pretas.
48. (Saresp) Alguém construiu uma caixa, com fundo e tampa, a partir de pedaços de papelão que são, cada um deles, polígonos com lados de mesma medida. Veja como ficou essa caixa aberta e cheia de bolinhas de algodão:
a) b) c) d)
6 cm, 6 cm, 4 cm 9 cm, 4 cm, 9 cm 16 cm, 4 cm, 16 cm 12 cm, 4 cm, 12 cm
51. Um retângulo de arame tem largura de 5 cm e comprimento de 7 cm. Se desmancharmos o retângulo e fizermos um quadrado, qual será a medida do seu lado? Alternativa b.
5 cm
7 cm
c) 7 cm d) 5 cm
52. (Obmep) Cinco discos de papelão foram colo cados um a um sobre uma mesa, conforme mos tra a figura. Em que ordem os discos foram co locados na mesa? Alternativa a.
U
V T
Na construção dessa caixa foram utilizados:
S
Alternativa b.
a) b) c) d)
dois pentágonos e seis quadrados. dois hexágonos e seis quadrados. dois pentágonos e cinco quadrados. dois hexágonos e cinco retângulos.
a) V, R, S, U, T b) U, R, V, S, T c) R, S, U, V, T
R
Ilustrações: DAE
Ilustra Cartoon
a) 4 cm b) 6 cm
d) T, U, R, V, S e) V, R, U, S, T
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11 J. C. Ruzza
UNIDADE
Frações 1. Inteiro e parte do inteiro Daniel vai se atrasar para o jantar. A mãe dele preparou uma pizza. Dividiu-a em 4 partes iguais e guardou uma delas para Daniel. Para representar a parte da pizza reservada para Daniel, 1 usamos uma fração: . 4 Nas frações temos: 1 4
4 da pizza correspondem à pizza inteira. 4 4 4 A fração indica uma quantidade inteira, ou seja, 1. 4 4 Observe que
O número que aparece em cima (numerador da fração) indica quantas dessas partes foram tomadas. O número que aparece embaixo (chamado denominador da fração) indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.
Veja mais um exemplo:
O triângulo foi dividido em 9 partes iguais, e 6 delas foram pintadas. 6 A parte pintada corresponde a do triângulo. 9
Ilustra Cartoon
DAE
9 1 9
FRAÇÕES
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Lendo frações Denominador quer dizer “aquele que dá nome”. É o denominador que dá nome à fração. ◆ As frações de denominador 2 são os meios. Fração Leitura ◆ As frações de denominador 3 são os terços. 1 um meio 2 Prosseguindo: 2 ◆ denominador 4 quartos dois terços ◆
denominador 5
quintos
◆
denominador 6
sextos
◆
denominador 7
sétimos
◆
denominador 8
oitavos
3 2 5 5 9 7 8
dois quintos cinco nonos sete oitavos
denominador 9 nonos As frações cujo denominador é uma potência de base dez (10, 100, 1 000, 10 000 etc.) são chamadas frações decimais. Veja como nomeá-las: ◆ denominador 10 décimos ◆ denominador 100 centésimos Fração Leitura ◆ denominador 1 000 milésimos 3 três décimos ◆ denominador 10 000 décimos de milésimos 10 e assim por diante. trinta e sete 37 100 centésimos Para ler frações com denominador maior que 10 e que não sejam cento e trinta decimais, usamos a palavra avos. 131 e um décimos Veja: 10 000 de milésimos 7 ◆ Lê-se: sete doze avos. 12 5 ◆ Lê-se: cinco sessenta e quatro avos. 64
J. C. Ruzza
◆
Juntamente a um colega registre no caderno 3 , o que indica o denominador 8? 8 Que o inteiro foi dividido em 8 partes iguais. 2. Que nome damos a: 1 a) da hora? 1 minuto 60
1 8
1. Na fração
1 b) do minuto? 1 segundo 60 1 do dia? 1 hora c) 24 3. Encontramos frações em várias situações do dia a dia. Veja, por exemplo, as brocas na fotografia ao lado. Descubra, com os colegas, mais exemplos de aplicações de frações. Resposta pessoal.
7 64
5 64
3 32
A medida do diâmetro dessas brocas é dada em fração de polegada, unidade de medida usada principalmente na Inglaterra e nos Estados Unidos.
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Exercícios 1. A figura representa um azulejo dividido em 9 partes iguais. Quatro dessas partes estão coloridas.
5. Reproduza este segmento de reta. Ele representará a sua altura. E
F
Usando a régua, faça marcas que correspondam a: a) metade da sua altura; b) um quarto da sua altura; c) três quartos da sua altura; d) cinco sextos da sua altura. E
Cinco nonos.
Escreva essas frações por extenso. Três oitavos; um décimo; três quintos.
7. A soma dos termos de uma fração é 23. O numerador é 7. Como se lê essa fração? Sete dezesseis avos.
8. (Saresp) Num campeonato de boliche, os pontos que Ana, Lia, Rui e Zeca marcaram aparecem na tabela a seguir.
b)
6 1 ou 24 4
19 36
Jogador
Pontos
Ana
8
Lia
32
Rui
8
Zeca
16
Escreva qual gráfico mostra a correta distribuição desses pontos. Alternativa a. 8
Rui
c)
Ana
Zeca
Lia
Rui Lia
Zeca 32
11 60
b)
4. Um grupo de 15 pessoas é formado por 8 engenheiros, 5 médicos e os demais são matemáticos. Qual é a fração que representa a quantidade de matemáticos desse grupo? 2
Ana
ca Ze Lia
Rui
d) i Ru
8
16
na
a) sete meses do ano; 7 12 b) cinco dias da semana; 5 7 9 c) nove horas de um dia; 24 d) onze minutos de uma hora.
a)
A
3. Indique as frações que representam:
F
na
a)
d
3 6. Evandro está jantando. Comeu de uma pizza, 8 3 1 de uma torta de maçã e tomou de um suco. 5 10
2. Escreva a fração que representa a parte colorida das figuras.
c
A
a
Ilustrações: DAE
a) Escreva a fração que representa a parte colorida do azulejo. 4 9 b) Escreva como se deve ler essa fração. Quatro nonos. c) Indique o numerador dessa fração. 4 d) Indique o denominador dessa fração. 9 e) Escreva como se lê a fração que representa a parte não colorida do azulejo.
b
Zeca
Lia
15
Frações
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2. Frações de uma quantidade Ilustrações: Ilustra Cartoon
Veja outras situações em que podemos aplicar a ideia de fração.
Lucas Lacaz Ruiz/Estadão Conteúdo
1. Mário tem 24 figurinhas. Ele pretende dar a sua irmã, Luísa, dois 2 terços dessas figurinhas. Quantas figurinhas correspondem a 3 das figurinhas de Mário? 1 ◆ Para achar das figurinhas, dividimos 3 24 em 3 partes iguais e tomamos 1 parte. 1 ◆ Logo, das figurinhas de Mário 3 corresponde a 8 figurinhas. 2 ◆ Então, das figurinhas de Mário 3 correspondem a 16 figurinhas.
DAE
2. Bruno colocou 39 litros de gasolina no tanque de seu automóvel. 3 O marcador, que antes assinalava tanque vazio, passou a marcar de 4 tanque. Qual é a capacidade total desse tanque?
◆
◆
◆
3 4 1 4 4 4
39 39 3 13 4 13 52
3 do tanque correspondem a 39 litros de gasolina 4 1 do tanque corresponde a 39 3 13 litros 4 4 A capacidade total do tanque corresponde a , 4 ou seja, a 4 13 52
Resposta: 52 litros.
Junte-se a um colega e registre no caderno. 2 de suas figurinhas a Luisa. Ele ficou com mais ou com menos do que a metade do 3 número de figurinhas? Menos.
1. Mário deu
2. Certo automóvel percorre 10 km com 1 litro de gasolina e seu tanque tem capacidade para 80 litros de combustível. Calcule quantos quilômetros ele pode percorrer com: 1 3 b) c) o tanque cheio. 800 km de tanque; 200 km de tanque; 600 km a) 4 4 3. Combine com os colegas: cada um pesquisa a capacidade do tanque de combustível de um modelo de automóvel. Em classe, montem juntos um quadro como o representado ao lado e façam os cálculos necessários para completá-lo.
Modelo
Tanque cheio
1 tanque 2
1 de tanque 4
Resposta de acordo com a pesquisa.
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EXERCÍCIOS
Ilustrações: Ilustra Cartoon
9. Quatro amigos dividiram entre si 3 pizzas em partes iguais.
12. Margarete comprou um saco de batatas pesando 12 quilogramas. Deu um sexto à sua irmã. a) Quantos quilogramas de batatas recebeu a irmã de Margarete? 2 quilogramas b) Escreva uma fração que representa a parte do saco de batatas com que Margarete ficou. 5 6
13. Recebo 30 reais de mesada mensal e gasto ape3 nas dessa quantia. Deposito o restante na 5 poupança para comprar um aparelho de som. Quanto deposito por mês? R$ 12,00
3 fatias
10. Rodrigo vai receber a quinta parte dos brinquedos de cada uma das coleções abaixo ilustradas.
2 dos ovos de 3 uma caixa como esta. Quantos ovos ela gastou?
14. Numa omelete, Cássia gastou 8 ovos
GMEVIPHOTO/ Shutterstock
Quantas fatias de pizza caberão a cada um?
2 ficaram para 9 recuperação. Qual é o número de alunos aprovados sem necessidade de recuperação?
15. Em uma classe de 36 alunos,
28 alunos
16. Um pacote continha 24 jujubas. Ari comeu um terço, Lia comeu um quarto e Maria, um sexto. a) Quantas jujubas comeu cada um deles? Ari: 8 jujubas; Lia: 6 jujubas; Maria: 4 jujubas. b) Será que restou um terço das jujubas no pacote? Não, pois
1 de 24 é 8, e no pacote sobraram apenas 6 jujubas. 3
17. Numa turma de um curso de inglês com 24 alu1 3 nos, nasceu em 1994, em 1995 e os restan6 8 tes em 1996. Qual fração corresponde aos alunos mais novos? 11 24
Calcule mentalmente o que Rodrigo deverá ganhar. 4 bicicletas, 1 carrinho e 3 aviões 11. Carlos tem 11 anos, o que corresponde exata1 mente a da idade do pai dele. Que idade tem 3 o pai do Carlos? 33 anos
18. Um ônibus saiu de Porto Velho, capital do estado de Rondônia, transportando 48 passageiros. Na primeira parada, a metade desses passageiros desembarcou. Nesse mesmo local, outras 4 pessoas embarcaram. Na segunda parada, a maioria dos passageiros desceu, ficando 3 apenas deles. Porém, ali embarcaram mais 7 13 pessoas. Quantos passageiros seguiram viagem? 25 passageiros
FRAÇÕES
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3. Números mistos e frações impróprias
parte inteira
s ne ntu nA so
Ronaldo Barata
4
Ed
Mariana mediu o comprimento de seu caderno usando palitos de fósforo como unidade de medida. Para registrar essa medida, Mariana usou um número misto:
O comprimento é de quatro palitos e meio.
1 palito de fósforo 2
parte fracionária
Lemos: quatro inteiros e um meio. O comprimento do caderno é de quatro palitos mais meio palito.
Ilustrações: DAE
Ao lado vemos dois retângulos idênticos. Usando um número misto, a parte pintada corresponde 3 a 1 (lemos: um inteiro e três quartos). 4 4 No entanto, lembrando que 1 , podemos registrar 4 7 3 7 a parte pintada como . Então, 1 . 4 4 4 7 , em que o numerador é maior ou igual 4 ao denominador, são chamadas de impróprias, uma vez que, 1 diferentemente da ideia original de fração, elas não representam uma parte do inteiro. Portanto, um número misto pode ser escrito como uma fração imprópria. Frações como
3 7 ou 4 4
No caso a seguir, a fração imprópria pode ser escrita como uma quantidade inteira.
12 4 3
Como você representaria: inteiro usando uma fração de numerador 10? 10 10 ◆ 2 inteiros usando uma fração de denominador 5? 10 ◆1
5
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EXERCÍCIOS 23. Escreva a quantidade de laranjas nas formas fracionária e mista. 7 ; 3 1
19. Escreva o número misto que representa a parte colorida das figuras. 2
1 4
b)
3
15 entre dois números naturais con2 secutivos. 7 e 8
24. Situe
1 2
25. Como transformar uma fração imprópria em um número misto? Veja um exemplo:
20. Considere as frações: 2 5
1 8
5 2
2 9
4 9
6 6
2 2
13 5
c)
11
28
27
3 5
5
5
5
c) Você pode descobrir um processo mais rápido e mais prático do que fizemos? Então, converse isso com seus colegas e com o professor.
55
3
5 5
Dizemos que extraímos os inteiros da fração, ou seja, verificamos quantos inteiros “cabem” Geralmente é feito por na fração imprópria. meio de uma divisão. Assim: 13 5 13 3 resto → 3 2 ← inteiros 2 13 3 5 5 2 Escrevemos
6
6
a) Quantos 5 couberam em 13 ? 2 5 5 b) Quanto sobrou? 3
21. Complete as frações com os números 3, 11, 27 e 28 de modo que todas representem números naturais. a)
5 5
7 6
a) Indique as que representam números menores que 1. 2 ; 1 ; 2 ; 4 5 8 9 9 6 2 b) Indique as que representam o número 1. 6 ; 2 c) Indique as que representam números maiores que 1. 5 ; 7 2
2
Léo Burgos
a)
2
26. Observe: b)
3 1 1 2 2
d)
2
3
22. Escreva a quantidade representada pela parte colorida na forma de fração imprópria e de número misto. 9 ou 2 1 4
Ilustrações: DAE
4
Faça do mesmo modo. 7 1 a) 3 2 2 5 2 b) 1 3 3 8 2 2 c) 3 3
4 3 8 e) 7 19 f) 3
d)
1
1 3
1
1 7
6
1 3
FRAÇÕES
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183
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SEÇÃO LIVRE Egípcios, Fibonacci e as frações A civilização egípcia contribuiu muito para o desenvolvimento da Matemática. Por volta do século XX a.C. já utilizavam frações para representar partes do inteiro. Aproveitando os símbolos do sistema de numeração criado por eles, combinados com uma forma oval, registravam frações de numerador igual a 1 da seguinte forma: 1 era indicado assim: 4 (Sobre a representação do número 4, eles desenhavam um símbolo em forma oval.) 1 . correspondia a 30 Há indícios de que esse símbolo oval representava um pão que seria o todo a ser dividido. A preferência dos egípcios pelo uso de frações de numerador 1 era evidente e influenciou outros povos por muitos séculos. Outro exemplo:
Ilustrações: Jorge Zaiba
O povo egípcio escrevia 1 . 32 Coleção particular
para representar
Responda em seu caderno:
2. Que número representa
? 10 ?
3. Como era representada a fração
1 15
1 ? 100
Anônimo. Casal de camponeses colhendo linho, século XII a.C. Detalhe de pintura mural da tumba de Sennedjem no cemitério de Deir el-Medina, Tebas, Egito.
O traço horizontal que usamos hoje para registrar frações tornou-se comum somente no século XVI, embora o grande matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci (filho de Bonacci), tenha usado essa forma com frequência em seu livro Líber Abaci, completado em 1202. Leonardo viajou para o Egito, Síria e Grécia por conta dos negócios do pai. Teve um professor muçulmano que lhe transmitiu os conhecimentos matemáticos dos árabes e dos hindus. O Líber Abaci também teve grande importância na divulgação, na Europa, do sistema de numeração criado pelos hindus.
Stefano Bianchetti/Corbis/Latinstock
1. Qual é o valor do símbolo
Fonte de pesquisa: Carl B. Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
184
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4. Frações equivalentes Priscila
Ilustrações: DAE
Ronaldo Barata
Priscila e Felipe compraram, na cantina da escola, uma barra de chocolate para cada um. As barras são iguais:
Felipe
Priscila dividiu sua barra de chocolate em duas partes iguais e comeu uma delas. Felipe dividiu sua barra em quatro partes iguais e comeu duas delas. Qual das crianças comeu mais chocolate?
1 2 Acertou quem respondeu que ambos comeram a mesma quantidade de chocolate, pois e 2 4 representam a mesma parte do todo. ×2
1 2
5 ×2
2 4
O número de partes em que o inteiro foi dividido foi multiplicado por 2, mas o número de 1 2 partes consideradas também foi. Então, 5 . 2 4
Se duas ou mais frações representam a mesma quantidade, então elas são frações equivalentes.
Registre no caderno. 1 2 3 4 5 1. Dê outros exemplos de frações equivalentes a . ; ; ; 10 etc. 2 4 6 8 2. Se multiplicarmos o numerador de uma fração por 2 e o denominador por 6, obteremos uma fração equivalente a ela? O que ocorrerá com esta fração? Não. Ficará 3 vezes menor do que era.
Quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente a ela. ×3
1 4
5
3 12
×3 ×4
2 5
5 ×4
8 20
1 4 3 12 2 5 8 20 FRAÇÕES
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185
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Simplificação de frações Dada uma fração qualquer, podemos obter infinitas frações equivalentes a ela. Veja um exemplo. 3 Frações equivalentes a : 5 ×5
6 9 12 15 18 … 3 5 5 5 5 5 10 15 20 25 30 5 ×2
×3
ou seja, com
×4 ×5
3 18 e são frações equivalentes. 5 30 Nem sempre uma fração aparece na sua forma mais simples. Mas muitas vezes é possível encontrar uma fração equivalente a ela que tenha numerador e denominador menores. Para isso, é necessário dividir o numerador e o denominador da fração por um mesmo número natural diferente de zero. 15 Por exemplo, na fração é possível dividir o numerador e o denominador por 5: 20
Ilustrações: DAE
Nesse exemplo, observamos que
3 ? 5
Estúdio Ornitorrinco
×2
×4
×3
Pense nisso: já que essas frações representam a mesma quantidade, não é preferível trabalhar com a mais simples,
5
15 20
5
3 4
5
Simplificando a fração é equivalente a ela.
15 3 , obtivemos a fração , que 20 4
3 não pode mais ser simplificada, pois o único 4 número natural que é divisor de 3 e de 4 é o número 1. 3 Dizemos então que é uma fração irredutível. 4 A fração
A simplificação pode ser feita em uma ou mais etapas. Exemplo: 2
6
12 18
5 6
2 3
ou
12 18
5 2
3
6 9
5
2 3
14 e Entre as frações 15 14 13 , qual é irredutível? 15 39
3
186
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Exercícios
3 4
Ilustrações: DAE
2 7. Escreva a fração correspondente à parte colorida de cada figura. 6 8
O que você pode concluir a respeito destas frações? São equivalentes. 28. Escreva três frações equivalentes que são sugeridas pela parte colorida da figura. 1 ; 2 ; 4 2
4
8
3 1. Copie e complete de modo a obter frações equivalentes. 27
a) 3 5 36 4
55
c) 11 5 33 5 30 6 18
16
7 42 5 b) 15
40 2 5 5 d) 24 3
90
60
32. Em
cada um dos grupos há duas frações equivalentes. Quais são elas?
a)
3
2 9. João dividiu uma pizza em 12 fatias iguais e comeu 3. Qual teria sido o modo mais rápido de dividi-la para comer a mesma quantidade?
c)
2 1 1 4 4 2
b)
3
3
d)
8 2 4 2 2 4 3
5 6 1 10 3 2
3
3
4 8 9 6 12 6 3
3
Dividir a pizza em 4 fatias iguais e comer uma delas.
30. Copie e complete de forma a obter frações equivalentes. a)
2 5 7
6 21
12 5 8
×3
b)
4
d)
×3
3 2
33. Escreva os dois termos seguintes de cada sequência.
a)
4 8 12 , , , 7 14 21
,
16 20 , 28 35
b)
5 10 15 , , , 2 4 6
,
20 25 , 8 10
4
e)
× 10
1 5 2
10 20
5
34. Simplifique
2
10 5 15
3
3 10
a)
3 6
1 2
d)
12 20
3 5
g)
90 12
b)
6 3
2
e)
30 70
3 7
h)
88 110
c)
18 32
f )
18 24
3 4
i)
81 108
5
c) 5 5 17
f)
33
15
51 33
30 5 140
10
3
14 10
as frações.
9 16
j)
196 210
14 15
4 5
k)
360 270
4 3
3 4
l)
231 924
1 4
15 2
3 5. Uma das frações seguintes é irredutível. Qual é? Alternativa b.
a)
35 7
b)
8 27
c)
72 63
d)
86 140
Frações
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o nald Ro
rata Ba
5. Comparação de frações Frações de numeradores iguais Que parte de uma barra de chocolate é maior:
1 1 ou ? 4 5
Em ambas as frações o numerador é 1, ou seja, tomaremos uma das partes em que foi dividido o inteiro. Só que, quando dividimos em 4 partes iguais, cada parte será maior do que quando dividimos o mesmo inteiro em 5 partes iguais. 1 1 Então, é maior que . 4 5 Simbolicamente:
Ilustrações: DAE
Vejamos...
1 1 . 5 4
Quando duas frações têm mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.
Diga qual é a maior fração: a)
1 1 ? ou 10 8
1 8
c)
3 3 ou ? 4 5
3 4
b)
1 1 ou ? 12 6
1 6
d)
5 5 ou ? 7 9
5 7
Frações de denominadores iguais 2 5 ou ? 7 7 Esse caso é ainda mais fácil. Em ambas as frações, o inteiro foi dividido em 7 partes iguais. Então, 5 dessas partes representam mais que 2 dessas partes. Que parte de uma barra de chocolate é maior:
2 5 . 7 7
Quando comparamos frações de denominadores iguais, a maior fração é a que apresenta o maior numerador. 188
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Numeradores diferentes e denominadores diferentes E se quisermos comparar, por exemplo,
5 8 e ? 6 9
Os numeradores são diferentes, e os denominadores também. No entanto, podemos encontrar frações equivalentes a cada uma delas de modo que essas frações tenham denominadores iguais. O denominador que estamos procurando precisa ser múltiplo de 6 e também de 9. Vamos escolher o menor número que é múltiplo de 6 e de 9: o mmc (6, 9), que é 18. ×3
5 6
5
15 18
Podemos usar no denominador qualquer múltiplo comum de 6 e 9, como 36 ou 54. Mas é melhor trabalhar com números menores, por isso, escolhemos o mmc deles.
Agora ficou fácil!
×3
16 15 , ou seja, . 18 18
×2
8 9
5
16 18
5 8 . 6 9
×2
Exercícios 3 6. Qual é maior? 1 1 1 a) ou ? 5 5 9 1 1 b) ou ? 100 10
1 10
5 5 ? c) ou 12 7 2 2 d) ou ? 7 5
Explique como você pensou.
1 5 2
6 12
8
2 5 3
12
9
3 5 4
10
5 5 6
12
12
1
é maior?
Paulo José
2 5
3 8. Escreva cada uma das frações com denominador 12.
a) Qual delas é menor? 2 b) Qual delas é maior? 5
Com numeradores iguais, a fração que tiver menor denominador representa o maior número.
37. Qual
5 7
6
39. Cláudia, Sílvia e Marta foram ao açougue com1 3 prar carne. Cláudia comprou kg; Sílvia, kg; 4 4 1 e Marta, kg. Quem comprou a maior quanti2 dade? E a menor? Sílvia; Cláudia.
a) 1 ou 2 ? 3 3 b)
9 ou 3 ? 11 11
Explique seu raciocínio.
Com denominadores iguais, a fração que tiver maior numerador representa o maior número.
4 0. Coloque as placas em ordem crescente dos números e descubra a palavra secreta. DIAGONAL 2 3 9 b) 11 a)
A
A
D
I
G
L
N
O
3 2
3 5
1 5
1 2
2 2
9 5
7 5
6 5
Frações
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VALE A PENA LEr
As frações e as medidas
Ronaldo Barata
Já sabemos que os números naturais surgiram da necessidade de contar. Durante muito tempo, os números naturais foram suficientes para resolver os problemas cotidianos do homem primitivo.
© DAE/Sônia Vaz
A distância entre dois nós era tomada como unidade de medida.
Rio
No entanto, com o surgimento da agricultura, possuir terras mais férteis passou a ser importante. No Antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao Rio Nilo eram muito disputadas. Por isso, os faraós tinham funcionários que mediam e demarcavam os terrenos. Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Para medir um comprimento, a corda era esticada e se verificava quantas vezes a unidade de medida cabia neste comprimento. Muitas vezes, a unidade de medida não cabia um número inteiro de vezes no comprimenEgito to a ser medido, ou seja, os números naturais 30°L não eram suficientes para registrar as medidas. Era preciso criar uma maneira de registrar uma Mar Mediterrâneo parte da unidade. Daí a ligação entre o uso das frações e os problemas de medidas. Todos os anos, as cheias do Rio Nilo carrega30°N Mênfis Península vam as marcações que limitavam os terrenos e do Sinai as medidas tinham de ser refeitas. Por causa do uso das cordas, os funcionários encarregados da demarcação das terras eram chamados de estiradores de cordas. Tebas
O
Trópico de Câncer
o
N
elh erm
rV
Ma
lo Ni
EGITO
L S
Terras cultiváveis
0
171
342 km
O Rio Nilo fica na África e é o segundo maior rio do mundo em extensão, com 6 741 km. Entre junho e setembro, o nível das águas do Nilo sobe, inundando uma vasta região. Quando volta ao seu leito, deixa essas terras muito férteis.
Fonte: Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 6. ed., 2012.
190
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6. Operações com frações Ilustrações: DAE
Adição e subtração de frações de denominadores iguais Dividi uma cartolina em oito partes iguais. Ontem pintei três partes de verde e hoje, duas de laranja. ◆◆ Que fração da cartolina toda eu já pintei? ◆◆
Que fração da cartolina toda falta pintar?
Observe:
8 8
cartolina toda
3 8
fração pintada ontem
2 8
fração pintada hoje
3 2 5 1 5 . 8 8 8
Fração da cartolina já pintada: Resta pintar
8 5 3 2 5 da cartolina. 8 8 8
Exercícios 4 1. Observe as figuras e efetue as operações com as frações: b) 2 3 1 6 6
3 1 2 5 5
5 6
42. Quanto
é? 2 3 a) 1 7 7
5 7
b)
a figura, calcule e apresente cada um dos resultados na forma de uma fração simplificada: DAE
a)
45. Utilizando
2 5
1 9 3 1 1 4 4 4
1 8
1 32
13 4
1 16
43. Calcule
e simplifique os resultados, quando for possível. 4 1 3 5 2 3 1 5 b) 2 a) 2 2 5 5 5 6 6 6
44. O
Sr. Quintino está pintando o muro da sua casa. No primeiro dia pintou quatro décimos do muro, no dia seguinte cinco décimos.
a) Que parte do muro pintou nesses dois dias? b) Que parte do muro ainda falta pintar? 1 10
1 4
9 10
1 1 1 4 4 1 1 b) 1 8 8 1 1 c) 1 16 16 1 1 d) 1 32 32 a)
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 1 f ) 1 1 1 8 8 8 8 2 1 1 1 1 g) 1 1 1 16 16 16 16 1 1 1 1 h) 1 1 1 32 32 32 32 e)
1 4 1 8 1 16
1 4 1 8
Frações
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Adição e subtração de frações de denominadores diferentes Dona Júlia vai fazer um bolo. A receita indica a utilização de um terço de tablete de margarina para a massa e meio tablete de margarina para a cobertura. ◆◆ Qual é a quantidade total de margarina necessária? Será que um tablete de margarina dá para a receita e ainda sobra um pouco para untar a forma?
1 1 1 5? 3 2
2 3 5 1 1 5 1 5 , então 1 5 6 6 6 3 2 6
Edson Antunes
1 2 5 3 6 1 3 5 2 6
Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco
As frações que devem ser somadas têm denominadores diferentes, portanto representam pedaços de tamanhos diferentes, o que dificulta identificar a fração total resultante. Mas podemos encontrar frações equivalentes a cada uma delas que tenham denominadores iguais. Todos os pedaços ficarão do mesmo tamanho e poderemos contar quantos são.
5 6 de um tablete de margarina. Ela deve dividir Para fazer o bolo, dona Júlia utilizará
Meu conhecimento sobre frações ajuda na divisão correta do tablete de margarina, evitando desperdício e erro nas quantidades!
o tablete em seis partes iguais, usando duas partes na massa e três na cobertura. Ainda 1 sobrará do tablete para untar a forma! 6
Veja exemplos de adição e subtração de frações com denominadores diferentes: ◆◆
3 5 1 23 20 1 5 1 5 24 6 8 24 24
◆◆
1 19 7 5 14 1 1 5 5 4 20 10 20 20
◆◆
7 2 10 3 1 5 2 5 2 15 3 15 15 5
A mesma receita de bolo utiliza 1 1 xícara de leite para 2 3 fazer a massa e de xícara de leite para fazer a cobertura. 4 Use um número misto para indicar a quantidade total de leite utilizada na receita. 2 1 xícaras 4
192
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Exercícios 1. Qual fração deixa a balança equilibrada? 5
5 8 Pedro Sotto
4 6. Calcule e simplifique os resultados, quando for possível. 1 2 7 9 7 2 83 1 a) 1 d) 1 6 2 3 2 4 3 12 1 5 2 3 2 1 1 1 b) 1 e) 1 10 6 3 2 5 2 1 4 2 22 2 3 66 1 c) 1 f) 1 15 10 5 3 7 2 35 1 1 do bolo, e Mara comeu . Que 4 5 11 fração do bolo sobrou? 20
47. Rui
comeu
48. Calcule e simplifique os resultados, quando for possível: 1 1 1 7 1 17 a) 2 d) 2 2 3 6 8 6 24 5 1 5 1 3 1 b) 2 e) 2 2 6 3 4 2 4 8 4 2 18 1 3 2 c) 2 f) 10 5 7 35 5 5 1 de litro de suco de laranja de 4 1 1 manhã, litro durante o almoço e de litro no 2 4 jantar. toma
Sergioz/Dreamstime.com
49. Rodrigo
5 2. No início de uma viagem, um carro tinha o tan2 que de gasolina cheio até de sua capacidade. 3 No fim da viagem, a gasolina ocupava apenas 1 do tanque. Que fração representa a parte do 6 tanque correspondente à gasolina gasta nesse percurso? 1 2
53. Observe
o exemplo e efetue as seguintes adições e subtrações:
21
1 8 1 9 5 1 5 4 4 4 4
número natural
Representamos o 2 por uma fração com denominador 4:
25
8 4
Que quantidade de suco ele consome diariamente? 1 litro
a) 7 1
5 6
47 6
c)
1 3 121 5 5
14 5
50. Calcule
b) 4 2
3 11
41 11
d)
5 7 112 3 3
1 3
mentalmente o valor de cada uma das expressões. 3 1 4 4 2 1 a) 1 c) 2 4 4 3 6 3 1 5 3 2 4 3 2 b) 1 2 1 1 d) 1 6 6 7 5 7 5
54. Calcule
a)
o valor das expressões.
5 1 2 2 1 6 4 3
5 4
b) 8 1
1 3 2 3 4
91 12
Frações
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Multiplicações envolvendo frações Qual é o dobro de
3 ? 8
3 3 6 corresponde a 2 5 , 8 8 8 3 que na forma irredutível é . 4 Ora, o dobro de
Observe: 2
3 8
3 8
1
5
6 8
3 2 3 23 6 3 5 5 5 5 . 8 1 8 18 8 4
1 12 5 4, pois a terça parte de 12 é igual a 4. 3 1 1 12 1 12 12 5 5 4. 5 Observe: 12 5 3 3 3 1 31
De forma semelhante,
2 4 de ? As figuras vão nos ajudar a descobrir. 3 5 4 Colorimos da figura. 5
Ilustrações: DAE
E que quantidade corresponderá a
Hachuramos
2 4 dos coloridos. 3 5
Observe que
8 2 4 da figura. de correspondem a 15 3 5
Então,
8 2 4 24 . 5 5 15 3 5 35 No caderno, mostre por meio de figuras que 1 3 3 de 5 . 2 4 8
Na multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores.
◆◆
15 5 3 53 5 5 (na forma irredutível) 5 5 24 6 4 64 8
◆◆
12 4 1 2 6 126 5 (na forma irredutível) 5 5 105 35 3 5 7 357
◆◆
18 5 3 183 51 31 5 5 5 25 12 10 255 122 52 1
1 4 21 1 42 213 121 2 ◆◆ 5 5 5 31 71 105 3 7 10 115 5
Esta técnica é chamada de cancelamento.
Zubartez
Também podemos fazer a simplificação antes de efetuar o produto:
194
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ExErcícios 55. Escreva um produto que represente a parte colorida da figura. 4 3 5 12 5
4
60. Escreva o produto que a situação sugere.
20
3
56. Vamos relacionar o “de” com a multiplicação. Veja: Três caixas de vinte balas são 3 · 20 ou 60 balas. Complete. a) Quatro pacotes de meio quilo são quilos.
4
ou
1 ou 2 2
61. Quanto é? 2 6 a) 3 5 5 1 5 5 b) 12 12
1 2 3 7 7 2 d) 4 3 c) 5
2 6 5 7 7
10 21 56 3
3 62. Uma lata de achocolatado tem kg. Quantos quilogramas terão 8 latas? 6 kg 4
b) Seis pacotes de um quarto de quilo são ou
quilos.
6
1 3 ou 4 2
a) da metade? b) do total? 3
Pedro Sotto
57. A parte colorida corresponde a que fração: 3 4
DAE
8
58. Quanto é? 5 7 35 a) 9 8 72 3 3 9 b) 5 4 20
1 1 1 2 5 3 3 1 3 d) 4 2 2 c)
1 30 9 16
1 da metade de uma melancia. 4 Que fração da melancia ela comeu? 1 1 1 1 da metade 5 5 4 4 2 8
Rubberball 2009/Latinstock
59. Marília comeu
63. Calcule mentalmente: 1 2 de 180 ovos; 60 ovos c) de 30 homens; a) 3 5 12 homens 2 3 b) de 180 ovos; 120 ovos d) de 24 meses. 3 4 18 meses 64. Quanto é? 1 a) 15 1 4
75 4
b) 8
1 3 2
51 2
65. Para preparar um copo de refresco, André en2 che do copo com água. Quanto de água ele 3 vai gastar para preparar: a) 5 copos de refresco? 3 b) 12 copos de refresco? 8
1 3
FRAÇÕES
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7. Inversa de uma fração 2 5 25 5 51 5 2 52 8 3 83 ◆◆ 5 51 3 8 38 ◆◆
Ronaldo Barata
Por qual fração devemos 7 multiplicar para obter 9 9 produto igual a 1? 7
Observe os produtos:
Quando o produto de duas frações é igual a 1, essas frações são inversas uma da outra. 2 5 é a inversa de 5 2 8 3 ◆◆ é a inversa de 3 8 e assim por diante.
◆◆
A inversa de
1 5 é , ou simplesmente 5. 5 1
A inversa de 3, que pode ser escrito 3 1 como , é . 1 3
Divisão envolvendo frações
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
Jorge Zaiba
Para descobrir como se efetuam divisões com frações, vamos estudar algumas situações. 1 1. Quantos copos com capacidade igual a de litro cabem em uma vasilha com capacidade igual a 4 3 litros? 1 Para saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra, usamos a divisão: 3 5 ? 4 Resolveremos essa divisão com o auxílio de figuras.
1 1 cabe 12 vezes em 3, ou seja, 3 5 12 4 4 Repare que 3 4 5 12. inversa de
1 4
1 é o mesmo que 4 1 multiplicar por 4, que é a inversa de . 4 Dividir por
5
1 L 4
196
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3 ? 5 3 A operação que traduz essa pergunta é 2. 5 Observe as figuras:
2. Quanto é a metade de
◆◆
3 2 5
3 3 25 10 5
◆◆
Repare que
3 3 1 5 10 5 2
Zubartez
3 5
Para achar a metade, dividimos por 2.
inversa de 2
3. Nesta outra situação, os desenhos nos mostram que
3 4
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
◆◆
◆◆
1 3 cabe 6 vezes em , ou seja: 8 4
3 1 56 4 8
e
3 82 5 6 41
1 é o mes8 1 mo que multiplicar por 8, que é a inversa de . 8 Mais uma vez, vemos que dividir por
Para efetuar divisões envolvendo frações, multiplicamos o dividendo pela inversa do divisor.
Respondam no caderno: 1. Duas metades mais três terços equivalem a quantos inteiros? 2 17 17 é maior ou menor que ? Quantas vezes maior ou menor? 10 17 é 10 vezes maior 100 10 1 2 3. de uma dúzia equivale a que fração de meia dúzia? 3 3 1 4. Quantas vezes cabe em: 2 7 1 a) ? 7 vezes b) 5 ? 11 vezes 2 2 8 1 5. A quarta parte de é maior ou menor que ? 2 1 9 2 9 2
2.
6. Qual a inversa de 1? 1
FRAÇÕES
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ExErcícios 66. Escreva a inversa das frações. 4 5
5 4
c) 6
b)
9 7
7 9
d)
1 6
1 15
15 Edson Antunes
a)
1 de litro de leite por dia. Quantos 4 1 dias levará para beber 3 litros? 14 dias 2
71. Josefa toma
67. Calcule. a)
4 2 5 3
6 5
f) 5
b)
4 6 9 5
10 27
g)
1 1 10 10
c)
1 7 4 3
3 28
h)
6 5 7
d)
2 1 7 5
10 7
i) 3
8 9 7 2
16 63
j)
15 2 1
6 35
1 4 2 7
49 8
4 1 1 5 2
8 15
72. Qual dos seguintes números é o maior?
b)
68. Com 10 kg de azeitonas se pretende encher pacotes de vários tamanhos. Quantos pacotes poderão ser enchidos se cada pacote tiver: a)
1 kg? 20 pacotes 2
c)
1 kg? 80 pacotes 8
b)
1 kg? 40 pacotes 4
d)
2 kg? 25 pacotes 5
69. Calcule mentalmente. a) 9 9
1
b)
1 1 4 4
c)
7 1 5
1
7 5
1 d) 2 2 e)
1 2 2
f) 3
1 10
1 1 2 3
c)
1 1 3 2
d)
1 1 2 3
73.Tomei no almoço a metade de uma garrafa de água e no jantar tomei a metade do que sobrou. Qual a fração do líquido que restou na garrafa? 1 4
2 de muro são necessárias 6 la3 tas de tinta, qual fração desse muro é pintada com o conteúdo de uma lata de tinta? 1
74. Se para pintar
9
2 1 65 3 9
75. O tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 56 litros. O marcador aponta exata1 3 mente a metade da distância entre e . 2 4 1 3 5 5 Outra solução para a questão:
4 1 4
[
] 25 1 25 2 4 4 8 1 • → 7 litros 8 5 → 35 litros • 8
30
70. Responda. a) Quantas metades há em cinco pizzas? 10 b) Quantos quartos de pizzas há em três pizzas? Marcelo Azalim
12
Faça um desenho em seu caderno.
Alternativa d.
1 1 a) 1 2 3
Jorge Zaiba
e)
2 3
0
O marcador está dividido em quartos. Metade de 1 1 vale . 4 8 Em metade 28 L 1 7L Em 8 O ponteiro 1 mostra que há 28 1 7 5 35 litros.
Quantos litros de gasolina há no tanque? 35 litros
198
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8. Potenciação e raiz quadrada de frações Observe: Você se lembra de que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais?
25 2 2 2 2 2 32 5 fatores iguais a 2
◆
5 2 5 5 25 [ ] 7 7 7 49
◆
9 0 [ ] 1 4
◆
1 3 1 1 1 1 [ ] 2 2 2 2 8
◆
3 1 3 [ ] 2 2
Ilustra Cartoon
Com frações, a ideia é a mesma. Veja:
Sabemos que 25 5 porque 52 25. Veja algumas raízes quadradas de frações: ◆
16 4 4 2 16 porque [ ] 49 7 7 49
◆
1 1 1 2 1 porque [ ] 100 10 10 100
Pense e responda no caderno: 1 1 ao quadrado é maior ou menor que ao cubo? 2 2 Maior.
EXERCÍCIOS 76. Escreva na forma abreviada:
[
1 4 ] 2
79. Calcule e compare com a unidade. a) 16
1 1 1 1 2 2 2 2
b) [
Como se lê essa potência?
Um meio elevado a quatro ou um meio à quarta.
2
1 ] 4
3
b) [
16 25
1 c) [ ] 3
1 64
d) [
5
2
9 ] 10
1 e) [ ] 2
1 243
f) [
81 100
3 ] 2
2
b) [
2 ] 3
4
1
9 ] 15
1 (menor que 1) 25
25 (maior que 1) 4
6
1 16 9 15
[
4 ] 3
2
2
[
7 ] 6
3
0
[
1 ] 3
6
3
3
[
1 ] 6
2
[
1 ] 2
5
81. Calcule.
78. Calcule o valor de: a) [
4
2
8 (menor que 1) 125
80. Escreva os seguintes números em ordem cres2 1 5 1 3 7 0 4 2 cente: [ 1 ] [ ] [ ] [ ] [ ]
77. Calcule o valor das potências. 4 a) [ ] 5
1 ] 5
3
2 ] 5 2 5 d) [ ] 2 c) [
1 (igual a 1)
9 4
c)
24 3
16 3
a)
9 4
16 81
d)
2 34
2 81
b)
49 81
3 2 7 9
c)
1 49
1 7
e)
100 81
10 9
d)
36 64
6 8
f)
1 100
1 10
FRAÇÕES
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REVISANDO 82. Escreva a fração que corresponde à parte das cadeiras ocupadas. 3
Reinaldo Rosa
7
Neveshkin Nikolay/Shutterstock
86. Escreva três frações correspondentes à parte escura do tabuleiro e a fração equivalente mais simples. Respostas possíveis: Quaisquer frações equivalentes a
83. Observe a figura e responda:
32 64 16 32 8 16 ...
1 2
1 1 do dia dormindo, do dia 3 24 1 comendo, do dia estudando e o resto do tem4 po divertindo-se.
B A
C
a) Qual fração representa a parte A da figura?
1 3
b) Qual fração representa a parte B da figura?
1 6
c) Qual fração representa a parte C da figura?
1 9
a) Desenhe a figura abaixo e pinte com cores diferentes as partes do dia correspondentes ao tempo dedicado a cada uma das ocupações mencionadas.
84. Observe a figura: a) Que horas são?
Reinaldo Rosa
DAE
87. Carolina passa
3 horas
b) Que horas marcará o relógio se o ponteiro dos minutos se deslocar: 1 ◆ de hora? 4 3 h 15 min
Marcelo Azalim
Dormindo: 8; comendo: 1; estudando: 6; divertindo-se: 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
b) Que fração representa o tempo que Carolina se diverte? 9 24
◆
1 hora? 2 3 h 30 min
◆
3 de hora? 4 3 h 45 min
3 da população torce pelo Corin7 2 thians e torce pelo Palmeiras. Que time tem 5 15 14 mais torcedores? Corinthians: 35 ; Palmeiras: 35 .
88. Numa cidade,
85. Represente por meio de uma fração o número que corresponde a cada um dos pontos assinalados em vermelho na semirreta. A
A 0
B 1
C 2
3
2 4 8 ;B ;C 3 3 3
Portanto, o Corinthians tem mais torcedores.
89. (Cesgranrio-RJ) A firma onde Paula trabalha 20 de seu salário-badará vale quinzenal de 100 se como prêmio pelo aumento de trabalho no mês de julho. Se o salário de Paula é R$ 750,00, quanto ela receberá de vale nesse mês? R$ 300,00
200
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90. Calcule mentalmente: a) b) c) d)
metade de 72 reais; 36 reais a terça parte de 24 kg; 8 kg um quarto de 100 kg; 25 kg dois terços de 36 litros. 24 litros
93. Calcule. 3 1 a) 4 2
1 4
c)
3 3 3 5 4 10
33 20
3 3 8 2
15 8
d)
8 1 3 5 4 10
21 20
0 3 11 10 20 30
31 60
b)
94. Calcule. 1 2 a) 4 2 3 Ilustrações: DAE
91. Calcule mentalmente quantos blocos foram utilizados na construção deste muro. 18 blocos
b)
1 1 2 3 5
38 15
d) 2
23 1 1 2 7 3 6
b) 4 1 4
c)
1 1 3 5
22 15
95. Calcule e simplifique, se necessário. a)
31 6
2 1 7 1 3 2 8
25 14 97 24
96. Considere os números:
1 2
bloco inteiro
92. (Saresp) Numa escola foi aplicada uma prova em que os alunos obtiveram notas inteiras de 1 até 10. No gráfico abaixo mostramos a distribuição de notas.
5 7
8 7
12 10
3 2
Qual é a diferença entre o maior e o menor deles? 11 14
97. O sr. Francisco colheu a produção de pimentões de sua horta e colocou-os em 3 sacolas. Veja como ele fez:
Número de alunos 12
Marcelo Azalim
10 8 6
2
4
1 kg 2
3 kg 2
3 kg 4
2 0
1-2
3-4
5-6
7-8
9-10
Nota
Com base nesse gráfico, podemos afirmar que: Alternativa d.
a) b) c) d)
mais de um terço tirou 1, 2, 3 ou 4. metade dos alunos tirou 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. menos de um quinto tirou 7 ou 8. mais de um quarto tirou 9 ou 10.
a) Será que a colheita atingiu cinco quilogramas? Não, atingiu 4 3 kg. 4
b) A colheita de pimentão verde foi maior do que a de pimentão vermelho? Em caso afirmativo, em quanto foi maior? Sim; 1 kg a mais. c) A colheita de pimentão vermelho foi maior do que a de pimentão amarelo? Em caso afirmativo, em quanto foi maior? Sim; 3 kg a mais. 4
FRAÇÕES
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201
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DESAFIOS 103.Tenho 90 alunos. Metade da terça parte dos meus alunos usam óculos. Quantos alunos não usam óculos? • 1 1 90 15 • 90 15 75
1 h para fazer uma via2 gem de São Paulo a São Carlos; um automóvel 1 demora 2 h. Qual é a diferença de tempo en4 tre uma viagem de automóvel e uma viagem de ônibus? 1 1 h ou 1 h 15 min
98. Um ônibus demora 3
2
3
Ekaterina Monakhva/iStockphoto.com
75 alunos
4
99. Calcule. 3 1 7 4
b) 7 c)
3 28
3 1 8 2
1 1 1 5 4 3
7 1 1 d) 2 5 6
21 16 1 60 49 15
e)
2 5 3 2
f)
3 7 4
g) 8
4 5
4 15 3 28 10
1 6 h) 7 3
104.(Obmep) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem?
11 9
100.(Saresp) Um inspetor recebeu 120 pastas com contas para analisar. Na primeira semana, 2 3 analisou do número total. Na segunda, 3 4 do restante. Quantas pastas ainda faltam ser analisadas? 10 pastas
25 litros 3 1 1 • 4 4 2 1 • 50 25 2
Reinaldo Rosa
Jorge Zaiba
a)
1 101.Alberto pretende colocar 5 litros de refrige2 rante em vários copos. 1 de litro poderá encher? 4 22 copos 1 b) Poderá encher 28 copos de de litro? Não. 5 a) Quantos copos de
102.Qual é a média aritmética de: a)
1 1 e ? 3 6
1 4
b)
3 13 1 , e ? 5 4 2
29 20
105.Um concurso foi realizado em duas etapas. 2 Na primeira, dos inscritos foram aprova5 3 dos; passando para a segunda etapa, fo10 ram selecionados. Se os selecionados nessa segunda etapa preencheram as 72 vagas disponíveis, quantas pessoas se inscreveram • 240 2 120 nesse concurso? • 72 3 24 600 pessoas
• 24 10 240
• 120 5 600
202
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AUTOAVALIAÇÃO 111.(Fesp-RJ) Uma torneira aberta enche de água um tanque em 10 minutos. A fração do tanque que esta torneira enche em 1 minuto é:
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
Alternativa d.
106.A fração que representa a parte colorida da figura é: Alternativa c.
a)
1 2
c)
1 8
b)
1 6
d)
1 10
1 4
b)
3 10
c)
3 16
a) o maior é
d)
5 16
4 2 e o menor é . 5 3
b) o maior é
4 1 e o menor é . 5 2
c) o maior é
3 2 e o menor é . 4 3
d) o maior é
3 1 e o menor é . 4 2
107.O número Alternativa a.
a) 0 e 1 b) 3 e 4
DAE
a)
112.Dos números
7 está compreendido entre: 8 c) 5 e 6 d) 7 e 8
108.A alternativa verdadeira é: Alternativa a. 0 0 6
c)
8 8 0
b)
6 0 0
d)
2 3 6
109.A metade de a)
3 2
b)
3 4
3 é: 8
110.Na reta numérica: 0
5 3 1 b) A representa 4 7 c) A representa 4 1 d) A representa 5 a) A representa
113.(Obmep) Qual o sinal que Clotilde deve colocar no lugar de “?” para que a igualdade fique correta? Alternativa a.
Alternativa c.
c)
3 16
d)
3 32
Alternativa c.
1 B
Alternativa b.
Reinaldo Rosa
a)
2 4 3 1 , , , : 3 5 4 2
2
3
A
1 3 7 e B representa 4 1 e B representa 4 9 e B representa 5 e B representa
. . . .
a)
b)
c)
d)
114.(Ipad-PE) Em uma grande indústria, metade dos funcionários vai ao trabalho de bicicleta, a terça parte em automóvel e os outros 300 funcionários usam transporte coletivo. Quantos funcionários há nessa indústria? Alternativa d. a) 1 200 funcionários b) 1 500 funcionários c) 1 600 funcionários d) 1 800 funcionários
203
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118.(PUC-SP) A parte colorida representa que fração do círculo? Alternativa c.
Alternativa c.
VENDEM-SE TUBOS DE PLÁSTICO PARA JARDINS
1 4
1 2
3 1 3 1 , , e polegada de diâmetro 16 4 8 2
1 6
A fração de polegada que corresponde ao tubo de plástico mais fino é: a)
1 4
b)
3 8
3 16
c)
d)
DAE
115.Veja este anúncio:
1 2
1 3
b)
3 10
1 12
c)
119.Um terço da metade de 36 é: a) 6
b) 12
1 da metade de 36 3
d)
1 24
Alternativa a.
c) 18
d) 24
1 18 6 3
120.Um pedreiro foi contratado para construir um muro. No primeiro dia de serviço ele construiu um oitavo do muro, e no segundo dia o triplo do que havia construído no primeiro dia.
• Sílvio encontrou como resposta:
Reinaldo Rosa
Paulo José
116.Um professor pediu a dois alunos que efe2 3 . tuassem a adição 5 10
a)
7 10
• Cláudio encontrou como resposta: 14 20
Dessa forma, nos dois primeiros dias ele já 1 1 1 construiu: Alternativa b. 3 Como o professor aceita o desenvolvimento incompleto da resposta, podemos afirmar que:
Alternativa d.
a) b) c) d)
apenas Sílvio acertou. apenas Cláudio acertou. os dois erraram. os dois acertaram.
117.(Fuvest-SP) a) 0
9 7 é igual a: 7 9 2 b) 23
8
o muro inteiro. a metade do muro. mais da metade do muro. menos da metade do muro.
8
2
121.(Cesgranrio-RJ) Dois terços da despesa de uma firma destinam-se a pagamento de pessoal. Sabendo-se que a firma gastou R$ 18.000,00 em pessoal, seu gasto total foi de:
Alternativa d.
c) 1
a) b) c) d)
Alternativa b.
d) 32 63
a) R$ 24.000,00 b) R$ 27.000,00 •
1 3
c) R$ 30.000,00 d) R$ 36.000,00 9 000
•
3 3
27 000
204
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12 unidade
Números decimais 1. A notação decimal A necessidade dos seres humanos de registrar números que não são inteiros é muito antiga. Lembra-se dos estiradores de cordas do Antigo Egito, que citamos na Unidade 11? As frações foram criadas para que esses números pudessem ser registrados. E das frações decimais, lembra-se? São aquelas que têm como denominador uma potência de base 10, como 10, 100, 1 000 etc. ou que são equivalentes a uma fração com um desses denominadores. Pois bem, no século XVI novas formas de registro foram criadas para representar essas frações, utilizando as regras do sistema de numeração decimal. Essas ideias foram aperfeiçoadas e hoje funcionam assim: ◆◆
O sistema decimal é posicional, isto é, o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no numeral.
...Unidades de milhar Coloca-se uma vírgula para separar a parte inteira da parte fracionária.
◆◆
Centenas
Dezenas
Unidades...
Cada ordem vale dez vezes a ordem que está imediatamente à sua direita, ou cada ordem é a décima parte da ordem que está imediatamente à sua esquerda.
Se prosseguirmos com o mesmo padrão, criando ordens à direita da unidade, teremos: ...Unidades,
Décimos
Centésimos
Registramos a décima parte da unidade como 0,1, 1 que é a representação decimal de : 10 1 5 0,1 10 (um décimo ou zero vírgula um)
Milésimos
Décimos de milésimos...
A centésima parte da unidade é representada, na notação decimal, por 0,01.
1 100
5 0,01
(um centésimo ou zero vírgula zero um)
Números decimais
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205
5/13/15 4:45 PM
A milésima parte da unidade é representada, na notação decimal, por 0,001. E assim por diante.
1
5 0,001 (um milésimo 1 000 ou zero vírgula zero, zero um)
Veja mais exemplos de frações decimais escritas em sua forma de representação decimal: ◆◆
7 5 0,7 (sete décimos ou zero vírgula sete) 10
◆◆
13 3 51 5 1,3 (um inteiro e três décimos ou um vírgula três) 10 10
parte inteira
parte fracionária
◆◆
9 249 5 24 5 24,9 (vinte e quatro inteiros e nove décimos ou 10 10 vinte e quatro vírgula nove)
◆◆
34 5 0,34 (trinta e quatro centésimos ou zero vírgula trinta e quatro) 100
◆◆
◆◆
◆◆
302 2 53 5 3,02 (três inteiros e dois centésimos ou três vírgula 100 100 zero dois) 781 5 0,781 (setecentos e oitenta e um milésimos ou zero vírgula 1000 setecentos e oitenta e um) 3 5 0,0003 (três décimos de milésimos ou zero vírgula zero, 10 000
zero, zero, três)
Curiosidade Em países como a Inglaterra e os EUA, a parte fracionária e a parte inteira do número são separadas por um ponto em vez de uma vírgula, como nós fazemos. Nas calculadoras também é utilizado o ponto.
O número de casas à direita da vírgula é igual ao número de zeros da potência de dez que está no denominador da fração.
Os numerais decimais não tiveram um único “inventor”. Muitos matemáticos contribuíram em seu estudo e aperfeiçoamento. Conheça alguns deles: (1540-1603) Foi advogado e dedicava suas horas vagas ao estudo da Matemática. Defendeu o uso das frações decimais e criou notações para representá-las.
Coleção Particular. França. Bridgeman Images/Keystone Brasil
◆◆François Viète
◆◆Simon
Stevin (1548-1620) Engenheiro belga, valorizava as aplicações práticas da Matemática. Seu livro De thiende (O décimo) divulgou as vantagens da utilização do sistema decimal posicional para registrar números não inteiros.
◆◆G. A.
Magini (1555-1617) Italiano, provavelmente foi o primeiro a utilizar um ponto para separar a parte inteira da parte fracionária do número.
François Viète. Gravura.
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Exercícios 1. Quais das frações abaixo são decimais?
Alternativas b; d; e; g.
3 40 9 b) 10
a) 1 538 30 b) 6,32 0,3
17 1000 10 f) 3 e)
a)
7 45 3 d) 100 c)
g)
1 10 000
h)
100 9
4. Indique, em cada caso, o valor do algarismo 3. c) 9,013 0,003 d) 7,834 0,03
5. Qual é o número que falta em cada a) 5,387
2. Copie e complete o quadro. A. um inteiro e nove décimos B. dez inteiros, duzentos e quarenta e cinco milésimos
1,9
A
b) 36,82
10,245
0,02
B
quinze milésimos
0,015
C
dois inteiros e quatro décimos 9,008
30,03
6
30
0,27 2,4
0,007
0,08
0,3
5
dois inteiros e sessenta e três centésimos
2,63
?
6. Transforme as frações decimais em números decimais. 519 10 87 b) 100 249 c) 100 a)
D
trinta inteiros e três centésimos
C. vinte e sete centésimos D. nove inteiros e oito milésimos
Danillo Souza
3. Uma loja mostra na vitrine algumas peças de roupa com os seguintes preços:
0,8
1364 13,64 100 5 116 e) 5,116 1000 693 f) 0,0693 10 000
d)
51,9
0,87
2,49
7. Escreva cada número usando algarismos. a)
5,271
b)
5 unidades
26,083
2 dezenas
2 décimos
6 unidades
7 centésimos
8 centésimos
1 milésimo
3 milésimos
8. Considere o número: 736,82
Escreva por extenso o preço de cada produto.
a) Qual é o algarismo das dezenas? E o dos décimos? 3; 8 b) Qual é o algarismo das centenas? E o dos centésimos? 7; 2 c) Que número supera o número acima em 100 unidades? 836,82
Gravata: vinte e oito reais e quarenta centavos; camiseta: trinta e nove reais e noventa e nove centavos; calça: setenta e dois reais e oito centavos. Números decimais
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Trabalhando com figuras Vamos representar alguns números decimais por meio de figuras. Observe: 0,1
Ilustrações: DAE
1
0,01
O quadrado (unidade) corresponde a 10 barras. A barra corresponde a 10 quadradinhos.
1,4 5 1 inteiro e 4 décimos
2,03 5 2 inteiros e 3 centésimos
Usamos a notação decimal para registrar quantias em dinheiro. A centésima parte do real (unidade monetária brasileira) é o centavo. R$ 1,00 um real R$ 0,01 um centavo de real R$ 6,45 seis reais e quarenta e cinco centavos
3,12 5 3 inteiros, 1 décimo e 2 centésimos, ou 3 inteiros e 12 centésimos
5 1 décimo tem 10 centésimos
1. 0,000001 corresponde a que parte de 1 inteiro? 1 milionésimo do inteiro: 1/1 000 000
em grandes quantidades de combustível vendido, o milésimo de real fará diferença.
3. Basta estar atento para encontrar números decimais em inúmeras situações do nosso cotidiano. No jornal, na TV, no comércio, na ciência... Procure em jornais ou revistas: notícias, tabelas, gráficos, anúncios em que apareçam números decimais. Recorte-os e cole em seu caderno. Escreva cada um por extenso e explique o tipo de aplicação que ele tem: registro de uma medida, preço, dados econômicos etc.
Danillo Souza
2. Na bomba de combustível de um posto, o preço de 1 litro de gasolina está indicado por R$ 3,499. Como se lê essa quantia? Três reais, quatrocentos e noventa e nove milésimos de real. Há moeda que valha 1 milésimo de real? Por que vocês acham que o posto usa esse tipo de registro? Não. Espera-se que percebam que
4. Você utilizou algum número decimal hoje? Em que situação? Conte aos colegas! Troquem informações! Resposta pessoal.
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Exercícios 9. Lembrando que: Ilustrações: DAE
1 0. Destes números, escreva os maiores que uma unidade. 3,4; 9,9 e 1,01 3,4 0,34 0,99 9,9 1,01
unidade
décimo
centésimo
escreva os números com vírgulas representados pelas figuras.
11. A mãe de Luís fez um bolo como o representado na figura. Durante o lanche, Luís e alguns amigos comeram a parte correspondente à que está colorida.
a) 1,21
b) 1,6
Escreva, na forma decimal, a parte do bolo que sobrou. 0,3 12. Escreva
a fração decimal e o número decimal correspondentes à figura. 23 e 2,3 10
c) 2,15
d) 2,08
1 3. Responda. a) Troquei 5 reais em centavos. Quantos centavos recebi? 500 b) Troquei 1 200 centavos em reais. Quantos reais recebi? 12
e) 0,32
c) Troquei 8,30 reais em centavos. Quantos centavos recebi? 830 1 4. Considere o número
341509
.
Reescreva-o colocando uma vírgula de modo a obter:
f) 0,07
a) um número maior que 1 e menor que 10; 3,41509 b) um número maior que 10 e menor que 100. 34,1509
Números decimais
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2. Números decimais e o registro de medidas Usamos os números decimais para registrar medidas não inteiras. Veja as situações a seguir. 1. Registramos a medida do segmento AB, em centímetros, com um número decimal: 4,7 cm. A
B Marcelo Azalim
4,7 cm
Meça com uma régua e registre em seu caderno as medidas em centímetros dos segmentos CD e EF. As extremidades de um segmento são pontos. 2,4 cm; 6,2 cm.
1 cm
C
D
E
◆◆
◆◆
quilograma
grama
Marcelo Azalim
2. A balança está marcando 1,2 kg 2 1,2 5 1 10 Como 1 kg tem 1 000 g
F
1 de kg tem 100 g 10 2 de kg tem 200 g 10
Então 1,2 kg corresponde a 1 kg e 200 g. Registre em seu caderno a temperatura marcada por esse termômetro. 22 °C
Anders Celsius (1701-1744) era sueco e foi um importante astrônomo. Apesar de morrer jovem, Celsius trouxe importantes contribuições em várias áreas do conhecimento, entre elas a escala termométrica que leva seu nome, apresentada em 1742 à Academia de Ciências da Suécia. A escala é dividida em 100 partes iguais. Os pontos de fusão e de ebulição da água correspondem respectivamente a 0 oC e a 100 oC. Fonte de pesquisa: Faculdade de Engenharia Mecânica da Unicamp
Evgeny Tomeev/Shutterstock
3. Os termômetros medem temperaturas. Este, ao lado, é usado para medir a temperatura ambiente, geralmente expressa em graus Celsius (C). Se dividirmos 1 C em 10 partes iguais, obteremos décimos de grau. Cada parte corresponderá a 0,1 C.
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ExErcícios 15. Indique o número decimal correspondente às setas. a)
DAE
8
0
21. Você já sabe: 2,5 cm significa dois centímetros e meio.
1
c) 0,6
7,5
7
22. Um posto de combustível anuncia o preço da gasolina por 3,198 reais o litro. Isso significa que o posto vende a gasolina a 3 reais e:
b) 5
0
Alternativa d.
3,5
a) b) c) d)
16. Desenhe a reta e indique os pontos A, B e C, que correspondem a 3,2; 4,6 e 5,4. 2
3 A
4
B
5
6
C
17. Copie e complete as sequências abaixo. 5,0
a) O que significa 3,5 kg? Três quilos e meio. b) O que significa 1,5 dia? Um dia e meio.
a)
4,5
5,5
b)
1,3
0,7
0,4
c)
0,01
1
10
6,0; 6,5
1; 0,1
100
0,1
0,198 décimos de real. 0,198 centésimos de real. 198 centésimos de real. 198 milésimos de real.
23. A temperatura normal de Rosa é 37 graus. Ela ficou gripada e observou que estava com 37,9 graus de temperatura.Tomando um antitérmico receitado pelo médico, sua temperatura baixou meio grau. Em que valor chegou a temperatura de Rosa? 37,4 graus 24. Leia o texto e escreva os números destacados, usando algarismos e vírgula. 1,53 m; 46,5 kg; 38,1 °C
18. Você já sabe: termômetros servem para medir a temperatura. Leia as temperaturas e escreva-as por extenso. b)
Ronaldo Barata
Trinta e oito graus e nove décimos.
Marcelo Azalim
a)
Trinta e sete graus e quatro décimos.
19. Quantos décimos há em cada número a seguir? a) 0,6 6
c) 1,5 15
e) 4 40
b) 0,1 1
d) 2,8 28
f ) 4,3 43
20. Responda:
Em uma consulta, o médico examinou Gustavo: ele tem um metro e cinquenta e três centímetros de altura, pesa quarenta e seis quilogramas e meio e está com trinta e oito graus e um décimo de febre (em graus Celsius).
a) 3 unidades correspondem a quantos décimos? 30 décimos
b) 72 unidades correspondem a quantos centésimos? 7 200 centésimos c) 50 décimos correspondem a quantas unidades? 5 unidades
25. Indique entre quais números naturais consecutivos se situa cada um dos números: a) 2,5 2 e 3
b) 8,34 8 e 9
c) 0,7 0 e 1
NÚMEROS DECIMAIS
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3. Números decimais na forma de fração Vamos escrever os números decimais na forma de fração? 7 20 7 27 7 521 5 1 5 10 10 10 10 10 1 casa decimal: denominador 10
12,09 5 12
O número de casas decimais é igual ao número de zeros do denominador da fração decimal.
1209 9 5 100 100 2 casas decimais: denominador 100
0,005 5
Ilustrações: Ronaldo Barata
2,7 5 2
5 1 , que na forma irredutível fica 1000 200 3 casas decimais: denominador 1 000
4. Comparando números decimais Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número natural, obtemos uma fração equivalente a ela. Por exemplo: 3 000 300 3 30 ◆◆ 5 5 5 5… 10 000 1000 10 100 Na forma decimal, 0,3 5 0,30 5 0,300 5 0,3000 5 … Podemos acrescentar ou retirar zeros à direita da parte decimal de um número decimal sem alterá-lo. Mais um exemplo: ◆◆ 23,7 5 23,70 5 23,700 5 23,7000 5 … Agora acompanhe a situação a seguir: ◆◆
Paulo tem 1,57 m e Ademir, 1,45 m. Qual deles é mais alto? Paulo é mais alto, pois 1,57 1,45. Para descobrir qual entre dois números decimais é maior, comparamos primeiro a parte inteira: 1 5 1. Como houve igualdade, comparamos os décimos: 5 4. Pronto! 1,57 1,45.
Observe mais um exemplo: ◆◆
5,009 5,01 Parte inteira: 5 5 5 Décimos: 0 5 0 Centésimos: 0 1
Claro! 5,01 5 5,010; então 5,009 , 5,010, porque 9 milésimos é menor que 10 milésimos.
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EXERCÍCIOS 26. Transforme os números decimais em frações decimais. 9 10 7,1 71 10 3,29 329 100
5 100 2 468 2,468 1 000 23 0,023 1 000
a) 0,9
d) 0,05
g) 74,09
b)
e)
h) 5,016
c)
f)
7 409 100 5 016 1 000
i) 148,33
14 833 100
27. Qual é o maior, 1,3 ou 1,30? Justifique sua é igual a 1,30; três décimos é igual a resposta. 1,3 30 centésimos 1,30
0,48 litro
0,25 litro
0,5 litro
0,435 litro
Qual etiqueta Gustavo deve colocar no frasco em que há maior quantidade de líquido? 0,5 litro 30. (Saresp) Dona Cláudia faz uma mistura de cereais para o café da manhã. Ela prepara uma lata de cada vez, colocando: Marcelo Azalim
DAE
1,3
29. Gustavo deve colocar etiquetas em vidros que contêm certa quantidade de líquido. Observe as etiquetas:
28. Escreva os números que representam a mesma quantidade. 0,93
3,81
0,500
1,02
38,10
4,7
6,20
38,01
0,5
4,70
0,47
1,020
6,2
3,8100
0,930
1,002
0,93
3,81 4,7 6,2 0,5
1,02
a) Qual produto aparece em maior quantidade? Aveia. b) Qual produto aparece em menor quantidade? Coco ralado.
31. A tabela a seguir apresenta as medidas de altura de alguns alunos do 6o ano. Aluno
Altura
Marcos
1,34 metro
Romário
1,05 metro
Lúcio
1,51 metro
3,8100
Leonardo
1,50 metro
4,70
Leandro
1,43 metro
0,930
6,20 0,500 1,020
a) Qual dos alunos é mais alto? Lúcio. b) Qual dos alunos é mais baixo? Romário. c) Escreva os cinco números em ordem decrescente. 1,51; 1,50; 1,43; 1,34; 1,05
NÚMEROS DECIMAIS
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5. Adição e subtração de números decimais
1
1
35 30 28 93
5 centésimos + 8 centésimos 13 centésimos Reagrupando, 13 centésimos = 1 décimo e 3 centésimos
Marcelo Azalim
28, 64, + 40, 132,
Paulo José
Dona Sílvia vai ao banco pagar as contas do mês. Para saber quanto ela gastará no total, fazemos:
Devemos somar centésimos com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades e assim por diante. Isso fica mais fácil se colocarmos vírgula embaixo de vírgula. Dona Sílvia tem no banco R$ 456,78. Se ela pagar as contas com esse dinheiro, quanto lhe sobrará?
5 1
456, 78 2 132, 93 323, 85
Podemos acrescentar zeros à direita da parte decimal para visualizar melhor o que se passa nas adições ou subtrações.
Por exemplo: 8 2 0,94 5 ? 8 5 8,00
8,00 2 0,94 7,06
Estúdio Ornitorrinco
Paulo José
Como não é possível tirar 9 décimos de 7 décimos, trocamos 1 unidade por 10 décimos. 17 2 9 5 8
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ExErcícios a) b) c) d) e)
12 1 0,7 12,7 15 2 0,5 14,5 27 1 3,2 30,2 15,8 2 0,8 15 34 1 0,06 34,06
f) g) h) i) j)
4,8 1 11,2 16 6 2 1,5 4,5 1,71 1 0,09 1,80 0,05 1 2,95 3 8 2 0,01 7,99
33. (Saresp) Observe a tabela de preços desta lanchonete:
35. Na hora de registrar o valor da minha compra, que foi de R$ 9,15, o dono da padaria se enganou e trocou o 1 pelo 7. Quanto ele me cobrou a mais? 60 centavos
36. Qual é o perímetro do terreno? 58,2 m DAE
32. Calcule mentalmente e anote os resultados.
10,6 m
Ilustrações: Ronaldo Barata
18,5 m
37. (UFRJ) Pedi R$ 30,00 emprestados a José Marco. Uma semana depois, devolvi R$ 22,00, mas acabei precisando recorrer novamente ao amigo, que me emprestou outros R$ 15,00. Acabo de pagar R$ 19,50 a José Marco. Qual é minha dívida atual com ele? R$ 3,50
Mortadela ............R$ 1,80 Queijo ..................R$ 2,00 Cachorro-quente.... R$ 1,70 Hambúrguer ........R$ 2,20
38. Uma das atividades favoritas de Rodolfo é andar de bicicleta. Mas, depois de tantas pedaladas, sua “máquina voadora” precisa de manutenção. Veja os gastos de Rodolfo com o conserto de sua bicicleta. Ronaldo Barata
Abacaxi ......... R$ 1,50 Coco .............. R$ 1,60 Chocolate ...... R$ 1,70 Limão ............ R$ 1,75
Laranja .......... R$ 2,00 Maracujá ....... R$ 2,50 Caju ............... R$ 2,20 Melão ............ R$ 2,30
Alexander Fediachov/Dreamstime.com
Calcule mentalmente: quanto você iria gastar se comprasse o lanche, o sorvete e o suco mais baratos? R$ 5,20 34. Considere os números: 14
7,009
1,6
15,2
6,13
Calcule: a) a soma dos dois números menores; 7,73 b) a soma dos dois números maiores; 29,2 c) a soma do número maior com o menor. 16,8
a) Qual é o valor total do conserto? R$ 39,92 b) Rodolfo pagou com uma nota de R$ 50,00. Quanto ele recebeu de troco? R$ 10,08 c) Escreva o valor do troco por extenso. Dez reais e oito centavos.
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6. Multiplicando por 10, 100,1 000, ... Ilustrações: DAE
Quanto é 10 ? 0,01? E 10 ? 0,1?
Usando frações: 10 ? 0,01 5 10 ?
1
5
10
5
100 100 10 1 5 51 10 ? 0,1 5 10 ? 10 10
10 ? 1 centésimo 5 1 décimo
e
10 ? 1 décimo
5
1 10
5 0,1
1 unidade
Como nosso sistema é decimal, fazemos grupos de dez: 10 vezes 1 centésimo resulta 1 décimo. 10 ? 0,01 5 0,1
Da mesma forma, 10 ? 0,1 5 1
Digite na calculadora um número decimal qualquer. Multiplique-o por 10. O que aconteceu com a posição da uma vírgula? Deslocou-se posição para a direita.
Quando multiplicamos por 10, os centésimos passam a ser décimos; e os décimos, a ser unidades. Na prática, isso equivale a deslocar a vírgula uma casa para a direita. Usando a mesma ideia, podemos verificar que para multiplicar por: ◆◆ 100, deslocamos a vírgula duas casas para a direita; ◆◆
1 000, deslocamos a vírgula três casas para a direita;
◆◆
10 000, deslocamos a vírgula quatro casas para a direita, e assim por diante.
Veja exemplos: ◆◆
0,068 ? 100 5 6,8
◆◆
2,036 ? 100 5 203,6
◆◆
0,00132 ? 1 000 5 1,32
◆◆
5,4 ? 1 000 5 5 400
Na calculadora, efetue
Observe que foi necessário acrescentar zeros para que a vírgula se deslocasse três casas para a direita.
Você também pode usar a forma fracionária do número decimal.
0,000145 100 000. O que ocorreu com a posição da vírgula? Deslocou-se cinco posições para a direita.
1
47 ? 10 47 47 ◆◆ 0,47 ? 10 5 ? 10 5 5 4,7 5 100 ? 1 100 10 10 185 ? 10 185 ◆◆ 18,5 ? 10 5 ? 10 5 5 185 10 ? 1 10
A vírgula estaria à direita do 5, mas não precisa ser escrita.
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E as divisões por 10, 100, 1 000, ...? Como ficam? Quando dividimos por 10, unidades passam a ser décimos, décimos passam a ser centésimos e assim por diante. Na prática, dividir por 10 equivale a deslocar a vírgula uma casa para a esquerda. ◆◆ 2,8 10 5 0,28 Ao dividir por 10, duas unidades passam a ser dois décimos, e oito décimos passam a ser oito centésimos.
43,7 10 5 4,37 ◆◆ 123 10 5 12,3 ◆◆
Quando dividimos por: ◆◆
100, deslocamos a vírgula duas casas para a esquerda;
◆◆
1 000, deslocamos a vírgula três casas para a esquerda;
◆◆
10 000, deslocamos a vírgula quatro casas para a esquerda, e assim por diante.
Veja exemplos: ◆◆ 589 1 000 5 0,589 Foi necessário acrescentar zeros para deslocar a vírgula duas casas para a esquerda.
0,8 100 5 0,008 ◆◆ 46,2 1 000 5 0,0462 ◆◆
Usando a forma fracionária: 214 214 214 1 100 5 ◆◆ 21,4 100 5 5 0,214 ? 5 1000 10 10 100
Podemos escrever, por exemplo: 2,38 5 238 100 12,45 5 1 245 100 1 656 5 1,656 ? 1 000
Exercícios Ilustrações: Ronaldo Barata
3 9. Veja os preços e responda:
R$ 0,83
4 1. Você ganha R$ 29,75 por dia. Quanto ganhará em 10 dias? R$ 297,50 4 2. Qual é o valor unitário de cada parafuso? R$ 0,09
R$ 0,03
a) Quanto custam 10 bombons? R$ 8,30 b) Quanto custam 100 bombons? R$ 83,00 c) Quanto custam 10 pregos? R$ 0,30 d) Quanto custam 100 pregos? R$ 3,00 4 0. Responda. a) Quanto é 0,5 ? 10 ? 10? 50 b) Quanto é 0,5 ? 100? 50 c) Multiplicar por 10 e, depois, por 10 de novo, é o mesmo que multiplicar por quanto? Por 100.
4 3. Calcule. a) 5,237 ? 10 52,37 b) 4,169 ? 100 416,9 c) 8,63 ? 1 000 8 630 d) 0,287 ? 100 28,7 e) 1 000 ? 0,9 900 f ) 10 ? 0,3 3
g) 4,83 10 0,483 h) 674,9 100 6,749 i ) 0,08 10 0,008 j ) 7 814,9 1 000 7,8149 k) 0,017 100 0,00017 l ) 6 312,4 1 000 6,3124
Números decimais
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Ronaldo Barata
7. Multiplicação de números decimais Se o quilograma do queijo prato custa R$ 29,64, quanto se paga por 2 kg desse queijo? Para saber, temos de efetuar 2 ? 29,64. Fazemos com facilidade 2 ? 2 964 5 5 928. Como 2 964 5 29,64 ? 100, o preço obtido é 100 vezes maior que o correto. 5 928 100 5 59,28
Paulo José
Portanto, paga-se R$ 59,28 por 2 kg desse queijo.
Observe: 2 · 29,64
Multiplicando 2 por um número menor que 1, como 0,8, por exemplo:
2 não tem casas decimais 29,64 tem duas casas decimais O produto 2 · 29,64 5 59,28 tem
2 ? 0,8 5 1,6 O produto 1,6 é menor que 2.
0 1 2 5 2 casas decimais.
E quanto custa 1,6 kg do mesmo queijo? Mais uma vez devemos multiplicar a quantidade de queijo pelo preço do quilo: 1,6 ? 29,64. Fazemos 16 ? 2 964 5 47 424. Como 16 5 1,6 ? 10 e 2 964 5 29,64 ? 100, o preço obtido é 1 000 vezes maior que o correto. 47 424 1 000 5 47,424
Paulo José
Então, arredondando os centavos, 1,6 kg do queijo custa R$ 47,42.
Observe: 1,6 tem 1 casa decimal 29,64 tem 2 casas decimais O produto 1,6 ? 29,64 5 47,424 tem 3 casas decimais.
1. Usem a calculadora para efetuar 84,5 ? 0,38. 32,11 O produto obtido é maior ou menor que 84,5? Menor. 2. Discutam: o que acontece com o produto quando multiplicamos um número por outro menor que 1?
O produto é menor do que o primeiro dos números.
3. Multipliquei um número com três casas decimais por um número com uma casa decimal. O produto terá quantas casas decimais? 4
4. Se 128 ? 34 5 4 352, qual o resultado de 1,28 ? 3,4? 4,352 5. Cinco centésimos de quarenta segundos são quantos segundos? 2s
6. Copiem as operações que têm o mesmo resultado. Alternativas a e c.
a) 2,8 ? 10 100 b) 0,028 ? 100 1 000 c) 2,8 10 d) 1 000 ? 2,8 10
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ExErcícios a) b) c) d)
48.Numa corrida de táxi, o valor fixo (bandeirada) é de R$ 8,90, e cada quilômetro rodado vale R$ 2,40. Quanto se pagará em reais por uma corrida de 15 km? R$ 44,90
o dobro de 0,65? 1,3 o triplo de 9,5? 28,5 20 vezes 13 centésimos? 2,6 3 vezes 175 milésimos? 0,525
Fernando Favoretto/Criar Imagem
45. Um teste é composto de três partes. Cada item da parte A vale 0,5 ponto, cada item da parte B vale 1,0 ponto e cada item da parte C vale 0,25 ponto. Mauro acertou três itens da parte A, quatro itens da B e cinco itens da C. Qual foi sua nota no teste? 6,75
46. A padaria estava fazendo a seguinte oferta na venda de pães:
Pão de coco Unidade: R$ 0,45 Leve 6 e pague 5
Ilustrações: Ronaldo Barata
44. Quanto é:
49. Uma companhia de telefonia celular cobra R$ 0,29 por minuto em ligações locais para outros celulares e R$ 1,87 por minuto em ligações a distância. Roberta fez 8 ligações locais para outros celulares de 2,5 minutos cada e 2 ligações a distância de 0,5 minuto cada. Levando-se em conta apenas o preço do minuto em cada ligação, quanto Roberta vai pagar à companhia telefônica? R$ 7,67 50. (CPII-RJ) No lançamento do sabão BOM, o fabricante fez a seguinte promoção:
Gustavo aproveitou a oferta e levou 14 pães. Quanto ele pagou? R$ 5,40 47.Carolina foi à padaria com R$ 30,00 e comprou 11 pães de queijo, uma bandeja de iogurte, 1 kg de queijo e 3 litros de leite. Com base 2 nos preços dos produtos abaixo, qual foi o troco que Carolina recebeu? R$ 6,12 Produto
Preço (r$)
leite (litro)
1,95
iogurte (bandeja)
3,75
pão de queijo (unidade)
0,48
queijo (quilograma)
18,00
Suponha que o poder de limpeza do sabão BOM seja idêntico ao do sabão UNO, cuja caixa de 500 gramas custa R$ 1,60. Assinale a opção mais vantajosa (justifique sua resposta). Alternativa b. a) Comprar duas caixas do sabão BOM (em promoção). R$ 7,00 b) Comprar quatro caixas de 500 gramas do sabão UNO. R$ 6,40
NÚMEROS DECIMAIS
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Estime produtos! Os arredondamentos podem ajudar-nos a estimar produtos de números decimais, evitando erros.
7,9 30,4
8 30 }
8 ? 30 5 240
O produto deve estar próximo de 240.
Sabe como eu fiz para calcular mentalmente 4,1 ? 20? Quatro vezes vinte é oitenta. Um décimo de vinte é dois. Então 4,1 ? 20 é 82.
De fato: 7,9 ? 30,4 5 240,16 Se, por engano, você colocasse a vírgula na posição errada, como 24,016, sua estimativa ajudaria a detectar o erro.
Ilustrações: Ronaldo Barata
Veja: 7,9 ? 30,4 5 ? Estimamos o produto arredondando:
Sugestão de resposta: “Uma vez e meia” de 64 é 64 1 32, que dá 96.
Como você calcularia mentalmente 1,5 ? 64?
ExErcícios a) 5 ? 0,8 4 b) 3 ? 0,6 1,8 c) 0,9 ? 0,7 0,63
d) 0,5 ? 36 ? 2 36 e) 7,18 ? 2 ? 5 71,8 f) 0,25 ? 14,3 ? 4 14,3
Receita para 100 pães de leite:
52. Se o produto de 16 por 457 é igual a 7 312, qual é o produto de 16 por 45,7? 731,2
2 quilos de farinha
53. Dona Carmela foi à feira e comprou 2,5 kg de feijão. Quanto gastou? R$ 9,00
100 gramas de sal
Marcelo Azalim
54. (SEE-RJ) Um padeiro usa a seguinte receita:
51. Calcule mentalmente.
2 litros de leite
1 tablete de fermento
Cálculo mental Calcule mentalmente: qual quantidade de cada ingrediente o padeiro deve usar para fazer 150 pães do mesmo tipo?
3 kg de farinha, 3 L de leite, 150 g de sal e 1,5 tablete de fermento
55. Calcule mentalmente o preço de 21 laranjas. R$ 14,00 4,00 ? 3,5 5 14,00
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8. Divisão de números naturais com quociente decimal 31 1
Ilustrações: Ronaldo Barata
Suponha que temos uma corda com 31 metros de comprimento e precisamos cortá-la em 5 pedaços de mesmo comprimento. A operação a ser feita é 31 5. 5 6
Usando somente os números naturais, obtemos quociente 6 e sobra 1 unidade. Mas agora que conhecemos os números decimais, podemos prosseguir a divisão: 1 unidade 5 10 décimos 10 décimos divididos por 5 resultam 2 décimos, e o resto é zero. Veja, a seguir, como fica a divisão. 31 10 0
5 6,2
Colocamos a vírgula, pois o algarismo 2 deve estar na casa dos décimos.
Essa divisão tem quociente decimal. Cada parte da corda deve ter 6,2 metros de comprimento. Se quiséssemos dividir a mesma corda em 4 partes de comprimentos iguais, faríamos 31 4. 31 4 3 0 7,75 20 0
◆◆
31 dividido por 4 dá 7 e sobram 3 unidades
◆◆
3 unidades 5 30 décimos
centésimos
◆◆
30 décimos divididos por 4 dá 7 décimos e sobram 2 décimos
décimos
◆◆
2 décimos 5 20 centésimos
◆◆
20 centésimos divididos por 4 dá 5 centésimos e resto zero
E quando o dividendo é menor que o divisor, como em 1 8 ?
Paulo José
Cada parte deveria ter 7,75 metros de comprimento.
1 8 10 0,125 20 40 0
Como 1 é menor que 8, colocamos zero unidade no quociente, fazemos 1 unidade 5 10 décimos e prosseguimos como nos exemplos anteriores. NÚMEROS DECIMAIS
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9. Divisão de números decimais Vimos que, numa divisão, o quociente não se altera quando multiplicamos dividendo e divisor por um mesmo número natural que não seja zero. 3
8 0
3
2 4
10
24 0
10
6 4
2
240 0
2
60 4
480 120 0 4
etc.
Usaremos essa propriedade e mais os conhecimentos sobre multiplicação por 10, 100, 1 000, ... para efetuar divisões entre números decimais. Veja exemplos: 1. 2,4 1,6 5 Se multiplicarmos 2,4 por 10 e 1,6 também por 10, o quociente não se altera e ficamos com uma divisão de números naturais que já sabemos resolver. 2,4 1,6 5 24 16 5 1,5
24 80 0
16 1,5
1. 0,1 é quantas vezes menor que 10? 100 vezes
2. Por quanto devemos multiplicar 0,05 para obter 1,45? 29
2. 15,12 2,7 5 Para ficarmos com uma divisão entre números naturais, devemos multiplicar o dividendo e o divisor por 100. 15,12 2,7 5 1 512 270 5 5,6
1 512 1 620 0
270 5,6
3. 3,2 5 5
800 4 dá para dividir mentalmente!
Multiplicamos dividendo e divisor por 10.
4. 0,8 0,004 5
32 320 200 0
50 0,64
Multiplicamos dividendo e divisor por 1 000.
Ronaldo Barata
3,2 5 5 32 50 5 0,64
0,8 0,004 5 800 4 5 200 O quociente de dois números decimais pode ser um número natural! 222
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ExErcícios
57. Observe a tabela abaixo. Note que está incompleta. Produto 2,83
leite
7,80
bolacha
2,25
margarina
6
Preço Quantidade unitário (r$)
pão de queijo
10 0,65
62. No supermercado Tudo Barato, a garrafa do refrigerante Pek Cola de 2 litros custa R$ 3,89. Mais adiante, em outra gôndola (prateleira), há um cartaz indicando: Travismanley/Dreamstime.com
56. Quatro amigos foram jantar num restaurante e gastaram R$ 51,00. Dividiram a despesa em partes iguais. Quanto pagou cada um? R$ 12,75
Promoção:
Preço total (r$) 28,30
12 6
13,50 7,80
1,30
Quanto vou gastar comprando uma unidade de cada produto da tabela? R$ 7,03 Não, pois R$ 17,34 6 5 R$ 2,89.
Leve 6 garrafas (2 litros) de Pek Cola por R$ 23,34
58. Calcule. a) 7,2 1,8 4 b) 5,6 0,7 8 c) 13,5 5 2,7
d) 144 0,25 576 e) 72 0,09 800 f) 3,6 5 0,72
Perímetro: 46 cm
Ilustrações: DAE
59. Na figura estão representados polígonos regulares dos quais se conhece o perímetro.
Há desconto na compra de 6 refrigerantes? Justifique sua resposta. Não, pois R$ 23,34 6 5 R$ 3,89. 63. Veja os preços das fotocópias numa papelaria: 10 2 7,20 5 2,80 2,80 0,15 5 18,666...
Perímetro: 39 cm
Qual é a medida do lado de cada figura? Quadrado: 9,75 cm; Pentágono: 9,2 cm
60. Calcule mentalmente. a) 0,76 10 0,076 b) 0,76 100 0,0076 c) 0,76 1 000 0,00076
d) 0,76 0,1 7,6 e) 0 9,8 0 f) 4,2 0,6 7
61. João usou 561 metros de arame para cercar um terreno. A cerca ficou com 4 voltas de arame. Qual é o perímetro desse terreno? 140,25 m
cópia
Preço (r$)
simples
0,15
colorida
2,40
Eu tinha R$ 10,00 e pedi 3 cópias coloridas de uma gravura. Com o dinheiro restante, quantas cópias simples poderei pagar? 18 cópias 64. Calcule o valor das expressões. a) b) c) d) e)
5,06 1 0,1 2 4,972 0,188 3,5 0,2 2 0,08 0,8 17,4 3,8 2 1,7 1 1,5 0,5 5,1 5 ? 1,6 2 (2,18 ? 0,4 2 0,36) 7,488 (6 ? 1,2 2 5 ? 0,8) 2 (5 2 2 ? 1,9) 2
NÚMEROS DECIMAIS
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Dízimas periódicas Vamos efetuar 5 11. 5 11 50 0,4545 60 50 60 5
Mesmo que continuássemos dividindo indefinidamente, não chegaríamos ao resto zero.
5 11 5 0,454545...
As reticências indicam que o número tem infinitas casas decimais e que os algarismos 4 e 5 se repetem nesta ordem.
0,454545... ou 0,45 é uma dízima periódica. Seu período é 45. Faça os cálculos no caderno e verifique quais quocientes representam dízimas periódicas. Alternativas a e d. a) 8 33 b) 17 8 c) 238 35 d) 43 15
www.teleco.com.br/ncel.asp
Estatísticas de celulares no Brasil Total de celulares jan/15: 281,7 milhões
281,7 milhões de celulares em jan/15 O Brasil terminou jan/15 com 281,7 milhões de celulares e 138,3 cel/100 hab. O mês de jan/15 apresentou adições líquidas de 973 mil celulares.
Número de celulares a cada 100 habitantes.
O pré-pago apresentou adições líquidas de 470 mil e o pós-pago de 503 mil. A participação do pré-pago caiu para 75,75%. Dados preliminares da Anatel indicam que em fev/15 foram adicionados 392 mil acessos móveis no pré-pago.
Observe que, na notícia, escreveu-se 281,7 milhões de celulares em vez de 281 700 000. Esse tipo de registro é comum nas mídias, pois muitas vezes é mais econômico, rápido e evita erros: é mais fácil escrever 2,1 bilhões ou 2 100 000 000? Agora você pratica no caderno. 1. Escreva por extenso. a) 973 mil 973 000
b) 2,75 milhões 2 750 000
2. Use o registro mais econômico para escrever: a) 36 800 36,8 mil b) 1 200 000 1,2 milhão
c) 4 500 000 000 4,5 bilhões
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Exercícios 6 9. (NCE-UFRJ) Saí com uma nota de R$ 20,00, uma nota de R$ 5,00, uma nota de R$ 2,00, duas moedas de R$ 0,25 e três moedas de R$ 0,05 no bolso. Passei no açougue e comprei uma peça de carne pela qual paguei R$ 18,30. No botequim da esquina, gastei R$ 6,70 tomando um refrigerante e comendo dois pastéis. Cheguei na padaria e quero comprar pãezinhos. Cada pãozinho custa R$ 0,12. Posso então comprar, no máximo, a seguinte quantidade de pãezinhos: Alternativa c. a) 14 b) 19 c) 22 d) 25
6 6. Numa família, o pai ganhou R$ 1.645,71 em maio; R$ 1.709,08 em junho e R$ 1.650,00 em julho. Qual foi, aproximadamente, em reais, a renda média mensal? R$ 1.668,26
No de cópias de um mesmo original
Preço por cópia
de 1 a 49
R$ 0,15
10
de 50 a 99
R$ 0,10
9
100 ou mais
R$ 0,08
8
Número de alunos
Baseando-se nessa tabela, um professor que dispõe da quantia exata de R$ 8,90 para fazer cópias de um mesmo original poderá solicitar, no máximo: Alternativa b. 8,90 0,08 5 111,25
900 passos 750 100 5 7,5 120 7,5 5 900
DAE
67. (Vunesp) Uma papelaria copiadora tem a seguinte tabela de preços:
7 6 5
c) 112 cópias. d) 113 cópias.
4 IAN HOOTON/SPL/Latinstock
68. (Cesgranrio-RJ) Ao caminhar 100 metros, uma mulher dá, em média, 120 passos. Quantos passos uma mulher dará, em média, ao caminhar 750 metros?
27,65 2 25,00 5 2,65 2,65 0,12 5 22,08333...
70. (CPII-RJ) Na escola de Eduardo, há uma biblioteca na qual cada aluno pode levar até 5 livros emprestados por mês. A escola fez uma pesquisa para verificar a quantidade de livros lidos por turma durante um mês. O resultado da turma de Eduardo pode ser verificado no gráfico abaixo.
5.004,79 3 5 1.668,26333...
a) 110 cópias. b) 111 cópias.
Bola_BR/Shutterstock
Ronaldo Barata
6 5. Um grupo de 160 amigos fará uma excursão. Quantos micro-ônibus de 24 lugares eles deverão alugar? 7 micro-ônibus 160 24 5 6,666
3 2 1 0
0
1
2
4
3
5
Número de livros lidos
a) Qual é o número de alunos da turma de Eduardo? 26 alunos 1 1 4 1 9 1 7 1 3 1 2 5 26
b) Qual é a média de livros lidos, por aluno, nesta turma? 2,5 livros (4 1 18 1 21 1 12 1 10) 26 5 2,5
Números decimais
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rEVisANDo 71. Ordene os preços seguintes, do mais barato ao mais caro. R$ 0,08; R$ 0,89; R$ 0,98; R$ 1,02; R$ 1,20;
Ilustrações: Ronaldo Barata
R$ 2,01; R$ 2,10
74. Calcule o número representado por cada sentença. a)
1 6,1 5 10 3,9
b)
2 7,3 5 22,82 30,12
c)
1 2 1 0,4 1 1,3 5 19,8 16,1
em
75. Utilize os números representados nos quadros para completar as frases. 29,9
30
29,5
1,9
1,09
2,08
2,1
2
a)
é o menor número 1,09
b)
é o maior número 30
c)
é um inteiro e noventa centésimos 1,9
d)
está situado entre 2 e 2,1 2,08
e)
está mais próximo de 30 do que 29,5 29,9
76. Veja a figura e escreva o nome dos três garotos, do mais baixo para o mais alto. Roberto, Mário e Carlos.
Leonardo Conceição
Jorge Zaiba
72. O avô de Pedro esqueceu os óculos e pediu ao neto que preenchesse o cheque. R$
Roberto
Mário Carlos
478,69
77. Complete com , ou 5. Escreva por extenso o valor do cheque.
Quatrocentos e setenta e oito reais e sessenta e nove centavos.
2 de 24 reais são: Alternativa c. 73. (Fesp-RJ) 5 a) 9 reais. c) 9 reais e 60 centavos. b) 9 reais e 6 centavos. d) 9 reais e 66 centavos.
a) 0,85
8,5 <
b) 0,3
0,300 5
c) 6,0
60 10
5
d) 9,4
4,9 >
e) 0,5 1 0,5 f ) 1,3
15 1
1 2
<
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80. (Obmep) Lucinda manchou com tinta dois algarismos em uma conta que ela tinha feito, como mostra a figura. Qual foi o menor dos algarismos manchados? Alternativa b.
32.6 kg
a) b) c) d) e)
4 5 6 7 8
Danillo Souza
Ilustrações: Leonardo Conceição
78. Observe e responda.
Patrícia “pesa” 32,6 kg. a) Quantos quilos tem Fernanda? 35,4 kg
81. O gráfico mostra o número de gols marcados por um time nos 5 jogos realizados em um campeonato. Qual é a média de gols por partida nesses 5 jogos? 2,8 gols por partida Números de gols 5
DAE
68.0 kg
4 3
b) Quantos quilos tem Ricardo? 29,6 kg
2 1 0
79. (Cesgr anr io-RJ) A “t err a” é uma moeda social criada em Vila Velha, comunidade da Região Metropolitana de Vitória. Essa moeda só circula na comunidade, e um real vale o mesmo que um “terra”. Mas quem compra com “terra” paga mais barato. O preço do pãozinho é R$ 0,15, ou 0,10 “terra” e um refrigerante, que custa R$ 1,50, é vendido por 1,00 “terra”. Comparado ao real, qual será o desconto para quem comprar 4 pãezinhos e 2 refrigerantes, pagando com “terra”? a) 0,80 b) 1,20
2
3
4
5
Jogo
82. O comprimento do lado de um hexágono regular é 5 cm. Qual será o comprimento do lado de um pentágono regular com o mesmo perímetro desse hexágono? 6 cm 83. (Cesgranrio-RJ) Um motorista parou em um posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel. Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro do óleo diesel custava R$ 1,45, quantos litros ele comprou? 65 litros
100 2 5,75 5 94,25 94,25 1,45 5 65
Danillo Souza
65.0 kg
1
c) 1,80 d) 2,40
Alternativa b.
NÚMEROS DECIMAIS
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DESAFIOs
0,4 L
0,6 L
Ilustrações: Danillo Souza
84. Para encher completamente de óleo o recipiente maior, quais recipientes menores devem ser utilizados?
0,9 L
3,4 L
1,2 L
1,3 L
1,6 L
Encontre duas soluções diferentes. 1,6 1 1,2 1 0,6 ou 1,2 1 1,3 1 0,9 Há outras possibilidades.
0,5
2,5
12,5
9 0. O número 380 000 000 pode ser escrito da seguinte forma: Alternativa d. a) 38 milhões.
c) 38 bilhões.
b) 3,8 bilhões.
d) 0,38 bilhões.
91. Num debate entre quatro pessoas, o mediador fixou a seguinte regra: “Cada assunto será discutido em, no máximo, 15 minutos. Dividindo 15 por 4, resulta 3,75. Portanto, cada debatedor tem direito a falar durante 3 minutos e 75 segundos”. Cada debatedor deverá falar durante 3 minutos e 45 segundos.
3,3 2 (1,1 1 2,2)
b) 12,5 1 2 2 7 1 6,5 5 1 86. Calcule
0,1
O que há de errado nessa regra?
85. Copie as expressões e coloque parênteses onde for necessário para que as afirmações sejam verdadeiras. a) 3,3 2 1,1 1 2,2 5 0
8 9. Qual é o próximo número desta sequência? 62,5
12,5 1 2 2 (7 1 6,5)
o valor das expressões.
a) 7,4 2 8 ? 0,5 3,4
d) 3,2 4 2 0,018 0,782
b) 1,9 1 7,2 2,4 4,9
e) 5 ? (0,2 1 1,3) 7,5
c) 2,5 ? 13 2 6,8 25,7
f ) 4,8 2 1 0,1 2 0,6 1,9 92. ( FCC-SP)
8 7. Calcule. a) (0,5 1 0,7) 0,3 4 b) (4 1 0,5) (1 2 0,5) 9 c) (8 2 0,8) (3 0,4) 6 d) (6 2 1,2 ? 2) (0,1 1 0,4) 7,2 88. Usando os algarismos 0, 6, 7 e a vírgula, escreva:
a) um número maior que 7; 7,06 ou 7,60 b) um número maior que 6 e menor que 7; 6,07 ou 6,70
c) um número maior que 0,6 e menor que 0,7. 0,67
Um camelô comprou 600 canetas planejando revendê-las a R$ 2,75 cada uma. No entanto, algumas das canetas compradas estavam com defeito e não podiam ser vendidas. Para continuar recebendo a quantia planejada, o camelô aumentou o preço de venda para R$ 3,00. Quantas canetas estavam com defeito?
50 canetas 600 ? 2,75 5 1 650 1 650 3 5 550 600 2 550 5 50
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AUToAVALiAÇÃo 97. O valor de
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
5 4 6 b) 7 a)
93. Quatro inteiros e setenta e dois décimos de milésimos é igual a: Alternativa b. a) 4,72 b) 4,0072
c) 4,072 d) 4,00072
94. Gilda completou a “conta” com os números que faltavam.
1 1 2 1 0,75 é: Alternativa d. 3 13 c) 10 37 d) 12
98. (Obmep) Em 1998, a população do Canadá era de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998? Alternativa c.
a) 303 000 b) 303 000 000
c) 30 300 000 d) 30 300 000 000
Marcelo Azalim
30,3 milhões 5 30,3 ? 1 000 000 5 30 300 000
8, 9 1 7 2 5, 4 6 3 3, 5 5 4
Cometeu erro na coluna dos: Alternativa b. c) centésimos. d) milésimos.
A
0,5
1
1,5
2
2,5
100.(UFRJ) Um motorista passa, em uma estrada, por um posto que cobra R$ 2,68 por litro de gasolina. Em seguida passa por outro posto, que cobra R$ 2,65 por litro, e resolve abastecer o seu carro com 45 litros de gasolina. Em relação ao preço do primeiro posto, ele fez uma economia de: Alternativa a. a) R$ 1,35 b) R$ 1,55
c) R$ 1,75 d) R$ 1,85
Alternativa b.
3
O ponto A corresponde a um dos números abaixo. A qual deles? Alternativa d. a) 2,25 b) 1,25
c) R$ 14,32 d) R$ 21,48
101.(Vunesp) Comprei uma garrafa de 2,5 litros de refrigerante e um pacote de bolachas, pagando um total de R$ 5,40. O refrigerante custou R$ 0,40 a mais que a bolacha. O custo de apenas um litro desse refrigerante foi:
95. Examine a figura:
0
a) R$ 7,16 b) R$ 10,74
c) 1,45 d) 1,85
a) b) c) d)
R$ 1,08 R$ 1,16 R$ 1,00 R$ 1,10
Danillo Souza
a) inteiros. b) décimos.
99. Dona Helena pagou R$ 3,58 por 0,25 kg de carne. O preço de 1 kg dessa carne é: Alternativa c.
96. (Vunesp) Para encontrar a metade de 1 356, posso efetuar: Alternativa a. a) 1 356 ? 0,5
c) 1 356 ? 2
b) 1 356 0,5
d) 1 356
1 2
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a) 4 b) 6
c) 7 d) 8
105.(Vunesp) O gráfico a seguir mostra o número de horas extras que um trabalhador fez nos 6 primeiros meses do ano passado. Horas
Ilustrações: DAE
Alternativa b.
Danillo Souza
102.(Obmep) Alvimar pagou uma compra de R$ 3,50 com uma nota de R$ 5,00 e recebeu o troco em moedas de R$ 0,25. Quantas moedas ele recebeu?
20 18 16 14
103.(Cesgranrio-RJ) Severina foi ao mercado com R$ 3,00 para comprar 2 kg de feijão. Lá chegando, viu o cartaz:
Só hoje! Venda Especial Feijão kg – Arroz kg – Batata kg – Mandioca kg – Tomate kg –
R$ 1,50 R$ 2,30 R$ 1,15 R$ 0,90 R$ 1,10
R$ 1,10 R$ 2,00 R$ 0,90 R$ 0,70 R$ 0,90
12 10 8 6 4 2 0
jan.
d) 1,0 kg de tomate.
b) 0,5 kg de batata.
e) 1,5 kg de mandioca.
c) 1,0 kg de batata. kg é o símbolo de quilograma 104.(Cesgranrio-RJ) O gráfico abaixo apresenta a quantidade de arroz, em kg, consumida durante uma semana na Escola Central.
Escola Central Semana de 31/08 a 04/09 Consumo de arroz (em kg) 12
13,3
11,2
12,6
14,1
seg.
ter.
qua.
qui.
sex.
Qual foi o consumo médio diário de arroz, em kg, nessa semana? Alternativa c. a) 10,48
b) 11,60
c) 12,64
d) 12,88
mar.
mai.
abr.
jun.
Mês
A tabela a seguir mostra o valor de cada hora extra a cada mês:
Como os preços estavam mais baixos, Severina recebeu troco. Com esse troco ela poderia comprar: Alternativa b. a) 0,5 kg de arroz.
fev.
Mês
Valor (r$)
janeiro
8,00
fevereiro
8,50
março
9,00
abril
9,00
maio
9,50
junho
10,00
Analisando o gráfico e a tabela, simultaneamente, conclui-se que o valor recebido com horas extras em janeiro supera o valor recebido com horas extras em maio em: Alternativa d. a) 12,50
b) 13,00
c) 13,50
d) 14,00
106.(Prominp) Uma reportagem revelou que a Petrobras atingiu novo recorde de exportação: 22,72 milhões de barris de petróleo exportados em 8 foram expormarço de 2010. Desse total, 25 1 tados para os Estados Unidos e , para o 25 Canadá. Ao todo, aproximadamente, quantos milhares de barris foram exportados para esses dois países? Alternativa c. 22,72 25 5 0,9088
a) 4,26
b) 6,28
0,9088 ? 9 5 8,1792
c) 8,18
d) 9,16
230
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13 unidade
Porcentagens 1. O que é porcentagem?
Léo Burgos
Se você abrir o jornal de hoje, provavelmente encontrará dados representados por meio de porcentagens. Aprender porcentagens e os cálculos relacionados a elas nos ajuda a entender e utilizar melhor essas informações. O símbolo % se identifica com centésimos. Porcentagens são frações com denominador 100.
Veja os exemplos: 85 5 85% 100 Lê-se: oitenta e cinco por cento.
7 5 7% 100 Lê-se: sete por cento.
12 5 12% 100 Lê-se: doze por cento.
Frações de denominador 100 podem ser escritas na forma de porcentagem:
63 5 63% 100 Lê-se: sessenta e três por cento.
79 5 79%. 100
E 100% (cem por cento), quanto é? 100 , ou seja, 100% é a totalidade. Veja alguns exemplos: 100 ◆◆ Se uma classe tem 30 alunos, esses 30 alunos correspondem a 100% dos alunos da classe. 100% é
◆◆
Se tenho R$ 80,00 na carteira, então R$ 80,00 correspondem a 100% do que tenho na carteira. Porcentagens
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231
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LIQUIDAÇÃO TOTAL
Quando lemos um anúncio como este ao lado, sabemos que as mercadorias estão sendo vendidas pela metade do preço. Por quê? Porque se 100% é o total, 50% é a metade do total. Observe: 50% 5
DAE
50% de um número
TA O FER 50% de desconto
1 50 5 100 2
Para calcular 50% de um total, basta dividi-lo por 2. ◆◆ 50% de 30 é 15, porque 30 2 5 15 ◆◆ 50% de 46 é 23 ◆◆ 50% de 7 é 3,5 ◆◆ 50% de 0,8 é 0,4
Como calcular 25% de um número?
Escreva no caderno outra maneira de dar a informação: “Cinquenta por cento dos alunos da classe gostam de Geografia”. Metade dos alunos da classe gostam de Geografia.
Para calcular 25% de um número, basta dividi-lo por 4, 25% corresponde à 25 1 quarta parte do total. 5 . pois 25% 5 100 4 ◆◆ 25% de 12 é 3, porque 12 4 5 3 ◆◆ 25% de 26 é 6,5, porque 26 4 5 6,5 ◆◆ 25% de 200 é 50, porque 200 4 5 50 ◆◆ 25% de 3 é 0,75, porque 3 4 5 0,75
Andrey_Popov/Shutterstock
10% de um valor Agora, imagine-se aproximando do caixa de uma loja e vendo o aviso ao lado. Como sua compra soma R$ 20,00, você calcula: 20 10 5 2, e conclui que terá R$ 2,00 de desconto se pagar a compra à vista. Você sabe por que, para calcular 10% de um valor, basta dividi-lo por 10? 10 1 Porque 10% 5 5 . 100 10 10% corresponde à décima parte do total: ◆◆
10% de 50 é 5
◆◆
10% de 160 é 16
◆◆
10% de 178 é 17,8
◆◆
10% de 9 é 0,9
◆◆
1% de 186 é 1,86
◆◆
1% de 7 é 0,07
E quanto é 1%? Para achar 1% de um total, basta dividi-lo por 100. 1 1% 5 , que é a centésima parte do total: 100 ◆◆ 1% de 900 é 9 ◆◆ 1% de 45 é 0,45 232
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EXERCÍCIOS
C
A
B
A
A
Ilustrações: DAE
1. Relativamente ao número total de quadradinhos na figura abaixo, qual é a porcentagem dos quadradinhos com a letra:
B
A
1 5
b) 45%
9 20
c) 5%
1 20
d) 80%
4 5
A
C
C A
a) A? 10%
a) 20%
B A
A
4. Escreva cada porcentagem na forma de fração irredutível.
5. Escreva a porcentagem dos quadrados vermelhos, dos amarelos e dos azuis.
A
B
3. Escreva cada fração na forma de porcentagem. 47 7 2 3 a) c) d) 47% b) 35% 40% 12% 100 20 5 25
B A
B
B
b) B? 7%
c) C? 3% vermelhos:
2. Represente, com fração e na forma de porcentagem, a parte colorida de cada uma das figuras:
4 20% 20
amarelos:
13 65% 20
azuis:
3 15% 20
6. A geleia de morango contida na embalagem abaixo tem 28% de açúcar.
Danillo Souza
a) 1 ou 50% 2
150 g
b) 1 ou 25% 4
a) O que significa a expressão 28% de açúcar? Em cada 100 g de geleia há 28 g de açúcar.
b) Qual é o peso do açúcar contido nessa embalagem de geleia? 42 g
c) 1 ou 100%
d) 3 ou 75% 4
7. Quanto é? Calcule mentalmente e anote os resultados. a) b) c) d) e) f)
50% de 600 reais 300 reais 25% de 4 000 reais 1 000 reais 10% de 2 800 ovos 280 ovos 20% de 2 800 ovos 560 ovos 1% de 2 800 ovos 28 ovos 100% de 350 gramas 350 gramas
PORCENTAGENS
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2. Calculando porcentagens Agora que sabemos o que é porcentagem, podemos trabalhar com diversas situações. Acompanhe. 1. Em 2001, as regiões Sudeste, Nordeste e Centro-Oeste do Brasil enfrentaram uma crise no fornecimento de energia elétrica. Os moradores de cada residência deveriam consumir 20% menos que a média de consumo dos meses de maio, junho e julho de 2000. Brasil: regiões 60°O
Boa Vista
COLÔMBIA
AMAPÁ Macapá
RORAIMA 0°
Equador
Belém
Manaus AMAZONAS
40°O
GUIANA SURINAME FRANCESA (FRA) GUIANA
São Luís Fortaleza
MARANHÃO CEARÁ Teresina
PARÁ
NORTE
Arq. de Fernando de Noronha
RIO GRANDE DO NORTE Natal
© DAE/Sonia Vaz
VENEZUELA
PARAÍBA João Pessoa PERNAMBUCO Recife ALAGOAS Maceió NORDESTE SERGIPE Aracaju BAHIA Salvador PIAUÍ
ACRE Rio Branco
Porto Velho
Palmas
RONDÔNIA
TOCANTINS
PERU
MATO GROSSO Cuiabá BOLÍVIA
20°S
DISTRITO FEDERAL GOIÁS Brasília MINAS CENTRO-OESTE Goiânia GERAIS MATO GROSSO Belo Horizonte DO SUL
SUDESTE
Campo Grande
OCEANO PACÍFICO
SÃO PAULO São Paulo
PARAGUAI
PARANÁ Curitiba
CHILE ARGENTINA
Capital de país Capital estadual Limite estadual Limite internacional Limite regional
OCEANO ATLÂNTICO ESPÍRITO SANTO Vitória
RIO DE JANEIRO Trópico de Capricórnio
Rio de Janeiro
N
SUL
SANTA CATARINA Florianópolis
RIO GRANDE DO SUL
O
Porto Alegre
L S
0
460
920 km
URUGUAI Fonte: IBGE. Atlas Geográfico Escolar, Rio de Janeiro: IBGE, 6 ed., 2012.
◆◆
10% de 300 5 300 10 5 30
◆◆
20% é o dobro de 10%
Então, 20% de 300 5 2 ? 30 5 60. Os moradores dessa residência teriam de economizar 60 kWh, ou seja, o consumo deveria cair para: 300 2 60 5 240 kWh.
Fernando Favoretto/Criar Imagem
Vamos tomar como exemplo uma residência em que essa média de consumo tenha sido de 300 kWh. Nosso total é de 300 kWh. Precisamos calcular 20% de 300. Neste exemplo, 300 kWh corresponde a 100%.
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2. As contas de energia elétrica na cidade de São Paulo têm 2% de multa se pagas com atraso. Numa conta de R$ 70,00, qual seria o valor da multa? Veja uma forma bem simples de calcular e registrar os cálculos: 100%
70
◆◆
1%
70 100 5 0,7
◆◆
2%
2 ? 0,7 5 1,4
Arquivo pessoal/Foto: Léo Burgos
◆◆
2% 5 2 ? 1%
A multa seria de R$ 1,40. Dica!
3. Segundo dados do Censo 2010 realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o estado da Bahia tinha, em números redondos, nesse ano, 14 milhões de habitantes, dos quais 72% viviam na zona urbana. Com essa informação podemos afirmar que 28% da população da Bahia vivia na zona rural (campo), pois:
Você sabe o que é e para que serve o Censo? Além de servir para contar a população do país, o Censo coleta dados importantes sobre as condições de vida nos municípios, nos estados e nas regiões. Por exemplo: se há água, esgoto, energia elétrica, coleta de lixo; se as pessoas trabalham, estudam, moram em casa própria, quanto ganham por mês etc. O governo usa essas informações para, por exemplo, saber onde é preciso investir em escolas, hospitais, rede elétrica, criação de empregos e muitas outras coisas.
100% 2 72% 5 28% porcentagem da população que vivia na zona rural; porcentagem da população que vivia na zona urbana; corresponde à população total do estado em 2010.
Paulo José
Podemos calcular também quantas pessoas viviam na zona rural:
Acho 1% dividindo o total por 100. Multiplico esse valor por 28 porque quero determinar 28% do total.
14 000 000 de habitantes 140 000 habitantes 28 ? 140 000 5 3 920 000 habitantes
Ou seja, aproximadamente 3 920 000 pessoas viviam na zona rural da Bahia no ano de 2010.
Danillo Souza
100% 1% 28%
Porcentagens
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235
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4. Você quer ter boa saúde? Então faça exercícios físicos, pratique algum esporte e alimente-se de forma equilibrada, evitando doces, refrigerantes e frituras. Consumir alimentos que contenham proteínas é essencial. O leite e o queijo, por exemplo, são fontes de proteína. Na composição do queijo de minas, 9% corresponde a proteínas. Usando as porcentagens básicas podemos calcular quantos gramas de proteína há numa fatia de 50 gramas de queijo de minas. ◆◆
100%
50 g
◆◆
10%
5g
◆◆
1%
0,5 g
Eu pensei diferente: Se 1% corresponde a 0,5 g, então 9% corresponde a 9 ? 0,5 g, que é 4,5 g.
Danillo Souza
Fotos: Edson Antunes
Como 9% 5 10% 2 1%, faremos 9% de 50 g 5 5 2 0,5 5 4,5 g. Portanto, numa fatia de 50 g de queijo de minas há 4,5 g de proteína.
5. Você sabe o que é voluntariado? É a atividade em que as pessoas dão sua contribuição trabalhando em escolas, creches, hospitais e centros comunitários em seu tempo livre e sem receber por isso. Os alunos de certa escola fizeram uma pesquisa estatística. Eles entrevistaram pessoas perguntando se elas participavam de algum tipo de ação voluntária em sua cidade. Do total de entrevistados, 25% responderam afirmativamente à pergunta. Se esses 25% correspondiam a 150 pessoas, quantas pessoas foram entrevistadas pelos alunos? O total de entrevistados corresponde a 100%. ◆◆
100% 5 4 ? 25%
◆◆
25%
◆◆
100%
150 4 ? 150 5 600
Os alunos entrevistaram 600 pessoas. Em sua escola há algum tipo de trabalho voluntário? E em seu bairro? Converse com seus colegas. Alguém conhece ações voluntárias com as quais vocês poderiam contribuir? Pensem nisso!
236
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Exercícios d) 30% de 600 180 e) 5% de 600 30 f ) 35% de 600 210
a) 10% de 400 40 b) 5% de 400 20 c) 15% de 400 60
1 4. Veja a figura:
500 g
Danillo Souza Danillo Souza
8. Calcule mentalmente.
9. Continue calculando mentalmente. d) 100% de 800 800 e) 25% de 800 200 f ) 75% de 800 600
a) 50% de 300 150 b) 10% de 300 30 c) 60% de 300 180
1 0. Continue calculando mentalmente.
11. Observe o quadro de comparação de preços em três lojas. Produto
Loja 1
Loja 2
Loja 3
A
R$ 860,00
R$ 900,00
R$ 960,00
B
R$ 4.020,00
R$ 4.300,00
R$ 4.500,00
C
R$ 14.700,00 R$ 15.600,00 R$ 16.000,00
Promoção
desconto de 10%
desconto de 15%
desconto de 20%
Onde será mais vantajoso adquirir cada um dos produtos indicados? Produto A: loja 2. Produto B: loja 3. Produto C: loja 3.
12. Numa
lanchonete, Sílvia pagou R$ 6,50 por um sanduíche e um refrigerante e ainda deu uma gorjeta de 10% ao garçom.
5. Uma funcionária da minha escola tem um sa 1 lário de R$ 1.280,00, mas ela não recebe essa quantia. Do valor do salário é descontado 8% para a previdência social. Quanto ela acaba re cebendo? R$ 1.177,60 marco mayer/Shutterstock
Converse com seu colega sobre qual é a maneira mais fácil de fazer esses cálculos.
Quantos gramas tem a embalagem em pro moção? 660 gramas
1 6. O gerente de uma empresa recebeu a incum bência de distribuir um prêmio de R$ 12.000,00 entre três funcionários, de acordo com a efi ciência de cada um. Se um deles recebeu 20% desse valor e um outro recebeu 55%, quantos reais recebeu o terceiro? R$ 3.000,00 Ronaldo Barata
c) 100% de 500 500 d) 110% de 500 550
a) 10% de 500 50 b) 90% de 500 450
a) Quanto o garçom recebeu de gorjeta? R$ 0,65 b) Quanto Sílvia pagou no total? R$ 7,15 13. Doze por cento de um lote de 4 200 peças de au
tomóvel são peças defeituosas. Qual é o núme ro de peças sem defeito? 3 696 peças
Porcentagens
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3. A forma decimal das porcentagens Como identificamos o símbolo % com centésimos, as porcentagens podem ser escritas na forma decimal. ◆
35%
35 0,35 100
◆
8%
8 0,08 100
◆
40%
40 0,40 0,4 100
A forma decimal das porcentagens é bastante utilizada, principalmente para calcular porcentagens na calculadora. Para calcular 43% de 200 na calculadora, basta fazer 0,43 200. Observe por quê: 43 43% 0,43 100 43% de 200 43% 200 0,43 200 Indica multiplicação.
Então, 43% de 200 86.
Faça na calculadora 0,35 18 para obter 35% de 18. O resultado é 6,3.
Falando de calculadoras… A maioria delas possui a tecla % . Como devemos usá-la? Digamos que você queira calcular 17% de 150: ◆ digite 150; pressione a tecla da multiplicação; ◆ digite 17; ◆
pressione a tecla % .
Aparecerá no visor o resultado: 25,5.
Vitaly Korovin/Shutterstock
◆
Use a calculadora e a tecla de porcentagem para determinar: a) 32% de 180 57,6 b) 6% de 25 1,5
Registrem no caderno: 1. Mostrem que: 3 a) 150% 2
150 3 100 2
b) 60%
3 5
60 3 100 5
2. Por qual número decimal devemos multiplicar um valor x para obter: a) 10% de x? 0,1 b) 8% de x? 0,08 c) 95% de x? 0,95 3. Invente um anúncio oferecendo um produto com 50% de desconto. Coloque o preço sem desconto. Troque de caderno com um colega. Cada um calcula quanto se pagará pelo produto com desconto. Destroquem os cadernos e confiram as respostas. 4. Peguem uma folha de papel quadriculado. Imaginem e desenhem nessa folha a planificação de um bairro de forma que cada item ocupe a porcentagem do total de quadradinhos indicada a seguir. ◆ residências: 40%; ◆ praças esportivas: 5%; ◆ ruas e avenidas: 20%; ◆ edifícios comerciais: 15%; ◆ colégios: 5%; ◆ áreas verdes: 15%.
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EXERCÍCIOS 17. Copie e complete o quadro. Porcentagem 0,25;
1 4
35%;
7 20
Número decimal
Fração
25%
Mateus 3 10
0,35
Fábia
0,08
Natália
1 5 Carlos 1
3 100
a) Que fração de CDs Fábia arrumou? 4 b) Que porcentagem de CDs Carlos arrumou? 20%
3% 1
1%; 0,01
70%;
4
4
2 25
0,03;
1
3
75%; 0,75
8%;
20. Os quatro funcionários de uma loja arrumaram todos os CDs nas estantes. O gráfico mostra a quantidade de CDs que cada funcionário arrumou.
21. Copie e complete o quadro.
100
7 10
15% de 200
0,7
0,15 200
30
0,32 500
32% de 500
4 0,16; 25
160 0,87 600
16%
87% de 600
18. Calcule mentalmente. 25% 0,25
522 0,04 900
1 4
36
a) 25% de 800 200 1 b) de 800 200 4 c) 0,25 de 800 200
Marcelo Azalim
22.Em qual das lojas é preferível comprar? Por quê?
Estúdio Ornitorrinco
Após calcular, responda: O que você concluiu?
4% de 900
19. Uma farinha com mistura de cereais tem 65% de trigo e 25% de milho. a) Você acha que essa mistura contém apenas porque a soma das duas trigo e milho? Por quê? Não, porcentagens não é de 100%. b) Qual é o “peso” do trigo em 800 gramas dessa mistura? 520 g
O valor do televisor é o mesmo nas duas lojas.
PORCENTAGENS
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239
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REVISANDO 23. Calcule.
27. No gráfico, os dados indicam o resultado de uma pesquisa sobre iogurtes em uma escola. Cada pessoa pôde escolher somente um sabor.
a) 2% e 20% de 80 1,6; 16 b) 5% e 50% de 80 4; 40
Sabor preferido
c) 10% e 100% de 80 8; 80 d) 200% e 300% de 80 160; 240
40%
Compare e comente com os colegas os resultados obtidos. 24. Numa empresa com 1 400 empregados, 35% são mulheres. a) Qual a porcentagem de homens? 65% b) Quantas mulheres trabalham na empresa? E quantos homens? 490 mulheres e 910 homens
Marcelo Azalim
25. Comprei um refrigerador por R$ 1.400,00, a ser pago do seguinte modo:
Porcentagem
40
30
30%
20%
20
10%
10
0
pêssego
uva
0% morango mamão ameixa Sabor
a) Qual foi o sabor preferido? Morango. b) Qual foi o sabor que nenhum dos entrevistados indicou como preferido? Mamão. c) Se a pesquisa foi feita com 240 alunos da escola, determine quantos indicaram ameixa. 48 alunos
a) Qual é o valor da entrada? R$ 210,00 b) Qual é o valor de cada prestação? R$ 297,50 26. (Saresp) Helena vende sanduíches naturais na cantina da escola e, devido ao aumento de custos, teve de reajustar os preços em 6%. Calcule qual será o novo preço de um sanduíche que custava, antes do aumento, R$ 2,50. R$ 2,65
Marcelo Azalim
28. Em um supermercado, várias caixas iguais de bombons foram organizadas da forma que pode ser vista na figura abaixo.
O preço de cada caixa de bombons é R$ 18,50, mas vai ser vendida com 12% de desconto. Qual é o valor que o supermercado vai arrecadar se vender todas as caixas de bombons mostradas na figura? R$ 569,80
240
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DESAFIOS 32. Calcule mentalmente.
Água
Minerais
65%
12%
água: 54,6 gramas proteínas: 10,08 gramas
CaptainImages/ Shutterstock
Veja o quadro e calcule aproxi madamente a quantidade de água, proteínas e gordura que o ovo contém. Proteínas
Gordura
12%
11%
gordura: 9,24 gramas
33. Um feirante pretendia obter R$ 1.000,00 com a venda de 500 abacaxis. Ao receber os abacaxis de seu fornecedor, constatou que 20% esta vam impróprios ao consumo. Para conseguir a quantia prevista inicialmente, por quanto teve de vender cada abacaxi restante? R$ 2,50
• 80% de 500 5 400 • 1 000 400 5 2,50
Stigur Karlsson/E+/Getty Images
30. Numa negociação salarial entre patrão e em pregado, ficou decidida a concessão de um au mento, dividido em duas parcelas. Para isso, o patrão fez duas propostas:
a) Se 4% de um número é 73, quanto será 40% desse número? 730 b) Se 30% de um número é 99, quanto será 3% desse número? 9,9
Leonardo Conceição
29. O conteúdo de um ovo pesa 84 gramas.
I. Dois aumentos sucessivos, um de 15% e outro de 10%. R$ 2.024,00 II. Dois aumentos sucessivos, um de 20% e outro de 5%. R$ 2.016,00
Se o empregado tem um salário de R$ 1.600,00, qual proposta é mais vantajosa para ele? A primeira.
Veja abaixo o conteúdo dessa nota, e observe que cada algarismo ilegível está representado por um asterisco.
Marcelo Azalim
Verifique que sobre o consumo foi acrescenta do 10% a título de serviço. Qual é o valor total da nota? R$ 59,84
34. (UERJ) Um supermercado vende cada lata de um achocolatado por R$ 4,00 e cada pacote de biscoito por R$ 1,00. Para chamar a atenção dos clientes, ofereceu um desconto de 20% no pre ço da lata do achocolatado e de 10% no preço do pacote de biscoito, caso o cliente compras se um “kit promoção” com 1 lata de achocola tado e 2 pacotes de biscoito. Marcelo Azalim
31. Em um almoço num restaurante foram feitas despesas nos itens bebidas e prato principal. A nota de caixa relativa a essas despesas apre sentava alguns números ilegíveis.
* * ** * **
16,0* 3*,34 **,40 *,44 **,84
6 8 54 5 59
a) Qual é o valor, em reais, do “kit promoção”? R$ 5,00
3,20 1 0,90 1 0,90 5 5,00
b) Qual é o número máximo de “kits promoção” que uma pessoa poderá comprar com R$ 20,00? 4 kits
PORCENTAGENS
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Autoavaliação Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. 3 5. (UFRN) 25% da terça parte de 1 026 é igual a: Alternativa d.
25% de 342 5 85,5
a) 855 b) 769,5
c) 94,5 d) 85,5
36. Um aluguel de R$ 700,00, aumentado em 35%, passa a ser de: Alternativa c. a) R$ 735,00 b) R$ 845,00
c) R$ 945,00 d) R$ 950,00
3 9. Um artigo está sendo vendido com 15% de des conto sobre o preço de tabela. Então, para cal cular o valor a ser pago pelo artigo, o preço de tabela deve ser: Alternativa c. a) dividido por 0,15. b) dividido por 85. c) multiplicado por 0,85. d) multiplicado por 0,15. 40. (Ceetesp) Das 14 toneladas diárias da coleta seletiva de lixo, 37% são de alumínio (latas de refrigerante e cerveja).
Ismar Ingber/Pulsar Imagens
37. (Saresp) Em uma chácara há um total de 350 ár vores frutíferas, assim distribuídas: 30%
mangueiras
10%
limoeiros
DAE
abacateiros laranjeiras 40% 20%
As quantidades de laranjeiras e mangueiras são, respectivamente: Alternativa b. a) 140 e 70
c) 105 e 70
b) 140 e 35
d) 140 e 105
38. Em uma fábrica, sobre o preço final do produto, sabe-se que: 1 ◆◆ desse preço são salários; 4 ◆◆
1 desse preço são impostos; 5
◆◆ 25% ◆◆ o
desse preço é o custo da matéria-prima;
restante é o lucro.
O percentual do preço que representa o lucro é: a) 10%
c) 20%
b) 15%
d) 30%
242
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Alternativa d.
Com o quilo de alumínio ao preço de R$ 0,70, a arrecadação no final de um dia é: Alternativa b. a) R$ 2.394,00 b) R$ 3.626,00
c) R$ 4.497,00 d) R$ 5.362,00
41. Na loja Compre Aqui, um modelo de televisor tem o preço de R$ 820,00 e pode ser comprado de duas formas: à vista, com desconto correspondente a 20% do preço; a prazo, com entrada correspondente a 10% do preço e o saldo acrescido de 30% de seu valor, pago em 5 parcelas iguais. Carlos e Heitor compraram esse aparelho, o pri meiro à vista e o outro a prazo. Quanto Heitor pagou a mais que Carlos? Alternativa d. a) R$ 378,00 b) R$ 357,60
c) R$ 324,80 d) R$ 385,40
Carlos: 820 ? 0,80 5 656 Heitor: 82 1 738 ? 1,3 5 1.041,40 Diferença: 385,40
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14 UNIDADE
Medidas
Marcelo Azalim
1. O que é medir? Veja, ao lado, várias situações que envolvem medidas. Em todas elas temos um número acompanhado de uma unidade de medida. Medir é comparar. A unidade de medida é o padrão com o qual comparamos o que queremos medir. A medida depende da unidade utilizada. Vamos medir o segmento AB. Acompanhe: A
B
A
B u
u
u
u
u
A
B d
d 2
Usando o comprimento d como unidade de medida, temos AB 5 2,5 d.
Fernando Favoretto/Criar Imagem
Blue Jean Images/Alamy/Glow Images
d
Usando o comprimento u como unidade de medida, temos AB 5 5 u.
Se quero medir uma massa, comparoa com outra massa tomada como unidade de medida.
Se quero medir um comprimento, comparoo com outro comprimento tomado como unidade de medida. MEDIDAS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
243
5/13/15 5:24 PM 14a PROVA
O surgimento do sistema métrico decimal Você já reparou como muitas vezes usamos partes do nosso corpo como unidade de Objeto medida de comprimentos? educacional digital — Estou a três passos de você! — Passei a um palmo do poste. — A barra deste par de calças precisa ser abaixada dois dedos. Na realidade, durante muito tempo algumas partes do corpo humano foram usadas para medir. Nas medidas de comprimento, por exemplo, eram comuns unidades derivadas de partes do corpo dos reis de cada território. Ainda hoje, principalmente nos Estados Unidos e na Inglaterra, são utilizadas algumas unidades que têm essa origem, como a polegada, o pé e a jarda. polegada
Ilustrações: Ilustra Cartoon
jarda
pé
1 polegada 5 2,54 centímetros
1 pé 5 30,48 centímetros
1 jarda 5 91,44 centímetros
Encontramos medidas em polegadas em algumas situações: Tubo PVC
ra3r
n/Sh
utte
c rsto
k
stuart.ford/Shutterstock
V ÃO T MOÇ das O R P olega 20 p
diâmetro:
1 polegada 4
Por muitos séculos, os padrões de medida variavam de um território para o outro. No entanto, com a expansão do comércio e o desenvolvimento das ciências, surgiu a necessidade de estabelecer unidades de medida mais universais, pois padrões diferentes geravam dificuldades e muitas confusões. Em 1790, o rei Luís XVI, da França, decretou a criação de uma comissão de cientistas que tinha como missão criar um sistema padronizado de medidas para ser usado por todos. Um decreto, assinado na França em 1795, instituiu o chamado sistema métrico decimal (SMD), mas somente em 1840 ele foi definitivamen te implantado nesse país. O Brasil aderiu oficialmente a esse sistema em 1862. 244
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PRATICANDO MATEMÁTICA
14a PROVA
5/13/15 5:24 PM
2. Comprimentos no sistema métrico decimal Para medir comprimentos, a unidade fundamental do sistema métrico decimal é o metro, cujo símbolo é m. Mas o metro, só, não é suficiente. Para medir distâncias como a da Terra ao Sol é mais adequado usar uma unidade maior que o metro. Da mesma forma, ele não é conveniente para medir a espessura de um vidro de janela, por exemplo.
◆◆
1 hectômetro (hm) 5 100 metros
◆◆
1 quilômetro (km) 5 1 000 metros
Ilustrações: Ilustra Cartoon
Você tem 1,36 m de altura!
Por isso, partindo da unidade fundamental, o metro, obtemos seus múltiplos: ◆◆ 1 decâmetro (dam) 5 10 metros
Subdividindo o metro, obtemos seus submúltiplos: ◆◆ O decímetro (dm), que é a décima parte do metro 1 dm 5 0,1 m ◆◆
◆◆
O centímetro (cm), que é a centésima parte do metro 1 cm 5 0,01 m O milímetro (mm), que é a milésima parte do metro 1 mm 5 0,001 m
O sistema métrico é decimal. Nesta tabela podemos observar que cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente à sua direita. km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1 000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Apesar de existirem e completarem a escala do sistema métrico decimal, algumas dessas unidades são pouco utilizadas na prática. As unidades de medida de comprimento mais comuns são o metro, o quilômetro, o centímetro e o milímetro.
Não me lembro de ter visto medidas em hectômetro ou decâmetro!
Puxa, usamos medidas de comprimento a toda hora!
Responda no caderno: das unidades de medida de comprimento do sistema métrico decimal citadas, qual é a mais adequada para medir: a) o comprimento da sala de aula? Metro. b) o comprimento do seu lápis? Centímetro. c) o diâmetro do seu lápis? Milímetro. d) a distância entre duas cidades? Quilômetro.
MEDIDAS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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5/13/15 5:24 PM 14a PROVA
Conversões entre unidades de medida de comprimento Veja, ao lado, um desenho repre sentando a chácara do senhor Siqueira. Para calcular quantos metros de arame são necessários para cercá-la, ele pre cisa somar as medidas de seu contor no. Só que não podemos operar com medidas que estão em unidades diferentes! É preciso convertê-las para a mesma unidade.
1,5 km
900 m
800 m
Ilustrações: Danillo Souza
Quilômetro e metro
2 km
Fazer conversões entre as principais unidades de medida de comprimento do sistema métrico decimal não é difícil. Veja: ◆◆
1 km 5 1 000 m
◆◆
2 km 5 2 000 m
◆◆
3 km 5 3 000 m
e assim por diante. Para converter uma medida de quilômetros para metros, basta multiplicá-la por 1 000. Multiplicar por 1 000 equivale a deslocar a vírgula três posições para a direita. Veja os exemplos: ◆◆
1,5 km 5 1 500 m
◆◆
0,075 km 5 75 m
◆◆
8,26 km 5 8 260 m
Então, para saber quantos metros de arame são necessários para cercar a chácara do senhor Siqueira, transformamos as medidas 1,5 km e 2 km em metros e calculamos o perímetro. 2 000 m 1 1 500 m 1 800 m 1 900 m 5 5 200 m Portanto, o perímetro dessa chácara é de 5 200 metros, e, se a cerca tiver somente uma volta, serão necessários 5 200 metros de arame. Para escrever em quilômetros o perímetro de 5 200 metros, basta dividir 5 200 por 1 000: 5 200 m 5 5,2 km Entendi! Para converter uma medida de metros para quilômetros, basta dividi-la por 1 000, o que equivale a deslocar a vírgula três posições para a esquerda!
246
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Praticando Matemática
14a prova
5/13/15 5:24 PM
Dona Marta pretende contornar esta toalha com renda. Assim como o senhor Siqueira, ela precisa converter as medi das a uma mesma unidade para calcular o perímetro da toalha e comprar a metragem correta de renda. Agora estamos trabalhando com centímetros e metros: ◆◆ 1 m 5 100 cm ◆◆ 2 m 5 200 cm ◆◆ 3 m 5 300 cm
É isso mesmo! Veja exemplos: ◆◆
38 cm 5 0,38 m
◆◆
70 cm 5 0,7 m
◆◆
125 cm 5 1,25 m
◆◆
3 cm 5 0,03 m
80 cm
2m
e assim por diante.
E de centímetros para metros? Danillo Souza
Para converter uma medida de metros para centímetros, basta multiplicá-la por 100.
DAE
Metro e centímetro
Não precisa nem falar, porque já entendi: para converter uma medida de centímetros para metros, devo dividir por 100, certo?
Com essas informações podemos calcular quantos metros de renda dona Marta precisa comprar: ◆◆
80 cm 5 0,8 m 2 m 1 2 m 1 0,8 m 1 0,8 m 5 5,6 m
Então, ela precisa comprar 5,6 m de renda.
Agora é com você e seus colegas. No caderno, respondam às questões ou façam o que se pede.
Em 1 cm há 10 mm.
2. Quantos: a) milímetros há em 3 centímetros? 30 milímetros b) centímetros há em 50 mm? 5 centímetros 3. Descubram situações em que apareçam medidas em pés e em jardas.
Pedro Sotto
1. Como se faz para converter uma medida: a) de metros para milímetros? Multiplicamos por 1 000. b) de milímetros para metros? Dividimos por 1 000.
1 m 5 1 000 mm Resposta pessoal.
4. Se 1 polegada é igual a 2,54 cm e 1 pé é igual a 30,48 cm, calculem quantas polegadas tem 1 pé. 12 polegadas.
5. Um avião comercial viaja a uma altitude de 36 000 pés. Usem arredondamento para a medida de 1 pé e calculem mentalmente a quantos metros essa altitude corresponde. Arredondando 1 pé para 30 cm, tem-se 10 800 m.
6. Escolham dois colegas para medir o comprimento da sala de aula. Eles devem usar o próprio passo como unidade de medida. a) As medidas obtidas foram iguais? Por quê? Resposta pessoal. Espera-se que sejam diferentes. b) O passo é uma unidade de medida que não varia? Não, o passo varia de pessoa para pessoa.
MEDIDAS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
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5/13/15 5:24 PM 14a PROVA
EXERCÍCIOS
Leonardo Conceição
5. Veja a seguir os números de uma competição de lançamento de peso. Os resultados obtidos pelas quatro primeiras classificadas foram os seguintes:
Pedro Sotto
1. A figura mostra uma régua graduada em centímetros, e cada um desses centímetros está dividido em 10 partes (milímetros).
a) Qual é o comprimento do prego em centímetros? 6,4 cm b) Qual é o comprimento do prego em milímetros? 64 mm
2. Faça uma estimativa do comprimento de cada um dos segmentos: G
A
Rita ........... 9,23 m Clara............ 8,4 m Ana ........... 9,37 m Paula ......... 8,35 m
De acordo com os resultados acima, copie e preencha o quadro.
B F
Classificação
E
H
Meça com uma régua o comprimento de cada um dos segmentos, copie e complete o quadro.
1o lugar
Ana
2o lugar
Rita
3 lugar
Clara
4o lugar
Paula
o
Comprimento estimado
Comprimento medido
tABu
2,2 cm
6. Indique em metros:
tEFu
1,4 cm
a) 12 metros e 70 centímetros; 12,70 m b) 29 metros e 6 centímetros. 29,06 m
tGHu
3,0 cm
Você acha que fez boas estimativas? Resposta pessoal.
3. Faça a estimativa destes comprimentos: Respostas pessoais.
a) b) c) d) e)
comprimento de uma formiga; comprimento de um gato; comprimento de um lápis; comprimento de um automóvel; altura de um prédio de 10 andares.
4. Uma folha de cartolina tem 1 mm de espessura. Indique a altura de uma pilha com: a) 10 folhas; 1 cm b) 20 folhas; 2 cm
Nome
c) 200 folhas; 20 cm d) 2 000 folhas. 2 m
7. Escreva em centímetros: a) 7 m 700 cm b) 1,5 m 150 cm
c) 0,42 m 42 cm e) 63 mm 6,3 cm d) 81,9 m 8 190 cm f) 2,8 mm 0,28 cm
8. Escreva em metros: a) 65 cm 0,65 m b) 138 cm 1,38 m
c) 5 cm 0,05 m d) 5 mm 0,005 m
9. Escreva: a) b) c) d)
4 km em metros; 4 000 m 0,5 km em metros; 500 m 1 cm em milímetros; 10 mm 1 m em milímetros. 1 000 mm
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PRATICANDO MATEMÁTICA
14a PROVA
5/13/15 5:24 PM
14. O João das Pedras deixa cair uma pedrinha branca a cada 10 passos. Cada um dos seus passos mede 50 cm e ele tem 328 pedrinhas no bolso. Quantos metros ele já havia percorrido no momento em que deixou cair a última pedrinha?1 640 m 328 ? 5 5 1 640 Leonardo Conceição
Eugenesergeev/Dreamstime.com
10. (SEE-RJ) Uma agência de entregas só aceita encomendas em caixas se a soma das medidas das três dimensões for, no máximo, 2 metros.
Indique a única caixa abaixo que não será aceita para remessa por essa agência: Alternativa c. 70 cm 3 50 cm 3 50 cm 80 cm 3 60 cm 3 40 cm 80 cm 3 70 cm 3 60 cm 70 cm 3 60 cm 3 40 cm 1 m 3 50 cm 3 40 cm
11. Um agente é responsável pelo patrulhamento de uma rua de 175 metros de comprimento. Diariamente ele caminha 18 vezes de uma ponta à outra da rua. Quantos quilômetros ele caminha por dia? 3,15 km 12. Um automóvel está no quilômetro 33 de uma rodovia e percorre 1,5 km por minuto. Onde ele estará depois de 6 minutos?
15. Construí o esqueleto do cubo com espetinhos de madeira. Cada aresta é um espetinho e cada espetinho mede 8,4 cm. O comprimento total dos espetinhos utilizados ultrapassa 100 cm? Se sua resposta for sim, em quantos centímetros?
Ilustrações: DAE
a) b) c) d) e)
Sim; 0,8 cm.
16. Quantos metros de arame são necessários para construir a grade desenhada abaixo?
Leonardo Conceição
No quilômetro 42.
10 cm 5 ? 0,10 5 0,50 → 0,50 ? 8 5 4 m 15 cm 7 ? 0,15 5 1,05 → 1,05 ? 6 5 6,3 m 4 1 6,3 5 10,3 m → São necessários 10,3 m de arame.
17. A figura abaixo representa um terreno de perímetro 65 m. Quanto mede a frente deste terreno? 10 m
8m
26 m
13. Com o auxílio de uma vara que julgava ter 2 m, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Verifiquei depois que a vara media 2,05 m. Qual é o verdadeiro comprimento do fio? 41 m 40 2 5 20
210 dm
Rua Chico Buquira
20 ? 2,05 5 41
MEDIDAS
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PRATICANDO MATEMÁTICA
249
5/13/15 5:24 PM 14a PROVA
3. Medindo superfícies Quando se coloca carpete no piso de uma sala, forrase a superfície desse piso. À sua volta, você pode observar várias superfícies: no tampo de uma mesa, na folha do caderno, no vidro da janela, nas paredes. Uma superfície pode ser medida. A medida de uma superfície é a sua área. Sabendo a área da sala, por exemplo, podemos comprar a quantidade correta de carpete, evitando a falta ou o desperdício de material. Se para medir comprimentos utilizamos um comprimento como unidade de medida, para medir superfícies a unidade de medida deve ser uma superfície. Tomando como unidade de medida o quadradinho u , a área da figura ao lado é de 15 u , pois a unidade
de medida cabe exatamente 15 vezes na superfície da figura.
Se a unidade de medida for o triângulo
, a área
da figura é de 30 , pois cabem exatamente 30 desses triângulos na superfície da figura.
Podemos escolher outras superfícies como unidade de medida. No entanto, no sistema métrico decimal existem padrões para medidas de área. A unidade fundamental de área nesse sistema é o metro quadrado (m2), que é a superfície ocupada por um quadrado de 1 metro de lado. Também são usados o centímetro quadrado (cm2) e o quilômetro quadrado (km2). Visualize no quadro a seguir essas unidades: 1k m
Marcelo Azalim
m 1k
Ronaldo Barata
Giuseppe_R/Shutterstock
1 cm 1 cm
1m 1m
O quadrado de 1 m de lado tem 1 m2 de área.
Brasil
Então o quadrado de 1 mm de lado tem 1 mm2 de área! Você consegue imaginar esse quadrado?
0°
O Brasil ocupa uma área de 8 547 404 km². Isso significa que se fosse possível “forrar” o solo brasileiro com quadrados de 1 km de lado, seriam necessários 8 547 404 quadrados. Ronaldo Barata
O quadrado de 1 km de lado tem 1 km2 de área.
Fonte: Atlas Geográfico Escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 6. ed., 2012.
© DAE/Sônia Vaz
O quadrado de 1 cm de lado tem 1 cm2 de área.
Equador
OCEANO ATLÂNTICO 20°S
OCEANO PACÍFICO
N Trópico de Capricórnio
O
L S
0
492
984 km 60°O
40°O
250
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PRATICANDO MATEMÁTICA
14a PROVA
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1. Que unidade de medida você usaria para medir a área: a) da capa do seu caderno? b) do piso da sala de aula? cm2
m2
c) do 2estado do Amazonas? km
2. Pisos cerâmicos, azulejos, carpetes, alguns tipos de tapetes etc. são vendidos por metro quadrado (m²) porque se destinam a cobrir superfícies. Reúna-se com alguns colegas e procurem anúncios desses tipos de produtos em jornais, revistas ou folhetos. Colem os anúncios em uma folha de cartolina e exponham na sala de aula.
4. A área do retângulo
4 cm
Quantos quadrados de 1 cm de lado cabem no retângulo ao lado? Temos 3 fileiras de 4 quadrados cada: 3 ? 4 5 12 quadrados de 1 cm de lado A área deste retângulo é A 5 12 cm2. Repare que, para calcular a área de um retângulo, basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura.
1 cm2 3 cm
Se chamarmos o comprimento de c e a largura de l, teremos: Aretângulo 5 c ? l Como no quadrado o comprimento é igual à largura, a área do quadrado de lado l é: Aquadrado 5 l ? l 5 l2
Pense e responda no caderno. 1. Com uma lata de tinta pode-se pintar 30 m2 de superfície. Será que 1 lata é suficiente para pintar um muro retangular de 8 m de comprimento por 3 m de altura? Sim. 8 ? 3 5 24 m²
Ambos têm área de 9 m².
b) A franja usada no contorno dos tapetes é vendida por metro. Os dois tapetes vão consumir a mesma metragem de franja? Não.
• Tapete quadrado: 4 ? 3 5 12 m de franja. • Tapete retangular: 4,5 1 4,5 1 2 1 2 5 13 m de franja.
Ilustrações: Jorge Zaiba
2. Numa loja, os tapetes são vendidos por metro quadrado. a) Um tapete quadrado de 3 m de lado custa o mesmo que um tapete retangular de 4,5 m por 2 m. Você sabe dizer por quê?
MEDIDAS
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EXERCÍCIOS 18. Se a área de um quadradinho é 1 cm2, calcule: DAE
22. Uma costureira confecciona 15 toalhas de retalhos por semana.Todos os retalhos têm formato de um quadrado de 30 cm de lado.
DAE
8 retalhos
B
A
largura
a) a área de A;
b) a área de B. 2 20 cm
11 cm2
19. (SEE-RJ) As normas de arquitetura recomendam que um quarto de uma moradia tenha, no mínimo, 9 m². Qual das plantas abaixo representa um quarto que satisfaz a essa norma? Alternativa d. d)
comprimento
Observe as medidas da toalha e responda: a) Quantos retalhos são utilizados na confecção de uma toalha? 48 retalhos
4m
2m
2,5 m
DAE
4m
a)
6 retalhos
b) Qual é, em centímetros, o comprimento da toalha? 240 cm c) Qual é, em centímetros, a largura da toalha?
3m
e) 2,5 m
c)
180 cm
2,5 m
d) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar uma toalha? 4,32 m2 2,5 m
e) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar as toalhas de uma semana? 4,32 ? 15 5 64,80; 64,80 m2
3,5 m 2m
23. Uma casa possui 5 janelas, cada uma com 6 vidros retangulares de 30 cm de largura por 45 cm de comprimento cada um. Qual valor será gasto para colocar vidro em todas as janelas, sabendo-se que o m2 de vidro custa R$ 80,00? R$ 324,00
20. Calcule a área da figura. 7 cm A 5 49 1 25 5 74;
5 cm 74 cm²
5 cm
DAE
iba
7 cm
0,30 ? 0,45 ? 6 ? 5 5 4,05 4,05 ? 80 5 324
Jorge Za
b)
Jorge Zaiba
21. Quanto custa este anúncio no jornal, sabendo-se que 1 cm² de publicidade custa R$ 2,50?
3 cm
6 cm
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A 5 18 cm² P 5 18 ? 2,50 5 45 R$ 45,00
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2 4. Observe a figura abaixo. Ela representa uma placa retangular de 12 m2 de área.
2 6. Quatro tiras de papel retangulares, de comprimento 10 cm e largura 1 cm, são colocadas sobre uma mesa umas sobre as outras, perpendicularmente, como mostra a figura. Qual é a área da mesa coberta? 36 cm²
6m
A 5 4 ? 10 2 4 ? 1 5 36
Ilsutrações: DAE
Vende-se
Tratar com: 3913-8000
Um corretor mandou confeccionar várias dessas placas, todas com 6 m de comprimento. Qual a largura de cada uma dessas placas? 2 m
2 7. (CPII-RJ) Na torcida para a conquista do pentacampeonato, os meninos e as meninas de uma rua resolveram fazer, no chão da rua, uma figura colorida de verde, amarelo e azul.
2 5. Um pintor cobra R$ 1,50 por m2 de parede pintada. Quanto ele cobrará para pintar as 4 paredes e o teto de um salão que mede 7 m de comprimento, 5 m de largura e 3 m de altura? R$ 160,50
Depois de muito discutir, fizeram o seguinte: Estúdio Ornitorrinco
◆◆ marcaram
no chão da rua um retângulo com 250 cm de comprimento e 150 cm de largura;
◆◆ marcaram ◆◆ ligaram
a metade dos lados do retângulo;
essas marcas formando o losango;
◆◆ pintaram
o losango de amarelo;
◆◆ pintaram dois triângulos de verde e dois de azul.
150 cm
250 cm
a) Quantos metros quadrados tem o retângulo? 3,75 m2 1 b) Que fração da figura foi pintada de amarelo? 2 c) Que percentual da figura foi pintado de azul? 25% d) Eles usaram 3 latinhas de tinta azul. Quantas latinhas de tinta amarela, iguais às de tinta azul, eles usaram? 6 latinhas de tinta amarela
A 5 (7 ? 5) 1 (7 1 7 1 5 1 5) ? 3 5 107 P 5 107 ? 1,50 5 160,50
Medidas
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Relacionando km2, m2 e cm2
Ilustrações: Estúdio Ornitorrinco
Consiga folhas de papel quadriculado (os quadradinhos devem ter 1 cm de lado). Emendeas com cuidado e, com auxí lio da régua, trace um quadrado de 1 m de lado. Você construiu 1 m2. Observe que ele tem 100 fileiras com 100 quadradinhos de 1 cm de lado em cada uma. Então, em 1 metro quadrado cabem: 100 ? 100 5 10 000 quadradinhos de 1 cm de lado, ou seja: 1 m2 5 10 000 cm2
Claro que não vamos construir um quadrado de 1 km de lado usando papel quadriculado. Mas, como sabemos que 1 km 5 1 000 m, podemos imaginar que em 1 km2 há 1 000 fileiras de 1 000 quadrados de 1 m de lado cada, ou seja, em 1 km2 cabem 1 000 ? 1 000 5 1 000 000 de quadrados de 1 m de lado. 1 km2 5 1 000 000 m2
Você é capaz de descobrir quantos cm2 cabem em 1 km2? 2 2 1 km 5 10 000 000 000 cm
Estimando áreas Para estimar a área da figura ao lado, podemos contar os quadrados inteiros e agrupar de forma aproximada os que ficaram incompletos, obtendo um total de 13. Como cada quadrado tem 0,25 cm2, a área aproximada da figura é de 13 ? 0,25 5 3,25 cm2.
0,5 cm 0,5 cm
A 5 0,5 ? 0,5 5 0,25 cm2
Contorne a sua mão em uma folha de papel quadriculado (os quadradinhos devem ter 1 cm de lado) e determine a medida aproximada da área da palma da sua mão. Resposta pessoal.
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EXERCÍCIOS 28. Veja os dois quadrados da figura.
1 cm
1 cm
Estúdio Ornitorrinco
32. Qual é a área da figura? 9 cm2
10 mm
10 mm 1 cm
Quantos milímetros quadrados formam 1 cm2?
100 mm2
1 cm
29. O Distrito Federal ocupa uma área aproximada de 5 814 km2. Expresse esse valor em m2.
5 814 000 000 m²
33. Qual é a área da figura?
30. Quantas mangueiras podem ser plantadas num terreno quadrado de 1 km de lado, reservando 50 m2 para cada mangueira? 20 000 mangueiras
23 cm2 8 1 5 1 4 1 1 1 5 5 23
cm 7 6 5 4 3 2
1 km
1 cm 1
2
3
4
5
6
7
8
34. (Unicamp-SP) Quantos ladrilhos de 20 cm por 20 cm são necessários para ladrilhar um cômodo de 4 m por 5 m? 500 ladrilhos (400 ? 500) (20 ? 20) 5 500
Ilustrações: DAE
31. Abaixo mostramos o desenho de um terreno que tem forma irregular. Nesse quadriculado, o lado de cada quadradinho mede 10 m.
SvetlanaSF/Shutterstock
1 km
20 cm
a) Quantos quadradinhos (aproximadamente) cor respondem à área do terreno? 5 quadradinhos b) Qual é a área de cada quadradinho? 100 m2 c) Qual é a área aproximada do terreno? 500 m2
20 cm
MEDIDAS
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5. Volumes Nos supermercados é comum encontrarmos produtos empilhados.
◆◆
A pilha tem 2 camadas.
◆◆
Cada camada tem 8 ? 3 5 24 caixas.
Danillo Souza
Quantas caixas de sabão em pó há nesta pilha?
Então temos no total 48 caixas de sabão, pois 2 ? 24 5 48. Usando o mesmo raciocínio, calcule o número de caixas desta outra pilha. Qual dos dois empilhamentos ocupa maior volume? ◆◆
Volume da 1a pilha: 48 caixas.
◆◆
Volume da 2a pilha: 60 caixas.
A segunda pilha tem maior volume.
Então o volume de um objeto é a medida do espaço que ele ocupa!
O cubo com aresta de 1 cm tem volume de 1 cm3.
O cubo com aresta de 1 dm tem volume de 1 dm3.
O cubo com aresta de 1 m tem volume de 1 m3.
Danillo Souza
Ilustrações: Reinaldo Rosa
Ao comparar o volume das duas pilhas, usamos como referência o volume de uma caixa de sabão. Nesse caso, o volume da caixa de sabão foi usado como unidade de medida do volume de cada empilhamento. No entanto, existem unidades de medida mais adequadas para medir o espaço ocupado por algo, ou seja, o volume. Se para medir superfícies usamos a superfície de quadrados como padrão, para medir o espaço ocupado usaremos como padrão o volume de cubos.
Essas são as principais unidades de medida de volume do sistema métrico decimal. Para expressarmos o volume de um objeto, basta comparálo com uma delas. 256
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Volume do bloco retangular Ilustrações: DAE
Essas pilhas foram formadas com cubos de 1 cm de aresta. Elas têm formas diferentes, mas o mesmo volume.
1. Qual é esse volume em centímetros cúbicos? 6 cm3 Se sua resposta foi 6 cm3, você acertou. 2. Desenhe em seu caderno outra pilha de forma diferente, mantendo o mesmo volume. Resposta pessoal
Será que para calcular, por exemplo, o volume de uma caixa em forma de bloco retangular teremos de preenchêla com cubinhos de 1 cm3 e depois contálos? Isso não seria muito prático... Usaremos a ideia das camadas, como fizemos para contar as caixas de sabão empilhadas. 5 cm
O bloco retangular da figura tem 5 cm de altura: temos 5 camadas de 1 cm. Cada camada tem 10 ? 8 5 80 cubinhos de 1 cm³. 8
cm
Então o volume do bloco é: V 5 80 ? 5 5 400 cm3
1 cm 10 cm
O volume de qualquer bloco retangular pode ser calculado usando este raciocínio: V 5 comprimento ? largura ? altura número de cubos por camada
número de camadas
ou
V 5 c ? l ? a comprimento largura altura
Lembrando que o cubo tem todas as arestas com a mesma medida, ou seja, comprimento 5 largura 5 altura, podemos calcular seu volume fazendo: V 5 a ? a ? a 5 a3, em que a é a medida da aresta MEDIDAS
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Exercícios
Pedro Sotto
3 5. Em copos iguais com a mesma quantidade de água, mergulharam-se uma maçã, uma laranja, um limão e uma pera. Veja na figura o resultado dessa experiência.
a) Qual das frutas tem maior volume? Laranja. b) Há duas frutas que têm o mesmo volume? Quais são? Maçã e pera.
3 9. Uma caixa-d’água tem a forma de um cubo de 3 m de aresta. Qual é o volume dessa caixa? 27 m3
40. Uma sala de aula tem as seguintes dimensões: 8 m de comprimento; 3,50 m de largura e 2,80 m de altura. Calcule, em m3, o volume da sala.78,4 m³
41. Um caminhão, como o da figura, é usado para transportar areia. Sabendo que a areia é comprada em metros cúbicos, quantas viagens faz o caminhão para entregar um pedido de 60 m3 de areia? 2m
6m
6. Um garoto fez várias construções com cubinhos 3 todos iguais.
C Pedro Sotto
A
V 5 6 ? 2 ? 1 5 12 Quantidade de viagens: 60 12 5 5; 5 viagens
D
42. Observe as dimensões destas duas caixas cheias de um mesmo produto químico:
2
m
A
1m
2
3 7. Os blocos retangulares da figura foram construídos com cubinhos todos iguais.
2m
V1 5 2 ? 2 ? 2 5 8 P 5 560 8 5 70 O m3 custa R$ 70,00.
m
Qual construção ocupa mais espaço? B
Ilustrações: DAE
B
2m V2 5 2 ? 3 ? 1 5 6
Quais deles têm o mesmo volume? A e B.
3m P 5 480 6 5 80
O m³ custa R$ 80,00.
A primeira custa R$ 560,00 e a segunda, R$ 480,00. Qual a embalagem mais econômica para o comprador?
C
Comparando os preços, vemos que a 1a embalagem é mais econômica.
B
43. Vanessa arrumou os seus 48 CDs, formando com eles o bloco retangular representado na figura: 12 cm
caixas A cabem dentro da caixa B? B
Pedro Sotto
38. Quantas 12 caixas
1m
A
14
50 cm
cm
a) Que volume ocupam 12 ? 14 ? 50 5 8 400
os CDs de Vanessa? 8 400 cm3 b) Calcule o volume de cada CD. 8 400 48 5 175
175 cm3
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Praticando Matemática
14a prova
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6. Quando usamos cada unidade?
DAE
Usando papelcartão, tesoura e cola, recorte e monte um cubo de 1 dm de aresta, sem a face de cima (“tampa”), conforme o modelo ao lado. Reforce as arestas com fita adesiva. Forre por dentro com plástico para não haver vazamentos. Apoie o cubo sobre uma mesa e despeje em seu interior exatamente 1 litro de água, usando para isso um recipiente graduado. Se for difícil utilizar água, você pode substituíla por grãos de arroz. O cubo ficará completamente cheio.
Pedro Sotto
As unidades de medida de volume estão presentes em nosso dia a dia. O consumo de água em nossas casas, por exemplo, é medido em metros cúbicos. Imagine um cubo medindo 1 metro por 1 metro por 1 metro. Um consumo de 14 m3 indica que poderíamos encher completamente 14 cubos iguais ao que você imaginou com a água que gastamos nesse mês. É um volume grande, não? O centímetro cúbico é usado para medir pequenos vo lumes (em laboratórios, por exemplo). E o decímetro cúbico? Ele é muito importante. Sabe por quê?
1 dm
1 dm
A capacidade de um cubo de 1 dm de aresta equi vale a 1 litro. O litro, que nós tanto usamos, equivale a 1 dm3.
2. Quantos cubos com 3 cm de aresta cabem em uma caixa cúbica com 7 cm de aresta? 8 cubos
O litro é uma medida de capacidade, pois é um volume associado à ideia de “quanto cabe”, de volume interno de um objeto que eventualmente pode ser to talmente preenchido, como uma garrafa, por exemplo. Outra unidade de capacidade bastante usada é o mililitro (mL). O mililitro é a milésima parte do litro. 1 L 5 1 000 mL
350 mL
10 mL
3. Com os colegas, procurem em jornais, revistas e folhetos anúncios ou textos que apresentem medidas em litros ou mililitros. Façam cartazes com os recortes e exponham-nos na sala de aula.
Luiz Santos Jr/ Laeti Images
arka38/Shutterstock
Os fornos de microondas têm sua capacidade interna dada em litros. As geladeiras também.
Respondam no caderno. 1. Que unidade de medida vocês consideram mais adequada para medir:Litro (L) ou3 metro cúbico (m ). a) o volume de água num tanque com peixes? b) a capacidade de uma panela de pressão? Litro (L). c) a quantidade de xarope para medicar uma criança? Mililitro (mL) ou centímetro cúbico (cm3). d) o conteúdo de um vidro de perfume? Mililitro (mL) ou centímetro cúbico (cm3). e) o volume de terra retirado na construção de um túnel? Metro cúbico (m3).
Evgeny Karandaev/ Shutterstock
símbolo do litro
1 L 5 1 dm3
MEDIDAS
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EXERCÍCIOS 44. Quando consultamos a quantidade dos produtos contidos em embalagens, observamos várias unidades de medida. Assim, as unidades de medida usuais, respectivamente, para os produtos desodorante, sabonete e caixa de leite são: Alternativa c.
miligrama, quilograma e litro. grama, quilograma e mililitro. mililitro, grama e litro. mililitro, quilograma e grama.
48. A jarra da figura tinha 1 litro de leite.
Pedro Sotto
a) b) c) d)
47. O sr. Quintino produziu 10 litros de licor de jabuticaba e vai encher 12 garrafas de 750 mL para vender na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas? 1 litro
45. Complete.
1 000
a) 1 L de refrigerante é o mesmo que mL de refrigerante 500 1 b) L de água é o mesmo que mL de água 2 250 1 mL de leite c) L de leite é o mesmo que 4
Pedro Sotto
46. Considere os seguintes recipientes:
água mineral
refrigerante
leite
suco
Calcule mentalmente quantos recipientes são necessários para obter: a) b) c) d)
14 L de refrigerante; 7 recipientes 30 L de água; 6 recipientes 8 L de leite; 16 recipientes 9 L de suco. 36 recipientes
Sílvia colocou a mesma quantidade de leite em cada um dos 4 copos representados na figura e ainda ficaram na jarra 100 mL de leite. Quantos mililitros de leite foram colocados em cada copo? 225 mL
49. (Saresp) Das alternativas abaixo, indique a que é mais vantajosa. Alternativa c.
a) Comprar uma caixa de iogurte contendo 4 potinhos de 100 mL cada a R$ 2,00. b) Comprar 2 potes de iogurte de 200 mL cada a R$ 2,40. c) Comprar 1 litro de iogurte a R$ 3,00. d) Comprar uma caixa de iogurte contendo 5 potes de 200 mL cada a R$ 3,50. 50. Uma torneira está estragada e, mesmo fechada, pinga. Durante meia hora a torneira perde 2 dm3 de água. Quantos litros de água a torneira perde em 1 dia? 96 litros
Atenção!
4 dm3 por hora 5 4 L por hora 24 ? 4 5 96;
Desperdício, não! Desperdiçar água não significa só pagar mais pela conta todo mês. A água é um bem precioso e cada vez mais escasso em nosso planeta. Precisamos economizála se não quisermos que falte no futuro. Pense nisso!
Pedro Sotto
Estúdio Ornitorrinco
Escreva a alternativa correta no caderno.
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7. Medidas de massa Johan63/Dreamstime.com
iStockphoto/Thinkstock
Quem tem mais massa: uma formiga ou um elefante?
Massa é a quantidade de matéria de um corpo. A massa de um elefante é maior que a massa de uma formiga. Para medir a massa de um corpo, devemos comparála com uma massapadrão.
◆◆
o grama (g);
◆◆
o quilograma (kg). 1 kg 5 1 000 g
A milésima parte do grama é o miligrama, cujo símbolo é mg.
Os animais retratados ao lado estão fora de proporção.
1. O que você costuma comprar em quilogramas? E em gramas? Dê exemplos. Resposta pessoal.
Ilustrações: Pedro Sotto
No sistema métrico decimal, as principais unidades de medida de massa são:
Atenção!
2. A massa do elefante pode ser expressa em gramas ou quilogramas. Qual delas você usaria? Resposta pessoal, mas espera-se que o aluno perceba que representar a massa do elefante em quilogramas é mais fácil.
1 mg 5 0,001 g ou 1 g 5 1 000 mg
Na composição de remédios, por exemplo, é comum encontrarmos massas expressas em miligramas.
Atenção! Nos exercícios desta coleção, utilizaremos, algumas vezes, a linguagem comum, ou seja, escreveremos “peso” para indicar a “massa”.
Peso não é sinônimo de massa! O peso de um corpo é a força com que um planeta, estrela etc. atrai esse corpo. O peso de um corpo depende da gravidade! Você já viu em filmes como os astronautas ficam “mais leves” na Lua? Isso acontece porque a gravidade na Lua é menor do que na Terra. Por consequência, o peso dos astronautas na Lua é menor do que na Terra. No entanto, a massa (quantidade de matéria) do astronauta é a mesma em qualquer lugar. Como vivemos todos na Terra, ou seja, estamos todos sujeitos à mesma gravidade, é comum usar a palavra peso em vez de massa: ◆◆Meu peso é de 54 kg. O correto seria dizer: ◆◆Minha massa é de 54 kg. MEDIDAS
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1 t 5 1 000 kg
1 saca 5 60 kg
1 arroba 5 15 kg
Pedro Sotto
A tonelada (t) é utilizada para registrar massas grandes, como a carga de um caminhão ou de um navio. Ainda podemos citar duas unidades que não são do sistema métrico decimal mas aparecem com frequência nas atividades agropecuárias: a saca e a arroba. A saca aparece no comércio de grandes quantidades de grãos, como soja, feijão e milho. A carne bovina é vendida no atacado por arroba. As variações dos preços de produtos agropecuários costumam ser divulgadas em jornais, em tabelas como esta:
Produtos
Mínimo
Máximo
Soja* (PR)
60,50
62,40
Milho* (PR)
24,00
25,00
Boi gordo** (à vista) 149,00
Fonte: canalrural.com.br. Acesso em 20 abr. 2015.
No caderno, respondam às questões. Ilustra Cartoon
1. Que massa, colocada no outro extremo da gangorra, poderia equilibrar o menino? a) Uma massa de 30 g. b) Uma massa de 300 mg. c) Uma massa de 3 000 g. d) Uma massa de 30 kg. Alternativa d.
2. a) Quantos quilogramas tem um boi com 30 arrobas? 450 kg b) E 2 000 sacas de café têm quantas toneladas? 120 t
3. Num planeta com gravidade maior do que a da Terra, nosso peso aumenta ou diminui? Aumenta. E a nossa massa? Não muda. 4. Combine com seus colegas uma pesquisa sobre o quilograma. O que é 1 kg? Como surgiu? Todos devem trazer o que encontraram para compartilhar em aula. Veja sugestão no Manual do Professor.
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EXERCÍCIOS 51. Coloque em ordem crescente a massa dos bebês: Ilustra Cartoon
3 120 g; 3,25 kg; 3 478 g; 3,5 kg
57. Leia o cartaz que foi encontrado num elevador e responda:
3 120 g
Ilustra Cartoon
3,25 kg
56. Um paciente tomou 60 comprimidos durante um tratamento. Cada comprimido tem 25 mg. Quantos gramas de remédio ele ingeriu durante esse tratamento? 1,5 g
3,5 kg
3 478 g
52. O pai de Carlos comprou 2,5 kg de laranja, 1,3 kg de pera e 850 g de maçã. Poderá transportar as compras num saco que só suporta 5 kg? Sim. 53. A mãe de Rúbia comprou: ◆◆ 2
kg de banana a R$ 2,57 o kg;
◆◆ 3,8
kg de laranja a R$ 1,90 o kg;
◆◆ 1,5
kg de maçã a R$ 4,58 o kg.
Qual é o número máximo de caixas de 28,3 kg que podem ser levadas numa só viagem? 15 caixas
Quanto gastou a mãe da Rúbia? R$ 19,23 58. Leandro trabalha em uma mercearia pesando quantidades variadas de azeitonas. O quadro abaixo mostra os pacotes que ele vai ter de preparar. A balança de Leandro indica o peso em gramas. A B
55. Em quase todos os produtos vendidos em embalagens aparecem as inscrições “peso líquido” e “peso bruto”. E o que é isso? Veja: Peso líquido: massa somente do produto.
Peso bruto: massa do produto com a embalagem.
C
1 kg 2 1 kg 4 1 kg 8
D E F
3 kg 8 3 kg 2 3 kg 4
Que valores ele deve obter na balança para preparar os pacotes? A) 500 g B) 250 g C) 125 g D) 375 g E) 1 500 g F) 750 g
59. Em qual das situações o preço do sorvete é mais vantajoso? Situação C. C B A
Jorge Zaiba
Jorge Zaiba
54. Qual produto é mais leve?
Os bombons, pois 50 g < 65 g.
Com base nessa informação, responda: Uma lata de doce tem peso bruto de 10 kg e peso líquido de 9,625 kg. Qual é, em gramas, o peso da embalagem? 375 g
MEDIDAS
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REVISANDO 60. Qual é a altura de Lia? 1,09 m
DAE
2,05
2,01
2,03
Fábio
1,93
1,95
Fernando
Roberto
1,91
André
Marcelo
1,84 Rafael
Antônio
1,92 1,94
1,98
1,85
2
Gabriel
Altura 2,5 (metros)
1,96
Altura dos jogadores
Caio
49 cm
Ilustra Cartoon
1,58 m
63. O gráfico abaixo apresenta as alturas, em metros, dos jogadores de uma equipe de vôlei.
1,5 1
2,15
0,93
1,8 E
C
a) Quantos quilômetros há de A até E, passando por D?
Ilustra Cartoon
B
64. Quantas pessoas formam uma fila de 222 metros de comprimento, se cada pessoa ocupa, em média, 60 cm? 222 0,60 5 370; ou seja, 370 pessoas Ronaldo Barata
A 1,07
Jogador
a) Qual é a diferença, em cm, entre as alturas de Fernando e de Murilo? 9 cm b) Se as alturas forem organizadas em ordem crescente, qual será o nome do jogador que ocupará a 6a posição? Murilo. c) Utilize a calculadora e calcule aproximadamente a altura média dos jogadores. 1,95 m
D
1,6
Murilo
61. O mapa mostra que para ir do bairro A até o bairro E há dois caminhos. As distâncias estão indicadas em quilômetros.
Gustavo
0
Lucas
0,5
3,75 km
b) Quantos quilômetros há de A até E, passando por B e C? 3,8 km c) Qual é o trajeto mais comprido? Quantos metros a mais que o outro ele tem? B; 50 m 62. (Centro Paula Souza-SP) Marcelo viajava de avião, quando, pelo alto-falante, o comandante do voo deu uma série de informações técnicas, entre elas a de que estavam voando a uma altitude de 18 000 pés. Como está acostumado com o sistema métrico decimal, Marcelo ficou curioso e assim que chegou a seu destino fez uma pesquisa e descobriu que a unidade de medida pé equivale aproximadamente a 30 cm. Qual era, em metros, a altitude do avião? 5 400 metros
65. Temos algumas réguas vermelhas que medem 5 cm e algumas réguas azuis que medem 8 cm.
5 cm
8 cm
a) Como você consegue medir exatamente 31 cm com essas réguas? 3 vermelhas 1 2 azuis b) Como você consegue medir exatamente 17 cm com essas réguas? 4 azuis 2 3 vermelhas
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DAE
68. A bandeira da França é formada por três faixas verticais de mesmo tamanho, nas cores azul, branco e vermelho. Fabio Colombini
66. (Encceja-MEC) A tabela indica os valores do imposto sobre propriedade rural em um determinado município.
1,3 m
1,95 m
Valor do imposto
Até 5 000 m2
isento
De 5 001 até 8 000 m2
R$ 50,00
De 8 001 até 50 000 m2
R$ 100,00
Acima de 50 000 m2
R$ 200,00
a) Calcule a área da bandeira. 2,535 m² b) Calcule a área correspondente a cada cor. 0,845 m²
69. Um quadro de dimensões 30 cm por 30 cm recebe uma moldura cuja largura é de 2,5 cm. Marcelo Azalim
Área da propriedade
Sendo 1 hectare igual a 10 000 m2, um proprietário 3 de uma área com de hectare, com relação ao 4 imposto: Alternativa b.
estará isento. pagará R$ 50,00. pagará R$ 100,00. pagará R$ 200,00.
Qual é a área em cm2 que cobre somente a moldura? 352 2 302 5 325 325 cm2
70. Tomando como unidade o , qual é o volume da construção abaixo? 35 cubos
7m
6m
Cozinha 5m 3,50 m
Sala
DAE
67. Veja a planta de uma casa e responda:
2m
2,50 m 2m Hall
3m
6m Dormitório
3m
71. Quando a caixa estiver cheia, quantos cubos “caberão”: DAE
1,5 m Banheiro
Dormitório
DAE
a) b) c) d)
a) Qual é a área de cada dormitório? 18 m2 b) Qual é a dependência de menor área? Banheiro (3 m2). c) Quantos m2 de carpete são necessários para cobrir o piso da sala e do hall? 21,5 m2 d) Quantos m2 de cerâmica são necessários para cobrir o piso do banheiro e da cozinha? 20,5 m2 e) Qual é a área total da casa? 78 m2
a) na camada inferior? 24 cubos b) no total? 72 cubos
MEDIDAS
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72. Cássia fez regime de emagrecimento e anotou seu progresso numa tabela: Semana
Perda em quilogramas
1a
1,85
2
1,2
3a
2,08
4a
0,97
a
77. Numa caixa de adubo, o quadro abaixo indica as quantidades adequadas para o seu preparo. Adubo
a) Em qual semana ela perdeu menos peso? 4a b) Em qual semana perdeu mais peso? 3a c) Quantos quilos perdeu nas quatro semanas? 6,10 kg
Água
30 g
0,2 L
150 g
1L
1 500 g
10 L
3 000 g
20 L
De acordo com o quadro, quantos quilogramas de adubo se deve misturar em 15 litros de água? 2,25 kg
78. Observe a figura:
Reinaldo Rosa
Edson Antunes
73. Um pãozinho francês tem 50 g. Uma criança come 2 pãezinhos por dia. Quantos quilogramas de pão ela comerá em 30 dias? 3 kg
74. (Prominp) Antes da medida que estabelece a venda de pão francês a quilo, uma padaria vendia, por R$ 0,20, pãezinhos de 40 g quando, na verdade, estes deveriam ter 50 gramas. Qual seria, em reais, o preço correto de um pãozinho de 40 g? R$ 0,16
75. Um caminhão tinha carga de 5,3 toneladas. Foram descarregadas 9 caixas de 82 kg cada uma. Quantos quilos de carga restaram no caminhão? 4 562 kg
76. Que peso falta para equilibrar a balança? 3,14 kg
71,5 kg
1 79. Dona Maria foi à feira e comprou 1 kg de arroz, 2 3 kg de feijão, 250 g de alho e 125 g de azeitona. 4
Reinaldo Rosa
Marcelo Azalim
6,5 1 5 ,732 1 1,62 1 3 ,008 5 16,86 20 2 16,86 5 3,14
Qual é o peso médio das pessoas representadas?
Quanto ela gastou em sua compra? R$ 9,40
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DESAFIOs 8 0. Quantos litros têm 40 caixas iguais à da figura? 180 litros
8 4. Veja a figura e determine o volume de cada cubo e de cada esfera, sabendo que os objetos do : 2 cm3 : 0,5 cm3 mesmo tipo são iguais.
0,75 ? 6 ? 40 5 180
0,75 L 0,75 L
8,5 cm³
0,75 L
6 cm³ Pedro Sotto
4 cm³
Pedro Sotto
0,75 L
6m
35 cm 12 cm
15
dm 5 1, m
3,5 dm
12 cm
Qual dos recipientes vai encher em primeiro lugar? Os dois recipientes vão encher no mesmo instante. 86. (OBM) Um litro de álcool custa R$ 1,75. O carro
8 2. O tanque de um posto de combustível tem a forma de um bloco retangular. As dimensões do tanque são 3 m, 4 m e 1 m. O dono do posto paga R$ 1,97 por litro de álcool e revende por R$ 2,15. Qual é o lucro, em reais, que ele tem na venda de um tanque completo de álcool? R$ 2.160,00 12 m3 5 12 000 L
de Henrique percorre 25 km com 3 litros de álcool. Quantos reais serão gastos em álcool para percorrer 600 km? R$ 126,00 600 25 5 24 24 ? 3 ? 1,75 5 126
Danillo Souza
V 5 12 ? 6 ? 3 5 216 3 de 216 5 81 8
V 5 3 ? 4 ? 1 5 12
cm
12 m
3
piscina de 12 m de comprimento por 6 m de largura e 3 m de profundidade está cheia até 5 os de sua 8 capacidade. Quantos metros cúbicos de água ainda cabem na piscina? 81 m3
Pedro Sotto
81. Uma
Pedro Sotto
85. As duas torneiras lançam a mesma quantidade de água por minuto e foram abertas ao mesmo tempo.
12 000 ? 0,18 5 2 160
83. (Unicamp-SP) Numa lanchonete, o refrigerante é vendido em copos descartáveis de 300 mL e de 500 mL. Nos copos menores, o refrigerante custa R$ 0,90 e, nos maiores, R$ 1,70. Em qual dos copos você toma mais refrigerante pelo mesmo preço? Copo pequeno: 300 mL a R$ 0,90 100 mL a R$ 0,30. Copo grande: 500 mL a R$ 1,70 Portanto, nos copos menores.
100 mL a R$ 0,34.
Medidas
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Vale a pena ler
Muitas passagens da carta de Pero Vaz de Caminha citam distâncias medidas em léguas ou em braças, unidades que hoje não se usam mais, a não ser em um sentido bastante impreciso. Vamos tentar entender o que representam essas medidas. O sistema de pesos e medidas usado em Portugal à época do descobrimento do Brasil, e no tempo colonial, apresentava sérios inconvenientes: não era uniforme de região para região, mudava segundo o tempo e as circunstâncias e, além disso, as subdivisões eram numerosas e irregulares, tornando os cálculos trabalhosos e imprecisos. A tabela seguinte dá uma ideia de variedade de unidades de medida usadas antigamente para distâncias (as igualdades devem ser entendidas sempre como aproximações):
1 polegada 5 2,54 cm 1 pé 5 12 polegadas 5 30,48 cm
1 passo 5 5 pés 5 1,52 m
1 palmo 5 20,32 cm
Arquivo Nacional da Torre do Tombo
Medidas na carta de Caminha
1 braça 5 2,2 m
1 milha brasileira 5 1 000 braças 5 2 200 m 1 légua brasileira 5 3 000 braças 5 6 600 m
Fac-símile da última página da carta de Caminha. Escola Inglesa. Séc. XX. Ilustração. Coleção Particular Bridgeman Images/Keystone Brasil
Qual era a légua mencionada na carta de Caminha? Provavelmente, era a légua marítima, que ainda diferia da légua terrestre.
Anônimo. Caravela Portuguesa, século XX, litografia colorida, 600 cm 3 410 cm.
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Museu Carnavalet, Paris. DeAgostini/Getty Images
Considerando a necessidade de uma uniformização, o rei da França Luís XVI, em maio de 1790, decretou a criação de uma comissão de cientistas para estabelecer um sistema padronizado de pesos e medidas. A comissão tomou o comprimento de um meridiano terrestre como referência para as medidas de distância. Assim, foi definido o metro como sendo o comprimento de um meridiano terrestre dividido por 40 000 000. Foi então construído um padrão para o metro, feito de platina e cuidadosamente guardado, em 1799, no prédio dos Arquivos do Estado, em Paris. Assim nasceu o atual sistema métrico decimal, no qual as subdivisões e os múltiplos do metro são feitos de 10 em 10: temos portanto o decímetro, o centímetro, o milímetro, bem como os múltiplos do metro, como o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro. Atualmente, as crescentes necessidades tecnológicas exigem um padrão mais preciso e facilmente reprodutível. O metro é hoje definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um in1 Luís XVI. Pintura de Joseph Ducreux. Óleo sobre tela, 227 cm 3 184 cm. tervalo de tempo de de segundo. 299 792 456 Mas voltemos ao tempo do descobrimento do Brasil. Como já mencionamos, a légua a que se refere Caminha em sua carta é, provavelmente, a légua marítima, cuja definição também variava de lugar para lugar e de navegador para navegador. 1 légua marítima 5 6 173 m A milha marítima é talvez a única dessas unidades extravagantes que deverá permanecer sendo usada. Ela é hoje definida como 1 852 m, o que a torna igual ao comprimento de um arco de 1 1 minuto do meridiano terrestre, ou seja, do comprimento do meridiano. Em navegação, 21 600 posições são determinadas por ângulos (latitude e longitude), o que torna extremamente cômodo adotar como unidade de distância o comprimento de um arco de ângulo central unitário. Felizmente, na atualidade, quase todos os países do mundo adotam o sistema métrico decimal. Notas do autor No Brasil, uma lei de 26 de junho de 1862 e o 1 As definições das unidades legais de medidas no Brasil decreto número 5 089, de 18 de setembro de 1872, são feitas pelo Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO. tornaram o sistema métrico decimal obrigatório a 2 O autor pede para citar seus colegas Nilton Lapa (SP) partir de 10 de janeiro de 1874. COELHO, Mozart Cavazza P. Medidas na carta de Caminha. Revista do Professor de Matemática, n. 36, 1998.
e Maria Inês V. Faria (MG), com os quais desenvolveu a atividade que deu origem a este trabalho.
Medidas
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SEÇÃO LIVRE 87. Você sabe por que esta fotografia é chamada de 3 3 4? Porque tem 3 cm de largura por 4 cm de George Doyle/Stockbyte/Glow Images
DAE
comprimento.
91. Veja o percurso realizado por quatro formiguinhas A, B, C e D.
A
5 cm
B
3 cm
C
4 cm
D
88. Quantos erros há nesta placa?
35 cm
DAE
Três erros: K maiúsculo, plural e ponto.
Kms.
◆◆ A
percorre 25 cm. 25 5 5 5
◆◆ B
percorre 37 cm.
(37 2 25) 4 5 3
◆◆ C
percorre 38 cm.
(38 2 18) 5 5 4
◆◆ D
percorre
cm.
3 ? 5 1 4 ? 3 1 2 ? 4 5 35
Quanto mede o caminho percorrido pela formiguinha D? 35 cm
89. A placa de trânsito abaixo indica a altura máxima que um veículo pode ter para trafegar. Em geral, ela é colocada antes de viadutos e túneis.
92. A braça é uma antiga medida de comprimento que equivale a 2,2 m. O alqueire mineiro é uma medida de área que é igual à área de um quadrado cujo lado mede 100 braças. Quantos metros quadrados tem um alqueire mineiro? 48 400 m2
2202 5 48 400
O alqueire varia de um estado para outro. alqueire paulista 5 24 200 m2 ◆◆1 alqueire nordestino 5 27 225 m2 ◆◆1
Xicoputini/Dreamstime.com
4,95 m
DAE
Lembrete:
Um caminhão de carga com 5,64 m de altura excede em quantos centímetros o permitido? 69 cm 90. Um quarto tem 3 m por 3 m e altura de 2,70 m. Quantas pessoas no máximo devem dormir nesse quarto, sabendo que o volume de ar aconselhável 2 pessoas para uma pessoa é de 11,5 m3?
Gado em pasto brasileiro.
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AUTOAVALIAÇÃO
93. A altura aproximada de um prédio de 13 andares é: a) 15 m b) 40 m
Alternativa b.
c) 180 m d) 120 m
Dica! Um andar tem aproximadamente 3 metros.
94. Um balconista vendeu 70 centímetros de corda a um freguês. Esse balconista preencheu corretamente a nota fiscal escrevendo: a) 0,07 m b) 0,70 m
c) 0,70 cm d) 0,070 cm
Alternativa b.
95. (Obmep) Guilherme está medindo o comprimento de um selo com um pedaço de uma régua, graduada em centímetros, como mostra a figura. Qual é o comprimento do selo?
a) b) c) d)
1,54 m 1,64 m 15,4 m 16,4 m
Alternativa a.
99. Uma agulha é feita com 0,08 m de arame. O número de agulhas que podem ser feitas com 36 m de arame é: Alternativa b. a) 45
b) 450
c) 4 500
d) 45 000
100.(FCC-SP) A milha é uma unidade de medida usada nos Estados Unidos e corresponde a 1,6 km. Assim, uma distância de 80 km corresponde, em milhas, a: Alternativa a. a) 50
b) 65
c) 72
d) 108
101.(Ufac) Num campo de futebol não oficial, as traves verticais do gol distam entre si 8,15 m. Vim Mills/Dreamstime.com
Jorge Zaiba
Alternativa b.
98. Numa carpintaria, empilham-se 32 tábuas de 2 cm de espessura e outras 18 tábuas de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de: Danillo Souza
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
a) 3 cm
b) 3,4 cm c) 3,6 cm
d) 4,4 cm
96. (Encceja-MEC) Para construir uma banca de frutas, Adão comprou uma folha de madeirite. Ele utilizou o seu palmo para medir e encontrou 10 palmos de comprimento e 7 palmos de largura. Se o palmo de Adão mede 25 cm, quanto a folha de madeirite tem, respectivamente, de comprimento e largura? Alternativa d. a) 7 m e 10 m b) 10 m e 25 m
c) 15 m e 17 m d) 2,5 m e 1,75 m
97. Quantos mm há em 1 m e 1 cm? Alternativa c. a) 1 001
b) 1 110
c) 1 010
d) 1 100
Considerando que 1 jarda vale 3 pés e que 1 pé mede 30,48 cm, a largura mais aproximada desse gol, em jardas, é: Alternativa b. a) 6,3
b) 8,9
1 jarda 5 3 ? 30,48 5 91,44 cm
c) 10,2
d) 12,5
815 91,44 5 8,91
102. Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade da ordem de 1 metro por segundo. Que distância, aproximadamente, essa pessoa percorrerá andando meia hora? Alternativa d. a) 30 metros c) 2 quilômetros b) 180 metros d) 1,8 quilômetro 30 ? 60 5 1 800
1 800 ? 1 5 1 800
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160 288 320 352
9 ? 32 5 288
a) 8 dias.
c) 12 dias.
b) 10 dias.
d) 15 dias.
3 ? 50 5 150
104.Gustavo possui um terreno de 600 m e quer construir nele um canteiro que ocupe 20% da metade da área do terreno. Para isso contratou um jardineiro que cobra R$ 15,00 por m2 de canteiro construído. Quanto Gustavo gastará? Danillo Souza
2
Alternativa a.
R$ 900,00 R$ 1.080,00 R$ 1.296,00 R$ 1.800,00
1 500 150 5 10
108.(Cesgranrio-RJ) De um bloco cúbico de isopor de aresta 3 m recorta-se o sólido, em forma de “H”, mostrado na figura. O volume do sólido é: a) b) c) d)
14 m3 18 m3 21 m3 27 m3
V1 5 3 · 1 · 3 5 9 V2 5 3 · 1 · 3 5 9 V3 5 1 · 1 · 3 5 3 V 5 9 1 9 1 3 5 21
Alternativa c.
1m 1m m
1m
3
a) b) c) d)
Misto Quente
Liesllin/Dreamstime.com
Alternativa b.
a) b) c) d)
107.Por recomendação médica, Paulo utiliza 50 mL de soro fisiológico 3 vezes por dia. Neste fim de semana, ele comprou 3 garrafas de meio litro de soro. Essa quantidade de soro é suficiente para fazer o tratamento durante: Alternativa b.
DAE
103.Existem 10 postes com lâmpadas numa avenida retilínea da cidade. A distância entre postes consecutivos é de 32 metros. Quantos metros há desde o primeiro poste até o último?
1m
300 ? 0,2 5 60 60 ? 15 5 900
105.Num pedaço de cartolina retangular foi feita uma margem de 2 cm em toda a volta. Que área restou para o desenho? Alternativa a. a) 408 cm2 b) 442 cm2
c) 456 cm2 d) 494 cm2
1m
109.(Ufla-MG) Um caminhão basculante tem carroceria com as dimensões indicadas na figura. O número de viagens necessárias para transportar 136 m3 de areia é: Alternativa c. 3,40 m
2,50 m
DAE
17 · 24 5 408
1m
0,8 m
Danillo Souza
21 cm
28 cm
106.(FGV-SP) Numa piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água em 10 cm, são necessários (litros Alternativa b de água): Alternativa b. a) 500 b) 5 000
V 5 10 ? 5 ? 0,1 5 5 5 m3 5 5 000 L
• 3 ? 50 5 150
c) 1 000 d) 10 000
V 5 3,40 · 2,50 · 0,80 V 5 6,80 m3 Número de viagens: 136 6,80 5 20
a) 11
b) 17
c) 20
d) 25
• 1 500 150 5 10
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sugestões DE livros e sites Para ler... Aritmética da Emília. Monteiro Lobato. São Paulo: Brasiliense, 2009. Emília, a famosa personagem de Monteiro Lobato, propõe-se nessa história a desvendar o mundo da aritmética. Como encontrar a medida certa. Carlos Marcondes. São Paulo: Ática, 2001. Quatro amigos participam de uma Olimpíada onde precisam solucionar questões que envolvem medidas. Coleção Investigação Matemática. Marion Smoothey. São Paulo: Scipione, 1997. Em livros de leitura fácil e rápida, temas da Matemática são apresentados de forma descontraída. Todos os livros têm atividades como jogos e quebra-cabeças. Para você, aluno do 6o ano, sugerimos os títulos: ◆ Ângulos ◆ Estimativas ◆ Formas Formas num mundo de formas. Suzana Laino Candido. São Paulo: Moderna, 1997. As formas geométricas, em particular os poliedros, são apresentadas de maneira agradável e interessante. Medindo comprimentos. Nílson José Machado. São Paulo: Scipione, 2000. “O que é medir?”, “De onde vem o metro?” Essas e outras questões ligadas às medidas de comprimento são abordadas nesse livro, partindo sempre de situações práticas que todos nós já vivenciamos. Números na História da Civilização. Luiz Márcio Imenes. São Paulo: Atual, 1995. Um passeio interessante pela história dos números. Você vai conhecer formas primitivas de contagem, os sistemas de numeração de civilizações antigas como a dos egípcios – e chegar ao sistema de numeração que hoje usamos, compreendendo-o melhor.
O homem que calculava. Malba Tahan. Rio de Janeiro: Record, 2001. Conta as histórias de Beremiz Samir e outros personagens “das arábias”. Beremiz, brilhante nos cálculos e nos raciocínios, resolve problemas envolventes e desafiadores. É um clássico da literatura lúdica da Matemática. Sistemas de Numeração ao longo da história. Edwaldo Bianchini e Herval Paccola. São Paulo: Moderna, 1997. Também trata da história da evolução dos números, num outro estilo de texto. Rico em ilustrações, exemplos e atividades para o leitor. Aborda ainda sistemas de numeração em outras bases de contagem diferentes de dez, como o sistema de base dois usado pelos computadores. Ciência Hoje na Escola. Rio de Janeiro, Global Editora.
Para navegar... Selecione canais e clique em IBGE teen. ◆◆ Mão na roda: para encontrar informações gerais sobre o Brasil, em números, gráficos e mapas. ◆◆
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Calendário: relaciona e comenta datas comemorativas do Brasil e do mundo. Censo 2007 e Censo 2010: como o nome já diz, contém dados dos censos, como população, escolaridade, condições de vida do povo brasileiro, produção agrícola e pecuária. Mapas: para uso escolar, disponíveis para visualização e download. Biblioteca: conteúdo para pesquisa, principalmente em História e Geografia. Notícias: para ler o que há de novo em dados sobre o Brasil e outros temas. 273
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Clicando em “CH das crianças”, você encontra um menu que permite acessar não só as páginas sobre Matemática, mas também sobre outros ramos da Ciência. Cadastrando-se gratuitamente é possível acessar listas de exercícios, artigos, biografias de grandes matemáticos, jogos e também fóruns de discussão. Site das Olimpíadas Brasileiras de Matemática, contendo provas e gabaritos, com download disponível. Bom para testar seus conhecimentos. Há links para sites sobre a História da Matemática e sobre constantes famosas como o número p (pi). Site das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas. Traz provas de anos anteriores e um grande banco de questões. Site interessante com temas da Matemática e de outras ciências. Além de assuntos ligados à Matemática, o site aborda temas importantes, como a água, de forma leve e atraente. Plataforma gratuita com videoaulas sobre vários assuntos. Permite ao usuário cadastrar-se para receber um acompanhamento de suas atividades.
Site para consulta sobre vários temas. O site permite acesso gratuito a algumas páginas. Clique em “Matemática” no menu “Biblioteca Viva” para pesquisar temas em vários campos da Matemática. Neste canal é possível fazer o download do software GeoGebra, que é gratuito, além de acessar várias atividades interativas principalmente de Geometria. Este site é muito interessante para professores e alunos. Há uma variedade enorme de atividades disponíveis: jogos, animações, simuladores, brincadeiras envolvendo números e formas. Clicando em Learning Objects, General Education, General Math ou Technical Math, há um grande número de objetos educacionais disponíveis, incluindo apresentações em Power Point sobre vários conteúdos como equações, frações algébricas e áreas de polígonos. Não é preciso cadastro. Os textos estão em inglês, mas são simples. Contém aulas digitais, games, laboratório de matemática, projetos, artigos e variedades.
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Repositório que reúne mais de 150 recursos educacionais em diversas mídias (áudios, vídeos, softwares, textos e experimentos práticos), voltados para os Ensinos Fundamental e Médio. Mostra objetos matemáticos expostos anualmente na Matemateca, no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME – USP). Eles são confeccionados com o intuito de despertar curiosidade, servir de incentivo ao aprendizado e divulgar de maneira interessante e divertida temas da Matemática. O site reúne as questões de Matemática de grandes vestibulares. Também apresenta um material didático (artigos, vídeos, provas, desafios, curiosidades etc.) sobre a disciplina para os Ensinos Fundamental e Médio, bem como conteúdo sobre a aplicação da Matemática no dia a dia. Contém objetos de aprendizagem do Laboratório Virtual de Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí) e da Rede Internacional Virtual de Educação (Rived).
Em inglês, programa para exploração e construção de poliedros. Portal educacional que tem como objetivo disseminar as novas tecnologias da informação e da comunicação. Apresenta artigos sobre números inteiros e números decimais para o 6o ano. e Ação Local de Estatística Aplicada é um site de Portugal que traz textos com noções de Estatística e Probabilidades, textos históricos, problemas, desafios, jogos, curiosidades etc. Página do site da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal, apresenta animações de poliedros em 3D. Contém diversos jogos abordando temas da Matemática, dentre eles sobre o teorema de Pitágoras. Apresenta texto sobre o surgimento do número. (Estes sites foram indicados com base em conteúdos acessados em março de 2015).
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referências BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME; USP, 1995.
KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1975. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar).
BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Brasília: SEF; MEC, 1998. CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: IME; USP, 1992. CENTURION, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática, números e operações. São Paulo: Scipione, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação – reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus, 1995. .Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de geometria. São Paulo: IME; USP, 1992. GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998. v. 1. (Coleção Contando a História da Matemática). IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas. Implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1992.
MACHADO, Nílson José. Coleção Matemática por Assunto. São Paulo: Scipione, 1988. v. 1. MOISE, E; DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971. NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1987. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. RUBINSTEIN, Cléa et al. Matemática para o curso de formação de professores. São Paulo: Moderna, 1977. SANTOS, Vânia Maria Pereira (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática: métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; Projeto Fundão; Spec/PADCT/Capes, 1997. STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997. TROTA, Fernando; IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, 1980. WALLE, John A. van de. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. ZABALLA, Antoni (Org.). A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
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MOLDes e MaLHas
cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.
DAE
1. Malha triangular
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cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.
2. Malha quadriculada
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cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.
Ilustrações: DAE
3. Polígonos (atividade Construindo poliedros)
6 cm
10 cm
6 cm
8 cm
8 cm
8 cm
8 cm
6 cm
6 cm
10 cm
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cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.
10 cm
Ilustrações: DAE
10 cm
8 cm
6 cm
6 cm
6 cm
10 cm 8 cm
6 cm
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4. Pista numerada (atividade Jogando com múltiplos)
cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
49 48 47 46 45 44 50 51 83 82 81 80 52 84 53 85 54 86 100 55 87 99 56 88 98 57 89 97 58 90 96 59 91 95 60 92 93 94 61 62 63 64 65 66 67
43 42 41 40 79 39 78 38 77 37 76 36 75 35 74 34 73 33 72 32 71 31 70 30 69 29 68 28 27 18 19 20 21 22 23 24 25 26
DAE
SAÍDA
CHEGADA
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cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.
B
A
Ilustrações: DAE
5. Polígonos (atividade Simetria dos polígonos)
C
D
E
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Ilustrações: DAE
cOnserVe seU LiVrO Tire cópias dos moldes e da malha.
F
G H
I
J
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respostas dos exercícios Preferimos não incluir aqui as respostas de todos os exercícios que permeiam as páginas de teoria. Apresentamos apenas as respostas de algumas seções. O fizemos dessa forma para proporcionar ao aluno uma oportunidade de verificar os conhecimentos recém adquiridos e a você a opção de fornecer ou não resoluções ao aluno, uma vez que este Manual do Professor contem todas as respostas.
UNIDADE 1
Revisando Página 21 33. Não. O correto é falar “oito algarismos”. 34. Dos 7 000 000 000 de habitantes do planeta, 800 000 000 passam fome. 35. a) 4 600 000 000 b) Quarenta e seis milhões de séculos. 36. Três milhões, cinquenta mil, duzentos e sete. 37. a) Uma. b) Três. c) Três. 38. a) Sim. b) Sim. 39. a) 4 b) Zero, um, nove, quatro: cento e noventa e quatro. c) 9 410 d) Não, aqui ele aparece como código. 40. 7 700 e 7 707 41. Lucas.
Página 22 42. a) Cinquenta e três mil, duzentos e trinta e sete. b) 200 c) Não. Um representa 30 unidades e o outro, 3 000 unidades. 43. Mauro. 44. 104 030
Desafios 45. 38 500 46. 40 832 47. c
Autoavaliação Página 23 48. c 49. b 50. c 51. c 52. a 53. b 54. b 55. b 56. d
Página 24 57. b 58. b 59. d 60. c 61. d
62. a 63. b 64. c 65. c 66. c
UNIDADE 3
UNIDADE 2
Revisando
Seção Livre Página 44 R$ 912,00
Revisando Página 32 19. 23 e 65 20. 807, 10 e 46 21. a) A 5 42; B 5 63 b) C 5 4 000; D 5 2 500 c) E 5 1 109; F 5 1 119 22. a) B b) A c) 999, 7 814, 32 607, 80 001 23. a) A 5 716; B 5 852; C 5 434 b) Curitiba; Brasília. c) Curitiba e Brasília.
Página 33 24. a) 60 b) 54 c) 10 243 d) 479 25. a) 6 427 b) 2 476
e) 481 i) 100 f) 374 j) 998 g) 5 400 k) 999 h) 699 l) 10 234 c) 6 247 d) 4 762
Desafios 26. a) 9 prendedores b) 20 prendedores c) 41 prendedores d) n 1 1 prendedores 27. 34 095 168 28. Rodrigo: 825; Luciana: 396; Paula: 137; Rui: 972.
Página 45 29. 10 305 30. b 31. a) 614 b) 4 732 32. c 33. d 34. b 35. 8 419 674 pessoas 36. a) São Paulo. b) 24 370 116 habitantes c) 289 391 habitantes d) 8 627 372 habitantes
Página 46 37. 82 38. b 39. 41 km 40. a) 21 rapazes b) 5 garotas c) 22 garotas
Desafios 41. 17 CDs 42. R$ 40,00 43. Resposta possível: 10 caixas de 10 bombons 5 100 3 caixas de 5 bombons 5 115 81 4 caixas de 2 bombons 5 123 44. 11 anos
Autoavaliação
Autoavaliação
Página 34
Página 47
29. a 30. b 31. d 32. c 33. b 34. c 35. d 36. b 37. b 38. d
c) 710
45. d 46. a 47. c 48. b 49. c
Página 48 50. a 51. c 52. c
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53. d 54. b 55. a 56. c 57. a 58. b 59. d
UNIDADE 4
Seção Livre Página 59 42. d 43. a) 44. 5 7;
Página 78
Página 89
117. c 118. c 119. a 120. c 121. a 122. b 123. a 124. b 125. d 126. c
Autoavaliação 46. b 47. d 48. c 49. d 50. b 51. c 52. a 53. b 54. a 55. c
UNIDADE 5 b) 48 5 4; 5 5
Seção Livre Página 74 672; 1 680; 25 908
Revisando Página 75 94. a) 12 b) 90 95. d 96. 21 pontos 97. 16 1 4 5 8 1 7 1 5 98. 30 anos 99. R$ 5.850,00 100. R$ 904,00
Página 76 101. 12 maneiras 102. 24 passageiros 103. 6 horas e 30 minutos 104. 16h12min 105. 14 m 106. 38
Desafios 107. 48 anos 108. a) 69 clientes b) 71 clientes 109. a) R$ 2,00 b) 5 canetas
Autoavaliação Página 77 110. c 111. d 112. b 113. a 114. d 115. d 116. b
Página 90
Revisando Página 86 31. a) 128 32.
b) 1
c) 216
Número
Quadrado
Cubo
1
1
1
2
4
8
4
16
64
5
25
125
3
9
27
10
100
1 000
20
400
8 000
33. 020; 110, 23; 32; 52; 33; 25; 62; 72; 43; 92; 102 34. a) 10 d) 10 000 b) 100 e) 100 000 c) 1 000 f) 1 000 000 35. a) 9 b) 343 36. a) 64 b) 128 c) 81 d) 243 37. a) 26 c) 16 b) São iguais. d) 3 38. 25² 5 625 39. 7³; 343 quilogramas 40. a) 2 1 45 2 1 5 46 b) Sim. Ficaria 2 1 3² · (5 2 1); Sim. Ficaria (2 1 3²) · 5 – 1.
Página 87 41. 8 filas 42. a) 42 b) 15 43. 5 44. 28 5 256
c) 42 d) 28
Desafio 45. a) 32 figuras b) 1 minuto e 20 segundos
e) 38 f) 28
56. a 57. c 58. b 59. b 60. b 61. b 62. a 63. b 64. c 65. c
UNIDADE 6
Revisando Página 109 37. a) 0, 102, 204, 306 c) 289 b) 0, 28, 56, 84 d) 306 d) B 38. a) A e C b) C e) 2, 10, 14, 22 e 26 c) A e B 39. 103 40. 36 41. a) 18, 48, 64, 12, 68, 14, 30, 60, 16, 44, 46 b) 18, 33, 48, 12, 21, 51, 30, 60, 27 c) 18, 33, 48, 12, 21, 51, 30, 60, 27 d) 5, 30, 60 e) 18, 48, 12, 30, 60 f) 21, 14, 49 g) 30, 60 h) 5, 31, 71, 13, 61, 11, 41, 73 i) Todos. j) Nenhum. 42. a) Três.
b) 1, 2, 3, 4, 6 e 12
Página 110 43. a) 508, 580, 850 b) 580, 850, 805 c) 580, 850
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44. R$ 260,00 45. Terminar em dois zeros. 46. 1 008 ovos
2. Gráfico 2
22.
Frequência de alunos à biblioteca
Desafios
Frequência
47. 24 e 28 48. As idades são: 11 e 13 49. 21 balas 50. a) 15 pacotes b) 5 kg do tipo A 1 7 kg do tipo B 1 1 8 kg de tipo C
Seção livre
60 50
45
40
34
30
50
38
25
20 10
Página 111 51. Sugestão de resposta: a) 11 1 13 c) 23 1 41 b) 13 1 17 d) 31 1 41 52. b 53. a) Sim. c) Não. e) Sim. b) Sim. d) Sim. f) Não. 54. 28 55. Porque, utilizando os divisores de 24 (um dia tem 24 horas), não haverá mudanças nos horários de um dia para o outro.
se gu nd afe ira te rç afe ira qu ar ta -fe ira qu in ta -fe ira se xt afe ira
0
Revisando Página 120 7. 8.
a) 25 pessoas b) R$ 940,00 a) É o carneiro. b) A coruja e o cavalo. c) Coruja: 24 anos; carneiro: 15 anos; cavalo: 30 anos; rato: 3 anos; coelho: 12 anos.
Autoavaliação Página 112
Desafio
56. b 57. d 58. c 59. b 60. c 61. b 62. a 63. c 64. c
9.
Atividades de lazer
×
×
×
E
×
5
–
7
5
–
9
–
15
8
–
6
–
10
5
1
Página 139 23. a) Ambos têm 8. b) Ambos têm 12. c) Ambos têm 6. Sim. d) O cubo e a caixa têm o mesmo número de vértices, faces e arestas. e) No cubo, todas as faces são quadradas. Na caixa, há faces retangulares. 24. Rosa e azul. Verde e vermelho. Roxo e amarelo. 25. a) 5 b) 3 c) 6 Balão: 10 pontos
Página 140
14. a 15. d 16. d
28. a 29. c 30. a 31. c 32. b 33. b 34. c
UNIDADE 8
UNIDADE 9
Revisando
Revisando
Página 138
Página 154
Página 122
1. Gráfico 1
D
Autoavaliação
10. c 11. c 12. b 13. d
Página 116
×
C
26. a) A de um bloco retangular. b) A de um bloco retangular. c) 12 pilhas d) 63 tijolos 27. a) 13 m b) 19 m c) 25 m
Página 121
Seção livre
Não é poliedro Quantas faces? Quantas arestas? Quantos vértices?
B
Desafios
a) 2 700 pessoas b) Não. c) Sim. d) Sim.
Autoavaliação
UNIDADE 7
Poliedro
A
Frequência 14
12
12 10
8
8
6
6
8 5
4 2 e eo
ga
m
TV vi d
pa ss ei os
le it u ra
es po rt
es
0
18. a) Sim. b) Não. 19. Resposta pessoal. 20. 36 cubos 21. a) B b) A
c) C
24. a) 45º b) 120º c) 90º 25. Os três ângulos têm medidas iguais a 90º. 26. a) 60º b) 150º c) 90º d) 120º 27. a) Resposta possível: 12h. b) Resposta possível: 6h.
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Desafios
28. ÅA 5 90º; ÅB 5 45º; ÅC 5 135º; ÅD 5 90º. 29. 105º 30. O ângulo vai diminuir.
Seção livre Página 155 31. a) João. b) Paulo. 32. Dão a ideia de retas paralelas. 33. a 34. a
Autoavaliação Página 156 35. d 36. a 37. d 38. a 39. c 40. c
Autoavaliação
96. 11 14
Página 175
97. a) Não, atingiu 4 3 kg.
40. c 41. d 42. d 43. d 44. b 45. d 46. c
4
b) Sim, 1 kg a mais.
c) Sim, 3 kg a mais. 4
Página 202 98. 1 1 h ou 1 h e 15 min 4
Página 176
99. a) 3
47. c 48. b 49. c 50. c 51. b 52. a
28 b) 21 16
c) 1
60 d) 49 15
100. 10 pastas 101. a) 22 copos b) Não. 102. a) 1 4
UNIDADE 11
Revisando
Desafios
UNIDADE 10
Página 200
Revisando
82. 3
103. 75 alunos 104. 25 litros 105. 600 pessoas
Página 172
83. a) 1
7
27. a) Dodecágono. b) Octógono e quadrado. 28. a) ABC, ACD e ACE. b) ABD c) ADE 29. a, c, e, f 30. Finlândia: 1; Brasil: 0; Japão: 2; Grécia: 0; Colômbia: 1; Jamaica: 2. 31. A: 0; B: 1; C: 2 e D: 2.
b) 1
3
c) 1
6
9
84. a) 3 horas b) 3 h 15 min; 3 h 30 min; 3 h 45 min 85. A 5
2 ; B 5 4 ; C 5 8 3 3 3
86. Resposta possível: Quaisquer três frações equivalentes a 1 . 2
Por exemplo: 8 , 16 , 32 etc. 16 32 64
Página 173 32. a) 140 cm b) 140 cm c) Os perímetros são iguais. Tal como foi feito o corte, não houve alteração no comprimento do contorno da figura. 33. 17 cm 34. 1 m 35. 3 · n; 4 · n; 5 · n; 6 · n
Desafios b)
c)
d) 37. 5 quadrados 38. 16 estacas 39. a) 16 e 25
b) 36, 49, 64 ...
15 f) 3 28
g) 10 h) 11 9
b) 29 20
Autoavaliação Página 203 106. c 107. a 108. a 109. c 110. c 111. d 112. b 113. a 114. d
Página 204 dormindo comendo
estudando divertindo-se
b) 9
24
88. Corinthians. 89. R$ 300,00
115. c 116. d 117. d 118. c 119. a 120. b 121. b
Página 201 90. a) 36 reais b) 8 kg 91. 18 blocos 92. d
36. a)
87. a)
e) 4
93. a) 1 4 31 94. a) 6 25 95. a) 14
b) 15 8 38 b) 15
c) 25 kg d) 24 litros
UNIDADE 12
Revisando Página 226 c) 33 20 31 c) 60 b) 97 24
d) 21 20 d) 22 15
71. R$ 0,08; R$ 0,89; R$ 0,98; R$ 1,02; R$ 1,20; R$ 2,01; R$ 2,10 72. Quatrocentos e setenta e oito reais e sessenta e nove centavos. 73. c 74. a) 3,9 b) 30,12 c) 16,1
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75. a) 1,09 d) 2,08 b) 30 e) 29,9 c) 1,9 76. Roberto, Mário e Carlos. d) . 77. a) , b) 5 e) 5 c) 5 f) ,
Página 227 78. a) 35,4 kg b) 29,6 kg 79. b 80. b 81. 2,8 gols por partida 82. 6 cm 83. 65 litros
Página 228 84. 1,6 1 1,2 1 0,6 ou 1,2 1 1,3 1 0,9 Há outras possibilidades. 85. a) 3,3 2 (1,1 1 2,2) b) 12,5 1 2 2 (7 1 6,5) 86. a) 3,4 d) 0,782 b) 4,9 e) 7,5 c) 25,7 f) 1,9 87. a) 4 c) 6 b) 9 d) 7,2 88. a) 7,06 ou 7,60 b) 6,07 ou 6,70 c) 0,67
Desafios 89. 62,5 90. d 91. Cada debatedor deverá falar durante 3 minutos e 45 segundos. 92. 50 canetas
UNIDADE 13
70. 35 cubos 71. a) 24 cubos
Revisando Página 240
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23. a) 1,6; 16 c) 8; 80 b) 4; 40 d) 160; 240 24. a) 65% b) 490 mulheres e 910 homens 25. a) R$ 210,00 b) R$ 297,50 26. R$ 2,65 27. a) Morango. c) 48 alunos b) Mamão. 28. R$ 569,80
72. a) 4a 73. 3 kg 74. R$ 0,16 75. 4 562 kg 76. 3,14 kg 77. 2,25 kg 78. 71,5 kg 79. R$ 9,40
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80. 180 litros 81. 81 m3 82. R$ 2.160,00 83. Nos copos menores.
29. água: 54,6 gramas; proteínas: 10,08 gramas; gordura: 9,24 gramas. 30. A primeira. 31. R$ 59,84
Desafios 32. a) 730 33. R$ 2,50 34. a) R$ 5,00
b) 9,9 b) 4 kits
Autoavaliação
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84. Esfera: 0,5 cm3 Cubo: 2 cm3 85. Os dois recipientes vão encher no mesmo instante. 86. R$ 126,00
Seção livre 87. Porque tem 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. 88. Três erros: K maiúsculo, plural e ponto. 89. 69 cm 90. 2 pessoas 91. 35 cm 92. 48 400 m2
35. d 36. c 37. b 38. d 39. c 40. b 41. d
Revisando
c) 6,10 kg
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Autoavaliação
b) 3a
Desafios
Autoavaliação Página 271
UNIDADE 14
93. b 94. b 95. d 96. a 97. d 98. c 99. c 100. a 101. b
60. 1,09 m 61. a) 3,75 km b) 3,8 km c) B; 50 m 62. 5 400 metros 63. a) 9 cm c) 1,95 m b) Murilo. 64. 370 pessoas 65. a) 3 vermelhas 1 2 azuis b) 4 azuis 2 3 vermelhas
Página 230
66. b 67. a) 18 m2 b) Banheiro (3 m2). c) 21,5 m2 68. a) 2,535 m2 69. 325 cm2
102. b 103. b 104. c 105. d 106. c
b) 72 cubos
93. b 94. b 95. b 96. d 97. c 98. a 99. b 100. a 101. b 102. d
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Página 265 d) 20,5 m2 e) 78 m² b) 0,845 m2
103. b 104. a 105. a 106. b 107. b 108. c 109. c
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Manual do Professor
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M a t e m á t i c a
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Agradecemos à professora Nilza Eigenheer Bertoni pelos comentários e sugestões que contribuíram para a melhoria deste manual.
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Colega Professor
Este manual tem diversos objetivos: ◆◆ revelar as ideias que nortearam a concepção desta coleção de Matemática e
esclarecer sua proposta pedagógica; ◆◆ contribuir para o processo de formação contínua do docente, apresentando
textos e artigos que propiciam a reflexão sobre educação e práticas metodológicas; ◆◆ fornecer subsídios para enriquecer as aulas por meio de orientações
específicas para o trabalho com o Livro do Aluno, sugestões de textos, atividades voltadas para o desenvolvimento das habilidades de leitura, escrita e resolução de problemas, propostas para avaliação e integração com outras áreas do conhecimento. Esperamos que este manual o auxilie em seu trabalho, contribuindo para o sucesso de seus alunos. Os autores
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relação de conteúdos 1. Considerações sobre o ensino
da Matemática e a concepção da obra..............................................................293
Estrutura da obra........................................................294 Principais temas abordados..................................296 Números........................................................................ 296 Álgebra........................................................................... 297 Geometria.................................................................... 297 Medidas......................................................................... 298 Razões, porcentagens e proporcionalidade................................................... 298 Tratamento da Informação e Estatística.................................................................. 298 Funções.......................................................................... 299 A Interdisciplinaridade na obra..........................299 O uso de paradidáticos nesta obra...................300 Tecnologia nesta obra..............................................303
2. Ideias sobre a avaliação em
Algumas sugestões de estratégias envolvendo leitura, escrita e oralidade em Matemática usando o livro didático..... 325
Sobre jogos e brincadeiras na aula de Matemática.............................................................326
QUADRO DE CONTEÚDOS........................327
4. Sobre o livro do 6o ano.............................332 Unidade 1 Sistema de numeração decimal..................332 Unidade 2 Números naturais........................................................336 Unidades 3 e 4 Adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais.................. 339 Unidade 5 Potenciação e raiz quadrada de números naturais...........................................................................................348 Unidade 6 Múltiplos e divisores.................................................352 Unidade 7 Dados, tabelas e gráficos de barras...........................................................................................................................356 Unidade 8 Observando formas..................................................361
Matemática....................................................304
Unidade 9 Ângulos...................................................................................363
Sugestões de registros – avaliação continuada.....................................................................305 Sobre o erro...................................................................308
Unidade 10 Polígonos e circunferências.........................365
3. Educação e práticas
metodológicas..............................................309
Como ensinar Matemática?..................................309 Matemática e resolução de problemas................................................................310 Os vários tipos de problema: uma possível classificação................................... 311 Algumas sugestões de estratégias envolvendo resolução de problemas usando livro didático............................................. 315 Livros didáticos × contexto histórico............ 317 Sugestão de atividade contemplando a história da Educação Matemática.................323 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas...........................323 Comunicação e expressão na proposta de Avaliação do Documento Básico do Enem – Brasília/2002.............................................. 324 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática................................................................. 324
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Unidade 11 Frações..................................................................................370 Unidade 12 Números decimais..................................................375 Unidade 13 Porcentagens.................................................................377 Unidade 14 Medidas..............................................................................381
5. Avaliação – O que se pede por aí......384 6. Sugestões de livros e sites para
o professor......................................................390
Livros.................................................................................390 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas....................................... 390 História da Matemática e História da Educação Matemática........................................... 390 Paradidáticos.............................................................. 390 Educação Matemática........................................... 390 Revistas.............................................................................391
Sites....................................................................................392
7. Referências......................................................394 Anexos.................................................................395
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1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra A presença cada vez maior da Matemática nas atividades humanas torna o aprendizado dessa disciplina fundamental para a inserção do cidadão no mundo do trabalho e das relações sociais. O caráter instrumental e científico da Matemática possibilita a resolução de problemas práticos e fornece ferramentas importantes para a construção do saber científico. Conhecimentos matemáticos, mesmo os que não fazem parte do cotidiano imediato, são necessários para a alfabetização científica e técnica do indivíduo, indispensável nos dias de hoje. Concomitantemente, o desenvolvimento das capacidades intelectuais do pensamento matemático, como dedução, generalização, argumentação e capacidade de conjecturar, forma indivíduos com visão mais ampla da realidade, preparados para atuar num mundo em constante mudança. É necessário ressaltar que o ensino de Matemática deve buscar também o desenvolvimento de posturas e atitudes necessárias à formação cidadã: confiança na própria capacidade, perseverança e disciplina na busca de resultados, respeito pelo pensamento do outro e trabalho cooperativo. Contemplar satisfatoriamente cada um des ses aspectos em sala de aula e conciliá-los não é tarefa fácil. O livro didático deve, portanto, ser um parceiro eficiente para o professor e para o aluno: essa foi a intenção dos autores ao desenvolverem esta coleção. Acreditamos que o primeiro passo é criar um ambiente que dê significado ao que se aprende, aproximando a Matemática do dia a dia do aluno. Nesse sentido, a contextualização de conteúdos exerce papel de destaque e deve ser explorada. Trabalhamos a contextualização de forma criteriosa, com cuidado, para não levar à banalização e à perda de consistência do texto. O aluno deve aplicar conhecimentos da Matemática na vida prática, mas há outro objetivo também importante: desenvolver nele o gosto
pelo desafio, presente em situações da própria Matemática, de maneira que as abstrações não constituam o início ou o fim do processo, e sim mediações indispensáveis para a construção do conhecimento matemático. Com esse objetivo, os textos didáticos são muitas vezes acompanhados por atividades marcadas com o selo Refletindo, cujas questões incentivam conjecturas e investigação. Visando ao equilíbrio entre as aplicações práticas e a percepção da Matemática como ciência estruturada – aspectos que se complementam –, sempre que possível a obra apresenta os temas e sua exercitação por meio de problemas. Essa abordagem valoriza estratégias diversificadas de resolução, compreensão e aplicação de conceitos, uso adequado de procedimentos e análise da solução obtida. Situações que propiciam o desenvolvimento do pensamento abstrato foram inseridas de forma gradual, respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas dando a sustentação necessária para a construção de conceitos e demonstração de propriedades. Consideramos indispensável o trabalho com leitura, escrita e oralidade em Matemática. Essas habilidades são desenvolvidas em todos os anos escolares, por meio da leitura de textos sobre História da Matemática, leituras de interesse científico ou social e, sobretudo, do próprio texto didático, escrito com foco no aluno e permeado por quadros interativos com propostas de atividades que facilitam a compreensão e enfatizam aspectos importantes. Em várias oportunidades o aluno será incentivado a elaborar, explicitar e compartilhar diferentes caminhos para a resolução de questões. Nosso objetivo é estimulá-lo a refletir sobre a própria maneira de pensar e propiciar a criação de mecanismos que facilitem cada vez mais seu aprendizado. A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Contemplamos, nesta coleção, o trabalho em pequenos grupos, que possibilita a troca de ideias, enriquece o aprendizado e promove o desenvolvimento de habilidades importantes, como saber ouvir, respeitar o pensamento do outro e trabalhar de maneira colaborativa.
manual do professor
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Entendemos que o Manual do Professor deve ser realmente útil e presente no planejamento e desenvolvimento das aulas. Por isso, além de dar subsídios teóricos, sugerimos exemplos práticos de como desenvolver conteúdos e avaliar a aquisição de habilidades e competências. Procuramos articular ao máximo este manual com o Livro do Aluno sugerindo estratégias de aula, atividades interdisciplinares, fichas de planejamento e de acompanhamento, atividades e jogos adicionais, além dos apresentados no livro didático (do aluno). Os textos para reflexão,
294
Estrutura da obra A obra compõe-se de quatro volumes, cada um com um Manual do Professor específico. Os temas são distribuídos de modo equilibrado, em unidades, visando dar a você o suporte necessário, mas sem refrear sua liberdade de criação. Os temas de cada unidade estão subdivididos em itens numerados, com títulos, nos quais foram desenvolvidos partes do tema central, podendo ter subitens relacionados. O texto didático estabelece um diálogo com o aluno por meio de uma linguagem clara e simples para facilitar a compreensão e ajudá-lo a progredir na leitura, e é acompanhado de fotografias, ilustrações, gráficos e esquemas explicativos. Por meio de atividades ao longo do texto, você pode fazer o levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos e checar o progresso da leitura. Os selos Refletindo e Interagindo permeiam o desenvolvimento do conteúdo, propiciando, respectivamente: ◆
o contato com questões mais reflexivas ou investigativas;
◆
o trabalho em grupo. Divisores de um número natural Nas embalagens mais encontradas no comércio, os ovos são dispostos assim:
2 6 12
No entanto, podemos imaginar outras formas de dispô-los:
3 4 12
3 e 4 são os fatores, 12 é o produto
1 12 12
Observe que encontramos os fatores ou divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Também dizemos que 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Quer ver mais um exemplo? Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
1. Escreva os divisores ou fatores de: a) 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 b) 351, 5, 7, 35
c) 100 1, 2, 4, 5, 10,
20, 25, 50, 100
Qual é o menor divisor de um número natural?1 E o maior? O próprio número.
d) 1 1
2. Ana disse que 8 é divisor de 32. André falou que 32 é divisível por 8. Quem acertou? Os dois.
Responda no caderno!
3. É possível distribuir 816 maçãs em caixas com 24 maçãs cada uma sem que sobrem ou faltem maçãs? Justifique sua resposta. Sim, pois 816 24 34 e não há resto.
Reinaldo Rosa
Propomos, no Livro do Aluno, alguns jogos matemáticos e atividades com material concreto, cuja prática é possível em sala de aula, procurando contribuir para a construção de um ambiente pedagógico mais descontraído. Ao mesmo tempo, não perdemos de vista o fato de que um jogo ou uma brincadeira ajuda o aprendizado, concretiza o conteúdo teórico e possibilita uma saudável interação entre pares, importante para a socialização. Nas orientações específicas deste manual oferecemos opções de atividades lúdicas, de modo que você possa escolher as mais adequadas a seus objetivos.
Consideramos que a coleção atende às demandas do mundo atual e valoriza as propostas vigentes para o ensino da Matemática. Pautados em nossa prática docente, fornecemos uma base sólida para professor e aluno transitarem com segurança, abrindo espaço para a criatividade e considerando a realidade da sala de aula em nosso país.
Ilustrações: Marcelo Azalim
A abordagem da História da Matemática é uma grande aliada para despertar o interesse dos alunos. A obra se vale desse recurso em muitos momentos, apresentando a Matemática como construção humana em constante evolução, de forma não linear, com a contribuição de grandes gênios da ciência e também de não especialistas. Disponibilizamos para você, professor, alguns artigos sobre a história da Educação Matemática, pois consideramos que conhecimentos sobre práticas escolares em Matemática, ao longo do tempo, estimularão a reflexão sobre a sala de aula dos dias atuais e o ajudarão a enxergá-la num contexto histórico.
artigos de renomados especialistas em Educação Matemática, complementos teóricos, enfim, todo o conteúdo foi cuidadosamente selecionado para dar apoio ao trabalho docente.
Reinaldo Rosa
No decorrer das unidades, atividades com o selo Interagindo oportunizam esse trabalho. Contudo, as atividades em grupo não impedem o exercício individual, importante para a autodisciplina e a autonomia. As atividades de sistematização estão presentes na coleção e têm o objetivo de gerar maior agilidade no uso de técnicas e procedimentos. Ressaltamos ainda o trabalho com cálculo mental, estimativas e o uso da calculadora para o aluno prever e verificar resultados.
Respondam no caderno. 1. A soma de dois números ímpares é par ou ímpar? E o produto? Par. Ímpar. 2. A soma de um número natural com seu sucessor é par ou ímpar? Ímpar. 3. Como representamos o antecessor e o sucessor de um número natural x 2? Antecessor: x 1; sucessor: x 3.
4. Quantos números naturais há do número 15 até o número 65? Quantos são pares? 51; 25 5. Como descobrimos se um número é múltiplo de outro?
Quando x e y são naturais e x y, x é múltiplo de y se a divisão x y é exata.
6. Como obtemos a sequência dos múltiplos de um número natural x? Multiplicando x pelos números naturais: 0 x, 1 x, 2 x, 3 x, ...
NÚMEROS NATURAIS
13
MANUAL DO PROFESSOR
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AUTOAVALIAÇÃO
qp 4 q p 12
a) 20 b) 80 c) 15 d) 10
, então pq 2 vale:
Alternativa c.
xy5 1,5x y 7
c) 10 d) 12
Bananas R$ 1,00 o quilo
56. (Saresp) Pelo regulamento de um torneio de basquete, cada equipe ganha 2 pontos por jogo que vencer e 1 ponto por jogo que perder. Nesse torneio, uma equipe disputou 9 partidas e acumulou 15 pontos ganhos. É correto afirmar que essa equipe venceu: Alternativa d. a) 3 partidas e perdeu 6. b) 4 partidas e perdeu 5. c) 5 partidas e perdeu 4. d) 6 partidas e perdeu 3.
Alternativa a.
x y 100 x 0,5y 60
59. (Saresp) Entre bananas e melancias, comprei 5 quilogramas de frutas e gastei R$ 7,00. Quantos quilogramas comprei de cada fruta?
55. Se p e q são tais que: Alternativa a.
a) 30 b) 32
58. (Saresp) Tenho 100 moedas que dão um total de R$ 60,00. Uma certa quantidade são moedas de R$ 1,00 e as restantes são moedas de R$ 0,50. A quantidade de moedas de R$ 1,00 é: Banco Central do Brasil
Anote no caderno o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta. 54. Se x 4y 5, então y é igual a: Alternativa d. x5 c) a) x 5 2 x5 x5 d) b) 4 4
Ivan Danik/Thinkstock
Ao item numerado segue-se uma lista de exercícios para a prática do aluno e pela qual você pode avaliar a aquisição de habilidades e conteúdos procedimentais na aprendizagem. Os exercícios estão dispostos em grau crescente de dificuldade, são diversificados e muitos foram retirados de avaliações oficiais.
São propostas questões do tipo teste, apuradamente selecionadas. Muitas vêm de olimpíadas, vestibulares e avaliações da rede oficial, observando sempre a adequação ao nível cognitivo da turma. Você pode utilizar essas atividades de diversas maneiras. Uma sugestão é pedir aos alunos que resolvam as questões sem ajuda, conferindo, ao final, as respostas e analisando o próprio aproveitamento.
iStock/Thinkstock
Além das atividades sugeridas pa ra le lamente à apresentação dos temas, cada unidade tem seções de atividades específicas, descritas a seguir.
autoavaliação
Melancia R$ 1,50 o quilo
xy9 2x y 15
Cirkoglu/Thinkstock
A história da Matemática é abordada em diversas oportunidades em todos os volumes: por meio de textos de caráter histórico, comentários e informações biográficas, ou no enunciado de alguns exercícios.
a) 3 de bananas e 2 de melancias b) 3 de melancias e 2 de bananas c) 1 de banana e 4 de melancias d) 1 de melancia e 4 de bananas
EXERCÍCIOS 24. Você já sabe representar números naturais em uma reta. Copie as retas numéricas e represente os números decimais indicados pelas setas vermelhas. a)
a) 15 b) 25
c) 30 d) 35
5x 3y 130 x y 50
a)
x y 100 10x 20y 1 550
c)
x y 100 x 2y 1 550
b)
x y 100 20x 10y 1 550
d)
2x y 100 x y 1 550
9,8
10
9
57. (UNB-DF) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou? Alternativa d.
28. Veja os ingredientes de dois bolos e responda:
60. A bilheteria de um teatro apurou R$ 1.550,00 vendendo ingressos a 100 pessoas. O ingresso custa R$ 20,00 e estudantes pagam somente metade. O número x de estudantes é dado pelo sistema formado pelas equações: Alternativa a.
163 14,5
b)
13
14
15
10
11
12
Marcelo Azalim
11,75
25. Construa uma reta como esta e represente nela as frações a seguir:
D
3 2
29. Descubra o nome de um objeto colocando os números indicados em ordem crescente. Caneta.
26. Observe as jarras da tia Januária e o que há em cada uma. chá
água
leite
A
A
0,5
laranjada
Pedro Sotto
E
4
L
2 7
L
7 4
2
L
3
L
5 2
L
Indique a jarra que contém: a) menos de 0,5 L; Chá. b) entre 1 L e 2 L; Refrigerante e água. c) entre 0,5 L e 1 L; Leite. d) uma quantidade equivalente a
2,99
1
7 2
1 5
N
T
1 2
3
30. Um dos corredores venceu a maratona. Descubra quem foi o vencedor sabendo que o número de 13 e sua camiseta está compreendido entre 5 13 Ari. . 4
10 L. Laranjada. 4
Ilustra Cartoon
5
C
27. Observe os números: 0,83
0,800
0,799
SEÇÃO LIVRE
0,8
a) Qual deles é o maior? 0,83 b) Qual deles é o menor? 0,799 c) Quais desses números são iguais? 0,8 e 0,800
Paulo
Rui
Ari
seção livre
Sílvio Marcos Léo
Ao final de cada unidade há três seções com atividades, descritas a seguir. Revisando As atividades dessa seção constituem mais uma oportunidade para o aluno retomar e interligar os diferentes assuntos, dando-lhe a possibilidade de mobilizar recursos para exercer as competências adquiridas. Você pode encaminhar essas atividades como tarefa de casa ou reservá-las para aplicação na recuperação paralela. Desafios REVISANDO
DESAFIO DESAFIOS 9. Uma pesquisa eleitoral estudou as intenções de voto nos candidatos A, B e C, obtendo os resultados apresentados:
Intenção de votos Número de votos
Ilustrações: DAE
7. No gráfico abaixo está representado, no eixo horizontal, o número de DVDs alugados por semana numa locadora, por cliente. No eixo vertical, a correspondente frequência, isto é, a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de DVDs.
DVDs alugados de 1 a 7 jun. 2014 Frequência
810 750 700
25 20
54. Na Grécia Antiga chamava-se o número 6 de número perfeito porque a soma dos seus divisores menores do que 6 é igual a 6.
“Todo número par maior que 4 pode ser escrito como soma de dois números primos.”
6123 Verifique que 12 não é um número perfeito e tente encontrar o número perfeito compreendido entre 20 e 30. 28
Não sabemos se Goldbach estava certo, pois não se encontrou até hoje nenhum número par que não obedecesse a essa afirmação. Mostre isso para os seguintes números pares:
Atividades ou textos sobre curiosidades, fatos históricos, arte, ciência e situações do cotidiano, procurando motivar o aprendizado.
Professor, existem outras soluções possíveis.
a) 24 11 13 b) 30 13 17
c) 64 23 d) 72 31
41 41
52. Quando o mdc de dois números é igual a 1, dizemos que eles são primos entre si. Usando essa informação, verifique quais desses pares de números são primos entre si. Alternativa b. a) 4 e 6 b) 5 e 8
c) 26 e 39 d) 55 e 121
53. Um ano é bissexto se o número que corresponde ao ano é divisível por 4. Mas há um detalhe: um ano terminado em 00 só é bissexto quando seu número for divisível por 400. Dos anos indicados a seguir, quais são bissextos? a) 1984 Sim. b) 1992 Sim. c) 1998 Não.
Partenon, em Atenas, Grécia, construído por volta de 440 a.C. 55. Quando você vai ao médico e ele receita-lhe um medicamento para tomar mais de uma vez por dia, durante um certo período, geralmente indica um intervalo de:
d) 2040 Sim. e) 2000 Sim. f) 2050 Não.
12 em 12 horas, 8 em 8 horas, 6 em 6 horas... O médico com certeza não indica um intervalo de: 9 em 9 horas, 7 em 7 horas, ou 5 em 5 horas... Por que isso ocorre?
Porque, utilizando os divisores de 24 (um dia tem 24 horas), não haverá mudanças nos horários de um dia para o outro.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Vale a pena ler
111
VALE A PENA LER
Textos variados sobre Matemática, História da Matemática e outras áreas do conhecimento. Contribuem para desenvolver nos alunos as habilidades leitora e de interpretação de textos.
Simetria: beleza e equilíbrio Encontramos simetria na natureza, na arquitetura, na arte... A simetria nos dá a sensação de equilíbrio, ordem, estabilidade, harmonia.
Margaridas.
Taj Mahal, Agra, Índia.
Observe as fotografias abaixo. São obras do artista gráfico holândes Maurits Cornelis Escher, cujo trabalho impressionou o mundo.
M. C. Escher. Limite Circular III, 1959. Xilogravura, prova de 5 matrizes, com diâmetro de 41,5 cm.
M. C. Escher. Limite Circular I, 1958 Xilogravura com diâmetro de 42 cm.
Muitas gravuras de Escher lembram mosaicos. Além de figuras geométricas, ele explora outros elementos em suas composições: plantas, peixes, figuras humanas. Converse com os colegas: Há simetria nessas obras? Que tal desenhar figuras simétricas? Você vai precisar de papel quadriculado, lápis, régua e alguns lápis de cor. Comece com figuras mais simples. Depois, você pode criar uma composição inspirada nas obras acima. Veja exemplos que apresentamos ao lado. As linhas em preto são eixos de simetria.
174
15 10 440
5 1
2
3
4 5 6 Número de DVDs
A
(10 1 25 2 20 3 15 4 5 5 6 5) 4 940 R$ 940,00
8. Este gráfico mostra o tempo médio de vida de alguns animais.
Tempo médio de vida Tempo (anos)
30 24 18 12
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6 Animal
Fonte: . Acesso em: out. 2014
a) Qual é o animal que vive, em média, 15 anos de idade? É o carneiro. b) Quais dos animais indicados vivem, em média, mais de 20 anos? A coruja e o cavalo. c) Qual é o tempo médio de vida de cada um dos animais indicados? Coruja: 24 anos; carneiro: 15 anos; cavalo: 30 anos; rato: 3 anos; coelho: 12 anos.
120
B
C
indecisos Candidatos
Responda
O selo
2 700 pessoas
a) Qual é o número de pessoas consultadas? b) O candidato B pode se considerar eleito? Não. c) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleições? Sim. d) Se o candidato C obtiver 525 votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo candidato A, o candidato C assume a liderança? Sim. Lucas Lacaz Ruiz/Fotoarena/Folhapress
0
a) Qual é o número de pessoas que alugaram 4 ou mais DVDs? 15 5 5 25; 25 pessoas b) Se cada DVD é alugado por R$ 4,00, quanto a locadora recebeu nesta semana?
car
Agrupamos, nessa seção, questões que exigem soluções mais criativas e elaboradas. Sugerimos que sejam resolvidas em duplas ou trios, mas certifique-se de que cada aluno contribua para a resolução.
51. O matemático Goldbach (se fala “goldbá”), no século XVIII, afirmou:
35
FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS
Serjedi/Dreamstime.com
refrigerante
Há duas outras seções em várias unidades, em meio aos itens numerados ou ao final deles, apresentadas a seguir.
a) As quantidades de farinha nos dois bolos são iguais? Sim. b) Qual dos bolos leva menos açúcar? O bolo Espetacular. c) Qual dos bolos leva mais manteiga?O bolo Delícia.
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Somchai Som/Shutterstock
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sinaliza textos e ativi-
dades que abordam a Matemática aplicada a outras áreas do conhecimento e/ou à vivência cotidiana.
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Principais temas abordados O conteúdo da coleção está distribuído em quatro volumes, abordando temas que podem ser classificados nas categorias a seguir: ◆◆
Números;
◆◆
Álgebra;
◆◆
Geometria;
◆◆
Medidas;
◆◆
Razões, porcentagens e proporcionalidade;
◆◆
Tratamento da Informação e Estatística;
◆◆
Funções.
São trabalhados procedimentos de cálculo mental, estimativas, argumentação e iniciação à articulação lógica e dedutiva. Os problemas dos textos e das seções de exercícios exploram habilidades variadas e buscam desenvolvê-las. Lembramos, no entanto, que os alunos devem ter acesso a problemas de outras fontes, principalmente os propostos com base em situações do contexto particular deles. Acreditamos que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos não se desenvolve unicamente na aprendizagem de Língua Portuguesa, mas em todos os componentes curriculares. Quem deve, preferencialmente, tratar da leitura de textos em Matemática é você, o professor da disciplina, pois pode desenvolver melhor a construção das relações entre as duas linguagens diferentes – palavras e símbolos matemáticos. Não se esqueça de que todos os textos didáticos foram escritos pensando no aluno como leitor, portanto você pode utilizá-los no trabalho com leitura em Matemática. Pesquisando a História da Matemática, fizemos um levantamento sobre a história dos números, dos processos de contagem e dos sistemas de numeração criados por antigas civilizações. O volume do 6o ano retoma e aprofunda os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal e seus princípios. A coleção procura, sempre que possível, articular Números com Medidas e Geometria.
No 7o ano, antes de apresentar os números negativos, relembramos os números naturais, apresentamos o conceito de fração como quociente e retomamos os números decimais; a novidade é a localização de frações e de números decimais na reta numérica. A ideia de fração co mo quociente parte de situações que envolvem desenhos, para facilitar o entendimento dos alunos. Sugerimos apresentar vários exemplos concretos, como: 4 barras de chocolate divididas entre 5 crianças, 2 pizzas divididas entre 8 pessoas etc. Optamos por apresentar os números negativos inteiros, fracionários e decimais, sem construir ainda os conjuntos Z e Q. A ideia é garantir um aprendizado mais consistente das operações e da resolução de problemas envolvendo números negativos antes de formalizar os conjuntos numéricos. Entendemos que o aluno do 8o ano está mais preparado para essa construção.
No volume do 6o ano apresentamos inicialmente os números naturais e suas aplicações. Retomamos as operações de adição, subtração,
No 8o ano, com apoio da história dos números e sua relação com o desenvolvimento da humanidade, apresentamos os números reais
Números
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multiplicação e divisão com números naturais com base nas ideias elementares dessas operações, em seus algoritmos usuais e nas propriedades da adição e da multiplicação. Incentivamos técnicas de cálculo mental e uso de arredondamentos para estimar resultados. Apresentamos a potenciação, sua notação e o cálculo de potência com base e expoente natural. Trabalhamos, em seguida, com raízes quadradas de números naturais com foco nas raízes exatas. Precedendo os estudos das frações, apresentamos as relações “múltiplo de” e “divisor de”, os critérios de divisibilidade mais importantes, como facilitadores, o conceito de número primo e a determinação do mmc e do mdc de números naturais. Não construímos o conjunto nesse volume, mas retomamos e ampliamos o trabalho com frações abordando as operações, apresentando problemas com frações e suas aplicações. Iniciando com as regras do sistema de numeração decimal, lembramos o registro e a leitura de números decimais, bem como suas aplicações no cotidiano. As operações com números decimais são cuidadosamente trabalhadas nos textos, com o objetivo de promover o entendimento do aluno sobre algoritmos usuais, em especial nas multiplicações e divisões.
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iniciando pela construção dos conjuntos N, Z e Q e dos números irracionais. A apresentação dos números irracionais é feita de forma cuidadosa, com textos acessíveis e uma atividade concreta para apresentar o número (pi). Abordamos a representação na reta numérica estendendo o registro para números reais. Ao final da Unidade 1 do 8o ano, apresentamos as propriedades dos números reais. Destacamos, nesse volume, a potenciação, suas propriedades, incluindo expoentes inteiros negativos e a radiciação, raízes com índice natural maior que 2, números quadrados perfeitos e raízes não exatas. No 9o ano, precedendo o trabalho com radicais, há a retomada da potenciação e de suas propriedades e da radiciação, apresentada agora de maneira mais formal. Dessa forma, o objetivo é que, ao final do 9o ano, o aluno tenha formação adequada no campo dos números, para prosseguir os estudos no Ensino Médio.
Álgebra O livro do 6o ano trabalha com a observação de regularidades e algumas generalizações, bem como introduz informalmente a noção de equilíbrio entre quantidades e incógnitas. No 7o ano, o trabalho é retomado e o estudo da Álgebra é abordado de modo mais formal; a linguagem algébrica, as equações e as inequações do 1o grau são introduzidas. O maior objetivo nesse volume é mostrar as equações como ferramentas úteis na representação e resolução de problemas, sem ofuscar as habilidades de cálculo mental, as resoluções por tentativas e por meio da Aritmética.
Sabemos que a Álgebra possibilita aos alunos uma abertura para o estudo de outros ramos da Matemática, mas é preciso cuidado e calma ao introduzir sua linguagem para não gerar confusão, insegurança e dificuldades. Propomos a abordagem gradual das diferentes concepções ou finalidades da Álgebra atualmente: a Álgebra como generalizadora da Aritmética; como estudo de processos para resolver problemas, estudo da relação entre grandezas e de estruturas matemáticas (manipulação de expressões). Os comentários sobre funções estão mais à frente.
Geometria A Geometria é abordada nos quatro volumes da coleção, pois possibilita ao aluno desenvolver habilidades importantes para a compreensão e a representação organizada do mundo físico. Apresentamos a Geometria não apenas como conteúdo isolado, mas também como uma ferramenta que auxilia o desenvolvimento de conceitos da Matemática (e poderíamos até dizer, seguindo os passos da História, que fundamenta e serve como recurso didático). O trabalho com Geometria está relacionado às atividades de observação e construção, valorizando sempre sua conexão com outros campos do conhecimento e com a vida prática. A importância da Geometria na História da Matemática é ressaltada em textos complementares.
Prosseguindo, no 8o ano o aluno trabalha com cálculo algébrico por meio da manipulação de expressões, da construção do conceito de variável, de fórmula e de incógnita, aprende a usar corretamente conhecimentos importantes da Álgebra, como os produtos notáveis e a fatoração. Antes de apresentarmos os sistemas de equações do 1o grau, retomamos a resolução de equações, resgatando o que foi visto no 7o ano.
A demonstração de propriedades relativas à Geometria aparece inicialmente no volume do 7 o ano, ao provarmos a congruência de ângulos opostos pelo vértice. Antes disso, nos valemos da experimentação constatando alguns fatos importantes por meio de atividades. Nos volumes do 8o e do 9o ano as demonstrações em Geometria são mais frequentes e têm o objetivo de desenvolver o raciocínio dedutivo e a argumentação lógica. Ao apresentar essas demonstrações, procuramos sempre respeitar o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas entendemos que é um tema indispensável em um livro didático.
No 9 o ano, vêm as equações do 2 o grau, desenvolvidas por meio de textos simples, que facilitam o progresso do aluno. Optamos por apresentar as equações biquadradas, irracionais e fracionárias, uma vez que são conteúdos necessários no Ensino Médio.
Definições, conceitos e propriedades geométricas importantes são revisitados antes da apresentação de novos conteúdos. Entendemos que a construção do conhecimento geométrico acontece de forma acumulativa e fica facilitada se apoiarmos novos conhecimentos em
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conhecimentos anteriores e se articularmos, sempre que possível, Geometria com Medidas e com Álgebra. Para isso, apresentamos textos acessíveis e atividades interessantes, diversificadas. Outro aspecto valorizado na obra é o uso do material de desenho geométrico. Ensinamos a usar o transferidor na Unidade 9 do 6o ano, e, nos volumes do 7o e 8o anos, os alunos são convidados a fazer construções com régua, compasso e transferidor em várias oportunidades. Consideramos a prática com material de desenho desejável em todos os anos. Objeto
Medidas
educacional digital
As medidas fazem parte de nosso dia a dia e constituem um conhecimento necessário nas mais variadas profissões. Além da importância social, esse tema mostra também ao aluno, com clareza, a utilidade do conhecimento matemático em seu cotidiano. Balanças, fitas métricas, relógios e termômetros, por exemplo, envolvem situações com medidas. Tais situações são a base para a criação de diversos problemas interessantes e significativos aos alunos. É importante que todos vivenciem experiências concretas com medidas. Assim como fizemos com Geometria, o trabalho com Medidas se estende por toda a coleção, possibilitando melhor compreensão do mundo físico e integração com outras áreas do conhecimento. Sempre que foi adequado ao contexto, incluímos medidas nos exemplos e atividades dos conteúdos de Álgebra, Geometria, Estatística e no Tratamento da Informação (construção de gráficos). No volume do 6o ano, trabalhamos com cuidado a construção do conceito de medida, que será revisitado e consolidado nos demais volumes. Muitas das dificuldades dos alunos no trato com medidas e conversões entre unidades vêm de um conceito de medida mal desenvolvido. Abordamos, ao longo da obra, medidas de comprimento, de massa, de tempo, de área, de volume, e, também, medidas de ângulos.
Razões, porcentagens e proporcionalidade As ideias e aplicações de razões, porcentagens e proporcionalidade são abordadas em unidades específicas em todos os volumes da coleção.
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No 9o ano, retomamos o conceito de razão para definir segmentos proporcionais, antes de demonstrar o teorema de Tales. No volume do 7o ano, a Unidade 5 dedica-se especificamente a razões e porcentagens. Destacamos nossa preocupação com o cálculo mental de porcentagens básicas e com o uso da calculadora como facilitadora no cálculo de porcentagens frequentes no dia a dia das pessoas. O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem importância significativa para o conteúdo de Matemática do Ensino Fundamental, para o cotidiano e, futuramente, para a vida profissional dos alunos por isso, no 8o ano este conhecimento é retomado e aprofundado. No volume do 9o ano, problemas mais complexos envolvendo porcentagens e noções sobre cálculo de juros são abordados na Unidade 10, proporcionando um primeiro contato com a Objeto Matemática Financeira. educacional
Tratamento da Informação e Estatística
digital
O tema Estatística também é constante em toda a obra, em razão de sua importância na sociedade atual. Encontramos gráficos, tabelas e dados estatísticos em jornais, revistas e meios de comunicação em geral: faz parte do cotidiano da população. Aproveitando sempre o conhecimento prévio dos alunos, essa coleção retoma e amplia conhecimentos básicos em Tratamento da Informação e Estatística. É importante que o aluno seja capaz de ler uma tabela, calcular médias, construir e interpretar gráficos estatísticos para analisar situações, fazer previsões e escolher rumos de ação. Por isso, a coleção traz, sempre que possível, atividades relacionadas à leitura de tabelas e de gráficos em todos os volumes. Unidades e seções específicas foram dedicadas ao estudo de gráficos e sua apresentação. Explicamos como construir diversos tipos de gráficos: de barras, colunas, setores, linhas e pictogramas. Deixamos espaço para que você enriqueça as aulas com atividades que abordem temas atuais, do contexto dos alunos. Incluem-se na abordagem de Estatística os problemas de contagem e noções de
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probabilidade trabalhados gradualmente desde o 6o ano. Por meio de problemas, pretendemos desenvolver o raciocínio combinatório dos alunos, a compreensão do princípio multiplicativo e de ideias básicas sobre o cálculo de probabilidades que serão complementadas no Ensino Médio.
Funções Desde o 6o ano e de forma mais específica a partir do 8o ano, trabalhamos com a observação e generalização de padrões, a relação de interdependência entre grandezas, o reconhecimento e uso de variáveis, a escrita e aplicação de fórmulas para representar algebricamente a relação entre variáveis. O conceito de função, tratado informalmente desde os anos anteriores como preparo para o 9o ano, é trabalhado com mais facilidade e desenvolvido com o título “Funções”. Procuramos torná-lo menos formal, uma vez que esse conteúdo é retomado e aprofundado no Ensino Médio. Na Unidade 4, definimos função, damos noções de domínio e imagem e representamos funções por meio de diagramas de flechas. Em seguida, o aluno trabalhará com gráficos e lei de formação, terá um primeiro contato com as funções do 1o e do 2o graus e com o tipo de gráfico que as representa. Observará a simetria nas parábolas e o ponto de vértice, determinará zeros se existirem, tendo noção geral sobre funções do 1o e do 2o graus. A ênfase está em saber reconhecer uma função, identificar e interpretar suas variáveis e utilizar suas formas de representação – tabela de valores, lei de formação e gráfico –, para depois obter informações sobre o comportamento das grandezas da função. É sempre desejável usar como base situações da realidade dos alunos e mostrar aplicações práticas para o estudo de funções.
A interdisciplinaridade na obra
Objeto educacional digital
Entendemos que os diversos componentes curriculares tradicionais, como Matemática, Português, Ciências etc., além de cumprirem objetivos próprios, específicos, devem servir de
canal de ligação entre situações reais e o que se aprende na escola. Na vida, a maioria dos fatos não acontece de forma compartimentada, não pertencem exclusivamente ao âmbito de uma única disciplina. O entendimento, ou o enfrentamento de uma questão real, depende da capacidade de mobilizar e articular diversos conhecimentos, vindos das mais variadas fontes. Nesta obra, procuramos, em primeiro lugar, relacionar os diferentes campos da Matemática entre si e com a vivência cotidiana e do trabalho. A segunda prioridade foi estabelecer um vínculo com a linguagem, tanto oral como escrita, procurando desenvolver a comunicação eficiente na língua materna e na linguagem simbólica da Matemática. O aluno será convidado constantemente a ler, escrever e se expressar oralmente, pois acreditamos que as habilidades de comunicação são verdadeiramente interdisciplinares. Apresentamos nos comentários de muitas unidades sugestões para trabalhos integrados com outras disciplinas, dando ideias de como isso pode acontecer. Também abordamos no Livro do Aluno e aqui, no Manual do Professor, o trabalho com temas importantes para a formação cidadã, como: questões ambientais, orçamento familiar, alimentação, saúde e educação financeira, entre outros. Acreditamos que todas as reflexões a respeito da interdisciplinaridade apontam para um objetivo comum: desfragmentar o conhecimento, oferecendo aos alunos a oportunidade de enxergar um fato de diversas ópticas, buscando formar uma rede em que um saber se entrelaça com muitos outros e dá significado a cada um deles. Isso não quer dizer que não deva haver uma ordem, uma organização na construção dessa rede, de forma a torná-la mais firme. Um planejamento bem organizado pode ajudar a estabelecer ligações entre temas da própria disciplina e entre esta e outras áreas da atividade humana. Fechamos esses comentários com o trecho de um artigo escrito pelo professor Nílson José Machado, que pode ser útil em sua reflexão sobre o tema.
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A rede e as disciplinas [...] De modo algum a concepção de conhecimento como uma rede de significações implica a eliminação ou mesmo a diminuição da importância das disciplinas. Na construção do conhecimento, sempre serão necessários disciplina, ordenação, procedimentos algorítmicos, ainda que o conhecimento não possa ser caracterizado apenas por estes elementos constitutivos, isoladamente ou em conjunto. Afirmar que os procedimentos algorítmicos não esgotam os processos cognitivos não significa que tais procedimentos possam ser dispensados: seguramente não o podemos. Em uma analogia com os relacionamentos funcionais no estudo dos fenômenos naturais, é tão verdadeiro que nem todos os fenômenos podem ser expressos por funções lineares quanto o é que nenhum fenômeno pode ser funcionalmente descrito sem referência aos processos lineares, ainda que com a mediação do Cálculo. Por mais que se pretenda desenvolver a imagem alegórica da teia cognitiva, a ser desenvolvida de modo contínuo e permanente a partir da prototeia com que todos aportamos à escola, sempre será necessário um mapeamento para ordenar e orientar os caminhos a seguir sobre a teia. As disciplinas são os fornecedores naturais de tais mapeamentos. Em múltiplos sentidos, pois, a escola será sempre um espaço propício ao trabalho disciplinar. [...]
O caso da Matemática No caso específico da Matemática, uma reflexão crítica sobre o papel que ela deve desempenhar na configuração curricular é imprescindível e inadiáveI. Em todas as sistematizações filosóficas, constatamos a importância do papel que lhe é destinado, bem como a influência que dele se irradia para todos os relacionamentos disciplinares. A ideia cartesiana da Matemática como a seiva/condição de possibilidade de todos os ramos do conhecimento, apesar de significações distintas das de Comte ou de Piaget, partilha com as mesmas o fato de não atribuir uma especial relevância à língua nossa de cada dia. A nosso ver, essa é a correção de rumo absolutamente fundamental para uma reconstrução da árvore cartesiana – ou do círculo piagetiano: a língua e a Matemática constituem os dois sistemas básicos de representação da realidade. São instrumentos de expressão e de comunicação e, conjuntamente, são uma condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área. O par língua/Matemática compõe uma
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linguagem mista, imprescindível para o ensino e com as características de um degrau necessário para alcançar-se as linguagens específicas das disciplinas particulares. Nesse sentido, as palavras de Gusdorf são incisivas: “Estudos interdisciplinares autênticos supõem uma pesquisa comum e a vontade, em cada participante, de escapar ao regime de confinamento que lhe é imposto pela divisão do trabalho intelectual. Cada especialista não procuraria somente instruir os outros, mas também receber instrução. Em vez de uma série de monólogos justapostos, como acontece geralmente, ter-se-ia um verdadeiro diálogo, um debate por meio do qual, assim se espera, se consolidaria o sentido da unidade humana... A determinação de uma língua comum é a condição do surgimento de um saber novo” (1984: 35). A nosso ver, tal língua comum deve ser uma linguagem mista, cujos ingredientes seriam, precisamente, a língua materna e a Matemática. MACHADO, Nílson José. Interdisciplinaridade e Matemática. Pro-Posições, Campinas, v. 4, n. 1 [10], mar. 1993. Disponível em: . Acesso em: 21 fev. 2015.
O uso de paradidáticos nesta obra Indicamos a leitura de algumas obras que podem ser encontradas nas bibliotecas da escola. Esses títulos possibilitam, além do trabalho com leitura, o desenvolvimento de atividades que articulam outros componentes, conforme citamos a seguir. O Programa Nacional Biblioteca da Escola (PNBE) é responsável pela avaliação e distribuição de algumas dessas obras. Saiba mais detalhes sobre o programa acessando o endereço eletrônico: www.fnde.gov.br/programas/ biblioteca-da-escola/ biblioteca-da-escola-apresentacao
A distância das coisas Sugerimos a leitura do livro A distância das coisas, de Flávio Carneiro (referência completa no final deste texto). Embora conte a história de um adolescente que suspeita que sua mãe não morreu em um acidente e decide descobrir a verdade, há momentos em que é possível estabelecer conexões entre o texto e a Matemática, de forma proveitosa.
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Esse trecho pode dar margem a uma conversa com os alunos, que partiria de questões como: ◆◆
Quando resolvemos questões em Matemática, nos valemos de métodos ou procedimentos organizados? Estas práticas nos auxiliam na resolução?
◆◆
Ao resolver um problema em Matemática é comum primeiro organizarmos nosso pensamento, imaginando uma estratégia para a resolução?
◆◆
Quem quer contar como costuma proceder quando tem de resolver um problema de Matemática?
◆◆
Nos problemas comuns do cotidiano – como organizar uma escrivaninha ou um armário, descobrir o melhor caminho para a casa de um colega, montar um belo sanduíche etc. – utilizamos métodos ou processos organizados?
A discussão teria como levá-los a perceber que os processos mentais organizados são facilitadores em várias atividades humanas e que o aprendizado da Matemática oferece oportunidades para desenvolver esses processos. Feche a roda de conversa retomando o que sugerimos no item Matemática e resolução de problemas na página 310. Mais adiante, no desenrolar da história, há outra oportunidade de trabalho com medidas. O autor é feliz ao relacionar inicialmente medidas com culinária, trazendo questões como: Uma “pitada” é quanto? Um “pouquinho” é quanto? O autor extrapola os exemplos para os relacionamentos pessoais, falando de abraços fortes, médios, fracos, levando a refletir sobre a relatividade de alguns conceitos como muito ou pouco. Explique aos alunos que, em Matemática, medir é comparar e para comparar é preciso de uma referência, daí a necessidade de haver uma unidade para servir de padrão. Deixe que conversem sobre isso. Você pode pedir que pensem
em exemplos nos quais é necessário ter medidas precisas (nos cálculos para a construção de um edifício, por exemplo) e outros em que um valor aproximado é suficiente. Fale da importância das estimativas e da criação de um sistema internacional de unidades padronizadas para facilitar o relacionamento entre os povos, principalmente no comércio e nas Ciências. Você pode propor que façam um pequeno texto resumindo tudo o que discutiram. CARNEIRO, Flávio. A distância das coisas. São Paulo: Edições SM, 2008.
Edições SM
Nas páginas iniciais do romance, o garoto discorre sobre a importância de criar e utilizar métodos para facilitar a execução de tarefas, das mais básicas, às mais complicadas. Ele diz inclusive que sua mãe estranhava o fato de ele ter boas notas em Matemática e mesmo assim ter tanta dificuldade para organizar, ordenar e estabelecer procedimentos.
Contos e lendas da Amazônia A Amazônia não é apenas rica em recursos naturais. É também fonte de cultura popular, nas lendas e tradições indígenas que fazem parte da identidade brasileira. O livro Contos e lendas da Amazônia (ver referência completa ao final do texto), traz 25 histórias sobre a região, em meio a bichos, plantas, rios, mulheres e homens corajosos e apaixonados. Dentre elas destacamos “O grande rio sai dos potes de água”, lenda sobre a origem do Rio Amazonas, “Melhor virar bicho que o homem não come”, crença indígena sobre a origem dos animais, e “Ajuricaba não se rende ao homem branco”, que conta a saga do bravo índio que lutou contra a escravidão de seu povo pelos colonizadores. A terra onde viveu deu origem à capital do Amazonas: Manaus. Esse livro possibilita um trabalho interdisciplinar proveitoso, que pode envolver História, Geografia, Língua Portuguesa e, por que não, Matemática. No livro do 7o ano os alunos trabalharão com tabelas, gráficos de barras e de setores e pictogramas. Pode-se propor a pesquisa e análise de dados sobre vários aspectos da Amazônia. Exemplos: ◆◆
área ocupada por esse bioma, porcentagem de vegetação remanescente, situação do desmatamento, reservas de água;
◆◆
espécies endêmicas, variedade de animais e de plantas, animais ameaçados de
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extinção, agricultura, pecuária e projetos que visam à sustentabilidade; ◆◆
população, ocupação indígena ao longo da história, direitos e demarcação de terras, qualidade de vida, dados sobre educação, moradia e saúde na região.
Apresentamos a seguir alguns dados sobre o povo indígena no Brasil e a situação da Amazônia. Em 2010 havia 896 mil índios no Brasil de acordo com o Censo IBGE, 168 680 deles vivendo no estado do Amazonas. Em 2014 eles ocupavam 709 áreas indígenas, somando mais de 111 milhões de hectares de terra. A Constituição Brasileira, em seu artigo 231, assegura aos índios a manutenção do seu modo de organização social, costumes, crenças, tradições e direitos sobre terras que devem ser demarcadas e protegidas pela União.
Porcentagem de índios na população brasileira
Desmatamento na Amazônia Ano
Área desmatada (km²)
Ano
Porcentagem
2006
0,28
2008
12 911
2007
0,29
2009
7 464
2008
0,28
2010
7 000
2009
0,22
2011
6 418
2010
*
2012
4 571
2011
0,40
2013
5 891
2012
0,30
2014
4 848*
2013
0,34
Fonte: PNAD 2013. * O critério do Censo 2010 não possibilita comparação.
*Dado preliminar. Fonte: Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe).
Sugerimos também fontes para a pesquisa de vários desses temas. www.amazonas.am.gov.br/o-amazonas/dados www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/ censo2010/default.shtm www.wwf.org.br/natureza_brasileira/ areas_prioritarias/amazonia1
PRANDI, Reginaldo. Contos e lendas da Amazônia. São Paulo: Cia. das Letras, 2011.
302
Editora Cia. das Let
ras
www.ccst.inpe.br/wp-content/uploads/2014/10/ Futuro-Climatico-da-Amazonia.pdf
Tá falando Grego? Sugerimos a leitura do livro Tá falando Grego?, de Ricardo Hofstetter (ver referência completa ao final do texto). Três adolescentes viajam no tempo depois de resolverem equações do 1o grau encontradas num livro antigo e misterioso. As soluções das equações eram transformadas em uma sequência de notas musicais que, quando tocadas, tinham o “poder” de levar as pessoas para outras épocas. O destino dos jovens é a Grécia Antiga, onde encontram o avô de um deles, que anos antes também viajara por meio do livro. Os adolescentes conhecem o grande filósofo Sócrates, que é amigo do avô, e passam a conhecer aspectos da Grécia Antiga, o que oferece a oportunidade de integração com História. Em relação à Matemática, pode ser proposta uma pesquisa sobre as contribuições de pensadores gregos, como Pitágoras, Arquimedes, Eratóstenes, Euclides, entre outros, para essa ciência, localizando a época em que viveram. Entre outros temas, a pesquisa pode ressaltar a importância de Sócrates para a filosofia ou a escola pitagórica. Inserimos alguns endereços da internet como referência para essa pesquisa, que pode ser uma tarefa de casa, socializada depois em sala de aula por meio de uma roda de conversa. O passo seguinte vem da trama, pois a equação que pode levá-los de volta ao presente é roubada por Anaximandro, que imagina que nela se encontra a chave para encontrar o valor exato da raiz quadrada de 2. Na unidade 1 do livro do 8o ano apresentamos os números irracionais tomando como exemplo raiz quadrada de 2 e demonstrando que esse número não pode ser escrito na forma de fração, o que complementa de forma adequada o enredo do livro. Faça essa ligação mostrando passo a passo a demonstração, ressaltando que Aristóteles chegou a ela também por redução ao absurdo, anos depois de Sócrates ter vivido. Complemente contando mais detalhes aos alunos sobre o quanto a descoberta de que havia números não racionais abalou os matemáticos da Grécia Antiga. Fale sobre Hipasus de Metapontum: alguns atribuem a ele a descoberta de que havia números não racionais, outros datam essa descoberta em cerca de 50 anos mais tarde. Há relatos sobre
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Sugestões de sites para pesquisa http://revistaescola.abril.com.br/formacao/ mestre-busca-verdade-423245.shtml http://matematica.no.sapo.pt/pitagoras.htm
HOFSTETTER, Ricardo. Tá falando Grego?. Rio de Janeiro: Rocco, 2012.
Editora Rocco
www.dec.ufcg.edu.br/biografias/HipasusM. html
A fábrica de robôs Robôs inteligentes, tão perfeitos que podem ser confundidos com seres humanos, capazes de fazer tudo e que, em certo momento, podem transformar-se numa ameaça para a humanidade. Este tema da ficção científica é recorrente e inúmeras vezes foi explorado em filmes e livros, tendo como pano de fundo os dilemas éticos e científicos ligados ao progresso tecnológico e ao desenvolvimento da inteligência artificial. Até que ponto a tecnologia será benéfica? Quem definirá para que finalidades servirá? O livro A fábrica de robôs (ver referência completa ao final do texto) foi escrito em 1920, quando nem sequer havia computadores, mas permanece atual, pois discute a substituição do trabalho humano pelo dos robôs e as consequências disso, uma vez que as pessoas não precisariam conquistar nada pelo próprio esforço. Vale comentar que em tcheco, língua do autor, robô significa servidão, trabalho forçado. Consta que essa palavra foi empregada pela primeira vez nessa obra, sendo posteriormente incorporada por outros idiomas. A leitura do livro pode ser trabalhada em História, Matemática e Ciências. Em 1920, logo após a 1a Guerra Mundial, o nazismo e o stalinismo estavam em fase de idealização, o que possibilita contextualizar historicamente a obra.
Matemática e Ciências podem propor primeiramente que os alunos façam uma pesquisa sobre as perspectivas de avanço e a história da busca pela inteligência artificial para, com base nos resultados, promover debates sobre as implicações envolvidas nos campos moral, ético, tecnológico e biológico. O momento também é oportuno para discutir tecnologias já disseminadas no mundo e seus impactos na vida das pessoas, por exemplo, a possível diminuição da privacidade trazida pela internet. Apresentar na escola ou sugerir que procurem assistir a filmes que são referência nesse tema, como Blade Runner, Matrix ou Eu Robô (clássico da literatura adaptado para o cinema) pode motivar os alunos para a pesquisa. O assunto deve interessar aos jovens, e a pesquisa pode ser feita na própria escola, se houver internet disponível. Não é raro jornais e revistas trazerem reportagens sobre avanços nessa área. Apresentamos a seguir sugestões de endereços eletrônicos que podem ser úteis. www.tecmundo.com.br/inteligencia-artificial http://revistaescola.abril.com.br/ciencias/ fundamentos/inteligencia-artificial-onde-ela -aplicada-476528.shtml www.nce.ufrj.br/GINAPE/VIDA/ia.htm www.citi.pt/educacao_final/ trab_final_inteligencia_artificial/ia.html Editora Hedra
Hipasus ter sido expulso da escola pitagórica por ter revelado a outros o que sabia. As datas e os fatos responsáveis pela descoberta desses números são incertas, mas todos apontam sua origem na Geometria.
TCHÁPEK, Karel. A fábrica de robôs. São Paulo: Hedra, 2010.
Tecnologia nesta obra A palavra tecnologia está comumente associada ao uso de máquinas como calculadoras e computadores, mas em sua origem grega (τεχνη – técnica, arte, ofício, e λογια – estudo), observamos que seu significado pode ser mais amplo. Entendemos tecnologia como o estudo e aplicação de conhecimentos técnicos e científicos na construção de processos, ferramentas ou materiais que possam facilitar determinadas tarefas.
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É claro que a informática e seus recursos, por toda a gama de possibilidades que oferecem, têm lugar de destaque quando se fala em tecnologia hoje, mas o uso de um jogo feito em papel, um exercício de recorte e montagem de modelos de sólidos geométricos em cartolina e um ábaco de arame para efetuar operações também são exemplos de tecnologia. Esta deve servir para facilitar o aprendizado e torná-lo mais significativo e eficiente, sejam quais forem os recursos utilizados.
os volumes referidos no Manual, são momentos em que procuramos aproveitar estratégias alternativas de avaliação – como trabalho em grupo, pesquisa, jogos, resolução de problemas, elaboração de painéis – em avaliações de conteúdos pertinentes à unidade. Finalmente, temos neste Manual um item 5. Avaliação – O que se pede por aí.
Nesta coleção procuramos trabalhar com esses dois tipos de tecnologia. No Livro do Aluno, propomos o uso da calculadora e nele exploramos a tecnologia citada anteriormente: recursos didáticos que envolvem construções, manipulação de objetos e jogos, pois os materiais necessários para o uso desses recursos podem ser facilmente encontrados, já que computadores ou tablets talvez ainda não estejam disponíveis em muitas escolas. No manual sugerimos, para todas as unidades do Livro do Aluno, sites interessantes, objetos educacionais e jogos on-line, todos eles comentados. Incluímos também opções para o uso de s oftwares e aplicativos gratuitos. Caberá a você, professor, selecionar aqueles que a infraestrutura da escola possibilita usar.
Essa distribuição do tema ao longo do Manual e dos livros didáticos tem por objetivo garantir que uma proposta consistente e atual de avaliação continuada esteja impregnada ao trabalho cotidiano do professor.
2. Ideias sobre a avaliação em Matemática Neste Manual, vamos tratar de Avaliação em vários momentos. O primeiro é exatamente neste item que estamos começando, o qual contém ideias gerais e relevantes sobre avaliação em Matemática, e ao qual seria útil que o professor voltasse periodicamente para releituras. Outros dois aparecem nas unidades de cada volume neste Manual: a “Ficha de acompanhamento do meu desempenho”, o subitem Avaliação. A Ficha de acompanhamento do aluno será apresentada neste item. O lembrete para o professor distribuí-la aos alunos, que aparece no item 4. do Manual do Professor de cada volume desta coleção, deve valer para todas unidades de todos os volumes e é um modo de garantir seu uso ao longo do ano escolar. O subitem Avaliação, presente em todas unidades de todos
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Lembramos que o tema Avaliação comparece também no livro do aluno, especialmente na sessão Autoavaliação.
Entendemos a avaliação como parte integrante do processo ensino-aprendizagem, cujo objetivo não é somente verificar (por meio de uma medição) a quantidade de informações “retidas” pelo aluno ao longo de determinado período. O conhecimento é construção humana e social, e nosso saber não é construído de um dia para outro, de uma situação para outra, do não saber ao saber tudo. Cada indivíduo trabalha e reelabora, de forma particular, as informações recebidas, daí a necessidade de se considerar, na avaliação, não somente o produto, mas, principalmente, o processo. Avaliar de forma contínua possibilita checar progressos e dificuldades ao longo de um período, e não só no final. As provas formais, por exemplo, são instrumentos válidos e importantes, estarão presentes posteriormente na vida dos alunos em concursos, vestibulares, seleção profissional, e eles devem ser preparados para realizá-las. No entanto, durante a escolaridade básica pode-se trabalhar com instrumentos avaliativos mais diversificados, como avaliações orais, com consulta a caderno ou livro, tarefas, produções em casa e em classe, postura acadêmica, entre outros. Isso amplia o seu olhar, levando-o a perceber alunos que se saem melhor oralmente, outros em trabalhos de grupo, e assim por diante. Na elaboração de instrumentos mais formais, como provas, é importante que a resolução de uma questão não tenha o objetivo de
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pontuar unicamente: deve revelar se as habilidades e competências foram ou não alcançadas. Na totalidade das questões, não se deve considerar a soma de pontos, e sim um conjunto de habilidades e competências adquiridas, e outras que necessitam ser mais bem trabalhadas. Por isso, acreditamos que, na elaboração de uma avaliação formal, primeiro é preciso estabelecer os objetivos e as habilidades que serão observadas em cada questão, e só então escolher a questão propriamente dita. O critério de escolha da questão deve ser a busca da mais adequada para checar a aquisição das habilidades pretendidas – e não o contrário. É necessário considerar que a avaliação é um recurso a serviço do desenvolvimento do aluno, que tem o objetivo de levá-lo a assumir um compromisso com a própria aprendizagem. Envolver o aluno no processo de avaliação é importante. Ele deve saber quando e como será avaliado e, principalmente, o que se espera dele em cada etapa do aprendizado. O aluno deve ser convidado a refletir sobre seu desempenho e, em conjunto com o professor ou algum outro orientador e em parceria com a família, estabelecer ações que o ajudem a melhorar seus resultados. Desse modo, a avaliação é um instrumento de acompanhamento e regulação do ensinar-aprender e oferece elementos para uma revisão da postura de todos os componentes desse processo (aluno, professor, conteúdo, metodologia e instrumentos de avaliação). Isso significa que por meio da avaliação você pode fazer um diagnóstico e, com base nele, tomar ações necessárias para corrigir rumos, renovando sempre o compromisso com a aprendizagem. Apresentamos a seguir algumas sugestões para facilitar os registros num processo de avaliação contínuo e abrangente. Acreditamos que essas fichas podem ser agregadas ou adaptadas à realidade de cada escola, ou servirem de referência para novas ideias.
Sugestões de registros – avaliação continuada Fichas de acompanhamento e autoavaliação – alunos Sabemos que o compromisso do aluno com sua própria aprendizagem é uma das premissas para o sucesso escolar. Uma proposta é tentar torná-lo seu parceiro no processo de ensinar e de aprender. É importante efetivar a participação do aluno no desenvolvimento do curso. Por exemplo: antes do início de um conteúdo, proponha um cronograma de trabalho com o número de aulas previsto para cada assunto, compartilhe com eles os objetivos e as atividades que farão (trabalhos, provas, leituras etc.). Tudo isso, é claro, considerando o nível de compreensão e de atuação da turma. A ficha a seguir pode ajudar nessa tarefa.
Assunto
Objetivos
Conjuntos numéricos
Compreender os diversos tipos de números como criações humanas, analisando as necessidades que levaram à criação. Classificar os números em conjuntos.
◆◆
Período
3/3 a 24/3
Número de aulas previstas
Palavras-chave
15
Números naturais, inteiros, racionais, reais, dízimas, (pi), números irracionais, reta numérica.
Leituras
p. 7, 8, 9 p. 11 e 12 p. 14 e 15 p. 17 e 18 p. 20, 21, 22 p. 25 e 27
Atividades avaliativas
Texto de criação coletiva envolvendo a ampliação dos conjuntos numéricos.
A ficha, preenchida em conjunto com o aluno, oferece a ele a oportunidade de acompanhar o desenvolvimento do curso, saber com antecedência o que será abordado nas aulas, os objetivos do tema, os textos que deverá ler e em que atividades será avaliado.
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◆◆
No verso da ficha pode ser colocada uma tabela para autoavaliação. Veja um modelo de tabela a seguir. Ficha de acompanhamento do meu desempenho
Conteúdo Adição e subtração de frações
Simetria
Data
5/8
10/8
Tarefa/ Atividade Exercícios da p. 193
Atividade em grupo na classe, p. 171
Fácil
Média
X
X
Difícil
Dúvidas, observações e ideias
Como estou em relação a este item?
Às vezes esqueço de simplificar o resultado.
Exercícios corrigidos na lousa: só errei o 46, mas agora entendi.
Achei que o paralelogramo tinha eixo de simetria, e não tem. Não lembrava o que eram “polígonos regulares”, reli o texto do livro sobre isso.
Meu grupo acertou todas as questões, menos a do paralelogramo. Descobrimos que os polígonos regulares têm número de eixos de simetria igual ao número de lados.
Nos anexos deste Manual você encontra as fichas destes exemplos disponíveis para cópia, atendendo a todas as unidades.
Algumas ideias sobre a prática com esse tipo de ficha O aluno deve incorporar aos poucos a ficha à rotina, percebendo que não é uma folha de papel a mais, mas um instrumento útil na gestão de seu aprendizado. Para isso, é preciso criar demandas que sistematizem seu uso, tais como: ◆◆
introduza a ficha aos poucos, até passar a considerá-la material obrigatório na aula;
◆◆
retome constantemente a ficha para verificar o caminho já percorrido, ajustar o cronograma e discutir o aproveitamento;
◆◆
mantenha o aluno ativo no processo por meio de questões como: O que já aprendemos até aqui?, Precisamos retomar alguma coisa?, Quais das palavras-chave já conhecemos?, Estamos dentro do cronograma?, Estamos atrasados (ou adiantados)? Por quê?, Quais serão nossas próximas ações?;
◆◆
valorize o aluno que usa a ficha para preparar-se previamente, que lê o texto a ser abordado e traz questões ou dúvidas. Use, sempre que possível, as observações ou questões trazidas por ele para encaminhar a aula;
◆◆
mostre a todos que esse aluno aproveita melhor, aprende mais e ajuda a enriquecer a aula, motivando o resto da turma a experimentar o preparo prévio;
◆◆
observe e incentive o uso da ficha de autoavaliação. É importante acompanhar os registros periodicamente; por exemplo: destine 20 minutos de uma aula para recolher um número de fichas (de metade da classe, por exemplo), enquanto eles fazem alguma atividade, e observe cada uma junto com o aluno. Trabalhe de modo que, ao final de um mês, a ficha tenha sido avaliada duas vezes, assim você poderá perceber dificuldades, progressos etc.
Todas essas propostas devem ser realizadas com constância, e sabemos que adquirir uma postura e cultivá-la leva tempo e exige paciência. No entanto, se pensarmos que em algum momento os alunos assumirão seu papel de forma consciente e participativa no processo de ensino-aprendizagem, todo esforço terá valido a pena.
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Fichas de acompanhamento – professor O Manual do Professor dessa coleção traz sugestões de instrumentos diversificados para avaliação, contemplando atividades individuais e em pequenos grupos, feitas com ou sem consulta ao material didático, além de outras atividades orais ou por escrito para serem feitas em classe ou em casa. Em algumas das sugestões, incluímos fichas de acompanhamento específicas para o item em questão. A seguir, mostramos outros modelos que podem ser úteis para a avaliação contínua de atividades que envolvam resolução de problemas, desenvolvimento de habilidades de leitura, escrita e oralidade e também para observação dos aspectos atitudinais de cada aluno. Essas fichas estão disponíveis para cópia no final do manual. Resolução de problemas - S (sim) n (Não) I (requer investimento) Identifica e compreende o contexto do problema?
Seleciona dados e identifica o que se quer saber?
Propõe e executa estratégias pertinentes para resolver o problema?
Faz registros corretos e claros?
Resolve e verifica a validade da resposta, apresentando-a corretamente?
Adriana
S S S
I S S
I I S
I S S
N S S
Bernardo
N I S
N I S
I S S
I S S
N S S
Cristina
…
…
…
…
…
Nome
Habilidades de leitura, escrita e oralidade E (eficiente para a faixa etária) I (requer investimento) Nome
Identificação Leitura Compreensão de informações em do texto no texto voz alta
Expressão oral
Articulação de ideias e argumentação
Escrita na língua materna
Escrita na linguagem matemática
Daniel
E
I
I
E
I
I
I
Ester
E
E
E
I
E
I
E
Fabiana
…
…
…
…
…
…
…
Aspectos atitudinais e procedimentais E (excelente) B (bom) I (requer investimento) N (não adequado)
Nome
Desempenho nas Relacionamento Realização Postura Material, atividades em grupo: das tarefas com colegas, disciplinar Contribuição organização respeito, colaboração, de casa e de professor e – atenção e dos para a aula organização, classe funcionários envolvimento registros criatividade
Giovana
B
I
N
B
N
I
Helen
E
B
E
I
B
I
Ícaro
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…
…
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Como leitura complementar sobre avaliação, sugerimos a edição especial do Boletim de Educação Matemática (Bolema), cujo tema é a avaliação em Educação Matemática. A edição especial de número 33, volume 22, de agosto de 2009, está integral e gratuitamente disponível em: www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/ index.php/bolema/issue/view/778 Acesso em: dez. 2014.
Sobre o erro Sempre falamos sobre a importância de considerar os erros que os alunos cometem como uma estratégia de aprendizagem. O texto a seguir é excerto do fascículo 8 do programa de formação continuada Pró-letramento em Matemática do Ministério da Educação e Cultura e reitera essa disposição de ver nos erros a possibilidade de perceber o desempenho do aluno e, com isso, criar alternativas para orientá-lo. [...] A importância que se dá ao erro é uma questão fundamental no processo avaliativo. O erro representa, entre outras manifestações do aluno, indícios do seu processo de construção de conhecimentos. Pode indicar caminhos diferentes daqueles que o professor espera. O professor ou a professora, frente ao erro, pode compreender esse novo trajeto seguido pelo aluno, valorizando a sua produção e buscando converter “o não saber, estático, negativo e definitivo, em ainda não saber, provisório, relativo e potencial” (ESTEBAN, 2001, p. 23). A autora considera excludente a dicotomia entre o acerto e o erro, tornando a avaliação escolar uma prática que desvaloriza os saberes, impede o diálogo, funcionando como instrumento de controle e de limitação das atuações, tanto de alunos como de professores e professoras, no contexto escolar. Ela também destaca que aquilo que dizemos sobre o nosso aluno é apenas uma parte do que pode ser dito, ou seja, é apenas o que nós vimos.
também decide que tipos de encaminhamentos e intervenções deve inserir em sua prática pedagógica para que o aluno supere a sua dificuldade inicial. Nesse caso, o professor ou a professora considera não apenas o que o aluno foi capaz de fazer, mas também aquilo que ele já sabe fazer, para, a partir disso, planejar as atividades seguintes. Reportamo-nos agora a algumas questões colocadas no Fascículo I [...] sobre números naturais. Está proposto, ao final dos episódios (trabalho do primeiro encontro), como tarefa, que sejam analisados os trabalhos de Alice, Juliana e Mariana. Quando é perguntado: O que ela acerta? O que ela erra?, tais questões estão sugerindo uma atenção sobre o que o aluno revela saber no processo que ele construiu e que talvez não tenha manifestado para chegar até sua resposta. No caso de Juliana, poderíamos refletir sobre a possibilidade de outra explicação para o registro que ela fez do número 21. A partir da manifestação do aluno, é possível acompanhar seu processo de construção da notação do número e interferir, se for o caso, mas a partir do que ele está compreendendo dessa representação. Em muitas situações-problema em Matemática, não há um padrão de resposta. Pode acontecer que o resultado numérico seja um, mas o processo de resolução até chegar a esse resultado seja construído de diversas maneiras, manifestando a compreensão que o aluno teve da situação-problema. A observação atenta a esses diferentes caminhos traçados pelos alunos compõe, entre outras formas e instrumentos utilizados, o processo de avaliação da aprendizagem. Será que todos os alunos precisam resolver um cálculo matemático da mesma forma como a professora o resolve? É importante destacar que as nossas soluções não são únicas, como ilustra a situação a seguir: Caroline, de 7 anos, aluna da 1a série do Ensino Fundamental, resolveu da seguinte forma o exercício apresentado pela professora: www.mec.gov.br
Uma mesma ficha pode conter o registro de várias atividades, assim você pode visualizar se houve progressos e os aspectos que precisam de mais atenção.
[...] Assim, ao avaliar uma situação, o professor ou a professora não apenas constata e pontua determinada dificuldade do aluno. O professor ou a professora
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Ao corrigir o exercício, a professora fez o seguinte comentário: Caroline, quase que você tira 10, pena que errou a ilustração, pois não desenhou os peixes que Jeremias pescou. Caroline, imediatamente, responde: Mas, professora, os peixes estão dentro da caixa que está na mão do Jeremias. É imprescindível ouvirmos a argumentação dada pelo aluno no processo de avaliação, oportunizando-lhe espaços para verbalizar o que lhe ocorreu ao resolver determinada situação. Tanto para si como para seus colegas a explicação dada pode provocar uma discussão na turma, que ajuda o aluno a organizar seus pensamentos e compreender sua solução e as dos colegas, que poderão ser diferentes da sua. Da mesma forma como está sendo proposto a você discutir com os colegas professores e professoras as soluções apresentadas nas atividades do curso, essa dinâmica pode ser aplicada com a turma, respeitando, é claro, o nível de argumentação dos alunos. [...] CHAMORRO, C. C. W. et al. Pró-letramento: Matemática. Fasc. 8. Brasília: MEC, 2008. p. 9-10.
Além de, como dito acima, criar oportunidades para os alunos explicarem sua forma de pensar antes de você considerar errada uma resolução, também são muito proveitosas atividades em que os alunos sejam incentivados a identificar erros em questões ou problemas. Apresentamos a seguir dois exemplos desses tipos de atividades. 1. Ana resolveu a expressão abaixo, mas se confundiu em uma das passagens. Identifique essa passagem, explique qual foi o engano cometido e refaça corretamente a expressão. 12 18 (5 1) 12 18 6 30 6 5 Espera-se que percebam o erro na terceira linha, explicando que Ana somou 12 + 18 quando deveria primeiro ter efetuado a divisão 18 : 6. 12 18 (5 1) 12 18 6 12 3 15 2. Identifique as afirmações falsas justificando as respostas. a) 1 é divisor de 30. b) 24 é múltiplo de 6. c) 1 é múltiplo de todos os números naturais. d) O maior divisor de 12 é 6.
Espera-se que identifiquem as afirmações c e d como falsas. Justificativas possíveis: c) 1 é divisor de todos os números naturais. d) O maior divisor de 12 é 12.
3. Educação e práticas metodológicas Como ensinar Matemática? Essa questão preocupa e ocupa a mente dos professores da disciplina. Levantamos alguns pontos e apresentamos a seguir sugestões sobre a postura e a prática docentes. A inspiração do texto vem de um artigo escrito por George Polya, intitulado “Dez mandamentos para professores”. O artigo é dirigido a professores de Matemática, mas pode ser aproveitado por professores de qualquer disciplina.
• Demonstre interesse e tenha domínio sobre sua aula Sem motivação, ninguém é capaz de motivar alunos para o aprendizado. Se você mostrar que não gosta de um assunto, dificilmente fará o aluno interessar-se por ele. Mostre os encantos da Matemática e seu entusiasmo por eles. Junto com a motivação para ensinar, deve estar, é claro, o preparo teórico. Elabore o plano de aula com cuidado, de forma que o aluno perceba consistência em seu trabalho. Você precisa mostrar-se seguro para gerar confiança.
• Estabeleça contato com os alunos Procure “enxergar” o conteúdo a ser ensinado sob o ponto de vista do aluno, interagindo com ele em sala de aula, atendendo às expectativas dele e sendo sensível às suas dificuldades.
• Adquira e use sua experiência A experiência prática – vivência de sala de aula – é condição básica para melhorar a prática docente. Se você é muito jovem, ouça os colegas de profissão mais experientes. Lembre-se de quando você mesmo era estudante e das qualidades dos mestres que mais o influenciaram no período escolar. Se já é professor há tempos, transmita aos mais jovens suas vivências e aproveite para aprender também com eles.
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• Corrija os erros por meio da valorização dos acertos O aluno que escuta sem parar “isso está errado”, provavelmente passará a detestar a Matemática e, consequentemente, o professor da disciplina. É difícil quebrar esse bloqueio e ter sucesso com quem passou por essa experiência. Os alunos não devem ter medo de experimentar, conjecturar e testar, mesmo que isso leve a um erro inicial. Localizar e compreender o motivo do erro muitas vezes ajuda a compreensão. A sugestão é valorizar o que foi feito corretamente, deixar o aluno descobrir o próprio erro e aprender com ele, por exemplo: “Você começou bem, esta parte está correta; mas, acompanhe comigo: o que você observa nesta etapa da resolução? Será que juntos podemos chegar à resposta correta?”.
• Ajude na medida certa e estimule-os a “aprender a aprender” Ajude os alunos – nem muito pouco (senão não haverá progresso), nem demais (para que o mérito da resolução seja deles). George Polya diz que o professor deve ser “uma espécie de parteira espiritual”, que dá ao aluno a oportunidade de descobrir coisas, fazer conjecturas e construir o próprio conhecimento. Você deve oferecer-lhes não apenas informações, mas, principalmente, estímulos para o desenvolvimento de atitudes que possibilitem a continuidade do aprendizado pelo resto da vida deles, despertem o gosto pela investigação, a criação de hábitos de estudo, autoconfiança e disciplina.
O autor acrescenta: “A maneira como você ensina pode ser mais importante, nas aulas de Matemática, do que aquilo que você ensina”. George Polya (1887-1985) nasceu em Budapeste, Hungria. Foi professor em Zurique durante 26 anos e depois em Stanford, Estados Unidos, onde se aposentou em 1953. Seu livro A arte de resolver problemas é uma referência para os professores de Matemática de todo o mundo.
O artigo a que nos referimos pode ser lido na íntegra na Revista do Professor de Matemática, Objeto n. 10, 1987. educacional
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Matemática e resolução de problemas A resolução de problemas não é de domínio exclusivo da Matemática. Lidamos com problemas pessoais, profissionais e sociais o tempo todo. Decidir os componentes de um cardápio,
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optar por um produto no supermercado, financiar um automóvel e escolher um candidato em quem votar são exemplos de situações-problema do cotidiano. Podemos dizer que solucionar problemas é inerente ao ser humano e, portanto, desenvolver capacidades nessa área é fundamental para todos. Consideramos que a capacidade de resolver problemas implica ser capaz de mobilizar conhecimentos, organizá-los, planejar estratégias de resolução, executá-las e verificar se a solução é adequada. Entre as diversas disciplinas, a Matemática, por sua estrutura e características, é a que mais propicia aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver alguns tipos de problema. Os problemas práticos e teóricos permeiam por completo a Matemática, o que permite gerar, desenvolver e exercitar habilidades para solucioná-los. Muitas pessoas podem não lembrar como utilizar uma propriedade específica de Geometria ou o processo de resolução de uma equação do 2o grau aprendido na adolescência; no entanto, o aprendizado em Matemática contribui (ou deve contribuir) para desenvolver estruturas de pensamento que possibilitam aos indivíduos resolver situações diversas na vida adulta. Por essa razão, você deve aplicar-se na tarefa de tornar os alunos capazes de resolver problemas. O processo é longo, requer paciência e preparo, pois certamente deve estender-se por todos os anos do Ensino Fundamental e do Médio. A resolução de problemas envolve operações mentais. Algumas são mais frequentes e típicas desse processo. Estudiosos como George Polya e Wayne Wickelgren buscaram entender melhor essas operações e apresentam sugestões ou estratégias que podem ajudar os alunos (e nós, professores) a melhorar as habilidades de resolução de problemas; veja-as a seguir, de forma simplificada. Passo 1: Analisar e entender o problema Estratégias ◆◆
Identificar e escrever dados: o que se tem, o que se quer descobrir. Desenhar esquemas, diagramas e tabelas que ajudem a representar a situação.
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◆◆
Examinar casos particulares que exemplifiquem o problema.
Passo 2: Imaginar e planejar a resolução Estratégias ◆◆
Planejar a resolução passo a passo, hierarquicamente, sendo capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que se está fazendo e por quê.
◆◆
Mobilizar conhecimentos, conjecturar, avaliar estratégias, estimar a solução.
◆◆
Tentar encontrar um problema de forma, dados ou conclusões similares com menor complexidade.
◆◆
Decompor o problema, trabalhando nele parte por parte.
Os vários tipos de problema: uma possível classificação No livro A resolução de problemas na Matemática escolar (veja referência no final do texto) há um artigo escrito por Thomas Butts, da Case Western Reserve University, situada em Cleveland, EUA. Embora escrito com foco no sistema escolar norte-americano, o autor traz uma proposta interessante de classificação de problemas que resumiremos aqui. São ideias que podem ajudá-lo a organizar melhor e a diversificar as atividades propostas em aula e nas avaliações. Butts classifica os problemas matemáticos em cinco tipos: 1. exercícios de reconhecimento;
◆◆
Explorar o papel de uma variável ou condicionante, deixando o resto fixo.
2. exercícios algorítmicos;
◆◆
Tentar reformular o problema:
4. problemas de pesquisa aberta;
a. mudando a perspectiva de leitura ou a forma de notação; b. usando a argumentação por contra dição; c. assumindo uma solução particular e descobrindo que características essa solução possui. Passo 3: Implementar a estratégia e chegar à solução Passo 4: Fazer um retrospecto da resolução Para avaliar o caminho escolhido e a possibilidade de usar outra estratégia. Verificar se a resposta se ajusta ao contexto do problema. Você pode ajudar o aluno em todos os passos mediando as ações por meio de perguntas, como: O que queremos descobrir ou mostrar nessa situação?, Quais as informações de que dispomos?, Quais delas são relevantes?, Como você sugere que encaminhemos a solução?, Que conhecimentos utilizaremos nessa estratégia?, Alguém tem outras propostas?, A resposta que encontramos satisfaz o problema? Essas orientações podem parecer óbvias, triviais, e já devem fazer parte de sua prática em sala de aula; no entanto, a simplicidade não lhes tira a importância. O trabalho constante é crucial para o aluno adquirir o hábito do pensamento metódico, que será valioso seja qual for seu campo de atuação no futuro.
3. problemas de aplicação; 5. situações-problema. Acompanhe a descrição de cada tipo, com exemplos adequados a nosso sistema educacional. 1. Exercícios de reconhecimento Como o nome já diz, o objetivo é verificar um conceito, uma propriedade. O autor recomenda que se usem nesse tipo de exercício enunciados como “dê um exemplo”. Questões da forma “verdadeiro ou falso” também são eficientes. Exemplos: a) Quais das seguintes equações são do 2o grau? ◆◆ 2x 5 0 ◆◆
x2 x4 18
◆◆
3x2 5x 2
b) Verdadeiro ou falso? ◆◆
Todo paralelogramo é um retângulo.
◆◆
O quadrado é um paralelogramo.
c) Dê exemplo de um número racional compreendido entre 2,13 e 2,14.
2. Exercícios algorítmicos Verificam a habilidade no uso de algoritmos, procedimentos algébricos e técnicas. Exemplos: a) Calcule 15 2(141 3 7). b) Coloque o fator comum em evidência na expressão 6ay 2az.
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Esses exercícios são importantes para o aluno adquirir agilidade no uso das ferramentas de cálculo, mas devem ser dosados de forma a não desmotivar os alunos, além de, sempre que possível, serem apresentados de forma criativa. O autor do texto explica muito bem essa questão: “A habilidade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática. O desafio é torná-la interessante.” Os quadrados mágicos são um bom exemplo de exercício de cálculo. 3
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4. Problemas de pesquisa aberta De acordo com o artigo, a função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incentivar a habilidade de conjectura. Em geral, o enunciado desses problemas envolve comandos do tipo: “Descubra quais”, “Mostre que”, “Encontre os valores possíveis”. Exemplos: a) Existe um triângulo que tenha: ◆◆
dois ângulos retos?
◆◆
dois ângulos obtusos?
◆◆
um ângulo reto e um obtuso?
Justifique suas respostas. b) Descubra dois números irracionais tais que seu produto seja um número racional.
A inversão de sentido também é uma estratégia: desenhe dois retângulos diferentes que tenham área de 24 cm2, por exemplo. 3. Problemas de aplicação São os que envolvem leitura e interpretação de dados, tradução do problema para a linguagem matemática e aplicação de procedimentos e algoritmos que levem à solução. Problemas contextualizados são importantes nessa categoria. O autor lembra que a contextualização deve ser feita com cuidado para não criar situações artificiais. A sugestão é criar problemas com base na realidade dos próprios alunos. Exemplos: a) (CEETPS-SP) Uma empresa operadora de telefones oferece dois planos, A e B, de acordo com a tabela: Plano
Assinatura mensal (R$)
Ligações locais (R$/minuto)
A
37,24
0,42
B
pré-pago
1,40
Após quantos minutos de ligação o valor a pagar é o mesmo nos dois planos? b) (CEETPS-SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV. Uma televisão cuja tela mede 30 cm × 40 cm possui: ◆◆
16 polegadas.
◆◆
18 polegadas.
◆◆
20 polegadas.
◆◆
29 polegadas.
Lembrete: 1 polegada 2,5 cm
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5. Situações-problema Não são problemas propriamente ditos, mas situações mais amplas, que devem ser analisadas e enfrentadas buscando uma solução ou rumos de encaminhamento. Exemplo:
Num terreno retangular, de 15 m de frente e 30 m de fundos, pretende-se construir uma casa térrea que será habitada por uma família com 4 pessoas: casal e dois filhos adolescentes. Junte-se a um colega para desenhar uma sugestão de planta baixa para essa construção. Vocês serão os arquitetos. Fiquem atentos às observações a seguir: ◆◆ pesquisem a porcentagem de terreno que
pode ser ocupada e os recuos exigidos por lei; ◆◆ a casa deve ter sala, cozinha, 3 quartos com
banheiro, lavabo, escritório, varanda e garagem para dois carros; ◆◆ a cozinha e os quartos não devem ter porta
de comunicação direta com a sala. Repare que a proposta envolve várias questões, imbricadas todas na situação original. Fonte de pesquisa: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
O texto a seguir complementa os anteriores e trata especificamente da resolução de problemas e do ensino da Matemática; acreditamos que contribuirá para seu aperfeiçoamento. Em seguida, damos algumas sugestões de estratégias para o trabalho com problemas por meio de exercícios ou seções dessa coleção, lembrando que na parte específica de cada volume há outras sugestões.
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Resolução de problemas nas aulas de Matemática Mauro Carlos Romanatto1 Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, UNESP.
[…]
A resolução de problemas e o trabalho docente A resolução de problemas é uma parte integrante de todo aprendizado matemático. Não deveria ser uma parte isolada do programa matemático. A resolução de problemas na Matemática deve envolver todos os níveis de ensino da escolarização básica. Os contextos dos problemas podem variar de experiências cotidianas envolvendo a vida dos alunos ou o dia a dia escolar, bem como as ciências do mundo do trabalho. Bons problemas integrarão tópicos múltiplos e envolverão matemáticas significativas. Sabemos que são características dessas matemáticas significativas: a. ser elaboradas a partir de um conhecimento prévio; b. enfatizar sobre o pensar; dar tempo para pensar; c. esperar por explicações ou justificativas para as respostas ou pelo modo de pensar; d. fazer perguntas e saber ouvir; reconhecer que Matemática é parte invenção e parte convenção; e. trabalhar os conceitos, princípios e procedimentos matemáticos por meio da resolução de problemas. Na abordagem da resolução de problemas, como uma metodologia de ensino, o estudante tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas. O ensino da resolução de problemas não é mais um processo isolado. Nessa metodologia, o ensino é consequência de um processo mais amplo. Numa sala de aula em que o trabalho docente é feito a partir de problemas, busca-se utilizar tudo o 1 Licenciatura em Física pela Universidade Federal de São Carlos (1974), especialização em Metodologia do Ensino na Área de Ciências pela Associação de Escolas Reunidas (1975), mestrado em Educação pela Universidade Federal de São Carlos (1987) e doutorado em Educação pela Universidade Estadual de Campinas (1997). Atualmente é Professor Assistente Doutor da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, campus de Araraquara. [email protected]
que havia de bom nas formas anteriores de se ensinar e de aprender Matemática, a saber: a repetição, a memorização, o uso da linguagem matemática da teoria dos conjuntos, a resolução de exercícios, pois esses aspectos também são importantes. Ainda como ilustração de trabalhos com a metodologia de resolução de problemas, podemos destacar, segundo Onuchic (2004), que para todo problema os professores podem levantar questionamentos, tais como: a. Isso é um problema? Por quê? b. Que tópicos da Matemática poderiam ser abordados nesse problema? c. Para que níveis escolares ele poderia ser indicado? d. Que diferentes abordagens poderiam ser aplicadas objetivando sua solução? e. Que problemas secundários (já conhecidos, mal conhecidos ou desconhecidos) poderiam surgir no decorrer do processo? f. Quais as estratégias ou os caminhos que poderiam ser percorridos para se chegar à solução? (processo de resolução) g. Qual é a resposta desse problema? Ela é única? h. Como observar a razoabilidade da resposta obtida? i. Como relacionar o problema dado com aspectos econômicos, sociais e culturais? Por fim, com contribuições também de Onuchic (2004), vamos retomar e sistematizar algumas ideias sobre o trabalho docente a partir da resolução de problemas: a. Formar grupos. É fundamental o trabalho colaborativo na resolução de um problema. Lembrar que aprender é, muitas vezes, um processo colaborativo. E também lembrar que a resolução, em grupos, de problemas do dia a dia tem um índice de acerto muito superior às tentativas individuais. Progredir em direção a um objetivo é possível por meio de esforços combinados de muitas pessoas. Os estudantes precisam experimentar esse processo colaborativo, e deve-se dar a eles oportunidades de aprender uns com os outros. Assim, devemos organizar os estudantes em pequenos grupos (em torno de quatro pessoas), e muito do aprendizado em sala de aula será feito no contexto desses grupos.
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b. A função do professor. No trabalho com a resolução de problemas, a função do professor se amplia. Ele é um observador, um organizador, um coordenador, um interventor, um incentivador da aprendizagem. O professor propõe questões desafiadoras, mas também ajuda os estudantes a se apoiarem uns aos outros para superar as dificuldades. c. Resultados dos grupos. Com o trabalho em grupo terminado, o professor anota os resultados obtidos pelos diversos grupos, destacando os resultados corretos, os diferentes caminhos que levaram à solução, assim como as respostas equivocadas. d. Plenária. Os grupos (ou algum componente dos grupos) procuram explicar como chegaram à solução do problema. A comunicação matemática está presente nesse momento e pode ser expressa por falas, gestos, desenhos, materiais manipulativos e simbolismos matemáticos. e. Análise dos resultados. Nesse momento, com a participação um pouco maior do professor, são discutidas as soluções, as dificuldades, os equívocos. Pré-requisitos envolvendo conhecimentos ou problemas mais simples, que são necessários à resolução do problema em questão, são retomados. O aspecto exploratório é bastante considerado nessa análise. f. Consenso. A partir da análise feita e com a eliminação das dúvidas e dos equívocos, procura-se buscar o consenso sobre a solução do problema, mostrando que uma das características da atividade científica é a de ser consensual. E no caso da Matemática essa característica é mais forte que nas ciências naturais e humanas. g. Formalização. Mais uma vez, com uma participação maior do professor, faz-se uma síntese do que era objetivo de aprender a partir do problema proposto e, formalmente, são apresentadas as definições, identificadas as propriedades e feitas as demonstrações, entre outros elementos do trabalho docente com a Matemática. Como recursos auxiliares, nessa metodologia de ensino podem ser utilizados livros didáticos e paradidáticos, materiais didáticos, calculadoras, jogos, computadores, softwares, vídeos, assim como as mais diversas tecnologias educacionais disponíveis aos professores.
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Considerações finais O ponto central de se trabalhar com o processo de ensinar e de aprender Matemática através da resolução de problemas fundamenta-se na concepção de que a razão mais importante para utilizar esse tipo de metodologia de ensino é ajudar os estudantes a compreenderem efetivamente os conceitos, princípios e procedimentos matemáticos. A compreensão da Matemática envolve a ideia de relacionar. Assim sendo, a Matemática não é somente um caminho para resolver problemas, mas é um caminho para pensar, organizar e modelar experiências, descobrir padrões, estabelecer conexões. Assim, a presença da resolução de problemas nas aulas de Matemática é importante por ser um meio de adquirir conhecimento novo e por ser um processo de aplicação do que havia sido elaborado previamente. A Matemática precisa ser concebida pelo estudante como um conhecimento que favorece o desenvolvimento e aperfeiçoamento de seu raciocínio, sua capacidade expressiva, sua sensibilidade e sua imaginação. Portanto, o processo de ensinar e de aprender Matemática necessita transformar-se, passando de um mero treinamento técnico para um instrumento de modelar e interpretar a realidade em seus mais diversos contextos. Isso é formar para a criatividade, a criticidade, a cidadania, e não para a memorização, a alienação e a exclusão. Nessa perspectiva podemos afirmar que a resolução de problemas não é apenas outra metodologia de ensino, mas sim uma filosofia de ensino. Assim, uma situação indesejável seria a de que, pela ausência de teorias consistentes para a sua aplicação ou pelo fato de não ser um resolvedor de problemas, o professor interpretasse essa filosofia e metodologia de ensino de maneira inadequada e as levasse para a sala de aula apenas como novidade, o que induziria a um ativismo no trabalho docente sem grandes repercussões positivas para o aprendizado significativo dos conteúdos matemáticos. Vale destacar que essas características e possibilidades de um aprendizado mais amplo e produtivo não são exclusivas somente da resolução de problemas como metodologia de ensino para a Matemática. Elas estão também presentes em outras tendências diferenciadas para o processo de ensinar e de aprender Matemática. E pensamos que o aprendizado da Matemática ganhará muito se caminhos diferenciados forem trilhados desde que fundamentos teóricos e metodológicos do trabalho habitual nessa área do conhecimento sejam revistos, aplicados e refletidos. A nossa proposta diferenciada é a resolução de problemas.
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Ressaltamos que essa metodologia de trabalho que podem ser úteis para avaliar as atividades não é, com certeza, simples de ser implantada, de resolução de problemas. Escreva e resolva a expressão numérica que em razão de nossa indicaprópria quantos formação. passageiros Mas estão os em pé. a) Qual é o número mínimo de clientes que se 83 2 (26 ? 2 1 7) 5 24; 24 passageiros 1. Problema proposto de número69109 no Livro programas que vêm sendo desenvolvidos com a encontravam na lanchonete? clientes o do Aluno 6 ano,máximo? p. 76. 71 clientes finalidade de103. concretizá-la mostram a paixão b) Qual do é o número A jornada de trabalhoque em uma empresa é de horas semanais. Em 2com dias da semana os do estudante por42 resolver problemas seus trabalham 8 horas por dia. Qual 109.(Obmep) Ester vai a uma papelaria para comprar próprios meios, afuncionários imagem que ele vai construindo é a carga horária diária nos outros 4 dias de cadernos e canetas. Nesta papelaria os cadernos de si mesmo, como alguém capaz de solucionar trabalho? 6 horas e 30 minutos custam R$ 6,00 cada um. Se ela comprar 3 caproblemas, de “fazer matemática”, a imagem de dernos, sobram R$ 4,00. Se o seu irmão lhe emprestar R$ 4,00, com o total ela conseguirá si diante do 104. saber escolar, do mundo (UERj) O serviço bancárioadulto, atende do uma pessoa comprar 2 cadernos e outras 7 canetas iguais. futuro, valem a pena. a cada três minutos. a) Quanto custa cada caneta? R$ 2,00 b) Se ela comprar 2 cadernos e não pedir dinheiro emprestado, quantas das canetas acima Ester poderá comprar? 5 canetas
Às 15 horas, com 24 pessoas a serem atendidas,
Referências prevê-se que o atendimento será encerrado a
Luiz Santos Jr/Laeti Images
que horas? BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. 16h12min Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2001. (Cesgranrio-Rj) A distância entre duas árvores CARVALHO, A. M. 105. P.; GIL-PEREZ, D. Formação de profesvizinhas é sempre a mesma. Se de A até F são sores de Ciências: tendências e inovações. São Paulo: ◆◆ Reúna os alunos em trios. Peça que leiam 35 metros, qual a distância, em metros, de C a E? Cortez, 2000. 14 m atentamente o problema e respondam B C D E F ONUCHIC, L. de la R.AEnsino-aprendizagem de Matemática primeiramente às questões a seguir, por através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. escrito, nos cadernos. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São – Qual é o contexto desse problema, ou Paulo: Editora Unesp, 1999.
seja, do que ele trata?
. A resolução de problemas e o trabalho de en– Quais dados foram fornecidos? sino-aprendizagem na construção dos números e das operações definidas sobre eles. In: Encontro Nacional – O que se quer saber no item a? 106.Pensei em um número, dividi por 2, adicionei 14, de Educação Matemática, 8., 2004, Recife. Anais Unitirei 8 e ficou 25. Em que número pensei? versidade Federal 38, de pois Pernambuco, ◆◆ Incentive a troca de ideias e, ao final, peça 25 1 8 5 33; 332004. 2 14 5 19 e 19 ? 2 5 38
a um dos grupos que leia as respostas, dando a oportunidade para que os demais complementem ou corrijam o que for dito. Encerre as questões com eles, registrando as conclusões na lousa.
ONUCHIC, L. de la R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de Matemática através 76 da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org.). Educação Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. SAVIANI, D. Educação: do senso comum à consciência filosófica. Campinas/SP: Autores Associados, 2000. THOMPSON, A. G. Learning to Teach Mathematical Problem Solving: Changes in Teachers’ Conceptions and Beliefs. In: CHARLES, R. I.; SILVER, E. A. (Ed.). The teaching and assessing of mathematical problem solving. Virginia: Laurence Erlbaum Associates, 1989. VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. Disponível em: . Acesso em: dez. 2014.
Algumas sugestões de estratégias envolvendo resolução de problemas usando o livro didático Apresentamos a seguir três sugestões de estratégias para o trabalho com resolução de problemas. Nos Anexos deste manual, oferecemos modelos de fichas de acompanhamento
◆◆
Proponha que resolvam o item a e registrem com palavras nos cadernos como farão a resolução e as operações matemáticas que utilizarão. Circule pela sala de aula observando o trabalho e dando apoio.
Exemplo de possível registro: Calcularemos o preço de 3 cadernos fazendo 6 vezes 3 e somaremos 4 reais para saber quanto Ester tem: 3 6 18 e 18 4 22 Ester tem 22 reais. Somaremos outra vez 4 reais (dinheiro que seu irmão lhe emprestaria) para descobrir o preço de 2 cadernos e 7 canetas: 22 4 26 Subtrairemos 12 reais (preço de 2 cadernos) para ter o preço de 7 canetas: 26 12 14
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cionais a cada débito. Quanto receberá o maior credor? R$ 37,50
Ilustrações: Marcelo Azalim
23. A roleta da figura está dividida em partes iguais.
Para terminar, como são 7 canetas, dividiremos 14 por 7 para achar o preço de 1 caneta: 14 7 2
26. Um automóvel gasta 8 L para percorrer 100 km. Responda. a) Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 250 km? 20 L b) Quantos quilômetros poderemos percorrer gastando proposto 28 L de gasolina? 350 km 2. Problema de número 27 no Livro 100 do do 7o ano, p. 101. c) OAluno que representa a fração ? 8
A distância que se percorre com 1 litro de gasolina.
teiro parar sobre o amarelo?
27. Dona Eliane foi a dois supermercados comprar certo refrigerante em embalagem de 2 litros (garrafa) e observou os seguintes anúncios: Marcelo Azalim
O registro do raciocínio, não só com operações, mas também com palavras contribui para a compreensão dos processos mentais envolvidos. Quando girado, qual é a probabilidade de o pon2
◆◆
Peça a um grupo que leia suas 5estratégias. Faça perguntas, envolva os demais 24. Nesta urna há bolas numeradas de 1 a 10. grupos pedindo que comentem a proposta, apresentem as deles e expliquem se foram diferentes das propostas dos outros grupos.
◆◆
Peça a todos que chequem a resposta encontrada; pergunte: O valor 2 satisfaz às condições do enunciado?
◆◆
Dê tempo aos grupos para resolverem o item b e depois peça que mostrem as soluções e comentem entre si como pensaram. Peça novamente confiram se ela vai Ângela vai retirar, que sem olhar, uma bola; anotar o número e devolver a bola para a urna. a resposta 5 satisfaz ao problema.
No Tudo Barato: não, pois na venda de 6 garrafas o preço de cada garrafa é o mesmo que o da venda de uma garrafa. No Preço Bom: sim, pois o preço de 6 garrafas deveria totalizar R$ 23,76.
Calcule a probabilidade de sair uma com:
◆◆
Há oportunidade de 1aprofundar a atia) o número 7; 10 1 vidade, pedindo, por par; exemplo, que eles b) um número 2 3 escrevam c) asum expressões que número menornuméricas que 4; 10 d) um número resolvem cada item: maior que 10; 0
Você acha vantajosa a oferta de cada supermercado para comprar a embalagem com 6 garrafas? Por quê?
3
e) um número múltiplo de 3. 10
a) (3 6 4 4 12) 7 b) (3 6 4 12) 2
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◆◆
Retome a necessidade do uso dos parênteses nas expressões e em seguida peça que resolvam cada uma delas, conferindo na lousa os resultados com as respostas que encontraram anteriormente.
◆◆
Conclua a atividade com uma conversa coletiva: Por que é importante observar o contexto do problema?, Por que é importante verificar se as respostas estão adequadas ao problema? Retome as operações matemáticas usadas na resolução e, se julgar necessário, comente fatos relevantes sobre essas operações.
◆◆
101 Com antecedência, peça aPROPORCIONALIDADE cada aluno que pesquise uma oferta de produto do tipo apresentado no problema. Deve anotar a oferta e também o preço unitário do produto.
◆◆
Na aula agendada para a atividade, forme trios e peça aos alunos que leiam o problema do livro e escrevam no caderno qual é o contexto, os valores dados e o que se quer analisar na situação. Numa conversa, discuta com eles essas questões, anotando no quadro as conclusões.
◆◆
Questione-os: Como saberemos se há vantagem na embalagem em oferta?
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Deixe que se manifestem e convide alunos para, na lousa, mostrarem seu raciocínio, de modo que todos cheguem à resposta. Peça-lhes que escrevam a resolução no caderno, explicando qual é a escolha que oferece um desconto maior por unidade e por quê. ◆◆
Peça a cada aluno que verifique se a oferta que pesquisou e trouxe é mesmo vantajosa.
◆◆
Conclua a atividade perguntando se o conhecimento matemático é importante em situações como essa, tão comuns no cotidiano. Converse com a turma e pergunte-lhes se seus responsáveis ou eles mesmos fazem contas ou comparações para verificar se um anúncio de promoção vale a pena.
3. A Seção Livre da página 149 do Livro do Aluno do 9o ano oferece uma interessante oportunidade para o trabalho com resolução de problemas aliado à formação cidadã. A seção aborda a PNAD e inicia com um texto que explica o que é e quais são os objetivos dessa pesquisa. Inicie com uma sondagem de conhecimentos prévios: Quem já ouviu notícias sobre a PNAD?, Quem sabe o que faz o IBGE? etc. Depois da leitura do texto em voz alta, organize a turma em trios ou quartetos e peça-lhes que resolvam as questões da seção enquanto você circula pela classe observando o trabalho, tirando dúvidas, incentivando a troca de ideias e verificando se todos os grupos desenvolveram satisfatoriamente a tarefa. Essas questões servirão de motivação e referência, uma vez que, em seguida, sugerimos uma problemática: os alunos criarão questões com base nos dados da PNAD mais recente. A ideia é que se organizem de modo que cada grupo pesquise um aspecto: emprego, moradia, saneamento etc.; levantem dados; montem tabelas e gráficos; e apresentem à classe questões interessantes e pertinentes sobre o tema. Deixe que lidem com as questões inerentes à situação: em que fontes pesquisar, quais dados são relevantes, como organizar e utilizar os dados, que tipo de
apresentação será mais eficiente, e assim por diante. A integração com Geografia é oportuna e, ao final dos trabalhos, pode-se, por exemplo, organizar uma apresentação que integre todos os temas.
Livros didáticos 3 contexto histórico O artigo a seguir, publicado na Revista História & Educação Matemática, de autoria da professora Maria Laura Magalhães Gomes, aborda o ensino da operação de adição em períodos e contextos históricos diferentes por dois autores de livros didáticos. Consideramos o texto interessante porque compara as estratégias utilizadas: uma mais tecnicista e outra mais voltada para a compreensão de ideias e procedimentos, mostrando o quanto é historicamente difícil implementar mudanças na educação e também o quanto o viés tecnicista foi e por vezes ainda é forte no ensino de Matemática.
Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética O objetivo deste artigo é analisar dois excertos de obras do passado escritas com o propósito de ensinar aritmética. Fazemos uma primeira leitura comparativa desses textos, do ponto de vista do conteúdo matemático que abordam, sem levar em consideração quem os escreveu, a quem se destinavam, em que lugar e condições históricas foram produzidos. Em seguida, identificando todos esses aspectos, realizamos uma leitura contextualizada dos mesmos escritos para compreender suas características de maneira mais profunda e completa.
Dois modos Os trechos que se vão ler a seguir reproduzem a introdução da operação de adição de números naturais em dois livros-texto de aritmética escritos por autores de períodos históricos diferentes. Primeiro Autor: Para compreender a segunda operação, a adição, é necessário saber que ela é a união de vários números, pelo menos de dois, de modo que possamos conhecer a soma resultante desse acréscimo. Deve também ser entendido que, na operação de adição, pelo menos dois números são necessários, a saber, o número ao qual adicionamos o outro, que deve ser o maior, e o número a ser adicionado, que deve ser o menor. Assim, sempre adicionamos o menor número
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ao maior, o que é um plano mais conveniente do que seguir a ordem contrária, embora esta última seja possível, sendo o resultado o mesmo em qualquer caso. Por exemplo, se adicionarmos 2 a 8, a soma é 10, e o mesmo resultado é obtido somando 8 a 2. Portanto, se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor. Assim, se queremos somar 38 a 59, escrevemos os números assim:
59 Soma
38 97
Dizemos então: “8 e 9 fazem 17”, escrevendo 7 na coluna que foi somada, e carregando o 1 (pois, quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta). Este 1 nós agora somamos a 3, fazendo 4, e este a 5, fazendo 9, que é escrito na coluna da qual veio. Os dois números juntos fazem 97. Segundo Autor: … suponha que você conheça dois números, e deseje ou tenha necessidade de ter a sua soma, de conhecer o número que se pode formar juntando um ao outro – o número total de coisas que você sabe existir de uma vez, primeiro em um desses números, em seguida no outro desses números. Suponha, por exemplo, que você tenha 13 coisas em um lugar, e 26 em um outro, e que queira saber quantas tem ao todo, e, para isso, tomar a soma desses dois números, juntar 26 e 13. Você vê, à primeira olhadela, que 13 é 1 dezena e 3 unidades: que 26 é 2 dezenas e 6 unidades; você sabe que 3 unidades e 6 unidades são 9 unidades; que 1 dezena e 2 dezenas são 3 dezenas; os dois números encerram, portanto, 9 unidades e 3 dezenas; sua soma é, pois, 39. Quaisquer que sejam os dois números, você pode usar o mesmo meio, e conhecendo a soma das unidades, das dezenas, das centenas que os dois números contêm você conhecerá sua soma. Suponha, por exemplo, que você queira juntar 135 a 643, ou 2 345 a 3 621. Você verá que os dois primeiros números reunidos encerram oito unidades, sete dezenas e sete centenas; sua soma será 778. Você verá que os dois segundos números reunidos contêm
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seis unidades, seis dezenas, nove centenas e cinco milhares; sua soma será, portanto, 5 966. Se juntasse assim, um ao outro, números compostos de um número maior de algarismos, você perceberia logo que a necessidade de conservar na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas quando tiver chegado aos milhares, por exemplo, exige uma atenção fatigante, e que se ela lhe faltar, você será obrigado a recomeçar a operação. Mas para fazê-la mais facilmente, você só tem que escrever um sob o outro os números que quer juntar, colocando as unidades embaixo das unidades, as dezenas embaixo das dezenas, as centenas embaixo das centenas. Você dirá em seguida: 5 e 3 são oito, escrevo 8; 3 e 4 são 7, escrevo 7; 1 e 6 são 7, escrevo 7; a soma é, então, 778. 135 mais 643 igualam 778. Da mesma forma, você dirá: 5 e 1 são 6, escrevo 6; 4 e 2 são 6, escrevo 6; 3 e 6 são 9, escrevo 9; 2 e 3 são 5, escrevo 5. A soma é, portanto, 5 966; 2 345 mais 3 621 igualam 5 966. Fórmula da operação
135
643 778
2345
3621 5966
Uma leitura comparativa Podemos observar que ambos os autores focalizam o mesmo algoritmo da adição de dois números – aquele que é ensinado na escola básica até os dias de hoje. O que podemos notar nos dois textos, além do fato de o segundo ser mais extenso que o primeiro? Certamente percebemos logo que o Primeiro Autor aborda mais diretamente o tema, nomeando imediatamente uma operação a ser ensinada, a adição, sem referir-se a qualquer motivação para efetuar essa operação. O Segundo Autor, por sua vez, não manifesta de início qualquer interesse em dar um nome a uma operação a ser feita, preocupan do‑se, em contrapartida, em apelar para o desejo ou a necessidade de seu leitor de conhecer o número que se pode formar juntando dois outros. Seguindo os dois excertos, verificamos que o Primeiro Autor (embora não explique a razão disso) procura deixar claro ao leitor que ao adicionar dois números, é mais conveniente somar o menor número ao maior, apesar de o resultado ser o mesmo se for seguida a ordem oposta a essa. Assim, o
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Primeiro Autor instrui diretamente o aprendiz no sentido de escrever o maior número em cima, e o menor número embaixo dele, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. O Segundo Autor não tem qualquer preocupação em fixar uma ordem para a escrita dos números a serem somados, mas faz questão de, em três exemplos, chamar a atenção do leitor para a maneira como são formados os pares de números que se devem somar – tantas unidades, dezenas e centenas, sendo cada ordem da soma o resultado de juntar as ordens que compõem os números. Mais: ele diz explicitamente que esse procedimento é o que servirá para encontrar a soma de dois números quaisquer. É somente depois dessas considerações que o Segundo Autor alerta o leitor para a atenção fatigante que lhe seria exigida caso tivesse de conservar na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas, atenção essa que cresceria com o crescimento dos números a serem juntados. Dessa maneira, o Segundo Autor mostra ao seu leitor que seria interessante buscar um procedimento para aliviar o esforço requerido e então, sim, ele se refere a colocar unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas. Após a descrição desse procedimento por meio de palavras para dois exemplos, o Segundo Autor apresenta ao leitor o que denomina de Fórmula da operação. Aí é que aparecem armadas e efetuadas as duas adições, nas quais podemos notar a presença dos símbolos “+” e “=”, bem como a de um traço que separa os números a serem adicionados de sua soma. Por outro lado, voltando ao escrito do Primeiro Autor, percebemos que o seu primeiro exemplo de uso do algoritmo da adição que, como vimos, é introduzido no estilo “faça deste modo” (se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor), é de uma “adição com reserva” ou “com transporte”: 59 38. Essa adição aparece armada como foi indicado ao leitor, acompanhada do resultado, 97, sem os símbolos “”e “” e sem um traço separando o total
(identificado pela palavra Soma) das parcelas. Só em seguida vem a explicação do que foi feito, com a instrução de “carregar o 1” que veio do 17 (soma de 9 e 8), visto que quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta. O Primeiro Autor não esclarece o porquê desse procedimento, e na continuação do texto aqui reproduzido focaliza a “prova dos noves” para a operação que acabou de ser efetuada. Depois disso, ele prossegue apresentando mais dois exemplos de adições (1 916 + 816 e 45 318 + 2 732) no mesmo estilo do exemplo mostrado no trecho transcrito. O Segundo Autor também aborda a “adição com reserva” no prosseguimento do excerto que apresentamos. Contudo, ele o faz depois dos três exemplos “sem reserva” que mostramos, e de maneira bastante diferente, como vamos descrever a seguir. A adição escolhida para ilustrar a “reserva” é 18 25, e é calculada em duas etapas:
18
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Vem então uma explicação de como reduzir, por comodidade, as duas operações a uma: … para isso, você notará que depois de ter dito 8 e 5 são 13, não tem mais unidades a considerar: você escreve então 3 unidades; mas você tem ainda dezenas: você não escreverá esta dezena que obteve juntando 8 a 5, porém (você se lembrará dela) a guardará: dirá, então, 8 e 5 são 13, escrevo 3 e guardo 1 dezena; 1 dezena que guardei e 1 dezena são 2, e 2 outras são 4, e escreverá 4 dezenas. E só então aparece
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O exame dos dois textos mostra, portanto, claramente, dois modos distintos para ensinar o algoritmo da adição de dois números naturais. Comparando esses dois modos, pudemos notar que eles se distinguem essencialmente porque: – o primeiro apresenta ao aprendiz instruções diretas de como proceder para efetuar a operação,
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sem a preocupação de esclarecer a razão dos procedimentos aí envolvidos; – o segundo se caracteriza por uma tentativa de dialogar com o leitor de maneira a convencê-lo da necessidade dos procedimentos mostrados para facilitar uma tarefa e mais, por buscar explicar os motivos de cada um dos passos executados nas adições. Até aqui fizemos a leitura e a análise dos dois textos de forma isolada do contexto sócio-histórico em que foram produzidos, desconhecendo não apenas seus autores e a época em que foram escritos mas também as finalidades e o público a quem se destinaram. Vamos agora examinar esses aspectos para tentar interpretar, à sua luz, as marcas dos novos modos de ensinar a adição.
Dois tempos Comecemos por identificar os livros dos quais foram extraídos os excertos em foco. O primeiro texto faz parte da Aritmética de Treviso, obra de autor anônimo publicada em 1478 – trata-se não somente de um incunábulo, isto é, de uma publicação do século da invenção da imprensa, mas do primeiro texto impresso de Matemática. O livro, que não tem um título próprio, é uma aritmética comercial, ou seja, um texto que se propõe a recordar os conhecimentos relevantes para o exercício dos negócios, especialmente em Treviso e Veneza. É importante situar Veneza no cenário do mundo do século XV: a cidade tinha, nesse período, se transformado no principal centro comercial da Europa e ao mesmo tempo em uma das cidades mais ricas do planeta então conhecido. Era ainda um centro de ensino e difusão da arte mercantil ao qual acorriam mercadores do norte, particularmente das cidades alemãs, para estudar as práticas de comércio da aritmética comercial e a troca de moedas. Uma habilidade básica que esses visitantes esperavam adquirir era certamente a proficiência em métodos da aritmética comercial italiana, a qual havia se desenvolvido cedo em decorrência do fato de os italianos em geral e os venezianos em particular terem logo compreendido a importância do uso da aritmética em suas transações diárias a partir de seu contato com o sistema indo-arábico de numeração em suas relações comerciais em torno do Mediterrâneo. [...]
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O ambiente histórico ao qual pertence o nosso Primeiro Autor, portanto, é o do início da Idade Moderna, no qual o desenvolvimento do comércio faz nascer o capitalismo mercantil. Culturalmente, estamos em um contexto marcado pelo florescimento das artes e pelas mudanças na orientação das ciências – é a época do Renascimento. Na Europa do século XV, tempo em que escreveu o Primeiro Autor, uma parte importante da educação matemática consiste no ensino e na aprendizagem da aritmética comercial. A escola em que tem lugar essa parte não é a universidade, mas a escola mantida pelos mestres de cálculo, a qual é frequentada pelos filhos de funcionários públicos ou de mercadores, com idades entre 12 e 16 anos. [...] É importante referir-nos aqui ao estado de aceitação do sistema de numeração indo-arábico, à época dessa Practica. Ainda que tal sistema já fosse conhecido na Europa desde aproximadamente o ano 1 000, ele ainda não tinha sido adotado universalmente. [...] Como observamos anteriormente, o Primeiro Autor não usa os símbolos “1” e “5”. Segundo Boyer (1996), o mais antigo aparecimento do sinal “1” ocorreu em 1489, na aritmética comercial de Johann Widman, enquanto o sinal “5” foi registrado pela primeira vez em 1557, em um livro de Robert Recorde (1510-1558). Portanto esses símbolos, que o Segundo Autor usa com naturalidade, só foram incorporados aos textos matemáticos depois da publicação do primeiro texto que analisamos que, lembremos, data de 1478. [...] Comentamos também a posição do Primeiro Autor em relação à ordem a ser adotada na escrita das parcelas da adição: o número maior em cima, e o menor embaixo dele. Possivelmente essa recomendação se origina da incorporação de uma prática herdada do uso do ábaco. Quanto à instrução ao estudante no sentido de, quando a soma dos números em uma coluna exceder 10, escrever o algarismo da ordem menor e carregar o algarismo da ordem seguinte para a próxima coluna, Swetz comenta: Claramente, o conceito físico de “carregar” (portare) um número para a coluna seguinte deve sua origem ao ábaco, no qual um excesso de fichas em
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uma coluna ou linha requereria uma transferência física ou carregamento de fichas para uma posição de ordem superior. Nessa aritmética, o número carregado é somado ao algarismo que está na posição mais embaixo na coluna adjacente à esquerda, na qual a adição começa novamente de baixo para cima. Nem todos os autores antigos usam esse formato: alguns efetuam a adição da esquerda para a direita e escrevem a soma em cima ou ao lado da fileira das parcelas (Swetz, 1989, p. 188-189). O que podemos notar, então, é que, conquanto o algoritmo seja o mesmo que conhecemos e usamos até hoje, a exposição do Primeiro Autor é portadora de sinais característicos claros das práticas abacistas, ainda muito frequentes no século XV. [...] Passemos a abordar novamente o trabalho do Segundo Autor. Mais de trezentos anos separam os dois textos de aritmética que estamos analisando, pois o nosso Segundo Autor, o marquês de Condorcet, escreveu a sua Aritmética, livro de onde extraímos o trecho inicial da Quarta Lição, em 1794. Esse tratado inacabado devido à morte de seu autor, quando fugia da perseguição do governo do Terror durante a Revolução Francesa, é um manual didático redigido com a intenção de participar de um concurso promovido por esse mesmo governo para selecionar os livros elementares a serem usados na instrução pública. A realização do concurso resultava de um aspecto característico da política educacional da França revolucionária – a composição de livros didáticos destinados a todo o país como praticamente o único meio de efetuar reformas no ensino (Schubring, 1989). Devemos enfatizar que o próprio Condorcet foi o responsável por um importante projeto para o ensino no qual eram propostas a elaboração desses livros elementares e a escolha dos manuais a serem financiados pela república por meio de um concurso público. Na verdade, a situação da França do Antigo Regime era completamente ineficiente em relação à escolarização, num momento em que o país precisava de uma mão de obra mais preparada considerando-se seu contexto socioeconômico. Furet e Ozouf (1977) descrevem o quadro da instrução nesse período dizendo que somente após alguns anos passados na aprendizagem da leitura e da
escrita, poucos estudantes – aqueles de melhor condição material – tinham acesso aos rudimentos da aritmética. E essa educação precária ainda se mantinha sob o controle direto e constante da Igreja; na convocação dos Estados Gerais, em 1789, apresentaram-se vigorosas reivindicações quanto à instrução da população. Com a Revolução, tomaram-se medidas contra o clero que levaram ao fechamento de muitas escolas católicas, e transferiu-se para os poderes civis a supervisão da educação pública. Propuseram-se, então, vários planos para essa educação entre os quais o de nosso Segundo Autor. Historicamente, assim, o segundo texto aqui focalizado insere-se no começo da Idade Contemporânea, no momento em que a burguesia, cuja visão de mundo abraçava fundamentalmente o Liberalismo com seus princípios básicos de liberdade, individualismo, igualdade, propriedade, democracia, obtinha seus primeiros triunfos. O interesse dos governos revolucionários franceses pela instrução pública – uma concessão ao povo que apoiava tal burguesia – está fortemente ligado ao programa de hegemonia dessa classe. [...] Como pudemos notar no trecho referente ao algoritmo da adição reproduzido neste texto, a concepção metodológica de Condorcet envolve necessariamente a compreensão dos procedimentos a partir das propriedades do sistema de numeração decimal e, por isso, ele gasta mais espaço em sua abordagem do que o autor da Aritmética de Treviso para tratar do mesmo assunto. A forma escolhida para a apresentação dos algoritmos das demais operações também compreende muitas palavras, pouca formalização matemática, e nenhuma ilustração, o que reflete a época do manual (Picard, 1989), em que, devemos recordar, a imprensa já avançou muito desde o final de século XV, tempo do Primeiro Autor. [...] Assim, nosso Segundo Autor embora tenha, como o Primeiro Autor, o propósito do domínio das técnicas operatórias pelos estudantes, não deseja nem crê que tal domínio ocorra por meio da repetição e da memorização mecânicas: acredita na potencialidade da educação aritmética de desenvolver as faculdades intelectuais dos alunos, desde que seja realizada com ênfase na compreensão.
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Uma característica do manual que não podemos deixar de mencionar é o fato de conter, após o texto para o estudo dos alunos, orientações aos professores, específicas para cada uma das lições que é apresentada. Especificamente quanto ao algoritmo da adição, focalizado neste artigo, ele recomenda que o mestre trabalhe muitos exemplos com os estudantes, mas que cuide para que eles se tornem autônomos, a fim de que não adquiram o hábito de repetir as palavras “escrevo”, “guardo”, sem reflexão, e por meio de uma memória por assim dizer automática (Condorcet, 1989, p. 120). A leitura comparativa dos dois trechos referentes à adição de números naturais mostrou-nos diferenças claras, as quais tentamos, inicialmente, destacar mediante um enfoque interno ao conteúdo dos textos. Em seguida, no que acabamos de expor, procuramos situar esses textos quanto ao entorno de sua produção a fim de enxergar, sob outro prisma, essas diferenças. Os dois modos de ensinar a aritmética ganham significação em dois tempos: dois contextos históricos distintos de educação matemática.
Dois modos em dois tempos: comentários finais Na leitura dos textos didáticos aqui focalizados, colocamos em evidência uma dicotomia entre um modo que poderíamos denominar “aprender fazendo”, predominante no trabalho do Primeiro Autor, um mestre de cálculo da república de Veneza no século XV, e um outro modo que batizaríamos como “aprender compreendendo”, indispensável no escrito do Segundo Autor, um filósofo francês do Século das Luzes. É claro, como tentamos mostrar, que essas expressões pelas quais estamos chamando em dois estilos, ainda que traduzam a essência de duas concepções metodológicas, são insuficientes para revelar todos os aspectos envolvidos nas duas célebres aritméticas aqui abordadas. Todavia, essa dicotomização nos serve como ponto de partida para considerar a inadequação e as limitações de uma análise de concepções, materiais e práticas na educação matemática dissociada das muitas variáveis sociais e culturais que sempre a compõem. De fato, ao comparar mediante uma leitura descontextualizada o modo de ensinar do Primeiro Autor – que parece não se preocupar com a compreensão do significado dos procedimentos que
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vai ditando ao leitor – com o do Segundo Autor que, diferentemente, quer evidenciar a quem o lê os motivos de tudo aquilo que é exposto, não alcançamos uma significação completa de ambos os textos. Certamente vamos simpatizar mais com o Segundo Autor, mais próximo do que concebemos como o tratamento adequado da matemática na escola. Também queremos que os nossos alunos dominem as técnicas do cálculo aritmético entendendo-as e não simplesmente memorizando-as mecanicamente; assim, identificamo-nos mais com a atitude do filósofo iluminista. Defendemos, como Condorcet, que ao lado da dimensão instrumental da matemática escolar esteja sempre presente a dimensão formativa – enfatizamos a contribuição da matemática no desenvolvimento das faculdades do intelecto das crianças, dos adolescentes, dos jovens e adultos. E particularmente em relação à aritmética, no contexto atual em que a destreza no uso dos algoritmos usuais é menos posta em relevo, se incentiva a utilização das calculadoras e se valorizam procedimentos pessoais dos alunos bem como as estimativas e o cálculo mental (Brasil, 1997), o enfoque de nosso Segundo Autor é, sem dúvida, muito pertinente. Contudo, a abordagem do mestre de Treviso, como comenta Swetz (1989), não era somente adequada, mas desejável para as necessidades do século XV, em que um jovem frequentador das escolas de cálculo o fazia por pouco tempo – era uma educação dispendiosa. Esse jovem logo entrava como aprendiz na profissão comercial e continuava a aprender a aritmética de que precisava. Swetz especula que talvez após vários anos de trabalho e associação com outros mestres um calculador poderia de fato começar a pesquisar os “porquês” da aritmética. A atitude do Primeiro Autor decorre ainda da inexistência da intenção de escrever um compêndio enciclopédico de conhecimentos mercantis e técnicas matemáticas; como diz o nome usado na época – Practica – seu livro é claramente orientado para objetivos mais imediatos. Assim, se a leitura e a análise dos textos do passado limitar-se a apresentar descrições das abordagens adotadas para os conteúdos matemáticos, provavelmente encontraremos vários aspectos curiosos e interessantes, mas teremos uma visão restrita do significado da matemática, da educação matemática e das relações entre elas e as sociedades em que se desenvolveram.
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Referências bibliográficas: BOYER, Charles. História da Matemática. Revista por Uta C. Merzbach. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. BUISSON, Ferdinand. Condorcet. Paris: Librairie Félix Alcan, 1929. CONDORCET, Jean-Antoine-Nicolas Caritat. Réflexions et notes sur l’éducation. A cura di Manuela Albertone. Napoli: Bibliopolis, 1983.
. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité, presenté et annoté par Charles Coutel, Nicole Picard et Gert Schubring. Paris: ACL Éditions,1989. . Informe sobre la organización general de la instrucción pública. In: Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano y otros textos. Tradução de Francisco González Aramburo. Cidade do México: Fondo de Cultura Econômica, 1997.
FURET, François & OZOUF, Joseph. Lire et écrire: l’alphabétisation des français de Calvin à Jules Ferry. Paris: Éditions de Minuit, 1977. LOPES, Eliane Marta T. S. Origens da educação pública: a instrução na Revolução Burguesa do século XVIII. São Paulo: Loyola, 1981. PICARD, Nicole. Notes et commentaires sur les “Moyens...”. In: CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité: appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. SCHUBRING, Gert. Introduction: um savant des lumières. Un livre élémentaire pour La république. In: CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité: appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. SCHUBRING, Gert. Analysis of Historical Textbooks in Mathematics. Lecture Notes. Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 1997. SWETZ, Frank J. Capitalism and Arithmetic (second printing). La Salle: Open Court, 1989. GOMES, Maria Laura Magalhães (Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG). Dois tempos e modos de ensinar a aritmética. Revista História & Educação Matemática. Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática, v. 2, n. 2, 2002. p. 173-186.
Sugestão de atividade contemplando a história da Educação Matemática Você pode propor aos alunos uma pesquisa junto aos pais, avós e conhecidos para descobrirem exemplos de experiências escolares antigas relativas à Matemática. Vários conceitos podem ser abordados dessa maneira, dependendo do nível de escolaridade. Por exemplo: O que é a “prova dos noves”?; Como se ensinava a tabuada no seu tempo?; O que se aprendia no primário/ secundário em outros tempos?; Como se resolviam os problemas na aula de Matemática?; Como eram os livros didáticos?, entre outras questões nesse sentido. Essas experiências devem ser registradas e comunicadas aos demais colegas de sala de aula. Uma atividade dessa natureza pode envolver vários componentes, como Língua Portuguesa e História, e é uma estratégia para desenvolver a escrita, a oralidade e a habilidade de síntese, pois a necessidade de comunicação favorece a compreensão. É preciso organizar claramente as ideias para transmiti-las aos outros colegas. Esse esforço de ultrapassar a própria compreensão (e suas estratégias para entender algo) leva o aluno a refletir sobre o conceito/conteúdo para torná-lo claro aos demais alunos, resultando em aprendizado significativo.
Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas
Objeto educacional digital
Como trabalhar leitura, escrita e oralidade nas aulas de Matemática? Essa pergunta está presente no cotidiano de todos os professores: tanto dos que ainda não estão seguros de como desenvolver essas habilidades quanto dos que já têm ações nesse sentido e querem melhorar sua prática. O tema “leitura e escrita na aula de Matemática” tem sido cada vez mais presente nas produções brasileiras na área de Educação Matemática. No ano de 2010, a revista Zetetiké, do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem), da Unicamp – dedicou uma edição especial ao tema “Linguagem e práticas socioculturais: perspectivas para a Educação Matemática”.
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Essa edição da revista pode ser acessada integral e gratuitamente no endereço: www.fe.unicamp.br/revistas/ged/zetetike/ article/view/2828/2485 Acesso em: jan. 2015. Leia a seguir um parágrafo sobre esse tema, extraído de documento básico do Enem, e um texto para informação e reflexão. Para concluir, apresentaremos exemplos de atividades que envolvem leitura, escrita e oralidade nas aulas de Matemática. Vale lembrar que nos Anexos deste manual há um modelo de ficha para acompanhamento e avaliação dessas atividades.
Comunicação e expressão na proposta de Avaliação do Documento Básico do Enem – Brasília/2002 A Matriz de Competências do Enem pressupõe que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos, no sentido amplo do termo, não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todas as áreas e disciplinas que estruturam as atividades pedagógicas na escola. O participante deve, portanto, demonstrar, concomitantemente, possuir instrumental de comunicação e expressão adequado, tanto para a compreensão de um problema matemático quanto para a descrição de um processo físico, químico ou biológico e, mesmo, para a percepção das transformações de espaço/ tempo da história, da geografia e da literatura.
◆◆
mobilizar conhecimentos prévios utilizando-os para alcançar a compreensão do que lê;
◆◆
variar as estratégias de leitura em função dos objetivos dela;
◆◆
organizar e expressar o conhecimento obtido por meio da oralidade ou da escrita;
◆◆
perceber as diversas funções da leitura: ler para aprender, para se informar, por necessidade, por prazer.
O professor de Língua Portuguesa pode e deve ajudar seus colegas, pois provavelmente terá informações valiosas para melhorar o trabalho dos demais docentes. No entanto, aprender a ler em Matemática envolve a participação efetiva do professor dessa disciplina em suas aulas. É importante ressaltar que esse trabalho deve ser constante, desenvolvendo, ao longo do período escolar, hábitos e procedimentos de leitura que por fim se incorporem à rotina do estudante. Apresentaremos a seguir algumas sugestões para o trabalho em sala de aula tendo por base o livro didático. ◆◆ Ler todos os textos do livro para escolher os que serão trabalhados em sala de aula com o objetivo de estimular o desenvolvimento das habilidades de leitura, escrita e oralidade dos alunos. ◆◆
Ter claro qual é o objetivo da leitura de cada texto. O aluno precisa saber por que lerá o texto e para que aspectos deve voltar sua atenção.
◆◆
Mapear os textos com base nos objetivos de leitura: serão lidos na íntegra ou só em parte? A leitura será feita em classe ou em casa? A resolução das atividades permeará a leitura?
◆◆
Criar estratégias diversificadas de leitura.
A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática Como ficou explicitado acima, formar um aluno competente em leitura, interpretação e escrita não é responsabilidade somente do professor de Língua Portuguesa. Cada tipo de texto – romance, poema, notícia de jornal, texto científico, manual de instruções, relatório etc. – tem características próprias e requer habilidades leitoras diferenciadas. O aluno precisa construir essas habilidades por meio do trabalho pedagógico de todos os componentes curriculares. Consideramos que o objetivo final é formar indivíduos capazes de: ◆◆
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ler criticamente textos de diferentes suportes (livros, jornais, revistas, internet, manuais etc.) construindo significados para a leitura;
Exemplos de procedimentos ◆◆
Leitura individual silenciosa identificando no texto palavras-chave previamente indicadas por você. Na seleção das palavraschave é importante contemplar termos próprios da Matemática: incógnita, radical, expoente etc. Terminada a leitura, você pode mediar a discussão dos alunos em torno das palavras-chave e de seus significados, retomando sempre que necessário
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a leitura de trechos mais importantes do texto. O registro das informações, conceitos, conclusões sobre o texto e exemplos pode ser feito na lousa. ◆◆
◆◆
Leitura de imagens. Peça aos alunos que observem somente fotografias, gráficos, diagramas etc. presentes no texto, sem lê-lo. Pergunte, por exemplo: Que informações ou conhecimentos você identifica nestas imagens? O que já conhecemos? O que há de novo para você? Observando as imagens, temos uma ideia do assunto do texto? Essa estratégia costuma motivar os alunos para a leitura integral do texto, que deve acontecer depois dos questionamentos. É uma forma eficiente de resgatar conhecimentos prévios. Uma variação é pedir que leiam previamente as atividades que permeiam o texto e só depois procurem no texto as informações de que precisam para responder às questões. Crie muitas oportunidades para os alunos expressarem as ideias deles oralmente e por escrito.
Algumas sugestões de estratégias envolvendo leitura, escrita e oralidade em Matemática usando o livro didático Nesta parte comum do Manual do Professor, criamos um exemplo detalhado de estratégia para cada volume. Na parte específica dos manuais há mais sugestões contemplando assuntos e tipos de texto variados. 1. O texto das páginas 25 e 26 do volume do 6o ano usa como base a ideia de contagem para abordar números naturais e os conceitos de sucessor, antecessor, números naturais consecutivos, pares, ímpares, bem como algumas das funções dos números naturais. Os alunos têm conhecimentos prévios sobre esses assuntos. Você pode solicitar a leitura antecipada do texto (tarefa de casa) e que, com base no que lerem, registrem no caderno: ◆◆
como explicariam a um colega o que é sucessor e o que é antecessor de um número natural;
◆◆
exemplos de números naturais consecutivos diferentes dos apresentados no texto;
◆◆
exemplos de outras situações reais em que os números naturais são usados.
Em sala de aula, oriente os alunos a ler o texto em voz alta e compartilhar as respostas das questões acima, enquanto você atua como mediador. É importante registrar na lousa os conceitos finalizados. Em seguida, organize-os em duplas ou trios e peça que respondam às questões do Interagindo da página 26. 2. A Seção Livre da página 110 do volume do 7o ano (Razões e Geografia) aborda o tema “densidade demográfica”. Você pode solicitar leitura individual silenciosa em sala de aula, pedindo que, ao final do texto, os alunos registrem no caderno o que é densidade demográfica, como é calculada, como interpretamos a unidade hab./km2 e a resolução do problema proposto. Em seguida, peça a alguns alunos que leiam suas anotações e permita que os demais participem complementando ou corrigindo o que foi lido, trocando ideias sobre o que aprenderam com o texto. Anote as informações mais importantes na lousa, verificando como resolveram a atividade sobre Roraima e São Paulo. Sugira que pesquisem a área e a população do município em que se localiza a escola e calculem a densidade demográfica da cidade. Esse tema possibilita trabalho em parceria com Geografia, o que pode enriquecer a atividade. 3. Os itens 1, 2 e 3 da Unidade 10 do volume do 8o ano possibilitam um trabalho interessante envolvendo leitura de textos instrucionais (itens 2 e 3). Você pode pedir como tarefa de casa a leitura do item 1, orientando os alunos a anotar no caderno as posições relativas entre duas retas de um mesmo plano e como caracterizamos retas paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares. Solicite que apresentem exemplos de situações reais que nos lembram esses conceitos, tais como trilhos de trem, ruas perpendiculares etc. Em sala de aula, depois da leitura das anotações que fizeram sobre o item 1 e o registro dos conceitos na lousa, os alunos, de posse de régua e compasso, podem responder aos itens 2 e 3, ler e executar cada passo dos manual do professor
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roteiros apresentados, com sua mediação ao circular pela sala. É importante que eles procurem seguir as instruções sem ajuda direta, para desenvolverem a habilidade de compreender e executar instruções escritas. Terminadas as construções, proponha a resolução da atividade proposta na página 179 e a prática dos processos. 4. O texto do item 2 da Unidade 7 do volume do 9o ano pode ser utilizado para desenvolver a habilidade de leitura de textos mais específicos da Matemática, pois apresenta a dedução das fórmulas para o cálculo da diagonal do quadrado e da altura do triângulo equilátero. A leitura pode ser feita em casa, como tarefa. Deixe claro que, com base na leitura, devem explicar como chegar às fórmulas por meio do teorema de Pitágoras. É bom enfatizar que o objetivo é compreender a dedução, o desenrolar do processo, e não a memorização das fórmulas. Na aula, peça a dois ou mais alunos para irem à lousa e fazer as deduções, explicando passo a passo o raciocínio. Esse momento é oportuno para destacar que um novo conhecimento foi produzido com base em outro já comprovado (teorema de Pitágoras).
Sobre jogos e brincadeiras na aula de Matemática Citamos a presença de jogos no Livro do Aluno e, em maior quantidade, sugestões desse tipo de atividade neste Manual do Professor. Entendemos que jogos propiciam o desenvolvimento de aspectos atitudinais, como cooperação, respeito às regras, aceitação da derrota, entre outros, além de exercitar a criatividade, a elaboração de estratégias e a mobilização de conhecimentos. Um jogo pode despertar a curiosidade, o interesse por um assunto, desenvolver e aprofundar conceitos ou ser uma maneira mais agradável de propor a exercitação de um conteúdo. Jogos também são estratégias interessantes no preparo dos alunos para resolver problemas, como esclarece muito bem o texto a seguir. [...] Aliar jogos à resolução de problemas no contexto do ensino da Matemática proporciona um ambiente de aprendizagem no qual há a exploração
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dos conceitos mediante a estrutura matemática subjacente ao jogo e que pode ser vivenciada pelo aluno. Este pode questionar e ousar propor soluções aos problemas encontrados num clima de investigação, onde a construção de estratégias e de conhecimentos matemáticos está em evidência. Moura (1992) afirma que tanto o jogo quanto o problema podem ser vistos, no processo educacional, como introdutores ou desencadeadores de conceitos ou como verificadores/aplicadores de conceitos já desenvolvidos e formalizados, além de estabelecer uma relação entre jogo e problema ao afirmar que … o jogo tem fortes componentes da resolução de problemas na medida em que jogar envolve uma atitude psicológica do sujeito que, ao se predispor para isso, coloca em movimento estruturas do pensamento que lhe permitem participar do jogo. [...] O jogo, no sentido psicológico, desestrutura o sujeito, que parte em busca de estratégias que o levem a participar dele. Podemos definir jogo como um problema em movimento. Problema que envolve a atitude pessoal de querer jogar tal qual o resolvedor de problemas, que só os tem quando estes lhes exigem busca de instrumentos novos de pensamento. No sentido abordado por Moura (1992), o jogo é desencadeador de desafios, desestruturando o indivíduo e possibilitando a este desenvolver a postura de analisar situações e criar estratégias próprias de resolução de problemas ao possibilitar o desenvolvimento de habilidades como análise de possibilidades, tomada de decisão, trabalho em grupo, saber ganhar e saber perder (p. 53). Ao se propor a análise do jogo pelo aluno, este é levado a refletir sobre as estratégias que utilizou durante as jogadas e a avaliá-las, fato que terá consequências na habilidade de resolução de problemas. Essa reflexão ocorre de forma espontânea por parte do aluno, pois analisar as estratégias elaboradas é exigência do próprio jogo, o que o leva a detectar as jogadas erradas realizadas e buscar alternativas para solucioná-las a tempo de ganhar a partida e produzir conhecimento. A análise do erro e do acerto pelo aluno se dá de maneira dinâmica e efetiva, proporcionando a reflexão e a (re)criação de conceitos matemáticos que estão sendo discutidos. [...] Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Resolver problemas – o lado lúdico da Matemática. In: Pró-letramento – Matemática, fasc. 7, p. 38. Disponível em: . Acesso em: out. 2014.
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quadro de conteúdos 6o ano Unidade
Conteúdo ●●
1. Sistema de numeração decimal
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2. Números naturais
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3. Adição e subtração de números naturais
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4. Multiplicação e divisão de números naturais
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5. Potenciação e raiz quadrada de números naturais
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6. Múltiplos e divisores
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7. Dados, tabelas e gráficos de barras
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Processos de contagem – história dos números Noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano Sistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos numerais indo-arábicos
Sequência dos números naturais Sucessor, antecessor, números naturais consecutivos Aplicações dos números naturais Reta numérica
Ideias da adição e da subtração Cálculo mental nas adições e subtrações Estimativas por arredondamento Problemas envolvendo adição e subtração de números naturais
As ideias da multiplicação Divisão – ideias e algoritmos Multiplicação e divisão – operações inversas Relação fundamental da divisão Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração Cálculo mental de produtos Resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais Unidades de medida de tempo – problemas
Potenciação – significado, representação e cálculos Quadrados e cubos Expoente zero e expoente 1 Raiz quadrada de números naturais Expressões numéricas
Sequência dos múltiplos de um número Fatores ou divisores de um número natural Critérios de divisibilidade Números primos e decomposição em fatores primos Mínimo múltiplo comum Divisores comuns e máximo divisor comum
Utilidade dos gráficos Dados e tabelas de frequência Construção e interpretação de gráficos de barras Elaboração e análise de uma pesquisa estatística simples
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6o ano Unidade
Conteúdo ●● ●●
8. Observando formas
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9. Ângulos
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10. Polígonos e circunferências
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11. Frações
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12. Números decimais
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13. Porcentagens
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14. Medidas
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As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano Formas planas e não planas Blocos retangulares – estudo e planificação Ponto, reta, plano e segmento de reta Perspectivas e vistas Construção de poliedros Identificação, elementos e representação Medidas de ângulos e uso do transferidor Retas paralelas e retas perpendiculares Uso dos esquadros Polígonos – características e nomenclatura Triângulos – classificação Quadriláteros – classificação Polígonos regulares Perímetro de polígonos Circunferência – definição e elementos Uso do compasso Simetria nos polígonos e no círculo Frações como partes do inteiro Representação e leitura Frações de uma quantidade Números mistos e frações impróprias Frações equivalentes Simplificação de frações Comparação de frações Operações com frações Problemas envolvendo frações e suas aplicações Anotação decimal Números decimais e o registro de medidas Números decimais na forma de fração Comparação de números decimais Adição e subtração de números decimais Multiplicação e divisão por 10, 100, 1 000, … Multiplicação de números decimais Divisão de números naturais com quociente decimal Divisão de números decimais Problemas envolvendo números decimais e suas aplicações Significado, representação e cálculos simples envolvendo porcentagens Representação decimal de porcentagens Conceito de medida e de unidade de medida Medidas de comprimento no sistema métrico decimal (SMD) Medidas de superfície e área do retângulo Relações entre km2, m2 e cm2 Conceito de volume e volume de um bloco retangular Equivalência entre litro e decímetro cúbico Medidas de massa
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7o ano Unidade
Conteúdo ●●
1. Números naturais
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2. Frações e números decimais
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3. Números negativos
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4. Proporcionalidade
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5. Razões e porcentagens 6. Construindo e interpretando gráficos 7. Sólidos geométricos
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8. Áreas e volumes
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9. Equações
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10. Inequações
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11. Ângulos e triângulos ●● ●●
Retomada e aprofundamento dos conhecimentos sobre os números naturais, abordando: Sequência dos números naturais, sucessor, antecessor, números consecutivos Fração e divisão Frações equivalentes Frações e números decimais na reta numérica Aplicações dos números negativos Comparação Representação na reta numérica Módulo e simétrico Grandezas e comparação de grandezas Razões e proporções Escalas, plantas e mapas Representação e cálculo de porcentagens Construção e análise de gráficos de barras e de setores Poliedros Prismas e pirâmides Dimensionalidade Medidas de superfície – unidades e conversões Comparação de áreas Área do retângulo e do quadrado Cálculo de áreas por composição e decomposição de figuras Observação de padrões numéricos – generalizações Uso das letras – linguagem algébrica Algumas operações com letras Desigualdades – símbolos e propriedades Retomada sobre ângulos Ângulos suplementares, complementares, opostos pelo vértice Grau e subdivisões do grau Bissetriz de um ângulo
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Representação na reta numérica Múltiplos e divisores - mmc e mdc Números primos
Expressões numéricas Potenciação e raiz quadrada de números decimais Medidas de tempo Operações com números negativos Expressões numéricas envolvendo operações com números negativos
Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Regras de três simples Descontos e acréscimos Problemas envolvendo porcentagens Pictogramas Médias Poliedros regulares Cilindros, cones e esferas Área do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio Problemas envolvendo o cálculo de áreas Relações entre unidades de medida de volume e de capacidade
Resolução de equações do 1o grau Resolução de problemas por meio de equações do 1o grau
Resolução de inequações Inequações e problemas Os ângulos nos triângulos Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero
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8o ano Unidade
Conteúdo ●●
1. Conjuntos numéricos
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2. P otenciação e notação científica 3. Radiciação
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5. Produtos notáveis 6. Fatoração
8. Sistemas de equações
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12. Triângulos: congruência e pontos notáveis
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13. Quadriláteros e outros polígonos
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Raízes não exatas
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15. Possibilidades e estatística
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Principais casos de fatoração
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14. Circunferência e círculo
Multiplicação por potências de base 10 Notação científica
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Letras no denominador Condição de existência Problemas e equações envolvendo frações algébricas Problemas do 1o grau com duas incógnitas – representação por meio de um sistema de equações Razões e proporções Porcentagens Escalas, plantas e mapas Posição relativa entre retas Ponto médio de um segmento Retas perpendiculares e paralelas Elementos, perímetro e classificação Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Congruência de figuras planas Casos de congruência de triângulos Mediana, bissetriz e altura em um triângulo Elementos e classificação dos quadriláteros Propriedades dos paralelogramos e dos trapézios isósceles Caracterização Construção de triângulos Posições relativas de duas circunferências Posições relativas entre reta e circunferência Cordas Tabela e árvore de possibilidades Problemas de contagem
Números irracionais Pi – um número irracional Números reais Os números reais e as operações
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11. Triângulos
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Desenvolvimento de produtos notáveis
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10. Retas e ângulos
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9. Proporcionalidade
Aprofundamento sobre raízes Raízes exatas
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7. Frações algébricas
Expoentes inteiros Propriedades das potências Potências de base 10
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Retomada de equações Variáveis Expressões algébricas Monômios e polinômios
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4. Cálculo algébrico
Números naturais Números inteiros Números racionais Representação dos números racionais
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Operações e expressões algébricas Simplificação de expressões com letras Multiplicação de polinômios Aplicações dos produtos notáveis no cálculo algébrico Aplicações da fatoração Simplificação de frações algébricas Operações com frações algébricas
Método da substituição Método da adição Dízimas periódicas na forma de fração Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Regras de três compostas
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Distância entre dois pontos Distância de ponto à reta
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Propriedade do ângulo externo
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Triângulo isósceles e triângulo equilátero Maior lado e maior ângulo de um triângulo Ângulos de um polígono
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Arco e ângulo central Comprimento de um arco Construção de polígonos regulares Ângulo inscrito
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Gráficos estatísticos
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9o ano Unidade
Conteúdo ●● ●● ●●
1. Potenciação e radiciação
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2. Equações do 2o grau
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3. Sistema cartesiano
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4. Funções
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5. Noções de probabilidade
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6. Teorema de Tales e semelhança de triângulos
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7. Relações métricas nos triângulos retângulos
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8. Trigonometria no triângulo retângulo
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9. Círculo e cilindro
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10. Porcentagem e juro
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Retomada e aprofundamento da potenciação e suas propriedades Retomada da radiciação Expoentes racionais Propriedades dos radicais Simplificação de radicais Adição e subtração de radicais Cálculos com radicais Racionalização Equações e grau de uma equação Equações incompletas do 2o grau Forma geral de uma equação do 2o grau Resolução de equações do 2o grau pela fatoração do trinômio quadrado perfeito Fórmula geral de resolução de equações do 2o grau Resolução de problemas envolvendo equações do 2o grau Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau Equações fracionárias e biquadradas Equações irracionais Localização no plano Sistema cartesiano Coordenadas geográficas Conceito e aplicações Tabela de valores e lei de formação de uma função Interpretação de gráficos Construção de gráficos das funções do 1o grau e do 2o grau Probabilidade e estatística Problemas envolvendo o cálculo de probabilidades Conceito de população e amostra numa pesquisa estatística Razões, proporções e segmentos proporcionais Teorema de Tales Semelhança Semelhança de triângulos Aplicação da semelhança de triângulos na resolução de problemas Teorema de Pitágoras e suas aplicações Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero Relações métricas nos triângulos retângulos Problemas de aplicação Razões trigonométricas: tangente, seno e cosseno Aplicações na resolução de problemas As razões trigonométricas e os ângulos de 30°, 45° e 60° Área do círculo Área de setor circular e de coroa circular Área da superfície e volume de um cilindro Aplicações na resolução de problemas Problemas envolvendo porcentagens, descontos e acréscimos Juros simples e composto
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4. Sobre o livro do 6o ano Esta seção trata do desenvolvimento dos conteúdos do Livro do Aluno do 6o ano, procurando articular as propostas do manual com a prática em sala de aula. Para cada unidade do livro apresentamos objetivos gerais e específicos, comentários sobre sua utilização, propostas para o trabalho com leitura, escrita, oralidade, resolução de problemas, uso de novas tecnologias, além de recursos para compor o processo de avaliação. Ao final deste Manual disponibilizamos para cópia modelos de fichas que se destinam à elaboração de um planejamento compartilhado, que possibilitará o acompanhamento individual do aluno e a avaliação contínua de seu desempenho. Sugerimos iniciar cada unidade compartilhando o planejamento de conteúdos e exercícios, apresentando temas e datas e distribuindo a ficha de acompanhamento do desempenho. A rotina de preenchimento dessa ficha pelos alunos e a observação dela por você, professor, pode ser combinada com a turma. Na seção 5. Avaliação – O que se pede por aí, presente no manual de cada volume, apresentamos um conjunto de questões, contextualizadas ou não, selecionadas em exames elaborados, de forma criativa e pertinente, por instituições públicas conceituadas. Essas questões contemplam conteúdos desenvolvidos no Livro do Aluno. Incluímos também, ao final do item V de cada unidade, sugestões de sites que disponibilizam objetos educacionais envolvendo os temas trabalhados: arquivos de vídeo e de áudio, jogos, experimentos, simulações, entre outros, todos com comentários.
Unidade 1 – Sistema de numeração decimal I. Objetivo geral ◆◆
Compreender as necessidades práticas que levaram à criação dos números, relacionando o desenvolvimento dos sistemas de numeração com a história da humanidade.
II. Objetivos específicos ◆◆ ◆◆ ◆◆
◆◆ ◆◆
Conhecer métodos primitivos de contagem e as situações que motivaram sua criação e evolução. Identificar diferentes representações do mesmo número. Conhecer os símbolos e as regras básicas do sistema de numeração egípcio e do sistema de numeração romano. Registrar números nesses sistemas, comparando-os com o que utilizamos hoje: o sistema de numeração decimal (SND). Ampliar e aprimorar a compreensão das regras do sistema de numeração decimal. Ler e escrever corretamente números nesse sistema.
III. Comentários O trabalho com o sistema de numeração decimal desenvolvido nos anos iniciais do Ensino Fundamental deve prosseguir no 6o ano visando ampliar e consolidar os conceitos de número e de sistema de numeração. A História da Matemática é um grande aliado nessa tarefa. Os textos e os exercícios abordam processos primitivos de contagem – surgidos devido à necessidade prática – e os sistemas de numeração criados por antigas civilizações. A apresentação dos símbolos e das regras básicas dos sistemas de numeração egípcio e romano pretende mostrar como ideias e registros evoluíram e ressaltar as vantagens do sistema que hoje usamos, tais como ter somente 10 símbolos – tendo um símbolo (o zero) para indicar a ausência de unidades, dezenas etc. – e ser posicional. Julgamos importante retomar a leitura e a escrita correta de números, principalmente “números grandes”, devido à sua aplicação em muitas situações do cotidiano. Ao abordar o sistema romano é necessário tomar alguns cuidados. O sistema é aditivo, ou seja, devemos ir adicionando os valores dos símbolos representados. Se os símbolos que compõem um número se apresentam em ordem decrescente dos valores que representam, da esquerda para a direita, então podem ser adicionados, da esquerda para a direita. Exemplo: MDCCXXXVIII M D C C X X X V I I I 5 5 1 000 1 500 1 100 1 100 1 10 1 10 1 10 1 5 1 1 1 1 1 1 332
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O uso dessa regra pode causar confusões que gerem registros errados. Exemplo: escrever 99 como IC em vez de XCIX, que seria o correto. Mostre aos alunos como registrar corretamente 99 (XCIX), 190 (CXC), 490 (CDXC) e 1040 (MXL), entre outros números. No texto didático, citamos o sistema de numeração romano moderno, comentando que, num primeiro momento, cada letras das que se repetiam poderia ser empregada até quatro vezes. LXXXXVIIII representava 99, por exemplo. Há, inclusive, a foto de um relógio indicando 4 por IIII para ilustrar esse registro. No sistema que chamamos de moderno introduziu-se o princípio subtrativo e, ainda, a barra horizontal, que multiplica o valor do símbolo por mil, permitindo ampliar os registros e torná-los mais sucintos. 000 IF VH 5 4 000 000 Xu 5 10 A unidade traz o texto Matemática – uma grande criação da humanidade, que você pode ler em voz alta e debater com os alunos, levantando questões como: ◆◆
A Matemática sempre existiu?
◆◆
Que razões motivaram a criação dos números?
◆◆
Só grandes gênios participaram da construção do conhecimento matemático ao longo da história?
◆◆
Ainda hoje, a Matemática continua a ser construída?
O objetivo é apresentar aos alunos a Ma te má ti ca como criação humana em constante evolução e de cuja história fazemos parte. Explore a oralidade, ouça comentários, opiniões e, se possível, mostre a eles algum artigo que apresente avanços atuais em pesquisas na área de Matemática.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Compartilhe o planejamento da unidade aos alunos e distribua a eles a ficha de acompanhamento do desempenho, disponível para cópia na página 395 desse manual. De posse desse
material, cada aluno estará apto a acompanhar o desenvolvimento dos conteúdos, preparando-se para os exercícios e avaliando seu próprio desempenho, como propusemos na parte geral deste manual. Essa sugestão vale para todas as unidades da obra. Essa unidade contempla, em particular, a História da Matemática por meio do estudo dos sistemas de numeração egípcio, romano e indo-arábico.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual A história dos números possibilita a interligação entre a História da Matemática e as antigas civilizações. Os componentes de História e Geografia podem trazer para as aulas informações sobre esses povos. O Interagindo, na página 12, ajudará a organizar as ideias sobre o sistema romano. Ao retomar o sistema de numeração posicional decimal na página 14, lembre aos alunos a origem dele – a Índia Antiga. O exercício 9 da página 13 proporciona uma relação entre o sistema de numeração romano e a descoberta de padrões em sequências, importante para a formação do pensamento algébrico mais à frente. Ele pode ser estendido conforme mostramos no item VI, a seguir. Sugerir a leitura de um livro paradidático sobre a história dos números pode complementar o estudo desta unidade. Segue uma obra como referência:
IMENES, Luís Márcio. Números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1995.
Editora Scipio ne
Mas não é sempre assim. Por exemplo, DCXL não é igual a 500 1 100 1 10 1 50 5 660, mas sim igual a 500 1 100 1 40 5 640.
Leitura, escrita e oralidade O texto das páginas 7 e 8 pode ser usado para o trabalho com leitura e oralidade. Após leitura silenciosa, peça aos alunos que apresentem oralmente a situação narrada no subitem Aprendendo a contar, questionando-os: “Se sobrassem pedrinhas depois das ovelhas voltarem do pasto, o que isso significaria?”. Dê oportunidade para vários alunos falarem, observando manual do professor
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como eles argumentam e interferindo, se necessário. A atividade proposta no Refletindo da página 8 complementa essa pergunta. Peça a eles que respondam à questão oralmente, aproveitando para trabalhar a ideia de correspondência um a um presente nas contagens. Feche a leitura solicitando que expliquem a diferença entre número e numeral.
recolher os trabalhos das duplas para correção e comentários. Além da correção das questões, é possível avaliar, durante a execução dos exercícios, conteúdos atitudinais, como os sugeridos a seguir. ◆◆
Organização e responsabilidade: a dupla trouxe o material necessário para o exercício? Os alunos sabem se organizar? Fazem o trabalho com cuidado necessário e zelam pela limpeza da sala de aula?
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Trabalho cooperativo: Os alunos sabem ouvir? Respeitam a opinião do colega? Negociam entre si para chegar a um entendimento?
Resolução de problemas Ao explorar o exercício 32 da página 18 é possível verificar estratégias na resolução de problemas apresentadas pelos alunos. Peça que leiam o enunciado e observem o exemplo na ilustração, e chame alguns alunos para colocar outros horários possíveis no quadro. Pergunte se os algarismos podem aparecer em qualquer posição, deixando que descubram por que 3 e 6 não podem ocupar a 1a posição. Forme pequenos grupos (de 3 ou 4 alunos) e deixe que discutam como determinar quantos são os horários que atendem à condição do problema. Acompanhe as estratégias de cada grupo e depois peça que compartilhem as resoluções entre si. Avaliação O Interagindo da página 16 exibe exercícios que devem ser realizados com o uso de jornais ou revistas. Sugerimos utilizá-los no processo de avaliação. Oriente os alunos com antecedência sobre o material necessário (jornais, revistas, tesoura sem ponta e cola), explique como será a aula (envolverá trabalho em dupla para o recorte de diversos tipos de número presentes em situações contextualizadas) e o que será avaliado – regras do SND (ordens e classes) e aspectos atitudinais. Se houver possibilidade de acesso à internet, a pesquisa também pode ser feita em sites. Lembre-os sempre de citar as fontes consultadas, indicando sites confiáveis quanto às informações fornecidas. Aproveite também para propor uma roda de conversa sobre pesquisas na internet, alertando-os da existência de sites que podem trazer conteúdo não adequado. Essas atividades possibilitam verificar se as regras do sistema de numeração decimal são de domínio dos alunos. Outras questões podem ser incluídas a seu critério. Podem-se
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Uma parte da nota integral do trabalho pode ser definida de acordo com a observação desses itens. Jogos No exercício 16 vemos um exemplo de jogo que envolve as regras de troca num sistema de numeração, dada sua base. Jogos como esse são importantes para verificar se os alunos compreendem essas regras. O jogo da base três é um jogo interessante, que trabalha a representação de quantidades numa base não decimal.
Jogo da base três Material: ●●
Tiras de cartolina colorida (3 verdes, 3 azuis, 3 amarelas ou outras cores) e 2 dados c omuns.
Modo de jogar ●●
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Três tiras verdes podem ser trocadas por uma tira azul. Três tiras azuis podem ser trocadas por uma tira amarela. O aluno lança os dois dados, e o número obtido representa o número de tiras verdes que devem ser trocadas com o outro jogador, de acordo com as regras acima.
Exemplos: ●●
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O número 4 representa uma tira azul e uma verde; O número 11 representa uma tira amarela e duas verdes.
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Matemática e tecnologia http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_ 209_g_2_t_1.html?open=activities&from =category_g_2_ t_1.html Para verificar se os alunos dominam as regras do SND, você pode propor uma atividade com o ábaco de fichas disponível nesse endereço. Há instruções para o professor. Se achar pertinente, este ábaco também permite registros na base 5. http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_ 152_g_2_t_1.tml?from=category_g_2_ t_1.html Com os mesmos objetivos do objeto citado anteriormente, aqui o aluno tem acesso ao material dourado virtual. O aluno seleciona blocos (1 000), placas (100), barras (10) ou cubinhos unitários para formar um número no SND. http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/ Apresenta Operações com palitos que consiste em um joguinho muito interessante que trabalha operações simples e os símbolos do sistema romano.
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercícios 3 e 4 Trabalham formas diferentes de registro de quantidades, o que é desejável. Traga para a sala de aula palitos de fósforo usados e exercite o registro de quantidades usando as regras propostas pelo menino do exercício 3. Proponha aos alunos que, em duplas, utilizem os palitos mudando ou ampliando as regras, por exemplo, usando a posição inclinada ( ) para representar 100. No exercício 4, deixe que descubram sozinhos quanto vale uma “bolinha” e quanto vale um “quadradinho”. Incentive a troca de ideias. Uma sugestão é pedir que inventem um símbolo para a unidade, um para a dezena etc., registrem quantidades com esses símbolos e peçam a um colega que descubra o símbolo que representa cada quantidade. Exercício 9 É possível ampliar a atividade propondo aos alunos que inventem, no caderno, uma sequência utilizando os números escritos no sistema romano que obedeça a um padrão.
Exercício 13 Aproveite esse momento para trabalhar a leitura de séculos registrados em algarismos romanos. A atividade aborda esse registro. Exercício 24 Uma sugestão é levar cópias de folhas de cheque em papel sulfite e pedir aos alunos que preencham corretamente os valores ditados por você usando algarismos e os escrevam também por extenso. Depois de preenchidos, os cheques mudam de mãos e um aluno corrige o preenchimento feito pelo colega. Há um modelo de cheque disponível na página 400. Exercício 29 Os pictogramas serão formalmente apresentados no livro do 7o ano, mas sua presença constante em jornais, revistas, internet etc. possibilita usar esse tipo de recurso para representar dados ainda no 6o ano. Verifique se os alunos percebem que cada símbolo do pictograma representa 10 milhões de habitantes. Se possível, traga mais alguns exemplos de pictogramas para analisar com a turma.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor
O ábaco Ábacos são tidos como as formas mais elementares de máquinas calculadoras. São dispositivos simples inventados para registrar números e efetuar operações. Eram muito necessários, já na antiguidade, uma vez que os sistemas de numeração então vigentes não facilitavam as computações e não havia material conveniente para a escrita (o papiro, usado pelos egípcios, surgiu na Grécia só por volta do século VII a.C.; o papel, muitos séculos mais tarde). A palavra ábaco vem do grego abax, que significa tábua coberta com pó ou areia, usada para desenhar figuras e fazer contas. Com o passar do tempo, as tábuas foram substituídas por placas de madeira ou metal, com linhas ou sulcos, onde deslizavam pequenas pedras ou contas (em latim, pedra é calculus, origem da palavra calcular). O ábaco romano continha sulcos designando agrupamentos de 1 (I), 5 (V), 10 (X), 50 (L), 100 (C), 500 (D) unidades, estes números multiplicados por 1 000: I , V, X, ... Continha também sulcos para 1 1 1 1 1 , , e . Em cada sulco, as frações , 72 2 12 24 48
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apenas as pedrinhas colocadas no alto entravam na composição do número. Veja na figura seguinte a representação do número:
Em cada sulco do ábaco romano apenas as bolinhas que ficam para cima (em dourado na figura) entram na formação do número. No exemplo, temos:
3 3 1 5 1 000 1 500 1 200 1 50 1 20 1 3 1 1 12 4 2 Os ábacos chinês e japonês possuem varetas verticais com contas, separadas por uma barra horizontal; cada conta acima da barra horizontal tem valor igual a 5 vezes o valor de cada conta correspondente, abaixo da barra horizontal; estes valores são, da direita para a esquerda: 1, 10, 100, 1 000 etc.
1 773
1 000 1 500 1 200 1 50 1 20 1 3 1
O ábaco chinês
Vale notar que os ábacos eram essencialmente uma representação posicional dos números. As computações no ábaco tinham já as vantagens das computações do sistema de numeração indo-arábico; os povos, porém, usavam o sistema sem reconhecer o princípio posicional que praticavam.
No ábaco chinês, chamado de suan phan, cada vareta vertical indica uma ordem, a partir da direita, apenas as contas encostadas na barra horizontal entram na formação do número e cada conta acima dessa barra vale cinco unidades das contas abaixo dela. Esse exemplo indica 2 347.
Cabe uma observação a respeito do processo de implantação do sistema numérico indo-arábico. Este sistema possui procedimentos de computação, os algoritmos, descritos em termos dos algarismos dos números; os algoritmos, ao permitirem efetuar contas no papel, abriram os horizontes para a generalização. Os que advogavam o uso do sistema indo-arábico eram chamados “algoristas”. Os que preferiam ficar com o ábaco para a computação eram os “abacistas”. Houve um período de aproximadamente 500 anos de acirrada rivalidade até que os “algoristas” lograssem a aceitação geral de suas técnicas de computação. Por volta de 1600, o uso do sistema indo-arábico estava generalizado e as técnicas aritméticas de operações estavam estabelecidas na forma de hoje.
O ábaco japonês
O ábaco japonês, ou soroban, funciona de maneira similar ao chinês, mas só apresenta uma conta acima da barra horizontal em cada vareta. Esse exemplo indica 27 483.
O ábaco. Revista do Professor de Matemática, São Paulo: SBM, n. 17, p. 63-64, 1990.
O ábaco romano
Unidade 2 – Números naturais Ilustrações: Marcelo Azalim
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3 1 3 5 1 773 1 12 2 4
I. Objetivo geral ◆◆
Reconhecer e explorar os números naturais em diferentes contextos.
II. Objetivos específicos ◆◆
Identificar e ordenar números naturais.
◆◆
Utilizar os números naturais em situações de contagem e ordenação.
◆◆
Representar números naturais na reta numérica.
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III. Comentários A expressão números naturais pode ser nova para os alunos. Comente que são os números que eles usam para contar, incluindo o zero, como explicado no texto didático. Conceituamos antecessor e sucessor de um número natural e mostramos como representá ‑los como pontos de uma reta. É preciso que o aluno entenda que para essa representação é preciso marcar o ponto correspondente ao zero, estabelecer uma unidade para toda a reta e considerar o sentido crescente, da esquerda para a direita. Os exercícios priorizam a aplicação dos números naturais em situações contextualizadas. Um alerta: o exercício 7 não deve ter abordagem algébrica. Sugerimos deixar que os alunos criem uma forma de descobrir os números. Eles podem usar, por exemplo, a divisão, fazendo 324 2 5 162 e então somar 1 a esse número. Sabemos da importância do trabalho com o tratamento da informação. A partir da Unidade 2 introduzimos exercícios que envolvem a leitura de tabelas e de gráficos. São propostas simples, as quais o aluno conseguirá trabalhar utilizando conhecimentos adquiridos na experiência cotidiana e nos anos escolares anteriores. No entanto, vale a pena checar esse conhecimento prévio, acompanhando a resolução desses exercícios e dando atenção especial à correção delas. A Unidade 7 tratará especificamente dos gráficos de barras, introduzindo o conceito de frequência e mostrando como construir corretamente esse tipo de gráfico.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Essa unidade possibilita trabalhar leitura e compreensão, pois os textos de teoria são simples, acessíveis. Há propostas para discussão, formulação de hipóteses e ligação entre a linguagem matemática e a língua materna, como no Interagindo da página 26. A descoberta e a observação de padrões, habilidades importantes para a iniciação em Álgebra, aparecem no Refletindo da página 28.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Compartilhe o planejamento da unidade com os alunos e distribua a eles a ficha de acompanhamento do desempenho, disponível para cópia na página 395 deste manual.
Leitura, escrita e oralidade Sugerimos desenvolver a escrita por meio da elaboração de painéis pelos alunos. Eles podem apresentar os números naturais, registrando por escrito quais aplicações eles têm. Em quadros, podem escrever com suas próprias palavras os conceitos de antecessor, sucessor, números consecutivos e colar imagens mostrando situações diversas envolvendo números naturais com diferentes funções, como contagem, ordenação, códigos de identificação etc. O material para compor os painéis pode ser obtido em jornais, revistas, folhetos, anúncios, documentos pessoais (como o RG), cartões de visita etc. Esse exercício pode servir para trabalhar a formação cidadã, discutindo a importância dos documentos pessoais (RG, CPF, Título de Eleitor) e a utilidade de haver um número de identificação para cada cidadão. Uma parceria com Geografia ou História seria oportuna. A História também está presente no texto A li nha do tempo da tecnologia e no exercício que sugerimos no item V para desenvolver um trabalho com os alunos. Resolução de problemas Na questão 3 do Interagindo da página 26 há um problema com mais de uma possibilidade de resposta. Julgamos esse tipo de questão importante para o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas. É interessante observar como os alunos procedem e se conseguem encontrar as três possibilidades. Avaliação A atividade de elaboração de painéis pode ser usada para avaliar os alunos. Além de observar a correção das informações pesquisadas, você pode observar conteúdos atitudinais, nos mesmos moldes do que foi sugerido na Unidade 1. Matemática e tecnologia Após você abordar os temas sucessor e antecessor, será interessante que os alunos tenham contato com o Objeto Educacional Digital disponível no seguinte endereço: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/mec/19621 Ele apresenta uma pilha de dados comuns de 6 faces, trabalha os conceitos de números consecutivos e de sucessor. manual do professor
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VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercício 5 Como já dissemos, a descoberta de padrões em sequências é importante no preparo para o estudo de Álgebra. Se julgar pertinente, proponha novas sequências para que a turma descubra o padrão. Refletindo da página 28 Situações da vida cotidiana envolvem o cálculo de quantos números há entre outros dois números e quantos números há de um número até o outro. Essa atividade explora essa diferenciação, assim como o exercício 12. Exercício 9 Antes de os alunos iniciarem o exercício, faça exemplos na lousa, pedindo a participação deles. Auxilie-os no traçado das retas numéricas usando, se possível, papel quadriculado. Exercício 18 Traz dados representados em um gráfico de barras. Como dissemos anteriormente, esse tipo de gráfico será objeto de estudo ainda no volume do 6o ano, mas os alunos provavelmente já tiveram contato com gráficos de barras em jornais, revistas, televisão etc. em anos anteriores. O exercício é também interessante porque o aluno deve observar a altura das barras e relacioná-las com a quantidade de habitantes de cada capital. Exercício 23 Trabalha distâncias, em quilômetros, entre cidades brasileiras por meio da leitura de uma tabela de dupla entrada que associa números naturais e medidas. O exercício explora também relações como “mais próxima”, “mais afastada”. Relembre com os alunos que 1 km 5 1 000 m.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Atividade complementar para os alunos O exercício sugerido a seguir pode ser ampliado se for possível acessar a internet. Pode-se dividir a turma em trios e pedir que cada grupo pesquise informações sobre um dos acontecimentos listados. Aproveite para comentar que os avanços tecnológicos acompanham e possibilitam o progresso da humanidade há muito tempo. Quando o homem pré-histórico construiu, com pedras afiadas e pedaços de pau, seu primeiro machado para caçar, utilizou tecnologia.
A linha do tempo da tecnologia Vivemos em meio à tecnologia: televisão, celular, micro-ondas, computador... Um grande salto no desenvolvimento tecnológico aconteceu no século XX e os avanços são ainda mais rápidos neste início do século XXI. Mas, e antes disso? O que de importante aconteceu, por exemplo, no século XIX? Traçamos a seguir uma linha do tempo, mostrando alguns avanços desse período: 1814 Stephenson inventa a locomotiva a vapor.
1800
1810
1820
1820 Primeira iluminação urbana, em Londres.
1859 Primeiro poço de petróleo é perfurado nos EUA.
1830
1840
1850
1879 Thomas Edison testa a 1a lâmpada incandescente.
1860
1876 Alexander Graham Bell inventa o telefone.
1870
1880
1896 Marconi inventa o telégrafo sem fio.
1890
1900
1910
1885 Gottlieb Daimler produz o primeiro carro movido a gasolina.
Peça aos alunos que tracem uma linha do tempo com 20 cm. Dividam-na em dez partes iguais usando régua, como fizemos acima. Listamos a seguir importantes conquistas tecnológicas do século XX. Solicite que localizem, na linha do tempo, o ponto correspondente a cada data e evento.
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1906: Santos Dumont voa com o 14-bis e Auguste Lumière inventa a fotografia colorida. 1913: Henry Ford desenvolve a linha de produção em suas fábricas. 1927: Charles Lindbergh torna-se a primeira pessoa a cruzar o Oceano Atlântico em um avião. 1935: primeiras transmissões televisivas, na Alemanha e na França. 1943: o primeiro computador eletrônico – Mark I – é projetado e construído nos EUA. 1950: início da televisão brasileira. 1957: União Soviética dá largada à corrida espacial lançando o Sputnik. 1969: o ser humano pisa na Lua. 1972: lançada a primeira calculadora de bolso do mundo. 1981: lançados os primeiros computadores pessoais (PCs, do inglês personal computers). 1983: é criada a internet. 1992: os brasileiros passam a ter acesso à internet.
Unidades 3 e 4 – Adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais Retomar e ampliar os conhecimentos sobre as operações fundamentais com números naturais, seus significados e aplicações na resolução de problemas.
II. Objetivos específicos ◆◆
Efetuar adição, subtração, multiplicação e divisão que envolvam números naturais, reconhecer os elementos desse conjunto e aplicar as ideias associadas a cada operação.
◆◆
Reconhecer e utilizar as propriedades das operações.
◆◆
Relacionar adição/subtração e multiplicação/divisão como operações inversas.
◆◆
Estabelecer e registrar estratégias para resolver problemas por meio das operações com números naturais.
Desenvolver o cálculo mental.
◆◆
Utilizar arredondamentos e estimativas para prever resultados.
III. Comentários Adição e subtração Tomando por base uma situação-problema, retomamos as ideias ligadas à adição e à subtração, bem como os algoritmos dessas operações. O trabalho com os algoritmos possibilita a você professor, verificar se as regras do sistema de numeração decimal foram bem compreendidas pelos alunos. As propriedades comutativa, associativa e elemento neutro da adição foram trabalhadas com base nas conclusões dos próprios alunos, sem citar a nomenclatura, mas julgamos que termos como parcelas, soma ou total devam ser sempre utilizados. A seção que explora o cálculo mental tornará possível associar as propriedades da adição às técnicas usadas nesse tipo de exercício. Dê oportunidade para os alunos mostrarem técnicas que utilizam para fazer cálculos mentalmente. Solicite a eles que descrevam, com palavras e números, o cálculo mental que fizeram, apontando onde uma propriedade foi aplicada. Exemplo:
I. Objetivo geral ◆◆
◆◆
13 1 9 1 7 5 9 1 13 1 7 5 9 1 20
comutativa
associativa
O Interagindo da página 40 apresenta questões que levarão a turma a observar alguns fatos da adição e da subtração, bem como investigar a subtração entre números pares e ímpares. Com relação às estimativas, é comum haver alunos que, diante de um problema, sabem que procedimentos e operações devem ser feitos para resolvê-lo e, no entanto, erram nos cálculos. Ainda pior, não percebem que o resultado não poderia ser aquele. Por exemplo, o resultado obtido é 10 ou 100 vezes maior do que o correto, e eles não se dão conta disso. As estimativas por arredondamento são de grande valia para que erros como esse não ocorram. Espera-se que o aluno seja capaz de prever a ordem de grandeza do resultado de uma
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operação. Por isso, é desejável que você traba lhe com frequência as habilidades de estimar e avaliar resultados. Multiplicação e divisão A ideia de multiplicação como adição de parcelas iguais foi retomada numa situação ‑problema. Aproveitando a mesma situação, outro significado foi dado à multiplicação: con tar possibilidades. Julgamos importante reto mar esses significados. Mais adiante, ainda no 6o ano, ao abordar a multiplicação de fração por 1 1 fração (como 3 , por exemplo) será preciso 2 4 mostrar que, quando nenhum dos fatores é um número natural, o produto não é calculado pela adição de parcelas iguais. Nos exercícios trabalhamos informalmen te as propriedades comutativa e associativa da multiplicação e a ideia de linhas 3 colunas, também associada a essa operação. A substitui ção do sinal (3) por ( ) pode ser nova, bem como os termos fatores e produto. No entanto, não há por que evitar o uso da nomenclatura correta nas quatro operações fundamentais. Na divisão, demos espaço para que os alu nos apresentem outra técnica ou forma de registro para efetuar a divisão que eventual mente utilizem. Dê oportunidade para eles avaliarem os processos da divisão, apontando vantagens e desvantagens, ampliando, dessa forma, a compreensão dos significados des sa operação e de seus elementos. Ao efetuar a divisão, principalmente na resolução de pro blemas, retome as ideias da divisão: repartir igualmente (distribuir, formar grupos de uma mesma quantidade) e medir, no sentido de “quantas vezes cabe”. Julgamos improdutivo trabalhar expressões numéricas extensas. É preciso exercitar a reso lução de expressões para preparar o aluno ten do em vista o estudo de Álgebra. No entanto, sem exageros. Ele deve, isto sim, ser capaz de re presentar, por meio de uma expressão numéri ca, a resolução de alguns problemas. Espera-se que os alunos nessa faixa etá ria resolvam problemas que envolvem as qua tro operações utilizando Aritmética, desenhos e diagramas. A linguagem algébrica formal vi rá nos anos seguintes, mas, respeitando a
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capacidade cognitiva dos alunos, introduzimos exercícios que preparam para o pensamento al gébrico, como o 14 e o 15 da Unidade 3 e o 71 da Unidade 4. Consideramos importante convidar sem pre os alunos a fazer estimativas de produtos e de quocientes. Antes de efetuar cada operação, pergunte a eles: “O resultado deve ser próximo de que número?”. O texto Calculadora: usando as teclas de memória possibilita descobrir alguns re cursos de uma calculadora simples. É sem pre oportuno mostrar a importância de saber usar as ferramentas tecnológicas. Esse exer cício não é suficiente para que os alunos do minem o uso das teclas de memória. Ao longo do livro, ou quando surgirem oportunidades no cotidiano da sala de aula, retome o uso de calculadoras. Medidas de tempo O item 6 da Unidade 4 retoma conceitos de medidas de tempo como dia, semana, mês, ho ra, segundo e suas formas de registro. A leitura da página 71 pode motivar uma pesquisa so bre a evolução dos instrumentos de medida de tempo ao longo da história. Uma ideia é propor um trabalho conjunto com História. Muitas si tuações contextualizadas envolvem medidas de tempo. O esporte, por exemplo, é uma fonte de situações-problema interessantes, que podem ser exploradas: natação, basquete, atletismo, automobilismo etc.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Os destaques dessa unidade são as ideias li gadas às quatro operações básicas, as estimati vas de resultado utilizando arredondamentos e o trabalho com resolução de problemas envol vendo essas operações. Além disso, exercícios começam a mostrar o poder de generaliza ção dessas operações, incluindo certa prepara ção para a álgebra, e até trabalhando, de modo velado, a ideia de incógnita. Por exemplo, nos quadrados mágicos, trabalha-se, mentalmen te, com frases do tipo “sete mais um mais outro número dá doze. Que número será es se?” – o que corresponde a equações do tipo 7 1 1 1 x 5 12. A tecnologia está contemplada na introdução das calculadoras.
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V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Compartilhe o planejamento da unidade com os alunos e distribua a eles a ficha de acompanhamento do desempenho, disponível para cópia na página 395 deste manual. Leitura, escrita e oralidade Muitas situações do cotidiano, do trabalho e das áreas de ciências e de tecnologia envolvem operações fundamentais com números naturais. Uma ideia interessante é que os alunos trabalhem em duplas ou trios com o objetivo de criar e resolver problemas. As ideias ou temas podem vir de notícias, anúncios, da própria vivência dos alunos, de situações presentes na escola ou na comunidade, de assuntos que viabilizem trabalho integrado com outras disciplinas etc. Cada grupo redige o enunciado e resolve seu problema. Com o auxílio do professor de Língua Portuguesa, oriente a escrita dos problemas, mostrando como é importante apresentar um enunciado claro e coerente. Quando os problemas estiverem prontos, os grupos podem trocá-los entre si, resolvendo-os em seguida. O texto Calculadora – usando as teclas de memória da página 44 proporciona uma experiência com a leitura de um texto instrucional. Comente com os alunos que encontramos textos instrucionais em manuais, por exemplo. Sugerimos que proponha a eles a leitura silenciosa do texto e que tenham ao lado a calculadora para manuseio. Solicite que um aluno vá à frente da turma para explicar como utilizar as teclas M1 e M– usando o exemplo do texto. Outro aluno pode apresentar a sequência de teclas a ser digitada para resolver a questão proposta. Resolução de problemas A primeira proposta da seção Leitura, es crita e oralidade já contempla a resolução de problemas. Nessa atividade, pode-se focar na importância do enunciado bem escrito. Ele deve ser claro e objetivo, apresentando as informações necessárias para a resolução. Você pode mostrar, como exemplo, um problema que tenha um enunciado mal elaborado, que deixe margem a dúvidas e, em seguida, um problema com enunciado adequado. Peça que descubram os defeitos do enunciado do 1o problema e as características que tornam o 2o enunciado correto.
É interessante intermediar todo o processo, incentivando as produções, esclarecendo dúvidas e observando o trabalho dos alunos. Avaliação Seria interessante avaliar a atividade que envolve a elaboração e resolução de problemas. Essa avaliação pode abranger os aspectos a seguir. ◆◆
Criatividade na escolha do contexto do problema: uso de notícias ou de alguma situação presente no cotidiano, pesquisa de algum fato científico ou de um assunto importante para a comunidade, uso de outros conhecimentos matemáticos além das quatro operações etc.
◆◆
Elaboração do enunciado (seria interessante ter a parceria do professor de Língua Portuguesa): clareza, ausência de erros ortográficos e/ou gramaticais.
◆◆
Resolução: se está correta e organizada.
Alguns dos problemas podem ser selecionados, adaptados (se necessário) e fazer parte de uma futura prova ou lista de exercícios. Matemática e tecnologia Sugira aos alunos que acessem o seguinte endereço, que traz um vídeo sobre a história dos números, sistemas de numeração e técnicas de contagem ao longo do tempo. www.youtube.com/watch?v=ntylzQWvzCA O próprio vídeo sugere momentos de pausa e reflexão, incluindo exercícios para os alunos. www.mais.mat.br/wiki/Estimativas Traz vários arquivos de áudio tratando de estimativas a partir de temas importantes, como lixo, animais na natureza, entre outros. www.escolovar.org/mat_operacao_todas.htm Apresenta várias atividades e jogos envolvendo operações. Destaque para as atividades de cálculo mental. http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/ Acesse o repositório, onde há várias atividades e jogos interessantes, como, por exemplo, a denominada Muros onde cada tijolo tem o número correspondente à soma ou ao produto dos dois tijolos sobre os quais está apoiado. A atividade é interativa, muito proveitosa para trabalhar as quatro operações. manual do professor
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VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Unidade 3: Adição e subtração de números naturais Exercícios 12 e 13 Como dissemos, tabelas e gráficos aparecem ao longo deste volume, em várias unidades. Sugerimos que os alunos resolvam sozinhos as questões 12 e 13, para que seja possível identificar dificuldades na leitura dos dados apresentados (em tabela de dupla entrada, no exercício 13, e no gráfico de barras do exercício 12). Exercício 14 Merece atenção especial. É importante dar tempo para que os alunos pensem sobre ele, sem ajudá-los a encontrar a solução. Peça a quem descobrir o resultado que não conte aos colegas. Deixe para corrigir o exercício na aula seguinte, assim mais alunos poderão obter a resposta. Exercício 15 Aparece pela primeira vez na coleção um exercício que envolve quadrados mágicos. Nos quadrados mágicos trabalham-se mentalmente equações do tipo 4 1 8 1 x 5 15, preparando os alunos, de forma velada, para a aprendizagem de Álgebra. Os alunos apreciam esse tipo de exercício, por isso será utilizado em todos os volumes da coleção. Exercícios 16 a 23 Propõem o trabalho com o cálculo mental na adição e na subtração, aplicando-o na resolução de problemas do dia a dia, como os apresentados nos exercícios 19, 22 e 23. Exercícios 24 a 28 Os alunos devem criar o hábito de usar o arredondamento para estimar resultados de operações, evitando assim erros e percebendo que o arredondamento é útil nas situações cotidianas. Esses exercícios se dedicam ao desenvolvimento dessas habilidades.
Unidade 4: Multiplicação e divisão de números naturais Atividades Refletindo da página 50 Na primeira das atividades praticamos o cálculo mental usando multiplicações e adição, retomando o conceito de dúzia. Peça aos alunos que expliquem oralmente como calcularam o 342
resultado. Já na segunda atividade apresentamos o uso da multiplicação para calcular número de possibilidades. Exercício 7 Exercício de cunho lúdico, que explora a observação de padrões numéricos em multiplicações. Exercício 8 Deixe que os alunos percebam o que ocorre nas multiplicações por 10, 100, 1000 etc. Chame um aluno ao quadro para encontrar diretamente mais produtos como esses. O exercício 10 alia a multiplicação por 10 à multiplicação com adição de parcelas iguais. Exercícios 13 e 14 Úteis para trabalhar a distribuição retangular da multiplicação (o exercício 31 também) e os conceitos intuitivos de área e de volume. Se for possível, trabalhe mais situações desse tipo. Exercício 22 O enunciado requer habilidade de leitura, de compreensão e organização das informações. É uma atividade rica, os alunos podem resolvê-la individualmente e discutir entre si as soluções encontradas. Interagindo da página 60 É importante que os alunos compreendam a propriedade que será observada no exercício 1, pois ela será aplicada mais à frente, nas divisões que envolvem números decimais. Deixe que a investiguem e proponha mais exemplos, se necessário. Exercício 52 Aparecem letras no lugar de números desconhecidos na tabela. Aproveite para comentar que, em Matemática, esse recurso é muito utilizado. Exercícios 63 e 64 Por meio de um exemplo mostram a propriedade distributiva como facilitadora do cálculo mental de produtos. Você pode propor mais cálculos desse tipo na lousa. Exercícios 65 a 78 São problemas que envolvem as quatro operações. Propusemos aos alunos que os resolvam em duplas, para que troquem informações, compartilhem e confiram estratégias. Aproveite a situação de integração com arte, presente no exercício 78, mostrando fotos ou sites com as
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obras de Pedro Américo e Candido Portinari. O professor de Arte pode conversar sobre esses artistas brasileiros com a turma. Exercício 83 Propomos que o resolvam em duplas ou trios para compartilharem ideias e depois comentarem as resoluções. Exercícios 86 a 93 Apresentam problemas contextualizados que envolvem medidas de tempo. Pode-se propor a resolução dessa lista de exercícios em duplas, incentivando a troca de estratégias e de ideias entre os alunos. Seção livre da página 74 A técnica russa de multiplicação costuma interessar aos alunos, pois mostra como a Matemática se desenvolve, na prática, no cotidiano de pessoas comuns. Deixe que leiam o texto e tentem compreender como funciona. Sugerimos, no final do texto, que eles ensinem outras pessoas a usar a técnica. Lembre-os de mostrar por que dá certo.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Para o professor Texto 1
Fazendo contas sem calculadora Introdução A calculadora de bolso é, hoje em dia, um instrumento de fácil acesso a qualquer pessoa. Já vai longe o tempo em que se discutia se os alunos podem ou não usá-la, pois eles a têm em mãos com a maior facilidade. O importante é saber quando seu uso é recomendado porque ajuda, e quando a calculadora em nada contribui e deve ser evitada. [...]
Vamos fazer contas “de cabeça” Isso mesmo, vamos começar com problemas que podemos resolver “na hora”, quando estamos no meio de uma conversa e não dispomos de lápis e papel, muito menos de calculadora. É o que se costuma chamar fazer as contas “de cabeça”. Vamos começar com contas de subtrair, usando a técnica da “translação”. Por exemplo, subtrair 34 de 61 é o mesmo que subtrair 30 de 57 (veja, esta-
mos transladando os dois números para a esquerda de 4 unidades) ou, ainda, o mesmo que subtrair 40 de 67 (agora somamos 6 unidades a ambos os números). Em ambos os casos, é fácil ver que a diferença é 27. Problema 1: Meu avô nasceu em 1872 e faleceu em 1965. Quantos anos viveu? Por que pegar lápis e papel para fazer a conta? Use a técnica da translação, assim: a diferença entre 1965 e 1872 é a mesma que entre 1963 e 1870. Ora, de 1870 a 1900 são 30 anos; a estes somo os 63 que vão de 1900 a 1963. Meu avô viveu 93 anos. Posso também raciocinar assim: 1965 2 1872 5 165 2 72 5 163 2 70 5 63 1 30 5 93. Outro modo: de 1965 a 1972 (quando meu avô completaria 100 anos de idade) são 7 anos. Então ele viveu 100 2 7 5 93 anos. Podíamos também ter transladado para frente, assim (mas tudo de cabeça): (1965 1 8) 2 (1872 1 8) 5 1973 2 1880 5 20 1 73 5 93 Outro modo: de 1872 a 1962 são 90 anos (pois só faltam mais 10 para chegar a 100 anos em 1972); aos 90 acrescento 3 para chegar a 1965, obtendo os 93 anos. Problema 2: Em 1942 meu avô completou 70 anos. Em que ano ele nasceu? Somo 30 a 1942 e obtenho 1972, quando meu avô completaria 100 anos; logo, ele nasceu em 1872, ou seja, 100 anos antes. Outro modo: se o ano fosse 1940, eu voltaria 40 anos ao ano de 1900, do qual volto mais 30 e chego a 1870; agora somo os 2 anos que tirei no início e chego ao ano do nascimento de meu avô: 1872. Alguns desses problemas de calcular a idade de uma pessoa são muito fáceis de resolver quando os anos de nascimento e morte têm formas bem particulares. Veja, por exemplo, o caso de Nicolau Copérnico, que nasceu em 1473 e faleceu em 1543. Aqui é fácil ver que faltam 30 anos para se chegar a 1573, quando Copérnico completaria 100 anos; logo, ele viveu 70 anos, ou seja, 100 2 30. Problema 3: Outro dia encontrei-me com um senhor que foi muito amigo do meu pai. Eu lhe perguntei a idade e ele me disse: estou com 83 anos. Em que ano ele nasceu? Vejamos: tenho de subtrair 83 de 1995*. Pela técnica de translação, basta subtrair 80 de 1992, o que é fácil fazer de cabeça. O resultado é 1912, ano do nascimento desse amigo do meu pai.
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Outro modo: somo 7 a 1995 e vou para 2002, quando ele terá 90 anos; mais 10 e chego a 2012, quando ele terá 100 anos; volto 100 anos a 1912, que é quando ele nasceu.
resulta em aproximadamente 3 10 5 30, enquanto a segunda se aproxima de 2,8 2 5 1,4. Conferindo com a calculadora, vemos que a primeira dá 30,193938 e a segunda, 1,411505.
Problema 4: Lúcia tinha 10 anos em 1917 e ainda está viva. Qual a sua idade hoje? 1995 2 1917 é o mesmo que 1998 2 1920, que é 78; somados aos 10 anos que Lúcia tinha, resulta que sua idade hoje é 88.
Essa questão do cálculo aproximado é muito importante e deveria merecer a devida atenção nos programas do 1o e 2o graus*.
Outro modo de resolver o problema: se em 1917 Lúcia tinha 10 anos, em 1910 ela estava com 3 anos. De 1910 a 1995 são mais 85 anos; portanto, neste último ano ela estava com 88 anos de idade. De tanto resolver problemas como esses, o aluno vai por si mesmo, inventando maneiras próprias de fazer as contas.
*Nota do editor: Todos os exemplos têm como base o ano de 1995, data de publicação do artigo. O 4o ano primário corresponde hoje ao 5o ano; o 1o e 2o graus, ao Ensino Fundamental e ao Ensino Médio, respectivamente.
Texto 2
Contas de somar Quando usamos a técnica da translação nas contas de subtrair, temos de aumentar ou diminuir os dois números, simultaneamente, da mesma quantidade. No caso da soma aumentamos um e diminuímos o outro da mesma quantidade. Por exemplo, somar 47 com 39 é o mesmo que somar 46 com 40, ou 50 com 36, resultando em 86. Somar 143 com 234 é o mesmo que somar 140 com 237, que é o mesmo que, 40 1 337, que é 377; mas tudo isso de cabeça, nada de lápis e papel. A resolução mental desses probleminhas é um bom exercício para desenvolver bem a compreensão das operações de soma e subtração. E é coisa que pode ser exercitada durante a aula, num clima agradável e de brincadeira com as crianças, introduzindo questões como estas: Vai ver que, embora Luciana seja mais velha que o Francisco, o avô deste pode ter nascido antes do que o avô da Luciana. Vai ver que o Gabriel nem sabe a idade da avó ou do pai dele! Então terá mais um dever de casa: trazer, amanhã, as idades de seu pai e sua avó. Mas não vá lhes perguntar em que ano nasceram, isso fica para ser resolvido durante a aula. [...]
Cálculos aproximados
Operações e propriedades O que é uma operação? Sempre é bom retomar... Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chamamos produto cartesiano de A por B (ou simplesmente A cartesiano B) o conjunto de pares ordenados (x, y) tais que x A e y B. Simbolicamente: A 3 B 5 {(x, y) | x A e y B} Os subconjuntos de A 3 B são relações de A em B. Se A 5 B temos uma relação em A. Uma relação R de A em B é chamada de função de A em B se verificada a condição abaixo: ●●
A todo elemento de A corresponde um, e só um, elemento de B.
Tomemos um conjunto A 5 {5, 7, 9}. Temos que A 3 A 5 {(5, 5), (5, 7), (5, 9), (7, 5),(7, 7), (7, 9), (9, 5), (9, 7), (9, 9)} Escreveremos a seguir os pares ordenados da relação R de A 3 A em A, que satisfazem à condição: a todo elemento de A 3 A corresponde em A o número que é o segundo elemento do par. R 5 {((5, 5), 5), ((5, 7), 7), ((5, 9), 9), ((7, 5), 5), ((7, 7), 7), ((7, 9), 9), ((9, 5), 5), ((9, 7), 7), ((9, 9), 9)}
Voltando a falar de cálculos, é claro que não faz mais sentido, hoje em dia, insistir com os alunos para que aprendam a fazer, manualmente, cálculos como:
Observe que, pela relação R, todo elemento de A 3 A tem um, e só um, correspondente em A, ou seja, R é uma função de A 3 A em A.
3,21897 9,38 ou 2,801799 1,98,
Chamaremos de operação em A toda função de A 3 A em A. A relação R do exemplo é uma operação em A.
como era exigido de mim no 4 ano primário*. Mas, embora não tenha de fazer contas como essas, o aluno de hoje deve estar preparado para saber, por um rápido exame, que a primeira dessas contas o
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ÁVILA, Geraldo. Fazendo contas sem calculadora. Revista do Professor de Matemática, São Paulo: SBM, n. 29, p. 1-5, 1995.
A adição, a multiplicação e a potenciação (de expoente natural) são operações em IN, pois a todo
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par ordenado de IN 3 IN corresponde um, e só um, elemento de IN pela adição, pela multiplicação e pela potenciação. Exemplos: ●●
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(13, 4) IN 3 IN. Pela adição: 13 1 4 5 17 e 17 IN (8, 10) IN 3 IN. Pela multiplicação: 8 3 10 5 80 e 80 IN
O mesmo acontece com a divisão e a radiciação. No entanto, por razões óbvias, nos livros didáticos destinados ao Ensino Fundamental consideramos a subtração, a divisão e a radiciação como operações em IN, mostrando sempre aos alunos que subtrações, divisões e radiciações nem sempre terão resultado em IN.
Propriedades das operações A operacão * associa a todo par (x, y) formado por elementos x e y pertencentes a A, um único elemento z de A. A operação * associa todo (x, y) formado por elementos x e y pertencentes a A, um único elemento z de A. A operação *:
●● ●●
A multiplicação goza da propriedade distributiva em relação à adição e à subtração em IN. Para facilitar a compreensão dos alunos, podemos pensar assim: m (a ± b) significa efetuar m vezes (a b), ou seja, (a b) (a b) (a b) ... (a b)
(2, 3) IN 3 IN. Pela potenciação: 23 5 8 e 8 IN
A subtração não é uma operação em IN, pois, dados x, y IN, x 2 y só pertence a IN se x > y. Há pares ordenados de IN 3 IN que não têm correspondente em IN pela relação chamada subtração. Para que tenhamos a subtração como uma operação, devemos definir um conjunto P 5 {(x, y) IN 3 IN | x > y} e tomar a função de P em IN, que associa todo (x, y) de P, a x 2 y em IN.
●●
b, c em A, temos: a * (b # c) 5 (a * b) # (a * c) e (b # c) * a 5 (b * a) # (c * a).
tem a propriedade comutativa se x * y 5 y * x 5 z; tem elemento neutro e se x * e 5 e * x 5 x; apresenta a propriedade associativa se, dados a, b, c em A, a * b * c 5 (a * b) * c 5 a * (b * c).
A adição e a multiplicação têm as propriedades comutativa e associativa em IN. O elemento neutro da adição é o zero, e o da multiplicação, 1. A potenciação não tem a propriedade associativa. Definindo outra operação em A, que chamaremos de #, a operação * tem a propriedade distributiva em relação à operação # se, dados a,
m vezes
m (a b) Usando um exemplo numérico 3 (5 1 2): (5 1 2) (5 1 2) (5 1 2) 35132 A propriedade distributiva tem aplicações importantes em Álgebra. Ela pode auxiliar no cálculo mental, conforme mostra os exemplos: ●●
12 103 pode ser pensado como:
12 (100 1 3) 5 12 100 1 12 3 5 1 200 1 36 5 1 236 ●●
98 15 5 (100 2 2) 15 5 100 15 2 2 15 5 5 1 500 2 30 5 1 470
Julgamos importante mostrar isso aos alunos.
Nota dos autores: Apesar da abordagem da matemática moderna exigir, para a definição de operação em um conjunto, as noções prelimi nares de produto cartesiano de dois conjuntos, de relações nesse produto, de funções e final mente de operações, não há perda de informa ção em seguir a definição de livros clássicos de álgebra, como os de Jacobson e Jacy Monteiro, que definem uma operação binária em um con junto como uma correspondência que associa a um par de elementos do conjunto, um elemen to do próprio conjunto. Texto 3 Um artigo que aborda a construção de qua drados mágicos, de autoria do professor Lenimar Nunes de Andrade, além de interessante, re cebeu a complementação de um leitor e cola borador da revista no exemplar de número 48. Ambos estão transcritos a seguir.
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Quadrados mágicos Introdução Quadrados mágicos têm intrigado matemáticos, cientistas e curiosos por séculos. O exemplo conhecido mais antigo é o Loh-Shu encontrado na China.
nais e escolhendo a e b como variáveis livres, chegamos à conclusão de que um quadrado mágico de ordem 3 tem o aspecto a seguir:
a
b
15 2 a 2 b
20 2 b 2 2a
5
b 2 10 2 2a
25 1 a 1 b
10 2 b
10 2 a
DAE
Trata-se de um quadrado mágico de ordem 3 que data de 2850 a.C. Nele, os números ímpares são representados por bolinhas brancas e os pares por bolinhas pretas.
Uma abordagem algébrica Um quadrado mágico de ordem n pode ser definido como sendo uma matriz (aij)n 3 n onde os elementos aij pertencem ao subconjunto de IN {1, 2, ..., n2}, são dois a dois distintos e a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna e de qualquer uma das duas diagonais é igual a uma constante M. A constante M pode ser facilmente calculada em função de n. Para isso, basta observar que a soma das n linhas da matriz é igual M 1 M 1 ... 1 1 M 5 nM. Por outro lado, essa soma é igual a 1 1 2 1 3 1 ... 1 n2 5 n2 (n2 1 1). Portanto, nM 5 n(n2 1 1) . M 5 2
n2(n2 1 1) ; logo, obtemos 2
Vamos descobrir a forma geral de um quadrado mágico de ordem 3: a
b
c
d
e
f
g
h
i
Neste caso, a constante “mágica” M deve ser 32(32 1 1) 5 15. igual a 2 Resolvendo o sistema linear formado pelas igualdades das somas de linhas, colunas e diago-
346
À primeira vista pode parecer que há uma infinidade de quadrados mágicos de ordem 3, bastando para isso atribuirmos valores inteiros às variáveis a e b. Mas isso deve ser feito levando em conta que os valores obtidos devem ser inteiros não repetidos no intervalo [1, n2]. Por isso, (a, b) pode assumir apenas os valores (2, 7), (2, 9), (4, 3), (4, 9), (6, 1), (6, 7), (8, 1) ou (8, 3), fornecendo os quadrados: 2
7
6
9
5
1
4
3
8
,
2
9
4
7
5
3
6
1
8
4
9
2
3
5
7
8
1
6
...
,
4
3
8
9
5
1
2
7
6
8
3
4
1
5
9
6
7
2
,
Cada um desses oito quadrados pode ser obtido a partir de qualquer um dos outros através de operações de troca de linhas, troca de colunas ou transposição de matrizes. Nesse caso, dizemos que os quadrados são idênticos e que existe um único quadrado mágico de ordem 3. ANDRADE, L. N. Quadrados mágicos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 41, p. 12,, 1999.
Outros quadrados mágicos Escreve-nos mais uma vez nosso leitor e colaborador Sebastião Vieira do Nascimento, de Campina Grande, PB, a respeito do artigo, de Lenimar Nunes de Andrade sobre quadrados mágicos (RPM 41, p. 12-16). No referido artigo, o autor afirma que
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essencialmente existe um só quadrado mágico de ordem 3. O colega Sebastião lembra que isso acontece porque o autor utiliza somente os números de 1 a 9, o que determina que a constante mágica do quadrado de ordem 3 seja 15. Sem essa condição, podendo preencher os espaços com números naturais quaisquer, o colega apresenta outros quadrados mágicos de ordem 3: 10
3
8
7
0
5
16
2
12
5
7
9
2
4
6
6
10
14
6
11
4
3
8
1
8
18
4
Constante mágica 21
Constante mágica 12
Constante mágica 30
Ele mostra ainda que para qualquer quadrado de ordem 3 tem-se que a constante mágica é o triplo do número central (o que ocupa a 2a coluna na 2a linha) e que a soma dos quadrados dos elementos da 1a linha é a mesma que a soma dos quadrados dos elementos da 3a linha. Fato análogo acontece com a 1a e 3a colunas. RPM: Com efeito, se a e b são os dois primeiros elementos da 1a linha e se k é um número natural tal que 0 ≤ ab < 2k, k < a 1 b < 3k e 2k < 2a 1 b < 4k, então é possível construir o quadrado mágico de constante 3k que começa com a e b. É possível verificar esse resultado de forma análoga à feita na RPM 41. E para qualquer desses quadrados continuam válidas as propriedades encontradas pelo colega Sebastião. Outros quadrados mágicos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 48, p. 46, 2002. Cartas do leitor.
Para os alunos Atividade complementar 1 No trabalho com operações inversas, tão importante para a resolução de problemas, sugerimos verificar se os alunos resolvem situações como: 38
5 29 mostrando que 29 1 .
38 29 5 65
5 13 mostrando que 13 ·
65 13 5
5 38 e
5 65 e
.
Seria interessante explorar exercícios como estes. Segue uma pequena amostra:
1. Determine o valor do 130 2
5 98 84
: 5 4 288
5 16
2. Que número devemos subtrair de a) 123 para obter 48? b) 204 para obter 23?
Atividade complementar 2 Sugerimos a seguir um exercício para ser realizado em duplas, que explora as expressões numéricas.
Os quatro “quatros” Este é um problema clássico no ensino da Matemática, que muitos professores conhecem por ter sido proposto no livro O homem que calculava, de Malba Tahan (Editora Record), o qual, inclusive, você e os alunos podem ler. Consideramos que este problema é um recurso bastante motivador para levar os alunos a refletir sobre a resolução de expressões numéricas. Proponha às duplas a seguinte Exercício: ●●
Utilizando quatro algarismos 4 e os sinais aritméticos 1, , 3, , ( ), e 5, obtenha os números de 1 a 10.
Lembre-os de que os parênteses são uma indicação de quais operações devem ser feitas em primeiro lugar para obter o resultado desejado. Cada expressão descoberta deve ser anotada para posterior discussão. Caso os alunos tenham dificuldade para entender a proposta, apresente-lhes um exemplo: 4 4 1 4 4 5 2 ou 44 4 2 4 5 7 Dê um tempo para que os alunos construam as expressões e, enquanto isso, observe as duplas: Compreenderam a tarefa? Houve interesse em desenvolvê-la? Utilizam apenas os quatro “quatros”? Utilizam os sinais adequadamente? Resolvem as expressões corretamente? Nesse momento, você deve auxiliar apenas as duplas que não compreenderam a tarefa. Mesmo assim, procure discutir as dúvidas com toda a turma, pedindo aos alunos que conversem entre si sobre eventuais dificuldades. Provavelmente, enquanto tentam obter números de 1 a 10, eles conseguirão outros resultados. Estimule-os a anotar cada expressão experimentada. Para motivá-los, você pode também
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transformar o exercício numa espécie de competição, na qual vence a dupla que conseguir o maior número de expressões corretas. Após certo tempo, compare e discuta as expressões obtidas, pedindo que uma dupla por vez anote na lousa seus resultados. Procure estimular a turma a analisar cada expressão, verificando que: ●●
●●
●●
há casos em que colocar parênteses é irrelevante, pois o resultado não se altera: 4 4 3 4 4 5 1 e (4 4) 3 (4 4) 5 1 há casos nos quais a presença de parênteses altera totalmente o resultado: (4 1 4) 4 1 4 5 6 e 4 1 4 4 1 4 5 9 pode haver mais de uma forma de obter um mesmo número. 4 1 4 1 4 4 5 8 ou (4 1 4) 4 3 4 5 8 ou 4344458
◆◆
Escrever produtos de fatores iguais na forma de potência, identificando base e expoente.
◆◆
Ler e calcular potências.
◆◆
Introduzir o cálculo de raízes quadradas em N.
◆◆
Resolver expressões numéricas simples que envolvem a potenciação e a raiz quadrada em N.
III. Comentários Introduzimos a potenciação como forma de registro da multiplicação de fatores iguais, mostrando a vantagem dessa notação. Por ser um assunto novo, trabalhamos com foco no conceito da operação e no uso correto da nomenclatura.
Procure aproveitar esse momento para esclarecer dúvidas sobre a resolução de expressões, quais operações priorizar na resolução etc.
Erros do tipo 92 5 18 são comuns. Mostre, sempre que necessário, na lousa:
Estimule os alunos a anotar as observações e conclusões feitas durante a discussão do exercício.
9 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 18
Em outro momento, proponha que, em duplas, resolvam o problema:
Também consideramos importante mostrar que 92 29, por exemplo, pois nesse início de contato com as potências os alunos podem achar que é permitido trocar base com expoente. As potências de expoente nulo são abordadas considerando a manutenção das propriedades, que serão estendidas para obter as potências de expoente negativo, no 8o ano. Optamos por tratar essas propriedades no 8o ano para que fiquem próximas do cálculo algébrico em que terão mais aplicações.
●●
Coloque sinais aritméticos 1, , , e/ou (#) para obter os resultados indicados: 9 9 9 9 5 7 9 9 9 9 5 9 9 9 9 9 5 10 9 9 9 9 5 80
Sugestões para resposta: 9 (9 1 9) 9 5 7 (9 9) 9 1 9 5 9 (9 1 9 9) 9 5 10 9 9 2 9 9 5 80
Unidade 5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais I. Objetivos gerais
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II. Objetivos específicos
◆◆
Identificar o significado e a vantagem da representação de produtos com dois ou mais fatores iguais na forma de potência.
◆◆
Estender essa representação, de modo lógico, a casos especiais.
◆◆
Relacionar a raiz quadrada com as potências de expoente 2.
92 5 9 9 5 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 5 81 Portanto, 92 9 2.
A título de curiosidade, pode-se comentar que 24 5 42 é o único caso em que a igualdade é verdadeira, sendo a base e o expoente números naturais.
As potências de expoente 2 e 3 são associadas aos nomes quadrado e cubo, a partir da observação de padrões em sequências de figuras.
A raiz quadrada em N é apresentada, mas de maneira sutil, visando à preparação para o estudo da radiciação nos anos seguintes.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Com base no eixo de números e operações, a unidade apresenta a potenciação, notações e nomenclaturas particulares, dando instrumentos importantes para o cálculo e o registro dessa
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operação e da operação de radiciação, particularmente para raízes quadradas. O uso da calculadora é valorizado.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade A Seção livre da página 88 traz o texto Expressões numéricas – resoluções com uso da calculadora, que oportuniza o trabalho com a leitura e compreensão de um texto instrucional e pode ser desenvolvido de maneira semelhante ao sugerido na Unidade 3. A questão 2 do Interagindo, nessa mesma página, explora a argumentação oral. Resolução de problemas O Refletindo e o Interagindo da página 81 proporcionam ao aluno enfrentar problemas que envolvem regularidades e generalizações. Após o trabalho com esses exercícios, sugira os exercícios 13, 14 e 16 da página 83, que também abordam padrões. Incentive a troca de ideias e proponha, por exemplo, que apresentem oralmente suas respostas, argumentando. Avaliação Sugerimos uma atividade lúdica para verificar a compreensão das operações vistas. Corte pedaços de papel e escreva em cada um deles uma potência ou uma raiz quadrada exata em N: 25, 72, 150, 25 , 100 etc. Dobre os papeizinhos e coloque-os numa caixa ou envelope. Divida a turma em dois grupos, A e B. Escolha um representante de cada grupo para anotar os pontos na lousa. Vão à frente da sala de aula um aluno do grupo A e um do grupo B. O do grupo A sorteia um papel. O do grupo B deve ler em voz alta a potência ou a raiz escrita e resolvê-la na lousa. Se acertar, o grupo B ganha 1 ponto. Se errar, qualquer aluno do grupo A pode se candidatar a resolver o problema e receber o ponto, se acertar. Na segunda rodada são chamados mais dois alunos, só que agora B sorteia e A responde. Assim, o jogo prossegue até acabarem os sorteios. Na aula seguinte, você pode pedir aos alunos que resolvam as potências e as raízes que apareceram no jogo e entreguem a resolução por escrito, para sua avaliação. Eles podem utilizar a calculadora para conferir os resultados das operações.
Apresentamos também como sugestão um bingo com operações. Os alunos gostam de jogos e esse é fácil de ser realizado em sala de aula. Traga uma ficha com os números dos alunos e aproveite para avaliá-los antes de iniciar a brincadeira fazendo um tipo de aquecimento com questões como: Que número devemos marcar na cartela se sortearmos 36 ? Os alunos levantarão a mão e você anotará o nome dos que acertaram.
Bingo Em meio às maiores preocupações que permeiam a prática didática, parece ser unânime a opinião dos professores em relação às dificuldades existentes para conquistar o interesse dos alunos nos exercícios propostos em sala de aula. Professora de uma turma de quinta série, cujos alunos eram bastante resistentes a atividades, percebendo as dificuldades que eles pos suíam em relação às operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, optei por um recurso didático diferente: construí um Bingo das seis operações, pois para que o jogo não fosse considerado difícil pelos alunos, acrescentei, além das operações mencionadas, a adição e a subtração. Utilizando caixas de sapatos, construí variadas cartelas, conforme exemplos a seguir, que revesti com fita adesiva larga para que não fossem riscadas e pudessem ser utilizadas várias vezes. 5
8
1
25
100
1 000
9
81
6
4
0
16
36
10
7
64
27
13
Usando quadrados também construídos a partir das caixas de sapato, organizei as fichas, a serem sorteadas, com operações cujos resultados são os números necessários para completar as cartelas, conforme as ilustrações a seguir: 23
10 1 3
33
97
58
15 4
36
100
103
77
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Por exemplo, se a ficha “cantada” é 36 , os alunos devem marcar o número 6 na cartela; se 103 é “cantada”, os alunos marcam 1 000 na cartela, e assim por diante. Para incentivar a participação efetiva, foi estabelecido como regra que os alunos deveriam anotar em seu caderno cada uma das expressões sorteadas, assim como o resultado das operações que seria marcado caso estivesse na tabela. A mudança na atitude dos estudantes diante do jogo foi notória. O jogo colaborou para transformar o ambiente da sala de aula, ampliando a participação dos estudantes. NR.: Cabe a cada professor, considerando o número de alunos na classe, decidir quantas fichas elaborar e como distribuir os resultados nas cartelas. Um jogo de bingo similar pode ser utilizado em classes do ensino médio, utilizando operações logarítmicas, trigonométricas etc. BINI, Marcia Bárbara (professora de escola pública – SC). Bingo. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 67, p.1-2, 2008.
No item VII sugerimos uma atividade complementar que integra Matemática e Arte. Os alunos conhecerão um pouco da vida e obra de Piet Mondrian colorindo a reprodução de um de seus quadros a partir da resolução correta de expressões numéricas envolvendo as operações com números naturais. Esta atividade também pode ser parte do processo de avaliação. Matemática e tecnologia www.funbrain.com/tictactoe/index.html Apresenta um “jogo da velha” onde cada casa tem uma operação para ser calculada. Acertando, o jogador fica com a marca na casa. Os quadrados e cubos aparecem ao clicar em “Squares” e “Cubes” respectivamente.
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercícios 1, 2 e 3 A notação de potência é uma novidade e são comuns confusões e erros como 32 5 6. Use esses exercícios para incorporar a notação e as terminologias base e expoente. Exercício 4 Trabalha o resultado da potenciação quan do a base é zero e quando a base é 1. Os expoentes 0 e 1 serão abordados a partir da página 82. 350
Exercício 7 e Refletindo da página 82 Apresentam oportunidades de trabalho com a calculadora. Comente como seria trabalhoso calcular com lápis e papel as potências apresentadas. Lembre-se de aproveitar essas oportunidades para ampliar o uso de recursos dessa tecnologia. Exercício 12 Verifica a relação entre a língua materna e a linguagem matemática. Leia cada item aos alunos e esteja atento se eles compreendem bem os novos termos, esclarecendo-os sempre que necessário. Exercício 15 Confundir quadrado e cubo de um número com seu dobro e triplo, respectivamente, é comum neste início de contato com a potenciação. Esse exercício possibilita verificar se os alunos compreendem a diferença entre essas operações. Se necessário, proponha mais itens no quadro, inclusive com perguntas do tipo: “Qual é o número cujo cubo é igual a 8?”. Exercício 24 Vale a pena observar como os alunos resolvem essa questão, esperando que alguns percebam que somente 18, quando multiplicado por ele mesmo, tem 4 na ordem das unidades. Exercício 28 Quadrados mágicos são sempre uma boa estratégia para exercitar operações fugindo um pouco dos comandos “resolva” ou “calcule”.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor
O símbolo da raiz O símbolo apareceu impresso, pela primeira vez, no livro de Álgebra Die Coss, da autoria de Christoff Rudolff, em 1525, porém sem índices que pode indicassem a natureza da raiz. O símbolo ter sido usado por se parecer com a forma manuscrita do r minúsculo (r de radix) ou pode ter sido uma invenção arbitrária. As raízes cúbicas e quar e . tas eram indicadas respectivamente por: Quando Michael Stifel editou o Die Coss em 1553, ele porém usou outros símbolos.
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O símbolo criado por Rudolff não teve aceitação imediata nem mesmo na Alemanha, sua terra natal. A letra l (latus, “lado”) era muitas vezes usada. Assim, l 4 representava 4 e cl 5, 3 5 . Por volta do século XVII o uso do símbolo de Rudolff para raiz quadrada havia se difundido bastante, apesar de ainda existirem muitas variações na maneira de escrever os índices das raízes. Em 1655, John Wallis usou o índice quase como hoje: 3x para o nosso33 x . A colocação moderna do índice na abertura do sinal do radical foi sugerida por Albert Girard em 1629, mas sua utilização foi se impondo só no século XVIII. O traço que se usa atualmente foi usado por René Descartes, em 1637, no seu “Géometrie”. O símbolo da raiz. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 2, p. 42, 1983.
Para os alunos Atividade complementar 1
Piet Mondrian foi um importante pintor que nasceu na Holanda em março de 1872. Desde jovem interessou-se por pintura, mas não tinha o apoio de sua família. No museu Gemeente (Gemeentemuseum), em Haia, estão expostos vários de seus trabalhos. Em algumas das obras de Mondrian destacamse formas geométricas, principalmente, quadrados e retângulos. Por meio de artigos publicados revista Stijl (o estilo), o artista difundiu as ideias que ficaram conhecidas como Neoplasticismo, que sugere telas criadas a partir de poucos elementos: linhas retas, retângulos e cores primárias - azul, vermelho e amarelo -, além do preto, branco e cinza. Não há curvas, texturas ou imitação da natureza. A cor pura se projeta no plano, encontrando seu oposto na não-cor, no cinza, no branco e no preto, usando relações não simétricas entre as figuras. A obra abaixo, de 1921, pertence ao Neoplasticismo e intitula-se Composição com Superfície Grande Vermelha, Amarelo, Preto, Cinzento e Azul. Museu Municipal de Haia, Holanda
As cores e a geometria de Mondrian Sugerimos uma atividade que envolve Arte e resolução de expressões numéricas. O contato com obras famosas, conhecendo grandes nomes da pintura pode ser um meio de exercitar a resolução de expressões de forma mais prazerosa, estimulando o interesse pela Arte. Seria desejável que o professor de Arte abordasse em suas aulas conhecimentos sobre Mondrian, suas obras e o Neoplasticismo. Se não for possível, apresentamos a seguir um pequeno texto que pode ser lido e comentado, com apoio nas imagens das obras do artista disponíveis na internet e em livros de história da arte. Deixe que reconheçam figuras geométricas nas obras e que percebam a beleza, a harmonia das cores. A proposta é que cada aluno receba uma folha com a reprodução da tela de Mondrian “Composição em vermelho, amarelo e azul”. Na página 399 deste manual, disponibilizamos a página para ser copiada. Cada figura geométrica da tela tem uma expressão numérica escrita em seu interior. O aluno resolve a expressão no caderno e, de acordo com a legenda, o aluno deve colorir a forma com a cor correspondente ao resultado obtido. Os estudantes podem conferir suas respostas com os colegas antes de pintar. Ao final da atividade, os desenhos podem ser colocados num mural.
MONDRIAN, Piet. Composição com Superfície Grande Vermelha, Amarelo, Preto, Cinzento e Azul, 1921. Óleo sobre tela, 59,5 cm 3 59,5 cm. Haags Gemeentemuseum, Haia.
Fonte de pesquisa: Museu de Arte Contemporânea – Universidade de São Paulo.
Atividade complementar 2 Potenciação num problema de Beremiz O artigo a seguir apresenta um dos muitos problemas resolvidos por Beremiz, personagem criado pelo professor Júlio César de Mello e Souza. Propomos que você apresente a situação e desafie os alunos a resolvê-la antes de lerem o texto, para que percebam que a solução envolve potências de base 2. Colocamos como manual do professor
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Quanto à décima caixa, conclui que deve conter
complemento a resolução aplicando a notação binária, que pode ou não ser apresentada aos alunos.
1 000 – (28 + 27 + ... + 21 + 20) = 489 moedas Justificativa da solução, usando notação binária
Sobre uma história de Malba Tahan
Uma justificativa da solução de Beremiz pode ser fornecida, utilizando-se a notação binária (base 2) para representar os números.
O problema dos 1000 dinares Talvez muitos não saibam que Malba Tahan, autor do encantador livro O homem que calculava, foi o professor de Matemática brasileiro chamado Júlio César de Mello e Souza (1895-1974). Além de autor de mais de cem livros de Literatura Oriental, Didática e Matemática, foi um mestre na arte de contar histórias. Neste artigo farei referência a uma delas.
Por exemplo, para fazer um pagamento de 352 (notação decimal) dinares observamos que: 352 = 1 × 28 + 0 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 Logo, na base 2, o número 352 se escreve 101100000, o que significa que escolhemos as caixas de números 9, 7 e 6.
Trata-se do problema dos mil dinares, apresentado em seu livro Novas Lendas Orientais (Editora Record, 1990). A Beremiz, protagonista de O homem que calculava, apresentou-se o seguinte desafio aritmético:
Visto que 511 é 111111111 em notação binária, para fazer um pagamento dessa quantia escolhemos todas as caixas, da primeira até a nona. Para cancelar uma dívida de x dinares, com 551 < x ≤ 1000, escolhemos a caixa número 10 e, para o resto, x – 489 tomamos uma ou mais caixas dentre as nove primeiras. Como curiosidade, observamos que uma dívida estritamente compreendida entre 490 e 512 dinares pode ser paga de duas maneiras, usando ou não a décima caixa. Por exemplo, uma soma de 500 dinares pode ser obtida com as caixas de números 10, 4, 2 e 1, pois 500 = = 489 + 1 × 23 + 1 × 21 + 1 × 20. Mas, também, 500 = = 1 × 28 + 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20, isto é 111110100 na notação binária; logo, poderíamos também utilizar as caixas de números 9, 8, 7, 6, 5 e 3.
Determinar como 1 000 moedas de 1 dinar foram distribuídas em 10 caixas do mesmo tamanho, numeradas e fechadas, de maneira que: a) A numeração das caixas, de 1 até 10, foi feita em ordem estritamente crescente, relativa ao conteúdo de moedas que cada uma encerra. b) É possível fazer qualquer pagamento, de 1 a 1 000 dinares, sem precisar abrir as caixas. Depois de pensar um pouco, Beremiz apresentou a seguinte solução: A primeira caixa deve conter uma moeda, pois caso contrário não poderíamos fazer um pagamento de um dinar. A segunda caixa deve conter duas moedas pois, se tivesse três, quatro ou mais dinares, não seria possível fazer um pagamento de dois dinares.
SÁNCHEZ, Jesús A. P. Sobre uma história de Malba Tahan. In: Explorando o Ensino da Matemática. v. I. Ministério da Educação - SEB. Brasília, 2004.
A caixa número 3 deve ter quatro moedas, pois o conteúdo das duas primeiras caixas já permite fazer pagamentos de 1, 2 e 3 dinares. Beremiz continua o seu raciocínio, até estabelecer a seguinte distribuição das moedas nas caixas numeradas de 1 a 9.
Unidade 6 – Múltiplos e divisores I. Objetivo geral ◆◆
DAE
Caixa e Moeda(s)
9
8
3
2
1
... 28
352
27
22
21
Identificar os conceitos de múltiplo e de divisor de um número natural e sua importância e aplicação na Matemática e em problemas do cotidiano.
II. Objetivos específicos ◆◆
Reconhecer e escrever a sequência de múltiplos de um número natural.
◆◆
Utilizar corretamente as relações “é múltiplo de”, “é divisível por” e “é divisor de”.
20
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◆◆
Aplicar os critérios de divisibilidade como facilitadores para verificar se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10.
◆◆
Determinar a sequência de múltiplos comuns de dois ou mais números naturais, constatando sua importância em situações do contexto social.
◆◆
Identificar o menor múltiplo comum de dois ou mais outros números e suas aplicações.
◆◆
Identificar número primo.
◆◆
Escrever números naturais como produto de fatores primos.
◆◆
Encontrar divisores de um número natural e o mdc de dois ou mais números naturais, aplicando esse conhecimento na resolução de problemas.
III. Comentários Prosseguindo no estudo dos números naturais e de suas operações, o texto e os exercícios buscam estabelecer com clareza os conceitos de múltiplo e de divisor. É importante que o aluno associe a palavra múltiplo com produto, isto é, que ele perceba que um produto qualquer é sempre um múltiplo dos fatores que o geraram. Os critérios de divisibilidade devem ser encarados como facilitadores, possibilitando descobrir mais rapidamente se um número natural é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10. Introduzimos o conceito de número primo e a ideia de fatoração – escrever na forma de pro duto –, mostrando como utilizar a forma fatorada prima para determinar os divisores de um número natural. O processo prático de decomposição em fatores primos ajuda nessa tarefa. Não achamos necessário mostrar como obter a quantidade de divisores de um número, mas apresentamos, no item VII, uma sugestão para essa abordagem, caso julgue interessante fazê-lo. O mínimo múltiplo comum é apresentado por meio da observação de múltiplos comuns numa situação contextualizada. Em muitas situações, o aluno determinará o mmc mentalmente e essa prática deve ser valorizada. No entanto, o processo prático pode ser utilizado para determinar o mmc de números maiores. Partimos de um problema contextualizado para estabelecer o conceito de divisores
comuns entre números naturais e definir o mdc. Mostramos como utilizar a decomposição em fatores primos para o cálculo do mdc. No entanto, na maior parte das situações propostas, o mdc poderá ser encontrado mentalmente, com base nos divisores comuns. A atividade lúdica Jogando com múltiplos, da página 108, pode ser realizada em sala de aula, como fechamento dos conteúdos dessa unidade.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra A unidade prioriza o campo dos números, tratando de relações importantes entre números naturais, resolução de problemas que envolvem múltiplos e divisores e apresentação dos números primos. No livro didático sugerimos um jogo para trabalhar conceitos e neste manual apresentamos mais uma opção.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade O texto Quer saber mais sobre números primos?, juntamente com o Interagindo, possibilita um trabalho de pesquisa por meio da leitura. Após lerem o texto em sala de aula, proponha uma pesquisa sobre Eratóstenes e o crivo. Peça a alguns alunos que mostrem na lousa como montar o crivo, determinando, por exemplo, os números primos até 200. Caso as pesquisas não tragam nada sobre as contribuições de Eratóstenes, como o cálculo do comprimento da circunferência da Terra, vale a pena contar aos alunos que esse sábio viveu no século III a.C. e, usando os raios do sol e propriedades geométricas de retas e ângulos calculou que o comprimento do planeta seria equivalente a 40 000 km, muito próximo do real. Resolução de problemas Propomos que os alunos, organizados em trios, elaborem e resolvam um problema contextualizado usando os conteúdos vistos na unidade. O Livro do Aluno traz vários desses exercícios: 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 46, 50, entre outros. Você deve mediar a elaboração dos problemas dando sugestões e esclarecendo dúvidas. Quando eles estiverem prontos e corretos, pode-se montar uma lista com todos eles e apresentar para a turma resolvê-los. manual do professor
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Avaliação Propomos avaliar a atividade de elaboração de problemas sugerida anteriormente. Reserve uma parte da nota para a observação do trabalho em sala de aula e outra parte para a correção dos problemas da lista compilada. Jogos Além do jogo proposto no Livro do Aluno, segue outra sugestão.
Trilha dos múltiplos e dos divisores
Excelente para exercitar a fatoração prima.
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 93 As questões exploram fatos importantes relacionados a múltiplos e divisores. Sugerimos que os alunos as respondam em dupla ou trio para que troquem ideias. Exercícios 5 e 6
O aluno deve partir do número 3 e seguir um caminho reto por casas na horizontal ou na vertical, alternando múltiplos e divisores, para chegar ao número 6. Marcamos, como exemplo, o trajeto correto. Feita a brincadeira, pode-se sugerir aos alunos que criem novas trilhas usando as mesmas regras e as troquem entre si, verificando, por exemplo, quem consegue terminar no menor tempo. 3
12
8
60
12
6
4
7
10
20
9
8
2
14
2
18
5
10
3
18
3
25
5
15
6
Esse é apenas um exemplo de resposta, há outras possíveis.
Matemática e tecnologia http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/ Experimentos/ExperimentosM3 Matematica/morto_ou_vivo/: Com orientações completas para o professor, inclusive com possibilidade de impressão, este endereço apresenta uma brincadeira com múltiplos e divisores bem interessante. www.mais.mat.br/wiki/N%C3%BAmeros_ primos Arquivo de áudio abordando os números primos e a fatoração prima de um número natural. http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_ 158_g_3_t_1.html?open=instructions &from=category_g_3_t_1.html Permite construir o crivo de Eratóstenes. 354
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_202_ g_3_t_1.tml?from=category_g_3_t_1.html
O problema 5 propõe ao aluno que perceba o padrão da sequência dos anos em que há Copa do Mundo: são múltiplos de 4 somados a 2. No problema 6, primeiramente eles devem verificar que 174 é, de fato, um múltiplo de 3. Observe se percebem que, como 174 5 58 3 3, 174 é o 58o número na sequência do exercício; ademais, como 58 5 17 3 3 1 1, temos que 58 dividido por 3 tem resto 1, portanto quem vai dizê-lo é o primeiro rapaz a falar, isto é, Paulo. Interagindo da página 101 Os exercícios estimulam o levantamento e a verificação de hipóteses. Atenção ao exercício 5, que apresenta letras no lugar de números, trabalhando a generalização. Os exercícios 20 e 21 da página 102 complementam as ideias aqui tratadas. Exercícios 18 a 21 Verifique se os alunos compreendem que a forma fatorada nada mais é do que outra representação para o número natural em questão. Muitas vezes, eles não utilizam a forma fatorada para descobrir os divisores do número. Esses exercícios exploram essas habilidades. Refletindo da página 104 O aluno utilizará o conceito de mmc, por exemplo, nas adições e subtrações com frações. A obtenção do mmc, na maioria das operações, pode ser mental. Ele exercitará tal habilidade além de verificar que, quando um dos números é múltiplo do outro, o mmc é o próprio múltiplo. Interagindo da página 106 No texto didático apresentamos o procedimento para determinar o mdc por meio da fatoração dos números, mas sugerimos incentivar os alunos a listar mentalmente os divisores do maior número, buscando os divisores comuns do outro número e assim encontrando o maior
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deles. Questões relevantes são tratadas nesse momento, por exemplo, qual o mdc quando um dos números é divisor do outro e qual o mmc de dois números primos.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor
O critério de divisibilidade por 3 e por 9 Todos conhecemos a regra, mas é sempre bom relembrar como se chega a ela. Vamos mostrar o critério da divisibilidade por 9, pois, é claro, se um número for divisível por 9, será também por 3. Indicaremos por m9 números múltiplos de 9. Iniciamos observando as potências de base 10: 1 5 0 1 1 5 m9 1 1 10 5 9 1 1 5 m9 1 1 100 5 99 1 1 5 m9 1 1 1 000 5 999 1 1 5 m9 1 1 10 000 5 9 999 1 1 5 m9 1 1 E assim por diante. Observamos que toda potência de base 10 é um múltiplo de 9 (por consequência, múltiplo de 3) somado a 1. Agora trabalharemos a decomposição em ordens de acordo com as regras do SND. Por exemplo, vamos tomar o número 12 536: 12 536 é composto de 6 unidades, 3 dezenas, 5 centenas, 2 unidades de milhar e 1 dezena de milhar: 615
6 (m9 1 1) 5 6 m9 1 6 5 m9 1 6 (pois 6 m9) é um múltiplo de 9
3 10 5
3 (m9 1 1) 5 3 m9 1 3 5 m9 1 3 (pois 3 m9) é um múltiplo de 9
5 100 5
5 (m9 1 1) 5 5 m9 1 5 5 m9 1 5 (pois 5 m9) é um múltiplo de 9
2 1 000 5 2 (m9 1 1) 5 2 m9 1 2 5 m9 1 2 (pois 2 m9) é um múltiplo de 9 1 10 000 5 1 (m9 1 1) 5 1 m9 1 1 5 m9 1 1 (pois 1 m9) é um múltiplo de 9 12 536 5 5
m9 1 (6 1 3 1 5 1 2 1 1) 5 m9 1 (6 1 3 1 5 1 2 1 1) 5 m9 1 17. Soma dos valores absolutos dos algarismos de 12 536.
O número dado foi decomposto em 2 parcelas: uma delas é um múltiplo de 9. Resta analisar a outra. Como 17 não é múltiplo de 9, m9 1 17 também não será. Completando, 17 também não é múltiplo de 3, ou seja, 12 536 não é múltiplo de 3. Para saber se um número é múltiplo de 9 (ou de 3), basta verificar se a soma dos algarismos é múltiplo de 9 (de 3).
Atividades complementares para os alunos O primeiro exercício a seguir explora a multiplicação como organização retangular. Os alunos relacionarão a operação ao cálculo intuitivo da área de retângulos. O segundo utiliza a fatoração prima para determinar a quantidade de divisores de um número.
Determinando os divisores de um número natural Para determinar os divisores de 20, por exemplo, peça aos alunos que desenhem e recortem 20 quadrados, todos com a mesma área. Eles devem usar todos os quadrados para formar retângulos. Nesse exemplo, obterão os retângulos: 20 1, 10 2, 5 4. As medidas dos lados desses retângulos são exatamente os divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Eles perceberão também que com 11 quadrados idênticos, por exemplo, só é possível compor um retângulo
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de 11 1, verificando que os números primos só têm 2 divisores: 1 e ele mesmo.
Determinando o número de divisores de um número natural Na página 100 do livro do aluno, mostramos como podemos obter os divisores de um número natural usando os fatores primos de sua decomposição e os possíveis produtos deles. A fatoração prima também possibilita determinar quantos são os divisores. Sugerimos apresentar como fazê-lo por meio de exemplos numéricos, como o que colocamos abaixo. Quantos divisores o número 1 125 tem? Como 1125 5 32 53, os divisores de 1125 só podem conter os fatores 3 e 5. O expoente do 3 pode assumir valor 0, 1 ou 2 e o expoente do 5, 0, 1, 2 ou 3. Fator 3: 30, 31 e 32
são 3 possibilidades
Fator 5: 50, 51, 52 e 53
são 4 possibilidades
Temos então 3 4 5 12 produtos possíveis, ou seja, o número 1 125 tem 12 divisores.
Unidade 7 – Dados, tabelas e gráficos de barras I. Objetivo geral ◆◆
Organizar e representar dados por meio de tabelas e gráficos estatísticos.
II. Objetivos específicos ◆◆
Reconhecer e interpretar um gráfico de barras.
◆◆
Construir tabelas de frequência e gráfi cos de barras.
III. Comentários O aluno tem contato frequente com tabelas e gráficos estatísticos, como o gráfico de barras. Se nos anos anteriores os alunos exploraram ideias básicas sobre a organização e representa ção de dados, a partir do 6o ano o conhecimen to no campo do tratamento da informação pode ser ampliado e gradualmente sistematizado. No 6o ano, optamos por trabalhar a elabora ção de tabelas de frequência, com a leitura e a construção de gráficos de barras. Inicialmente mostramos os gráficos de barras como for ma de comunicação eficiente, que possibilita
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visualizar e comparar dados com rapidez e clareza. Escolhemos um exemplo de pesquisa do co tidiano – no ambiente da escola – para propor um exercício prático, por meio do qual será pos sível checar se dominam a construção de tabe las de frequência e o gráfico de barras que ilustra a pesquisa. Você pode utilizar outras situações do contexto particular dos alunos. O trabalho com jornais e revistas em temas como espor te, cultura, saúde, política etc., por exemplo, é sempre desejável e possibilita a integração com outras disciplinas. Se houver computadores dis poníveis, há possibilidade de trabalhar com um editor de planilhas eletrônicas. Esses softwares proporcionam ao aluno uma ferramenta de construção de diferentes tipos de tabela e gráfi co. A comparação entre tabelas e gráficos cons truídos manualmente e eletronicamente deve ser sempre explorada levando em conta as van tagens e desvantagens de cada uma. Enfatizamos aspectos importantes na cons trução de gráficos, como a adequação do título e da escala determinada para o eixo das fre quências (ou eixo dos valores).
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Essa unidade é dedicada especificamente ao tratamento da informação, embora, como já dissemos, gráficos e tabelas sejam explorados em outros conteúdos. O foco é o trabalho com tabelas de dados e com a construção de gráficos de barras, apresentando, por exemplo, tabelas de frequência e gráficos em situações cotidia nas, mostrando a importância dessas formas de apresentação dos dados.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade O Interagindo da página 115 propõe que os alunos procurem em jornais, revistas ou outras fontes um gráfico de barras que trate de assun to do interesse deles, exercitando a habilidade de pesquisa com um objetivo claro: encontrar um gráfico que eles possam compreender e analisar. Sugerimos que montem painéis com os gráficos e façam comentários simples so bre os dados que apresentam, tanto na forma escrita como oralmente.
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Resolução de problemas O item 2. Vamos fazer uma pesquisa estatística?, na página 119, sugere uma situação-problema: criar, aplicar e analisar uma pesquisa estatística. Com base nas orientações dadas no Interagindo da mesma página, deixe que os grupos se organizem e enfrentem cada etapa do exercício, acompanhando como se relacionam para elaborar as perguntas e alternativas de respostas, que estratégias criarão para entrevistar as pessoas etc. Auxilie na compilação dos dados e na montagem dos gráficos e dê espaço para que discutam no grupo e com o restante da turma os resultados da pesquisa. Se possível, proponha aos alunos que criem o mesmo gráfico utilizando um software de planilhas eletrônica: ◆◆
◆◆
◆◆
em uma nova planilha, oriente-os a compor uma tabela de dados em que a primeira coluna contenha o número da questão, e as demais colunas, apresentem cada uma das alternativas; o corpo da tabela deve contar com as frequências observadas para cada alternativa de resposta; desse modo, cada linha corresponderá a uma das questões observadas; com uma linha da tabela selecionada, clique no assistente de gráfico do software (normalmente disponível no menu Inserir, na opção Gráfico) e, então, escolha o modelo de gráfico que representará os resultados dessa questão.
O mesmo procedimento possibilitará criar um gráfico para a segunda pergunta. Os alunos podem mudar rótulos, cores etc. explorando a ferramenta. Peça a eles que comparem o gráfico digital com o feito no papel e depois conversem sobre as facilidades que a tecnologia nos traz e como eles podem utilizar planilhas eletrônicas em situações do cotidiano: acompanhar suas notas escolares, registrar gastos, fazer listas de tarefas etc. Nos endereços eletrônicos abaixo é possível trabalhar com planilhas e criar gráficos de forma fácil e gratuita. Dois deles têm, inclusive, o recurso de utilização totalmente on-line, ou seja, sem que seja necessária a instalação do software no computador utilizado.
https://docs.google.com/spreadsheets/ ferramenta on-line www.openoffice-online.com/ ferramenta on-line www.openoffice.org/pt-br/ requer instalação no dispositivo http://broffice.softonic.com.br/ requer instalação no dispositivo Os relatórios serão o produto final e podem ser encaminhados aos responsáveis pela administração do ambiente escolar. Avaliação Todo o processo da pesquisa estatística sugerida pode ser avaliado. Segue uma sugestão sobre como fazê-lo.
Aula 1 ●●
Divisão da turma em trios ou quartetos e explicitação da forma de avaliação.
Os alunos precisam saber de antemão o que será observado por você para atribuir a nota. Apresentamos uma ideia para a distribuição de nota com variação de zero a dez: 1 ponto Para a participação individual na aula 1 e na aula 2. Os seguintes aspectos seriam observados: ●● Participou da discussão de forma oportuna? ●● Sabe ouvir? ●● Sugere? Argumenta? ●● Contribuiu com a ordem e a disciplina?
2 pontos Para a realização e apresentação correta dos dados da entrevista (nota do grupo).
1 ponto Para o preenchimento correto das tabelas de frequência na aula 3 (nota do grupo).
2 pontos Para a execução do trabalho na aula 4. Os alunos serão observados individualmente e no grupo, nos seguintes aspectos: ●● Trouxeram o material necessário? ●● Souberam organizar-se e distribuir as tarefas? ●● Trocaram ideias, agindo de forma cooperativa? ●● Mostraram capricho?
4 pontos Pela análise do produto final (nota do grupo): correção do conteúdo, pertinência da análise de dados e conclusões apresentadas no relatório.
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●●
Levantamento dos aspectos positivos da escola e elaboração das alternativas de resposta para a pergunta 1.
Inicie perguntando aos alunos quais características positivas eles destacam. Devem surgir opiniões como: “o pátio tem muitas árvores” ou “as quadras são ótimas” e assim por diante. O debate gerará uma lista de aspectos que servirá de referência para que os alunos elaborem, em conjunto, as alternativas de resposta para a pergunta 1.
Aula 2 ●●
●●
Elaboração das alternativas de resposta para a pergunta 2, que tratará dos aspectos que precisam melhorar na escola (mesmos procedimentos usados na aula 1). Explicações sobre a aplicação do questionário – determinação da amostra e forma de recolhimento dos dados.
Sugerimos que cada grupo entreviste 20 pessoas. Construa com eles uma tabela para anotar os dados (ver modelo abaixo).
Pesquisa estatística – entrevista Componentes do grupo:
Pergunta 1
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Pergunta 2
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
Sexo
Idade
Ocupação
Resposta 1
Resposta 2
F
28
professora
a
e
M
60
bibliotecário
b
c
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Aula 3 ●●
É o momento de tabular os dados.
O grupo, com sua orientação, preencherá as tabelas de frequência: Pergunta 1
Páginas 117 e 118
Pergunta 2
Alternativa
Frequência
Alternativa
Frequência
A
6
A
1
B
5
B
4
C
7
C
3
D
2
D
8
E
0
E
4
Total
20
Total
20
Em seguida, no quadro, monte, com o auxílio dos alunos, as duas tabelas de frequência para o total da amostra – aproximadamente 100 respostas para cada pergunta. Os alunos devem copiar as tabelas no caderno para utilizá-las na aula 4. Devem, também, anotar o material necessário para essa aula: folhas de papel canson (duas por trio) tamanho A4, folha de sulfite, régua, lápis comum, papel quadriculado, canetas coloridas ou lápis de cor, tesoura e cola.
Aula 4 ●●
O exercício 2 tem como objetivo mostrar a maneira correta de graduar o eixo vertical. Deixe que os alunos percebam os erros na escala e na largura das barras.
Finalização do trabalho.
Reunidos, os trios (ou quartetos) distribuem as tarefas para apresentar os resultados da pesquisa em um painel ou utilizando um software de apresentação de slides. É importante observar como eles se organizam e decidem as estratégias de trabalho.
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 113 Sugerimos usá-lo como exercício de sondagem de conhecimentos prévios, feito em duplas. A correção do exercício mostrará como eles estão lendo dados apresentados em um gráfico de barras. Seção livre da página 116 Os alunos construirão um gráfico de barras em papel quadriculado. As dificuldades mais frequentes são com a graduação do eixo vertical e é preciso auxiliá-los. Dê tempo para que exercitem o uso da régua para traçar as barras e colori-las. Exponha os trabalhos de todos os alunos; se possível, coloque-os num mural.
Focam na leitura de gráficos, tabelas simples e de dupla entrada. Seria interessante apresentar gráficos de barras retirados de jornais e revistas, com temas adequados à faixa etária dos alunos, para leitura e análise de dados.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Atividade complementar para os alunos
Consumo e energia Vivemos num tempo em que a educação para o uso racional da energia elétrica é necessária, urgente. Uma atividade que conscientize sobre o consumo de aparelhos eletrodomésticos e eletroeletrônicos é interessante e pode motivar conversas sobre o tema, gerando atitudes positivas que podem ser replicadas na comunidade. Apresentamos uma tabela com o consumo mensal estimado de parelhos elétricos comuns nas residências. Os alunos podem analisar a tabela, verificando quais aparelhos têm maior consumo, montando um gráfico de barras a partir dos dados. No endereço eletrônico que mencionamos ao final da tabela, você encontrará mais informações se julgar interessante ampliar os dados. Durante um mês cada aluno seria convidado a acompanhar o consumo de energia em sua residência, envolvendo seus familiares: tempo de banho, uso do ferro elétrico, da máquina de lavar roupas, quantas lâmpadas ficam acesas, etc., comparando os dados obtidos com os da tabela e estimando qual deverá ser o consumo total da moradia no mês. Promova uma roda de conversa onde possam compartilhar suas observações, encaminhando ‑os para discutir formas de utilizar a energia com mais racionalidade. Há muitas ações simples que podem ser citadas. Listamos algumas delas como referência. Incentive a pesquisa destas ações, compile com eles uma pequena cartilha que pode ser distribuída na escola. Os gráficos feitos a partir da tabela podem ser apresentados em murais pelos corredores e pátio.
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Aparelhos elétricos
Utilização no mês (dias)
Tempo de utilização (dia)
Consumo médio mensal (kWh)
Ferro elétrico
12
1h
7
Ar condicionado 14000 BTU
30
8h
182
Forno elétrico pequeno
30
1h
15
Geladeira de 2 portas
30
Todo o tempo
48
Micro-ondas
30
20 min
14
TV 32 polegadas
30
5h
14
Lâmpada fluorescente 23 W
30
5h
3,5
Chuveiro elétrico 4500 W
30
32 minutos (4 pessoas)
72
Modem internet
30
8h
2
Notebook
30
8h
5
Lava roupas
12
1h
2
Fonte: Eletrobrás. http://www.procelinfo.com.br/main.asp?View={E6BC2A5F-E787-48AF-B485-439862B17000}. Acesso em 20/04 /2015
GELADEIRA: Regule o termostato do refrigerador de acordo com a estação do ano e a quantidade de alimentos que ele armazena. Instale o aparelho em local bem ventilado, longe do fogão, aquecedores e áreas expostas ao sol. Deixe espaço mínimo de 15 centímetros dos lados, acima e no fundo do aparelho, em caso de instalação entre armários e paredes. Não abra a porta sem necessidade ou por tempo prolongado. Não use a parte de trás do aparelho para secar panos de prato e roupas. Verifique o estado da borracha de vedação fechando a porta com uma folha de papel, se a folha cair está na hora de trocar a borracha. CHUVEIRO ELÉTRICO: Quando possível, deixe a chave na posição “Verão”, dessa forma, é possível reduzir o consumo de energia em 30%. Evite banhos demorados MODO DE ESPERA: Retire da tomada aqueles equipamentos que são pouco utilizados e que usam modo de espera (stand by). O total consumido por todos os equipamentos ligados em modos de espera (stand-by) pode representar até 12% do consumo de energia elétrica da residência. FERRO ELÉTRICO: Passe primeiro as roupas delicadas, que precisam de menos calor. No final, depois de desligar o ferro, aproveite ainda o seu calor para passar algumas roupas leves. MÁQUINA DE LAVAR ROUPA: Economize água e energia elétrica lavando de uma só vez
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a quantidade máxima de roupa indicada pelo fabricante. TELEVISÃO: Desligue o aparelho se ninguém estiver assistindo. Evite dormir com a televisão ligada. Se ela tiver recursos de programação, use o timer. COMPUTADOR: Desligue o computador quando não estiver usando. Não deixe os acessórios do computador (impressora, estabilizador etc.) ligados sem necessidade. LÂMPADA: Evite acender lâmpadas durante o dia. Aproveite a luz do sol, abrindo bem as janelas, cortinas e persianas. Apague e instrua os empregados a apagarem as lâmpadas dos ambientes desocupados, exceto aquelas que contribuem para a segurança de sua casa ou do condomínio. Pinte o teto e as paredes com cores claras, que refletem melhor a luz, diminuindo a necessidade de iluminação artificial, reduzindo assim o consumo. Substitua as lâmpadas incandescentes por fluorescentes ou LED. Uma lâmpada fluorescente economiza até 75% de energia comparada com a lâmpada comum, e dura até oito vezes mais. Por exemplo, uma de 15 Watts substitui uma lâmpada incandescente de 60 Watts. Fonte: Eletrobrás. http://www.procelinfo.com.br/ services/DocumentManagement/FileDownload. EZTSvc.asp?DocumentID={367B9C63-5C2B-46869A4E7108C08CF79F}&ServiceInstUID={46764F02-4164-47489A41-C8E7309F80E1}. Acesso em 20/04/2015.
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Unidade 8 – Observando formas I. Objetivo geral ◆◆
Desenvolver a capacidade de observação do espaço, visando compreender, descrever e representar de forma organizada o mundo físico.
II. Objetivos específicos ◆◆
Identificar e diferenciar formas planas e formas não planas.
◆◆
Caracterizar polígono.
◆◆
Caracterizar poliedro.
◆◆
Identificar e quantificar faces, arestas e vértices de um bloco retangular e de alguns poliedros.
◆◆
Representar e identificar pontos, retas, segmentos de retas e planos.
◆◆
Obter a planificação de um bloco retangular.
◆◆
Construir poliedros a partir de modelos de faces poligonais.
III. Comentários O texto inicial chama a atenção para a observação das formas presentes na natureza e das formas criadas pelo ser humano, mostrando a Geometria como ferramenta para modelar o espaço à nossa volta. Após a leitura do texto, permita que os lunos manuseiem objetos, modelos (em maa deira, papel-cartão ou outro material) ou embalagens que tenham forma parecida com as dos sólidos geométricos abordados. A investigação levará à descoberta de características e propriedades das formas. Mesmo que a nomenclatura não seja a mais adequada, os alunos devem escrever o que observaram, diferenciando formas planas de não planas, polígonos de não polígonos e poliedros de não poliedros. A terminologia correta pode ser introduzida aos poucos, de forma natural. Lembramos que, ao classificar as formas em planas e não planas, é importante mostrar que uma forma não plana pode não ter volume, como ilustramos a seguir. O estudo específico da dimensionalidade será feito no 7o ano.
O trabalho concreto com a caixa de fósforos (ou outra embalagem no formato de um bloco retangular) leva à identificação e à quantificação de faces, arestas e vértices de um bloco retangular. Consideramos importante deixar claro para o aluno que a “marca” feita no papel com o lápis é a representação de um ponto. O mesmo acontece com qualquer figura geométrica. O desenho de uma reta ou de um polígono é uma representação para podermos trabalhar com os entes geométricos. Os alunos devem perceber, por exemplo, que a reta é ilimitada nos dois sentidos, apesar de sua representação não ser. Nessa unidade trabalhamos mais detalhadamente a planificação do bloco retangular. No 7o ano introduziremos a planificação de outros poliedros, como prismas e pirâmides. Não definiremos polígonos nem poliedros, o que será feito posteriormente na coleção. A ideia é trabalhar as características dessas figuras levantadas por meio da observação e da troca de informações entre os colegas, com a sua mediação, professor. Conhecimentos sobre formas geométricas e suas características são necessários para melhor compreensão do cotidiano e do uso das tecnologias. O incentivo à observação do espaço também é importante. Devemos orientar o aluno a olhar ao redor, procurando, em situações reais, a aplicação dos conhecimentos geométricos. Se for possível, convide, para uma conversa com os alunos, algum profissional como um engenheiro, um arquiteto, um desenhista ou um azulejista para contar a eles sobre a importância da Geometria em seu trabalho. Isso motivará os alunos para o aprendizado.
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IV. Articulando a unidade à concepção da obra Essa unidade articula Geometria com o mundo físico, propiciando exercícios de observação, construção e manipulação de modelos de figuras geométricas que servirão como base para a descoberta de características e de conceitos.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade A leitura integral dos itens 1 e 2 pode ser feita em casa, como tarefa. Solicite aos alunos que façam as atividades propostas na seção Refletindo das páginas 125 e 126 no caderno. Resgate a leitura, convidando-os a ler suas respostas, deixando que as complementem ou melhorem. Resolução de problemas O item 4 aborda vistas e desenho em perspectiva em malha quadriculada, que podem ser encarados como situações diferenciadas de resolução de problemas, uma vez que os alunos deverão encontrar estratégias para desenhar figuras por meio da observação de um modelo. Providencie malhas para todos e proponha que façam os desenhos do bloco retangular e do cubo pedidos no texto. Avalie se compreendem as instruções e auxilie, se necessário, no manuseio da régua. Em seguida, solicite que elaborem os desenhos de prisma e de pirâmide sugeridos e verifique se conseguem realizar a tarefa com base nos modelos. Depois, podem desenhar uma figura de sua escolha, como apresentado no Interagindo da página 133: eles devem nomear os polígonos que formam as faces do poliedro, contar faces, arestas e vértices. Depois de trocarem os trabalhos entre si e comentarem o exercício, você pode recolher os desenhos para atribuir uma nota que, junto com a observação do processo, geraria um instrumento de avaliação. Avaliação Além da proposta anterior, a atividade Cons truindo poliedros, apresentada na página 137, traz uma oportunidade de exercício em duplas. Sugerimos utilizá-lo no processo de avaliação. Os alunos devem receber orientação sobre o material necessário para a montagem dos poliedros. O ideal é que eles já tragam os polígonos recortados. 362
Se a escola tiver uma fotocopiadora, copie os moldes do livro e forneça cópias para os alunos em papel colorido. Explique como será a aula e o que será avaliado. Uma ideia é representar em desenhos diferentes vistas dos sólidos montados. Além dos aspectos conceituais, sugerimos observar e atribuir uma parte da nota para o esmero e a organização do grupo, o cuidado com a limpeza da sala de aula, o relacionamento com o colega de dupla. Matemática e tecnologia www.sitiodosmiudos.pt/matematica/default. asp?url_area=E O aluno escolhe um sólido e uma animação mostra sua planificação. http://escolovar.org/mat_geometri_solidos. htm São vários objetos, que trazem informações sobre os sólidos, diferenciando poliedros e não poliedros e ainda no final há atividades com autocorreção. www.multirio.rj.gov.br/index.php? option=com_mr_videos&layout= default&vid=154&arquivo=MED154. wmv&Itemid=414 Vídeo (22 minutos) que explora mapas, vistas, pontos cardeais. Embora voltado para o 4o e 5o anos é interessante, contextualizado e motivador. Pode ser trabalhado em conjunto com o professor de Geografia. www.youtube.com/watch?v=CXtadY5c2YI Explora as vistas de empilhamentos com blocos retangulares. www.multirio.rj.gov.br/index.php?option =com_mr_videos&layout=default&vid= 156&arquivo=MED156.wmv&Itemid=414 Vídeo de 12 minutos que aborda sólidos geométricos e as características dos poliedros e dos não poliedros.
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 124 Uma atividade de pesquisa sobre as aplicações da Geometria em profissões ajuda a aproximar o conteúdo da vida prática. Se possível, convide um profissional para conversar com os alunos sobre alguns conhecimentos geométricos que se aplicam à sua profissão.
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Refletindo da página 125 Deixe que os alunos troquem ideias e expressem com as palavras deles, mesmo que não sejam as mais adequadas o que diferencia formas planas de não planas. Sugerimos que você mostre a eles formas bidimensionais não planas. Comente que representamos no papel formas não planas usando para isso recursos como perspectiva, sombreamento etc. É sempre bom lembrar aos alunos que usamos representações das figuras geométricas para podermos estudá-las. Refletindo da página 126 Não nos preocupamos em definir formalmente polígonos nesse momento. Os alunos devem, nessa unidade, ser capazes de diferenciar polígonos de não polígonos pelas suas características. O mesmo acontecerá com poliedros e não poliedros. Os exercícios das páginas 128 e 129 têm esse objetivo. Interagindo da página 129 É um momento para desenvolver a reflexão, a formulação de hipóteses e a argumentação. Proponha aos alunos que discutam suas respostas com outros grupos.
desenhar as vistas frontal, lateral e superior do conjunto. Depois de verificar se os desenhos estão corretos, as duplas trocam de função.
Unidade 9 – Ângulos I. Objetivo geral ◆◆
II. Objetivos específicos ◆◆
Identificar a presença dos ângulos na natureza e a aplicação deles em objetos e em construções humanas.
◆◆
Representar e nomear semirretas.
◆◆
Identificar e representar um ângulo e seus elementos.
◆◆
Definir ângulo nulo, ângulo raso e ângulo reto.
◆◆
Medir e traçar ângulos com o auxílio do transferidor.
◆◆
Classificar ângulos em agudos, retos ou obtusos.
◆◆
Identificar os ângulos de um esquadro, compreendendo as funções e o uso desse instrumento.
◆◆
Reconhecer retas paralelas e retas perpendiculares e traçá-las com o auxílio do esquadro.
Exercício 12 Aborda a visão espacial. Se possível, aprofunde o estudo desse tema. Verifique se os alunos conseguem justificar suas respostas. Interfira, se necessário, direcionando-os à resposta correta. Exercício 16 É uma boa oportunidade para construir com os alunos as planificações do cubo em cartolina. Sugerimos um vídeo que mostra as 11 planificações possíveis. Ele está disponível em: www.youtube.com/watch?v=8v_LGTcyKTM Acesso em: mar. 2015.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Atividade complementar para os alunos
Vistas Com base na construção de cubos e das possíveis planificações pelos alunos, pode-se propor uma atividade que envolva vistas. Uma dupla de alunos utiliza os cubos montados em cartolina para criar um empilhamento. A outra dupla deve
Construir a noção de ângulo, constatando sua presença na natureza, nas obras feitas pelo ser humano e na Matemática.
III. Comentários A motivação para o aprendizado do conteú do dessa unidade pode começar pela observação do espaço, identificando nele a presença de ângulos e das ideias que envolvem retas concorrentes, paralelas e perpendiculares. Há diversas sugestões presentes no texto e nos exercícios. Os alunos usarão o transferidor e os esquadros. Auxilie-os no manuseio desses instrumentos, conforme detalhamos no texto. Sugerimos sua especial atenção no desenvolvimento dessa habilidade. Depois de traçar e medir ângulos com transferidor no caderno, o aluno pode medir ângulos presentes no mundo real. O Interagindo da página 147 traz uma sugestão interessante. manual do professor
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Resolução de problemas
IV. Articulando a unidade à concepção da obra
Consideramos o trabalho com estimativas muito importante na resolução de problemas, não só os que envolvem operações com números mas também os da Geometria. Os exercícios 5 e 12 exercitam essa habilidade.
Ângulos, retas paralelas e retas perpendiculares são apresentados por meio da observação do mundo real, aproximando assim a Geometria do cotidiano dos alunos. A unidade possibilita ainda uma conexão com Arte, buscando mostrar que a Geometria está presente em obras de renomados artistas.
Avaliação Os alunos, em geral, gostam de desenhar. Você pode pedir a eles que criem um desenho que contenha algumas construções com o uso de transferidor e esquadro. Por exemplo, o desenho deve conter pelo menos um par de retas paralelas e um par de retas perpendiculares, um ângulo de 60, um de 40, um de 150 e pelo menos um ângulo reto. A criação dos desenhos pode ser avaliada observando se eles utilizam corretamente os conceitos e os instrumentos de desenho. Os trabalhos podem ser recolhidos e expostos.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade Sugerimos um trabalho com a leitura de imagem. Repare na quantidade de elementos geométricos presentes na tela do pintor russo Wassily Kandinsky (1866-1944). Essa reprodução é facilmente encontrada em livros de arte e na internet. Exiba a imagem aos alunos com o auxílio de um projetor, transparência ou mesmo na tela de um computador e explore-a em conjunto com o professor de Arte.
Matemática e tecnologia
Museu Solomon R. Guggenheim, Nova York
O quadro apresenta ângulos, retas paralelas e retas perpendiculares, círculos, semicírculos e vários polígonos que serão estudados na próxima unidade.
No endereço eletrônico a seguir há um exercício que exibe diversos ângulos e possibilita que o aluno estime suas medidas com e sem o transferidor. Você pode orientá-los a explorar livremente o objeto, auxiliando-os inclusive na função de cada botão, pois o rótulo de cada um está em inglês. http://escolovar.org/mat_geometri_angulos. medir3.swf Oriente-os inicialmente a medir os ângulos com o auxílio do transferidor virtual e, em seguida, a ocultar a ferramenta clicando em Show / Hide Protractor e a estimar a medida do ângulo apresentado sem a ferramenta.
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Wassily Kandinsky. Composition VIII, 1923. Óleo sobre tela, 1,40 m × 2,01 m.
Exercício com palitos da página 143 Objeto educacional digital
No endereço que disponibilizamos a baixo, há sugestões para se trabalhar com a obra em que Van Gogh retrata seu quarto em Arles. Noções de vistas, perspectiva e efeitos de profundidade podem ser trabalhados, além, é claro, de despertar o interesse pela obra do pintor. http://revistaescola.abril.com.br/arte/ pratica-pedagogica/geometria-tela-vangogh-424904.shtml 364
Se possível, faça a construção com palitos proposta para associar giros a ângulos: volta completa, meia-volta, um quarto de volta. Exercícios de 1 a 5 Peça aos alunos que, antes de fazerem esses exercícios, pratiquem bastante o uso do transferidor no papel traçando ângulos de acordo com as medidas dadas e apresente ângulos já traçados para que eles os meçam. O desenvolvimento dessa habilidade se dará com o uso prático dos instrumentos de desenho. Saliente com os
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alunos a importância de cada um ter seu material, cuidar bem dele e sempre trazê-lo para as aulas de Matemática. Sugestão de atividade da página 151 A ideia de colar etiquetas nos ângulos dos esquadros possibilita o reconhecimento rápido das medidas e ajuda a memorizá-las. Deixe que manuseiem os esquadros e que os usem como molde no traçado de outros ângulos, como mostra o texto acima do quadro, antes de traçar com eles paralelas e perpendiculares usando esse instrumento.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor
o encarregado toma uma trena, tira 57 cm e, segurando esta marca, traça, com giz, sobre uma mesa, uma semicircunferência. Em seguida, tira 45 cm, e entorta, sobre a semicircunferência, a trena, determinando um arco. O ângulo subtendido por este arco mede 45. A justificativa é simples. Uma circunferência de raio R cm tem comprimento 2pR cm e subtende um arco cuja medida é de 360; um arco de x cm subtende um arco de a. Logo: 2pR x 5 360 a a5
180x 57,3x pR R
Para ser a 5 x, vem R 57 cm. KLEIS, Alexandre. Marcando um ângulo sem transferidor. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 11, p. 45-46, 1987.
Marcando um ângulo sem transferidor Num artigo nesta Revista, Imenes e Jakubovic diziam que “o mundo está a nossa volta e a Matemática está presente [...] nas atividades de muitas pessoas. É preciso sair em busca disto e conversar com outras pessoas” (RPM 1, p. 2).
Unidade 10 – Polígonos e circunferências
Um conselho especialmente interessante e que pude seguir facilmente: afinal, lecionava num colégio instalado próximo ao canteiro de obras de uma hidrelétrica na Amazônia. E um dia desses, vi algo simples e engenhoso.
I. Objetivo geral
Fui visitar a Central de Armação, onde são dobrados os ferros para a estrutura de concreto da barragem, no comprimento e com a inclinação apropriados. O encarregado recebe um lote de barras de ferro com uma plaqueta, mais ou menos como na figura abaixo, querendo dizer que cada barra, de 1,30 1 5,60 1 2,10 5 9 m, deverá ser dobrada em ângulo reto numa extremidade e a 45 na outra.
II. Objetivos específicos
2,10
1,30
◆◆
◆◆
Identificar e nomear os polígonos e seus elementos.
◆◆
Reconhecer e caracterizar polígonos regulares.
◆◆
Classificar triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos.
◆◆
Identificar quadriláteros e seus elementos.
◆◆
Nomear quadriláteros de acordo com suas características e propriedades.
◆◆
Resolver problemas que envolvem o cálculo do perímetro de polígonos.
◆◆
Definir circunferência identificando o centro e o raio e dando significado a eles.
◆◆
Traçar circunferências utilizando o compasso.
◆◆
Investigar a existência de eixos de simetria em polígonos e em outras figuras planas.
45 5,60
Embora este serviço seja feito por uma máquina, o encarregado tem necessidade de verificar se o ângulo está certo. Para isso, prepara-se um padrão: dobra-se uma pequena barra que é sobreposta a cada barra preparada para conferir. Assim, é preciso inicialmente marcar um ângulo de 45 (no nosso exemplo). Como não se tem transferidor – e nem será preciso, como se verá –,
Ampliar e organizar os conhecimentos sobre figuras geométricas planas, em particular polígonos e circunferências.
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Classificamos os triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos e, tratando dos quadriláteros, caracterizamos os trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados.
III. Comentários Nessa unidade definimos polígonos, abordamos a nomenclatura dos polígonos quanto aos lados e apresentamos os polígonos regulares, cujo estudo prosseguirá nos anos seguintes. Observamos a rigidez como característica dos triângulos, mostrando situações em que ela é desejável e situações em que a maleabilidade é necessária. Você pode mostrar mais objetos e utensílios que ilustrem a aplicação dessas características. Fernando Favoretto
Mais uma vez, ressaltamos a presença das formas dos polígonos em objetos, móveis, utensílios, construções, na arte, na moda... enfim, tudo isso aproxima o conteúdo do cotidiano dos alunos. Com auxílio da concepção de compasso (ponto fixo e distância dada), definimos a circunferência de forma clara. Dessa maneira, atribuímos naturalmente significado ao centro e ao raio. O manuseio do compasso precisa ser treinado. Sugerimos que você oriente e supervisione o traçado de várias circunferências no caderno. Peça aos alunos que identifiquem o centro e deem a medida do raio de cada uma das circunferências. Os alunos podem compor um desenho usando somente círculos coloridos desenhados com compasso. Caso tenha sido feito o estudo da tela de Kandinsky (na Unidade 9), sugerimos retomá-lo.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Edson Antunes
Maleabilidade
B.S.P.I./Corbis/Latinstock
Maleabilidade
Na Unidade 8, o aluno diferenciou figuras planas de não planas, polígonos de não polígonos. Progressivamente, os conhecimentos sobre as figuras planas serão ampliados e organizados. Inicialmente, apenas com observação e, em seguida, com a investigação de propriedades e características das figuras. A ligação com Arte está presente no trabalho com mosaicos e no estudo da simetria proposto no item 7. Simetria nos polígonos e no círculo e na seção Vale a pena ler da página 174. Articulando Geometria e Medidas, apresentamos o conceito de perímetro, que será trabalhado ao longo de toda a coleção. Reforce desde já que perímetro é uma medida, então não é correto falarmos em medida do perímetro.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade
Rigidez
Enfatize que o conhecimento de propriedades das figuras geométricas nos capacita a usá-las de maneira mais eficaz em situações práticas. 366
Apresentaremos, no item VII, o texto Um pouco sobre a história dos mosaicos para ser trabalhado com os alunos. Antes da leitura, solicite uma pesquisa no dicionário sobre os significados da palavra mosaico. Se possível, mostre fotos de vitrais em igrejas, painéis de azulejos, pisos, tapetes etc. Essa motivação para a leitura
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pode contar com a parceria do professor de Arte, que contextualizará os temas e as imagens exibidas segundo seu componente. Resolução de problemas O Refletindo da página 166 apresenta uma atividade que envolve reflexão acerca da conservação de um perímetro. Peça a cada aluno que faça individualmente suas propostas para as medidas dos retângulos, observando como pensam: Usam somente números inteiros? Pensam em decimais? Sugeriram um quadrado? As atividades 3 e 4 apresentados nessa seção trabalham estimativas, o que deve sempre ser estimulado. Aproveite a oportunidade para trazer para a sala de aula instrumentos como trena ou metro de carpinteiro para que os alunos os manuseiem. Avaliação Pode ser sugerida aos alunos a construção de mosaicos na malha triangular. Eles criariam mosaicos coloridos e juntamente a essa composição, apresentariam por escrito um relatório destacando os polígonos presentes em seu mosaico, sua nomenclatura e se há polígonos regulares. Esse exercício estimula a criatividade, trabalha a coordenação motora, a classificação dos polígonos quanto ao número de lados e podem iniciar informalmente percepções sobre o ladrilhamento do plano com polígonos. Depois de avaliados, os trabalhos podem ser expostos em murais, nos corredores da escola. O exercício proposto no item 7. Simetria nos polígonos e no círculo também pode ser utilizado para esse fim. Os alunos podem entregar a tabela preenchida e as respostas das questões propostas para que você faça a avaliação. Matemática e tecnologia No endereço eletrônico a seguir, os alunos têm a oportunidade de visualizar uma atividade interativa usando o software GeoGebra, que, além de gratuito, oferece as opções de ser instalado em um computador ou utilizado remotamente, direto na internet: https://tube.geogebra.org/material/ show/id/22878 Possibilite que os alunos assistam à animação e explorem livremente todos os seus recursos antes de solicitar-lhes que respondam às questões sugeridas pelo próprio exercício.
Neste outro endereço www.geogebra.org/download há o software completo para download e instalação em um computador e também o aplicativo para uso direto na internet (sem instalação). O site do desenvolvedor contém tutoriais e muitas sugestões de atividades já prontas. Citaremos algumas delas em outras oportunidades.
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercício 6 Trabalha a decomposição de polígonos em outros polígonos, o que será desejável posteriormente no trabalho com cálculo de áreas. Exercício 9 Consideramos que paralelogramos são trapézios. Por isso, tomamos o cuidado de, no item b, colocarmos apenas um par de lados paralelos e, no item c, escrevermos que há dois pares de lados paralelos, em vez de perguntar quais são paralelogramos e quais são trapézios. Exercícios 14 e 15 Retomam e salientam a definição do que são polígonos regulares. Exercício 21 Provavelmente os alunos não perceberão de imediato que a soma das medidas dos segmentos horizontais e dos verticais são iguais, respectivamente à largura e à altura da figura. Esse tipo de questão estimula o pensamento criativo. Observe como resolvem e valorize cada resolução diferente. Você pode, inclusive, chamá-los à lousa para compartilhar as diferentes resoluções com os colegas. Exercício 22 Depois de definir circunferência, estimule os alunos a usar o compasso. Peça que tracem várias circunferências, marcando seu centro e traçando um raio. Esse tipo de questão estimula o pensamento criativo. Interagindo da página 171 Envolve a classificação de triângulos quanto aos lados e a classificação de quadriláteros para depois propor a investigação da existência de eixos de simetria nessas figuras. Nos comentários sobre essa unidade sugerimos usá-la no processo de avaliação. manual do professor
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Acervo Elizabetth Di Cavalcanti
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para os alunos
Um pouco sobre a história dos mosaicos Mosaico é uma forma de arte decorativa, em que desenhos ou composições são construídos por meio da colagem de pequenos pedaços de pedra, vidro, cerâmica, mármore ou outros materiais numa superfície.
Di Cavalcanti. Painel em mosaico, 1952, situado no Edifício do Jornal de São Paulo, São Paulo (SP).
Texto para o professor
Essa técnica tem milhares de anos e foi muito praticada na Grécia e Roma antigas, onde obras belíssimas revestiam pisos e paredes. Os gregos formavam quadros usando pequenos seixos brancos, pretos e de vários tons de vermelho com cenas de luta e de caça, além de motivos mitológicos. A partir de 40 a.C., a Itália tornou-se o maior centro de produção de mosaicos. Eles eram utilizados principalmente em motivos religiosos. Na cidade italiana de Ravena, encontram-se maravilhosos mosaicos. Com o desenvolvimento de novas técnicas pelos artistas, a produção de mosaicos foi perdendo força. Por volta da segunda metade do século XV, o gênero praticamente deixou de ser apreciado.
As diferentes definições dos quadriláteros notáveis Quadrados são losangos? Paralelogramos são trapézios? Perguntas como essas são formuladas tanto por estudantes como por professores. Este artigo vai contar por que um mesmo quadrilátero pode aparecer na literatura matemática com definições diferentes. E uma nota da redação, NR, vai dizer, na opinião da RPM, como um professor pode lidar com tal situação. A geometria que se estuda hoje nas escolas tem suas origens num livro chamado Os Elementos, escrito aproximadamente em 300 a.C. por Euclides. É na Grécia que nasceram as principais ideias da geometria. E é lá que iremos ver como Euclides tratava os quadriláteros.
A palavra mosaico tem origem na palavra grega mouseîn, a mesma que deu origem à palavra música, que significa “próprio das musas”. Mosaicos construídos com peças cortadas à mão são únicos, pois cada corte é feito separadamente tornando quase impossível reproduzi-lo. Consagrados artistas brasileiros como Cândido Portinari e Di Cavalcanti utilizaram mosaicos em diversas de suas obras. Hoje, encontramos mosaicos na decoração de ambientes, em salões, calçadas, vitrais, no artesanato, além de ser praticado como hobby por muitas pessoas. Marchello74/ Dreamstime.com
Veja mosaicos com motivos geométricos:
Calçada de Copacabana, Rio de Janeiro (RJ).
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Quadrado é uma figura quadrilátera de quatro lados iguais com ângulos retos.
Quadrado
Oblongo é uma figura quadrilátera com ângulos retos, mas que não tem quatro lados iguais.
Oblongo
Rombo é uma figura quadrilátera com quatro lados iguais, mas não com ângulos retos. Romboide é uma figura quadrilátera que tem lados e ângulos opostos iguais entre si, mas não tem quatro lados iguais nem ângulos retos.
Ilustrações: DAE
Na definição 19 do livro I de Os Elementos, Euclides define “figura quadrilátera” como sendo aquela “contida por quatro linhas retas”. Em seguida, na definição 22, ele apresenta caracterizações de alguns quadriláteros notáveis:
Rombo
Romboide
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Podemos observar que o oblongo de Euclides é um caso particular do hoje denominado retângulo, que o rombo é um caso particular do nosso losango e que o romboide é um paralelogramo particular. Representaremos a seguir, por meio de um diagrama de Venn, os conjuntos dos quadriláteros notáveis definidos por Euclides. Quadriláteros
Oblongos
Rombos
Quadrados
Romboides
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os quatro lados paralelos dois a dois.
Nessas novas definições, as restrições impostas aos retângulos e aos losangos foram eliminadas: agora todo quadrado pode ser considerado losango e retângulo. É importante observar que o processo que possibilitou evoluir para as definições modernas de Hadamard levou muitos anos. Durante séculos, a obra de Euclides serviu de modelo para o ensino de Geometria e cada novo autor de manual de Geometria respeitava a divisão dos conteúdos da obra de Euclides, bem como as definições e proposições. Quadriláteros
Legendre, que preconizava uma Geometria mais rigorosa e menos intuitiva, caracterizava os quadriláteros notáveis da seguinte maneira:
Paralelogramos
Retângulos
Quadrados
Entre os textos de Geometria que foram importantes no ensino, depois dos Elementos de Euclides, estão os Elementos de Geometria de Legendre (1793) e o tratado de Hadamard (1898), Leçons de géométrie élémentaire.
Losangos
O quadrado tem seus lados iguais e seus ângulos retos. O retângulo tem ângulos retos sem ter os lados iguais. O losango tem os lados iguais sem que os ângulos sejam retos. O paralelogramo tem os lados opostos paralelos.
Podem-se observar algumas diferenças entre as definições de Legendre e as de Euclides. O oblongo e o rombo de Euclides passam a ser denominados, respectivamente, de retângulo e losango. O romboide recebe o nome de paralelogramo, mas o seu conceito é ampliado: agora, o paralelogramo apresenta os lados opostos paralelos. Essa alteração na definição permite que os quadrados, os retângulos e os losangos sejam também classificados como paralelogramos. Mais tarde, em 1898, Hadamard caracteriza os quadriláteros notáveis de uma maneira mais ampla: Quadrado é um quadrilátero que tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais e, consequentemente, retos. Losango é um quadrilátero que tem os quatro lados iguais.
Os quadriláteros notáveis na obra de Hadamard Voltando ao ensino dos quadriláteros, podemos dizer que as concepções dos nossos alunos relativas às definições dos quadriláteros notáveis, nas séries iniciais, assemelham-se muito às de Euclides e Legendre. Os quadrados, losangos, retângulos e paralelogramos são identificados dentro de quatro classes distintas de objetos matemáticos. Quando as definições mais amplas são introduzidas, parecenos que uma dificuldade do aluno em aceitá-las está no fato de ter que fazer corresponder a um único nome (por exemplo, retângulo) objetos matemáticos representados por formas diferentes (retângulo e quadrado). Compete a nós, professores de Matemática, a tarefa de acolher o saber trazido pelos alunos (e que não está errado!) e de fazê-los progredir lentamente para uma concepção mais ampla, como a de Hadamard, generalizando proposições relacionadas com quadriláteros.
NR Questionamentos causados pelas definições diferentes de alguns quadriláteros incomodam, mas não provocam maiores consequências.
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O que você, professor, pode fazer: 1. adotar uma das definições existentes (nunca inventar novas definições). Se a turma estiver usando um livro-texto, adotar, de preferência, a definição dada nesse material; 2. avisar aos alunos que talvez eles encontrem definições ligeiramente diferentes, pois, historicamente, elas sempre existiram; 3. responder coerentemente a perguntas como as do início deste artigo, se forem feitas por alunos, mas não provocar esse tipo de questionamento.
Desenhe um esquema semelhante para o retângulo, o losango e o quadrado. Coloque nos quadros tudo o que sabe sobre estes polígonos. Confira seus esquemas com os dos colegas e com o professor.
Unidade 11 – Frações I. Objetivo geral ◆◆
Reforçando nosso argumento: O que é importante saber sobre o losango? Que é um paralelogramo; que seus lados são congruentes; que suas diagonais são perpendiculares. Falar sobre os ângulos do losango é uma “questão de gosto”. Se eles puderem ser retos, o quadrado é losango. Se eles não puderem ser retos, o quadrado não é um losango. Só isso! BONGIOVANNI, Vincenzo. As diferentes definições dos quadriláteros notáveis. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, n. 55, p. 29-32, 2004.
Atividade complementar para os alunos A atividade a seguir ajuda a organizar os conhecimentos sobre os quadriláteros e suas características. Você pode colocar no quadro ou digitar e imprimir para que os alunos completem e depois colem nos cadernos, como uma síntese sobre as figuras vistas. Verifique se nos esquemas que desenharão sozinhos escrevem todas as características vistas no texto didático. Observe o esquema que montamos para o trapézio, escrevendo nos quadros as características deste polígono. Complete o que falta nesse esquema e preencha o esquema do paralelogramo. Trapézio
Quadrilátero
Tem um par de lados...
paralelos Paralelogramo
quadrilátero
370
tem dois pares de lados paralelos
Reconhecer e interpretar números racionais na forma fracionária em diferentes contextos, aplicando os conhecimentos sobre frações para representar e resolver problemas.
II. Objetivos específicos ◆◆
Representar partes de um todo e certos resultados de medidas por meio de frações.
◆◆
Ler e escrever frações, identificando e dando significado ao numerador e ao denominador.
◆◆
Conhecer contextos históricos ligados à criação das frações.
◆◆
Calcular uma fração de uma quantidade.
◆◆
Dada uma fração de uma quantidade, obter essa quantidade.
◆◆
Identificar e obter frações equivalentes a uma fração dada.
◆◆
Comparar frações.
◆◆
Operar com frações.
◆◆
Resolver problemas envolvendo frações e suas operações.
III. Comentários Com base em situações contextualizadas, retomamos o significado de fração como parte de um todo, além da representação e leitura de frações. Nesta coleção, o significado de fração como quociente e o conceito de razão serão explorados a partir do 7o ano. Destacamos o trabalho com frações equivalentes, visando à sua aplicação na comparação, na simplificação, na adição e na subtração de frações de denominadores diferentes. É importante mostrar aos alunos como os conceitos de múltiplo e de divisor se aplicam no estudo das frações. Consideramos que há dois aspectos que devem ser assegurados:
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◆◆
o aluno deve perceber que frações equivalentes representam o mesmo número – ou seja, são numerais diferentes para um mesmo número – e que todo número natural pode ser escrito na forma de fração;
◆◆
na adição e subtração de frações, o conceito de fração equivalente é aplicado de forma consciente, evitando procedimentos do tipo: “divide pelo de baixo, multiplica pelo de cima”.
Deve-se insistir no cálculo mental para a obtenção do mmc dos denominadores na adição e subtração com frações, valendo-se do processo prático (algoritmo de decomposição) só quando for realmente necessário. Também sugerimos insistir na simplificação dos resultados das operações e na utilização do cancelamento nas multiplicações. Embora não trabalhemos especificamente as propriedades da adição e da multiplicação, por meio de atividades os alunos perceberão que elas também se aplicam às operações com frações. É delicado apresentar a multiplicação de fração por fração, pois a ideia de adição de parcelas iguais não se aplica. Optamos por mostrar por meio de figuras o que ocorre quando, por 2 4 de . Se necesexemplo, queremos calcular 3 5 sário, apresente mais exemplos com figuras. Caso na escola haja acesso à internet, no endereço há um objeto educacional que exibe essas figuras. http://www.visualfractions.com/teachers/ Quando apresentamos a divisão de f rações, introduzimos o elemento inverso, mas de maneira informal. No 7o ano, quando apresenta re mos frações como quocientes, todas as operações serão retomadas e, no 8o e 9o anos, as propriedades das operações serão abordadas formalmente.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Procuramos construir conceitos e apresentar as operações com frações priorizando a compreensão, com base em desenhos e esquemas que representem situações com esse tipo de número. Sempre que possível, buscamos
integrar frações e Medidas, frações e Geometria, frações em gráficos de setores. Dois textos (páginas 184 e 190) foram selecionados para dar significado histórico às frações, mostrando suas origens, os registros feitos por civilizações antigas e sua presença na obra de Leonardo de Pisa.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas do manual Leitura, escrita e oralidade Propomos a leitura dos textos de caráter histórico das páginas 184 e 190, com estratégias diferentes em cada um. A leitura do texto Egípcios, Fibonacci e as frações pode ser solicitada como tarefa de casa, incluindo as questões propostas e ainda as perguntas a seguir. 1. A partir de que século tornou-se usual o registro de frações usando o traço horizontal? Esse século começou e terminou em quais anos? 2. De onde veio o apelido “Fibonacci” dado à Leonardo de Pisa? 3. Qual é o nome de seu livro mais famoso e em que século foi terminado? Em sala de aula, peça a vários alunos que façam a leitura do texto As frações e as medi das em voz alta, cada um lendo um trecho. Você também pode solicitar que escrevam uma síntese das informações a seguir: ◆◆
a influência do Nilo no surgimento de números menores que a unidade no Antigo Egito;
◆◆
o nome dado aos funcionários do faraó que demarcavam terrenos;
◆◆
os procedimentos utilizados nessa demarcação;
◆◆
a necessidade que possivelmente os levou à criação de novos números.
Resolução de problemas Na página 181 apresentamos uma seleção de problemas com frações. Sugerimos trabalhá-los com os alunos em trios, na sala de aula. Antes de aplicá-los, coloque na lousa o roteiro a manual do professor
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◆◆
Leiam o problema com atenção.
◆◆
Identifiquem o contexto do problema (do que ele trata?).
◆◆
Escrevam a pergunta (o que se quer determinar?).
◆◆
Escrevam os dados, as informações.
◆◆
Discutam uma estratégia de resolução.
◆◆
Resolvam o problema e apresentem a resposta completa, avaliando se é adequada à situação.
Deixe que trabalhem livremente enquanto você circula pela sala acompanhando os grupos e dando apoio a eles. Escolha um dos problemas – por exemplo, o 18 – e solicite que descrevam com palavras como pensaram para resolvê-lo. Terminada a atividade, chame cada grupo para apresentar a resolução de um dos problemas. Valorize soluções diferentes para uma mesma questão. Avaliação A atividade sugerida pode gerar uma nota oriunda parte da observação do trabalho dos grupos (disciplina, concentração, troca de ideias, criatividade, registros adequados etc.), parte da correção dos exercícios. Uma outra sugestão: Pedaços de barbante propiciam desenvolver uma atividade manipulativa interessante (também avaliativa), que possibilita observar a representação, a escrita, a leitura, a ideia de fração equivalente e outros conhecimentos sobre frações. Além de um pedaço de barbante de aproximadamente 1,2 m de comprimento, cada aluno deve trazer uma tesoura escolar e uma caneta com tinta colorida. Veja a seguir algumas sugestões de encaminhamento. Também é possível explorar outras questões. 1. Cada aluno, sentado em sua carteira, deve cortar dois pedaços de barbante de mesmo comprimento. Esse comprimento deve ser igual ao de seu braço esticado (do ombro ao punho). 372
2. Feito isso, ele deve dividir o primeiro pedaço de barbante em 4 partes iguais, dobrando-o. O pedaço não deve ser cortado. As divisões serão marcadas com a caneta colorida, como mostra a fotografia. Fernando Favoretto
seguir para orientá-los nesta e em outras oportunidades de resolução de problemas.
Barbante sobre a carteira.
3. Usando o mesmo procedimento, ele deve dividir o segundo pedaço em 6 partes iguais. Deixe que eles façam sozinhos a divisão e as marcas. Observe e avalie esse procedimento. 4. Os alunos podem inicialmente escrever no caderno as frações do comprimento do bra1 1 ço marcadas em cada barbante: , etc. 4 6 Solicite a participação de alguns oralmente (leitura dessas frações) e de outros por escrito; estes devem ir à lousa para registrá-las. Em seguida, você pode pedir que: ◆◆
1 do compri4 1 mento do braço de um com do com4 primento do braço de outro, para percecomparem, em duplas,
berem que existem vários comprimentos 1 1 correspondentes a , ou seja, de “al4 4 go” depende desse “algo”; ◆◆
explorem no concreto a equivalência en1 2 2 4 tre frações ( 5 , 5 etc.) e algu2 4 3 6 1 1 3 1 mas operações, como 1 5 5 , 6 3 6 2 1 1 5 1 5 . 2 3 6
Avalie o desempenho dos alunos nessas atividades tanto no aprendizado do conteúdo como nos aspectos atitudinais.
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Matemática e tecnologia No endereço eletrônico a seguir, você encontra um jogo interativo que explora frações equivalentes. Solicite aos alunos que o explorem individualmente ou em duplas, anotando e simplificando as frações apresentadas no jogo.
2 pode ser representado na forma 3 2 2 6 e, se multiplicarmos o divisor, , e o divi3 3 3 dendo, 6, pelo número transformamos o divisor 2
Por exemplo: 6
em 1. Representamos:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ bitstream/handle/mec/10471/Frações_ Equivalentes.swf
6
3 2
6
3 1 2
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos
2 3 3 2
9 1
Interagindo da página 180 Se julgar interessante, explique o que é consumo por litro de um automóvel e complemente a questão 3 com o cálculo para cada modelo. Refletindo da página 182 Se necessário, dê mais exemplos de frações que representam quantidades inteiras. Exercício 25 Propõe que os alunos descubram como extrair inteiros dada uma fração imprópria, apresentando essa terminologia que, por vezes, é usada.
que tem 9 como resultado. É claro que 9 é também 2 o resultado da divisão original 6 : , uma vez que a 3 multiplicação do divisor e do dividendo por um mesmo número não altera o resultado da divisão. Um outro exemplo: 2 2 4 ou 3 3 7 2 7 3 4 7 6
Exercício 53 Trabalha adições com números naturais e frações. Se preciso, faça alguns exemplos na lousa. Refletindo da página 199 Retome o fato de que a multiplicação de um número por outro entre 0 e 1 resulta em um número menor do que o primeiro.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Para o professor Texto 1
Divisão de fração por fração Normalmente, muitos alunos de uma turma do 1o grau* têm dificuldade em entender os passos dados na divisão por fração. Uma forma diferente de encaminhar essa divisão pode melhorar o entendimento.
* O 1o grau corresponde, neste caso, aos anos finais do Ensino Fundamental, ou seja, do 6o ao 9o ano.
que é igual a
4 7 4 7 7 4 1
7 . 6
MADEIRO, Paulo C. Divisão de fração por fração. Revista do Professor de Matemática, São Paulo: SBM, n. 30, p. 22, 1996.
Texto 2
Problemas-narrativas Os problemas-narrativas são apresentados por meio de uma situação imaginária, uma pequena história. Malba Tahan, ou Júlio Cesar de Mello e Souza, autor de livros famosos, como O homem que calculava, era especialista nesse tipo de problema, que tem sua origem perdida no tempo. Ao longo da história, problemas-narrativas passaram de geração em geração, apresentando mudanças no contexto e na linguagem, mas ainda atraindo o interesse das pessoas. Apresentaremos três exemplos. Sugerimos trabalhá-los com os alunos. Uma excelente fonte de pesquisa sobre esse assunto é o livro Explorando as operações aritméticas com recursos da história da matemática, de Circe Mary Silva da Silva (Editora Plano, 2003).
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Primeiro problema Trata-se de um problema bastante conhecido, proposto por Beda, monge saxão nascido em 673, que também era teólogo e historiador.
Este problema – atribuído a Júlio Cesar de Mello e Souza (Malba Tahan) – é uma variação de um antigo problema da antologia grega.
Um lobo, uma cabra e uma couve têm de atravessar um rio num barco que transporta um de cada vez, incluindo o remador. Como o remador os levará para o outro lado de forma que a cabra não coma a couve e o lobo não coma a cabra?
Ao cair da tarde, dois mendigos voltavam para suas choupanas. Cada um deles levava certo número de moedas. Em dado momento, um dos mendigos, em tom queixoso, disse ao companheiro:
Solução proposta por Beda: 1o vai o homem com a cabra; 2o volta o homem sozinho; 3o vai o homem com o lobo; 4o volta o homem com a cabra; 5o vai o homem com a couve; 6o volta o homem sozinho; 7o vai o homem com a cabra. Veja um problema semelhante disponível nos dias de hoje: Em um barco, um pescador precisa levar, de uma margem para a outra do rio à sua frente, um saco de milho, uma galinha e uma raposa. O problema é que o barco só aguenta ele e mais uma das três cargas (o milho ou a galinha ou a raposa) por vez. Ele não pode deixar a galinha com o milho, porque a galinha comeria o milho, nem pode deixar a galinha com a raposa, se não a raposa comeria a galinha... O que ele deve fazer?
Segundo problema Mais um problema sugerido por Beda: Uma pomba que estava em uma árvore viu chegar um bando de outras pombas e disse: “Se fosseis outras tantas e outras tantas e eu, seríamos 100”. Quantas pombas iam voando? Resposta: 33 pombas.
Terceiro problema Este problema – atribuído a Filippo Calandri em seu Tratado di Aritmetica (1491) – é muito parecido com problemas apresentados nos livros didáticos de hoje. Três homens estavam numa prisão da qual desejavam fugir. O primeiro disse que poderia arrombar a prisão em 6 horas; o segundo disse que poderia arrombar em 12 horas; o terceiro disse que poderia arrombar em 18 horas. A pergunta é: Se todos os três trabalharem juntos, em quanto tempo eles arrombarão a prisão? Resposta: 3 horas e 5 minutos.
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Quarto problema
– A sorte hoje não me favoreceu. Se você me desse duas de suas moedas, ficaríamos ambos com a mesma quantia. – Essa é boa – replicou o outro, em tom de gracejo. – Essa é muito boa! Se você me desse duas de suas moedas eu ficaria com o triplo do que você teria de resto. Pergunta-se: Quantas moedas tinha cada um dos mendigos? Resposta: 6 moedas e 10 moedas
Para os alunos Atividade complementar 1 Os alunos costumam interessar-se pela atividade dos estiradores de corda, funcionários dos faraós do Antigo Egito. É possível aproveitar esse interesse para trabalhar algumas ideias utilizando um pedaço de barbante. O barbante pode ser “dobrado” de forma que você consiga dar os “nós” que o dividirão em um número n de partes iguais. Adotando a distância entre dois nós como unidade de medida, meça, com o barbante, o comprimento da sala de aula – nesse momento, comente como deve ter surgido a necessidade de fracionar a unidade. Os alunos devem tentar expressar a medida com um número misto: x “nós” e uma fração de “nó” estimada por eles. Provavelmente também perceberão que uma distância menor entre os nós (unidade de medida menor) melhoraria a precisão da medida. Atividade complementar 2 Para exercitar o reconhecimento de frações que representam números inteiros, sugerimos uma atividade lúdica. A ideia pode ser adaptada para frações equivalentes, seguindo as mesmas ideias. O cãozinho quer chegar até o osso. Ajude-o a descobrir o caminho, pois ele só pode se deslocar para casas onde hajam frações que representam números inteiros.
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12 6
8 2
cãozinho
21 4
12 3
21 7 3 2
23 13 9 8
6 10 35 7
10 8
9 4
150 3 18 9
100 5
14 7 26 12
8 8
2 8
osso
Unidade 12 – Números decimais I. Objetivos gerais ◆◆
◆◆
Resolver problemas que envolvam números decimais.
Estendendo as regras do sistema de numeração decimal, retomamos o registro e a leitura dos números racionais na forma decimal. Os alunos apresentam conhecimentos anteriores sobre os números decimais. A partir do 6o ano esses conhecimentos são aprofundados e organizados.
16 10 10 5
◆◆
III. Comentários
3 9 12 5
Operar com números decimais e estimar resultados.
18 6 50 10
6 1
◆◆
Estender as regras do sistema de numeração decimal na representação de números racionais na forma decimal, compreendendo esses registros. Reconhecer a forma decimal dos números racionais em diferentes contextos, aplicando-os na representação e na resolução de situações-problema.
II. Objetivos específicos ◆◆
Escrever frações decimais na forma de número decimal e vice-versa.
◆◆
Ler números decimais.
◆◆
Utilizar números decimais para registrar medidas.
◆◆
Comparar números decimais.
O trabalho com figuras e com o registro de medidas é importante nesse processo. Explorar a régua é fundamental. Muitos alunos chegam ao 6o ano ainda com dificuldade em sua utilização. Peça que, usando números decimais, tracem segmentos com diferentes medidas. Se for possível, disponibilize em sala de aula uma balança e um termômetro clínico nos quais seja possível observar as subdivisões decimais das unidades. Explore, com os alunos, a leitura de medidas feitas com régua e com esses instrumentos. Uma situação do cotidiano introduz a adição e a subtração de números decimais. O texto lembra que o procedimento adotado na adição de números naturais – ou seja, considerar as centenas, as dezenas e as unidades que formam esses números e reuni-las, separadamente, reagrupando, se necessário – pode ser utilizado com os números decimais. Colocar vírgula embaixo de vírgula é um modo de facilitar o processo. Na comparação de números decimais, vale lembrar que, enquanto com números naturais a quantidade de ordens na escrita do número é um indicador de ordem de grandeza, com números decimais isso não ocorre: 7,1 > 2,6734, por exemplo. Você deve estar atento a essa provável dificuldade dos alunos. Observando padrões nas multiplicações e divisões por 10, 100, 1 000 etc., o aluno compreenderá como obter o produto de números decimais. Esses padrões também serão importantes na escrita de números na notação científica, assunto do 8o ano. Trabalhamos a divisão de números naturais com quociente decimal, retomando mais uma manual do professor
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vez as regras do sistema de numeração decimal. Os procedimentos para a divisão de números decimais serão bem compreendidos por meio da propriedade já vista na Unidade 4 e retomada no início da seção que discute a divisão de números decimais. Retome essa propriedade propondo aos alunos que façam divisões como as apresentadas a seguir, chegando eles mesmos à conclusão. 2
2
10
10
10
10
400 600 5 4 12 3 5 4 24 6 5 4 240 60 5 4 2
etc.
Enfatizamos o trabalho com estimativas por arredondamento para o resultado de operações com números decimais. É importante mostrar aos alunos como as estimativas podem evitar erros. Sempre que for efetuar uma operação, peça que estimem a ordem de grandeza do resultado. Por exemplo, é comum os alunos errarem em divisões do tipo 81,6 8. Em geral, eles apontam erradamente 1,2 como quociente. Se estimarem que “81 8 dará pouco mais do que 10”, perceberão seu erro. Destacamos, ao longo do texto, situações que podem oferecer dificuldade para os alunos e que merecem sua atenção. A multiplicação por um número racional entre 0 e 1 resulta em um produto menor do que o número inicial. Na divisão por um número racional entre 0 e 1, o quociente obtido é maior do que o número inicial. Para tornar claro por que isso ocorre, você pode utilizar outros exemplos simples ( 0,5 e 0,5) e figuras.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra Procuramos trabalhar os números decimais por meio de situações contextualizadas, fazendo as conexões entre esse tipo de registro, os números naturais, frações decimais e medidas. A compreensão dos procedimentos usados nas operações com decimais foi prioridade, principalmente na multiplicação e divisão, nas quais o trabalho com estimativas e arredondamentos prossegue, aliado ao uso da calculadora para investigar e conferir resultados.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas deste manual Leitura, escrita e oralidade Solicite a leitura do item 2. Números decimais e o registro de medidas, página 210. O texto trata do registro de medidas não inteiras, usando decimais. Peça aos alunos que leiam o texto em casa e elaborem uma situação-problema na qual apareçam medidas de comprimento, de massa ou de temperatura para ser resolvida por um colega. Eles devem escrever o enunciado no caderno e resolver a questão. Em sala de aula, alguns alunos leem as questões e outros as resolvem na lousa. A atividade também será útil para resgatar conhecimentos prévios sobre medidas, tema da próxima unidade. Resolução de problemas Os números decimais estão presentes em diversos contextos. Usando jornais, revistas, propagandas, folhetos e observando situações do cotidiano, os alunos, organizados em trios, podem elaborar e resolver problemas que envolvam números decimais e suas operações. O encaminhamento da atividade seria o mesmo sugerido para as unidades 3 e 4. Avaliação As atividades sugeridas nos dois itens anteriores podem compor a avaliação dos alunos, também nos mesmos moldes sugeridos para as unidades 3 e 4. Matemática e tecnologia https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/decimals/dividing_decimals/v/dividing-completelyto-get-decimal-answer Videoaula sobre divisão de inteiros com quociente decimal. Na página da Khan Academy há várias opções de vídeos e de exercícios envolvendo operações com decimais.
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VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos
Sua obra mais famosa, De Thiende, foi publicada em 1585.
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O trabalho de Stevin permitiu que evoluíssemos do cálculo com frações para o cálculo com números sem denominadores, tornando as operações com frações decimais tão simples quanto com números inteiros.
Pode ser usado como motivação para o aprendizado do conteúdo, pois pretende mostrar o quanto os números decimais são frequentes no cotidiano. Deixe que os alunos, depois de colarem os recortes, identifiquem a aplicação de cada número: medida de comprimento, de massa, preço etc. Atividades sugeridas na página 216 Incentive o uso da calculadora para investigar o que ocorre nas multiplicações por 10, 100, 1 000 etc. Verifique se os alunos percebem regularidades nos produtos e se isso os induz a operar mentalmente. Interagindo da página 218
Embora os números decimais tenham sido usados de alguma maneira, anteriormente, pelos Árabes e pelos Chineses, e muitos outros matemáticos tenham trabalhado com frações decimais, foi a partir das ideias e obras de Stevin, que a utilização da notação decimal adquiriu destaque. Além de matemático, Stevin foi um brilhante engenheiro, construindo moinhos e portos para o exército holandês no qual se alistou em 1593, seguindo a carreira militar. Fontes de pesquisa:
A calculadora será útil para perceberem o que acontece quando fazemos uma multiplicação por um número entre 0 e 1. Verifique novamente se os alunos conseguem concluir o que e por que ocorre.
CAJORI, Florian. Uma história da Matemática. Tradução de Lázaro Coutinho. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 2003, 2a ed.
VII. Complementação à formação do professor e do aluno
DEVREESE, Jozef T.; BERGHE, Guido Vanden. Magic is no magic: the wonderful word of Simon Stevin. Boston: Press Wit, 2008.
Texto para professor e alunos Na Unidade 12 há um boxe histórico sobre Simon Stevin, tão importante para a história da Matemática. Acrescentamos neste item mais dados sobre sua vida e obra para sua informação, ou, até mesmo para compartilhar com os alunos. Simon Stevin nasceu em Bruges na Bélgica. Trabalhou como guarda livros em Antuérpia e como balconista num escritório de cobrança de impostos de Bruges, antes de ir para Leiden onde ingressou na Universidade. Ao longo dos anos em que viveu na Holanda, publicou 11 livros e trouxe muitas contribuições à Física e à Astronomia. Stevin aplicou a notação decimal à subdivisão de moedas e de medidas, o que ajudou a popularizar esta forma de registro. Em uma obra de 1581, cujo título traduzido é Nova invenção das contas das empresas, ele mostra regras simples para fazer cálculos contábeis facilitando o trabalho no comércio da época. Esta foi uma característica marcante na vida de Stevin: ele não era só um teórico, punha em prática seus estudos, tendo contribuído com invenções importantes no ramo da hidráulica e da navegação. Teve muitas patentes registradas.
Instituto de Física da Universidade de São Paulo Disponível em: . Acesso em 20/04/2015
Unidade 13 – Porcentagens I. Objetivo geral ◆◆
Reconhecer a importância das porcentagens nos contextos social e científico, sabendo identificar valores correspondentes a porcentagens básicas.
II. Objetivos específicos ◆◆
Relacionar o símbolo “%” com frações decimais e centésimos.
◆◆
Construir estratégias variadas para o cálculo de porcentagens.
◆◆
Escrever porcentagens na forma de número decimal.
◆◆
Utilizar corretamente a calculadora para determinar porcentagens.
◆◆
Resolver problemas que envolvam porcentagens. manual do professor
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III. Comentários As porcentagens, seus significados, representações e aplicações serão abordadas em vários momentos nesta coleção. Nessa unidade, associamos o símbolo “%” com centésimos e priorizamos o cálculo mental das porcentagens usuais, dando-lhes significado. O texto e os exercícios exploram situações contextualizadas que envolvem porcentagens. Você pode se valer de outros exemplos que abordem temas do interesse dos alunos: esportes, música, informática, futuras profissões, preços de eletroeletrônicos etc. Jornais, revistas e internet são importantes fontes para exemplos e atividades. Destacamos a relevância do uso da calculadora, sempre associado à ideia de que sua operação e utilidade dependem do domínio dos conceitos matemáticos. Mostramos como empregá-la para determinar porcentagens. Sugerimos exercitar esse uso com os alunos.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra A ênfase nessa unidade está no cálculo mental das porcentagens usuais e nos procedimentos de uso da tecla “%” da calculadora. O tema “porcentagem” proporciona a oportunidade de abordar assuntos ligados à formação cidadã, como o que é o Censo, alimentação saudável, trabalho voluntário, orçamento doméstico etc.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas deste manual
O trabalho sugerido a seguir terá como finalização a escrita coletiva de um texto com propostas elaboradas pelos alunos. Essa atividade sem dúvida desenvolverá a capacidade de escrita e de expressão oral. Resolução de problemas Como dissemos, porcentagens estão presentes em inúmeros assuntos. A sugestão que apresentamos a seguir é uma entre muitas possibilidades. Os problemas ligados à produção e ao destino do lixo – que provavelmente foram trabalhados com os alunos nos anos anteriores – podem ser considerados uma das situações que mais urgentemente necessita de propostas para solução. Essa temática pode gerar um trabalho interessante que envolva a Matemática na pesquisa e análise de dados numéricos, visando à educação ambiental. A análise e a discussão desses dados serão utilizadas para avançar um pouco mais com os alunos em sua formação cidadã, pois o fechamento do trabalho será a elaboração de um texto coletivo que apresente propostas concretas (mesmo que pequenas, limitadas ao âmbito escolar) que contribuam para diminuir a produção do lixo.
Aula 1 Você pode motivar a turma levantando questões como: ●●
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Leitura, escrita e oralidade O texto 1. O que é porcentagem, da página 231, é bastante simples e pode ser lido de forma autônoma pelos alunos em sala de aula. Peça que, durante a leitura, anotem no caderno o significado e a representação das porcentagens básicas que aparecem. Oriente-os a, em qualquer texto em que apareçam palavras cujo significado eles não saibam, destacar, anotar e procurar em um dicionário as palavras em questão, enriquecendo assim seu vocabulário. Terminada a leitura, alguns alunos podem ir à lousa explicar aos colegas, com suas palavras e com base nas anotações, o que é 100%, 50%, 10% etc., mostrando exemplos numéricos, como feito no livro. 378
●●
Quando jogamos o lixo na lixeira, ele desaparece? O que acontece com o lixo depois que o jogamos fora? Quanto será que uma pessoa produz de lixo por dia? E um país? Para onde vai esse lixo?
Em seguida, os alunos podem ser organizados em grupos de três. O produto final será um cartaz. Cada trio pesquisará: 1. O que é considerado lixo? Quais são os tipos de lixo (orgânico, tóxico etc.)? Todos os grupos farão essa parte da pesquisa. 2. Dados a respeito de um dos seguintes temas (um tema para cada trio): Composição média do lixo urbano ●●
Tipo de material e porcentagem aproximada na composição do lixo: metal, vidro, plástico, papel, lixo orgânico etc.
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Reciclagem 1 ●●
Quais são os materiais recicláveis?
●●
Quanto tempo cada material leva para se decompor na natureza?
●●
Quantidade de lixo produzido no Brasil e no mundo, por dia.
Reciclagem 2 ●●
Números da reciclagem no Brasil: porcentagem de reciclagem de cada tipo de material.
Reciclagem 3 ●● ●●
●●
Números da reciclagem no mundo. Coleta do lixo: porcentagem de domicílios que têm esse serviço e porcentagem de cidades brasileiras que têm coleta seletiva. Destinos do lixo (lixões, usinas de compostagem, aterros sanitários): porcentagem de lixo que vai para cada um desses destinos.
Sugerimos que a pesquisa seja individual para evitar que os alunos precisem se encontrar fora do horário das aulas. Seria interessante utilizar a internet como fonte de pesquisa. Nesse caso, oriente-os a buscar sites confiáveis, como de órgãos governamentais e não governamentais conhecidos e idôneos (fornecemos sugestões logo a seguir). Na aula 2, as pesquisas serão socializadas entre os três componentes. Os alunos podem também compor gráficos em planilhas eletrônicas usando os dados pesquisados. Os gráficos seriam importantes na montagem dos cartazes. Como na Unidade 7 trabalharam com gráficos, podem ser retomados nesse momento. Distribua os temas entre os grupos e forneça a bibliografia para as pesquisas, marcando uma data (duas ou três semanas adiante, por exemplo) para que os grupos tragam o material colhido. Se a escola tiver biblioteca ou hemeroteca, pode-se pedir que os funcionários recolham com antecedência artigos e reportagens para servir de fonte de consulta aos alunos. Veja a seguir algumas sugestões de sites confiáveis que tratam desses assuntos:
www.cempre.org.br www.ib.usp.br www.lixo.com.br www.ambientebrasil.com.br www.ciaeco.com.br É importante explicitar o cronograma de trabalho e o que será avaliado. Veja a seguir uma sugestão de tabela para a distribuição da nota.
Alunos do grupo
Aula 2 – Pesquisa VALOR 1,5 Atitude VALOR 1,0
Aula 3 – Execução em sala VALOR 1,5 Conteúdo VALOR 4,0
Aula 4 – Apresentação dos trabalhos VALOR 1,0
Aula 5 – Debate e texto coletivo VALOR 1,0
Nota final: de 0 a 10
Tema Reciclagem 1 Ana Silvia Rui
Tema Reciclagem 2 Luís etc.
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Aula 2 Na aula marcada, os trios se reúnem para organizar as pesquisas e definir o formato do trabalho: título, dados, uso de tabelas e gráficos, curiosidades, conclusões etc. Circule pela sala de aula atribuindo uma nota individual para as pesquisas e orientando os grupos quanto ao conteúdo e à formatação do trabalho. Esse momento também é propício para a avaliação da parte atitudinal. Apresentamos sugestões de como fazê-lo nos comentários da Unidade 1. No final da aula, cada grupo deve ter, por escrito, um roteiro de tarefas (quais e quem as fará) para a execução do trabalho em classe na aula seguinte.
Aula 3 Montagem e entrega do cartaz. Sugerimos o uso de papel canson A4 no lugar de cartolina. O grupo fará o trabalho em sala de aula. Novamente, você deve acompanhar e avaliar os grupos.
Aula 4 Depois da correção dos conteúdos, devolva os trabalhos e solicite aos grupos que socializem as informações por meio de breve exposição oral. Eles devem anotar informações importantes para discuti-las durante a aula de fechamento do trabalho, cuja data será marcada por você.
Aula 5 Nessa aula propomos mediar uma grande conversa entre todos os alunos, retomando informações e ouvindo a análise feita por eles sobre os dados pesquisados. O objetivo é escrever com eles um texto coletivo que contenha as principais informações levantadas e, principalmente, propostas sugeridas para diminuir a produção de lixo na escola e na casa deles. Quando o texto estiver pronto e revisado, pode ser divulgado para o restante da comunidade escolar. Esse trabalho apresenta diversas oportunidades para a participação de outras disciplinas: Geografia, História e Ciências podem promover a motivação dos alunos, orientar as pesquisas, apresentar textos que complementem os temas selecionados. A ligação com Língua Portuguesa na elaboração e correção do texto coletivo seria muito proveitosa.
Avaliação Esse trabalho oferece oportunidade de avaliação com base no detalhamento acima. 380
Matemática e tecnologia Pode-se fazer a mesma abordagem que foi sugerida no jogo da memória de frações da Unidade 11. Permita inclusive que os alunos comparem o tempo que levaram para concluir o jogo pela primeira vez com as vezes seguintes. http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ bitstream/handle/mec/10468/Frações_em_ Porcentagem.swf
VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Exercício 6 Rótulos de produtos costumam trazer informações nutricionais em porcentagens, tais como quantidade de nutrientes que apresentam em relação às necessidades diárias recomendadas. Se possível, trabalhe em sala de aula com rótulos verdadeiros. Interagindo da página 238 A questão 4 propicia um trabalho interessante com a aplicação de porcentagens em situações reais. Verifique se os alunos escolhem um número total de quadradinhos que facilite determinar as porcentagens – 100, por exemplo. Acompanhe as conversas, verificando como pensam em distribuir os locais no bairro. Esse trabalho pode ser utilizado como instrumento de avaliação. Exercício 20 A título de introdução ao estudo de gráficos de setores a ser abordado propriamente no 7o ano, relaciona frações e porcentagens dentro de um círculo dividido em setores. Atente para o trabalho com a simplificação das frações e 1 5 25%, as equivalências mais usuais: 4 1 3 1 5 50%, 5 75%, 5 20%. 2 4 5
VII. Complementação à formação do professor e do aluno Texto para o professor
Uma forma interessante de propor questões tipo teste Na Revista do Professor de Matemática número 27 há um artigo com exemplos de questões, compiladas pela professora Renate Watanabe, de um exame realizado nos EUA: o ScholasticAptitude Test (SAT). O que há de interessante nessas questões? Elas en-
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volvem o que se intitula comparações quantitativas. Em geral, questões de múltipla escolha apresentam enunciado e cinco alternativas, sendo uma delas a correta. As questões mencionadas acima também são do tipo teste, mas têm outra estrutura. Para exemplificar, apresentamos a seguir algumas questões nesse estilo, criadas por nós, autores, utilizando porcentagens, que é o assunto dessa unidade. Veja como a ideia é interessante e pode ser aproveitada na elaboração de atividades que envolvam vários conteúdos.
◆◆
Compreender as vantagens do uso de uni dades de medidas padronizadas.
◆◆
Registrar medidas de comprimento no Sistema Métrico Decimal (SMD).
◆◆
Fazer conversões entre as principais unidades de medida do SMD.
◆◆
Construir o conceito de área.
◆◆
Medir superfícies usando unidades de medida padronizadas ou não.
◆◆
Construir o metro quadrado e relacioná ‑lo ao centímetro quadrado e ao quilômetro quadrado.
◆◆
Estimar áreas.
◆◆
Calcular a área de retângulos e quadrados.
◆◆
Construir o conceito de volume.
◆◆
Registrar volumes usando unidades de medida padronizadas ou não.
◆◆
Identificar unidades de medida de volume e de capacidade em situações concretas.
◆◆
Constatar que 1 dm3 5 1 L.
◆◆
Conceituar massa e registrar medidas de massa usando unidades padronizadas.
Na prova do SAT, as questões eram precedidas das instruções a seguir. Em cada teste há duas quantidades, uma na coluna A e outra na coluna B. Você deve comparar as duas quantidades e, na folha de respostas, assinalar: ●●
A, se a quantidade da coluna A for a maior;
●●
B, se a quantidade da coluna B for a maior;
●●
C, se as duas quantidades foram iguais, ou;
●●
D, se a relação entre as quantidades não puder ser determinada com base nas informações dadas.
Coluna A
Coluna B
Respostas
15% de 20 reais
10% de 30 reais
C
0,028
28%
B
20% 150%
1 5 3 2
C C
20% de x
15% de y
D
1% de 30
2% de 10
A
Unidade 14 – Medidas I. Objetivo geral ◆◆
Ampliar a construção do conceito de medida, percebendo sua importância nas situações do cotidiano, do trabalho e das ciências.
II. Objetivos específicos ◆◆
Identificar grandezas como comprimento, área e volume.
◆◆
Registrar medidas de comprimento usando unidades de medidas padronizadas ou não.
◆◆
Estimar comprimentos.
III. Comentários O trabalho com medidas permeia toda a obra, em unidades específicas, conectado a Geometria, Álgebra e estudo dos números. Essa unidade apresenta o significado de medida e discute a necessidade de padronização de unidades de medida. É interessante fazer algumas medidas utilizando unidades não padronizadas, como o passo e o palmo, para enfatizar essa necessidade. São apresentados aspectos históricos ligados à evolução dos padrões de medida. Os alunos costumam se interessar por unidades de medida associadas a partes do corpo, como jarda, pé e polegada. Aproveite esse interesse para discutir as vantagens do sistema métrico decimal em relação a outros sistemas, como o imperial. Sugerimos que você disponibilize em sala de aula régua, fita métrica, trena, metro de carpinteiro e mostre, concretamente, o metro, o decímetro, o centímetro e o milímetro. Provavelmente, os alunos já fizeram trabalho semelhante em anos anteriores, mas vale a pena retomá-lo. O trabalho com régua é sempre manual do professor
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desejável. Peça que desenhem no caderno segmentos com 10,3 cm, 3,8 cm, 45 mm, 2 dm etc. Se possível, meça com os alunos comprimentos maiores, como o da quadra ou o do pátio da escola. Apresente questões do tipo: “Quantos comprimentos iguais a esse precisamos para ter 100 m? E para ter 1 km?”. O trabalho com material concreto também é importante para a compreensão do conceito de área. Auxilie os alunos na construção do metro quadrado usando folhas com quadradinhos de 1 cm de lado, constatando que 1 m2 5 10 000 cm2. No 7o ano aprofundaremos as conversões entre unidades de área do sistema métrico decimal. Propusemos, na página 254, uma atividade que ajuda os alunos a descobrir as relações entre quilômetro quadrado e centímetro quadrado. O texto e os exercícios buscam exercitar a habilidade de estimar medidas. Apresentamos o conceito de volume com o empilhamento de caixas, chegando às unidades padrão e ao cálculo do volume do bloco retangular. Em outras oportunidades, nos anos seguintes, essas ideias serão retomadas e aprofundadas. Destinamos uma seção à aplicação prática das principais unidades de medida de volume e de capacidade. Se possível, disponibilize em sala de aula latas, garrafas PET, jarra graduada etc. Também propusemos que o aluno constate experimentalmente que 1 dm3 5 1 L. Caso não seja possível cada aluno construir seu decímetro cúbico, você pode construir um e trazê-lo para a sala de aula, junto com uma jarra graduada. Use grãos de arroz no lugar de água. As relações 1 cm3 5 1 mL e 1 m3 5 1 000 L serão vistas no 7o ano. A unidade se encerra com as medidas de massa. Apresentamos massa como a quantidade de matéria de um corpo e, no quadro da página 261, diferenciamos peso de massa. No entanto, em nota explicamos que em várias atividades usaremos a palavra peso em vez de massa para nos aproximarmos da linguagem comum.
IV. Articulando a unidade à concepção da obra A unidade trabalha o viés histórico de evolução das medidas de comprimento e a importância das medidas no trabalho e no cotidiano.
382
A adequação da unidade de medida ao que se pretende medir foi um dos cuidados que tivemos quanto à construção dos conceitos de medida, de área e de volume.
V. Como utilizar, nessa unidade, temas, recursos e propostas deste manual Leitura, escrita e oralidade Pode-se pedir a leitura do item 7. Medidas de massa, nas páginas 261 e 262, como tarefa, solicitando aos alunos que respondam às questões do Refletindo. Em sala de aula, resgate a leitura pedindo que expliquem o que é massa, quais são as unidades de massa mais comuns no dia a dia e qual é a diferença entre massa e peso. Em seguida, os alunos podem resolver o Interagindo até a questão 3. A pesquisa sugerida na questão 4 pode ser encaminhada como tarefa para a aula seguinte. Resolução de problemas O Refletindo da página 251 apresenta um exercício que trata da conservação de área. O exercício 37 aborda a conservação de volume. Seria interessante propor atividades desse tipo usando papel quadriculado para áreas e cubinhos iguais para volumes. Dada uma área, peça que desenhem figuras diferentes com ela. Dado um volume, peça que montem pilhas diferentes com o mesmo volume. A atividade pode ser ampliada para observar também o perímetro das figuras. Avaliação As atividades acima podem ser feitas em pequenos grupos na sala de aula. Enquanto os grupos trabalham, pode-se avaliar a parte conceitual, as habilidades de relacionamento, interesse, argumentação, criatividade etc. Matemática e tecnologia Permita que os alunos explorem livremente a atividade do endereço eletrônico a seguir. Assim que eles tiverem assistido à história completa do azulejista – ou seja, visto as três telas –, solicite que em duplas ou trios resolvam a atividade sugerida no próprio objeto educacional. Tal atividade pode ser recolhida e uma nota atribuída a ela. Leve em consideração aspectos atitudinais como organização, postura e trabalho em equipe. www.projetos.unijui.edu.br/matematica/ amem/revestindo_sala/atividade2.htm
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VI. Comentários e sugestões sobre os exercícios propostos Interagindo da página 247 Propusemos que os alunos descubram como converter metros em milímetros e vice-versa. Deixe que troquem informações, mediando a conversa e corrigindo-os, caso as conclusões não sejam as esperadas. Reforce sempre o significado dos prefixos deci-, centi- e mili-, associando-os, respectivamente, à décima parte, centésima parte e milésima parte. A atividade 6 é interessante porque mostra o inconveniente de medir com unidades não padronizadas, como o passo. É o momento de discutir com os alunos os motivos que levaram à criação do SMD. Pode-se pedir, por exemplo, que pesquisem unidades de medida que não pertencem ao SMD, por exemplo, a milha. Em geral, eles gostam de saber quanto vale uma milha em metros. Posteriormente, durante o estudo de medidas de superfície, podem pesquisar unidades agrárias, como o alqueire e o hectare. Exercício 3 Trabalha estimativas para medidas de comprimento – exercite sempre que possível essa importante habilidade no cotidiano. Refletindo página 251 Propõe que os alunos deem exemplos reais de produtos vendidos por unidade de área, como azulejos, tapetes etc. Atividades que aproximam o conteúdo do cotidiano são sempre importantes. Exercícios de 18 a 34 Neste volume, as questões que envolvem áreas exploram o conceito de área e o cálculo de áreas de quadrados e de retângulos por meio de problemas, em sua maioria contextualizados. Exercício 55 Explorar rótulos de produtos é interessante quando se fala em capacidade e também em massa. Essa atividade apresenta o significado de peso líquido e de peso bruto.
Você pode pedir aos alunos que observem e anotem, durante certo período de tempo, todas as situações que envolvem medidas que eles vivenciaram e preparem um relatório. Seguem exemplos: ◆◆
Numa viagem no fim de semana, vi uma placa que indicava: Santos – 50 km.
◆◆
Fui à loja de armarinhos e comprei 4 m de fita de cetim.
◆◆
Num anúncio no jornal de hoje estava escrito: carpete de náilon 10 mm – R$ 73,00 por metro quadrado colocado.
◆◆
Minha mãe pediu que eu comprasse na padaria 400 g de muçarela e uma garrafa de 2 L de refrigerante.
Em sala de aula, peça aos alunos que comentem coletivamente os relatórios e, em seguida, solicite que relacionem as unidades de medida com os diversos tipos de grandezas como comprimento, área, capacidade, volume, tempo, massa etc. Para encerrar, peça que produzam um pequeno texto sobre a importância das medidas em nossa vida. Atividade complementar 2 Propomos uma atividade lúdica para exercitar a conversão de medidas de comprimento. Você pode utilizar esta ideia em outros assuntos, como porcentagens, números decimais ou frações. Os dois quadros abaixo aparentam ser diferentes, mas somente uma medida não está escrita no quadro 2 em outra unidade e somente uma medida não está escrita no quadro 1 em outra unidade. Descubra quais são elas. QUADRO 1 0,08 km
700 mm
0,032 km
45 cm
3,2 cm
0,8 cm
8m
7 cm
4,5 m
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QUADRO 2
Para os alunos
320 cm
8 mm
0,45 m
Atividade complementar 1
70 cm
4 500 mm
0,8 km
0,07 m
80 m
32 m
As medidas estão presentes nas mais variadas atividades humanas.
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O objetivo desse item é oferecer a você, professor, exemplos de questões sintonizadas com as atuais tendências para a avaliação em Matemática, que têm, como pontos básicos, a aproximação com o cotidiano, a articulação entre conteúdos e a mobilização de habilidades diversificadas para a resolução de problemas. Neste volume, as questões foram selecionadas a partir de avaliações aplicadas pelo Colégio de Aplicação – Universidade Federal de Pernambuco (CAP-UFPE) nos anos de 2009 a 2015. 1.
Considerando que objetos iguais tem o mesmo “peso” e que cada cilindro “pesa” 45 g; qual deve ser o “peso” de cada bloco? 90 g 6.
Observe a pilha de blocos.
Utilizando todos esses algarismos 1, 3, 4, 7 e 8, escreva: a) o maior número que se pode formar, sem repetir algarismos. 87 431 b) o menor número par que se pode formar, sem repetir algarismos. 13 478 c) o maior número ímpar inferior a 14 000 que se pode formar, sem repetir algarismos. 13 847
2.
A balança representada pela figura abaixo está em equilíbrio. Marcelo Azalim
5.
DAE
5. Avaliação – O que se pede por aí
a) Quantos blocos iguais a este pilha? 9 blocos
há nesta
b) Assinale a figura que representa a vista (lateral direita) que está sendo indicada pela seta. Alternativa d.
Amanda, Bárbara, Camila e Daniele jogam na equipe de basquete da escola que estudam. Num certo jogo, elas tiveram o seguinte desempenho: Camila fez 46 pontos; Bárbara marcou três pontos a menos do que Amanda; Daniele fez a metade de pontos que Camila conseguiu fazer e Amanda marcou 7 pontos a mais que Daniele. Com essas informações responda: a) Quantos pontos Bárbara marcou? 27 pontos b) Quem marcou menos pontos? Daniele. A (
3.
)
B (
)
Qual o número que se deve colocar no espaço sombreado da expressão abaixo de modo que a igualdade seja verdadeira? 300 3 18 64
4.
Complete a sequência abaixo, colocando um número no interior de cada um dos três primeiros retângulos, de modo que ao efetuarmos as operações indicadas, o resultado seja 45. 25
1500
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12
60
9
5
45
C (
)
D (
)
E (
)
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Coloque em ordem crescente (do menor para o maior) os seguintes números racionais: 1,4
1,09
11. O professor Marcelo colocou no quadro a seguinte sequência de figuras: 1
5 8
5 4
Ilustrações: DAE
5 ; 1,09; 1,25; 1,4 8 8. Em cada caso abaixo, escreva nos espaços pontilhados os números que tornam as sentenças verdadeiras: 1 3 1 a) d) 23 3 ... 5 471,5 20,5 1 ... 5 4 2 4 1 3 e) 287 ... 5 28,7 10 b) 2 2 ... 5 1 2 2 f) 42 ... 5 420 c) 12,8 1 ... 5 53,1 40,3 1 0,1 ou 10 9. Josué quer comprar latas de tintas para pintar todo o chão da quadra, representado pelo retângulo abaixo:
4
6
3 2
9
11
8 5
Figura 1
14 13
7
10 12
Figura 2
15
Figura 3
Se ele continuasse desenhando essa sequência, mantendo o mesmo padrão, em qual figura estaria o número 88? 18a figura ou figura 18 12. Priscila gosta tanto de números que seu colar preferido tem as “contas” (bolinhas) dispostas de acordo com uma regra matemática. Na figura abaixo, vemos o colar de Priscila (que só tem contas pretas e brancas) com uma parte dentro da caixa. Marcelo Azalim
7.
12 m
Quantas “contas” (bolinhas) pretas do colar estão dentro da caixa? 13 contas 18 m
Uma lata possui 5 litros de tinta, e com 1 litro dessa tinta pintam-se perfeitamente 8 m2 do chão. Quantas latas de tinta Josué deve comprar? 6 latas
13. Gabriel é maior que Beto e menor que Carlos. Daniel é maior que Tiago e menor que Gabriel. Quem é o maior deles? Alternativa a. a) Carlos b) Daniel
10. Clarice quer encher um baú como este com cubos iguais ao desenhado:
d) Tiago 14. O professor Marcelo pediu que Joana escrevesse a sequência dos números naturais de 1 até 230. Quantas vezes o algarismo 4 aparece escrito nessa sequência? 43
4
2 6 6
c) Gabriel
2
2
Quantos desses cubos (de aresta 2) são necessários para preencher completamente esse baú, sem ultrapassar a borda? 18 cubos
15. Amanda completou 15 anos e 11 meses de nascimento em 10/06/2007. Marque a única alternativa correta para a data em que Amanda nasceu. Alternativa d. a) 10/06/1989 b) 10/07/1989 c) 10/06/1991 d) 10/07/1991
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16. Complete as contas, preenchendo cada quadradinho com um algarismo, de modo que fiquem corretas. 4 7 a) 5
9
4 7
LHOR, conforme mostra o procedimento a seguir. 5 3 12 2 5 3 8 1 5 =
8
7
6 3
2
60 2 40 1 5 = 6
3
9
4
1
a) 1 350 gramas
c) 900 gramas
b) 1 260 gramas
d) 180 gramas
18. Uma pessoa encontra-se em certo andar de um prédio de 12 andares. Desce 3 andares, sobe 6, volta a descer 2 e, por fim, sobe 4 para chegar ao 12o andar. Em que andar essa pessoa se encontrava? Alternativa c. a) 3o andar
c) 7o andar
b) 5o andar
d) 12o andar
19. No aniversário de Carol, nem todos os seus colegas (meninos e meninas) estavam na hora de a festa começar. Uma hora depois, foram embora 10 meninos e 6 meninas; nesse momento, a quantidade de meninas ficou o dobro da quantidade de meninos. Próximo ao final da festa, chegaram 9 meninos e 8 meninas. Agora, são 22 meninas presentes. Quantos meninos estavam presentes no início da festa? 17 meninos 20. A líder do clube Doce Novembro fez uma bandeira com três faixas horizontais. Clube De quantas maneiras ela pode Doce pintar a bandeira usando as coNovembro res amarela, verde e branca, e pintando cada faixa de uma cor diferente? Alternativa d. b) 3
c) 4
20 1 5 5 25
Assinale a alternativa que corresponde à expressão aritmética solicitada pela professora para ser
17. Marcelo sabia que, quando vazio, um balde pesa 450 gramas. Ao colocar dois copos de água nesse balde, ele verificou que o peso subiu para 810 gramas. Qual é o peso desse balde com 5 copos de água? Alternativa a.
a) 1
da por sua professora na escola APRENDER ME-
3 8 b) 1
9
22. Paula resolveu uma expressão numérica solicita-
d) 6
resolvida por Paula. Alternativa d. a) 5 3 12 2 8 1 5 b) 5 3 12 2 (8 1 5) c) 5 3 (12 2 8) 1 1 d) 5 3 (12 2 8 1 1) 23. Em um mês de 31 dias, o dia 10 foi num sábado. a) Em que dia da semana foi a primeira segunda ‑feira desse mês? Dia 5. b) Em que dia da semana foi a última segunda ‑feira desse mês? Dia 26. 24. Artur levou uma caixa de bombons para repartir entre os colegas da escola e disse: “Só vai ganhar bombons quem acertar quantos têm na caixa. A dica é: se eu formar grupos de 9 bombons, não sobrará bombons. Se eu formar grupos de 12, também não sobrará nenhum bombom. Saibam ainda que não há mais de 45 bombons na caixa”. Responda:
Quantos bombons havia na caixa que Artur levou para a escola? 36 bombons
25. Do Terminal Integrado existente no bairro CRUZ DAS FLORES, os ônibus de três linhas saem de acordo com os seguintes intervalos de tempo: ◆◆ Linha 1: de 18 em 18 minutos ◆◆ Linha 2: de 30 em 30 minutos ◆◆ Linha 3: de 45 em 45 minutos
Obedecendo essas regras, se em um dia da semana os ônibus das três linhas saírem pontualmente
21. Qual das expressões numéricas a seguir é uma simplificação correta da expressão 22 2 2 (6 1 12 : 3)? Alternativa a.
386
a) 22 2 2 3 10
c) 22 2 12 1 4
b) 20 2 (6 1 4)
d) 20 2 18 : 3
às 7 h da manhã, qual será o próximo horário, desse mesmo dia, em que eles sairão novamente ao mesmo tempo? Alternativa c. a) 7 h 31 min
c) 8 h 30 min
b) 8h
d) 8 h 33 min
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26. Com os dados coletados em uma pesquisa que buscava analisar a venda de salgadinhos na cantina da escola APRENDER MELHOR, em quatro dias seguidos, os alunos produziram o seguinte gráfico:
28. A figura abaixo representa uma pilha de caixas de livros que a livraria LER MAIS enviou à Bienal de Livros.
Livros Ler Mais Livros Ler Mais
VENDAS DE SALGADINHOS NA ESCOLA APRENDER MELHOR 35
Livros Livros Ler Ler Mais Mais
Quantidade vendida
30
25
Qual das figuras abaixo representa a vista superior dessa pilha de caixas? Alternativa a.
20
a)
b)
c)
d)
15 10
29. A figura abaixo foi obtida a partir da planificação de um dos cubos representados.
5 0
Terça‑feira
Coxinha
Livros Ler
Livros Mais Ler Mais
Quarta‑feira Quinta‑feira Dias da semana Pastel
Sexta‑feira
Esfirra
A partir das informações organizadas no gráfico, marque V (verdadeiro) ou F (falso) nos parênteses ao lado de cada afirmação a seguir:
a) ( F ) A venda de coxinhas superou diariamente a venda de pastéis.
Assinale a alternativa que corresponde a esse cubo. Alternativa d. b)
c)
b) ( F ) Em cada dia a venda de esfirras foi sempre menor do que a de pastéis.
a)
c) ( V ) A quinta-feira foi o dia em que se vendeu mais salgadinhos na escola.
30. Luís adora geometria e, para o seu aniversário, encomendou um bolo bastante diferente. Ele é feito de bolinhos em forma de paralelepípedo, nos sabores chocolate (cinza) e baunilha (branco). Temos as seguintes vistas desse bolo:
27. Em seu aniversário, Luís ganhou um jogo com um dado bastante estranho. Ao invés de ser formado por 12 arestas, como um dado normal, ele tem 36 arestas como mostra a figura ao lado.
Assinale a alternativa que indica quantas faces tem esse dado estranho. Alternativa d.
Ilustrações: DAE
d) ( V ) Houve um dia em que as vendas de pastéis e de esfirras foram iguais.
d)
Vista de frente
Vista de cima
Sabendo que cada andar do bolo é do mesmo sabor, quantos bolinhos de baunilha foram utilizados no bolo de aniversário de Luís? Alternativa c.
a) 6 faces
c) 12 faces
a) 6 bolinhos
c) 14 bolinhos
b) 8 faces
d) 14 faces
b) 9 bolinhos
d) 15 bolinhos
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31. O marcador de combustível do carro de Carlos indicava meio tanque.
33. Polyana dividiu um número por 4, obteve 634,5 como quociente e resto zero. Luís dividiu esse mesmo número por 4, obteve 634 como quociente e resto diferente de zero. Qual o resto deixado na conta realizada por Luís? Alternativa c.
Jorge Zaiba
a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 3
Carlos colocou 12 litros de gasolina e observou que o marcador passou a indicar três quartos de tanque. Qual a capacidade do tanque de combustível do carro de Carlos? 48 litros 32. Joana foi ao MERCADO CESTINHA com uma cédula de R$ 20,00 para comprar os produtos da seguinte lista: ◆ 2 desodorantes SEMSUOR; ◆ 3 sabonetes BOAESPUMA; ◆ 1 xampu KABELOMACIO.
O quadro abaixo mostra os preços por unidade desses e de outros produtos.
34. Em uma aula de matemática da escola APRENDER MAIS, a professora de Amanda pediu para que a aluna digitasse as seguintes teclas de sua calculadora: 5
1
3
2
5
No visor, como resultado, apareceu o número 30. Em seguida, a professora pediu que Amanda digitasse mais três vezes a tecla
5
(igual) e, res-
pectivamente, apareceram no visor os resultados: “60”, “120” e “240”. Se essa regra é válida também para a divisão, qual seria o último número que apareceria na tela da calculadora de Amanda se ela digitasse as teclas 5
2
5
e depois digitasse mais duas
vezes a tecla 5 ? Alternativa a. a) 0,625
MERCAdINHO CESTINHA creme dental ANTIKARIE – R$ 2,30 desodorante SEMSUOR – R$ 3,50 hastes LIMPABEM – R$ 1,70 lenço de papel ASSUABEM – R$ 2,40 sabonete BOAESPUMA – R$ 1,20 xampu KABELOMACIO – R$ 4,70
Com base nessas informações, é correto afirmar que Joana comprou todos os produtos da sua lista e ainda lhe sobrou: Alternativa b. a) R$ 4,20 b) R$ 4,70 c) R$ 5,70 d) R$ 5,80
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b) 1,25 c) 2,5 d) 6,25 35. No mundo, 17 928 espécies de animais estão ameaçadas de extinção. Deste total, um terço é anfíbio, um em cada oito é pássaro e um quarto é mamífero. Com base nessas informações, em cada item abaixo, coloque V, se a afirmação for verdade, e F, se for falsa. a) ( V ) 2 241 dos animais em extinção são pássaros. b) ( F ) 25% dos animais em extinção são anfíbios. c) ( V )
7 das espécies em extinção são formados 12 por anfíbios e mamíferos.
d) ( F ) Dentre as espécies em extinção, o número de pássaros é o dobro do número de mamíferos.
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38. A figura abaixo representa uma caixa de vidro em formato de bloco retangular e nela tem-se cubinhos de 1 centímetro de aresta, cada. Ilustrações: DAE
36. Os especialistas afirmam que, em geral, o consumo médio de água de uma família corresponde aos percentuais indicados no gráfico de setores abaixo. beber e cozinhar 3%
lavar pratos 10%
DAE
lavar roupas 25%
outros 17%
higiene pessoal limpeza de casa 15%
a) C alcule o percentual que não aparece indicado no gráfico, correspondente ao gasto médio de água com higiene pessoal. 30% b) De acordo com esses especialistas, quantos litros de água são gastos, por dia, para lavar roupas, em uma casa em que o consumo total diário é de 250 litros? 62,5 litros 37. Eva cortou em papelão duas peças iguais a esta. Sem sobrepor, sem deixar brechas e tendo um lado comum, ela construiu as seguintes figuras:
Com base nessas informações, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) em cada uma das afirmações a seguir. a) ( F ) Na caixa, há 15 cubinhos. b) ( V ) Faltam 103 cubinhos para preencher toda a caixa.
c) ( V ) A capacidade da caixa é de 120 cm3.
d) ( V ) A área total da superfície interna da caixa, sem a tampa, mede 118 cm2. 39. Na escola APRENDER MELHOR, a turma de Gustavo construiu “cubinhos” ( ) de papel, cujas faces são quadrados de lados medindo 5 cm, cada. Quantos “cubinhos” a turma de Gustavo deveria construir para montar um sólido como este ilustrado abaixo? Alternativa c. 15 cm
a) 12 b) 36 c) 48 d) 60
30 cm
Figura B Figura A 15 cm
Figura C Observe as figuras e, em cada item abaixo, coloque V, se a afirmação for verdadeira e F, se for falsa. a) ( F ) A figura B é a que tem maior área dentre as três figuras. b) ( F ) A figura A tem perímetro maior que o da figura B. c) ( V ) A figura C é a que tem o menor perímetro dentre as três figuras. d) ( V ) As figuras A e C possuem mesma área.
10 cm 25 cm
40. Um projeto feito por uma comunidade produziu Sabão Reciclável, a partir de óleo de cozinha que foi coletado nos restaurantes. Em nove meses, a inciativa evitou o despejo de 2,3 mil quilogramas de óleo no meio ambiente, que foram direcionados para a produção de sabão. Na fabricação do Sabão Reciclável, o óleo reciclado corresponde a 20% de sua massa. Quantas barras de Sabão Reciclável, de 400 g, foram produzidas pelo projeto da comunidade nesse período? 28 750
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6. Sugestões de livros e sites para o professor
◆◆
IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992.
No magistério, como em várias outras profissões, estudar continuamente e atualizar-se é indispensável.
◆◆
MEYER, João Frederico da Costa de Azevedo; CALDEIRA, Ademir Donizeti; MELHEIROS, Ana Paula dos Santos. Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2011. Coleção: Tendências em Educação Matemática.
◆◆
MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2004.
◆◆
MIORIM, M. A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998.
◆◆
STRUICK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.
Fornecemos algumas sugestões de livros e sites que podem auxiliá-lo nesta nobre tarefa – a de ensinar.
6.1 Livros 6.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas ◆◆
BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995.
◆◆
ENZENSBERGER, Hans. O diabo dos números. São Paulo: Cia. das Letras, 1997.
◆◆
KALEFF, Ana Maria. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Rio de Janeiro: Eduff, 2003. (Coleção O Prazer da Matemática).
◆◆
KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1996.
◆◆
LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 1997.
◆◆
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria I gnez; MILANI, Estela. Cadernos do Mathema: jogos de Matemática de 6o a 9o ano. São Paulo: Artmed, 2007.
◆◆
TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987.
◆◆
. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2001.
6.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática ◆◆
390
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996.
◆◆
CARAÇA, Bento Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1998.
◆◆
Filho, Dirceu Zeleski. Matemática e Arte. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2013. Coleção: Tendências em Educação Matemática.
6.1.3 Paradidáticos ◆◆
Coleção Contando a História da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1996. Flashes da História da Matemática e situações-problema para o aluno resolver.
◆◆
Coleção Pra que serve Matemática? Diversos autores. São Paulo: Atual, 1990. Temas variados como: números negativos, ângulos e Álgebra, entre outros.
◆◆
Coleção Vivendo a Matemática. Diversos autores. São Paulo: Scipione, 1990. Temas variados como: problemas curiosos, os números na história das civilizações, teo re ma de Pitágoras, lógica, poliedros etc.
◆◆
Série A descoberta da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1991. Temas variados como: números negativos, frações e ângulos, entre outros.
◆◆
BELLOS, Alex. Alex no país dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.
6.1.4 Educação Matemática ◆◆
CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1995.
◆◆
Coleção Matemática: aprendendo e ensinando. Diversos autores. São Paulo: Atual, 2000.
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◆◆
Coleção Tendências em Educação Matemática. Diversos autores. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2001.
◆◆
COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.). As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1994.
◆◆
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 2001.
◆◆
KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1980.
◆◆
LINDQUIST, M. M.; SCHULTE, Albert P. (Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.
◆◆
MACHADO, Nílson José. Matemática e língua materna. São Paulo: Cortez, 1990.
◆◆
MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. O ensino da Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986.
◆◆
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
com a RPM, Estrada Dona Castorina, 110. Jardim Botânico, Rio de Janeiro, RJ. Tel.: (21) 2529-5095. A homepage da revista é: www.rpm.org.br. Nas revistas o professor encontrará artigos sobre ensino de Matemática e discussões gerais que podem auxiliá-lo em suas dúvidas. ◆◆
O Bolema foi criado em 1985, no Programa de Pós-graduação em Educação Matemá tica da Unesp de Rio Claro, que é o mais antigo programa de pós-graduação, nessa área, na América Latina. Voltado à divulgação de artigos de pesquisa, todo o conteúdo da revista está disponível gratuitamente no site: www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index. php/bolema/issue/archive Atualmente o Bolema tem três edições anuais e alguns números especiais, voltados à discussão de temas específicos – Ensino de números racionais (de 2008), Avaliação em Matemática (de 2009), História da Educação Matemática (de 2010), Educação Estatística (de 2011) e Modelagem Matemática (de 2012).
Coleção de publicações do Caem*–IME/USP: 1. O uso de malhas no ensino de Geometria. 2. Materiais didáticos para as quatro operações. 3. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 4. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil.
◆◆
6. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 7. A Matemática das sete peças do Tangram.
6.2 Revistas Revista do Professor de Matemática (RPM) Conhecida como RPM, a revista é distribuída ininterruptamente desde 1982, e é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que, dentre outras atividades, promove também as Olimpíadas de Matemática. O endereço para contato * Nota do editor: O Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) é um órgão de extensão vinculado ao Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP). O Caem assessora professores, promovendo cursos e produzindo materiais de apoio para as aulas de Matemática. O site do Caem e o e-mail para contato são, respectivamente, e [email protected].
Revista Zetetiké O nome Zetetiké está relacionado ao termo pesquisa. A revista é uma publicação do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) da Faculdade de Educação da Unicamp e circula bimestralmente desde 1993. Todas as suas edições podem ser acessadas gratuitamente em:
5. Álgebra: das variáveis às equações e funções.
◆◆
Boletim de Educação Matemática (Bolema)
www.fe.unicamp.br/revistas/ged/zetetike/ issue/archive.php ◆◆
Boletim Gepem O Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática (Gepem) é um grupo carioca que começou a atuar em 1976 e é o mais antigo ainda em funcionamento no Brasil. Voltado a publicar artigos de pesquisa e experiências em sala de aula, o Boletim Gepem, de periodicidade bimestral, pode ser acessado gratuitamente no site:
www.gepem.ufrrj.br manual do professor
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◆◆
Revista Nova Escola Publicada pela Editora Abril, não é uma revista específica de Educação Matemática, seu conteúdo é sobre educação. Frequen temente, porém, podemos encontrar em suas páginas artigos que tratam do ensino e aprendizagem de Matemática, além de textos relativos a outras disciplinas e de discussões gerais acerca das práticas escolares. Ao contrário das demais publicações aqui referenciadas, a revista Nova Escola é uma edição comercial, que pode ser comprada em bancas e cujas edições são mensais. O site da revista é:
www.revistaescola.com.br ◆◆
Revista Educação e Matemática Revista da Associação de Professores de Matemática de Portugal, publicada desde 1987 e com periodicidade atual de cinco edições anuais. Divulga artigos sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática, relatos de experiências e propostas de atividades para a sala de aula. Há alguns artigos e materiais disponíveis on-line (o acesso integral a todos os artigos só é possível a associados) no site:
www.apm.pt/apm/revista/educ.htm
6.3 Sites Vivemos num mundo de comunicação e informação, o que implica serem infinitas as possibilidades de encontrarmos, à nossa disposição, motivações e propostas para implementarmos em sala de aula ou usarmos para nossa formação complementar continuada, para atualizar mos nossos conhecimentos. A internet é um dos melhores exemplos dessas infinitas possibilidades. Mas exatamente por serem tantas as informações disponíveis, os professores devem ser cautelosos quando “passeando” pelo mundo virtual. Embora sugestões criativas para nosso trabalho possam vir de onde menos se espera – o mundo está cheio de situações que podem ser usadas criativa e criteriosamente nas salas de aula –, nossas visitas a sites não podem prescindir de uma boa dose de cuidado. Para auxiliar os professores em suas buscas, sugerimos 392
alguns sites. Páginas virtuais de grupos de pesquisa, universidades, centros de formação conhecidos, profissionais experientes, instituições oficiais e não governamentais reconhecidas por sua atuação e programas de pós-graduação são endereços mais seguros – embora não sejam os únicos – que podem, ao serem acessados, informar o professor e motivá-lo a criar atividades e abordagens para seu cotidiano escolar. Alguns sites já foram citados nos tópicos anteriores, outros indicaremos agora: www.mathema.com.br O Mathema é um grupo que investiga novos métodos e materiais para o ensino de Matemática. Seu site contém textos e materiais para vários níveis de escolaridade. www.sbm.org.br www.sbem.com.br www.apm.pt A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e a Associação de Professores de Matemá tica de Portugal (APM) são sociedades voltadas à pesquisa e ao ensino, e em seus sites os professores podem encontrar informações sobre eventos e publicações. Essas sociedades mantêm revistas especializadas em ensino de Matemática. www.ibge.gov.br Site do Instituto Brasileiro de Geografia e Esta tística em que recentemente foi disponibilizado um mapa-múndi digital na página Países @ no menu Banco de Dados. Esse mapa-múndi traz síntese, histórico, indicadores sociais, economia, redes, meio ambiente, entre outras curiosidades, relativos a todos os países do mundo. O canal temático IBGE Teen dá acesso aos dados do censo 2010 de maneira didática, acessível para os alunos. Veja, a seguir, exemplos – dentre os muitos existentes – de sites de programas de pós ‑graduação em Educação Matemática e Ensino de Ciências e Matemática em funcionamento no Brasil. Nesses sites, você pode encontrar informações sobre cursos, disciplinas, eventos e outras atividades relativas à pesquisa sobre o ensino de Matemática e a práticas de ensino de Matemática.
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www.rc.unesp.br/igce/pgem/ www.pucsp.br/pos/edmat/ www.propesq.ufpe.br/index.php?option5com_ content&view5article&id=70&Itemid=138 www.pg.im.ufrj.br/pemat/mestrado.htm www.edumat.ufms.br/ www.mat.ufrgs.br/~ppgem/ www.ufjf.br/mestradoedumat/ www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/ Outros sites de interesse para os professores de Matemática www.cabri.com.br/index.php www.matinterativa.com.br/layout.swf www.ime.usp.br/~matemateca www.somatematica.com.br educar.sc.usp.br/matematica matematica.com.sapo.pt nautilus.fis.uc.pt www.programaescoladigital.org.br www.obm.org.br www.obmep.org.br Portais educacionais e objetos de aprendizagem Objetos de aprendizagem (OA) são jogos, animações, experimentos, vídeos, textos etc., disponibilizados na internet para uso de professores e alunos. Há vários portais e repositórios que podem ser consultados. Seguem sugestões: mdmat.mat.ufrgs.br www.wisc-online.com/ListObjects.aspx www.apm.pt/portal/index.php?id=26373 www.mais.mat.br/wiki/Pagina_principal www.portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html objetoseducacionais2.mec.gov.br escolovar.org/mat.htm www.diaadia.pr.gov.br ◆◆
Repositórios de Objetos de Aprendizagem:
– Rived – rived.mec.gov.br – Bioe – objetoseducacionais2.mec.gov.br/ – LabVirt – www.labvirt.fe.usp.br – Cesta – www.cinted.ufrgs.br/CESTA ◆◆ Repositórios Internacionais: – Merlot – www.merlot.org – Ariadne – www.ariadne-eu.org
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7. Referências BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995. BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica. Brasília: SEB/ MEC, 2013. CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: IME– USP, 1992. CENTURION, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática, números e operações. São Paulo: Scipione, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus, 1995. DEVREESE, Jozef T.; BERGHE, Guido Vanden. Magic is no Magic: The Wonderful World of Simon Stevin. Boston: Wit Press, 2008. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. São Paulo: IME–USP, 1992. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Geometria plana. São Paulo: Atual, 1993, v. 9. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1998, v. 1. (Coleção Contando a História da Matemática). GUNDLACH, Bernard H. Números e numerais. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Tópicos de História da Matemática). IEZZI, Gelson et al. Conjuntos, funções. São Paulo: Atual, 1985, v. 1. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. KRULIK, Stephen; REYS, Robert (Org.). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1980. 394
LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1975. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar). LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectiva em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. MACHADO, Nílson José. Coleção Matemática por Assunto. São Paulo: Scipione, 1988, v. 1. MOISE, E.; DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971. MONTEIRO, Jacy. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1978. NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1987. NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1984. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. RUBINSTEIN, Cléa et al. Matemática para o curso de formação de professores. São Paulo: Moderna, 1977. SANTOS, Vânia Maria Pereira (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática: métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; Projeto Fundão; Spec/ PADCT/Capes, 1997. SOLOMON, Charles. Matemática. Série Prisma. São Paulo: Melhoramentos, 1978. SOUZA, Eliane Reame; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: IME–USP, 1994. STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997. TROTA, F.; IMENES, L. M.; JAKUBOVIC, J. Matemática aplicada. São Paulo: Moderna, 1980. WALLE, John A. van de. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. ZABALLA, Antoni (Org.). A prática educativa: como ensinar. São Paulo: Artmed, 1998.
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Anexos ficha de acompanhamento da unidade Assunto
Objetivos
Período
Número de aulas previstas
Palavras-chave
Leituras
Atividades avaliativas
ficha de acompanhamento do meu desempenho unidade Conteúdo
Data
Tarefas/ Atividades
Fácil
Média
Difícil
Dúvidas e observações
Como estou em relação a esse item
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Resolução de problemas - S (sim) N (não) I (requer investimento)
Nome
396
Identifica e compreende o contexto do problema?
Seleciona dados e identifica o que se quer saber?
Propõe e executa estratégias pertinentes para resolver o problema?
Faz registros corretos e claros?
Resolve e verifica a validade da resposta, apresentando-a corretamente?
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Habilidades de leitura, escrita e oralidade E (eficiente para a faixa etária) I (requer investimento)
Nome
Identificação Leitura de em informações voz alta no texto
Compreensão do texto
Expressão oral
Articulação de ideias e argumentação
Escrita na língua materna
Escrita na linguagem matemática
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Aspectos atitudinais e procedimentais E (excelente) B (bom) I (requer investimento) N (não adequado)
Nome
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Contribuição para a aula
Material, organização dos registros
Postura disciplinar – atenção e envolvimento
Relacionamento com colegas, professor e funcionários
Desempenho nas atividades Realização em grupo: das tarefas respeito, de casa e de colaboração, classe organização, criatividade
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Colorir a figura a seguir de acordo com a legenda e o resultado das expressões 5
10
6
12
0 DAE
8
(132 9 1 36 ) 52 1 100 (63 2 27) 64 2 50
(216 12 1 42 3) 121 15 1 9 8 2 2 64 2 13
135 5 2 144 2 9
( 64 1 100 ) 4 2 30
81 2 (2 2 3 2 1 ) : 4 5
3
8
16 1 210 15 2 380 19
( 81 2 49 )3 1 16 208 16 2 1600
(80 1 25) 11 1 49
24 2 64 9
36
85 2 33 4 2 1 2 52
(52 1 42 1 60) ( 100 2 9 )
(150 1 9 ) 4 32 64 2 2 62
33 2 (150 25 1 330 22) 3 ( 225 2 81 ) 2 3
36
(43 2 33 2 60) 3 (6 9 2 7 4) 64 1
4
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Ilustrações: Jorge Zaiba
Pergunta 1:
Pergunta 2:
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
Sexo
400
Idade
Ocupação
Resposta da pergunta 1
Resposta da pergunta 2
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