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Calculo 3: 2014 -1 ________________________________________________________________________________ PROBLEMAS DE APLICACIÓN: A. Funciones de Varias Variables 1. Costo de producción . Una caja rectangular abierta por arriba tiene x pies de longitud, y pies de ancho y z pies de alto. Construir la base cuesta $0.75 por pie cuadrado y construir los lados $0.40 por pie cuadrado. Expresar el costo C de construcción de la caja en función de , , x y z . 2. Modelo de construcción. Se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos de materiales de de modo que contenga un volumen 16 pies 3 . El material para la tapa y el fondo cuesta $0.18 por pie cuadrado, el material para las partes delantera y trasera cuesta $0.16 por pie cuadrado, y el material para las otras dos caras cuesta $0.12 por pie cuadrado. (a) Obtenga un modelo matemático que exprese el costo total del material como una función de las dimensiones, las partes delanteras y trasera. Determine el dominio de la función. (b)¿ Cuál es el costo del material si las dimensiones de las partes delantera y trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la caja? 3. Un sólido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos coordenados, tiene un vértice en el srcen y el vértice opuesto en el punto ( , , ) x y z Calculo 3: 2014 -1 ________________________________________________________________________________ en el plano 3 2 6 x y z . (a)Obtenga un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la función. (b) ¿Cuál es el volumen si la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades? 4. (a) Obtenga un modelo matemático que exprese el área total de la superficie del sólido del ejercicio 3, como una función de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la función. (b) ¿Cuál es el área total de la superficie si la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades? 5. Volumen . Un tanque de propano se construye soldando hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V del tanque en función de r y l , donde r es el radio del cilindro y de los hemisferios, y l es la longitud del cilindro. 6. Ley de los gases ideales . De acuerdo con la ley de los gases ideales , PV kT , donde P es la presión V es el volumen, T es la temperatura y k es una constante de proporcionalidad. Un tanque contiene 2600 pulgadas cúbicas de nitrógeno a una presión de 20 libras por pulgada cuadrada y una temperatura de 300 K. a) Determine k . b) yExpresar P como una función de V y T y describir las curvas de nivel. Calculo 3: 2014 -1 ________________________________________________________________________________ 7. Un cono circular recto de base r cm se encuentra inscrito en una esfera de R cm de radio. Calcular el volumen del cono en función de los radios mencionados. 8. Una tapa cónica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular. Si la altura de la tapa es dos tercios de la altura del cilindro, exprese el volumen del sólido como una función de las variables indicadas. B. Curvas de Nivel 1. Distribución de temperaturas La temperatura T (en grados Celcius) en cualquier punto ( , ) x y de una placa circular de acero de 10 metros de radio es: 2 2 ( , ) 600 0.75 0.75 T x y x y donde y x y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas. 2. Una plancha delgada de metal, situada en el plano x y , está a una temperatura ( , ) T x y en el punto ( , ) x y . Las curvas de nivel de T se llaman isotermas porque la Calculo 3: 2014 -1 ________________________________________________________________________________ temperatura es igual en todos los puntos sobre una isoterma. Trace algunas isotermas si la función de temperatura está definida por 2 2 ( , ) 100 (1 2 ) T x y x y 3. Potencial Eléctrico El potencial eléctrico V en cualquier punto ( , ) x y es 2 2 5( , )25 V x y x y Dibujar las curvas equipotenciales de 1 1 1, ,2 3 4 V V V .
