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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “FEDERICO II” FACOLTÀ DI INGEGNERIA CdS in INGEGNERIA MECCANICA Programma del corso di ANALISI MATEMATICA II docente B. Brandolini (gruppo C-L, a.a. 2008-09) Numeri complessi. Definizione e proprietà. Operazioni di somma e prodotto. Forma algebrica e forma trigonometrica. Potenze e radici di un numero complesso. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme; criterio di Cauchy (s.d.). Teoremi di continuità del limite uniforme di successioni di funzioni continue, di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie assolutamente convergenti e totalmente convergenti; convergenza totale e convergenza uniforme. Teoremi di integrazione e derivazione termine a termine di una serie. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà; teorema di Abel (s.d.). Serie di Taylor: sviluppabilità e sviluppi notevoli. Funzioni analitiche. Serie di Fourier. Convergenza puntuale delle serie di Fourier (s.d.). Disuguaglianza di Bessel. Convergenza uniforme delle serie di Fourier. Elementi di topologia. Insiemi aperti e chiusi; punti di accumulazione e punti di frontiera. Compattezza e caratterizzazione dei compatti (s.d.). Convessità e connessione. Funzioni di più variabili: limiti, continuità e proprietà relative; teorema di Weierstrass (s.d.). Calcolo differenziale. Derivate parziali; differenziabilità e teorema del differenziale; derivate direzionali e gradiente; derivazione delle funzioni composte (s.d.). Funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso. Funzioni positivamente omogenee e teorema di Eulero. Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz (s.d.). Teorema di Lagrange. Formula di Taylor. Estremi relativi: condizione necessaria del prim’ordine. Estremi relativi di funzioni di due variabili: condizioni sufficienti. Ricerca di massimi e minimi assoluti di funzioni continue in insiemi compatti del piano. Estremi relativi di funzioni di tre variabili: condizioni sufficienti (s.d.). Curve. Curve regolari e generalmente regolari: retta tangente; lunghezza di un arco di curva; curve orientate. Integrale curvilineo di una funzione. Integrali multipli. Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi (s.d.). Cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.). Integrali tripli; formule di riduzione (s.d.); cambiamento di variabili (s.d.). Solidi di rotazione e Teorema di Guldino (s.d.). Superfici. Superfici regolari: piano tangente; superfici orientabili; superfici con bordo; superfici chiuse. Area di una superficie. Superfici di rotazione e Teorema di Guldino. Integrale superficiale di una funzione. Integrali di flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R3 (s.d.). Forme differenziali lineari. Integrali curvilinei. Forme differenziali esatte e campi conservativi; criterio di integrabilità delle forme differenziali. Formule di Gauss-Green nel piano (s.d.). Teorema della divergenza nel piano. Formula di Stokes nel piano. Forme differenziali chiuse in aperti semplicemente connessi del piano. Forme differenziali nello spazio. Campi irrotazionali. Formula di
Stokes in R3 (s.d.). Equazioni differenziali. Problema di Cauchy per equazioni e sistemi di equazioni differenziali: teoremi di esistenza e unicità locale (s.d.) e globale. Integrali generali; integrali particolari. Equazioni lineari: equazioni lineari del prim’ordine; equazioni lineari a coefficienti costanti. Metodo della variazione delle costanti per equazioni differenziali lineari del second’ordine. Cenni sull’integrazione per serie. Equazioni a variabili separabili. Equazioni di Bernoulli. Funzioni implicite. Teorema del Dini per le equazioni (s.d.). Massimi e minimi vincolati di funzioni di due variabili. Moltiplicatori di Lagrange. Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati. s.d.=senza dimostrazione TESTI CONSIGLIATI N. Fusco – P. Marcellini – C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori ed. C. Pagani – S. Salsa, Analisi Matematica vol. 2, Zanichelli ed. E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri ed. R. Fiorenza, Lezioni di Analisi Matematica (parte seconda), Liguori ed. P. Marcellini – C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica (II volume), Liguori ed. E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica (volume secondo), Bollati Boringhieri ed.
