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Fisica I Cognome:
Torino, 23 gennaio 2014 Nome:
N. matr:
A
Un secchio di massa M è legato a una fune di massa M f f e lunghezza L avvolta per un tratto L − y su un rocchetto omogeneo di massa m e raggio R, al quale è fissata in un punto P. Il secchio viene tirato su fino alla massima altezza ( y = 0) e poi lasciato cadere. Trascurando l’attrito e la resistenza dell’aria, utilizzare la legge di conservazione dell’energia per calcolare: 0); a) la velocità del secchio secchio in funzione funzione della lunghezza lunghezza y del tratto di fune svolto (per M f f = 0); b) l’acceler l’accelerazion azionee del secchio secchio (per M f f = c) le coordinate coordinate del baricentro baricentro del tratto L − y di fune avvolto sul rocchetto; d) la velocità del secchio secchio in funzione funzione della lunghezza lunghezza y del tratto di fune svolto (per M f f > 0); e) se ci sono condizio condizioni ni per le quali il secchio lasciato lasciato andare andare non cade.
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. scritta: 1. si possono portare portare al tavolo tavolo solo gli strumenti strumenti per scrivere e un documento documento di identifica identificazione zione;; non è permesso permesso in particola particolare re portare portare con sé calcolatrici calcolatrici,, telefoni telefoni cellulari, cellulari, libri, libri, appunti appunti o fogli propri; propri; 2. per il regolare regolare svolgimento svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento svolgimento e i risultati risultati dovranno dovranno essere essere riportati in bella utilizzando utilizzando il fronte fronte e il retro dei fogli degli esercizi; esercizi; i fogli di brutta non verranno verranno presi presi in consider considerazion azione e ai fini della valutazione valutazione della prova, ma dovranno dovranno comunque comunque essere consegnati; consegnati; 5. dopo un’ora un’ora dall’inizio dall’inizio della prova è possibile possibile uscire dall’aula consegnand consegnando o il compito, compito, ma non è consentito consentito il rientro; rientro; 6. al termine della prova prova si prega prega di rimanere rimanere seduti attendendo attendendo che i fogli vengano vengano ritirati; ritirati; 7. l’inosserva l’inosservanza nza delle regole comporta comporta l’annullam l’annullamento ento della prova. prova.
M f f
La massa di un tratto di fune lungo R d ϕ avvolto sul rocchetto è
L
R d ϕ.
Il centro di massa di un tratto di fune lungo R ϕ = L − y avvolto sul rocchetto è rCM
=
ϕ
−1
M f f R Lϕ
(ex R cos θ − e y R sin θ)
0
M f f R dϕ = L
ex
R
sin ϕ ϕ
− ey
R
1 − cos ϕ ϕ
L’energia potenziale del sistema è E p = E p,cavo cavo avv avvolto olto + E p,cavo p,cavo svolto + E p, secchio M f f R M f f g R2 1 − cos ϕ = E p,cavoavvolto = ϕ · g·R L ϕ L 2 y y M g g y = − f f E p,cavo M f f ·g· − p,cavo svolto = 2 2L L E p,secchio = −M g y
L − y 1 − cos R
L’energia cinetica è E k = E k,rocchetto + E k, cavo cavo avvo avvolto lto + E k,cavo k,cavo svolto + E k,secchio k,secchio 2 1 m R2 y˙ E k, rocchetto = 2 2 R 1 M f f y˙ 2 2 E k,cavoavvolto = (L − y) R 2 L R 1 M f f E k,cavo y y˙ 2 k,cavo svolto = 2 L
E k,secchio k,secchio =
1 M y˙ 2 2
La conservazione dell’energia cinetica fornisce:
1 m y y M f f g R2 L − y 2 − + = + 1 + + ˙ + 1 − cos E k E p M f f M f f M y 2 2 L L L R = ⇒
y˙ =
M f f g R2 L
1 − cos
L R
M f f g g y 2 + 2 M g L y + 2 M f f g R2 cos m 2
L
cos R
+ M f f + M L
0 si riduce a che per M f f =
y˙ =
L−y − R
2Mgy m + M 2
y¨ =
dE p dx
> 0 x =0
M > M f f
′
g m
1 + 2 M
−
−
M f f g g y2 −Mgy 2L
(quando l argomento è > 0)
Il punto y = 0 è stabile se
R L sin L R
Fisica I Cognome:
Torino, 23 gennaio 2014 Nome:
N. matr:
A
Durante la preparazione del caffé con una caffettiera moka (si veda lo schema semplificato in figura) l’aria e il vapore acqueo nella regione B vengono riscaldati e spingono l’acqua A attraverso il condotto e il filtro carico di caffé. Assumendo che la caffettiera sia un cilindro di sezione S inizialmente a temperatura ambiente T 0, che la differenza di pressione che l’acqua deve superare per passare attraverso il filtro sia ∆ pfiltro ≃ 105 Pa, che la massima temperatura raggiunta nella caffettiera sia di poco superiore alla temperatura T 1 di ebollizione dell’acqua, che il volume B non cambi significativamente fintanto che T < T 1, si calcoli (considerando trascurabili la capacità termica della caffettiera, le perdite per convezione e irraggiamento, il volume del filtro e del condotto): a) il numero n di moli di aria contenute inizialmente nella regione B; b) la differenza di pressione ∆ paria dovuta al passaggio dalla temperatura T 0 alla temperatura T 1; c) la differenza di pressione ∆ pvap dovuta alla vaporizzazione di nvap moli di vapore acqueo; d) il calore che si deve fornire alla caffettiera perché il caffé inizi a uscire; e) il lavoro necessario a far scendere di dx il livello dell’acqua nel serbatoio; f) quanto calore si deve fornire alla caffettiera per estrarre tutto il caffé . Dopo aver ricavato le necessarie formule si stimino i vari contributi sostituendo i seguenti valori approssimati: a = d = 4 cm; b = c = 1 cm; S = 10cm2; calore specifico dell’acqua: c = 4 J/(g·K); calore latente di vaporizzazione dell’acqua: λ = 4 · 104 J/mol; calore specifico dell’aria: cV = 1 J/(g·K); T 0 = 3 · 102 K; T 1 = 4 · 102 K; costante dei gas: R = 8 J/(K·mol): pressione atmosferica: p = 105 Pa; accelerazione di gravità: g = 10 m/s2; densità dell’acqua: ρ = 103 kg/m3; dens. dell’aria: ρ aria = 1 g /m3.
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
a) V = S b = (10cm2) (1 cm) = 10 5 m3 (105 Pa) (10 5 m3) p V ≃ n = (8 JK 1mol 1) (3 · 102 K) R T 0 −
−
−
−
4 · 10
≃
−4
mol
b) ∆ paria
n R (T 1 − T 0) p V R (T 1 − T 0) = = = V R T 0 V
T 1 − 1 p T 0
≃
0.3 p
c) ∆ pvap =
nvap R T 1 nvap T 1 = p V n T 0
d) ∆ pfiltro = ∆ pvap + ∆ paria = nvap Q1
nvap T 1 T 1 + − 1 p n T 0 T 0
T ∆ pfiltro 3 4 = n 0 1+ = 2 · 10 4 mol −1 ≃ (4 · 10 ·2−1 mol) 4 T 1 p = c ρ S a (T 1 − T 0) ≃ (4 Jg 1K 1) (106 g/m3) (10 3 m2) (4 10 2 m) (102 K) ≃ 16kJ −
−
−
−
(1 Jg 1K 1) (103 g/m3) (10 Q3 = λ nvap ≃ (4 · 104 J/mol) (2 · 10 4 mol) = 8 J Q = Q1 + Q2 + Q3 ≃ 16kJ Q2 = cV ρaria S b (T 1 − T 0)
−
≃
−
−3
−
−
m2) (10
−2
m) (102 K)
≃
1J
−
e) dW = ∆ pfiltro S dx + (h − x) g ρ S dx a
W = ∆ pfiltro S a +
(h − x) g ρ S dx = ∆ pfiltro S a + g ρ S (h − a/2) a
0
= (105 Pa) (10 3 m2) (4 · 10 2 m) +(10 m/s2) (106 g/m3) (10 3 m2) (8 · 10 = Q + W ≃ 16kJ −
−
−
Qtot
−2
m) (4 · 10
−2
m) = 4 J+32 J = 36 J
Fisica I Cognome:
Torino, 8 luglio 2013 Nome:
N. matr:
In un incrocio un’automobile A di massa m A urta un’automobile B di massa m B. I rilievi della polizia rivelano che, subito prima dell’urto, l’automobile A e l’automobile B procedevano come in figura lungo vie formanti un angolo di 60 . Dopo l’urto i rottami delle due auto sono rimasti uniti ed i loro pneumatici hanno lasciato strisciate di slittamento lunghe ℓ nella direzione individuata dall’angolo α prima di arrestarsi. Viene richiesta una perizia per stabilire se una delle due automobili superava il limite di velocità. Supponendo che le ruote di entrambe le automobili siano rimaste bloccate dopo l’urto e che il coefficiente di attrito dinamico fra le ruote bloccate e la pavimentazione sia µ d, si calcoli: ◦
a) la velocità vf delle due automobili immediatamente dopo l’urto; b) le velocità vA e vB di ciascuna automobile prima dell’urto.
teorema dell energia: 1 ( mA + mB) vf 2 = µd ℓ (mA + mB) g 2 ′
⇒
vf =
√
2 µd ℓ g
conservazione della quantità di moto: 1 mA vA + m B vB = (mA + mB) vf cos α √ 2 3 mB vB = (mA + mB) vf sin α 2 √ A ⇒ vB = √ 2 1 + m 2 µd ℓ g sin α mB 3
vA =
1+
m B mA
√
2 µd ℓ g cos α −
sin α √ 3
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi; il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi; 4. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 5. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 6. verranno corretti solo i fogli prestampati; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 8 luglio 2013
Cognome:
Nome:
N. matr:
Su un disco omogeneo di densità ρ e raggio R è saldato coassialmente come in figura un secondo disco di uguale densità e raggio r . Il sistema è inizialmente fermo e libero di ruotare senza attrito attorno a un asse fisso verticale passante per il suo centro O. Un proiettile puntiforme di massa m viene lanciato con velocità v nel piano del disco maggiore e ne urta il bordo formando un angolo γ con la direzione normale. In seguito all’urto il proiettile rimbalza con velocità v in una direzione che forma il medesimo angolo γ con la direzione normale. Posto che l’urto sia elastico e che la coppia di dischi abbia massa M , determinare: a) la velocità angolare ω della coppia di dischi dopo l’urto; b) la velocità v del proiettile dopo l’urto.
M = ρ π (R2 + r2)
1 1 π M R4 + r 4 ( ρ · π R2) R2 + ( ρ π r 2) r2 = ρ (R4 + r 4) = = c m R2 2 2 2 2 2 2 R +r 4 1 M 1 + (r/R) I c = = ; 2 mR 2 m 1 + (r/R)2
I =
con
−m v0 R sin γ ⇒ ω
= =
−m v R sin γ + I ω (v − v0) m R sin γ I
m v02 = m v 2 + I ω 2
⇒
v02
⇒ ⇒
− v2
=
1 c
(conservazione del momento angolare) v − v0 sin γ = ; R
c
(conservazione dell energia)
( v − v0)2 (sin γ )2
(sin γ )2 − c v = v , (sin γ )2 + c 0 2 sin γ v0 ω = − . (sin γ )2 + c R
′
⇒ c (v0 + v) = (sin γ )2 (v0 − v) −2c v0 v − v0 = (sin γ )2 + c
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi; il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi; 4. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 5. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 6. verranno corretti solo i fogli prestampati; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 8 luglio 2013
Cognome:
Nome:
N. matr:
Una mole di gas perfetto monoatomico effettua il ciclo reversibile descritto in figura. Supponendo di partire dallo stato A, di cui sono note pA e V A, e sapendo che pB = pA/2 e V B = 3 V A: a) si determini lungo quali cammini il sistema assorbe calore; b) si calcoli il rendimento del ciclo; c) si calcoli la variazione di entropia nella trasformazione AB.
a)
b)
QBC
=
QCA
=
W AB
=
∆U AB
=
QAB
=
W
=
η
=
5 p C V C − pB V B 5 5 n R = pB (V A − V B) = − pA V A < 0 2 nR 2 2 3 p A V A − pC V C 3 3 = n R = ( pA − pB) V A = p V > 0 A C 2 2 4 A A nR 1 3 ( pA + pB) (V B − V A) = p V 2 2 A A 3 3 ( pB V B − pA V A) = p A V A 2 4 9 ∆U AB + W AB = p A V A > 0 4
C p (T C
− T ) C V (T − T )
∆S AB
=
3 A B
= =
δQ = T n R
B
dU + p dV
A
d( p V )
2 p V 3 3 R log + R log 3 2 2 A
(n =1)
=
1 1 ( pA − pB) (V B − V A) = pA V A 2 2 W W 1 = = 6 Qass QCA + QAB B
c)
B
T
+nR
B
=
3 A
p dV p V
=
2
d T p dV + n R T
T
3 p B V B V B + n R log n R log 2 pA V A V A
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi; il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi; 4. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 5. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 6. verranno corretti solo i fogli prestampati; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 22 luglio 2013
Cognome:
Nome:
N. matr:
L’astronave Icarus 1 si avvicina a un pianeta con velocità v0 = 102 m/s provenendo dallo spazio profondo. L’equipaggio è ibernato e non può modificare la traiettoria dell’astronave. Il pianeta è privo di atmosfera, ha raggio R = 106 m, ed è composto da un nocciolo interno di raggio 2 R/2 avente densità ρ = π 1 103 kg m 3 e da un mantello esterno di densità ρ = 7 ρ. La massa dell’astronave è trascurabile rispetto alla massa del pianeta. −
·
−
′
Si utilizzi il valore approssimato G = 8 10
·
−11
m3 kg
1
−
s
2
−
per la costante gravitazionale.
a) determinare i valori di b (si veda la figura) per i quali l’astronave evita l’impatto col pianeta; b) nel caso in cui l’astronave riesca a evitare l’impatto, entra in orbita attorno al pianeta o sfugge nuovamente nello spazio? c) se la massa del pianeta fosse distribuita in maniera uniforme il risultato cambierebbe? Motivare le risposte. [Suggerimento: calcolare la velocità di Icarus 1 nel punto di massimo avvicinamento al pianeta.]
M =
4 π 3
R 3
2
4
R 3
ρ + 3 π R3
− 2
ρ′ =
π R3
6
(ρ + 7ρ ) = ′
π R3 ρ
2
= 5 1020 kg.
·
La traiettoria che permette il massimo avvicinamento evitando l’impatto sfiora il pianeta passando a una distanza R dal suo centro. La velocità v 1 in quell’istante si può determinare usando la conservazione dell’energia meccanica e del momento angolare: 1 m 2
v02 =
1 m v12 2
−G
Mm R
⇒ ⇒
m v0 b = m v1 R b
2
= R
2
1 + = 1 + 2 G M R v02
R
2
v12 = v02 + 2 G 2
v1
2
= , b v0 R
M R
quindi:
2 (8 10−11 m3kg−1 s−2) (5 1020 kg) (106 m) (102 m/s)2
=9
R2
⇒
b > 3R = 3 106 m.
·
L’energia meccanica dell’astronave a grande distanza dal pianeta è positiva, quindi una volta superato il pianeta l’astronave si allontana senza essere catturata dal suo campo gravitazionale. Il teorema di Gauss assicura che il campo gravitazionale generato dal pianeta è identico a quello che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro, quindi se la massa fosse stata distribuita in modo uniforme avremmo trovato lo stesso risultato. Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi; il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi; 4. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 5. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 6. verranno corretti solo i fogli prestampati; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 22 luglio 2013
Cognome:
Nome:
N. matr:
Un rocchetto omogeneo di massa M formato da due dischi di raggio R e da un cilindretto di raggio r = R/2 di spessore uguale allo spessore dei due dischi è inizialmente fermo su un piano inclinato di un angolo θ = 30 rispetto al piano orizzontale. A un filo di massa trascurabile avvolto sul cilindretto è applicata una forza costante F situata nel piano di simmetria del rocchetto, parallela al piano inclinato e diretta come in figura. Se il coefficiente di attrito statico relativo al contatto dei dischi col piano è µ =3/4, determinare: ◦
a) per quali valori di F il rocchetto rotola senza strisciare da destra verso sinistra; b) la legge di moto del rocchetto per questi valori di F ; c) se per questi valori di F il filo si avvolge o si svolge, e perché.
M = 2 ρ π R2 h + ρ π r 2 h = mdischi + mcilindro 1 2 + ( r / R) 4 M R 2 11 2 1 2 I CM = m dischi R + m cilindro r = = M R2 2 2 2 2 + ( r / R) 2 24
35 M R2 24 (II equazione cardinale) F ( R r ) M g R sin θ 24 r F M g sin θ R ω˙ = 1 g sin θ > 0 per F > ; (1) R M 1 r/R 35 il moto è uniformemente accelerato . F M g sin θ (componente tangenziale della I equazione cardinale) µ M g cos θ (legge di Coulomb per l attrito statico) F < M g (sin θ + µ cos θ); tenendo conto anche della condizione (1): 4+3 3 F < M g (sin θ + µ cos θ) = M g; 8 il filo si avvolge perché durante il moto ω > 0.
I A = I CM + M R2 = I A ω˙ =
⇒
a = F a.s. =
|F − M g sin θ | < M g (sin θ − µ cos θ) < M g sin θ Mg = < 1 r /R
−
− −
−
−
−
−
′
⇒
√
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi; il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi; 4. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 5. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 6. verranno corretti solo i fogli prestampati; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 22 luglio 2013
Cognome:
Nome:
N. matr:
Un cilindro a pareti adiabatiche e munito di pistone, anch’esso isolante e a tenuta stagna, è diviso in due parti uguali da un setto. Inizialmente il pistone è bloccato nella posizione di figura e la parte sinistra, di volume V 1 =2 litri, contiene n = 0.5 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura T 1 =270 K, mentre nella parte destra vi è il vuoto. a) Viene eliminato il setto e il gas si espande liberamente. Determinare lo stato finale del gas (valori di pressione, volume e temperatura) e la variazione di entropia del gas. b) Successivamente il gas viene compresso in mo do reversibile tramite il pistone fino a riportarlo al volume iniziale. Determinare la temperatura e la pressione del gas in questo stato e il lavoro subito dal gas. [R = 0.08 litri atm /(moliK)]
Espansione libera: W 1
→
2 = 0 e
V 2 = 2 V 1 = 4 litri, quindi p2 =
∆S 1
→
2
2 1
=
quindi p3 = p2
V 2 V 1
n R T 1 2V 1
log + T 2 T 1
dS = ncV
La trasformazione 2
Q1 →2 = 0, quindi ∆U 1 →2 = 0 e T 2 = T 1 = 270 K;
=
nR
(0.5moli) · (0.08 litri atm /(moli K)) · (270 K) (4 litri)
log = V 2 V 1
nR
log = V 2 V 1
nR log (2)= 0.04 log (2) litri atm/K
→ 3 è una compressione adiabatica reversibile: p = 2 p =2 · 5.4 atm, T = = γ
5/3
2/3
2
p3 V 3 nR
3
= 2.7 atm.
γ
2 V 2
·
= p3 V 3γ dove V 3 = V 1,
22/3 · 5.4atm (2 litri) = (0.5moli) (0.08 litri atm/(moli K))
22/3 270K.
·
Per il primo principio: W 2 →3 = Q2→3
− ∆U
2→3 =
−∆U
2 →3 =
V (T 3
−nc
2/3
− T ) = −(2 − 1) 16.2 litri · atm 2
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli prestampati e sui fogli bianchi; il fronte e il retro dei fogli prestampati saranno usati per riportare in bella lo svolgimento e i risultati degli esercizi; 4. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 5. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 6. verranno corretti solo i fogli prestampati; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ma dovranno comunque essere consegnati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 16 settembre 2013
Cognome:
Nome:
A
N. matr:
Un pendolo costitutito da un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza L e da un pesetto assimilabile a una massa puntiforme m oscilla in un piano verticale. A una distanza d dal punto di sospensione del pendolo è fissato un piolo P (si veda la figura). a) Il pendolo inizialmente in quiete viene lasciato libero di oscillare partendo da un’altezza h al di sotto del piolo; quali altezze h può raggiungere la massa m dopo che il filo ha urtato il piolo? ′
b) Calcolare la velocità del pendolo nel momento in cui il filo urta il piolo, e la tensione del filo all’istante iniziale e subito prima dell’urto, se il pendolo viene lasciato cadere partendo da un angolo iniziale θ . c) Calcolare il valore minimo di d tale che, lasciando cadere il pendolo a partire dalla posizione orizzontale (θ = 90 ), questo descriva una circonferenza completa centrata nel piolo. ◦
′
a) Per la conservazione dell’energia la quota massima raggiungibile è h = h. b) v =
2 gL (1 − cos θ) ; la tensione nel filo sarà m g cos θ all’istante inizale, e
T = m g + m v 2/L = (3 − 2 cos θ ) mg al momento dell’urto.
c) Conservazione dell’energia quando la massa si trova sulla verticale del piolo: 1
mg [L − 2(L − d)] = 2 mv 2,
v 2 =2(2d − L) g .
Affinché il pendolo percorra una circonferenza completa è necessario che quando la massa si trova sulla verticale del piolo, la forza centrifuga superi la forza peso, cioè: mv 2 L
−
> mg , quindi d
2(2d − L) L
−
d
3
> 1, da cui risolvendo: d > 5 L.
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 16 settembre 2013
Cognome:
Nome:
A
N. matr:
Un disco omogeneo di raggio R e massa M saldato a un albero di raggio r e momento di inerzia trascurabile è libero di ruotare senza attrito intorno a un asse verticale. Una massa m è sospesa come in figura mediante un filo inestensibile che si avvolge sull’albero senza slittare. All’istante t =0 la massa m, inizialmente in quiete, viene lasciata cadere. a) Calcolare il tempo th al quale la massa m risulta aver percorso la distanza h. b) Calcolare il numero nh di giri compiuti dalla ruota in questo tempo. c) Sul bordo della ruota è attaccato un magnetino di massa m0 che esercita una forza F sul disco. La massa del magnetino e il suo momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione sono trascurabili. Determinare l’istante tF al quale il magnetino si stacca dal disco.
I =
1 M R2, 2
z ˙ = r ω
I ω˙ = r T
⇒
⇒
¨ = m g − T m z g ¨ = z , 1 + I /m r 2 th = nh =
I 1+ m r2
h 2πr
F = m0 ω 2 R = ⇒
tF =
I 1+ m r2
z ˙ =
gt , 1 + I /m r 2
z =
1 g t2 2 1 + I /m r2
2h g
m0 R ( g tF )2 r2 (1 + I /m r 2)2
F r 2/m0 R g
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Torino, 16 settembre 2013
Cognome:
Nome:
A
N. matr:
Un lingotto di metallo incandescente di massa m a temperatura T A è raffreddato mediante immersione in un recipiente contenente un volume V A di acqua che si trova inizialmente a temperatura T A. Quando il sistema raggiunge l’equilibrio termico rimane nel recipiente un volume V B di acqua. ∗
∗
Trascurando gli scambi di calore con l’ambiente esterno: a) si determini la temperatura iniziale del metallo; b) si calcoli la variazione di entropia. [Si indichino con c , c, λ, ρ rispettivamente il calore specifico del metallo, il calore specifico dell’acqua, il calore latente di vaporizzazione dell’acqua, e la densità dell’acqua.] ∗
m c (T A − T ) = ρ V A c (T B − T A) ∗
∗
∗
m c (T ∗
⇒
∗
∗
∗
−
T B) = ρ (V A − V B) λ
m c (T A − T B) = ρ V A c (T B − T A) + ρ (V A − V B ) λ ρ V A c ρ (V A − V B) λ ⇒ T A = T B + ( T B − T A) + m c m c T T d T d T ρ (V A − V B) λ ∆S = + + m c ρ V A c T T T B T T T T ρ (V A − V B) λ = m c log B + ρ V A c log B + T A T A T B (T B = temperatura di ebollizione dell acqua) ∗
∗
∗
∗
∗
∗
B
∗
∗
∗
∗
B
A
A
∗
∗
∗
∗
′
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Fisica I
Cognome:
Nome:
N. matr:
Un sistema è costituito da due blocchi rettangolari A, B di massa rispettivamente m A e m B connessi da un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza complessiva l che passa all’interno di una carrucola, anch’essa di massa trascurabile, sospesa a un’altezza h al di sopra del piano orizzontale. Sul blocco A agisce una forza (non costante) che tira A verso destra. Le due masse sono libere di muoversi senza attrito come rappresentato in figura. Sapendo che il corpo A si trova inizialmente nel punto O (punto del piano su cui scorre A corrispondente alla verticale di B) con velocità v0, determinare in funzione della posizione di A (e quindi in termini della sua coordinata x) la forza F che deve essere esercitata sul corpo A affinché si muova di moto uniforme.
h B mB
A O
v 0
A
F
mA
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Soluzione C
T h yB B mB
A O
v0
T
!
mA A
F
xA
Le equazioni del moto per A e B sono (si veda la figura):
m A x¨A = T cos θ + F mB y¨B = T mB g
−
(1)
−
Le coordinate xA, xB non sono indipendenti, ma devono soddisfare la relazione: ℓ = BC + CA = h
− yB +
x2A + h2
(2)
L’analoga relazione tra le velocità si ottiene facilmente derivando ambo i membri della Eq. ( 2) rispetto al tempo: dℓ 0 = = dt
− y˙B + ddt AC
⇒
y˙B
d = dt
x2A + h2 =
xA x˙ A
x2A + h2
x˙ A = const
=
xA v0
x2A + h2
(3)
Derivando ancora troviamo l’accelerazione del corpo B, che ci servirà per calcolare la tensione nel filo: y¨B =
d dt
xA v0
x2A + h2
=
v02 h2 (x2A + h2)3/2
(4)
Siccome x¨A = 0 (il corpo A si muove di moto rettilineo uniforme) dalla seconda delle Eq. ( 1) segue che la forza da applicare è F = T cos θ, mentre la prima delle Eq. (1) fornisce T = mB ( y¨B + g ). Quindi: F = mB
v02 h2 + (x2 + h2)3/2 A
g
cos θ
(5)
Non rimane che esprimere cos θ in termini delle coordinate dei due corpi A, B. Per farlo notiamo che CA = x2A + h2 e che CA cos θ = xA, quindi cos θ = x A/ x2A + h2 . Si ottiene così che la forza necessaria a mantenere la velocità di A costante e uguale a v0 è
F = F (xA) = mB
v02 h2 + g (x2A + h2)3/2
xA 2
xA
+ h2
(6)
Fisica I
Cognome:
Nome:
N. matr:
Una banderuola rettangolare di legno omogenea di massa m e lati a, b è libera di ruotare intorno a un suo lato verticale vincolato mediante due cerniere lisce A, B (si veda la figura). Un proiettile di massa mp viene sparato con velocità v lungo una traiettoria orizzontale inclinata di 60 rispetto al piano della banderuola e ne colpisce il centro di massa conficcandosi nel legno. Determinare: ◦
a) la velocità angolare della banderuola dopo l’urto; b) la frazione di energia dissipata nell’urto; c) la reazione vincolare in A e in B prima dell’urto; d) la reazione vincolare in A e in B dopo l’urto.
y A
x
m
z
B
a
b
mp, v
y
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Soluzione Il momento di inerzia della banderuola rispetto all’asse AB prima dell’urto è I = m a2/3. Dopo l’urto il corrispondente momento d’inerzia del sistema composto dalla banderuola e dal proiettile è I = m a2/3 + mp a2/4. ′
a) La componente verticale del momento rispetto al polo B delle forze esterne agenti sul sistema è nulla, quindi la corrispondente componente del momento angolare si conserva nell’urto: d mp v = I ω ′
⇒
√
d mp v 3 v /a = ω = (4/3) (m/mp) + 1 I ′
√
dove d = 3 a/4 è la distanza della traiettoria del proiettile dall’asse AB e ω è la velocità angolare del sistema dopo l’urto. b) ∆E =
1 1 m p v 2 − I ω 2 2 2 ′
⇒
∆E
1 > 0 (16/9)(m/mp)+(4/3)
= 1−
1 m p v 2 2
c) F
F A
R mg
m+mp g
F
N
N
F B
I momenti rispetto ai poli A e B delle forze applicate sulla banderuola prima dell’urto si annullano: Fb = mg
a
2
⇒
a m g 2b
F =
Analogamente si annullano la componente verticale e orizzontale della risultante delle forze: N = m g
d) Dopo l’urto il sistema ruota con velocità angolare costante. La componente orizzontale della forza centrifuga (relativa rispettivamente alla banderuola e al sistema) è a
R =
0
a
2
ω r dm =
0
ω2 r
m a dr = m ω 2 , 2 a
R
Procedendo come al punto precedente si trova: F A = F + R /2 ′
F B = F
− R /2 ′
N = (m + mp) g
′
= R + mp ω 2
a
2
= (m + mp) ω 2
a
2
Fisica I
Cognome:
Nome:
N. matr:
Un gas ideale in un contenitore occupa inizialmente un volume V A e si trova a pressione pA. Successivamente per mezzo di una sequenza di trasformazioni reversibili: la sua pressione è triplicata a volume costante (processo A → B ); il volume è ridotto di un fattore tre a pressione costante (processo B → C ); il volume è triplicato a temperatura costante (processo C → D). Determinare: a) le temperature iniziale e finale T A e T D in funzione di T B (che si suppone nota); b) la pressione pD nello stato finale, e rappresentare i tre processi in un diagramma p-V ; c) il numero di moli n del gas in funzione di pA , V A e di T B ; d) il calore assorbito durante il processo A → B e il calore ceduto durante il processo B → C in funzione di pA , V A e del calore specifico c p (che si suppone noto); e) la variazione di energia interna del gas nel processo A → D; f) la variazione di entropia del gas nel processo A → D.
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Soluzione a) pA V A = n R T A
⇒ T A = 31 T B n R T C ⇒ T A = T C
pB V B = 3 pA V A = n R T B
1 3
pC V C = 3 pA V A =
= T D =
1 T B 3
b) pD V D = n R T D = pD V A = n R T A = pA V A
pD = pA
⇒
quindi gli stati A e D coincidono e la trasformazione è ciclica:
C
B
A≡D
V
c) n =
3 pA V A pA V A = R T A R T B
d) ∆ QAB = n cV 2 T A = 2 pA V A
−∆ QBC
= 2 pA V A
c p R
c p R
− 1
e) siccome la trasformazione A → D è reversibile e ciclica, l’energia interna non varia; f) siccome la trasformazione A → D è reversibile e ciclica, l’entropia non varia.
Fisica I Cognome:
Torino, 30 giugno 2014 Nome:
N. matr:
A
Un pendolo semplice di massa m1 e lunghezza l è tenuto fermo in equilibrio statico in una posizione caratterizzata da un angolo θ = π /2 rispetto alla verticale. All’istante iniziale il pendolo viene lasciato libero di oscillare e quando raggiunge la verticale urta in modo elastico contro una massa m2 ferma sul bordo di un gradino alto h . Dopo l’urto la massa m 2 cade in avanti sotto l’azione della forza peso. Sapendo che m1 = m2 = m e trascurando la resistenza dell’aria, calcolare: a) la velocità v2 di m2 subito dopo l’urto; b) l’angolo di oscillazione massimo θmax raggiunto dalla massa m1 dopo l’urto; c) il tempo di caduta t c, la gittata d e la velocità di caduta vc della massa m2 all’impatto con il terreno; d) una stima dell’errore ∆tc nel valore del tempo di caduta della massa m2, supponendo che i dati del problema siano noti con incertezze ∆m, ∆ g, ∆l, ∆h.
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
a) L’energia del pendolo è E =
m
2
v2
− m g l cos θ
(c.in.)
=
0
di qui ricaviamo la velocità di m1 subito prima dell’urto:
±√ 2 g l cos θ ⇒
v1(θ ) =
(θ =0)
v1
v0 =
≡
√ 2 g l
Nell’urto si conservano energia e quantità di moto; ricordando che m1 = m2 = m si ha: (cons. q.d.m.) (cons. energia)
v 0 = v 1 + v2 v02 = v12 + v22
⇒
v02 = v12 + v22 + 2 v1 v2
confrontando le due equazioni si deduce che v1 v2 = 0, quindi dopo l’urto v1 = 0, v2 = v0 i.
b) Dopo l’urto la massa m1 è in quiete, quindi θmax = 0.
c) Indicando con t = 0 l’istante dell’urto, prendendo lo spigolo del gradino come origine degli assi, e orientando l’asse y verso il basso, la legge del moto di m2 è: x = v0 t,
y =
1 2 gt 2
da cui derivando rispetto al tempo: x˙ = v0,
y˙ = g t
L’impatto con la base del gradino ( y = h) avviene al tempo t c = 2 h/ g , la gittata è d = v0 tc = 2 e all’istante dell’impatto la velocità è vc = v0 i + g tc j = 2 g l i + 2 g h j.
√
√
d) Usando la legge di propagazione degli errori: (∆tc)
2
=
2
∂tc ∂h
2
(∆h) +
2
∂tc ∂g
(∆ g )
2
⇒
∆tc = tc
∆h 2h
2
∆g + 2g
2
√
h l,
Fisica I Cognome:
Torino, 30 giugno 2014 Nome:
N. matr:
A
In un piano verticale una ruota omogenea di massa m e raggio R rotola su un binario orizzontale (coefficiente di attrito statico µ) ed ha il centro C collegato a un punto fisso O del binario mediante una molla ideale avente lunghezza a riposo nulla e costante elastica k . Inizialmente la molla ha lunghezza R, il centro C ha velocità v0 e la ruota non striscia. Determinare: a) la legge del moto di C nell’ipotesi che la ruota non strisci; b) la reazione vincolare nel punto di contatto tra la ruota e il binario, in funzione del tempo; c) il massimo valore di v0 per il quale la ruota durante il proprio moto non striscia. (Suggerimento: si scriva la forza elastica agente su C come
F =
−k r, con r = OC). C k
m, R
O
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
Scegliamo come coordinata libera la coordinata x del centro C rispetto all’origine O. La velocità angolare della ruota è ω = x˙/R. Il momento di inerzia è I C = m R2/2. Durante il moto di puro rotolamento l’energia del sistema si conserva: E =
1 1 3 k k m x˙ 2 + I C ω 2 + ( R2 + x2) = m x˙ 2 + x 2 + const = const 2 2 2 4 2
a) L’equazione di moto di C si ottiene derivando rispetto al tempo e dividendo per x˙: 3 m x¨ = 2
−k x
che è l’equazione di un moto armonico con pulsazione Ω =
2 k /3 m . Quindi:
x(t) = A cos Ω t + B sin Ω t x˙(t) =
−A Ω sin Ω t + B Ω cos Ω t
da cui, imponendo le condizioni iniziali x(0)=0, x˙(0)= v0 si trova la legge del moto v0
x ( t) =
Ω
sin Ω t
b) La reazione vincolare nel punto di contatto ha una componente N normale al vincolo e una componente F s tangente. La prima equazione cardinale per la ruota fornisce: m x¨ = F s
0 =
−kx N − k R − m g
da cui F s = m x¨ + k x = N = k R + m g
mk
6
v0 sin Ω t
c) Non vi è strisciamento se è soddisfatta la condizione di Coulomb F s
| | µ N :
mk
6
v0 sin Ω t
|
|
µ (k R + m g )
Tenendo conto che sin Ω t 1 durante il moto e che il valore 1 è effettivamente raggiunto nei punti di inversione si trova che deve essere
|
|
v0 µ (k R + m g )
6
mk
Fisica I Cognome:
Torino, 30 giugno 2014 Nome:
N. matr:
A
Due moli di gas perfetto monoatomico, inizialmente in uno stato A con volume V A e temperatura T A, sono sottoposte a una trasformazione isocora che le porta a una temperatura T B = T A/2. Successivamente il gas è sottoposto a una compressione adiabatica che lo porta a uno stato C con la stessa temperatura di A. infine il gas è riportato in A lungo un’isoterma. Tutte le trasformazioni sono reversibili. a) Si disegnino le trasformazioni sul piano p-V ; b) si determini il volume V C del gas in C in funzione del volume V A; c) si determini il rendimento del ciclo.
Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. dopo un’ora dall’inizio della prova è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.
a) Nella trasformazione A
→ B il gas viene raffreddato mantenendo costante il volume:
pA V A = n R T A pB V A = n R T B = n R (T A/2)
⇒
pB = pA/2
p
C
A
B
V
b) Nella compressione adiabatica B
→ C :
5 3 5 R / R = 2 2 3 pC V C = n R T C = n R T A = pA V A pC V C γ = pB V Bγ = ( pA/2) V Aγ da cui, dividendo membro a membro: 1 V C γ 1 = V Aγ 1 V C = 2 − V A = 2 3/2 V A 2 γ = c p/cV =
⇒
−
−
⇒
−
1
γ
−
1
c) Calcolo del rendimento: lungo l isocora: ′
QAB = ∆E int = n cV (T B A
lungo l isoterma: ′
QCA = Lsistema, CA =
− T )
=
A
− n 32 R T 2
A
A
p dV = n R T A
C
η =
C
−|
|
Lsistema QCA QAB = Qassorbito QCA
= 1
dV V
− |QQ | AB
CA
=
− n 34 R T
A
= n R T A ln = 1
− 2 ln1 2
V A V C
Fisica I
Cognome:
Nome:
N. matr:
A
Si consideri il sistema rappresentato in figura. La molla è ideale e ha massa trascurabile e costante elastica k. La carrucola è costituita da un cilindro omogeneo di raggio R e massa M che ruota senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per il centro. Un filo inestensibile e di massa trascurabile che si avvolge sulla carrucola senza strisciare collega la molla ad una massa m . Calcolare: a) l’allungamento x0 della molla e la tensione T nel filo all’equilibrio; b) la reazione vincolare agente all’equilibrio sull’asse della carrucola; c) il periodo delle oscillazioni di m attorno alla propria posizione di equilibrio.
k M, R
m
a) L’allungamento x0 della molla all’equilibrio si ottiene dalla condizione che siano equilibrati i momenti rispetto al centro della carrucola delle forze agenti sulla carrucola stessa: k x0 R = T R = m g R
x0 =
⇒
mg , k
T = m g
b) Scelti gli assi x , y nella maniera consueta, ricaviamo la reazione vincolare F agente sulla cerniera dalla condizione che si annulli la risultante delle forze agenti sulla carrucola:
− T i − T j − M g j
F
= 0
F = m g i + (m + M ) g j
⇒
c) Il momento di inerzia del cilindro rispetto al proprio asse è I = M R2/2. Scriviamo l’equazione per la conservazione dell’energia scegliendo la posizione di equilibrio di m come origine degli assi: 1 1 k I ω 2 + m y˙ 2 + ( y 2 2 2
2
−x ) +mgy 0
= const
dove ω = y˙/R. Derivando rispetto al tempo, dividendo per y˙ e ricordando che x0 = m g /k si trova l’equazione del moto:
M
2
+ m y¨ =
che descrive un moto armonico con pulsazione Ω = T =
−k y
2π = 2π Ω 1
k /(M /2 + m) e periodo M /2 + m k
Fisica I
Cognome:
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N. matr:
A
Un cuneo di massa M e angolo alla base θ = π /6 poggia su un piano orizzontale ed è inizialmente fermo (si veda la figura). Sulla superficie inclinata del cuneo viene lanciata verso il basso lungo il piano inclinato una massa m con velocità iniziale v 0, partendo da una distanza L dalla base del piano inclinato. Tra il cuneo ed il piano orizzontale si ha attrito statico µ, mentre non si ha attrito tra il corpo e cuneo. Assumendo che il cuneo non si muova, determinare a) la velocità di m nel momento in cui raggiunge la base del piano inclinato; b) il minimo valore del coefficiente di attrito statico tra cuneo e piano di appoggio necessario affinché il cuneo rimanga fermo; c) la velocità del cuneo quando la massa m raggiunge la base del piano inclinato nel caso in cui non vi sia attrito fra il cuneo e il piano di base, e inoltre M = m. Si assuma che il contatto tra i corpi si mantenga sempre durante il moto. m v0
L θ
2
n n mg Mg
θ
F
N
a) Se il cuneo è fermo, l’energia del corpo m è conservata: 1 1 1 L m v 2 = m v02 + m g L sin θ = m v02 + m g 2 2 2 2 2 2 v = v0 + 2 g L sin θ = v0 + g L
b) Utilizziamo la prima equazione cardinale separatamente per i due corpi, e imponiamo la condizione di Coulomb per l’attrito statico al contatto tra il cuneo e il piano orizzontale: n = m g cos θ N = M g + m g cos2θ F s = m g cos θ sin θ
√ 3 | cos θ sin θ | |F | µ N ⇒ µ µ ≡ M /m + cos θ = 3 + 4 M /m √ c) Siano V = V i la velocità del cuneo e v = −v j + 3 i /2 la velocità iniziale della massa m. In s
min
0
2
0
assenza di attrito la componente x della quantità di moto e l’energia del sistema si conservano: m vx + M V =
−
√ 3 2
m v0
1 1 1 1 m vx2 + m v y2 + M V 2 = m v02 + m g L sin θ 2 2 2 2 Nel sistema di riferimento solidale col cuneo (ma non nel sistema di riferimento di laboratorio!) la velocità del corpo m è inclinata di θ rispetto alla direzione orizzontale: vy vx
− V
= tan θ =
√ 13 ⇒
vy =
√ 13 (v − V ) x
quindi (con M = m, sin θ =1/2):
√
3 v + V 2 0
√ 2
1 + 3
3 v + 2 V 2 0
2
⇒
+ V 2 = v02 + g L 1 V = 20
√ 5
3 v0
2
perché solo la radice positiva da il risultato corretto ( V = 0) quando L
3
√ + 120 g L − 5 3 v
0
→ 0.
Fisica I
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N. matr:
A
Un contenitore cilindrico di sezione S ha pareti sottili e termicamente conduttive ed è a contatto con aria a pressione p0 e a temperatura costante. Il cilindro è chiuso nella sua parte superiore da un pistone di massa M fatto di materiale termicamente isolante. Sebbene il pistone sia a tenuta stagna, l’attrito tra esso e le pareti del cilindro è trascurabile. All’interno del cilindro sono contenute n moli di O2 (trattabile come un gas ideale). Al di sopra del pistone vi è inizialmente una massa m di acqua (A) e il pistone si trova ad una quota h A dal fondo del cilindro. Poi l’acqua evapora molto lentamente fino a quando passa tutta allo stato di vapore (B). Trovare in funzione dei dati del problema: a) la pressione iniziale pA e la temperatura iniziale T A del gas; b) la pressione pB e la quota hB del pistone quando tutta l’acqua è evaporata (B); c) La variazione di entropia ∆S del gas durante la trasformazione da A a B.
a) pA = T A
(m + M ) g
+ p0 S pA V A pA S hA (m + M ) g + S p0 = = = hA nR nR nR
·
b) Mg + p0 S n R T A = pB n R T A n R T A = = = S pB M g + S p0
pB = S hB = V B hB
(m + M ) g + S p0 hA = M g + S p0
·
mg 1+ M g + S p0
·
hA
c) B
∆S =
A
δQ = T
B
A
B
p dV = nR T A
A
dV V
4
V B mg = n R ln = n R ln 1 + V A M g + S p0
