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IME A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo Galileu Galilei Questão Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que i. ( r + s ) (t + v ) ii. s v r t ( r + s ) (t + v ) iii. r (r + t ) s (s + v) iv. r t . Considere as seguintes relações: s v (r + t ) (r + t ) s v O número total de relações que estão corretas é: B) C) A) D) E) 4 r t r t r+s t+v, logo a afirmativa i é verdadeira. + + s v s v s v r t s v s v s+r v+t r t, o que prova a afirmativa ii. + + s v r t r t r t s+r v+t r t r (t + r ), o que prova a afirmativa iii. r v s t r v + r s t s + r s r (v + s ) s (t + r ) s v s (v + s) Se a afirmativa iv fosse verdadeira, teríamos s v, o que não é obrigatório. Alternativa D Questão Considere o determinante de uma matriz de ordem n definido por: Sabendo que Δ =, o valor de Δ é B) 4875 A) 5949 Δ n = C) 954 D) 984 E) 64 Desenvolvendo pela definição de determinante temos: n = n = + + ( ).( ). ( n ) ( n ) Determinante triangular n Logo Assim n Δ n = +Δ n Δ = +Δ 9 9 Δ = + +Δ, etc Δ = Δ, lembrando: Δ = ( ) Δ = = 9.54, soma de P.G. Δ = +Δ Alternativa C Questão O valor da expressão y sen arc sen arccos = + a a, onde a é um número real e a (, ), é: A) B) C) D) E) Para todo a ], [ temos: a a a . a Assim, arc sen a e arc cos a não estão definidos, pois os domínios das funções arc sen e arc cos são o intervalo [, ]. Observação: Considere que os argumentos dados fossem, o que resolve o impasse citado acima. a + π π Nesse caso, fazendo arc sen =α, com α, a + e arc cos = β a + sen α= cosβ α e β são complementares. π Assim: y = sen( α+β ) = sen = Alternativa Questão anulada, com β [, ] π, temos: Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 6, 8 e 8, respectivamente. Considere o círculo de centro O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale: A) Questão B) 4 C) 4 D) 4 E) 4 A R Q O B P C Sendo P, Q e R os pontos em que os lados BC, CA e AB, respectivamente, tangenciam a circunferência, temos: AQ= AR= x BR= BP= 6 x CQ = CP = 8 x BP + PC = 8 6 x + 8 x = 8 x = 8. Sendo S a área do triângulo ABC, temos: S = p( p a)( p b)( p c) ou S = p r, em que a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, circunferência inscrita. Desta forma, temos S = S = 7 ou S = 6 r 6 r = 7 r = Pelo teorema de Pitágoras: ( ) AO = + 8 AO = AO = 4 AO = 4 Alternativa D P = = 6 a+ b+ c p = e r é o raio da Questão 5 xy + x y = 5 Considere o sistema, onde x e y são números inteiros. xy xy xy+ xy = 6 O valor de x + y + x + y é: A) 4 B) 8 C) D) E) 8 xy+ x y = 5 x y = 5 xy ( ) xy xy xy+ xy = 6, xyemevidência xy x xy y xy x + xy y = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( xy) ( x y) xy( x y) = 6, substituindo em () ( xy) ( xy) xy( xy) 5 5 = 6 fazendo xy = z obtemos: 5z z z+ z 6= z z + z+ = 7 6 z é inteiro, fazendo pesquisa de raízes inteiras, as possíveis raízes são: ±, ±, ±, ± 6 Efetuando os testes, verificamos que somente z = satisfaz. ( ) x=, y = não satisfaz () x =, y = Logo xy = x =, y = não satisfaz a segunda equação do sistema x =, y = ( não satisfaz () ) Calculando: Para x =, y = x y x y = = 8 Alternativa E ( ) Questão 6 Seja S = O valor de S satisfaz: 4 A) S 7 B) 5 S S C) S D) S E) Podemos escrever o somatório como: ( ) ( ) S = k+ = 4k + 4k+ = 4 k + 4 k+ k= k= k= k= k= Utilizando-se a relação ( ) k + k = k + k k = k k + 4 k + 4 k + k= k= k= k= 4 4 = , que pelo teorema das colunas do triângulo vale: 4 S = = Portanto: 8 S 9 Observação: A seqüência (, 9, 5, 49,...) é uma PA de ª ordem. A soma de Sn = a n + bn + cn+ d Sn dos termos é um polinômio de º grau em n. A partir dos valores de S, S, Se S4 é possível montar um sistema de modo a obter os valores dos coeficientes a, b, c, d. Alternativa C Questão 7 b Seja o polinômio p( x) x ( ln a) x e cubos das raízes de p( x ) depende A) apenas de a e é positiva. B) de a e b e é negativa. C) apenas de b e é positiva. D) apenas de b e é negativa. E) de a e b e é positiva. Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e ln a função logaritmo neperiano. = + +, onde a e b são números reais positivos diferentes de zero. A soma dos Sendo α, β e γ as raízes de p, temos: ( ) α+β+γ= ( ) α β+α γ+β γ= lna ( ) b α β γ= e 4 De (), temos: α +β +γ + α β+ α γ+ αβ + αγ + β γ+ βγ + 6αβγ = ( ) ( ) ( ) ( )( ) α +β +γ + αβ α+β+γ + αγ α+β+γ + βγ α+β+γ αβγ= α +β +γ + α+β+γ αβ+αγ+βγ αβγ= b ( e ) lna α +β +γ + = α +β +γ = e b Alternativa D Questão 8 A quantidade k de números naturais positivos, menores do que, que não são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a condição: A) k 7 B) 7 k 75 C) 75 k 78 D) 78 k 8 E) k 8 Consideremos os números naturais de até 999 e denotemos por divisíveis por n. Assim a resposta procurada é 999 nd [ D] D6 = = 66, D8 = = São divisíveis por 6 e 8 (intersecção a ser retirada) 999 D4 = = 4. 4 Quantidade de números que não servem: nd [ 6 D8] = = 49. Resposta: N = = 75. Alternativa C Dn o conjunto dos números naturais positivos, inferiores a, e Questão 9 Uma hipérbole de excentricidade tem centro na origem e passa pelo ponto ( 5, ). A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y = x é: A) y = x+ 6 B) y = x+ C) y = 6x+ D) y = x+ 4 E) y = x+ Considere a equação da hipérbole: x y = a b c Do enunciado a excentricidade é a = c a. Como ( 5, ) é um ponto da hipérbole: 5 a = = a b 5 a b Como c = a + b, obtemos: a a = a + ; de onde: a = 5 a 4 Assim: b = 5 a, de onde: b = Portanto a equação da hipérbole é x y = 4. Considere a reta y = x+ k, tangente à hipérbole. 5 Então, o sistema: y = x+ k x y = 4 Tem solução única. ( ) ( ) x x+ k = 4 x + 4k x+ 4+ k = Δ=: ( ) ( ) 4k 4 4+ k = k =±. Uma das retas possíveis é: y = x+ y = x+ 6 Alternativa A Questão Sejam as funções f : R R, g : R R, h : R R. A alternativa que apresenta a condição necessária para que se f ( g( x) ) = f ( h( x) ), então g ( x) h( x) A) f ( x) = x B) f ( f ( x) ) = f ( x) C) f é bijetora D) f é sobrejetora E) f é injetora = é: Considerando os conjuntos A e B, que possuem as funções injetoras e sobrejetoras, respectivamente. Como para toda f A, temos f ( g( x) ) = f ( h( x) ) g( x) = h( x), esta é a condição necessária pra a proposição dada. As condições propostas pelas alternativas A e C são casos particulares de funções injetoras. Ao tomarmos uma função sobrejetora podemos ter f ( g( x) ) = f ( h( x) ), sem que g ( x) = h( x), logo as funções do conjunto B não formam condições necessárias para a proposição. Alternativa E Questão Considere o sistema abaixo, onde x, x, x e Z pertencem ao conjunto dos números complexos. ( + i) x ix + ix = ix x x = Z ( i ) x+ ix ix = O argumento de Z, em graus, para que x seja um número real positivo é: A) B) 45 C) 9 D) 5 E) 8 Obs.: i = Desenvolvendo as equações e : xixix ix + x ix ix ix ix x= x( i )= x = Logo o sistema se reduz a: ix + ix = i( x x ) = x = x x x = Z ix ix = 6 Finalmente: x x = Z Z x = Z x = Para que x seja real positivo, Z Logo sua representação é: Im Z =8º Re Argumento: 8 Alternativa E Questão Seja ( ) = log( ) f x x, x R. Sendo n um número inteiro positivo, a desigualdade n f ( x) f ( x) 4f ( x) f ( x) somente é possível se: n A) x 6 B) 6 x 8 C) x 6 D) x 6 E) 6 x 6 Obs.: log representa a função logarítmica na base. A desigualdade dada pode ser escrita como: 9 f ( x) + f ( x) + f ( x) O primeiro membro é uma soma de PG infinita de razão q =. Portanto: f ( x) f ( x) Dado que f ( x) = logx, temos: logx logx 6 logx logx 6 x 6 Alternativa D Questão Sejam ABC um triângulo equilátero de lado cm e r uma reta situada no seu plano, distante cm do seu baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r. A) 8π cm B) 9π cm C) π cm D) 6π cm E) 6π cm Pelo teorema de Papus-Guldin, sabe-se que a área da superfície de revolução é dada por S = π d l, em que d é a distância do centro geométrico ao eixo de rotação e l é o comprimento da curva rotacionada. Desta forma d = e l = 6. S = π 6 S = 6π cm Alternativa E 7 Questão 4 Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F. A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF interceptam a reta s em H e H, respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede cm, o comprimento F H é: A),5 cm B), cm C),5 cm D), cm E), cm A M B H F F H s r Para auxiliar nas observações iremos marcar os pontos A e B sobre a reta r como mostra a figura. Como a reta r é tangente à elipse temos: AMF = BMH =α Como r//s, temos AMF = M HO =α e BMH = M H O =α, pois são alternos internos e HOF = H OF =θ, pois são opostos pelo vértice. Usando Lei dos senos: FO FO senθ = = () sen 8 α sen θ sen α ( ) FO FH FO senθ = FH = () sen( α) sen θ sen α De () e (): FH= cm. Alternativa D Questão 5 Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima é pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual é a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor? A) B) 5 8 C) 7 6 D) E) 4 64 Considere o evento: E: Todos os quadrados que possuam lado comum tenham cores diferentes. 8 Das 4 4 = 56 configurações possíveis, contemos aquelas que satisfazem a condição acima. Consideremos os quadrantes abaixo em que analisaremos as possibilidades para cada um deles: D C A B caso: A e C têm a mesma cor 4 = 6 configurações A B C D caso: A e C têm cores diferentes 4 = 48configurações A B C D Assim: P( E) = = O evento considerado no enunciado é o complementar de E e portanto: c P( E ) = P( E) = = = Alternativa E Questão 6 A figura composta por dois materiais sólidos diferentes A e B, apresenta um processo de condução de calor, cujas temperaturas não variam com o tempo. É correto afirmar que a temperatura T da interface desses materiais, em kelvins, é: Observações: T : Temperatura da interface do material A com o meio externo T : Temperatura da interface do material B com o meio externo K A : Coeficiente de condutividade térmica do material A K B : Coeficiente de condutividade térmica do material B A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 T T T O fluxo que entra pela interface de temperatura T é o mesmo que atravessa T e sai por T : ( ) () I A T T φ= K A L A ( T T) φ= KB L Igualando () I e ( II ) temos ( II) 9 ( ) ( ) A T T A T T KA = K L L T T =, T T B ( ) ( ) T T =,T,T, T =, T + T T,T + T, 5 +,, = = = Alternativa B 5K Questão 7 A figura apresenta, esquematicamente, uma lente convergente de distância focal f posicionada no plano de transição entre o vácuo e um material de índice de refração n. O fator de ampliação (tamanho da imagem dividido pelo tamanho do objeto) de um objeto muito pequeno (se comparado com as dimensões da lente) colocado a uma distância p da lente é: f nf A) D) p f p nf B) C) f np f nf p f E) f np f Observe a figura: o f f i i p Considerando o objeto muito pequeno, o raio que sai paralelo ao eixo incide perpendicularmente a dioptro plano (aproximado) e logo não sofre desvio. Sendo assim, não há aumento em relação à imagem formada caso não haja o meio n. f Sendo assim: A = p f Alternativa A Questão 8 A figura mostra duas barras AC e BC que suportam, em equilíbrio, uma força F aplicada no ponto C. Para que os esforços nas barras AC e BC sejam, respectivamente, 6 N (compressão) e 6 N (tração), o valor e o sentido das componentes vertical e horizontal da força F devem ser: Observação: Despreze os pesos das barras e adote =,7. N A) 8 N ( ), ( ) B) N( ), 8 N ( ) C) 8 N( ), N( ) D) N( ), 8 N( ) E) N ( ), 8 N( ) Observe as forças indicadas na figura. 6N º B,5 m F V A 6N 4,5 m º C F H Para que haja equilíbrio, Σ F x = e Σ F y = Σ Fx = FH + 6 6cos = FH = F = N H ( ) ( ) Σ Fy = FV + 6 sen = FV = 8N F = 8N V Alternativa A Questão 9 Um bloco de 4kg e velocidade inicial de m/s percorre 7cm em uma superfície horizontal rugosa até atingir uma mola de constante elástica N/m. A aceleração da gravidade é m/s e o bloco comprime cm da mola até que sua velocidade se anule. Admitindo que durante o processo de compressão da mola o bloco desliza sem atrito, o valor do coeficiente de atrito da superfície rugosa é: A),5 B), C), 5 D), E),5 τ =Δ E fat M ( ) μ m g ΔS cos 8 = E E M f x m v μ m g Δ S = k, μ 4,7 = 4 μ 4 7= 8 μ 4 7= 7 μ =,5 Alternativa C M i Questão Uma partícula eletrizada penetra perpendicularmente em um local imerso em um campo magnético de intensidade B. Este campo é dividido em duas regiões, onde os seus sentidos são opostos, conforme é apresentado na figura. Para que a partícula deixe o local com ângulo de, é correto afirmar que a eletrização da partícula e a intensidade do campo magnético que possui o sentido saindo do plano do papel devem ser, respectivamente: Dados: R : raio da trajetória da partícula na região onde existe um campo magnético. L R = B A) positiva e de valor. B) positiva e de valor 6 B. C) negativa e de valor 6 B. D) positiva e de valor B. E) negativa e de valor B. R Partícula eletrizada com velocidade v v = v r L =R L sen r = R r = r = 6R Pela regra da mão direita, conclui-se que a carga é negativa. () Região de campo magnético entrando. v B q v = m R m v q = B R () ( ) Região de campo magnético saindo. v Bf q v = m 6 R m v = 6 Bf R q ( ) De () e ( ), temos: B R = 6 Bf R B B f = 6 Alternativa C Questão Sabendo que todos os resistores da malha infinita da figura têm resistência R, a resistência equivalente entre A e B é: R ( + ) A) R ( + ) B) C) R D) E) ( 5) R + R + 6 ( ) Observe os pontos C e D indicados na figura Observe que, como a malha é infinita, RAB RCD = Req. Sendo assim, o circuito equivalente é: Ou seja: R R R = R+ R R R R = eq eq eq eq R+ Req 5 eq R R R R Req = R + R = + 4 R R eq = ( 5+ ) Alternativa D No interior da Estação Espacial Internacional, que está em órbita em torno da Terra a uma altura correspondente a aproximadamente 5% do raio da Terra, o valor da aceleração da gravidade é: A) aproximadamente zero. B) aproximadamente % do valor na superfície da Terra. C) aproximadamente 9% do valor na superfície da Terra. D) duas vezes o valor na superfície da Terra. E) igual ao valor na superfície da Terra. GM Sabendo que g =, temos: R Gravidade na superfície da Terra ( g ): GM g =, em que R T é o raio da Terra. RT Questão Gravidade na Estação Espacial ( g E ): GM GM ge = = 5R (, 5 ) T RT RT + GM ge =, 5 RT Ou seja, g g E =, 5 g g E =,5 ge =,97g Sendo assim, g E = 9% de g Alternativa C 4 Questão Em certo fenômeno físico, uma determinada grandeza referente a um corpo é expressa como sendo o produto da massa específica, do calor específico, da área superficial, da velocidade de deslocamento do corpo, do inverso do volume e da diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. A dimensão desta grandeza em termos de massa ( M ), comprimento ( L ) e tempo ( t ) é dada por: A) M L t B) M L t C) M L t D) M L t E) M L t Observe a notação utilizada: Grandeza ( G ): G = f ρ, c, S, v,, ΔT V Onde Densidade ( ρ ): [ ρ ] = M L Área ( S ): [ S ] = L Velocidade ( v ): [ ] v = LT Inverso de volume V : = L V Variação de temperatura ( T Δ T = Calor específico ( c ): [ c] Δ ): [ ] K [ Q] [ Q] M K = = MK Energia ( Q ): [ Q] = ML T Sendo assim: [ G] = [ ρ] [ c] [ S] [ v] [ ΔT] V [ ] [ ] [ Q] G = ρ S v ΔT MK V [ ] [ ] [ ] [ G] [ G] = ML T = ML ML T M K L LT L K Alternativa C Questão 4 h Situação I Situação II Mola Mola h/ h/ Mola Massa M Massa M Na Situação I da figura, em equilíbrio estático, a Massa M, presa a molas idênticas, está a uma altura h/. Na Situação II, a mola inferior é subitamente retirada. As molas, em repouso, têm comprimento h/. O módulo da velocidade da Massa M na iminência de tocar o solo na Situação II é: Observação: g: Aceleração da Gravidade A) 4 gh / D) gh / B) gh / E) C) gh / 5 No caso o equilíbrio da massa M pode ser escrito da forma: F + F = P kx+ kx = P T h h h h k + k = Mg T h Mg k = Mg k = 6 h P Na situação, após a mola ser retirada há conservação de energia mecânica: E = E M M f h h ( 6) h k( ) k Mv + Mg = + h kh Mgh + = Mv k 6 4 Mg Fazendo k = h Mg h Mg h Mgh + = Mv h 6 h 4 Mv = v = Alternativa E Questão 5 Chave k R 4 B A R 4 8 R E + C 6F Na figura, o frasco de vidro não condutor térmico e elétrico contém, kg de um líquido isolante elétrico que está inicialmente a C. Nesse líquido está mergulhado um resistor R de 8Ω. A chave K está inicialmente na vertical e o capacitor C, de 6μ F, está descarregado. Ao colocar a chave no Ponto A verifica-se que a energia do capacitor é de,8j. Em seguida, comutando a chave para o Ponto B e ali permanecendo durante 5 s, a temperatura do líquido subirá para 6 C. Admita que todo o calor gerado pelo Resistor R seja absorvido pelo líquido e que o calor gerado nos resistores R e R não atinja o frasco. Nessas condições é correto afirmar que o calor específico do líquido, em cal.g C, é Dado: cal = 4, J A),4 B),6 C),8 D),9 E), No capacitor, quando k está na posição A, temos: CU E 8 E = U = = U = V. 6 C 6 6 Quando a chave k está na posição B, temos: R=4 R=4 V V i= R=8 R=8 i=a A potência dissipada em R vale P = R i = = W 8 8 Como Q = P Δ t, temos a energia dissipada em R : 4 Q= 8 5 = 4J Q= cal 4, 4 Q = mc Δt = c 6 4, 4 c = c =,8 cal g º C 4, 6 Alternativa C Um soldado em pé sobre um lago congelado (sem atrito) atira horizontalmente com uma bazuca. A massa total do soldado e da bazuca é kg e a massa do projétil é kg. Considerando que a bazuca seja uma máquina térmica com rendimento de 5% e que o calor fornecido a ela no instante do disparo é kj, a velocidade de recuo do soldado é, em m/s A), B),5 C), D), E), Seja E a energia cinética total produzida pelo tiro: 5 J 5 E = = J Pela conservação da quantidade de movimento: Mv = mv v = v () v = v Como v v De () e (): Questão 6 Mv mv + = E, temos: + = 5 () v + v = v = v =, m/s 4 v = Alternativa C 7 Questão 7 Três satélites orbitam ao redor da Terra: o satélite S em uma órbita elíptica com o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b ; o satélite S em outra órbita elíptica com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b ; e o satélite S em uma órbita circular com raio r. Considerando que r = a = b, a be a b, é correto afirmar que: A) os períodos de revolução dos três satélites são iguais. B) os períodos de revolução dos três satélites são diferentes. C) S e S têm períodos de revolução idênticos, maiores do que o de S. D) S e S têm períodos de revolução idênticos, menores do que o de S. E) S e S têm períodos de revolução idênticos, maiores do que o de S. O raio médio da órbita elíptica é dado pela medida de seu semi-eixo maior. Quanto maior for o raio médio da órbita maior será o período de revolução. r = a = b a T = T T, em que Ti representa cada um dos períodos de revolução. Alternativa D Uma partícula emite um som de frequência constante e se desloca no plano XY de acordo com as seguintes equações de posição em função do tempo t. x = acos( wt) y = bsen ( wt) Onde: a, b e w são constantes positivas, com a b. Sejam as afirmativas: I) o som na origem é percebido com a mesma frequência quando a partícula passa pelas coordenadas ( a,) e (, b ). II) o raio de curvatura máximo da trajetória ocorre quando a partícula passa pelos pontos (, b) e (, b). III) a velocidade máxima da partícula ocorre com a passagem da mesma pelo eixo Y. A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são): A) I, apenas B) I e II, apenas C) II, apenas D) II e III, apenas E) I, II e III Pelas equações paramétricas podemos definir a trajetória: x = acos( wt) y= bsen ( wt) sen wt + cos wt = x a Questão 8 ( ) ( ) y + =, que é uma elipse b b y v a a b Sendo que a partícula começa o movimento na posição: x = acos = a P( x, y) = P( a,) y = bsen = e tem componentes de velocidade v = awsen wt x v = bwcos wt y 8 com a b Sendo assim: I. (v) nas coordenadas (a, ) e (, b) a velocidade da partícula é perpendicular à direção que a liga ao observador, ou seja, não há efeito Doppler; II. (v) o raio de curvatura da elipse pode ser calculado por: ( ) b + sen ωt a b ρ= ab que possui valor máximo para senωt = ±, o que ocorre nos pontos (, b) e (, b), em que o raio de curvatura da elipse a é máximo e vale ρ= ; b III. (v) a velocidade da partícula pode ser calculada de forma v = v + v v= v + v x y y y sen cos v= a w wt+ b w wt ( ) v= b w + sen wt a w b w E já qu
