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RAFAELA FERREIRA AFONSO Um estudo do comportamento dos zeros dos Polinômios de Gegenbauer UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 16 i ii RAFAELA FERREIRA AFONSO Um estudo do comportamento dos zeros dos Polinômios de Gegenbauer Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para obtenção do título de MESTRE EM MATEMÁTICA. Área de Concentração: Matemática. Linha de Pesquisa: Polinômios Ortogonais. Orientador: Prof. Dr. Fernando Rodrigo Rafaeli. UBERLÂNDIA - MG 16 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP Sistema de Bibliotecas da UFU, MG, Brasil. A57e 16 Afonso, Rafaela Ferreira, 199- Um estudo do comportamento dos zeros dos Polinômios de Gegenbauer / Rafaela Ferreira Afonso f. Orientador: Fernando Rodrigo Rafaeli. Dissertação (mestrado - Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Inclui bibliografia. 1. Matemática - Teses.. Polinômios ortogonais - Teses. 3. Sturm-Liouville, Equação de - Teses. 4. Equações diferenciais - Teses. I. Rafaeli, Fernando Rodrigo. II. Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Matemática. III. Título. CDU: 51 vi Dedicatória Dedico este trabalho aos meus pais, Lauro e Zuleica, e ao meu irmão, Daniel, baluartes de minha vida e a mais sublime expressão de amor incondicional. vii Agradecimentos Segundo Santa Terezinha do Menino Jesus, Deus não nos inspiraria desejos irrealizáveis. Agradeço a Ele por colocar sonhos em meu coração e me dar força e determinação para transformá-los em realidade, além de presentear-me com a rica convivência de pessoas especiais que muito colaboraram para a concretização deste ideal. Aos meus pais, Lauro e Zuleica, e ao meu irmão, Daniel, por serem meu apoio e exemplo de trabalho, determinação, dedicação e, principalmente, por toda compreensão e amor incondicional. À minha mãe e ao meu pai, por me ensinar que não se pode desistir de nada e por mostrar-me o valor da educação. Às minhas tias, Lídia e Paula, pelo apoio e torcida. Aos meus amigos, presentes de Deus na minha vida. Ao Matheus e Erlon, que, mesmo longe, estiveram presentes e me ajudaram a concluir mais esta etapa. Aos amigos do Mestrado, pela convivência e companheirismo. Aos novos amigos que conquistei em Uberlândia, em especial Fernanda e Mirian. Aos professores, pelo conhecimento matemático compartilhado e pelo ensinamento técnico e científico que, permeados por grandes lições de vida, serão referências essenciais em minha prática educacional. De forma especial, ao Professor Doutor Fernando Rodrigo Rafaeli, por me orientar e por ser o maior incentivador na superação de meus limites, acreditando em meu potencial. Por se tornar meu exemplo de orientador e professor, minha eterna gratidão. À CAPES, pelo apoio financeiro. viii AFONSO, R. F. Um estudo do comportamento dos zeros dos Polinômios de Gegenbauer p. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG. Resumo Neste trabalho estudamos os Teoremas de Sturm Liouville para zeros de soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Estes teoremas clássicos são aplicados para análise do crescimento e decrescimento de certas funções que envolvem os zeros de Polinômios Ortogonais Clássicos, como os Polinômios de Gegenbauer. Palavras-chave: Polinômios Ortogonais; Polinômio Ortogonais de Gegenbauer; Teoremas Clássicos de Sturm-Liouville; Zeros de Polinômios Ortogonais. ix AFONSO, R. F. Um estudo do comportamento dos zeros dos Polinômios de Gegenbauer p. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlândia, Uberlândia-MG. Abstract In this dissertation, we study the Sturm Liouvile s theorems for the zeros of the solutions of linear differential equations of second order. These classical theorems are applied to analysis of the monotonicity of functions involving the zeros of classical orthogonal polynomials, in particular, Gegenbauer polynomials. Keywords: Orthogonal polynomials; Gegenbauer orthogonal polynomials; Sturm-Liouville classical theorems; zeros of orthogonal polynomials. Sumário Resumo Abstract viii ix Introdução 1 1 Preliminares Algumas propriedades Forma Matricial dos Polinômios Ortogonais Quadratura de Gauss Polinômios Ortogonais Clássicos 13.1 Polinômios de Jacobi Polinômios de Legendre Polinômios de Gegenbauer Polinômios de Chebyshev de Primeira Espécie Polinômios de Chebyshev de Segunda Espécie Polinômios de Laguerre Polinômios de Hermite Teoremas Clássicos de Sturm Liouville Teorema da Comparação de Sturm Liouville Forma Integral do Teorema de Sturm Liouville Aplicações dos Teoremas de Sturm Liouville Prova do Teorema Prova do Teorema Referências Bibliográficas 69 x Introdução O objetivo deste trabalho é o estudo do crescimento e decrescimento das quantidades f n (λx n,k (λ e f n (λx n,k + d n g n (λ x n,k(λ, com x n,k (λ zeros dos polinômios de Gegenbauer. O comportamento dos zeros dos polinômios ortogonais vem sendo estudados desde o final do século XIX por A. Markov e T.J. Stiltjes e na terceira década do século XX por G. Szegö. Atualmente, matemáticos como Percy Deift e Barry Simon contribuem de forma significativa para o estudo do comportamento dos zeros dos polinômios ortogonais. O interesse de Barry Simon resultou em um livro chamado Orthogonal Polynomials on the Unit Circle e em vários artigos que tratam de polinômios ortogonais na reta real e na circunferência unitária. Podemos citar dois motivos entre vários para estudarmos os zeros dos polinômios ortogonais, um deles é a interpretação física vinda da eletrostática e o outro é que eles são os melhores nós da Fórmula de Quadratura de Gauss. Há ainda aplicações dos polinômios ortogonais em Equações diferenciais, Teoria dos Códigos, Física Matemática e em Mecânica Quântica. Um questionamento, que motiva muitos estudos na área, tem como objetivo conhecer com que velocidade os zeros crescem ou decrescem quando os parâmetros crescem. Neste trabalho, a velocidade do crescimento e decrescimento dos zeros dos Polinômios de Gegenbauer tem destaque. Ao longo de 5 anos, muitas conjecturas e teoremas contribuíram para obtermos os resultados atuais sobre o assunto. Matemáticos como A. Laforgia, M. E. Ismail, J. Letessier, R. A. Askey, S. Ahamed, M. E. Muldoon, R. Spigler, E. K. Ifantis, P.D.Siafarikas, A. Elbert e D.K. Dimitrov foram os grandes responsáveis pelas inúmeras contribuições para o estudo do comportamento dos zeros dos Polinômios Ortogonais de Gegenbauer que nos permitiu aprofundar sobre o tema. A importância do estudo dos Teoremas Clássicos de Sturm Liouville para os polinômios ortogonais é que estes teoremas são aplicados para analisar os zeros dos polinômios ortogonais clássicos de Jacobi, Gegenbauer, Laguerre e Hermite. Estes teoremas nos permitem estudar a alternância de sinal das soluções de equações diferenciais de Sturm Liouville, isto é, se y (x + f(xy(x Y (x + F (xy (x são duas equações diferenciais de segunda ordem que estão na forma de Sturm Liouville, o teorema da comparação nos garante que Y (x troca de sinal pelo menos uma vez entre dois zeros consecutivos de y(x. Os Teoremas Clássicos de Sturm Liouville nos permitirão determinar se as quantidades f n (λx n,k (λ e f n (λx n,k + d n g n (λ x n,k(λ, com x n,k (λ zeros dos polinômios de Gegenbauer, são crescentes e decrescentes, respectivamente. Este trabalho está estruturado da seguinte maneira: O Capítulo 1 tem como objetivo fornecer conceitos básicos sobre polinômios ortogonais, sua forma matricial e também uma breve seção sobre Quadratura de Gauss. 1 O Capítulo é dedicado ao estudo dos Polinômios Ortogonais Clássicos, em especial apresentaremos a Relação de Recorrência de Três Termos e ortogonalidade desses polinômios. O Capítulo 3 apresenta os Teoremas Clássicos de Sturm Liouville em detalhes, destacamos os teoremas da comparação e a versão integral do Teorema de Sturm Liouville. O Capítulo 4 contém um breve histórico de como chegamos às quantidades apresentadas nas aplicações do Teorema de Sturm Liouville. Neste capítulo, dividimos as demonstrações em algumas partes para facilitar a compreensão do leitor. Rafaela Ferreira Afonso Uberlândia-MG, 16 de janeiro de 16. Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo forneceremos alguns conceitos básicos de polinômios ortogonais na reta real e seus zeros. Neste capítulo temos como principal referência o livro Introdução aos Polinômios Ortogonais da SBMAC. Um polinômio algébrico real de grau n é toda expressão da forma p(x a + a 1 x + a x a n x n, (1.1 com a, a 1,..., a n números reais. Seja π n o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n, π n {p(x a + a 1 x + a x a n x n, com a j R}, j {, 1,..., n}. (1. Note que dimensão de π n é n + 1. Vamos denotar como π π n, o espaço vetorial de todos os polinômios e considerar esse i1 espaço vetorial com um produto interno. Definição 1.1. Função peso: Dizemos que w(x é uma função peso quando é uma função não negativa e não identicamente nula em um intervalo (a, b, isto é, w(x mas w(x, para todo x no intervalo (a, b. O produto interno para o espaço vetorial π é definido como: p, q b a p(xq(xw(xdx, (1.3 onde p, q π. A norma correspondente é dada por: p ( b 1/ p, p p(x w(xdx, (1.4 com p π. Definição 1.. Uma Sequência de Polinômios Ortogonais (SPO em π é uma sequência de polinômios {p, p 1,...}, finita ou infinita, com cada polinômio p n, de grau exatamente n, que satisfaz: { p n, p m a se n m γ n se n m. (1.5 Uma das formas de se obter uma sequência de polinômios ortogonais é através do método de ortogonalização de Gram-Shmidt. 3 4 1.1 Algumas propriedades Teorema 1.1. Toda subsequência finita,{p i1 (x,..., p in (x} de uma Sequência de Polinômios Ortogonais, {p, p 1,...}, é um sistema linearmente independente. Demonstração. Suponha que exista uma sequência finita linearmente dependente, ou seja, p i, p i1,..., p in e α,..., α n não todos nulos, tais que onde p(x. Logo, p(x α p i α n p in, p, p j, p j, j {,..., n}. (1.6 Por outro lado, seja k, k n tal que α k em p(x α p i α n p in. Então, α p i α n p in, p ik α p in, p ik α n p in, p ik α k p ik, p ik. (1.7 Como, p ik, p ik, chegamos a uma contradição. Teorema 1.. Se o polinômio p(x é de grau menor igual a n, então p(x pode ser unicamente representado por p(x a p (x + a 1 p 1 (x a n p n (x Demonstração. Seja p π n. Como π n é um espaço vetorial e tem dimensão n + 1 e {p (x,..., p n (x} uma sequência de polinômios ortogonais, então pelo Teorema 1.1, {p (x,..., p n (x} é linearmente independente. Assim, forma uma base para π n. Portanto cada elemento de π n pode ser unicamente representado como combinação linear de elementos da base. Teorema 1.3. Seja.,. em π definido por (1.3. Então são equivalentes: a {p n } n1 é uma SPO com relação a.,. ; b p, p n para todo polinômio p de grau menor que n e p, p n para todo polinômio p de grau exatamente n; c x m, p n para m n e x n, p n. Demonstração. (a b Seja {p n } uma SPO. Seja p um polinômio de grau m. Então existem escalares α,..., α m tais que p(x α p (x α m p m (x, com α m. Pela linearidade do produto interno, temos Assim, p, p n α p α m p m, p n α p, p n +...α m p m, p n (1.8 { p, p n se m n α m p m, p n se m n. (b c Basta tomar p(x x m, o resultado é imediato. (c a Suponha que x m, p n se m n e x m, p n. Seja p m (x a m + a m1 x a mn x m. Sem perda de generalidade, suponha m n. Assim, temos, p m, p n a m 1, p n + a m1 x, p n a mn x m, p n. 5 { Portanto, p m, p n,, m n m n. Definição{ 1.3. Uma sequência dos polinômios {p n } n é dita ortonormal se, m n, p n, p m 1, m n. Teorema 1.4 (Relação de Recorrência de Três Termos. Considere {p n } n1 uma sequência de polinômios ortogonais. Os polinômios ortogonais satisfazem uma Relação de Recorrência de Três Termos da seguinte forma: xp k (x γ k p k+1 (x + β k p k (x + δ k p k 1, k, com condições iniciais, p 1 (x, p (x 1, β k R e γ k δ k+1 . Demonstração. Como o polinômio xp k (x π k+1, podemos escrevê-lo como segue: k+1 xp k (x α j p j (x α p (x α k+1 p k+1 (x, j pois {p,..., p k+1 } forma uma base para π k+1. Vamos provar que α j para j {, 1,..., k } e que γ k δ k+1 . Pela ortogonalidade, temos k+1 xp j (x, p k (x p j (x, xp k (x α i p j (x, p i (x α j p j (x, p j (x, para todo j {, 1..., k }. Como p j, p j, então α j para j {, 1..., k }. Logo, e Sejam De (1.9, temos e de (1.1, temos Multiplicando (1.11 e (1.1, i xp k (x α k 1 p k 1 (x + α k p k (x + α k+1 p k+1 (x. xp k (x γ k p k+1 (x + β k p k (x + δ k p k 1 (x (1.9 xp k+1 (x γ k+1 p k+ (x + β k+1 p k+1 (x + δ k+1 p k (x. (1.1 xp k, p k+1 γ k p k+1, p k+1, (1.11 xp k+1, p k δ k+1 p k, p k. (1.1 ( xp k, p k+1 γ k δ k+1 p k+1 (x, p k+1 (x p k (x, p k (x γ k δ k+1 . Corolário 1.1. Seja {p n } n uma Sequência de Polinômios Ortonormais. Então, com k, a k γ k δ k+1 e b k β k. xp k (x a k p k+1 (x + b k p k (x + a k 1 p k 1, (1.13 6 Agora, se multiplicarmos (1.13 por p k (y, obtemos: De forma análoga, xp k (xp k (y [a k p k+1 (x + b k p k (x + a k 1 p k 1 (x]p k (y a k p k+1 (xp k (y + b k p k (xp k (y + a k 1 p k 1 (xp k (y. (1.14 yp k (yp k (x a k p k+1 (yp k (x + b k p k (yp k (x + a k 1 p k 1 (yp k (x. (1.15 Subtraindo a equação (1.14 pela equação (1.15, obtemos (x yp k (xp k (y a k (p k+1 (xp k (y p k+1 (yp k (x + a k 1 (p k 1 (xp k (y p k 1 (yp k (x. Fazendo k {, 1,..., n} e somando, temos: (x y Provamos o seguinte: n (p k (xp k (y a n (p n+1 (xp n (y p n+1 (yp n (x. k Teorema 1.5 (Identidade de Christoffel Darboux. Seja {p n } n uma Sequência de Polinômios Ortonormais, então K n (x, y n k (p k (xp k (y a n p n+1 (xp n (y p n+1 (yp n (x x y. A função K n (x, y é chamada de núcleo de reprodução. Fazendo y x, obtemos De fato. K n (x, x a n (p n+1(xp n (x p n(xp n+1 (x. K n (x, x a n p n+1 (xp n (y p n+1 (yp n (x x y Portanto, p n+1 (xp n (y p n+1 (yp n (x + p n (xp n+1 (x p n (xp n+1 (x a n x y ( p n (y p n (x a n p n+1 + p n (x p n+1(x p n+1 (y. x y x y lim K n(x, y lim a n y x y x ( p n (y p n (x p n+1 + p n (x p n+1(x p n+1 (y x y x y a n (p n+1(xp n (x p n(xp n+1 (x. 1. Forma Matricial dos Polinômios Ortogonais Dada uma formula de recorrência xp k (x a k p k+1 (x + b k p k (x + a k 1 (xp k 1, (1.16 podemos reescrevê-la como veremos a seguir. 7 Fazendo, k, 1,..., n 1, obtemos o sistema, xp (x a p 1 (x + b p (x xp 1 (x a 1 p (x + b 1 p 1 (x + a p (x xp (x a p 3 (x + b p 3 (x + a 1 p 1 (x.. xp n a n p n 1 (x + b n p n (x + a n 3 p n 3 (x xp n 1 a n 1 p n (x + b n 1 p n 1 (x + a n p n (x. Dessa forma, considerando as matrizes J n b a... a b 1 a 1... a 1 b a a n a n b n 1, P p (x p 1 (x. p n (x p n 1 (x e A. a n 1 p n (x, a forma matricial da equação (1.16 pode ser escrita como: J n P xp A. (1.17 A matriz J n é conhecida como matriz de Jacobi. Denotaremos x n,k como os zeros de P n (x. Então: J n P (x n,k x n,k P (x n,k Observação: Matriz simétrica Autovalores reais. Teorema 1.6. Seja {p n } n uma Sequência de Polinômios Ortogonais em relação à função peso w(x no intervalo (a, b, então os zeros de cada polinômio ortogonal são reais. Demonstração. Consideremos {p n } n uma Sequência de Polinômios Ortogonais em relação ao produto interno f(x, g(x b a f(xg(xw(xdx. Sejam {x n,1,..., x n,n } os zeros de p n (x e P n,j [p (x n,j,, p n 1 (x n,j ] T. Substituindo x por x n,j em (1.17, temos: J n P (x n,j x n,j P (x n,j. Portanto, x n,j é autovalor de J n. Como a matriz de Jacobi é simétrica, concluímos, da observação acima, que os seus autovalores são reais, isto é, os zeros de p n são todos reais. Definição 1.4. Seja p π n. Então x é um zero de multiplicidade k do polinômio p se: p(x p (x... p (k 1 (x e p (k (x. Teorema 1.7. Seja {p n } n uma Sequência de Polinômios Ortogonais em relação à função peso w(x no intervalo (a, b. Então, os zeros dos polinômios ortogonais são distintos. 8 Demonstração. Suponha que algum zero, x n,j Assim, de p n (x tenha multiplicidade maior que um. K n (x n,j, x n,j a n (p n+1(x n,j p n (x n,j p n(x n,j p n+1 (x n,j. (1.18 Como p n (x n,j e p n(x n,j, então K n (x n,j, x n,j, que é absurdo. Teorema 1.8. Seja {p n } n uma Sequência de Polinômios Ortogonais em relação à função peso w(x no intervalo (a, b. Então os zeros dos polinômios ortogonais estão no intervalo (a, b. Demonstração. Suponha, por absurdo, que nem todos os zeros estejam em (a, b. Mais precisamente, suponha que existam j zeros, x n,1,..., x n,j de p n (x fora de (a, b. Então, p n (x q(x (x x n,1...(x x n,n j π n,j é um polinômio de grau n j. Se j , então pela ortogonalidade, temos p n (x, q(x b a b a p n (x p n (x (x x n,1...(x x n,n j w(xdx p n(xw(x (x x n1...(x x n j dx. Assim, p n, q não muda de sinal em (a, b, pois p n(xw(x e (x x n,1...(x x n,n j. Portanto, j e, assim, todos os zeros de p n (x estão em (a, b. Resumindo, temos: Seja {p n } n uma Sequência de Polinômios Ortogonais em relação à função peso w(x no intervalo (a, b. Então os zeros de cada polinômio ortogonal são reais, distintos e estão em (a, b. 1.3 Quadratura de Gauss Seja f uma função definida em x 1,..., x n no intervalo (a, b. Definimos: I(f b a f(xw(xdx. Definição 1.5. Fórmula de Quadradura é toda expressão da forma Q(f n a k f(x k, sendo f uma função definida em x 1,..., x n e a k R. Onde I(f Q(f. Definição 1.6. Seja Q(f uma fórmula de quadratura para I(f. Dizemos que: k1 1. Q(f é exata para π m se I(f Q(f, para toda f π m.. Q(f possui grau de precisão algébrica m se satisfaz (1 e, além disso, existe g π m+1 tal que I(g Q(g. Quando Q(f satisfaz (1e (,escrevemos que o Grau de Precisão Algébrica (GPA será m, isto é, GP A(Q m. Apresentaremos a seguir algumas propriedades de I(f e Q(f: 9 I(f + g : I(f + I(g; Q(f + g : Q(f + Q(g; I(αf : αi(f; Q(αf : αq(f. Lema 1.1. Uma fórmula de quadratura Q(f é exata, se e somente se, ela é exata para uma base de π m. Em particular, Q(f é exata se, e somente se, ela é exata para {1, x, x,..., x m }. Demonstração. ( Sabemos que I(f Q(f, para toda f π m. Seja B {b, b 1,..., b m } uma base de π m. Então, b k π m, 1 k m. Portanto, I(b k Q(b k, k {1,,..., m}. ( Seja B {b, b 1,..., b m } uma base de π m. Daí para toda f π m, existem escalares tais que m f(x α k b k. k1 Por hipótese, I(b k Q(b k, onde k {1,,..., m}. Logo, I(f I(α b α m b m α I(b α m I(b m α Q(b α m Q(b m Q(α b α m b m Q(f. Portanto, I(f Q(f, para toda f π m. Lema 1.. Se Q(f é exata para π m e existe g π m+1, tal que I(g Q(g, então I(h Q(h, para todo polinômio de grau m + 1. Demonstração. Se g é um polinômio de grau m + 1, então g(x α m+1 x m+1 + f(x, onde f π m e α m+1. Como por hipótese I(g Q(g, então, I(g Q(g. Observe que I(g Q(g I(α m+1 x m+1 + f(x Q(α m+1 x m+1 + f(x α m+1 (I(x m+1 Q(x m+1. Portanto, I(x m+1 Q(x m+1. Se h π m+1 \π m, então h(x β m+1 x m+1 + f(x, em que f π m, β m+1 R e β m+1. Daí, I(h Q(h I(β m+1 x m+1 + f(x Q(β m+1 x m+1 + f(x β m+1 I(x m+1 + I(f β m+1 Q(x m+1 Q(f β m+1 (I(x m+1 Q(x m+1. Assim, I(h Q(h. 1 Definição 1.7. A fórmula de quadratura Q(f m a k f(x k é chamada interpolatória se Q(f b L a n 1(f; xw(xdx, onde L n 1 (f, x é o polinômio interpolador de Lagrange de f em x 1,..., x n, ou equivalentemente,, Denotamos l k a k b a k1 l nk (xw(xdx σ(x (x x k σ (x k, onde σ(x (x x 1...(x x n. Lema 1.3. Uma fórmula de quadratura Q(f n a k f(x k é exata para π n 1, se e somente k1 se, Q(f é interpolatória, ou seja, a k b a l n k (xw(xdx. Demonstração. ( Se Q(f é exata para π n 1, então I(f Q(f, f π n 1. Assim, n I(l nj (x Q(l nj (x a k l nj (x k a j. ( Por hipótese, Q(f é interpolatória, ou seja, Q(f I(L n 1 (f; x. Logo, Q(f I(f. Portanto, Q é exata para π n 1. k1 Observação: Se Q é interpolatória, então GP A(Q n 1. Teorema 1.9. Seja I(f b f(xw(xdx. O GPA máximo de uma fórmula de quadratura a para I(f de n nós é n 1. A fórmula de quadratura que atinge esse grau de precisão algébrica é única e é dada por: Q(f n a k f(x k, (1.19 k1 onde x 1,..., x n são zeros do n-ésimo polinômio ortogonal da Sequência de Polinômios Ortogonais {p k } k associado ao produto interno p, q b Os números a k são positivos e dados por a p(xq(xw(xdx. a k 1 b p n (xw(x dx, k {1,,..., n}
