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RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata e due coppie ordinate (x, y), (x 1, y 1 ) sono uguali se e solo se x = x 1 e y = y 1. Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una relazione su X è un sottoinsieme R X X. R si dice anche grafico della relazione. Se x, y X, diremo che x è in relazione con y, e scriveremo xry o x y se e solo se (x, y) R. Definizione 2. Sia X un insieme non vuoto e R una relazione su X. R si dice relazione di equivalenza se soddisfa le seguenti proprietà: (a) x x per ogni x X (proprietà riflessiva); (b) x y implica y x per ogni x, y X (proprietà simmetrica); (c) x y e y z implica x z per ogni x, y, z X (proprietà transitiva). Esempi di relazioni di equivalenza sono l uguaglianza, il parallelismo tra rette nel piano, per i numeri interi l essere pari o dispari (cioè avere lo stesso resto nella divisione per 2). Data una relazione di equivalenza sull insieme X, per ogni x X si dice classe di equivalenza di x l insieme [x] := {y X x y}. Definizione 3. Sia X un insieme non vuoto. Una partizione di X è una famiglia S di sottoinsiemi di X tale che: (a) ogni elmento A S è non vuoto (b) se A 1, A 2 S e A 1 A 2 allora A 1 A 2 = (c) X = A S A. Proposizione 4. Sia X un insieme non vuoto e R una relazione di equivalenza su X. L insieme delle classi di equivalenza è una partizione di X. Definizione 5. Sia X un insieme non vuoto e una relazione di equivalenza su X. L insieme delle classi di equivalenza si dice insieme quoziente e si indica con X/. 1 2 C. FRANCHI Ad esempio, se si considera l insieme delle rette del piano con la relazione di equivalenza del parallelismo tra rette, l insieme quoziente risulta essere identificabile con l insieme delle direzioni nel piano. Definizione 6. Sia X un insieme non vuoto e una relazione su X. si dice relazione d ordine se soddisfa le seguenti proprietà: (a) x x per ogni x X (proprietà riflessiva); (b) se x y e y x allora x = y (proprietà antisimmetrica); (c) x y e y z implica x z per ogni x, y, z X (proprietà transitiva). L insieme X si dice insieme ordinato. Gli elementi (x, y) del grafico della relazione si dicono confrontabili e si scrive x y. Se presi comunque x, y X si ha che o x y oppure y x diremo che l ordine è totale. Altrimenti si parlerà di ordine parziale. Esempio di relazione d ordine totale è l ordinameto usuale dei numeri interi, razionali o reali. Esempi di ordine parziale sono: - nell insieme dei numeri naturali poniamo x y sse x divide y. -dato un insieme non vuoto X, l insieme delle parti di X, P (X), è ordinato parzialmente rispetto la relazione di inclusione di insiemi. Definizione 7. Sia X un insieme ordinato e A un sottoinsieme non vuoto di X. Un elemento x X si dice maggiorante (risp. minorante) di A se (a) ogni elemento di A è confrontabile con x; (b) per ogni a A si ha x a (risp. a x). A si dice limitato superiormente (risp. limitato inferiormente) se possiede almeno un maggiorante (risp. minorante). A si dice limitato se è limitato superiormente e inferiormente. Un maggiorante (risp. minorante) che appartiene ad A si dice massimo (risp. minimo). Lemma 8. Sia X un insieme ordinato e A un sottoinsieme non vuoto di X. Se x è un massimo di A, allora x è l unico massimo. Analogamente, se y è un minimo di A, allora y è l unico minimo di A. Proof. Siano m e m due massimi di A. Allora m e m sono elementi di A. Poichè m è un massimo, abbiamo che m m. Poichè anche m è un massimo, vale anche m m. Per la proprietà antisimmentrica si ha che m = m, come si voleva dimostare. Analogamente si ragiona per i minimi. RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI 3 2. Funzioni Definizione 9. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Una funzione f da X in Y è una relazione R in X Y che soddisfa la seguente proprietà: per ogni x X se (x, y 1 ) e (x, y 2 ) appartengono a R, allora y 1 = y 2. Ovvero per ogni x X si ha che l insieme {y Y (x, y) R} è costituito da un solo elemento che si indica con f(x). Si usa la seguente notazione: f : X Y, x f(x). L insieme X si dice dominio della funzione, l insieme Y si dice codominio. Si dice immagine della funzione f il sottoinsieme di Y Im(f) := {f(x) Y x X}. Definizione 10. Siano f : X Y, e g : Y Z due funzioni. Chiamiamo composta (o composizione) di f e g la funzione e Ad esempio, se la composta è g f : X Z, (g f)(x) := g(f(x)). f : R R, x x + 1 g : R R, x x 2 g f : R R, x (x + 1) 2. Osserviamo che invece, f g : R R è x x Qundi in generale la composizione di funzioni non è commutativa. La composizione di funzioni gode invece della proprietà associativa cioè se f : X Y, g : Y Z e h : Z T, allora (h g) f = h (g f). Definizione 11. Sia f : X Y una funzione. f si dice iniettiva se per ogni x 1, x 2 X, f(x 1 ) = f(x 2 ) implica x 1 = x 2. f si dice suriettiva se im(f) = Y, cioè se per ogni y Y esiste x X tale che y = f(x). f si dice biiettiva se è iniettiva e suriettiva. Per esempio, la funzione f : R R, x x 2 non è iniettiva e nemmeno suriettiva: infatti per ogni x R si ha che x 2 = ( x) 2, quindi f non è iniettiva. Inoltre per ogni y R, y 0 non esiste nessun x R tale che x 2 = y, quindi f non è suriettiva. Invece f : R R, x x 3 è biiettiva. 4 C. FRANCHI Indichiamo con id X la funzione identica su X o identità di X, cioè id X : X X, x x. È chiaro che per ogni f : X Y, si ha che f id X = f e id Y f = f. Definizione 12. Sia f : X Y una funzione. f si dice invertibile se esiste una funzione g : Y X tale che f g = id Y e g f = id X. Si verifica facilmente che la funzione g della definizione precedente è unica. Essa si dice funzione inversa della f e si indica con f 1. Teorema 13. Una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva. Proof. Supponiamo che f : X Y sia una funzione invertibile e mostriamo che è biiettiva. Poichè f è invertibile, esiste f 1 : Y X tale che f f 1 = id Y e f 1 f = id X. Siano x 1, x 2 X tali che f(x 1 ) = f(x 2 ). Allora x 1 = f 1 f(x 1 ) = f 1 (f(x 1 )) = f 1 (f(x 2 )) = f 1 f(x 2 ) = x 2. Quindi f è iniettiva. Sia ora y Y e poniamo x := f 1 (y) X. Allora f(x) = f(f 1 (y)) = id Y (y) = y. Quindi f è suriettiva. Supponiamo ora che f sia biiettiva e dimostriamo che è invertibile. Poichè f è suriettiva, per ogni y Y esiste x X tale che f(x) = y. Inoltre tale x è univocamente determinato da y perchè la f è inettiva. Possiamo quindi definire una funzione g : Y X ponendo g(y) := x. Allora f g(y) = f(g(y)) = f(x) = y, cioè f g = id Y e g f(x) = g(f(x)) = g(y) = x, cioè g f = id X. Spesso si ha a che fare con funzioni che non sono iniettive o suriettive su tutto il dominio. Poichè d altra parte può essere utile l esistenza di una inversa, almeno su un sottoinsieme del dominio, ciò che si fa è restringere il dominio della funzione a quel tratto dove essa risulta essere biiettiva e quindi invertibile. Ad esempio la funzione f : R R, x sin x non è né iniettiva né suriettiva. Tuttavia la sua restrizione f : [ π/2, π/2] [ 1, 1] è biiettiva e quindi invertibile. 3. I numeri interi Indichiamo con N l insieme dei numeri naturali, cioè N = {1, 2, 3,...} e poniamo N 0 := N {0} = {0, 1, 2, 3,...}. Rimandiamo al corso di Matematica discreta per il problema della definizione e dell esistenza dell insieme N. Come tutti sappiamo, nell insieme N possiamo fare RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI 5 due operazioni: somma e prodotto. Abbiamo invece delle difficoltà con le inverse di queste operazioni, cioè differenza e divisione. Vogliamo ora dare una definizione costruttiva dell insieme dei numeri interi. Il nostro scopo è quello di costruire a partire dall insieme N dei numeri naturali un insieme più grande Z, i numeri interi, che contenga l insieme N come sottoinsieme e nel quale però l operazione di differenza non sia più un problema. Si consideri N 0 N 0 e si definisca una relazione di equivalenza R su di esso ponendo (m, n) (m, n ) m + n = n + m. Poniamo Z := N 0 N 0 /, cioè l insieme quoziente rispetto a questa relazione di equivalenza. Definiamo come fare le operazioni con gli elementi di Z, cioè con le classi di equivalenza. [(m, n)] + [(m, n )] := [(m + m, n + n )] [(m, n)] [(m, n )] := [(mm + nn, mn + nm )]. Definiamo anche una relazione d ordine (totale) [(m, n)] [(m, n )] m + n n + m. Osserviamo che queste definizioni sono ben poste, cioè non dipendono dal particolare rappresentante scelto all interno di ogni classe di equivalenza come a prima vista può sembrare, ma soltanto dalla classe di equivalenza. Lemma 14. Valgono i seguenti fatti: [(m, n)] = [(m n, 0)] se m n; [(m, n)] = [(0, n m)] se m n; [(m, n)] = [(0, 0)] se m = n. Quindi all interno di ogni classe possiamo scegliere come rappresentante una (è unica) coppia in cui almeno una delle componenti è 0 e scrivere brevemente: m al posto di [(m, 0)] m al posto di [(0, m)] 0 al posto di [(0, 0)]. In questo modo Z = {m m N} { m m N} {0} ed è evidente che possiamo identificare N con il primo di questi insiemi. Inoltre si verifica facilmente che con queste notazioni, le operazioni definite sopra si fanno nel modo a cui siamo abituati dalle scuole medie. Proposizione 15. L insieme Z con le operazioni di somma e prodotto definite sopra soddisfa le seguenti proprietà: (S1) (a + b) + c = a + (b + c) per ogni a, b, c Z (proprietà associativa); (S2) a + 0 = a = 0 + a per ogni a Z (elemento neutro); (S3) per ogni a Z esiste ā Z tale che a + ā = 0 = ā + a. ā si dice inverso di a e si scrive ā = a (inverso); (S4) a + b = b + a per ogni a, b Z (proprietà commutativa); (P1) (ab)c = a(bc) per ogni a, b, c Z (proprietà associativa); (P2) 1 a = a = a 1 per ogni a Z (elemento neutro); 6 C. FRANCHI (P4) ab = ba per ogni a, b Z (proprietà commutativa); (PS) a(b + c) = ab + ac per ogni a, b, c Z (proprietà distributiva). La proposizione precedente si riassume dicendo che Z è un anello commutativo. 4. Numeri razionali Analogamente a quanto fatto per i numeri interi, vogliamo ora definire l insieme dei numeri razionali. Questa volta lo scopo è ottenere un insieme di numeri dove oltre alle operazioni che si possono fare nell insieme Z, si possano fare anche le divisioni. Poniamo Z 0 := Z \ {0}. Consideriamo Z Z 0 e definiamo una relazione di equivalenza R su di esso ponendo (m, n) (m, n ) mn = nm. Poniamo Q := Z Z 0 /, cioè l insieme quoziente rispetto a questa relazione di equivalenza. Definiamo come fare le operazioni con gli elementi di Q, cioè con le classi di equivalenza. [(m, n)] + [(m, n )] := [(mn + nm, nn )] [(m, n)] [(m, n )] := [(mm, nn )]. Definiamo anche una relazione d ordine (totale) [(m, n)] [(m, n )] (mn nm )nn 0. Osserviamo che queste definizioni sono ben poste, cioè non dipendono dal particolare rappresentante scelto all interno di ogni classe di equivalenza come a prima vista può sembrare, ma soltanto dalla classe di equivalenza. Infine semplifichiamo la notazione scrivendo m/n in luogo di [(m, n)]. Si osserva che Z è in corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme di Q costituito dalle classi di equivalenza di coppie del tipo (m, 1) e tale corrispondenza conserva le operazioni di somma e prodotto e la relazione d ordine. Possiamo quindi pensare a Z come a un sottinsieme di Q. Proposizione 16. L insieme Q con le operazioni di somma e prodotto e con la relazione di ordine totale definite sopra soddisfa le seguenti proprietà: (S1) (a + b) + c = a + (b + c) per ogni a, b, c Q (proprietà associativa); (S2) a + 0 = a = 0 + a per ogni a Q (elemento neutro); (S3) per ogni a Q esiste ā Q tale che a + ā = 0 = ā + a. ā si dice opposto di a e si scrive ā = a (inverso); (S4) a + b = b + a per ogni a, b Q (proprietà commutativa); (P1) (ab)c = a(bc) per ogni a, b, c Q (proprietà associativa); (P2) 1 a = a = a 1 per ogni a Q (elemento neutro); RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI 7 (P3) per ogni a Q esiste ã Q tale che a ã = 1 = ã a. ã si dice inverso di a e si scrive ã = a 1 ; (P4) ab = ba per ogni a, b Q (proprietà commutativa); (PS) a(b + c) = ab + ac per ogni a, b, c Q (proprietà distributiva); (O1) per ogni a, b, c Q, a b = a + c b + c; (O2) per ogni a, b, c Q con c 0, a b = ac bc. La proposizione precedente si riassume dicendo che Q è un campo ordinato. Dal punto di vista algebrico, cioè delle operazioni, questa struttura è molto ricca e quindi da questo punto di vista l insieme Q ci soddisfa. Se però vogliamo utilizzare i numeri razionali per esprimere le lunghezze, ci accorgiamo subito che manca qualcosa. Se infatti consideriamo un triangolo rettangolo isoscele con cateti di misura 1, dal Teorema di Pitagora ricaviamo che la lunghezza a dell ipotenusa soddisfa la relazione a 2 = 2: ma non esiste nessun numero razionale con questa proprietà! Teorema 17. Nessun numero razionale a soddisfa la relazione a 2 = 2. Proof. Supponiamo per assurdo che il teorema sia falso e cioè che esista a Q tale che a 2 = 2. Allora possiamo scrivere a = m/n con m, n numeri interi primi fra loro. Elevando al quadrato otteniamo: m 2 = 2n 2. Allora m 2 è pari e quindi anche m lo è. Se m è pari, allora m 2 è divisibile per 4. Da ciò segue che n 2 è pari e quindi n lo è. Così sia m che n sono numeri pari: questa è una contraddizione perchè abbiamo scelto m e n primi tra loro (cioè privi di divisori comuni). Questa contraddizione mostra che l ipotesi iniziale è sbagliata e quindi il teorema è vero. Abbiamo qundi bisogno di un nuovo insieme di numeri che contenga Q, goda di tutte le proprietà di Q e in più ci permetta di rappresentare le lunghezze dei segmenti. Questo nuovo insieme sarà l insieme dei numeri reali. 5. I numeri reali Definizione 18. Sia A un sottoinsieme proprio e non vuoto di Q. Diciamo che A è una sezione di Dedekind di Q se (a) per ogni a A, a a = a A; (b) A non ha massimo. Esempio: per ogni q Q, l insieme è una sezione di Dedekind. Ancora, l insieme X q := {x Q x q} Y := {x Q x 0} {x Q x 0 e x 2 2} 8 C. FRANCHI è una sezione di Dedekind. Come si vede dai due esempi, ci sono sezioni di Dedekind che corrispondono ai numeri razionali (quelle del tipo X q, q Q) e altre che invece corrispondono a quei numeri che non sono razionali (come ad esempio radice quadrata di 2) e che però ci servono. Definiamo quindi l insieme dei numeri reali nel modo seguente: Definizione 19. L insieme di tutte le sezioni di Dedekind di Q si dice insieme dei numeri reali e si indica con R. Per quanto osservato prima, è chiaro che possiamo identificare l insieme Q con il sottoinsieme di R costituito dalle sezioni del tipo X q. Definiamo una relazione d ordine (totale) su R ponendo A B A B per ogni A, B sezioni di Dedekind di Q. È immediato verificare che se p, q sono numeri razionali, p q X p X q. Inoltre un numero reale, cioè una sezione di Dedekind A è positivo se e solo se 0 A. Definiamo le operazioni di somma e prodotto su R nel modo seguente. Se A, B sono sezioni di Dedekind, poniamo e se A, B sono positivi A + B := {a + b a A, b B} A B := {ab a A, a 0, b B, b 0} {x Q x 0}. La definizione di prodotto si estende ai numeri reali negativi usando le regole dei segni. Teorema 20. Le operazioni di somma e prodotto e l ordinamento definiti sopra estendono le operazioni e l ordinamento di Q e rendono R un campo ordinato. Elenchiamo ora tre importanti proprietà di R. Teorema 21 (Completezza). R è completo, cioè per ogni sottoinsieme non vuoto X di R, se X è limitato superiormente (inferiormente), allora X ammette estremo superiore (inferiore). Teorema 22 (Densità di Q in R). Per ogni a, b R con a b esiste q Q tale che a q b. Teorema 23 (Proprietà di Archimede). Per ogni a, b R con a b esiste n N tale che na b. Concludiamo con un risultato che ci garantisce che l insieme R è essenzialmente unico. Teorema 24. Se T è un campo ordinato e completo (cioè soddisfa la proprietà del teorema precedente), allora T è una copia di R. References [1] C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica (Volume 1), Masson editore (1990).
