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Encontro Nacional BETÃO ESTRUTURAL - BE01 FEUP, 4-6 de outubro de 01 Rotura por Punçoamento em Estruturas de Betão Armado João aria Sobreira 1 Jorge Nunes da Silva 1 Jorge Ribeirinho Soares RESUO Este estudo desenvolve um modelo estrutural de cálculo baseado no resultado dos ensaios de Kinnunen e Nylander. O esquema estrutural em estado limite de rotura é um esquema em treliça com bielas comprimidas em anel cónico e tirantes verticais em anel cilíndrico, armados ou não armados. Analisa-se a importância das armaduras horizontais na laje, quer a superior quer a inferior, bem como da fendilhação do betão, das assimetrias dos vãos contíguos ao pilar, da localização do pilar (interior, bordo ou canto),etc. No final faz-se a comparação dos resultados obtidos por este método com o EC, o C10 e o REBAP. Por evidente falta de espaço este artigo é um resumo do original que pode ser visto em Palavras-chave: Betão Armado; Corte; Punçoamento. 1. INTRODUÇÃO Ao analisar o comportamento á rotura de lajes apoiadas em pilares vemos que os mecanismos de rotura por flexão podem apresentar diversas configurações e são condicionados pela armadura horizontal inferior e pela armadura horizontal superior. A flexão para além das linhas de rotura no vão, pode originar em torno das cargas concentradas fissuras radiais, criadas por momentos negativos m r e limitadas exteriormente por fissuras curvas, devida a momentos positivos m t (ver Fig. 1) [1]. Figura 1 Linhas de rotura sobre um pilar. Figura Esquema de vigas que ligam os pilares. 1 Sócio-Gerente, GOP- Gabinete de Organização e Projectos, Lda., Porto, Portugal. Engenheiro-estagiário, GOP- Gabinete de Organização e Projectos, Lda., Porto, Portugal. Rotura por Punçoamento em Estruturas de Betão Armado Assim, na zona em volta dos pilares existem, em estado de pré-rotura, momentos radiais e tangenciais, que são máximos junto ao pilar e se reduzem rapidamente à medida que se afastam deste. Enquanto as fissuras no vão acabam sempre por se formar (se outros mecanismos não originarem previamente a rotura local da laje), as fissuras de continuidade e sobretudo o valor e a variação dos momentos negativos nelas instalados, dependem da quantidade e extensão quer da armadura horizontal inferior, quer da armadura horizontal superior e ainda da forma como a continuidade sobre o pilar pode ser garantida pela restante parte da estrutura, o que está fundamentalmente relacionado com a localização daquele (interior à laje ou no bordo desta), com a rigidez relativa entre pilar e laje e outros factores de assimetria. Para termos em conta estas assimetrias adoptamos neste estudo um modelo que se baseia na simulação da existência de vigas que ligam os pilares entre si, com a espessura da laje e secção variável, conforme Fig.. O comportamento destas vigas pode ser considerado idêntico ao de vigas vulgares, isto é sujeitas aos diversos tipos de esforços. Estas vigas são portanto submetidas a um esforço transverso, que neste caso é crítico junto do apoio nos pilares, pois além de aí ter o seu valor máximo, também é exercido sobre a secção mínima da viga. Se considerarmos todas as vigas que concorrem num pilar obtemos um perímetro crítico de resistência ao esforço transverso que agora iremos designar de resistência ao punçoamento. É com base neste esquema estrutural que as questões relacionadas com lajes apoiadas em malhas não simétricas de pilares (incluindo os pilares de bordo e de canto) são resolvidas pela teoria de rotura exposta neste estudo. A teoria que vai ser exposta considera de forma explícita todas as situações de apoio da laje e também todas as solicitações habituais da prática.. RESISTÊNCIA AO PUNÇOAENTO DE LAJES SIETRICAENTE APOIADAS.1 Resistência Rd do Cone de Punçoamento Por lajes simetricamente solicitadas entendem-se as lajes que transmitem ao cone de Punçoamento, por quadrantes simétricos, uma carga linear e uniforme r (ver Fig. 3). Em tal situação o anel cónico de Punçoamento, vulgarmente designado por cone de Punçoamento, possui a sua resistência máxima. Figura 3 Definição geométrica do cone de Punçoamento. As expressões que definem a forma geométrica do cone de punçoamento dependem, além dos valores iniciais d e d (altura útil da laje e diâmetro do pilar) de cada problema, das seguintes grandezas: y: Altura do diagrama simplificado rectangular de tensões-extensões do betão []. : Inclinação da fissura de punçoamento, que os ensaios mostram ser cerca de 30 nas lajes correntes e 45 nas lajes de fundação (sapatas e ensoleiramentos gerais). a: Largura de apoio do anel cónico de punçoamento sobre o pilar. : Inclinação do cone de punçoamento (36º em lajes e 51º em ensoleiramentos e sapatas). Refira-se que os valores do ângulo acima fixados, e,estão relacionados com os valores da percentagem das armaduras horizontais, ρ L, habitualmente utilizadas nestes dois tipos de lajes. Estas Sobreira, J.., Nunes da Silva, J. e Ribeirinho Soares, J. percentagens são para as lajes cerca de 0.8% e nas fundações cerca de 0.%. Para a definição do anel cónico e determinação dos valores da distância entre o eixo do pilar e a secção crítica do anel, e, a largura da secção crítica do anel, c, e o raio do tirante suspenso do cone de punçoamento, f, temos: b a d cotα d cot θ α α (1) a d aux b a c e f a y aux aux d' d' y cot y cot c b Sobre o topo de um pilar, a zona inferior da laje é triaxialmente comprimida sendo a resistência do cone definida a partir da resistência f cd do betão e da secção do cone ao nível da zona inferior da laje, f de altura y. O valor de f C0/5 cd será majorado de ck, em que f ck corresponde ao betão utilizado [4]. 0 De facto é nesta secção que a resistência do cone é menor, quer pelo valor da tensão da rotura admissível, quer pela sua área resistente, visto que abaixo de y existe um estado de compressão triaxial e acima de y uma compressão axial. A secção de resistência mínima do cone é dada assim por: e c (6) A c à qual corresponde uma resistência máxima ao Punçoamento dada por: cone,máx e c f cd f ck sin 0 Note-se que, nos casos em que os bordos da laje estejam a uma distância igual ou inferior a (f+b), deve-se descontar o perímetro correspondente ao ângulo w definido por intersecção do bordo com o perímetro critico de punçoamento [4]. Nas fórmulas apresentadas, deve-se fazer (-w).. Armadura horizontal do cone de punçoamento em lajes simetricamente solicitadas A armadura horizontal de equilíbrio do cone de Punçoamento é habitualmente formada por uma malha quadrada de varões, formando uma armadura isotrópica ou anisotrópica, conforme as percentagens ρ Lx e ρ Ly são iguais ou não em ambas as direcções de referência, x e y (ver Fig. 4). Se p x e p y forem as resistências lineares unitárias das armaduras segundo x e y e p for a respectiva resultante horizontal (uniforme por hipótese ao longo de todo o perímetro deste, pois se considera que a laje está simetricamente solicitada) pode-se escrever: p ds p dy cos p dx sin p f cos dy p f sin dy (8) x y x y () (3) (4) (5) (7) Figura 4 Armadura horizontal de equilíbrio 3 Rotura por Punçoamento em Estruturas de Betão Armado Tendo-se presente que quando x e y variam de 0 a f, varia respectivamente de π/ a 0 e de 0 a π/, / considerando, p ds tem-se: 4 F h tan 0 Fh F h é a força desenvolvida pela malha da armadura horizontal num quarto de círculo do anel cónico de punçoamento. Sendo A x e A y a área de armadura horizontal superior segundo x e segundo y, e A a sua resultante: F h A Sd Se ρ L for igual á percentagem de armadura existente no quarto de círculo considerado temos: l 4 l A f d f d l 6.8 f d Sd Sd tan 0.8% tan A limitação imposta pela Eq. (13) confere ao betão do cone de Punçoamento a indispensável capacidade de deformação plástica compatível com a formação do mecanismo de rotura local. Quanto à tensão Sd a adoptar, ela não pode ser f Syd, pois um alongamento excessivo da armadura de estabilidade do cone de Punçoamento poderia aumentar o risco de encurvadura da zona triaxialmente comprimida da base do anel cónico. Sem elementos experimentais disponíveis que possam servir de verificação opta-se por limitar aquele alongamento através de um valor reduzido da abertura característica, w k, da fissuração do betão. Assim Sd deve corresponder a um w k menor ou igual a 0.15 mm, o que para varões ø 16 impõe uma tensão Sd inferior a 30 Pa. (9) (10) (11) (1) (13).3 Resistência de Lajes sem armadura transversal Nas zonas contíguas ao pilar de apoio, o esquema estrutural da laje em estado limite de rotura é um esquema em treliça com bielas comprimidas em anel cónico e tirantes verticais em anel cilíndrico, elementos estes cujas secções resistentes crescem rapidamente à medida que a distância ao pilar aumenta. A resistência ao Punçoamento é, por isso, uma questão que interessa apenas à zona restrita em torno do pilar. Para além desta zona a resistência da laje depende da capacidade resistente aos esforços de flexão, passando o esquema estrutural da laje em estado limite de rotura, a corresponder a um mecanismo em equilíbrio estático definido pelo esquema de linhas de rotura que origina um trabalho interno máximo de deformação. No punçoamento a resistência da laje, além de depender da resistência do cone ( cone max ), depende da resistência do tirante vertical de betão, Fig. 5, esta resistência é dada pelo produto da secção do tirante pela respectiva tensão de cálculo. Figura 5 Cone e tirante de Punçoamento. 4 Sobreira, J.., Nunes da Silva, J. e Ribeirinho Soares, J. Como secção deste tirante considera-se a do anel cilíndrico directamente suspenso do cone do Punçoamento e a sua área é dada por: f b (14) A ct A tensão de cálculo tem expressão idêntica à que foi deduzida para o esforço transverso no esquema da viga em treliça devendo ser afectado do mesmo modo de um coeficiente, com a diferença de que agora a largura do tirante não depende de z (no esforço transverso tem-se z=0,85d), nem de η I visto que no Punçoamento a biela mais solicitada é a que arranca do apoio [3]. I II III (15) I 0.84 (16) II.4 d (17) III 0.80 (18) Sumariamente, pode dizer-se que a resistência ao punçoamento de lajes sem armadura transversal é dada por: ( w) f b f (19) cone,max Rd,c ctd.4 Resistência de Lajes com armadura transversal Para cargas superiores a Rd,c é necessário reforçar o tirante circular de betão. Em lajes armadas transversalmente, o valor de cálculo da resistência ao Punçoamento é dado por: cone,max Rd Rd,c Rd,s (0) Rd,s A sw Sd (1) Rd,c ( w) f b Acr fctd Em que: A sw - área total dos estribos verticais que formam a armadura transversal, colocados de forma simétrica em torno do pilar e segundo o perímetro f do cone de Punçoamento. sd - tensão nos estribos correspondente a um w k menor ou igual a 0.15 mm, ver Quadro 1. () arão Sd Quadro 1. alores de Sd máximos para cada diâmetro de varão mm Pa A cr - área total de betão fissurada envolvente dos estribos [4]. Sd Acr Asw f ctm A existência de estribos origina a fissuração do betão na envolvente do varão tal como foi enunciado no estudo sobre o esforço transverso daí ser descontada essa área à área do tirante. Para o Punçoamento também são fixadas regras relativas ao afastamento entre os estribos, colocados segundo um círculo de raio f, assim fixa-se s d 0.30 m (ver Fig. 5). Respeitando estas limitações pode desprezar-se a influência do ondulado do diagrama das tensões de tracção instaladas no tirante circular de betão, ou seja, os coeficientes η I e η II podem ser considerados iguais à unidade. Portanto quando se utiliza armadura transversal de punçoamento e se respeitam as disposições construtivas acima referidas, o valor de η que afecta a tensão admissível f ctd é igual a η III. (3) 5 Rotura por Punçoamento em Estruturas de Betão Armado 3. RESISTÊNCIA AO PUNÇOAENTO DE LAJES ASSIETRICAENTE APOIADAS 3.1 Influência de um momento aplicado no cone Punçoamento A existência de um momento reduz a resistência do cone de Punçoamento, na medida em que localmente a compressão sobre este passa a ser maior do que a originada por uma carga N concêntrica com o eixo do pilar (ver Fig. 6). Figura 6 - A desigualdade dos vãos originam momentos sobre o apoio C. Podemos obter o equilíbrio de sobre o bordo do cone de Punçoamento a partir de uma reacção média, estendida a um comprimento d, e calcular a tensão linear instalada nos pontos A e A' da Fig. 7, localizados por f cos. A variação média da reacção linear sobre o cone de Punçoamento, na extensão d, é dada por: cos cos r f 3 (4) f f em que f 3 é o momento de inércia da linha circular. Figura 7 aplicado ao cone de Punçoamento. A variação r, embora se refira apenas à extensão d, tem efeitos que devem ser estendidos a todo o perímetro e a nova carga admissível de punçoamento cone,máx,red é dada por: cone,máx,red cone,máx,red cone,máx e cos f (5) f f e (6) 6 Sobreira, J.., Nunes da Silva, J. e Ribeirinho Soares, J. f (7) f e cos Para efeitos de cálculo tudo se passa como se o esforço fosse substituído por um esforço equivalente dado por: ' cone,máx (8) cone,máx cone,máx,red Deverá ser o valor que se deve comparar com cone,max determinado nas secções.3 e.4 deste artigo. Pela observação da Figura 7 pode-se concluir que a armadura total exigida pelo esforço de cálculo deve ser dividida pelas duas faces da laje e isto em consequência da acção dos momentos,aa e,bb situados nos planos de referência AA' e BB. A percentagem de armadura, l,sup, a aplicar na face superior da laje, será a necessária para resistir ao esforço r r cot. A acção dos momentos,aa e,bb origina as seguintes excentricidades:,aa' e,aa' (30) e e.aa' e.bb' Só é feita referência nas equações a AA uma vez que na direcção BB é feito de forma idêntica. Para calcularmos l,sup teremos de determinar a parcela (1) que está relacionada com o equilíbrio da biela menos solicitada. f,aa' (1) f e cos (3),AA' (9) (31) ',AA' (1) (1),AA' (33) ' ' (1),AA' (1) ',BB' (1) (34) ' (1) l,sup (35) 6.8 f d tan Sd Esta armadura deve ser distribuída segundo uma malha quadrada sobre o pilar. Quanto à armadura a aplicar na face inferior da laje ela é dada por: l,inf l l,sup (36) A percentagem total de armadura l, a aplicar, será como vimos em., a necessária para resistir à força F h afectada pela excentricidade devida aos momentos,aa e,bb. f,aa' (37) f e cos ' ',AA',AA' (38),AA' ',AA' ',BB' (39) 7 Rotura por Punçoamento em Estruturas de Betão Armado ' l (40) 6.8 f d Sd tan A armadura inferior destina-se a garantir o equilíbrio da biela mais solicitada na parcela de esforço não equilibrada pela biela menos solicitada. Em relação à armadura transversal, o critério será o de considerar o maior dos valores,aa ou,bb. 3. Determinação das solicitações de cálculo,,aa e,bb As lajes assimetricamente apoiadas e solicitadas por uma carga uniforme q originam uma reacção r não uniforme, o que reduz a resistência máxima cone,max do cone de Punçoamento em cada pilar considerado. Se se quiser adaptar os resultados experimentais de Kinnunen e Nylander, é necessário quantificar a redução da resistência ao Punçoamento resultante do desequilíbrio dos momentos de continuidade existentes sobre a cabeça do pilar, antes da formação dos mecanismos primários de rotura da laje, pois está-se a admitir que a laje rompe por Punçoamento. Em relação à carga de Kinnunen e Nylander definida a partir, como se disse, de um modelo equivalente a um pilar interior solicitado de forma simétrica, a questão que se põe é a de quantificar a redução imposta pelos desequilíbrios dos vãos contíguos, desequilíbrios estes que se traduzem em momentos inicialmente não equilibrados. A aplicação de um dispositivo de restrição à rotação sobre o pilar em análise, permite a formação do modelo estrutural ensaiado por Kinnunen e Nylander, constituído por uma placa circular apoiada num pilar, formando-se a fenda de Punçoamento no quadrante circular contíguo ao vão maior, enquanto na zona oposta esta fenda não se chega a formar pois a laje está aí submetida a uma carga mais reduzida. Se libertarmos a restrição no sentido AA', ela rodará sob a acção do momento de desequilíbrio de forma que os ângulos a um e outro lado deixem de ser nulos. Em relação aos quadrantes A' e B', como eles ficam submetidos a um sobre-encastramento a sua resistência ao Punçoamento mantem-se igual a cone,max /4; porém nos quadrantes A e B existem acréscimos r da reacção de apoio da laje originados pelos momentos distribuídos, idênticos para efeitos de cálculo aos dos momentos considerados na secção 3.1 deste artigo. Figura 8 - Esquema auxiliares para a definição das expressões dos momentos Sd,AA e Sd,BB nos casos de se tratar de pilar interior (à esq.), de bordo (ao centro) ou de canto (à dir.).. Os momentos não equilibrados que actuam sobre a sujeição C da Fig. 8 podem, num pilar interior e em comportamento elástico, ser dados por (só se faz referência à direcção AA sendo segundo BB idêntico)[4]: (41),AA',CA,1 3,CA',4 Quando se liberta a sujeição, os momentos não equilibrados segundo as linhas AA' e BB', distribuemse pelos vãos contíguos e pelo pilar C, proporcionalmente às respectivas rigidezes. Se se observar que as rigidezes relativas entre os vãos contíguos dependem apenas dos coeficientes K 1, K e K 3 (ver Figura 8) que caracterizam a malha a que o pilar em causa pertence, pois a largura da faixa da laje que a rigidez do pilar mobiliza não depende dos vãos, pode facilmente concluir-se que os momentos a considerar para a determinação da excentricidade da carga sobre o pilar são dados por: 8 Sobreira, J.., Nunes da Silva, J. e Ribeirinho Soares, J. - Pilar interior: K 3,AA',dist,AA' (4) ' K1 K 3 Quanto aos pilares de bordo e de canto iremos introduzir a rigidez K p do pilar (superior e inferior) para se poder determinar o momento no pilar originado pelo desequilíbrio da laje. - Pilar de bordo: i K p,aa',dist,aa' (43) i K p n K1 - Pilar de canto: i K p,aa',dist,aa' (44) i K p n K1 em que I l i ; é um coeficiente que depende do grau de encastramento, λ, nos apoios A e B, I p sendo =1 para λ= 1 e =0.75 para λ= 0, n corresponde ao nº de pilares no nó (Superior/Inferior). O valor da solicitação de cálculo, Sd, é expresso em função dos coeficientes K pela Eq. (45) K K K l q (45) 1 3 em que q corresponde à carga distribuída em estado limite último. Os pilares de bordo e de canto têm expressões idênticas. Os efeitos máximos da assimetria expressos pelo coeficiente são num apoio interior limitados a um valor próximo de 0.60, isto é uma redução de resistência de cerca de 40%. 4. COPARAÇÃO DE RESULTADOS De forma a comparar os resultados com os diferentes códigos, estudou-se uma laje com 0.9 m de espessura sujeita a diversas distribuições de pilares, considerando um betão de classe C30/37 e uma classe de aço S500. O coeficiente indicado nas tabelas corresponde ao inverso de usualmente considerado nos códigos. No cálculo pelo C10 considerou-se um diâmetro máximo do agregado de 5 mm. A distribuição de pilares indicada corresponde à distância AA e BB conforme a Fig. 8. Quadro. Laje simétrica apoiada em pilar interior (6x6x6x6; espessura 0,9 m; pilar 300 ; carga distribuída de 1,5 kn/m ) Esf. Actuante Cone Tirante estribos: 4 E 8 / c,máx Rd não arm. Rd,c' Rd,s Rd arm. % Cobertura SOBR 1, ,65 C10 1, ,63 EC 1, ,84 REBAP 1, ,17 %Cobertura= IN [ c,máx /( /); Rd não arm./( /)] Quadro 3. Laje assimétrica apoiada em pilar interior (6x6x3x3; espessura 0,9 m; pilar 300 ; carga distribuída de 1,5 kn/m ) Esf. Actuante Cone Tirante estribos: 1 E 8 / c,máx Rd não arm. Rd,c' Rd,s Rd arm. % Cobertura SOBR 0, ,74 C10 1, ,60 EC 0, ,6 REBAP 0, ,89 9 Rotura por Punçoamento em Estruturas de Betão Armado Quadro 4. Laje assimétrica apoiada em pilar de bordo com consola de 1.5 m (6x6x3x1.5; espessura 0,9 m; pilar 300 ; carga distribuída de 1,5 kn/m ) Esf. Actuante Cone Tirante estribos: 1 E 8 / c,máx Rd não arm. Rd,c' Rd,s Rd arm. % Cobertura SOBR 0, ,34 C10 1, ,13 EC 0, ,88 REBAP 0, ,63 Quadro 5. Laje assimétrica apoiada em pilar de bordo e alinhada pelo mesmo (6x6x3x0.15; espessura
