Równania Różniczkowe Liniowe Rzędu Pierwszego - E-sgh

Transcript

Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Jacek Kłopotowski Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 18 kwietnia 2017 Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Wstęp Definicja Równanie różniczkowe dy + p (x) y = q (x) dx nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) ≡ 0, to równanie (1) czyli równanie dy + p (x) y = 0 nazywamy równaniem jednorodnym, w dx przeciwnym przypadku równanie (1) nazywamy równaniem niejednorodnym. Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (1) Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Równania różniczkowe jednorodne Równanie różniczkowe jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych i rozwiązujemy je metodą przedstawioną na poprzednim wykładzie. Przykład Rozwiążemy równanie różniczkowe jednorodne Jacek Kłopotowski dy + x 3 y = 0. dx Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Równania różniczkowe jednorodne Równanie różniczkowe jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych i rozwiązujemy je metodą przedstawioną na poprzednim wykładzie. Przykład Rozwiążemy równanie różniczkowe jednorodne Jacek Kłopotowski dy + x 3 y = 0. dx Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Metoda uzmienniania stałej Równanie różniczkowe niejednorodne dy + p (x) y = q (x) , dx gdzie funkcja q (x) nie jest tożsamościowo równa zeru, rozwiązujemy w ogólnym przypadku tzw. metodą uzmienniania stałej. Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Przykłady Przykład Rozwiążemy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne dy − xy = −x. dx Przykład Rozwiążemy równanie dy y − = 2x 2 . dx x Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Przykłady Przykład Rozwiążemy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne dy − xy = −x. dx Przykład Rozwiążemy równanie dy y − = 2x 2 . dx x Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Metoda przewidywania W przypadku równań niejednorodnych dy + p (x) y = q (x) , dx w których funkcja p (x) jest stała (p (x) = λ, gdzie λ 6= 0), zaś funkcja q(x) jest albo wielomianem, albo funkcją postaci α sin (ωx) + β cos (ωx), albo funkcją postaci αe ωx , albo sumą lub iloczynem funkcji tych trzech typów możemy stosować metodę przewidywania. Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Postać rozwiązania ogólnego Podstawą metody przewidywania jest poniższe twierdzenie. Twierdzenie Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Postać rozwiązania ogólnego cd Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego dy + λy = 0 dx jest funkcja yJ (x) = Ce −λx , a rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego dy + λy = q(x). dx jest funkcja yN (x) = Ce −λx + g (x), gdzie g (x) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Postać rozwiązania szczególnego W tabeli zestawiamy w postaci zbiorczej przewidywane rozwiązania dy szczególne równania + λy = q(x). dx Przewidywana postać Funkcja q(x) rozwiązania szczególnego (n, q, α, β, ω są dane) (szukamy g , γ, δ) q(x) – wielomian stopnia n g (x) – wielomian stopnia n q(x) = α sin (ωx) + β cos (ωx) g (x) = ( γ sin (ωx) + δ cos (ωx) γe ωx dla ω 6= −λ q(x) = αe ωx g (x) = αxe −λx dla ω = −λ suma lub iloczyn funkcji suma lub iloczyn funkcji Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Przykłady Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego dy + 3y = x 2 − 3x + 2. dx Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania dy − 2y = 3 sin (4x) . dx Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Przykłady Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego dy + 3y = x 2 − 3x + 2. dx Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania dy − 2y = 3 sin (4x) . dx Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Przykłady cd Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania dy + 2y = x + 5 sin x. dx Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania dy + 3y = 10x 2 cos 4x. dx Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Metoda uzmienniania stałej Metoda przewidywania Przykłady cd Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania dy + 2y = x + 5 sin x. dx Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania dy + 3y = 10x 2 cos 4x. dx Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Definicja równania Bernoulliego Definicja Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie dy + p (x) y + q (x) y a = 0, dx gdzie a ∈ R. Jeśli a = 0, równanie (2) jest równaniem liniowym pierwszego rzędu; jeśli a = 1, równanie (2) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego (2) Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Równanie Bernoulliego cd Jeśli a > 0, to funkcja stała y = 0 jest jednym z rozwiązań. Przyjmując, że y 6= 0, równanie dzielimy przez y a , otrzymując równanie dy 1 1 + p (x) a−1 + q (x) = 0. a dx y y Stosując podstawienie z = y 1−a , otrzymujemy dz 1 dy = (1 − a) a . dx y dx Podstawiając otrzymane zależności na zmienną z, otrzymujemy równanie liniowe 1 dz + p(x)z + q(x) = 0. 1 − a dx Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Przykłady Przykład Rozwiążemy przedstawioną metodą równanie jednorodne względem x iy dy y x − − = 0. dx x y Przykład Rozwiążemy równanie dy = y tg x − y 3 sin x. dx Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Równania różniczkowe jednorodne Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe Bernoulliego Przykłady Przykład Rozwiążemy przedstawioną metodą równanie jednorodne względem x iy dy y x − − = 0. dx x y Przykład Rozwiążemy równanie dy = y tg x − y 3 sin x. dx Jacek Kłopotowski Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego