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Esame di geometria e algebra — 28 febbraio 2013 — Traccia I
Laurea Ing. NOME
COGNOME
1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e1 −e2 , e3 , e4 ), K = L(e1 −e2 , e1 +e2 , e1 ). Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K. 2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t al variare del parametro reale h: x +hy +z +t = −1 2x +y +z +t = −1 hz +ht = −1 e lo si risolva, se `e possibile, per h = 1. 3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cos`ı definita f (x, y, z) = (x, 3x − 2y, −3x + 3y + z) (a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f `e surgettiva e/o ingettiva. (b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A `e diagonalizzabile. 4 Fissato nello spazio un riferimento metrico R(O, x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni, x=0 x=3 y = −t , t ∈ R rispettivamente r : , s: 2y + z − 2 = 0 z = 2t (a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene. (b) Determinare la distanza tra le due rette. (c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva x=t y = t2 − 1 , t ∈ R γ: z =1+t x=t y=0 attorno alla retta a : ,t ∈ R z = 1 − 2t 5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica C : x2 + y 2 − xy − 7x + 8y + 7 = 0 Classificare C e ridurla a forma canonica. Argomenti teorici • Dare la definizione di gruppo e di gruppo abeliano. Fornire esempi e controesempi. Dimostrare che in un gruppo l’unico elemento idempotente `e l’elemento neutro. • Dare le definizioni di autovalore e di autovettore di una matrice quadrata. Dimostrare che autovettori relativi a due autovalori distinti sono linearmente indipendenti. • Scrivere la definizione di minima distanza tra due rette sghembe nello spazio ordinario e mostrare un metodo per calcolarla. Traccia I — 1
Esame di geometria e algebra — 28 febbraio 2013 — Traccia II
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1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e3 −e4 , e1 , e2 ), K = L(e3 −e4 , e3 +e4 , e3 ). Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K. 2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t hx +y +z +t x +y +z +2t hy +hz
al variare del parametro reale h: =2 =2 =2
e lo si risolva, se `e possibile, per h = 1. 3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cos`ı definita f (x, y, z) = (3x + 2y, −x, −x − 2y + 2z) (a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f `e surgettiva e/o ingettiva. (b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A `e diagonalizzabile. 4 Fissato nello spazio un riferimento metrico R(O, x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni, x=3 x=0 y=t rispettivamente r : , s: ,t ∈ R 2y + z = 0 z = 2 − 2t (a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene. (b) Determinare la distanza tra le due rette. (c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva x = 1 − t2 y=t γ: ,t ∈ R z =1−t x=0 y=t attorno alla retta a : ,t ∈ R z = 1 + 2t 5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica C : x2 + y 2 − xy − 4x + 5y − 5 = 0 Classificare C e ridurla a forma canonica. Argomenti teorici • Dare la definizione di campo fornendo esempi e controesempi. Dimostrare che in un campo vale la legge di annullamento del prodotto. • Dare le definizioni di applicazione lineare e di nucleo di un’applicazione lineare. Dimostrare che un’applicazione lineare f : V → U `e ingettiva se e solo se il suo nucleo `e ridotto al vettore nullo. • Scrivere la definizione di parametri direttori di una retta e descrivere un modo per calcolarli a seconda di come viene rappresentata la retta. Traccia II — 1
Esame di geometria e algebra — 28 febbraio 2013 — Traccia III
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1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e1 −e3 , e2 , e4 ), K = L(e1 −e3 , e1 +e3 , e1 ). Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K. 2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t x +y +z +ht x +2y +z +t hx +hz
al variare del parametro reale h: = −2 = −2 = −2
e lo si risolva, se `e possibile, per h = 1. 3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cos`ı definita f (x, y, z) = (2x, −x + 2y − z, 2x + 4z) (a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f `e surgettiva e/o ingettiva. (b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A `e diagonalizzabile. 4 Fissato nello spazioun riferimento metrico R(O, x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni, x=3 x=0 rispettivamente r : , s: x − 2y − z − 1 = 0 x − 2y − z = 0 (a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene. (b) Determinare la distanza tra le due rette. (c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva x=1−t y=t γ: ,t ∈ R 2 z =1−t x = 1 + 2t y=t attorno alla retta a : ,t ∈ R z=0 5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica C : x2 + y 2 − xy − 8x + 7y + 7 = 0 Classificare C e ridurla a forma canonica. Argomenti teorici • Dare la definizione di spazio vettoriale V su un campo K. Dimostrare che, per ogni h ∈ K e per ogni v ∈ V si ha che hv = 0 se e solo se h = 0 oppure v = 0. • Scrivere le definizioni di applicazione lineare, di nucleo e di immagine di un’applicazione lineare. Enunciare il teorema della dimensione. Se dim(V) = dim(U) = n, dimostrare che un’applicazione lineare f : V → U `e ingettiva se e solo se `e surgettiva. • Scrivere la definizione di angolo tra una retta e un piano e descrivere un modo per determinarlo. Traccia III — 1
Esame di geometria e algebra — 28 febbraio 2013 — Traccia IV
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1 Denotata con {e1 , e2 , e3 , e4 } la base canonica di R4 , siano H = L(e1 −e4 , e2 , e3 ), K = L(e1 −e4 , e1 +e4 , e1 ). Determinare la dimensione di H + K e di H ∩ K. 2 Si discuta il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t x +hy +z +t x +y +2z +t hx +ht
al variare del parametro reale h: =1 =1 =1
e lo si risolva, se `e possibile, per h = 1. 3 Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare cos`ı definita f (x, y, z) = (x, −2x + y − 2z, 3x + 4z) (a) Determinare la dimensione di Im(f ) e di Ker(f ), stabilendo se f `e surgettiva e/o ingettiva. (b) Detta A ∈ M3 (R) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 , stabilire se A `e diagonalizzabile. 4 Fissato nello spazio un riferimento metrico R(O, x, y, z), si considerino le rette r ed s di equazioni, x=0 x=3 y=t rispettivamente r : , s: ,t ∈ R x + 2y + z − 5 = 0 z = −2t (a) Verificare che r ed s sono parallele e distinte e determinare il piano π che le contiene. (b) Determinare la distanza tra le due rette. (c) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie Q ottenuta dalla rotazione della curva x = t2 − 1 y = 1 + t ,t ∈ R γ: z=t x=0 y = 1 − 2t , t ∈ R attorno alla retta a : z=t 5 Fissato nel piano un riferimento metrico R(O, x, y), sia assegnata la conica C : x2 + y 2 − xy − 6x + 9y + 9 = 0 Classificare C e ridurla a forma canonica. Argomenti teorici • Scrivere la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale. Dimostrare che l’insieme S delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo Σ di m equazioni in n incognite `e un sottospazio vettoriale di Rn . • Scrivere la definizione di matrice diagonalizzabile. Enunciare un criterio di diagonalizzabilit`a. Spiegare per quale motivo una matrice A ∈ Mn (K) avente n autovalori distinti `e diagonalizzabile. • Scrivere la definizione di prodotto scalare tra vettori liberi di V3 e dimostrare la formula che consente di calcolare tale prodotto, note le componenti dei vettori rispetto ad una base ortonormale. Traccia IV — 1
