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1
Geometría Triángulo 4.
NIVEL BÁSICO 1.
Del gráfico, ABC es equilátero, además, CDE es isósceles de base CD. Halle x. B
Del gráfico m+n=x, calcule x.
20º
a
a
D
n
m
x
2 x
α
A
C
E
α
A) 80º
B) 90º
C) 60º
D) 140º 2.
A) 20º D) 50º
E) 160º
5.
B) 30º
C) 40º E) 60º
En el gráfico, ABC y ADC son isósceles de bases AC y AD, respectivamente. Halle x.
Del gráfico, halle x. B x
40º
100º
A
C
x
x
α
α
D
A) 150º
B) 140º
D) 120º 3.
C) 130º
A) 20º D) 40º
E) 110º 6.
Del gráfico, calcule a+b+m+n.
a
B
A) 90º D) 180º
α α
A n
B) 120º
C) 30º E) 35º
Según el gráfico, calcule x.
b
m α
B) 25º
2 x
x
β
β
C
α
C) 150º E) 270º
A) 60º D) 70º
B) 75º
C) 65º E) 50º
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Geometría 7.
Según la figura, calcule x. α
α
11.
β
β
A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30
75º 2θ
γ
θ
2 γ
x
A) 100º D) 130º 8.
B) 110º
En un triángulo ABC , AB=10 y BC =18; además, AC es el máximo valor entero par. Halle el semiperímetro de la región ABC .
C) 120º E) 140º
12.
Del gráfico adjunto, calcule x – y.
En un triángulo ABC , mS BAC > mS ACB, BC =5 y AC =8. Calcule la suma de los posibles valores enteros de AB. A) 3 D) 7
B) 4
60º ω
θ
y
C) 5 E) 6
θ θ
x
ω ω
NIVEL INTERMEDIO A) 30º D) 40º 9.
C) 35º E) 55º
En la figura, la m S BCA=60º. Calcule x. B
13.
x
x
β A
A) 120º D) 150º 10.
B) 20º
β C
B) 130º
C) 140º E) 110º
En un triángulo isósceles, la base es congruente con una de las bisectrices de los ángulos de igual medida. Halle la medida de uno de los ángulos interiores de dicho triángulo. A) 30º D) 36º
B) 32º
C) 34º E) 75º
En un triángulo rectángulo ABC recto en A se ubica el punto E en AB; en la región exterior relativa a la hipotenusa se ubica el punto Q, tal que EQ ∩ BC ={ P} y mSQPC – mS ACB=18º. Calcule la medida del menor ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos ABC y EPC . A) 30º D) 72º
14.
C) 36º E) 18º
En un triángulo ABC , mS BAC > mS ACB y AB=5. Calcule la suma del máximo y mínimo valor entero de AC si BC toma su mínimo valor entero. A) 8 D) 11
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B) 32º
B) 9
C) 10 E) 12
Geometría 18.
NIVEL AVANZADO 15.
Si AB= AC , AD= BD y m+n=200º, calcule x. B
x m C
A
A) 47º30’ B) 57º30’ C) 67º30’ D) 77º30’ E) 87º30’
n D
A) 5º
B) 10º
D) 20º
C) 15º E) 25º 19.
16.
En las prolongaciones de AB y CB de un triángulo ABC , recto en B, se ubican los puntos Q y P, respectivamente. En la prolongación de CA se ubica el punto F y en la prolongación de AC se ubica el punto G, tal que mS FAP=mS BCQ y mS PAB=mSQCG. Calcule la medida del ánguloformado por las bisectrices trazadas en los triángulos APC y AQC de los ángulos interiores de los vértices P y Q, respectivamente.
En un triángulo ABC en la región exterior
En un triángulo ABC , mS ABC > 90º, AB=6 y BC =8. Halle la suma de valores enteros de AC .
y relativa al lado BC se ubica el punto P, A) 14 D) 36
tal que AP=AB=BC . Calcule la mS APC si mS PAC =16º y mS ABC =28º. A) 8º
B) 10º
D) 14º 17.
C) 12º E) 16º
En la región exterior de un triángulo rectángulo ABC , relativo a la hipotenusa AC se ubica el punto P; luego en BC se ubica el punto Q, tal que AP=PQ=PC y mS BAC =4(mS APQ). Calcule la mS APQ. A) 18º D) 30º
B) 20º
C) 24º E) 36º
20.
B) 23
C) 25 E) 48
En un triángulo isósceles ABC , AB=BC ; en AB y BC se ubican los puntos N y L, respectivamente, de modo que mS ANL > 90º. Luego se traza la bisectriz LM del ángulo NLC ( M ∈ AC ). Calcule el mínimo valor entero de la medida del ángulo LMC . A) 29º B) 44º C) 45º D) 46º E) 31º
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Geometría Congruencia de triángulos 5.
NIVEL BÁSICO
En un triángulo ABC , la medida del ángulo interior de vértice C es la tercera parte de la medida del ángulo exterior del vértice B. Si la
1.
mediatriz de BC interseca a AC en M , AB=7 u y
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, la bisectriz interior trazada del vértice A intersecan a la perpendicular a la hipotenusa trazada por el vértice B, en el punto E . Si dicho punto dista 3 de BC y 4 de AC , calcule BE . A) 3 D) 6
B) 4
C) 5 E) 7
AC =12 u, halle BM – AM .
A) 1 u
B) 1,5 u
D) 2,5 u 6.
C) 2 u E) 5 u
En un triángulo ABC , mS ABC > 90º, las mediatrices de AB y BC intersecan a AC en M y N , respectivamente. Si mS ABC =q, halle mS MBN .
2.
Si BM=MC ; AB=2 DM . Calcule q. A) q /2 B
B) q – 45º
D) 2q – 180º
C) q – 90º E) 2q – 90º
3θº
M
7.
D
En la región exterior de BC de un triángulo ABC se ubica D, tal que mS ADC =90º,
θº
A
mS BAD=mSCAD=mS ACB=10º y AB=6 m.
C
Halle CD. A) 10 D) 18 3.
C) 15 E) 20
A) 12 m D) 3
En la región interior de un triángulo ADM se ubica L, tal que AL=DL, AD=LM y mS LAM =2(mS LMA). Si mS DLM =130º, calcule mS LMA. A) 13º D) 43º
4.
B) 12
B) 26º
B) 3
C) 2 E) 6
3
E) 3 m
3 m
En la región interior de un triángulo rectángulo AB=CE y mS EAC =mS BCE . Halle mS BAE .
A) 8º
B) 14º
D) 16º
C) 15º E) 53º/2
NIVEL INTERMEDIO 9.
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en la mediatriz de AC se ubica E , tal que AC =2( BE ). m S BCA Halle . (E está en la región exterior de m S EBC BC ). A) 1 D) 1/3
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C) 6 m
isósceles ABC recto en B se ubica E , tal que
C) 36º E) 30º
Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 3 . En su región interior se ubica un punto, desde el cual se trazan distancias hacia los lados del triángulo. Dichas distancias están en progresión aritmética. Calcule la suma de longitudes de la distancia menor y mayor. A) 3 3 D) 9/2
8.
B) 8 m
B) 2
C) 1/2 E) 3
Geometría 10.
En la prolongación de AC , de un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se ubica D, tal que AC =10, CD=1 y mS BDC =2(mS BAC ). Calcule mS BAC . A) 7º D) 37º/2
11.
B) 8º
B) 14º
15.
C) 14º E) 53º/2
En la región interior de un triángulo ABC , se ubica P, tal que AB=PC , mS APC =120º, mS ABP=60º y mS BAP=20º. Calcule mS BCP. A) 15º D) 10º
NIVEL AVANZADO Sobre AC , de un triángulo ABC , se ubica D, tal que mS ADB=30º, AD=BC y mS ABC =120º. Calcule mS BAC . A) 10º D) 20º 16.
C) 12º E) 9º
B) 15º
En un cuadrilátero convexo ABCD, AB=CD=1, mS BAD=30º, mSCDA=60º, AD = 1 + 3 . Calcule BC . A) 1
12.
En un triángulo ABC , donde AB=BC , se traza la ceviana interior CE , tal que mS ABC =40º, mS BCE =20º. Calcule AC/BE . A) 1
B) 2
C) 2 3 E) 3
D) 3
13.
A) D)
14.
B)
2
ab
2ab
C) E)
a+ b
a
2
+
b
18.
2 19.
2
90 – x
C
45+ x
A) 30º D) 25º
D
B) 10º
C) 20º E) 15º
20.
3 2
C) 120º E) 90º
En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD, tal que AD=BC , mS BAD=40º y mS BCD=20º. Calcule mS DBC . B) 6º
C) 10º E) 20º
Sobre AC , de un triángulo ABC , se ubica D, tal que BC =6, mS BDA=37º, mS BCD=53º/3 y
A) 16 D) 5
B
A
B) 140º
106º . mS=BAD= 3
Según el gráfico, AB=BC=AD. Calcule x.
C)
Sobre AC , de un triángulo ABC , se ubica D, tal que AD=BC , mS BAC =20º, mS ABD=10º. Calcule mS BCD. (mS BCD > 90º)
A) 5º D) 15º
2
2 2 b − a
2 2
E) 2
A) 150º D) 100º
En la región interior de un triángulo rectángulo, recto en B, se ubica K , tal que AK=KC=a, además, AC=b y mS AKC =4(mS BAC ). Calcule RB si R es punto medio de AK . a+ b
B)
D) 2 17.
C) 16º E) 40º
Calcule AD.
B) 7
C) 12 E) 8
Exteriormente relativo al lado AB de un triángulo ABC se ubica el punto P, tal que PB=BC . Calcule mS APB si mS BAC =2mS PAB=2aº y mS ACB=90º+aº. A) 100º D) 120º
B) 135º
C) 130º E) 150º
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Geometría Cuadriláteros 4.
NIVEL BÁSICO 1.
B
Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si las diagonales de un trapecio tienen igual longitud, entonces es isósceles. II. Si los lados de un cuadrilátero son congruentes, entonces es un cuadrado. III. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces es un paralelogramo. IV. Las diagonales de un trapecio isósceles son perpendiculares entre sí. A) VFFF D) VFVF
2.
B) FFVF
Q
A
D)
5.
C
40º
60º
A
M
A) 1/2 D) 5/13
N
B) 2/9
D
C) 3/7 E) 3/5
P N
B) 2
G
D
C) 3 3
5
2 2
E)
10
En un triángulo rectángulo ABC recto en C , se traza el cuadrado ABDE exteriormente al triángulo, y la bisectriz del ángulo ACB interseca a DE en F . Si EF =3( DF ), calcule mS ABC . A) 15º D) 30º
6.
x
F
M
A) 5
Del gráfico, ABCD es un trapecio y AM=MN=ND. Calcule x/y.
C
E
C) VVFF E) FFFV
B y
3.
En el gráfico mostrado ABCD, MNPQ y QEFG son cuadrados. Calcule BE/MN .
B) 18º30’
C) 26º30’ E) 37º
Se muestra un cuadrado ABCD cuyo centro es O, además, AMON es un trapecio isósceles cuyas bases están en la razón de 1 a 5. Halle mS CMN . B
C
En el gráfico, O es el centro del cuadrado ABCD. Si BP=DE , calcule x. B
P
M
C
A
O x A
A) 53º D) 30º
D
E
B) 37º
C) 45º/2 E) 15º
A) 106º B) 98º C) 92º D) 90º E) 82º
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O
N
D
Geometría 7.
Sean O y M el centro del cuadrado ABCD, y el punto medio de OC ; además, la mediatriz de AM interseca a AB y AD en P y N . Halle mS PON . A) 135º D) 106º
8.
B) 127º
A) 15º B) 30º C) 37º D) 53º/2 E) 37º/2
C) 120º E) 143º
En un cuadrilátero ABCD, AB=4, CD=6 y mS BAD+mS CDA=60º. Halle la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de BC y AD.
11.
Se sabe que BM = MC y AT =3. Calcule QC si ABCD, PQRD y ARST son cuadrados. M
B
C
Q
A) 1 D) 6
B) 2
C) 3 E) 7
P
R
NIVEL INTERMEDIO A
D
S 9.
Según el gráfico, ABCD y NPMQ son trapecios, y MCND es un paralelogramo. Si AD+BC – LP=8 cm, calcule QT . B
A) 3 D) 4
C
L
M
T
12.
P
Q
B) 7
C) 5 E) 3
2
Se muestran los rombos ABCD y OMNP. Si O es centro de ABCD y BM = MP=6, además, DP=2, calcule NP.
N
T
B
A
M
C
D
A) 10 cm D) 5 cm 10.
2
B) 4 cm
O
C) 8 cm E) 12 cm A
Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, ABOP es un romboide y APQR es un trapecio isósceles. Si AR=3( PQ), calcule x. B
13.
x O
A
D
P
Q
R
D
A) 3 D) 6
C
N
B) 4
P
C) 5 E) 8
Dado un romboide ABCD, la mediatriz de AC interseca a AC , y a AD en O y M , respectivamente. Se ubica el punto N en BC , tal que el cuadrilátero MONC es un trapecio isósceles. Calcule mS BCA. A) 15º D) 45º
B) 60º
C) 30º E) 75º
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Geometría 14.
Se tiene el cuadrilátero AFEC , tal que mS FAC =90º y AF=FE . Las prolongaciones de AF y CE se intersecan en B y las prolongaciones de FE y AC se intersecan en D. Si BE=EC=CD, calcule mS ABC .
III. Si las diagonales de dos trapecios isósceles son congruentes, dichos trapecios son congruentes. A) VVV
B) VFV
D) FFV A) 36º D) 52º/2
B) 45º
C) 60º E) 54
18.
C) VFF E) VVF
Se tiene un cuadrado ABCD. En BC y en la prolongación de AD se ubican los puntos F y E ,
NIVEL AVANZADO
respectivamente, tal que AFCE es un trapecio isósceles. FE ∩ CD={ M }. Calcule mS AFM si
15.
En la región exterior relativa al lado AD de un rectángulo ABCD se ubica E , tal que
FM=MA.
mS AEC =90º, AD=CE y mS AFB=53º/2. Halle mS BCE ( F=AD ∩ CE ).
A) 37º
A) 60º
B) 74º
C) 30º
D) 127º/2
B) 45º
D) 55º 19.
C) 53º E) 60º
En la región exterior relativa a AD de un trapecio ABCD ( BC // AD), se ubica el punto P, y en CD el
E) 143º/2
punto M , tal que BP=AP, CM=MD, AB+2 BC =24, 16.
En un cuadrado ABCD, sobre AD y su prolonga-
PM =10,
ción se ubican M y N , tal que MNP es equilátero, además, C está contenido en NP y el centro
3mS CDA=mS CMP+90º. Calcule mS BAD.
del cuadrado está en MP. Halle la razón de los perímetros de dichos polígonos regulares.
A) 53º/2
A) D) 17.
3
(
3 8
3
)
+1
B)
3 −1
C)
3
+1
3 −1 2
E) 3
4
D) 45º 20.
za BH ⊥ AD
C) 60º E) 53º
( H ∈ AD), BH ∩ AC ={ M }
y
mS BAC =2mS CAD. Calcule mSCDA si AM =3 y MC =10. A) 120º
I. Todo trapecio isósceles presenta simetría
B) 121º30’
axial. II. Si dos trapecios presentan bases congruen-
C) 122º30’ D) 123º30’ E) 124º30’
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B) 37º
y
Se tiene un paralelogramo ABCD y se tra-
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
tes, entonces son congruentes.
mS BAP=mS PBC =mS ADC
Geometría Circunferencia A) 127º B) 124º C) 121º D) 125º E) 120º
NIVEL BÁSICO 1.
Del gráfico, m AB = 70º . Calcule m MS.
B 4.
M
En el gráfico, OA=AB. Calcule x. x B
A
S
A O
A) 45º D) 60º 2.
B) 50º
C) 55º E) 65º
A) 30º D) 53º
En el gráfico mostrado, O es el centro de la circunferencia mostrada. Calcule m AB.
B) 37º
C) 45º E) 60º
5.
En el gráfico, OB=1 y BC=4. Calcule m AE .
A
50º
E
B
O
30º
A) 100º D) 140º 3.
A
B) 110º
C) 120º E) 160º
Según el gráfico, TD=3( AT ) y MN // AD. Calcule CDN .
O
A) 37º D) 60º 6.
B
B) 45º
C
C) 53º E) 74º
Del gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Si SP=4(OM ), calcule m AQ − m BQ.
P
C
45º
R
45º
S
B O M
A
T
M
D
0
N N
A
Q
A) 48º D) 78º
B) 58º
C) 68º E) 74º
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Geometría 7.
Se tienen dos circunferencias tangentes exteriores, cuyos radios se encuentran en la razón de 1 a 4. Calcule la medida del ángulo formado por las rectas tangentes comunes exteriores a dichas circunferencias.
11.
Si T es punto de tangencia, R=5 y halle AD .
OB
= 3
2,
A D O
A) 37º D) 74º 8.
B) 53º
C) 60º E) 76º
T
R
Del gráfico mostrado, M y N son puntos de tangencia. Halle m AN (3 R=8 r ).
82º
B
A
A) 53º/2 D) 7º
N r
R
12.
B) 15º
C) 16º E) 8º
Si C , D y T son puntos de tangencia, AB=BC y m DE = 40 º , halle mS BAC .
M
A
A) 37º D) 60º
B) 45º
C) 53º E) 69º
E B
NIVEL INTERMEDIO 9.
D
Se muestra una circunferencia de centro O cuyo radio mide 2 y OH =1. Halle m BE ( A y B son puntos de tangencia).
T
A) 20º B) 25º C) 30º D) 35º E) 40º
E
A) 37º B) 45º C) 53º D) 127º/2 E) 60º
H O
B
13.
En la figura, AM=MC y OB=BD. Calcule A
A
10.
Se tiene dos circunferencias tangentes interiores, cuya distancia entre sus centros es el doble de la longitud del radio de la menor de las circunferencias. Halle la medida del ángulo formado por las tangentes trazadas del centro de la mayor circunferencia hacia la menor. A) 30º D) 53º
B) 37º
C) 45º E) 60º
E M
C
O
A) 23º D) 65º
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C
B
B) 16º
D
C) 18º E) 24º
AE .
Geometría 14.
Se tiene una circunferencia C 1 tangente interior a la circunferencia C 2 en el punto T . Se ubican los puntos P y Q en C 1 y C 2, respecti vamente, y luego se trazan PL y QL tangentes a dichas circunferencias (TQ ∩ TP = { K } ). Si m PK = 40 º, calcule mS PLQ.
17.
A) 20º D) 40º
B) 30º
C) 10º E) 60º
A) 53º D) 180º
NIVEL AVANZADO 15.
De la figura, T es punto de tangencia. Si m AB 3 (m BNC ), 2 (m TE ) + m BC = 34º , calcule la m TD.
Dadas dos circunferencias tangentes exteriores en el punto T, se traza la tangente común exterior, que es tangente en A y B a las circunferencias mayor y menor, respectivamente. Luego se traza BT , cuya prolongación interseca a la circunferencia mayor en M . Calcule la medida del menor de los arcos determinados si la longitud del mayor de los radios es 2 y AB=3.
=
18.
B) 74º
C) 106º E) 100º
En una circunferencia de diámetro AB se traza internamente una circunferencia tangente a AB y AB en D y N . ( D está más próximo al vértice A). Si BD= AD+ AN , calcule DN .
A) 60º D) 120º
T
A
D
19.
E
Si A, B, D y T son puntos de tangencia, AO=BC , 2 m OBC
C N
16.
B) 18º
A) 30º B) 37º C) 60º D) 45º E) 53º
C) 24º E) 34º
En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia y m AB + mBC = θ. Calcule CD.
C) 90º E) 150º
L
B
A) 17º D) 30º
B) 75º
+
m BT = 180º ,
halle mS ACB. D
A
T
B
O
C A 20.
C B
D
A) q /2 D) 90º – q
B) q
C) 2q E) 180º – q
Se tienen 3 circunferencias, dos de las cuales son concéntricas, y la tercera es tangente a las circunferencias anteriores. Si los radios de las circunferencias menores miden 3 y 4, halle la longitud del radio de la circunferencia mayor. A) 7 ∨ 5 B) 5 ∨ 10 C) 10 ∨ 11 D) 11 ∨ 10 ∨ 7 E) 5 ∨ 10 ∨ 11
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Geometría Figuras inscritas y circunscritas 6.
NIVEL BÁSICO 1.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Todo trapecio es inscriptible. II. Todo trapecio es circunscriptible. III. Todo trapecio presenta simetría axial. A) V VV D) FFF
2.
B) FFV
C) FVF E) VVF
B) 2 K
B) 2
C) 1/2 E) 3
Halle la razón de las longitudes del inradio y circunradio de un tr iángulo equilátero.
A) 1 D)
3 3
B)
1 2
8.
C) E)
2 2 3 4
C) 4 E) 6
B) VVV V
C) VVFV E) FVFV
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AB=7, AC =25, M es el punto medio de BC y O es el centro de la circunferencia inscrita al ABC . Calcule m S BMO. A) 45º D) 53º/2
B) 37º
C) 30º E) 37º/2
NIVEL INTERMEDIO 9.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Todo cuadrilátero es inscriptible. II. Todo cuadrilátero es circunscr iptible. III. El centro de la circunferencia circunscrita a un cuadrilátero inscriptible siempre está en su región interior. A) V VV D) FVF
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B) 3
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si dos circunferencias son secantes y la suma de medidas de los arcos asociados a la cuerda común es 180º, entonces dichas circunferencias son ortogonales. II. Los ángulos opuestos en un cuadrilátero bicéntrico son suplementarios. III. Si dos circunferencias coplanares tienen un punto en común, entonces dichas circunferencias son tangentes. IV. Si un cuadrilátero es circunscriptible y exinscriptible, entonces dicho cuadrilátero es un trapezoide simétrico. A) FFVF D) FVVF
C) K E) K /4
En un cuadrilátero inscriptible ABCD, BC=CD. m S BAC Halle . m SCAD A) 1 D) 1/3
5.
7.
C) FVV E) FFV
Se tiene un trapecio ABCD circunscriptible. Si AB+CD= K , halle la longitud de la base media ( BC // AD). A) 4 K D) K /2
4.
A) 2 D) 5
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Todos los paralelogramos son inscriptibles. II. El rombo es inscriptible. III. El rectángulo es inscriptible. A) FFF D) FVV
3.
B) VFV
Se tiene un hexágono circunscrito ABCDEF tal que AB=2, BC =3, CD=4, DE =5 y EF =6. Halle AF .
B) VVF
C) VFV E) FFF
Geometría 10.
En un cuadrilátero ABCD, las mediatrices
14.
de BC , CD y AD son concurrentes en E . Si la m S ADC =q, halle m S ABC .
En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule x. x
A) q D) 90º – q 11.
B) 2 q
P
C) 3q E) 180º – q
En un cuadrilátero ABCD, las bisectrices de sus ángulos interiores son concurrentes en E . Indique qué cuadrilátero es aquel cuyos vértices
Q
A) 20º D) 50º
so los puntos de intersección de las mediatrices de AE , BE , CE y DE .
13.
15.
Se tiene un cuadrado ABCD, en AB se ubica M , tal que AM =1 y MB=3. Halle la razón entre las longitudes de los radios de la circunferencia inscrita en el BCM , y aquella que es tangente a AD, CD y CM . A) 1/2 D) 4/5
B) 2/3
C) 40º E) 70º
Un triángulo rectángulo ABC (recto en B) está inscrito en una circunferencia de radio R. Si los radios de las circunferencias máximas inscritas en los segmentos circulares determinados por AB y BC son r 1 y r 2; además, el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC es r , calcule R. A) r 1+ r 2+ r B) 2( r 1+ r 2+ r ) C) r +3( r 1+ r 2) D) 3 r – ( r 1+ r 2) E) r +2( r 1+ r 2)
C) 3/4 E) 1/3
Respecto a un cuadrado, indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) según los siguientes enunciados. I. Es inscriptible. II. Es cricunscriptible. III. Es bicéntrico. IV. La razón de su inradio y circunradio es 1/2.
16.
En un cuadrilátero ABCD, M es la intersección de AC y BD, mS DBC =2(mS BDC ) y mS ADC =mS ABC =90º. Si AB+ BC + AD= k, halle el perímetro de la región ABM . A) 30º D) 60º
17.
A) VVVV B) VVFF C) VVVF D) VVFV E) VFVV
B) 25º
NIVEL AVANZADO
A) romboide B) rombo C) inscriptible D) bicéntrico E) circunscriptible 12.
70º
B) 45º/2
C) 45º E) 90º
En el triángulo rectángulo ABC recto en B, mS ACB=37º y la mediatriz de AC interseca a la circunferencia inscrita en M y N . Halle m MN .
A) 90º D) 60º
B) 74º
C) 53º E) 120º
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Geometría 18.
En un triángulo rectángulo ABC recto en B,
D) 2
AB=5, BC =12, además, se traza una recta per-
E) 3 3
13
pendicular a AC y tangente a la circunferencia inscrita en E . Halle mS ACE .
20.
Sea O el centro de la circunferencia inscrita al cuadrilátero bicéntrico ABCD, y M , N , P y Q los
A) 7º
B) 8º
D) 15º
C) 14º
puntos de tangencia de dicha circunferencia
E) 16º
con AB, BC , CD y AD. Si AO, BO, CO y DO intersecan a QM , MN , NP y PQ en R, S, T y U , respec-
19.
Halle la longitud del circunradio del trapecio cuyas bases miden 2
3 y 6 3 ;
tivamente. Indique qué cuadrilatero es RSTU .
y un lado lateral
mide 4.
A) romboide B) rombo
A) 6 B) 2 C)
C) rectángulo 6
D) cuadrado
13
E) trapecio
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Geometría Puntos notables asociados al triángulo A) 37º D) 37º/2
NIVEL BÁSICO 1.
En un triángulo ABC , denote con I al incentro y con O a la intersección de la bisectriz interior del ángulo A con la bisectriz exterior del ángulo C . Si mS AIC +mSCOA=150º, halle mS COA. A) 15º D) 60º
B) 30º
5.
C) 40º E) 75º
B) 45º
C) 30º E) 53º/2
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 2( AB)=3( BC ), además, G es el baricentro del ABH . ( BH es la altura relativa a AC ). Si M es el punto medio de BC , halle mSGMH . A) 30º D) 53º
B) 37º
C) 45º E) 60º
UNI 2010 - I 6. 2.
En un triángulo acutángulo PQR, I es el incentro, O es el ortocentro y C es el circuncentro. Si mS POR=mS PCR, calcule mS PIR. A) 30º D) 135º
B) 45º
A) 20º D) 35º
C) 120º E) 150º 7.
3.
Se muestra un rombo ABCD. Halle mS BPC . B
C
α
θ
En un triángulo acutángulo ABC , de incentro I , se ubica E en BC , tal que AIEC es un trapecio isósceles. Si AB=IC , halle mS ACB.
P
B) 25º
C) 30º E) 40º
En un triángulo acutángulo ABC , H y O son el ortocentro y circuncentro, respectivamente. Si M es el punto medio de AC y BH =6, halle la distancia entre los puntos medios de BM y OH . A) 1 D) 2,5
B) 1,5
C) 2 E) 3
2α 4θ
A
D
A) 100º D) 135º 4.
8.
B) 106º
C) 120º E) 150º
A) 76º D) 53º
Del gráfico, I es el incentro del ABC , BM = MC . Calcule mS BMI .
B) 74º
C) 60º E) 45º
NIVEL INTERMEDIO
A
9.
I
53º B
En un cuadrado ABCD, halle la medida del ángulo determinado por las tangentes trazadas desde el incentro del ABC hacia la circunferencia inscrita en el ADC .
M
C
En un triángulo acutángulo ABC , la bisectriz del ángulo exterior de vértice B es paralela a la recta de Euler. Halle mS ABC . A) 30º D) 90º
B) 45º
C) 60º E) 120º
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Geometría 10.
Si B y C son puntos de tangencia y
AB = θ ,
13.
halle x.
En un triángulo acutángulo ABC , la distancia del ortocentro H a B es 4 y la distancia del punto medio de HO a AC es 5 (O es el circuncentro del triángulo ABC ). Si en dicho triángulo se traza la altura AM y mS BHM =37º, calcule AC .
C
A) 18 B) 20 C) 19 D) 21 E) 22
B A x
14.
A) q D)
11.
B) 2q
q
3
C) E)
q
Si G es el baricentro del halle BE .
ABC ,
= 90 º, m BM
2 2q
B
3
M
En un triángulo ABC , la circunferencia inscrita en ABC es tangente a AB, BC y AC en M , N y P, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos BAC y ACB se intersecan en I , e intersecan a MN en D y E . Indique qué punto notable es I del DPE .
E
G
A
C
B) 53º/2
D) 45º
A) incentro B) ortocentro C) circuncentro D) baricentro E) excentro 12.
A) 37º/2
C) 37º E) 53º
NIVEL AVANZADO 15.
En un triángulo acutángulo ABC , M , N y P son puntos medios de AB, BC y AC , respectivamente. Si H y O son el ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC , L es punto medio de MN , calcule HP/OL. A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. El baricentro siempre pertenece a la región interior de una región triangular. II. Solo existen 3 puntos en el plano, que equidistan de los lados de un triángulo. III. El circuncentro de un triángulo puede ser un vértice. IV. En un triángulo, dos de sus excentros y un vértice son colineales. A) VVVV D) VFFV
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B) VFVF
C) FVFV E) FVVF
Geometría 16.
En un triángulo ABC se ubica el punto P interior al triángulo, tal que la mS ABP=2a, m S PBC =6a, mS BCP=mS PCA=4b, mS BAP=2b y β + 2α mS PAC =6b. Halle . 3β + 4α A) 6/7 D) 3/7
17.
B) 5/7
A) q
B)
D) 2q
18.
2
C) E)
q
En un triángulo ABC , donde mS ABC =80º, se ubica D en BC , tal que mS BAD=2(mSCAD), además, BE y DE intersecan a AD y AC en M y N , respectivamente. Calcule mS NMD ( E es el
excentro del
C) 4/7 E) 2/7
En un triángulo acutángulo ABC , H , G y O son su ortocentro, baricentro y circuncentro, respectivamente, tal que mS ABC +mS HBG=q. Halle la medida del ángulo entre AO y BG . q
19.
ABD).
A) 80º B) 70º C) 60º D) 50º E) 40º 20.
Si O es el circuncentro del triángulo ABC , AM =ON , BN =OM , halle x en función de m y n.
4
N
2q 3
B
En un triángulo acutángulo ABC , cuyo circuncentro es O, las mediatrices de AO, BO y CO se intersecan entre sí, en los puntos M , N y P. ¿Qué punto notable es O del MNP?
O x m
A) baricentro B) incentro C) ortocentro D) circuncentro E) excentro
n
A
A)
M
m + n
B)
2
D) m – 2 n
m
−
2
n
C
C) 2 m – n E) m – 3 n
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