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4.4 COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN* REPASO DE MATERIAL ● Repaso de los teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1).
INTRODUCCIÓN Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea
−− ⋯ = ,,
1
se debe hacer dos cosas:
y • encontrar alguna solución particular de la ecuación no homogénea (1). • encontrar la función complementaria
=
Entonces, como se explicó en la sección 4.1, la solución general de (1) es . La función complementaria es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir,
−− ⋯ = 0. En la sección 4.3 vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran constantes. Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones particulares. *Nota para el profesor: En esta sección el método de coeficientes indeterminados se desarrolla desde el punto de vista del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7.1). En la sección 4.5 se presentará un método totalmente diferente que utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Elija el que convenga.
MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS La primera de las dos formas que se
consideran para obtener una solución particular de una ED lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados. La idea fundamental detrás de este método es una conjetura acerca de la forma de , en realidad una intuición educada, motivada por las clases de funciones que forman la función de entrada El método general se limita a ED lineales como (1) donde • los coeficientes coeficientes son constantes y • es una constante una función polinomial, una función exponencial , una función seno o coseno o o sumas finitas y productos de estas funciones.
.
, = 0,1,.. ,1,..., ., ,
NOTA Estrictamente hablando,
=
(constante) es una función polinomial. Puesto que probablemente una función constante no es lo primero en que se piensa cuando se consideran funciones polinomiales, para enfatizar continuaremos con la redundancia “funciones constantes, polinomios, . . . ”. Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas para esta descripción:
que son apropiadas
=10, = 5, =1568− , = 3 3 5 2, 2, = 3 3 1− . Es decir,
es una combinación lineal de funciones de la clase
= −− ⋯ , , , donde es un entero no negativo y y son números reales. El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la forma (1) cuando
= , = 1 , =tan, =−, etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada es una función de esta última clase se consideran en la sección 4.6.
El conjunto de funciones que consiste en constantes, polinomios, exponenciales , senos y cosenos tiene la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales , senos y cosenos. Debido a que − la combinación lineal de derivadas − debe ser idéntica a parece razonable suponer que tiene la misma forma que
,
⋯ .
En los dos ejemplos siguientes se ilustra el método básico.
EJEMPLO 1 Solución general usando coeficientes indeterminados
4 2 2 = 2 3 6.
Resuelva
2
4 2=0. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar 4 2 = 0 son =2 √ 6 y =2 √ 6 . Por tanto, la función complementaria es = −(+√ ) (−+√ ) . Paso 2. Ahora, debido a que la función es un polinomio cuadrático, supongamos una SOLUCIÓN Paso 1. Se resuelve primero la ecuación homogénea asociada
solución particular que también es de la forma de un polinomio cuadrático:
= . Se busca determinar coeficientes específicos , , y para los cuales es una solución de (2). Sustituyendo y las derivadas ′ =2 ′′ = 2 en la ecuación diferencial (2), se obtiene
′′ ′ 2 =2842 22=2 3 6. Como se supone que la última ecuación es una identidad, los coeficientes de los exponentes semejantes a deben ser iguales:
Es decir,
2=2, 82=3, 242=6
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen los valores una solución particular es
= 1, = y =9. Así,
= 52 9. Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
= = −(+√ ) (−+√ ) 52 9 EJEMPLO 2 Solución particular usando coeficientes indeterminados Encuentre una solución particular de
= 2 3.
SOLUCIÓN Una primera suposición natural para una solución particular sería
3
debido a que las derivadas sucesivas de producen solución particular que incluye ambos términos:
3. Pero
3 y 3, se puede suponer una
= 3 3. Derivando reagrupar,
y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene, después de ′′ = 83cos3 38 3 = 2 3
Del sistema de ecuaciones resultante,
83=0, 38=2, se obtiene
= y = . Una solución particular de la ecuación es = 736 cos3 16 73 3.
Como se mencionó, la forma que se supone para la solución particular es una intuición educada; no es una intuición a ciegas. Esta intuición educada debe considerar no sólo los tipos de funciones que forman a sino también, como se verá en el ejemplo 4, las funciones que conforman la función complementaria .
por superposición Resuelva 2 3=456 . EJEMPLO 3 Formando
SOLUCIÓN Paso 1. Primero, se encuentra que la solución de la ecuación homogénea asociada
2 3=0 es = − .
45 en indica que la solución particular incluye un polinomio lineal. Además, debido a que la derivada del producto produce y , se Paso 2. A continuación, la presencia de
supone también que la solución particular incluye tanto a es la suma de dos clases básicas de funciones:
como a . En otras palabras,
= =. Por lo que, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.1.7) indica que se busca una solución particular
= , donde = y = . Sustituyendo en la ecuación (3) y agrupando términos semejantes, se obtiene
2 3 =3233 23 =456.
4
De esta identidad obtenemos las cuatro expresiones
3=4, 23=5, 3=6, 23=0. = , = , =2
La última ecuación en este sistema es resultado de la interpretación de que el coeficiente de en el miembro derecho de (4) es cero. Resolviendo, se encuentra que y
= . Por tanto,
= 43 239 2 43 Paso 3. La solución general de la ecuación es
= − 43 239 2 43. En vista del principio de superposición (teorema 4.1.7) se puede aproximar también el ejemplo 3 desde el punto de vista de resolver dos problemas más simples. Se debe comprobar que sustituyendo
= 2 3=45 = 2 3=6 y =2 . Entonces, una solución particular de se obtiene, a su vez, = (3) es = . En el siguiente ejemplo se ilustra que algunas veces la suposición “obvia” para la forma de no es una suposición correcta.
EJEMPLO 4 Una falla imprevista del método Encuentre una solución particular de
SOLUCIÓN Derivando
5 4=8.
no se obtienen nuevas funciones. Así, si se procede como se hizo en
los ejemplos anteriores, se puede suponer razonablemente que una solución particular de la . Pero sustituir esta expresión en la ecuación diferencial da como resultado la forma , por lo que claramente se hizo la conjetura equivocada para . expresión contradictoria
=
0=8
= .
Observe La dificultad aquí es evidente al examinar la función complementaria ya está presente en . Esto significa que es una solución de la que la suposición cuando se sustituye en la ecuación diferencial homogénea asociada y un múltiplo constante ecuación diferencial necesariamente da cero. ¿Entonces cuál debe ser la forma de ? Inspirados en el caso II de la sección 4.3, vemos que sí se puede encontrar una solución particular de la forma
= . Sustituyendo = y = 2 en la ecuación diferencial y simplificando, se obtiene
5 4 =3 = 8 De la última igualdad se ve que el valor de ahora se determina como = . Por tanto, una solución particular de la ecuación dada es = . La diferencia en los procedimientos usados en los ejemplos 1 a 3 y en el ejemplo 4 indica que se consideran dos casos. El primer caso refleja la situación en los ejemplos 1 a 3.
CASO I Ninguna función de la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.
En la tabla 4.1 se muestran algunos ejemplos específicos de en (1) junto con la forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da por sentado que ninguna función de la solución particular supuesta se duplica por una función en la función complementaria .
TABLA 4.1 Soluciones particulares de prueba
EJEMPLO 5 Formas de soluciones particulares. Caso I Determine la forma de una solución particular de
SOLUCIÓN
8 25=5− 7− ′′ 4 = a) Se puede escribir =5 7 − . Usando el elemento 9 de la tabla como
modelo, suponemos una solución particular de la forma
= − . Observe que no hay duplicación entre los términos en y los términos en la función complementaria = 3 3. b) La función = es similar al elemento 11 de la tabla 4.1 excepto, por supuesto, que se usa un polinomio lineal en vez de uno cuadrático y en lugar de 4 y 4 en la forma de : = . Nuevamente observe que no hay duplicación de términos entre y = 2 2. Si consiste en una suma de, digamos, términos de la clase listada en la tabla, entonces (como en el ejemplo 3) la suposición para una solución particular consiste en la suma de las formas de prueba , ,..., correspondientes a estos términos: = ⋯ El enunciado anterior se puede escribir de otra forma:
La forma de es una combinación lineal de las funciones linealmente independientes que se generan mediante derivadas sucesivas de . EJEMPLO 6 Formación de por superposición. Caso R eg la de forma para el cas o
Determine la forma de una solución particular de
9 14=3 5 2 7. SOLUCIÓN
3 le corresponde = . Se considera que a 5 2 le corresponde = 2 2. Se supone que a 7 le corresponde = . Se supone que a
Entonces la presunción para la solución particular es
= = 2 2= En esta suposición ningún término duplica un término de = . CASO II Una función en la solución particular supuesta también es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. El siguiente ejemplo es similar al ejemplo 4.
Encuentre una solución particular de 2 = . EJEMPLO 7 Solución particular. Caso
. Como en el ejemplo 4, la suposición = = falla, puesto que es evidente de que es una solución de la ecuación homogénea asociada 2 = 0. Además, no es posible encontrar una solución particular de la forma = , ya que el término también se duplica en . A continuación se prueba = . Sustituyendo en la ecuación diferencial dada se obtiene 2 = , así = . Así una solución particular es = . Nuevamente suponga que consiste en términos de la clase que se proporciona en la tabla SOLUCIÓN La función complementaria es
4.1 y suponga además que la presunción usual para una solución particular es
= ⋯ , = 1,2,...,
donde las son las formas de solución particular de prueba correspondientes a estos términos. Bajo las circunstancias descritas en el caso II, se puede formar la siguiente regla general.
Si alguna contiene términos que duplican los términos de , entonces esa se debe multiplicar por , donde es el entero positivo más R eg la de multiplicación para el cas o
pequeño que elimina esa duplicación.
EJEMPLO 8 Un problema con valores iniciales Resuelva
= 4 10 , =0, = 2.
SOLUCIÓN La solución de la ecuación homogénea asociada
= 0
= =
es x. Debido a que es la suma de un polinomio lineal y una función seno, la suposición normal para , de las entradas 2 y 5 de la tabla 4.1, sería la suma de y
= 4 10 = cos : = . 5 Pero hay una duplicación obvia de los términos y en esta forma supuesta y dos términos de la función complementaria. Esta duplicación se elimina simplemente multiplicando por . En lugar de (5) ahora se usa = . 6 Derivando esta expresión y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene
= 2 = 4 10 . y por tanto = 4, = 0,2 = 10, y 2=0. Las soluciones del sistema son inmediatas: = 4,=0,=5, y = 0. Por tanto de la ecuación (6) se obtiene = 4 5 . La solución general de la ecuación es
= = 4 5 .
Ahora se aplican las condiciones iniciales prescritas a la solución general de la ecuación. Primero, produce puesto que y Ahora, de la derivada
= 4 5 = 0 = 9 = 1 = 0. = 9 cos 4 5 5 y
= 9 cos 4 5 5 = 2
encontramos
= 7. La solución del problema con valores iniciales es entonces = 9 7sen 4 5
EJEMPLO 9 Uso de la regla de multiplicación Resuelva
6 9=6 212.
SOLUCIÓN La función complementaria es
= . Y así, con base en los elementos
3 y 7 de la tabla 4.1, la suposición usual para una solución particular sería
=
La inspección de estas funciones muestra que un término en se duplica en aún es parte de . Pero multiplicando multiplicamos por se nota que el término se eliminan las duplicaciones. Así la forma operativa de una solución particular es
,
. Si por
= . Derivando esta última forma y sustituyendo en la ecuación diferencial, agrupando términos semejantes se obtiene
6 9 =9 12 92692 = 6 212. De esta identidad se tiene que = , = , = y =6. Por tanto la solución general = es = 6 . EJEMPLO 10 ED de tercer orden. Caso Resuelva = . SOLUCIÓN De la ecuación característica = 0 encontramos que = = 0 y = 1. Así la función complementaria de la ecuación es = − . Con = , se ve de la entrada 10 de la tabla 4.1 que se debe suponer
= . Debido a que no hay funciones en yp que dupliquen las funciones de la solución complementaria, procedemos de la manera usual. De
= 24 42 =
24=1 y 42=0. De este sistema se obtiene = y = , así que una solución particular es = cos . La solución general de la ecuación es = = − 101 cos 15 . EJEMPLO 11 ED de cuarto orden. Caso Determine la forma de una solución particular de = 1 − . SOLUCIÓN Comparando = − con la suposición normal para una se obtiene
solución particular
=− − − ,
vemos que las duplicaciones entre y se eliminan cuando , se multiplica por multiplica por Así la suposición correcta para una solución particular es
.
y se
= − − − , COMENTARIOS i ) En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide resolver problemas con valores iniciales y en los problemas 37 a 40 se pide resolver problemas con valores en la frontera. Como se muestra en el ejemplo 8, asegúrese de aplicar las condiciones iniciales o condiciones en la frontera a la solución general . Los estudiantes con frecuencia cometen el error de aplicar estas condiciones sólo a la función complementaria porque ésta es la parte de la solución que contiene las constantes .
= , ,...,
ii ) De la “Regla de la forma para el caso ” de la página 145 de esta sección, se ve por qué el método de coeficientes indeterminados no es muy adecuado para ED lineales no homogéneas cuando la función de entrada es algo distinta de uno de los cuatro tipos básicos resaltados en color azul en la página 141. Por ejemplo, si es un polinomio, entonces la derivación continua de genera un conjunto independiente que contiene sólo un número finito de funciones, todas del mismo tipo, en particular, un polinomio multiplicado por o un polinomio multiplicado por . Por otro lado, la derivación sucesiva de funciones de − genera un conjunto independiente que contiene un entrada como o número infinito de funciones:
= =
2 ,…, : 1 , 1 , 1 2 26 − : 1 , 1 , 1 ,…. EJERCICIOS 4.4 En los problemas 1 a 26 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
. 3 2=6
Solución:
. 4 9=15 Solución:
. 10 25=303 Solución:
. 6=2 Solución:
. 14 = 2 Solución:
. 8 20=100 26 Solución:
. 3=48 Solución:
. 4 4 3=cos2 Solución:
. = 3 Solución:
. 2 =25− Solución:
. 14 = 3 / Solución:
. 16=2 Solución:
. 4 = 3 2 Solución:
. 4= 3 2 Solución:
. = 2 Solución:
. 5 = 2 4 x 6 Solución:
. 2 5= cos2 Solución:
. 2 2=cos 3 Solución:
. 2 = 3cos2 Solución:
. 2 24=16 2 Solución:
. 6 =3cos Solución:
. 2 4 8=6 Solución:
. 3 3 = 4 Solución:
. 4 4 = 5 Solución:
. 2 =1 Solución:
. =42− Solución:
En los problemas 27 a 36 resuelva el problema con valores iniciales dado.
. 4 4 = 2, 8 = 12 , ′8=2
Solución:
. 2 3 2=14 4 11, 0 = 0, ′0 = 0 Solución:
. 5 = 2, 0 = 0, 0=10 Solución:
. 4 4= 3 − , 0 = 2, ′0 = 5 Solución:
. 4 5=35− , 0 = 3, ′0 = 1 Solución:
. = cosh, 0 = 2, ′0 = 12 Solución:
. = , 0 = 0, ′0 = 0
Solución:
. = , 0 = 0, ′0 = 0 Solución:
. 2 =224 40, 0 = 12 , 0 = 52 , 0 = 92 Solución:
. 8=258− , 0 = 5, 0 =3, 0 = 4 Solución:
En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado.
. = 1, 0 = 5, 1 = 0 Solución:
. 2 2 = 2 2, 0 = 0, = Solución:
. 3 = 6, 0 = 0, 1 ′1=0 Solución:
. 3 = 6, 0 ′0 = 0, 1 = 0 Solución:
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores iniciales dado en el que la función de entrada es discontinua. [Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y después encuentre una solución tal que y sean continuas en (problema 41) y en (problema 42).]
′
=/2
. 4=, 0 = 1 , 0 = 2, donde = { ,0, 0 ≤> /2≤ /2 Solución:
. 2′10=, 0 = 0 , 0 = 0, donde = 20,0, 0 ≤> ≤ Solución:
=
Problemas para analizar
= , donde ,, y son constantes. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociada es = 0. a) Si no es una raíz de la ecuación auxiliar, demuestre que se puede encontrar una solución particular de la forma = , donde = 1/ . b) Si es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad uno, muestre que se puede encontrar una solución particular de la forma = , donde = 1/2 . Explique cómo se sabe que ≠/2. c) Si es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad dos, demuestre que podemos encontrar una solución particular de la forma = , donde = /2 . 43. Considere la ecuación diferencial
Solución:
44. Explique cómo se puede usar el método de esta sección para encontrar una solución particular de Solución:
= 2. Lleve a cabo su idea.
45. Sin resolver, relacione una curva solución de una de las siguientes funciones:
= 1, = , = ,
= que se muestra en la figura con
= − , = 2, = .
Analice brevemente su razonamiento.
a)
FIGURA 4.4.1 Curva solución. Solución:
b)
FIGURA 4.4.2 Curva solución. Solución:
c)
FIGURA 4.4.3 Curva solución. Solución:
d)
FIGURA 4.4.4 Curva solución. Solución:
Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 46 y 47 determine una solución particular de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para realizar las derivadas, simplificaciones y álgebra.
. 4 8= 2 3 2 10 1 2 Solución:
. 2 = 2 3 Solución:
