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Dept. Física Fundamental, UNED
Apartado de Correos 60.141
28080 Madrid
Tel: 91 398 7140
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
EDUCACIÓN A DISTANCIA
Departamento de Física Fundamental
Madrid, 14 de noviembre de 2002.
Estimado/a alumno/a:
Con esta carta le adjuntamos el material complementario de la Primera Prueba Personal de la asignatura
de Física Cuántica (3º curso de Ciencias Físicas), opción A. Esta opción es la recomendada para los alumnos que
se propongan cursar la especialidad de Física Industrial. Después de los exámenes de febrero recibirá otro envío,
correspondiente a la Segunda Prueba Personal. Debe usted trabajar debidamente este material complementario, así
como las propuestas de ejercicios y los ejercicios resueltos.
Además de la presente carta, el envío consta de:
- Una pequeña guía de estudio, en la que se recalcan los puntos más importantes de los temas de esta parte de la
asignatura. Se incluyen complementos que debe usted estudiar.
- Una colección de problemas resueltos, algunos de ellos del texto-base (Física Cuántica, de Eisberg y Resnick,
Editorial Limusa).
- Un examen modelo, mezcla de varios propuestos en cursos anteriores, resuelto con bastante detalle para que usted
vea cómo debe explicar los pasos que realiza en un examen. Además, se le incluye la solución del examen de la
primera prueba personal de septiembre de 2000.
- Una pequeña lista de términos habituales de Física Cuántica en inglés, junto con los términos utilizados en la
traducción del texto-base y otras posibles alternativas a dichos términos que también se usan en español.
- Una pequeña lista de términos que, en nuestra opinión, están mal traducidos en el texto. Tenga en cuenta esta lista
al estudiar los temas, porque puede ayudarle a entenderlos mejor.
Quisiéramos comentarle una serie de puntos que nos parecen de interés para ayudarle a estudiar la
asignatura.
MATERIAL DE ESTUDIO
Los textos-base sirven para fijar los contenidos y el nivel del temario de la asignatura, pero no son los
únicos textos que usted puede y debe consultar en los casos de duda o en caso de necesitar ampliación de algún
tema. Le recomendamos que utilice más de un libro para asegurar sus conocimientos, pues cada alumno suele
encontrar más útil un libro que todos los demás, incluyendo los recomendados en la guía del curso.
Para estudiar la Relatividad que usted necesita para el curso, una buena elección es el libro de Mecánica
de la colección de Berkeley (texto-base de la asignatura Mecánica y Ondas de segundo curso). También puede
consultar el nuevo libro de Alonso y Finn, en único volumen (Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995; en
inglés tiene el título de Physics). Como mínimo, debe usted estudiar el apéndice A del libro de Eisberg y Resnick
para tener las nociones básicas de Relatividad que se van a utilizar en el curso.
En particular, además de los textos-base y de los textos mencionados en la Guía del curso, son libros
recomendables para trabajar con ellos durante el estudio de toda la asignatura:
1.- Como libro de apoyo, cualquier buen libro de Física que incluya tanto temas de Relatividad como de Física
Cuántica. Este libro de consulta debe tenerlo siempre a mano para resolver dudas o puntos que no recuerda con
precisión. Un texto que incluye estos temas es el conocido libro de Alonso y Finn Física en tres volúmenes
(Addison-Wesley Iberoamericana o Fondo Educativo Interamericano): la Relatividad está tratada en el primer
volumen y la Física Cuántica en el tercero. Note que este último volumen es texto-base de la asignatura. También
puede utilizar como libro de consulta el nuevo texto de los mismos autores en único volumen (Alonso y Finn,
Física, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995), aunque profundiza menos en los distintos temas.
2.- Para completar la discusión del texto-base, con un enfoque alternativo de la Física Cuántica y una buena
colección de problemas (no resueltos, pero muchos con la solución al final del libro), puede utilizarse el texto de
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French y Taylor, Introducción a la Física Cuántica (Editorial Reverté) y quizás el libro de Wichmann Física
Cuántica (Curso de Física de Berkeley, vol. 4, editorial Reverté)
En todo caso, antes de decidirse a comprar algún libro le recomendamos que lo consulte en alguna de las
bibliotecas de las que estén a su alcance.
Los libros de problemas resueltos pueden ser de ayuda para iniciarse en los temas, pero creemos que la
colección que le enviamos, junto con los ejemplos resueltos que están intercalados en los capítulos de los textos-
base, es suficiente. Sin embargo, queremos resaltar la importancia que en nuestra opinión tiene la dedicación del
alumno a la resolución personal de problemas no resueltos. Resolver problemas de manera independiente (pero
no estudiar solamente la solución) es la única manera de asegurarse que se dominan los conceptos y permite,
además, prepararse adecuadamente para las pruebas presenciales.
Las soluciones que se envían (excepto la del examen modelo) son en general muy breves y poco detalladas;
nuestro interés es recalcar la importancia de los principios físicos básicos, siendo usted el que debe desarrollar con
más cuidado cada uno de los pasos que se dan en dichos problemas.
EXÁMENES: INSTRUCCIONES PARA SU REALIZACIÓN
Como es habitual en esta asignatura, los problemas de los exámenes serán de nivel similar a los de los
libros de texto. Como ya le hemos comentado, en los problemas que nosotros le enviamos se omiten a veces pasos
intermedios, bien porque ya se han explicado en otros problemas o bien porque son suficientemente sencillos para
que el alumno pueda hacerlos por sí mismo. Evidentemente, estos pasos deberán detallarse en un examen. Debe
usted resolver tanto los problemas que le enviamos como los que están propuestos en los libros de texto (incluyendo
los ejemplos resueltos) sin la ayuda de la solución; posteriormente es cuando debe hacer la comprobación de que
el resultado (que podría haber obtenido de modo distinto al que nosotros sugerimos) coincide con dicha solución.
Nuestra experiencia es que una gran parte de los alumnos apenas explican los razonamientos y pasos que
exponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber qué es lo que está haciendo el alumno. En un
examen se deben explicar las hipótesis y detallar todos los pasos que se realicen en cada problema o cuestión.
Por eso, debe usted acostumbrarse a redactar cuidadosamente los problemas que resuelva en su casa (éstos que le
mandamos u otros de los que encuentre usted propuestos en los libros de texto o en cualquier otro libro), puesto
que cuando le corrijamos sus exámenes ese detalle es fundamental para poder calificarle adecuadamente.
Una parte de los exámenes de esta asignatura consiste en responder breve y razonadamente a algunas
cuestiones. No se trata, pues, de exponer todo lo que sabe sobre el tema, sino que debe responderse concretamente
a lo que se pregunta. Además, debe usted tener en cuenta que la principal diferencia entre cuestiones y problemas
reside fundamentalmente en que éstos requieren cálculos matemáticos más extensos, que el alumno debe realizar
(y no sólo indicar), pero no hay diferencias esenciales en cuanto a los contenidos físicos.
Recuerde que, al ser su examen una comunicación directa con el profesor (que no le conoce), debe usted
explicar los pasos lo más detalladamente posible, definiendo las variables que use y explicando la notación y las
fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conociera la solución directa de algún apartado, debe
exponerla y explicarla con claridad, detallando los pasos intermedios. Es muy importante que no sustituya los
valores numéricos hasta el final, después de haber obtenido una expresión algebraica; si se le pide algún
cálculo numérico hágalo solamente en la expresión algebraica que haya obtenido finalmente (en este caso, debe
como mínimo estimar en órdenes de magnitud los resultados que se le pidan).
EXÁMENES: CALIFICACIÓN
Le recordamos que, al ser las pruebas presenciales de febrero y junio independientes (y éstas respecto a
las de septiembre), no se podrá compensar la calificación de una de ellas con la otra.
Los exámenes se califican globalmente y los errores graves cuentan de forma negativa en esa
calificación. Además, la nota de un examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de las
cuestiones y la parte de los problemas. En cualquier caso se requerirá una calificación mínima de 4 puntos (sobre
10) en cualquiera de las dos partes de cada examen (así, un examen con calificaciones de 9 puntos en cuestiones
y 3 puntos en problemas da lugar a un NO APTO en la prueba presencial).
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EXÁMENES: FECHAS Y HORARIOS
Como está indicado en la Guía del Curso, en febrero los exámenes de las dos semanas corresponden a la
primera Prueba Presencial (primer parcial) mientras que los exámenes de las dos semanas de junio corresponden
a la segunda Prueba Presencial (segundo parcial). En junio, pues, no hay examen de la primera Prueba Personal.
En el mes de septiembre los exámenes de la asignatura son dos: el de las 9:00 corresponde a la primera
Prueba Presencial mientras que el examen de las 11:30 corresponde a la segunda Prueba Presencial. Usted deberá
realizar el examen correspondiente a la(s) parte(s) que le quede(n) pendiente(s) de los exámenes de febrero y de
junio.
FORMA DE TRABAJO DURANTE EL CURSO
Como ya le hemos comentado, nuestra experiencia nos demuestra que una gran parte de los alumnos
apenas explican los razonamientos y pasos que exponen en sus exámenes, siendo en ocasiones imposible saber qué
es lo que está haciendo el alumno y, como consecuencia, la calificación de dichos alumnos no puede ser positiva.
Por esa razón, una de las mejores manera de enfocar la asignatura, esto es, de llevar adelante el trabajo durante el
curso, es que usted se haga una colección propia de problemas de los que no tenga la solución; los problemas
pueden ser estos que le mandamos (sin que usted consulte la solución) u otros que encuentre usted propuestos en
los libros de texto o en cualquier otro libro. Los objetivos básicos de hacer esa colección de problemas son:
- que usted se acostumbre a elegir aquellos problemas que son más relevantes, que no es lo mismo que resolver
infinidad de problemas triviales; intente resolverlos aunque le lleven mucho tiempo.
- que usted se dé cuenta de sus fallos en la preparación de la asignatura, sus lagunas de conocimiento (de ésta u
otra asignatura) y que sepa afrontar y resolver dichas dificultades.
- que usted redacte finalmente la solución de los problemas con cuidado y claridad, haciendo hincapié en los
conceptos importantes y explicando los pasos que lleva a cabo.
Si usted es capaz de hacer esa colección, el trabajo realizado le será de suma utilidad para las pruebas presenciales.
Finalmente le agradeceríamos que nos comunique los errores y omisiones que encuentre en este envío, así
como también cualquier otra sugerencia para mejorar su contenido o su presentación.
Reciba un cordial saludo del equipo docente:
El equipo docente de Física Cuántica (Tercer curso de CC. Físicas):
Dra. Emilia Crespo del Arco. Teléfono: 91 398 71 23
Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Teléfono: 91 398 71 20
Dr. Javier García Sanz. Teléfono: 91 398 71 25
- Dirección postal (para cualquier comunicación con los profesores):
Nombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente)
Departamento de Física Fundamental.
Apartado de Correos 60.141. 28080 Madrid.
- Dirección de correo electrónico (ponga sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción)
Dra. Emilia Crespo del Arco. [email protected]
Dr. José E. Alvarellos Bermejo. [email protected]
Dr. Javier García Sanz. [email protected]
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. EQUIVALENCIAS
Inglés Traducción Alternativas
binding energy energía de amarre energía de ligadura, energía de enlace
eigenfunction eigenfunción autofunción, función propia
eigenstate eigenestado autoestado, estado propio
eigenvalue eigenvalor autovalor, valor propio
linear momentum impulso lineal cantidad de movimiento,
momento lineal, impulso
angular momentum impulso angular momento angular, momento cinético
torque impulso rotativo par de fuerzas, torque
stopping potential potencial de frenamiento potencial de frenado
ground state estado base estado fundamental
recoil speed rapidez de retroceso velocidad de retroceso
cross section sección transversal sección eficaz (de dispersión)
vacuum chamber cámara evacuada cámara de vacío
bremsstrahlung radiación de frenado
velocidad de onda velocidad de fase (p.e. en pág. 98)
expectation value valor de expectación valor medio, valor esperado
spin spin espín
phase space espacio fase espacio de fases
phase diagram diagrama fase diagrama de fases
arreglo experimental montaje experimental
arreglo (de átomos, electrones) distribución (de átomos, electrones)
transition rates razones de transición probabilidades o ritmo de transición
(por unidad de tiempo)
overlapping traslape solapamiento, solape
razón de radiación potencia de radiación
qué tan ... cuán ...
fierro hierro
MALAS TRADUCCIONES
Además de los términos que se han citado anteriormente, que pueden tener distintas versiones en español, el texto-base adolece de términos
o expresiones mal traducidas. Como en algunas partes del libro aparecen estas malas traducciones y en otras no, nos queda la impresión de
que han sido varios los traductores y que la labor del revisor científico de la traducción ha sido muy escasa. He aquí algunos ejemplos:
Traducción en el libro Traducción adecuada
tremendo despreciable (al principio de la página 344)
sugestivo sugerente (en múltiples páginas)
en seguida ahora (ej. en página 97)
definitiva(mente) (con) valor bien definido (ej. en página 99)
impulso relativo impulso rotativo (par de fuerzas, torque) (en página 319)
desconocida deslocalizada (ej. página 222)
del al cuadrado nabla al cuadrado (ej. página 281)
discretamente cuantizada cuantizada discretamente (ej. página 287)
desvanecimiento (smearing off) desaparición (ej. página 223)
deflectadas desviadas (ej. página 323)
precederse preceder (ej. página. 332)
torcas externas torques externos (ej. página 332)
niveles menores de energía niveles de menor energía (ej. página 340)
sección cortada sección eficaz (o transversal) (en página 72).
Además hay que estar atentos a las múltiples veces en que la tipografía parece indicar un uno (1) cuando se quiere indicar una ele (l).
Finalmente, conviene hacer notar que en la página 341 se alterna, en el texto, la “P” mayúscula con la “p” minúscula en las fórmulas para
denotar el momento dipolar eléctrico.
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. EXTRACTO DE LA INFORMACIÓN SUMINISTRADA EN LA GUÍA DEL CURSO
Programa de la Opción A. El programa de esta opción es el siguiente, donde se indican los apartados de los libros de Eisberg y Resnick
(texto-base del programa) y de Alonso y Finn (texto complementario) que corresponden a cada tema:
A) Primera Prueba Presencial
TEMA 1. Radiación térmica y postulado de Planck.
Eisberg y Resnick: capítulo 1.
Alonso y Finn: apartado 1.3
TEMA 2. Aspectos corpusculares de la radiación.
Eisberg y Resnick: capítulo 2.
Alonso y Finn: apartados 1.4 a 1.6.
TEMA 3. Aspectos ondulatorios de la materia.
Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2.
Alonso y Finn: apartados 1.10 y 1.11.
TEMA 4. Principio de indeterminación.
Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6.
Alonso y Finn: apartado 1.12.
TEMA 5. Modelos atómicos clásicos.
Eisberg y Resnick: apartados 4.1 al 4.4.
TEMA 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld.
Eisberg y Resnick: apartados 4.5 al 4.12.
Alonso y Finn: apartados 1.7 a 1.9
TEMA 7. Ecuación de Schrödinger; interpretación estadística de la función de ondas; estados cuánticos estacionarios.
Eisberg y Resnick: capítulo 5.
Alonso y Finn: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12.
TEMA 8. Problemas unidimensionales: estados de colisión
Eisberg y Resnick: apartados 6.1 al 6.6.
Alonso y Finn: apartados 2.4 y 2.8.
TEMA 9. Problemas unidimensionales: estados ligados; el oscilador armónico.
Eisberg y Resnick: apartados 6.7, 6.8 y 6.9.
Alonso y Finn: apartados 2.5 y 2.6.
B) Segunda Prueba Presencial
TEMA 10. Ecuación de Schrödinger para átomos hidrogenoides; propiedades de los niveles ligados.
Eisberg y Resnick: apartados 7.1 al 7.7.
Alonso y Finn: apartados 3.1, 3.2, 3.3 y 3.5.
TEMA 11. Momento angular orbital.
Eisberg y Resnick: apartados 7.8 y 7.9.
Alonso y Finn: apartado 3.4 y ejemplo 3.4.
TEMA 12. Momento magnético. Espín.
Eisberg y Resnick: apartados 8.1 al 8.3 y 8.5.
Alonso y Finn: apartados 3.6, 3.7
TEMA 13. Ritmos de transición y reglas de selección.
Eisberg y Resnick: apartado 8.7.
Alonso y Finn: apartado 2.11.
TEMA 14. Partículas idénticas. Principio de exclusión.
Eisberg y Resnick: apartados 9.1, 9.2 y 9.3.
Alonso y Finn: apartados 4.1 a 4.3.
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TEMA 15. Moléculas. Espectros moleculares.
Alonso y Finn: apartados 5.1 a 5.4 y 5.7 a 5.9.
Eisberg y Resnick: apartados 12.4 a 12.7.
TEMA 16. Estadísticas cuánticas.
Eisberg y Resnick: apartados 11.1 a 11.11.
Alonso y Finn: capítulo 13.
TEMA 17. Sólidos: conductores y semiconductores.
Eisberg y Resnick: capítulo 13.
Alonso y Finn: capítulo 6.
4. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed. LIMUSA). Texto-base de este programa. El libro discute completamente todos los
temas del programa. Tiene buenos ejemplos resueltos (que el alumno debería estudiar con detalle) y muchos problemas al final de cada
capítulo.
ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Este texto no
es el texto-base, pero complementa al anterior: no discute todos los temas del programa de manera completa, pero puede ser de utilidad que
el alumno consulte aquellos temas que se indican anteriormente, en el apartado 3. También contiene ejemplos con resolución, así como
muchos problemas al final de cada capítulo.
5. OTROS MATERIALES DIDÁCTICOS
A los alumnos que hayan enviado la ficha del Departamento de Física Fundamental se les hará llegar desde la Sede Central
instrucciones para el estudio de los temas, material complementario (que el alumno también debe estudiar) y tanto propuestas de ejercicios
como ejercicios resueltos.
5. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.
Damos aquí una lista de libros con el espíritu de ayudar a aquellos alumnos que necesiten explicaciones alternativas a las del texto-
base en algunos puntos del programa.
ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano). Como ya hemos
comentado, este texto complementa al libro de Eisberg y Resnick, y sugerimos que el alumno consulte aquellos apartados que se indican en
el apartado Contenidos de la asignatura. Tiene bastantes ejemplos con resolución detallada y muchos problemas al final de cada capítulo.
FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté).
Excelente introducción tanto al formalismo como a los conceptos fundamentales, a partir de la fenomenología de los sistemas con un número
finito de estados. Tiene una buena colección de problemas al final de cada capítulo.
WICHMANN, E. H.: Física Cuántica. (Curso de Física de Berkeley, vol. IV) Ed. Reverté.
Es el libro que se utiliza como texto-base en la opción B de la asignatura. Excelente discusión física de los principios de la Mecánica Cuántica.
SÁNCHEZ DEL RIO, C. (coordinador): Física Cuántica (2 vol.): (Ed. Paraninfo, Madrid).
Es un libro colectivo, con varias secciones que cubren todo el espectro de la Física Cuántica a un nivel introductorio. Cada sección se
completa con una colección de problemas resueltos. Las secciones más interesantes para nuestro curso se encuentran en el volumen 1.
Libros de Problemas.
El alumno debe seguir la buena costumbre de resolver los problemas de los libros recomendados (muchos de los problemas, aunque no estén
resueltos, tienen la solución al final de cada libro), especialmente de los libros de EISBERG, R. y RESNICK, R.: Física Cuántica (Ed.
Limusa), de ALONSO, M. y FINN, E. J.: Física, vol III: Fundamentos Cuánticos y Estadísticos. (Ed. Fondo Educativo Interamericano) y
de FRENCH, A. P. y TAYLOR, E.: Introducción a la Física Cuántica. (Ed. Reverté). Por otra parte, en el material complementario que
se enviará a los alumnos que hayan enviado su ficha, hay ejercicios resueltos (con problemas propuestos en exámenes de cursos anteriores).
Como libros de problemas resueltos, en castellano, se pueden citar dos.
R. FERNÁNDEZ ÁLVAREZ-ESTRADA y J.L. SÁNCHEZ GÓMEZ: 100 problemas de Física Cuántica. (Alianza Editorial, 1996)
Es el único libro de problemas en castellano con problemas para todo el curso. Su nivel es intermedio entre las asignaturas de tercero y de
cuarto cursos.
R. GAUTREAU y W. SAVIN: Teoría y problemas de Física Moderna. Colección Schaum. (Ed. McGraw-Hill).
Libro de problemas resueltos, recomendable para la primera parte del curso y, en general, para los problemas que no requieren el uso de la
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teoría formal de la Mecánica Cuántica. Cada capítulo tiene una introducción teórica. La edición en castellano de este libro (hecha en México)
está agotada, pero se puede consultar en las bibliotecas. Los datos de la edición más reciente en inglés son: R. GAUTREAU y W. SAVIN
Schaum's Outline of Theory and Problems of Modern Physics (Ed. McGraw-Hill, 1996).
7. EVALUACIÓN
7.1 Prácticas
Esta asignatura no tiene prácticas por el momento.
7.2 Pruebas presenciales
Las Pruebas Presenciales constarán de una parte teórica y una parte práctica. La parte teórica consistirá en responder de forma clara,
concisa y razonada a una serie de cuestiones que apenas requerirán cálculos numéricos. La parte práctica consistirá en resolver problemas
que serán de un nivel similar a los enunciados en el libro de texto-base y a los que figuren en la colección de problemas resueltos que se
enviará a los alumnos como material complementario.
La nota del examen se obtendrá del promedio de las calificaciones de la parte de cuestiones y de la parte de problemas. En cualquier
caso, se requerirá una calificación mínima de 4 (sobre 10) en cualquiera de las dos partes de un examen. Las dos Pruebas Presenciales son
independientes, por lo que la calificación de una no compensa la de la otra.
En las Pruebas Presenciales no se podrán utilizar ni libros ni ningún tipo de material auxiliar. Si para la resolución de algún
problema se necesitara alguna fórmula o valor numérico que no sea evidente o fácil de recordar, dicho dato figurará en la hoja de enunciados.
8. CONSULTAS
Consulta telefónica o personal:
Miércoles de 16,00h. a 20,00h, excepto en las semanas de exámenes.
Cuando un miércoles sea festivo, el horario de consulta pasa al siguiente día lectivo.
Dra. Emilia Crespo del Arco. Despacho 211-A. Teléfono: (91) 398 71 23
Dr. José E. Alvarellos Bermejo. Despacho 206. Teléfono: (91) 398 71 20
Dr. Javier García Sanz. Despacho 203. Teléfono: (91) 398 71 25
Los despachos están en el edificio de la Facultad de Ciencias de la UNED, calle Senda del Rey, nº 9 (Madrid).
Otras consultas (para cualquier comunicación con los profesores):
Dirección de correo ordinario
Nombre de un Profesor (póngalo para que la carta llegue más rápidamente)
Departamento de Física Fundamental.
Apartado de Correos 60.141
28080 Madrid.
Dirección de correo electrónico:
(recuerde poner sus datos en el mensaje, indicando la asignatura y la opción elegida por usted)
Dra. Emilia Crespo del Arco. [email protected]
Dr. José E. Alvarellos Bermejo. [email protected]
Dr. Javier García Sanz. [email protected]
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Primera Prueba Personal: Teoría
En esta pequeña guía de estudio de la primera parte de la asignatura Física Cuántica del tercer curso de
Ciencias Físicas (opción A), le resaltamos los puntos que, a nuestro entender, son más importantes en cada
tema. Al mismo tiempo, le presentamos algunos complementos de interés para comprender mejor la física
que se discute en los textos. Quiere esto decir que este material es para añadir a los textos-base (Eisberg y
Resnick, Alonso y Finn vol. III) y no es para sustituir al texto.
Recibirá usted dos envíos, correspondientes a las dos Pruebas Personales.
El esquema de los contenidos del programa de la Primera Prueba Personal es como sigue:
• Resumen y estudio de algunos de los problemas que la Física de principios del siglo XX no era capaz
de resolver.
• Discusión de los aspectos corpusculares de la radiación (1905) y de la idea de los aspectos ondulatorios
de la materia (1924).
• Éxitos y dificultades de los distintos modelos atómicos que se fueron proponiendo desde 1910 a 1916.
• Ecuación de Schrödinger (dependiente e independiente del tiempo) e interpretación de las funciones de
onda.
• Solución de la ecuación de Schrödinger para sistemas unidimensionales sencillos.
La física de principios del siglo XX tenía planteados un conjunto de problemas no resueltos, que se
consideraban fundamentales, entre los que destacan:
(1) El problema de la ley de radiación del cuerpo negro.
(2) El problema de comprender el efecto fotoeléctrico.
(3) El problema de cómo interpretar los espectros atómicos, así como de entender la estabilidad y tamaño
de los átomos.
El primer tema del curso trata de la radiación del cuerpo negro y de la introducción por Planck de la
cuantización de la energía de los osciladores.
En el tema 2 se discute el problema del efecto fotoeléctrico, al que Einstein dio una solución cuantizando
la energía de la radiación electromagnética. En los temas 3 y 4 se estudiará la manera de compatibilizar los
aspectos corpusculares de la radiación y los aspectos ondulatorios de la materia.
El problema atómico se tratará en el tema 5, mientras que en el tema 6 se expondrán los modelos que
paliaron durante algún tiempo la falta de una explicación consistente de los fenómenos atómicos.
A partir del tema 7 se entra a discutir la formulación de la mecánica cuántica, así como su interpretación
y aplicación a distintos sistemas unidimensionales. Posteriormente, y ya en la segunda paret de la asignatura,
se estudiarán sistemas tridimensionales.
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1 Tema 1. Radiación térmica y postulado de Planck.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: capítulo 1.
Alonso y Finn vol. III: apartado 1.3
El esquema de este tema es el siguiente:
• Resultados empíricos de la radiación térmica.
Ley de Stefan (o de Stefan-Boltzmann): la radiancia de un cuerpo negro es proporcional a la cuarta
potencia de su temperatura absoluta T, esto es, proporcional a T
4
.
Ley del desplazamiento de Wien: la frecuencia para la que ocurre el máximo de la radiancia espectral
es proporcional a T.
• Teoría clásica de la cavidad radiante.
Para una discusión de la distribución de Boltzmann, véase el apéndice C del libro de Eisberg y Resnick.
Ejemplo 1-3 del libro de Eisberg y Resnick: el resultado importante es que la densidad de estados
resulta ser proporcional a ω
2
(o a ν
2
) en tres dimensiones.
Esto está directamente relacionado con la dimensionalidad del sistema físico; para una discusión
quizás más esclarecedora véase la sección 3.1 del libro de Reif Física Estadística, volumen 5 del
Berkeley Physics Course (Editorial Reverté), que es el texto-base de la asignatura de Termología
y Mecánica Estadística del tercer curso de CC. Físicas. Se pueden también consultar los ejemplos
(2.3) y (2.4) del libro de Alonso y Finn (volumen III).
Nota: esta relación entre la forma de la densidad de estados y la dimensionalidad del sistema la
volveremos a encontrar más adelante, en el tema 16 de la segunda Prueba Personal (Estadísticas
Cuánticas).
Relación de Rayleigh-Jeans para la densidad de energía: la densidad de energía emitida por un cuerpo
negro a una cierta frecuencia ν es proporcional a T y al cuadrado de la frecuencia
ρ
T
(ν) ∝ ν
2
T.
• Teoría de Planck de la cavidad radiante: La relación de Planck (1900) nos dice que la energía
total de un oscilador
1
tiene necesariamente la forma E = nhν, con n = 0, 1, . . .; por tanto, el oscilador
sólo puede tomar o ceder energía en porciones de magnitud hν.
Posteriormente, después de las ideas de Einstein para el efecto fotoeléctrico (véase el tema 2), se
interpreta que las paredes de un cuerpo negro (que se suponen compuestas de electrones que oscilan
alrededor de sus posiciones de equilibrio) emiten radiación electromagnética con múltiplos de dicha
energía.
Como resultado importante de este tema, debe usted recordar que el postulado de Planck nos permite
afirmar que la emisión de energía de un oscilador armónico viene dada por un múltiplo de hν.
• COMPLEMENT O Pequeña nota histórica sobre el descubrimiento de la constante de
Planck.
Algunas características generales de la radiación del cuerpo negro se conocían con bastante anterioridad
a la formulación de Planck. Por ejemplo, mediante razonamientos termodinámicos muy generales
aplicados a la radiación, W. Wien dedujo que la densidad de radiación del cuerpo negro debía tener la
forma general
2
ρ
T
(ν) = ν
3
f
³
ν
T
´
1
En el caso de la discusión del cuerpo negro, el oscilador es un oscilador cargado, ya que la partícula que oscila es un electrón.
2
La demostración puede encontrarse, por ejemplo, en Atomic Physics de Max Born (Dover Publications).
2
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siendo f una función que depende de ν y de T solamente a través del cociente ν/T. A partir de
esta expresión pueden demostrarse la ley de desplazamiento de Wien y la ley de Stefan-Boltzmann, ya
comentadas.
Lo anterior es válido cualquiera que sea la función f (ν/T) (lo único que cambia son las constantes de
proporcionalidad). Para avanzar un poco más, Wien sugirió que la función f debía ser de la forma
f
³
ν
T
´
∝ exp
³
−
αν
T
´
⇒ρ
T
(ν) ∝ ν
3
exp
³
−
αν
T
´
,
donde α es una constante.
Por su parte, lord Rayleigh, mediante un razonamiento basado en el principio de equipartición de la
mecánica clásica, obtuvo una expresión completamente diferente, ya comentada antes:
ρ
T
(ν) =
8πν
2
c
3
kT.
La fórmula de Wien y la de Rayleigh son claramente incompatibles. Además, ninguna de ellas ajusta
los valores experimentales en todo el intervalo de frecuencias. La fórmula propuesta por Planck es
ρ
T
(ν) =
8πh
c
3
ν
3
exp
¡
hν
kT
¢
−1
,
de la que las fórmulas de Wien y de Rayleigh son casos límite.
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2 Tema 2. Aspectos corpusculares de la radiación.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: capítulo 2.
Alonso y Finn vol. III: apartados 1.4 a 1.6.
• Efecto fotoeléctrico (1905). La idea de Einstein fue admitir que la energía radiante está con-
stituida por cuantos de magnitud hν; la radiación electromagnética está por tanto cuantizada en
pulsos de energía electromagnética discretos, con su correspondiente cantidad de energía. Estos pulsos
recibieron posteriormente el nombre de fotones.
Note que una suposición importante que se hace en el tratamiento del efecto fotoeléctrico es que el
cátodo absorbe completamente el fotón que llega a la superficie del metal. Además, para este estudio
sólo se necesita conservar la energía.
Al unir la idea de Planck con la de Einstein encontramos que:
- la energía de las partículas que oscilan en las paredes del cuerpo negro (electrones que oscilan alrededor
de sus posiciones de equilibrio, suponemos oscilaciones en una dimensión) es E = nhν y, por tanto,
dichas partículas sólo puede absorber o ceder energía en cantidades proporcionales a hν.
- la energía de la radiación electromagnética que esos osciladores emiten es un múltiplo de la frecuencia
de oscilación, esto es hν.
Nótese que un fotón de frecuencia ν tiene exactamente la energía hν, no una energía múltiplo de hν.
Sin embargo, es posible que haya un número n de fotones, siendo entonces la energía de todos esos
fotones nhν.
Debe usted recordar y entender la relación (que viene de la anteriormente citada conservación de la
energía en el proceso de interacción de un fotón con un electrón del metal) entre la energía cinética
de salida K del fotoelectrón emitido, la energía hν del fotón incidente y la función de trabajo W
0
del
metal:
K
max
= hν −W
0
.
• Efecto Compton (1923). Para la explicación de este efecto, se supone que la radiación electromag-
nética está cuantizada, con energía y momento bien definidos. Por tanto, los fotones son partículas
que colisionan con los electrones.
En este caso aplicamos los conceptos de la dinámica relativista
3
y necesitamos conservar tanto la energía
como el momento lineal del sistema. Como resultado de aplicar ambas leyes de conservación, se
obtiene la siguiente fórmula para la diferencia entre las longitudes de onda del la radiación incidente y
saliente:
∆λ = λ
C
(1 −cos θ)
donde λ
C
≡ h/m
0
c = 0.0243 Å es la llamada longitud de onda de Compton del electrón.
Le recordamos que debe manejar con soltura conceptos básicos de la relatividad especial, como las
fórmulas:
E =
m
o
c
2
p
1 −v
2
/c
2
E
2
= p
2
c
2
+
¡
m
o
c
2
¢
2
,
así como los conceptos fundamentales de mecánica, como son las leyes de conservación.
• Naturaleza dual de la radiación electromagnética.
• Otros efectos: rayos X, producción y aniquilación de pares de partículas.
3
Los conceptos mínimos que debe usted conocer de Relatividad son los que se exponen en el apéndice A del libro de Eisberg
y Resnick. También puede consultar los textos que le citamos en la carta que acompaña a este envío.
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• COMPLEMENT O ¿Pueden dividirse los fotones?
En los textos-base se tratan los fotones como entidades indivisibles. Quizá sea una cuestión interesante
plantearse la pregunta de si es posible dividir un fotón de frecuencia ω en dos partes, tales que cada una
transporte una fracción de la energía hν (o ~ω, con ~ = h/ (2π) la constante de Planck racionalizada)
pero conservando cada parte la frecuencia ω. Esta pregunta parte de que sabemos que la teoría
electromagnética clásica es capaz de describir con excelente precisión un gran número de experimentos
con luz, y establece además una relación entre la energía y el impulso de la onda electromagnética.
¿No podría decirse que un fotón es, simplemente, un paquete de ondas de radiación, regido por las
leyes de la teoría electromagnética clásica? Obviamente, son los experimentos los que deben ayudarnos
a responder a esta pregunta.
(1) Supongamos un tren de ondas, construido por un dispositivo que emite radiación a una frecuencia
bien determinada ω durante un cierto tiempo, y lo hacemos incidir sobre una célula fotoeléctrica (un
sistema que presenta el efecto fotoeléctrico). Si nosotros interponemos un divisor de haz de tal manera
que las intensidades de los haces transmitidos y reflejados por el divisor sean las mismas, resulta
que podemos disminuir a la mitad la intensidad luminosa que incide sobre la célula fotoeléctrica. Si
llamamos E
min
a la energía mínima o umbral necesaria para hacer saltar un electrón de la célula,
encontraremos que la célula emitirá electrones cuando la radiación sea tal que ~ω > E
min
.
Supongamos que se cumple, por ejemplo, que ~ω > E
min
>
2
3
~ω; al dividir el haz como se ha comentado
antes no cabría esperar que se emitieran electrones si se hiciera un análisis clásico; pero se sabe a ciencia
cierta que esto no es así: se siguen emitiendo electrones, aunque sólo la mitad de ellos. Esto indica
que los paquetes de energía siguen teniendo energía ~ω. Nótese que no es posible justificar el proceso
como un efecto acumulativo, de forma que cuando se sumaran un número suficiente de paquetes de
energía fraccionados, con energía total mayor que E
min
, se logra emitir un electrón: en efecto, si esto
fuera así también ocurriría emisión de electrones si ~ω < E
min
y esto no se ha observado nunca.
Por lo tanto, los fotones, cuando se les hace interactuar con un metal en el efecto fotoeléctrico, no se
comportan como trenes de onda clásicos.
Debemos también recordar, por otra parte, que para entender tanto los experimentos relativos al efecto
Compton como la emisión de rayos X y la creación y aniquilación de pares hay que suponer que la
relación E = ~ω (que es la correspondiente a un fotón de frecuencia ω) es siempre válida, sin que
existan los fotones fraccionados.
(2) Es interesante plantearse si el análisis sobre los resultados experimentales del efecto fotoeléctrico
que hemos hecho anteriormente (esto es, para paquetes de radiación electromagnética interaccionando
con los electrones del metal de la célula fotoeléctrica) pudiera hacerse también para experimentos más
tradicionales de óptica. Ya a principios del siglo XX se realizaron medidas de las figuras de difracción
producidas por focos luminosos extraordinariamente débiles (en alguno de los experimentos el tiempo
de exposición fue de unos tres meses), y resultaron ser iguales a las figuras de difracción que se obtienen
con focos intensos.
Supongamos un experimento en el que la luz emitida por un foco luminoso atraviesa una lámina en
la que hay dos rendijas (difracción de Young)
4
y llega a una célula fotoeléctrica situada lejos de dicha
lámina (que únicamente sirve para contar si llegan o no fotones). Hay dos preguntas que nos podríamos
hacer
5
:
(a) ¿Por cuál rendija ha pasado un fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: en parte por
una de las rendijas y en parte por la otra, pues hay que interpretar que el flujo de radiación que pasa
por una rendija debe ser proporcional a la probabilidad de que el fotón sea detectado por la célula
colocada justo detrás de la rendija.
(b) ¿Podemos modificar el dispositivo experimental de forma que sepamos por cuál rendija ha pasado
un fotón que acaba de contar la célula? La respuesta es: si tapamos una de las rendijas es claro que
todos los fotones detectados habrán pasado por la otra. El problema es que entonces no habrá figuras
de difracción debidas a dos rendijas, sino sólo las debidas a una rendija.
4
La configuración experimental es idéntica a la que se dicute en el complemento sobre ¿Pueden dividirse las ondas materi-
ales?, que se discute más adelante.
5
Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos autores
son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000).
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¿Pero no podemos imaginar algún dispositivo ingenioso que permita preservar la figura de difracción
de dos rendijas, pero sabiendo por dónde ha pasado cada fotón? Esta pregunta carece de sentido y
veremos ahora por qué. Si suponemos que podemos marcar a los fotones que pasan por cada una de las
rendijas entonces podemos construir las figuras de difracción debidas a cada una de ellas (teniendo en
cuenta sólo los fotones de cada marca al hacer la figura de difracción). Pero al sumar ambas figuras de
difracción no obtenemos, como es bien sabido, la figura de dos rendijas, pues las figuras de difracción no
son aditivas. Por tanto si queremos que la figura de difracción sea como la obtenida por un dispositivo
de dos rendijas no podemos preguntarnos por cuál de ellas pasó el fotón.
Todo lo anterior lo podemos resumir de la siguiente manera: la amplitud de la onda asociada a un
fotón puede tratarse como en la teoría electromagnética clásica (que es la que nos da las figuras de
difracción) pero el cuadrado de dicha amplitud debe interpretarse en términos de la probabilidad de
detectar un fotón con algún dispositivo. De esta manera cuando usamos un divisor de haz dividimos
el haz de luz, y también la probabilidad de detectar a un fotón después del divisor de haz, pero no
dividimos al fotón en el sentido de encontrar algo que tenga una cierta parte de la energía ~ω.
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3 Tema 3. Aspectos ondulatorios de la materia.
Contenido de los texto-base:
Eisberg y Resnick: apartados 3.1 y 3.2.
Alonso y Finn vol III: apartados 1.10 y 1.11
• Comportamiento dual de la materia
Comportamiento dual de la materia, longitud de onda de De Broglie (1924): λ = h/p
Ejemplos:
(a) Difracción de electrones (Davisson-Germer(1926), Thomson (1927)).
(b) Difracción de átomos de helio y de neutrones.
(c) Rejilla de átomos en un sólido: propiedades ondulatorias de los rayos X y propiedades ondulatorias
de neutrones y electrones.
• La dualidad onda-partícula ya había sido establecida por Einstein (1905) para la radiación elec-
tromagnética (esto es, para los fotones). La idea de De Broglie amplía dicha dualidad a cualquier
partícula material, esto es, a cualquier partícula con masa en reposo no nula.
Como se verá en el tema 7, la interpretación de Born (1926) afirmando que es más probable encontrar
una partícula material en aquellas regiones en las que el módulo de la función de onda toma val-
ores grandes, permite cerrar la dualidad onda-partícula. Tanto la radiación como las partículas
materiales están descritas de manera simétrica:
- la radiación tiene energía y momento en forma de cuantos
- las partículas materiales tienen una distribución espacial continua que les hace tener propiedades
ondulatorias.
• COMPLEMENT O La constante de Planck es única.
La suposición fundamental de De Broglie es que la energía y el momento lineal de cualquier ente físico
(bien sea radiación o bien sea una partícula material) se expresan como
E = ~ω p = ~k,
en función de la frecuencia y longitud de onda (o vector de onda) asociados.
Debido a que el modelo de partícula-onda satisface el principio de relatividad especial
6
, en el sistema
de referencia en el que la partícula está en reposo la energía de la partícula se puede escribir
E
o
= m
o
c
2
= ~ω
o
,
donde E
o
es la energía en reposo de la partícula y ω
0
la podríamos llamar ”frecuencia en reposo”.
De aquí obtenemos que la constante de Planck es una constante característica para cada partícula
material, que se puede definir como E
o
/ω
o
. En principio, no existe razón alguna por la que esta
constante E
o
/ω
o
sea la misma para todas las partículas materiales. Todas las medidas experimentales
directas (del tipo los experimentos de Davisson y Germer) apoyan la creencia en la universalidad de
las relaciones E = ~ω y p = ~k, independientemente del tipo de partícula. Ahora bien, el número de
medidas directas de ~ es muy pequeño, por lo que la base real de creer en estas relaciones es el éxito
general de la mecánica cuántica. En este sentido, podemos afirmar que tenemos una comprobación
experimental de las relaciones E = ~ω y p = ~k de la misma forma que la tenemos de la expresión
E
o
= m
o
c
2
(de la que tenemos muy pocas medidas experimentales directas). Suponemos que todas
estas ecuaciones son exactas y constituirán las piedras angulares de nuestra teoría física.
6
Esto no está explícito en el texto-base, pero es así como De Broglie lo formuló. Por tanto, la relación entre el vector y la
frecuencia de onda con el impulso y la energía de la partícula, respectivamente, debe ser la misma en cualquier sistema inercial.
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• COMPLEMENT O ¿Pueden dividirse las ondas materiales?
De igual manera que se ha tratado el tema de la indivisibilidad de los fotones, se podría hacer una
discusión similar con las ondas materiales. La discusión podría ser sobre un experimento de difracción
de electrones (por ejemplo, la configuración de Davisson-Germer, véase el apartado 3.1 del libro de
Eisberg y Resnick). Aquí pasa una cosa parecida al caso de los fotones y las rendijas: se observa que
el flujo de carga que llega a un contador de electrones se ha dispersado por el cristal, pero lo que se ha
dispersado son electrones que llevan consigo toda su carga y toda su energía.
Por consiguiente, al igual que cuando hablamos de los fotones, la amplitud de la onda asociada al
electrón es la que nos da las figuras de difracción, pero es el cuadrado de dicha amplitud la que debe
interpretarse como la probabilidad de detectar un electrón. De esta manera no dividimos al electrón
cuando se dispersa o difracta por la red cristalina y no encontramos partes de electrones con parte de
su energía.
La onda de De Broglie y la partícula son la misma cosa: la partícula material tiene propiedades
ondulatorias, de forma que podemos hablar de la onda de De Broglie de la partícula, pero no de que
la onda de De Broglie viaje junto con (o guiando a) la partícula.
• Vamos ahora a mencionar algunos resultados experimentales de interés sobre este tema y el anterior.
7
Por ello, resulta más interesante e instructivo un experimento en el que la estructura periódica “infinita”
(en realidad, basta con que sea mucho mayor que la anchura del haz de partículas) queda reducida a un
par de rendijas paralelas
8
. Una fuente de partículas lanza un haz de partículas en el mismo estado (es
decir, preparadas de la misma forma) sobre una pared en la que hay dos rendijas paralelas separadas
una distancia a. (La anchura de las rendijas también es importante pero, por simplicidad, supondremos
simplemente que es mucho menor que a). Tras atravesar las rendijas, las partículas inciden sobre una
pantalla situada a una distancia d, donde son registradas por detectores distribuidos por la misma
(ver Figura 1). Cuando sólo está abierta la rendija 1, el registro de las partículas que llegan a los
diferentes puntos de la pantalla corresponde a la curva P
1
, que tiene un único máximo frente a dicha
rendija. Esto parece lógico, puesto que todas las partículas que llegan a la pantalla han tenido que
pasar necesariamente por la rendija 1; el ensanchamiento de la curva (mayor cuanto más estrecha es
la rendija) no sería difícil de explicar teniendo en cuenta que los bordes de la rendija pueden afectar
a algunas de las partículas que la atraviesan. Una curva similar se obtiene cuando sólo está abierta la
rendija 2.Ahora bien, desde el punto de vista clásico parece claro que la trayectoria de una partícula
que pasa por la rendija 1 no debería verse afectada por el hecho de que la rendija 2 esté abierta o
cerrada. Por consiguiente, cabría esperar que cuando están abiertas las dos rendijas, la curva que da
la distribución de los puntos de llegada de las partículas fuera la suma de las curvas 1 y 2 (para una
misma duración del experimento). Sin embargo, no es esto lo que se observa cuando ambas rendijas
están abiertas; lo que se observa realmente es una figura con varios máximos y mínimos, similar a los
patrones de interferencia de las ondas. Lo más destacable es que existen puntos en la pantalla a los
que pueden llegar partículas cuando está abierta sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2, pero a los que
apenas llegan partículas cuando están abiertas ambas rendijas. Asimismo, existen puntos para los que
el número de partículas que llegan cuando ambas rendijas están abiertas es mayor que la suma de las
que llegaban atravesando la rendija 1 (cuando la 2 estaba cerrada) y las que llegaban atravesando la
rendija 2 (cuando la 1 estaba cerrada).
La forma de estas curvas puede explicarse, una vez más, a partir de un formalismo tomado de la teoría
ondulatoria. En efecto, supongamos que p = ~k es el módulo del momento lineal de las partículas
incidentes. Si suponemos que la interacción de las partículas con las rendijas es una colisión elástica,
cada rendija se convierte en la fuente de una onda cilíndrica, siendo coherentes ambas ondas emergentes,
es decir que tienen una misma fase bien definida. Para un instante t, las amplitudes de la onda 1 y la
onda 2 en un punto (0, z) de la pantalla serán respectivamente
ψ
1
(0, z) =
A
√
r
1
exp(ikr
1
) ψ
2
(0, z) =
A
√
r
2
exp(ikr
2
) ,
siendo r
1
y r
2
las distancias desde cada rendija al punto de la pantalla. Las intensidades de dichas
7
Para más detalles, véase el capítulo primero del libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos autores
son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (Cuadernos de la UNED, 2000).
8
Una exposición de dicho experimento puede encontrarse en el capítulo primero del volumend tercero de las Lecciones de
Física , de Richard Feynman y colaboradores (editorial Fondo Educativo Interamericano). Véase también el capítulo quinto
del libro Física Cuántica de E. Wichman, volumen 4 del Curso de Física de Berkeley (editorial Reverté).
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Figura 1: Experimento de la doble rendija. Arriba, las probabilidades de llegada cuando está abierta una u otra
rendija (no las dos). Abajo, en línea de trazos la suma de las probabilidades P
1
+P
2
; en línea continua la probabilidad
de llegada cuando ambas rendijas están abiertas simultáneamente.
ondas en dicho punto son
I
1
(0, z) = |ψ
1
(0, z)|
2
=
|A|
2
r
1
=
|A|
2
p
d
2
+ (z −a/2)
2
I
2
(0, z) = |ψ
2
(0, z)|
2
=
|A|
2
r
2
=
|A|
2
p
d
2
+ (z +a/2)
2
.
Ambas curvas presentan un único máximo (centrado en z = ±a/2) y decrecen a medida que nos
alejamos de él. Éstas expresiones describen a las curvas 1 y 2 que, recordémoslo, son las que se obtienen
cuando sólo la rendija 1 o sólo la rendija 2 está abierta. Por su parte, cuando ambas rendijas están
abiertas la amplitud de la onda en (0, z) sería la suma de las amplitudes de las dos ondas procedentes
de 1 y de 2
ψ
12
(0, z) = ψ
1
(0, z) +ψ
2
(0, z) =
A
√
r
1
expikr
1
+
A
√
r
2
expikr
2
y su intensidad
I
12
(0, z) = |ψ
12
(0, z)|
2
= |ψ
1
(0, z) +ψ
2
(0, z)|
2
= |ψ
1
(0, z)|
2
+|ψ
2
(0, z)|
2
+
2 |A|
2
√
r
1
r
2
cos [k(r
1
−r
2
)] .
Si d À a podemos aproximar r
2
−r
1
' za/d. Además, a/d ' θ, siendo éste el ángulo subtendido por
las rendijas desde el centro de la pantalla. Así pues
I
12
(0, z) = I
1
(0, z) +I
2
(0, z) + 2
p
I
1
(0, z)I
2
(0, z) cos (kθz) .
Vemos así que, superpuesto a la suma de las intensidades de ambas ondas, hay un término oscilante
que da lugar a varios máximos y mínimos en la curva. La distancia ∆z entre dos máximos sucesivos
viene dada por
9
kθ∆z = 2π ⇒ ∆z =
2π
kθ
=
h
p
d
a
.
9
Cuando se tiene en cuenta también la anchura finita de las rendijas, hay que introducir algunas correcciones; la expresión
exacta puede encontrase en cualquier libro de óptica.
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Lo realmente notable es que el formalismo de la teoría ondulatoria explica exactamente los resultados.
Por ejemplo, la figura 2 muestra una comparación de la teoría con los resultados de un experimento
con neutrones fríos (de baja energía) correspondientes a λ = 2 nm. Las rendijas tienen 22 µm de
anchura y están separadas 104 µm (es decir, la separación entre rendijas es 50000 veces mayor que la
longitud de onda asociada a los neutrones). La distancia de las rendijas a la pantalla es de 5 m.
Figura 2: Figura de difracción por una doble rendija para neutrones fríos con una longitud de onda de 2 nm,
correspondiente a una velocidad de 200 m/s. Las rendijas tienen una anchura de 22 µm y están separadas una
distancia de 104 µm. Los ángulos de difracción resultantes son del orden de 10 microrradianes, de modo que el
plano de observación está situado a 5 m de la doble rendija para poder resolver esta figura de interferencia (de un
experimento de Zeilinger et al Rev. Mod. Phys. 60 (1988) 1067).
• Lo único que hemos hecho hasta aquí es utilizar un artificio matemático basado en ondas para calcular
la distribución de puntos de llegada en la pantalla. ¿Podemos ir más allá y dar algún significado físico
adicional a estas funciones de onda? ¿Quiere esto decir que las partículas se comportan en todos los
aspectos como ondas? Evidentemente, no. Una onda es un objeto extenso y continuo, mientras que
las partículas se detectan de una en una y en un punto concreto de la pantalla.
Una posible solución consistiría en decir que la onda describe a un conjunto de partículas que actúan
colectiva y simultáneamente, pero esta interpretación queda fácilmente refutada si podemos asegurar
que sólo hay una partícula en vuelo entre la fuente y la pantalla. Consideremos, por ejemplo, un
experimento llevado a cabo por Tonomura et al. en 1989. En este experimento, las partículas son
electrones en un microscopio electrónico y la doble rendija es lo que se denomina un biprisma de
Mollendstat. La particularidad de este experimento es que el ritmo de emisión de los electrones es
muy lento (1000 por segundo), aunque la velocidad de los electrones en vuelo es de 0.4 c. Por lo
tanto, cada electrón tarda aproximadamente 10
−8
s en llegar a la pantalla. Después de eso, hay que
esperar un tiempo aproximadamente 10
5
veces mayor hasta que sea emitido el siguiente electrón. Es
decir, sólo durante un cienmilésima parte del tiempo total del experimento hay electrones en vuelo. Es
más, si los electrones no fueran frenados por la pantalla, un electrón se habría alejado cien kilómetros
antes de que saliera el siguiente. (A modo de analogía, esto es similar a una etapa ciclista contra reloj
que se recorriera aproximadamente en 1 hora y en la que los corredores salieran con intervalos de 10
años). En estas circunstancias resulta difícil pensar en que cada electrón puede transmitir a los que
le siguen alguna información de por dónde ha pasado. Gracias a este ritmo de emisión relativamente
lento, puede registrarse la llegada de cada electrón a la pantalla. Así, las fotografías de la figura 3
muestran de arriba a abajo los impactos acumulados tras la emisión de 10, 100, 1000,... electrones. En
la primera fotografía podemos ver que los electrones inciden en la pantalla de una forma aleatoria. No
aparece ninguna pauta discernible y no hay forma de predecir dónde irá a parar el próximo electrón.
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Figura 3: Evolución temporal de la figura de interferencia de los electrones que atraviesan una doble rendija. El
número de electrones registrados en cada placa es: (a) 10, (b) 100, (c) 3000, (d) 20000 y (e) 70000. De un experimento
de Tonomura et al (Am. J. Phys. 57 (1989) 117). Nótese que las fotografías están giradas y las franjas aparecen
verticalmente.
No obstante, a medida que aumenta el número de electrones aparece una pauta clara en la pantalla,
y cuando el número de electrones acumulado es muy grande, aparece una pauta de interferencia bien
definida que se mantiene estable. En otras palabras, cuando el número de electrones emitidos es muy
alto, el cociente entre el número de electrones N(z) que inciden en un punto determinado de coordenada
vertical z en la pantalla y el número total de electrones emitidos N
T
tiende a un valor constante, es
decir
lim
NT →∞
N(z)
N
T
= Prob(z).
Ésta es precisamente la llamada definición frecuencial de la probabilidad. Nótese que la existencia de
este límite y, por lo tanto, de una probabilidad definida, sólo se manifiesta cuando se acumulan muchos
sucesos (impactos en la pantalla), pero la probabilidad se asigna a cada suceso individual. Esto es
característico de las teorías probabilistas, del mismo modo que se habla de la probabilidad de obtener
una determinada cara de un dado cuando lo lanzamos sobre una mesa.
En resumen, el experimento nos dice lo siguiente: i) los electrones se emiten de uno en uno y se
detectan en puntos concretos de la pantalla, es decir, se detectan como partículas puntuales; ii) no es
posible predecir el punto de impacto de cada electrón individual; iii) pese a todo, cuando el número
de electrones emitidos es suficientemente alto existe una probabilidad definida de detectar un electrón
en un punto; iv) la figura global muestra una pauta de interferencia, aunque ésta sea el resultado
de sucesos independientes; esto quiere decir que existe coherencia entre las diferentes partículas en el
mismo estado de preparación.
El experimento nos sugiere también la interpretación que hay que dar a la función de onda. A cada
estado de preparación de una partícula le corresponde una función ψ(~r), en general compleja, de las
coordenadas espaciales; la probabilidad de encontrar la partícula en un volumen infinitesimal d
3
r en
torno a un punto ~r es
Prob(~r) d
3
r = |ψ(~r)|
2
d
3
r.
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4 Tema 4. Principio de indeterminación.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: apartados 3.3 a 3.6.
Alonso y Finn vol III: apartado 1.12.
La introducción de la dualidad onda-partícula lleva a poner en entredicho la posibilidad de que la posición
y el impulso de una partícula puedan determinarse completamente de manera simultánea. Esto ya se ha
comentado al hablar de los experimentos de las dos rendijas: no podemos preservar la figura de difracción
de dos rendijas si queremos saber por dónde ha pasado cada fotón.
La dualidad onda-partícula cambia la posibilidad de determinar completa y simultáneamente la posición
y el impulso por una limitación en la precisión de dichas medidas: este es el principio de incertidumbre
de Heisenberg, que en una dimensión puede escribirse como:
∆x · ∆p ≥ ~/2.
• Origen matemático.
El principio de incertidumbre tiene un claro origen matemático, que se puede ver con facilidad mediante
la teoría de la integral de Fourier (puede interesarse por el tema en un libro de Métodos Matemáticos
para la Física o en un curso de Mecánica Cuántica más avanzado).
Una demostración matemática, basada en otro tipo de argumentos, se expone con más extensión en
este material complementario (véase más adelante, en la parte correspondiente al tema 7).
• Interpretación física (Heisenberg, 1927).
En los procesos de medida se puede medir con total precisión, por ejemplo, el momento lineal de
una partícula pero eso impide que se pueda determinar a la vez la posición de dicha partícula. El
principio de indeterminación nos da una guía acerca de cuál puede ser el valor mínimo del
producto de las incertidumbres ∆x y ∆p al hacer una medida simultánea de la posición
y del momento lineal.
• Propiedades de las ondas de materia: velocidad de fase y velocidad de grupo (para estos conceptos,
recuérdese lo aprendido en la asignatura de Mecánica y Ondas acerca de ellos).
Debe comprender el alumno que la velocidad de grupo de un paquete de ondas determina el momento
lineal de la partícula asociada (es la discusión de las págs. 98 y 99 del Eisberg y Resnick; vea también
el apartado 1.11 del Alonso y Finn vol III).
• Algunas consecuencias del principio de incertidumbre.
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5 Tema 5. Modelos atómicos clásicos.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: apartados 4.1 a 4.4.
• Descubrimiento del electrón (1897).
Modelos atómicos de Thomson (1910) y Rutherford (1911): debe usted adquirir una idea cualitativa
de ambos modelos, sin que sea necesario que entre en excesivos detalles.
• Espectros de emisión y absorción de los átomos: son espectros discretos en ambos casos. Para
el caso del átomo más sencillo (el hidrógeno) estos espectros son relativamente simples y regulares.
6 Tema 6. Modelo atómico de Bohr-Sommerfeld.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: apartados 4.5 a 4.12.
Alonso y Finn vol III: apartados 1.7 a 1.9.
• Modelo atómico de Bohr (1913).
(a) Niveles de energía del átomo de hidrógeno (estado fundamental y estados excitados). Órbitas
estables. Número cuántico n.
La energía de los estados ligados de un electrón en un átomo hidrogenoide, en el caso en que se suponga
que la masa del núcleo es infinita (comparada con la del electrón), viene dada por la expresión:
E
n
= −13.6
Z
2
n
2
eV.
Como se ve, las energías de ligadura de los átomos hidrogenoides son del orden de decenas o centenas
de eV.
Es conveniente que el alumno conozca el valor aproximado (unos 0.5 Å) del radio de Bohr (que es el
radio de la trayectoria circular que corresponde al nivel más bajo del electrón). Este radio nos da una
idea del orden de magnitud de las dimensiones atómicas en general.
(b) Espectros de emisión y de absorción. Al pasar de una órbita permitida a otra, el electrón cede o
absorbe energía electromagnética.
Si hablamos de la longitud de onda de la radiación emitida en una transición entre dos niveles diferentes
podemos escribir
10
1
λ
= R
∞
Z
2
Ã
1
n
2
f
−
1
n
2
i
!
(c) Experimento de Franck y Hertz (1914).
10
En el caso en que la masa del núcleo no se considere infinita hay que utilizar R
µ
en vez de R
∞
, donde µ es la masa
reducida del sistema núcleo-electrón (vea en el apartado 4.7 del libro de Esiberg y Resnick una discusión completa de los efectos
de considerar la masa del núcleo finita).
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• Modelo de Wilson y Sommerfeld (1916).
Este modelo generaliza la regla de cuantización de Bohr a las variables dinámicas conjugadas
(repase las nociones que sobre ello se han estudiado en Mecánica y Ondas):
I
p
q
dq = n
q
h,
donde h es la constante de Planck.
Note que en un sistema unidimensional estas variables son la posición x y el momento lineal p; pero en
un sistema con simetría central se puede, como hace el libro de Eisberg y Resnick, usar las variables
angulares θ y el momento angular L para cuantizar el átomo de hidrógeno.
Esta generalización introduce nuevos números cuánticos (el número cuántico principal y el número
cuántico azimutal), así como el concepto de degeneración.
• Principio de correspondencia (1923). Nos permite enunciar cómo podemos pasar de una descrip-
ción cuántica a su límite clásico.
• Crítica a la teoría cuántica antigua.
• COMPLEMENT O Número entero de ondas de De Broglie en una órbita circular.
La expresión para los niveles de energía de un átomo hidrogenoide se puede justificar usando conceptos
provenientes de las ondas estacionarias. En efecto, supongamos un electrón describiendo una órbita
circular de radio r. Para que la órbita corresponda a un estado estacionario parece lógico que deba
permitir la existencia de ondas estacionarias de De Broglie en el recorrido de la órbita; esto es, que
quepan un número entero de ondas en la órbita que estemos considerando. Como la longitud de onda
es λ = h/p, debe cumplirse que 2πr = nλ = nh/p ⇒ rp = mvr = nh/2π = n~ (que es el momento
angular del electrón). Por otra parte, para que la trayectoria sea circular, la fuerza centrífuga debe ser
igual a la culombiana entre núcleo y electrón: mv
2
= Ze
2
/(4π²
o
r). Eliminando la velocidad de ambas
ecuaciones se obtiene el valor del radio de la órbita
r =
n
2
h
2
²
o
πmZe
2
=
n
2
Z
a
o
.
La energía total del electrón es (usando las ecuaciones para la velocidad y para el radio de la órbita)
E =
1
2
mv
2
−
Ze
2
4π²
o
r
= −
Ze
2
4π²
o
(2r)
= −
me
4
Z
2
8²
2
o
h
2
n
2
= −R
∞
hc
Z
2
n
2
.
Recuerde que esto es sólo una justificación, no una explicación rigurosa.
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7 Tema 7. Ecuación de Schrödinger. Interpretación estadística
de la función de ondas. Estados cuánticos estacionarios.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: capítulo 5.
Alonso y Finn vol III: apartados 2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 2.10 y 2.12.
• Construcción de la ecuación de Schrödinger.
Al estudiar la forma de construir la ecuación de Schrödinger, el texto de Eisberg y Resnick hace dos
aproximaciones fundamentales (en esencia, ambas aproximaciones significan lo mismo que decir que la
deducción de la ecuación es para un sistema no relativista):
I. Se ignoran los fenómenos de creación y destrucción de partículas materiales.
II. Se supone que todas las velocidades de las partículas materiales son suficientemente pequeñas para
que sea válida la aproximación no relativista (hay una discusión interesante sobre la estimación de
energía relativista en el ejemplo 6.6 del Eisberg y Resnick).
Partiendo de dichos puntos, se desarrollan un conjunto de suposiciones para la construcción de la
ecuación de Schrödinger (1926), cuya plausibilidad se discute en detalle en el texto. El resultado
resulta ser
−
~
2
2m
∇
2
Ψ(~r, t) +V (~r, t) Ψ(~r, t) = i~
∂
∂t
Ψ(~r, t) .
COMPLEMENT O: Ecuación de Schrödinger: linealidad y principio de superposición.
Dado que una dimensión la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal (repase lo que
significa eso) y en general una ecuación en derivadas parciales lineal, sus soluciones satisfacen el prin-
cipio de superposición: cualquier combinación lineal de (dos) soluciones de la ecuación es
también una solución. La amplitudes de las ondas materiales pueden sumarse, de igual manera
que se pueden sumar las amplitudes de las ondas electromagnéticas (pues las ecuaciones de Maxwell
también son lineales). Nótese que ya hemos supuesto implícitamente la linealidad, cuando hablamos
de sumar las amplitudes de las ondas materiales al discutir las figuras de difracción de los experimentos
del tipo Davisson y Germer.
Se sabe que una onda plana es solución de la ecuación de Schrödinger en zonas donde la energía
potencial es constante (véase el tema 8), por lo que una combinación cualquiera de ondas planas
también será solución de dicha ecuación de Schrödinger. Dada una función compleja cualquiera Q(k),
podemos escribir la combinación lineal más general como una integral
Ψ(x, t) =
Z
dk Q(k) e
i(k·r−ωt)
.
Por lo tanto, podemos concluir que cualquier onda material Ψ(x, t) se puede considerar como una
superposición de ondas materiales planas.
11
• Interpretación estadística de la función de onda.
El postulado de Born (1926) establece la relación entre la densidad de probabilidad (esto es, la
probabilidad por unidad de volumen de encontrar la partícula en la vecindad de un punto ~r en un
instante t) y la función de onda como
P (~r, t) = Ψ
∗
(~r, t) Ψ(~r, t) .
11
Nota matemática: la teoría de la integral de Fourier (véase algún libro de Métodos Matemáticos para la Física) nos dice
que la integral
R
dk Q(k) e
i(k·r−ωt)
existe siempre y cuando la función Q(k) se comporte razonablemente bien; además, nos
demuestra que cualquier función de onda Ψ(x, t) puede expresarse como superposición de ondas planas.
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Por tanto, la densidad de probabilidad es el cuadrado complejo de la función de onda.
COMPLEMENT O: Como ya hemos discutido al hablar de la posible divisibilidad de fotones y ondas
materiales, lo que debe interpretarse como la probabilidad de detectar una partícula es el cuadrado de
la amplitud (del campo para un fotón, de la onda material para el electrón). La extensión formal de
estos comentarios, que hicimos en los temas 2 y 3, constituye la base de la interpretación estadística
de la función de onda por Born (1926). Vamos a dar algún argumento más para justificar dicha
interpretación.
Como ya es sabido (véase el complemento anterior), la ecuación de Schrödinger es una ecuación difer-
encial lineal, con lo que sus soluciones satisfacen el principio de superposición. Dado que una onda
plana es la solución de la ecuación de Schrödinger para un partícula en el espacio libre, la solución más
general de dicha ecuación para una partícula que se mueve libremente en el espacio será la combinación
lineal más general de ondas planas, esto es
Ψ(x, t) =
Z
dk Q(k) e
i(k·r−ωt)
,
donde Q(k) es una función en general compleja. Si elegimos adecuadamente la función Q(k) podemos
construir paquetes de ondas que estén localizados en una cierta región del espacio en un instante dado;
ese paquete de ondas representará una partícula confinada en dicha región finita del espacio (esto es,
representará cualquier partícula que se quiera estudiar experimentalmente). Parece natural afirmar
que es más probable encontrar la partícula en aquellas regiones del espacio en que la función de onda
es grande. Por eso, dado que la función de onda es en general compleja, se asocia el cuadrado de su
módulo (la densidad de probabilidad) a la probabilidad de encontrar la partícula .
La dualidad onda-partícula queda, pues, cerrada en base a las dos interpretaciones que ya se han
discutido:
(1) el tratamiento por Einstein (1905) para la radiación electromagnética (fotones).
(2) la interpretación estadística de la función de onda (Born, 1926) para las partículas materiales.
Más adelante, en el tema de Estadísticas Cuánticas se verá que los cuantos de las vibraciones de una
red cristalina (los fonones) también cumplen esta dualidad.
• Valores esperados, de expectación o valores medios
(apartado 5.4 del libro de Eisberg y Resnick).
La interpretación estadística de la función de onda permite definir los valores medios o valores esperados
como los que obtendríamos de una medida sobre un gran número de sistemas, en cada uno de los cuales
la partícula tuviera la misma función de onda. Esto es el significado de calcular el valor medio mediante
la densidad de probabilidad.
Sólo para una partícula en un estado de energía bien definida (esto es, para un estado estacionario;
véase más adelante las propiedades de las autofunciones) la densidad de probabilidad es independiente
del tiempo.
En general, en una dimensión el valor medio de cualquier función de la posición vendrá dado por
f (x, t) =
Z
+∞
−∞
f (x, t) P (x, t) dx =
Z
+∞
−∞
f (x, t) Ψ
∗
(x, t) Ψ(x, t) dx =
Z
+∞
−∞
f (x, t) |Ψ(x, t)|
2
dx.
Como observará, el valor medio f (x, t) es una función que en general depende del tiempo (aunque no
de x, pues ya se ha integrado en esa variable).
Como puede ver usted discutido en el complemento sobre las variables cuánticas (vea más abajo), en
general una variable cuántica es un operador lineal, cuyo valor medio podemos calcular mediante el
procedimiento acabado de esbozar.
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• Variables dinámicas en mecánica cuántica
(apartado 5.4 del Eisberg y Resnick).
La relación entre las variables dinámicas en mecánica cuántica y los operadores que actúan sobre las
funciones de onda viene discutida en el complemento. Los operadores más comunes pueden expresarse
como
x
op
↔x
p
x, op
↔−i~
∂
∂x
y de igual manera para las otras coordenadas cartesianas. El operador hamiltoniano o energía se escribe
como
H
op
=
p
2
op
2m
+V
op
(x, t) =⇒H
op
↔i~
∂
∂t
COMPLEMENT O.
Nota: haremos el tratamiento en una dimensión, pero lo aquí explicado se generaliza sin ninguna
dificultad a más dimensiones.
Sea Ψ(x, t) una función de onda normalizada a la unidad. Llamaremos Ψ(x, t
0
) a dicha función de onda
en un instante de tiempo determinado t
o
. Si aceptamos la interpretación probabilística de la función
de onda, dado que |Ψ(x, t
0
)|
2
es una densidad de probabilidad que define la distribución probabilística
del observable físico x, los valores medios de x y x
2
deben venir dados por
x ≡ hxi =
Z
∞
−∞
dxΨ
∗
(x, t
0
) xΨ(x, t
0
) =
Z
∞
−∞
dxx |Ψ(x, t
0
)|
2
x
2
≡
­
x
2
®
=
Z
∞
−∞
dxx
2
|Ψ(x, t
0
)|
2
,
donde x o hxi es el valor esperado, valor de expectación o valor medio de x en el estado ψ. Esto
es, claro está, generalizable para cualquier función de x, de forma que el valor media de la energía
potencial de una partícula será:
V =
Z
∞
−∞
dxV (x) |Ψ(x, t
0
)|
2
.
Definimos ahora la indeterminación en x como la desviación cuadrática media de x, esto es,
(∆x)
2
= (x −x)
2
=
D
(x −hxi)
2
E
=
Z
∞
−∞
dx (x −hxi)
2
|Ψ(x, t
0
)|
2
=
­
x
2
®
−2 hxi hxi+hxi
2
=
­
x
2
®
−hxi
2
;
de manera que cuando más concentrada se encuentre la función de onda en torno a su posición media,
hxi = x, tanto menor es ∆x.
Pregunta: ¿se imagina el alumno qué tipo de función de onda sería necesario para un estado en el que
se conozca exactamente la posición, con ∆x = 0?
Ahora bien, sabemos calcular, por ejemplo, el valor medio de la variable cuántica de posición x, ¿pero
cuál es valor numérico de la propia variable cuántica x? La respuesta es: una variable cuántica NO tiene
un valor numérico, sólo podemos definir procedimientos mediante los que se pueden calcular valores
medios para cualquier función de onda (esto es, para cualquier estado cuántico).
Lo anteriormente dicho es válido para variables cuánticas que dependan de la posición, pero el problema
está en cómo definir otras variables cuánticas que no dependen de x. Para intentar avanzar, supongamos
una función de onda normalizada que tiene la forma Ψ(x, t
0
) = C exp(ixe p/~) en un intervalo muy
grande de la recta real; fuera de ese intervalo la función de onda tiende a cero. Dado que la función de
onda es prácticamente una onda plana en una zona muy grande, podemos decir que aproximadamente
tiene un vector de onda muy bien definido, de valor k ' e p/~. Por tanto, el valor medio del momento
lineal debe ser muy cercano a e p, esto es p ' e p. Dentro del citado intervalo se cumple que
−i~
∂
∂x
Ψ(x, t
0
) = e pΨ(x, t
0
) .
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De esta manera, y dado que Ψ(x, t
0
) está normalizada, podemos multiplicar la ecuación anterior por
Ψ
∗
(x, t
0
) e integrar
Z
∞
−∞
dxΨ
∗
(x, t
0
)
µ
−i~
∂
∂x
¶
Ψ(x, t
0
) =
Z
∞
−∞
dxΨ
∗
(x, t
0
) e p Ψ(x, t
0
) ' e p ' p,
donde se ha tenido en cuenta que la parte importante de la integración proviene del intervalo antes
definido. En definitiva, para una función de onda como la utilizada aquí, podemos calcular el valor
medio del momento lineal mediante esta integral.
POSTULAMOS entonces que esto es cierto para cualquier función de onda, esto es, que el valor medio
p del momento lineal de un estado cuántico definido por una función de onda cualquiera Ψ(x, t
0
) viene
dado por:
p = hp
op
i =
Z
∞
−∞
dxΨ
∗
(x, t
0
)
µ
−i~
∂
∂x
¶
Ψ(x, t
0
) .
Este postulado nos permite entonces afirmar que la variable cuántica de momento lineal es el operador
diferencial (que denotamos por p
op
)
p
op
= −i~
∂
∂x
,
cuyo valor medio hemos calculado. De esta manera podemos definir el operador cuadrado del momento
lineal como el resultado de operar dos veces con dicho operador
p
2
op
=
µ
−i~
∂
∂x
¶µ
−i~
∂
∂x
¶
= −~
2
∂
2
∂x
2
,
cuyo valor medio se calcula también como
p
2
op
=
­
p
2
op
®
=
Z
∞
−∞
dxΨ
∗
(x, t
0
)
µ
−~
2
∂
2
∂x
2
¶
Ψ(x, t
0
) .
La indeterminación del momento lineal la podemos evaluar pues como
(∆p)
2
=
D
(p
op
−hp
op
i)
2
E
=
Z
∞
−∞
dxΨ
∗
(x, t
0
) (p
op
−hp
op
i)
2
Ψ(x, t
0
) =
­
p
2
op
®
−hp
op
i
2
.
El postulado se puede extender en general a cualquier variable cuántica Q, para que su
valor medio se pueda calcular mediante la integración
hQ
op
i =
Z
∞
−∞
dxΨ
∗
(x, t
0
) Q
op
Ψ(x, t
0
) ,
donde Q
op
es un operador lineal adecuado a la variable cuántica, que actúa sobre la función de onda
de su derecha.
Ejemplo: Si llamamos m a la masa de la partícula que queremos estudiar, la energía cinética vendrá
representada por el operador diferencial
p
2
op
2m
= −
~
2
2m
d
2
dx
2
.
Por otra parte, en mecánica clásica, la energía total puede expresarse en función de las variables
de momento y de posición mediante la función de Hamilton (recordar los conceptos aprendidos en
la asignatura de Mecánica y Ondas). Por ello, en mecánica cuántica podemos obtener el operador
hamiltoniano correspondiente, H
op
, al escribirlo como un operador diferencial suma de los operadores
de energía cinética y energía potencial. En una dimensión esto es simplemente:
H
op
=
p
2
op
2m
+V
op
(x) = −
~
2
2m
d
2
dx
2
+V (x)
y en tres dimensiones
H
op
=
p
2
op
2m
+V
op
(x) = −
~
2
2m
∂
2
∂x
2
−
~
2
2m
∂
2
∂y
2
−
~
2
2m
∂
2
∂z
2
+V (x) .
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• Separación de la variable temporal y las variables espaciales: la
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
(apartado 5.5 del Eisberg y Resnick).
En el caso en que la energía potencial del sistema no dependa de manera explícita del tiempo, es posible
encontrar para todo instante de tiempo t soluciones en las que las variables espacial y temporal están
separadas, de forma que la función de onda Ψ(x, t) tenga dos partes: una puramente espacial ψ(x)
y otra puramente temporal T (t), de manera que la función de onda total será Ψ(x, t) = ψ(x) T (t).
Cuando se introduce esta expresión en la ecuación de Schrödinger, nos queda una ecuación diferencial
para la parte espacial de la función de onda en términos de un operador diferencial H
op
:
H
op
≡ −
~
2
2m
∇
2
+V (x) ⇐⇒H
op
ψ(x) = Eψ(x) ,
que se denomina ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. De lo anterior resulta que la
función de onda puede escribirse como:
Ψ(x, t) = ψ(x) exp(−iEt/~) .
En estas expresiones la constante E es la energía total de la partícula.
Note que en este caso los valores medios no dependen del tiempo y por eso a estos estados se les llama
estados estacionarios.
• Propiedades de las autofunciones (apartado 5.6 del Eisberg y Resnick).
Aunque existan soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, pero sólo podemos
admitir las que sean aceptables para el sistema físico que queremos describir. Es, por consiguiente,
parte esencial de la búsqueda de las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
el incluir las condiciones que hacen que una determinada solución sea admisible desde un punto de
vista físico para el sistema que se está estudiando. Esas condiciones están explicitadas, hablando en
lenguaje matemático, por las llamadas condiciones de contorno de la ecuación diferencial. Aquellos
valores de E para los que la ecuación de Schrödinger tiene una solución aceptable (esto es, que la
solución cumpla las condiciones físicas impuestas por las condiciones de contorno) son los autovalores
o valores propios o eigenvalores del operador H
op
(o de la ecuación diferencial). Las correspondiente
soluciones ψ(x) son las autofunciones o funciones propias o eigenfunciones del operador y cosntituyen
la parte espacial ψ(x) de la función de onda total, Ψ(x, t) = ψ(x) exp(−iEt/~).
• Cuantización de la energía (apartado 5.7 del Eisberg y Resnick).
Al estudiar la solución del problema de la cuerda vibrante entre dos extremos fijos
12
se obtienen
soluciones discretas de la ecuación diferencial que describe dicho problema (por ejemplo, la longitud
de onda de los posibles modos de vibración de la cuerda tiene soluciones discretas, sin que los valores
posibles constituyan un contiunuo). Esa discretización de los valores que se obtienen en el caso de la
cuerda que vibra corresponde justamente al mismo problema matemático que se nos plantea al resolver
la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
En mecánica cuántica debemos resolver habitualmente la ecuación diferencial (ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo)
·
−
~
2
2m
µ
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
¶
+V (x, y, z)
¸
ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
con las condiciones físicas de contorno adecuadas para nuestro problema. Esta es una ecuación difer-
encial llamada de valores propios (o autovalores
13
), que sólo tiene solución para algunos valores deter-
minados de la constante E; para cada uno de ellos, por tanto, se corresponde una determinada función
12
Tratada, por ejemplo, en la asignatura de Mecánica y Ondas.
13
En la traducción del libro de Eisberg y Resnick recibe el nombre de ecuación de eigenvalores, que respeta (al igual que en
inglés) el prefijo alemán eigen.
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ψ(x). Esto es debido a que como es una ecuación diferencial en derivadas parciales, hay que definir las
condiciones de contorno de cada problema en particular que se quiera resolver; para un sistema deter-
minado sólo existirán soluciones de dicha ecuación diferencial para algunos valores de E, que reciben
el nombre de valores propios de la ecuación diferencial. Como ya hemos comentado, las soluciones
ψ(x) que corresponden a dichos valores propios se llaman funciones propias (o autofunciones; en la
traducción del libro de Eisberg y Resnick se llaman eigenfunciones) de la ecuación diferencial.
Por tanto, si la partícula está representada por una función de onda que corresponde a un valor propio
E
n
, entonces la función propia viene etiquetada por dicho valor propio n y la escribimos como ψ
n
(x).
Por tanto, si queremos hallar los niveles de energía de un sistema físico descrito por la energía potencial
V (x, y, z), debemos solucionar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo correspondiente a
ese potencial.
Por otra parte, podemos afirmar que si la partícula está representada por una función de onda que es
un autoestado n del hamiltoniano con autovalor
14
E
n
, este valor E
n
es el valor esperado (o valor de
expectación o valor medio) del operador hamiltoniano. (¡demuéstrelo!; ¿hace falta alguna condición
más para obtener ese resultado?)
• El apartado 5.8 del texto-base (Eisberg y Resnick) es muy importante, debe estudi-
arse con especial atención.
Como complemento, se presenta aquí una discusión sobre las diferencias que se pueden establecer
entre soluciones estacionarias y no estacionarias de la ecuación de Schrödinger. Consideremos una caja
unidimensional (o pozo cuadrado infinito, véase el apartado 6.8 del libro de Eisberg y Resnick para
las soluciones) de longitud a, situada entre x = 0 y x = a. Las soluciones estacionarias de la ecuación
de Schrödinger tienen la forma
Ψ(x, t) = ψ(x) e
−iEt/~
,
donde la energía E toma los valores discretos
E
n
=
n
2
π
2
~
2
2ma
2
,
siendo n = 1, 2, 3, . . . La autofunción ψ(x) que corresponde a la n-ésima energía es
Ψ
n
(x, t) =
r
2
a
sin
³
nπx
a
´
exp
µ
−
iE
n
t
~
¶
= ψ
n
(x) exp
µ
−
iE
n
t
~
¶
dentro del pozo, esto es en el intervalo (0, a), y nula fuera de él (verifíquese que está normalizada). La
densidad de probabilidad es entonces
P
n
(x, t) = |Ψ
n
(x, t)|
2
= P
n
(x) = |ψ
n
(x, t)|
2
=
2
a
sin
2
³
nπx
a
´
dentro del intervalo (0, a) y cero fuera de él. Esta densidad de probabilidad no depende del tiempo,
como debe ser para una solución estacionaria.
Consideremos ahora la combinación lineal (normalizada) de cualesquiera dos soluciones:
Ψ(x, t) =
r
1
2
[Ψ
n
(x, t) +Ψ
m
(x, t)] ,
con n 6= m. La densidad de probabilidad asociada es
P (x, t) = |Ψ(x, t)|
2
=
1
a
·
sin
2
³
nπx
a
´
+ sin
2
³
mπx
a
´
+ 2 sin
³
nπx
a
´
sin
³
mπx
a
´
cos
µ
(E
n
−E
m
) t
~
¶¸
que depende del tiempo, con un término oscilatorio en el tiempo (proveniente de los términos
cruzados del cuadrado) cuya frecuencia es
2πν
nm
= ω
nm
=
(E
n
−E
m
)
~
14
Esto es, es una de las posibles soluciones ψ
n
(x) de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con autovalor E
n
y por tanto cumple que H
op
ψ
n
(x) = E
n
ψ
n
(x) .
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(véase también el ejemplo 5.13 del libro de Eisberg y Resnick). Se obtendrá este tipo de resultado (con
términos oscilatorios dependientes del tiempo) siempre que se utilice cualquier combinación lineal de
soluciones estacionarias: el resultado es no estacionario.
NOTA: Se puede demostrar (haga usted un intento) que cualquier solución físicamente aceptable
de la ecuación de Schrödinger se puede escribir de manera única en la forma
Ψ(x, t) =
X
n
c
n
Ψ
n
(x, t)
donde las Ψ
n
(x, t) son las funciones de onda estacionarias que corresponde a la n-ésima energía y las
c
n
son constantes complejas. Sólo aquellas soluciones de la ecuación de Schrödinger cuya densidad
de probabilidad es independiente del tiempo son soluciones estacionarias (esto es, que corresponden a
un único autovalor de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo). Utilizando el argumento
que se acaba de usar, para los estados no estacionarios, la densidad de probabilidad muestra una
dependencia oscilatoria en el tiempo con un conjunto de frecuencias dadas por ω
nm
= (E
n
−E
m
) /~,
en función de las diferencias entre las energías de los niveles estacionarios. Estas frecuencias son, por
tanto, características del sistema y cabe esperar que sean las frecuencias de absorción y emisión de
radiación del sistema
15
. La existencia de los niveles discretos de energía puede determinarse de manera
experimental observando la energía emitida o absorbida cuando el sistema hace una transición de un
estado a otro.
Debe aquí recordarse que en mecánica clásica una partícula cargada irradia energía electromagnética
cuando se acelera; en particular, si la partícula cargada oscila con una frecuencia dada, la frecuencia
de la radiación electromagnética emitida es igual a la frecuencia de la oscilación. Sin embargo, una
distribución estacionaria de carga no emite radiación. En efecto, supongamos un sistema cuántico
formado por una partícula con carga q en un estado cuántico estacionario n:
Ψ
n
(x, t) = ψ
n
(x) exp(−iE
n
t/~)
donde E
n
es la energía del estado y ψ
n
(x) es la n-ésima solución de la ecuación de Schrödinger indepen-
diente del tiempo para una energía potencial V (x). Podemos identificar la cantidad qΨ
∗
n
(x, t) Ψ
n
(x, t)
como la densidad de carga del sistema, que resulta ser independiente del tiempo, con lo que el sistema
no radiará energía (explíquese usted ahora el por qué del postulado de Bohr acerca de las órbitas que
no radian).
Pero nosotros sabemos que existen transiciones experimentales entre estados cuánticos: estas transi-
ciones pueden estar inducidas por una acción externa, por ejemplo por la interacción entre un campo
electromagnético externo y la partícula cargada. En un curso posterior de mecánica cuántica se estu-
diará en detalle esta interacción, ahora sólo vamos a hacer alguna discusión cualitativa. Escribamos
la función de onda de un sistema cuántico que está haciendo una transición como una mezcla de dos
estados Ψ
n
y Ψ
m
:
Ψ(x, t) = c
n
Ψ
n
(x, t) +c
m
Ψ
m
(x, t)
Como ya hemos comentado antes, la densidad de probabilidad (y, por tanto la distribución de carga)
asociada a este sistema mezclado oscila con el tiempo, con una frecuencia es
2πν
nm
= ω
nm
=
(E
n
−E
m
)
~
,
que coincide con la frecuencia de transición de Bohr entre órbitas distintas. Este es el argumento que
se usará en el tema 13, cuando se hable de las probabilidades de transición entre niveles de un sistema
cuántico.
• COMPLEMENT O: Propiedades generales de los sistemas cuánticos.
Para simplificar, vamos a suponer un sistema cuántico constituido por una única partícula. Supongamos
que el conjunto de coordenadas lo denotamos por
16
~r.
15
Estas frecuencias son, por así decirlo, las frecuencias para las que el sistema entra en resonancia: ¿rememora ahora las ideas
de Bohr acerca de las frecuencias de absorción y emisión de radiación?
16
Así, si tenemos una partícula sin spin, las coordenadas designadas por ~r son las tres coordenadas espaciales pero si la
partícula tiene spin entonces podemos representarla por las tres coordenadas espaciales y la de spin (el spin se tratará en el
tema 12).
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El elemento básico del tratamiento cuántico es que cada estado de este sistema cuántico puede de-
scribirse por una función (en general, compleja) de las coordenadas Ψ(~r, t), llamada función de onda.
El cuadrado del módulo de dicha función nos da la densidad de probabilidad P (~r, t) = Ψ(~r, t)
∗
Ψ(~r, t)
(véase Eisberg y Resnick, apartado 5.3), que representa la distribución de probabilidad de encontrar
la partícula cuántica en un punto del espacio..
Si Ψ(~r, t) es la función de onda, llamaremos ψ(~r) a dicha función de onda en un instante de tiempo
determinado t
o
. Veamos alguna de las propiedades que debe cumplir Ψ(~r, t).
1. La densidad de probabilidad debe estar normalizada y por lo tanto para todo valor de t se cumple
que
R
|Ψ(~r, t)|
2
d~r = 1. Esta es la condición de normalización de la función de onda.
2. Como el valor esperado (o valor de expectación) de cualquier función de ~r y t (apartado 5.4 del
Eisberg y Resnick) viene dado por
f (~r, t) =
Z
Ψ(~r, t)
∗
f (~r, t) Ψ(~r, t) d~r,
que es únicamente una función de t, es claro que la función de onda normalizada está definida
salvo un factor constante de fase del módulo unidad (esto es, del tipo e
iα
, siendo α un número
real cualquiera). Esta falta de unicidad no tiene importancia alguna, dado que no se refleja en
ningún resultado físico (en particular, en ninguna medida).
Pregunta para el alumno: ¿por qué no se refleja ese factor de fase en ningún resultado físico?
3. Supongamos, por ejemplo, que al efectuar una medida de la energía de un sistema caracterizado
por el estado ψ
m
(~r) se obtiene el resultado E
m
y que al efectuar la medida con otro estado ψ
n
(~r)
se obtiene el resultado E
n
. Entonces (por el principio de superposición) cualquier combinación
lineal de esos estados ψ(~r) = c
n
ψ
n
(~r) +c
m
ψ
m
(~r), representa un estado cuya medida puede dar
el resultado o bien E
m
o bien E
n
. Esto se debe a que las ecuaciones que deben satisfacer las
funciones de onda son lineales respecto de ψ(~r) pues si se calcula el valor esperado de la energía
en ese estado combinado resulta que ese valor medio da como resultado |c
n
|
2
E
n
+|c
m
|
2
E
m
(haga
el cálculo el alumno). Por tanto, el cuadrado complejo de cada constante c
n
nos da la probabilidad
de encontrar la energía correspondiente al autoestado n.
4. Consideremos una magnitud física Aque caracteriza el estado de un sistema cuántico (por ejemplo,
puede ser la energía, el momento lineal, el momento angular, etc.). Los valores que puede tener
una magnitud física en mecánica cuántica se llaman sus valores propios, sus autovalores o sus
eigenvalores. El conjunto de estos valores es el llamado espectro de la magnitud física. En
mecánica clásica los valores suelen tomar una sucesión continua, pero en mecánica cuántica los
valores propios puede tener una sucesión continua de valores (espectro continuo) o una sucesión
discreta (espectro discreto) o ambas a la vez. Para simplificar, supondremos que nuestra magnitud
A tiene espectro discreto. Sus valores propios los denotamos por A
0,
A
1,...
Si llamamos a las
funciones correspondientes a cada uno de esos autovalores ψ
n
(~r), con n = 0, 1, . . ., el principio
de superposición nos dice que la función de onda más general que sea solución de nuestro sistema
físico será la combinación lineal de estas ψ
n
(~r)
ψ(~r) =
X
c
n
ψ
n
(~r) ,
con constantes c
n
complejas y se dice que el conjunto de funciones ψ
n
(~r) es un sistema completo.
5. Asociamos a cada magnitud física (como se ha hecho anteriormente) un operador lineal A
op
de
tal manera que el valor medio de la magnitud física A lo podamos calcular mediante la integral
A =
Z
ψ(~r)
∗
(A
op
ψ(~r)) d~r
siendo A
op
un operador lineal. Como los valores medios que pueden tomar las magnitudes
físicas son reales, al hacer la conjugación compleja de la ecuación anterior se verifica la igualdad
Z
ψ(~r)
∗
(A
op
ψ(~r)) d~r =
Z
ψ(~r)
¡
A
∗
op
ψ
∗
(~r)
¢
d~r,
siendo A
∗
op
el operador conjugado complejo del operador A
op
. Pero esta ecuación no se cumple
para cualquier operador lineal: sólo aquellos operadores llamados hermíticos la verifican. Por ello,
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los operadores correspondientes a las magnitudes físicas deben ser hermíticos (por ejemplo, p
op
,
H
op
, L
op
, etc.).
17
Además, si a partir de la ecuación de autovalores hacemos las operaciones algebraicas siguientes:
A
op
ψ
n
= A
n
ψ
n
A
op
ψ
m
= A
m
ψ
m
¾
⇒ψ
∗
m
A
op
ψ
n
−ψ
n
A
∗
op
ψ
∗
m
= (A
n
−A
m
) ψ
n
ψ
∗
m
e integrando, y teniendo en cuenta que el operador A
op
es hermítico, se llega a
(A
n
−A
m
)
Z
ψ
n
(~r) ψ
∗
m
(~r) d~r = 0
con lo que se encuentra que las funciones de onda correspondientes a valores propios
distintos de una magnitud física son ortogonales, esto es, que
R
ψ
n
(~r) ψ
∗
m
(~r) d~r = 0. Si,
además, las autofunciones están normalizadas se tendrá que el conjunto de funciones propias de
una magnitud física constituye un sistema completo de funciones normalizadas y ortogonales dos
a dos (esto es, un conjunto de funciones de onda ortonormales):
Z
ψ
n
(~r) ψ
∗
m
(~r) d~r = δ
mn
=
½
= 1 si n = m
= 0 si n 6= m
6. Sea un sistema constituido por dos partes (que llamaremos 1 y 2), de manera que podamos
describir cada una de las partes separadamente de manera completa, cada una con su conjunto
de coordenadas ~r
1
y ~r
2
. Podemos entonces afirmar que la distribución de las probabilidades de
la parte 1 es completamente independiente de la de la parte 2 y, por tanto, que la distribución
de probabilidades para el sistema total es el producto de las probabilidades de cada una de sus
partes. En el lenguaje de las funciones de onda:
Ψ
12
(~r
1
, ~r
2
, t) = Ψ
1
(~r
1
, t) Ψ
2
(~r
2
, t)
Esto significa que un sistema de, por ejemplo, dos partículas independientes tiene una función de
onda que es el producto de las funciones de cada partícula por separado (se verá esto más adelante
cuando se discutan los sistemas de partículas idénticas: tema 14).
• COMPLEMENT O: Resumen muy breve de los postulados de la mecáni-
ca cuántica.
18
1. Para un sistema de una partícula hay una función de onda que determina todo lo que se puede
conocer del sistema. Esta función de onda de la partícula es una función compleja de las coorde-
nadas y del tiempo.
2. Con cada observable físico (la energía, la posición de la partícula, etc.) hay asociado un operador.
Este operador asociado debe ser hermítico, pues todos los valores propios de un operador hermítico
son números reales.
3. Si llamamos A
op
al operador asociado al observable A, una medida de A da como resultado uno
de los valores propios (o autovalores) de la ecuación de valores propios siguiente:
A
op
ψ
n
= a
n
ψ
n
Por consiguiente, si la función de onda de la partícula antes de la medida es ψ
n
se obtendrá
exactamente a
n
como resultado de medir A. Sin embargo, si la función de onda de la partícula
antes de la medida no es una de las autofunciones es imposible predecir con seguridad cuál de los
resultados posibles se obtendrá.
4. La evolución temporal de la función de onda Ψ se determina mediante la ecuación de Schrödinger
H
op
Ψ(~r, t) = i~
∂
∂t
Ψ(~r, t)
donde el operador hamiltoniano H
op
corresponde al observable energía total del sistema.
17
Sería conveniente que usted repase los conceptos de matriz hermítica, etc., de Álgebra elemental.
18
Para un estudio más profundo de este tema, véase el libro Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica, cuyos
autores son P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (UNED, colección Cuadernos de la UNED).
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5. El conjunto de funciones propias (o autofunciones) de un observable, esto es, aquellas que cumplen
la ecuación
A
op
ψ
n
= a
n
ψ
n
,
forman un conjunto infinito de funciones linealmente independientes, que puede usarse para desar-
rollar cualquier función de onda del sistema. Se supondrá siempre que ese conjunto de funciones
está normalizado, con lo que forma un conjunto ortonormal completo de funciones.
Por tanto, cualquier función de onda Ψ puede desarrollarse como combinación lineal de esas
autofunciones:
Ψ(~r, t) =
X
i
c
i
ψ
i
(~r, t) .
En el caso de que estemos hablando de las autofunciones del operador hamiltoniano (o energía),
si llamamos ψ
i
(~r) a sus autofunciones, esto es si se verifica que H
op
ψ
i
(~r) = E
i
ψ
i
(~r), sabemos
que la función de onda correspondiente a esas autofunciones es Ψ
i
(~r, t) = ψ
i
(~r) exp(−iE
i
t/~).
Por consiguiente, una función de onda cualquiera se podrá escribir como
Ψ(~r, t) =
X
i
c
i
Ψ
i
(~r, t) =
X
i
c
i
ψ
i
(~r) exp(−iE
i
t/~) =
X
i
C
i
(t) ψ
i
(~r)
6. El valor esperado de un observable A cuando el sistema está descrito por una función de onda Ψ
viene dado por
A =
Z
Ψ
∗
(~r, t) A
op
Ψ(~r, t) d~r.
Esto significa que si la función de onda está normalizada a la unidad, y dado el carácter ortonormal
de las funciones propias, que el valor esperado de ese observable se puede escribir (¡demuéstrelo
con detalle!) como
A =
X
i
a
i
|c
i
|
2
,
de manera que el número real |c
i
|
2
puede interpretarse como la probabilidad de encontrar al
sistema en el estado designado por el subíndice i. Para un ejemplo sencillo, véase la solución a los
problemas 5.33 y 5.34 del libro de Eisberg y Resnick en el apartado de problemas de este envío.
• COMPLEMENT O: Relaciones de incertidumbre posición-impulso (aparta-
do 3.3 del libro de Eisberg y Resnick)
Nota: haremos el tratamiento en una dimensión, pero lo aquí explicado se generaliza sin problemas a
más dimensiones.
Veamos cómo demostrar con toda generalidad que ∆x · ∆p ≥
1
2
~. Sea Ψ(x, t) una función de onda de
Schrödinger, normalizada a la unidad. Llamaremos ψ(x) a dicha función de onda en un instante de
tiempo determinado t
o
.
Elegimos hxi = 0 y hpi = 0, sin que esto merme la generalidad de la demostración. Primeramente,
tómese la integral I (λ) siguiente, que es mayor o igual a 0 (para todo valor del parámetro real λ):
I (λ) ≡
Z
∞
−∞
dx
¯
¯
¯
¯
xψ(x) +λ~
dψ(x)
dx
¯
¯
¯
¯
2
.
Al integrarla por partes, nos da
I (λ) =
Z
∞
−∞
dx|xψ(x)|
2
+λ~
Z
∞
−∞
dx
µ
dψ
∗
(x)
dx
xψ(x) +xψ
∗
(x)
dψ(x)
dx
¶
+λ
2
~
2
Z
∞
−∞
dx
¯
¯
¯
¯
dψ(x)
dx
¯
¯
¯
¯
2
.
El primero de los sumandos lo podemos reescribir como
R
∞
−∞
x
2
|ψ(x)|
2
dx, de manera que si la función
de onda ψ(x) está normalizada ese sumando es
­
x
2
®
. El segundo sumando podemos escribirlo como
λ~
µZ
∞
−∞
dx
dψ
∗
(x)
dx
xψ(x) +
Z
∞
−∞
dx xψ
∗
(x)
dψ(x)
dx
¶
= λ~
µZ
∞
−∞
dx
dψ
∗
(x)
dx
xψ(x) + [xψ
∗
(x) ψ(x)]
∞
−∞
−
Z
∞
−∞
xψ(x)
dψ
∗
(x)
dx
dx −1
¶
= −λ~
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si suponemos que ψ(±∞) = 0. Por último, si escribimos el valor medio del cuadrado del momento
lineal como
­
p
2
®
= −~
2
Z
∞
−∞
ψ
∗
(x)
d
2
ψ(x)
dx
2
dx,
e integramos por partes
­
p
2
®
= −~
2
Z
∞
−∞
ψ
∗
(x)
d
2
ψ(x)
dx
2
dx = −~
2
·
ψ
∗
(x)
dψ(x)
dx
¸
∞
−∞
+~
2
Z
∞
−∞
dψ
∗
(x)
dx
dψ(x)
dx
dx = ~
2
Z
∞
−∞
dx
¯
¯
¯
¯
dψ(x)
dx
¯
¯
¯
¯
2
después de usar que ψ(±∞) = 0. Por tanto, la integral nos queda como un polinomio de segundo
grado en λ,
I(λ) =
­
x
2
®
−λ~ +λ
2
­
p
2
®
.
Pero la integral es definida positiva, I(λ) ≥ 0, por lo que no puede cumplirse que la ecuación I (λ) = 0
tenga dos soluciones reales: eso significa que el discriminante del polinomio ha de ser negativo
19
; por
tanto, obtenemos que
­
x
2
® ­
p
2
®
≥
1
4
~
2
.
Como se ve, esta ecuación es menos restrictiva que la que buscamos. Queda, sin embargo, como trabajo
para el alumno ver que si utilizamos la integral
I
0
(λ) =
Z
∞
−∞
dx
¯
¯
¯
¯
(x −hxi) ψ(x) + λ
µ
~
∂
∂x
−i hpi
¶
ψ(x)
¯
¯
¯
¯
2
≥ 0
entonces el polinomio de segundo grado en λ resulta ser
I
0
(λ) = (∆x)
2
−λ~ +λ
2
(∆p)
2
≥ 0
y como su discriminante debe ser negativo
∆x · ∆p ≥
1
2
~
que es lo que se quería demostrar.
Nótese que en esta demostración NO se ha utilizado ninguna suposición acerca de la forma de la función
de onda, de manera que la relación de indeterminación es una propiedad completamente
general de los sistemas cuánticos, pues lo único que se ha usado en la demostración es que el
operador momento está asignado a un operador diferencial proporcional a d/dx (además, obviamente,
que ψ(±∞) = 0).
19
En efecto, si el discriminante fuera positivo y no nulo, entonces existirían dos soluciones reales λ
1
y λ
2
de la igualdad
I (λ) = 0. Por tanto, si por ejemplo λ
1
> λ
2
, para aquellos valores de λ entre λ
2
y λ
1
se cumpliría que I(λ) = (λ −α) (λ −β) < 0.
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8 Tema 8. Problemas unidimensionales: estados de colisión.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: apartados 6.1 a 6.6 (resumen en el apartado 6.10).
Alonso y Finn, vol. III, apartados 2.4 y 2.8.
Hay al menos dos razones para estudiar sistemas unidimensionales en mecánica cuántica:
1.- los modelos unidimensionales son modelos sencillos, que permiten poner de manifiesto algunas de las
propiedades cuánticas que aparecen posteriormente en sistemas físicos más complicados.
2.- algunos problemas, después de ser elaborados adecuadamente, quedan reducidos a ecuaciones en una
dimensión (por ejemplo, en el estudio del átomo de hidrógeno, que se hará en el tema 10 y siguientes de la
Segunda Prueba Personal, la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones, utilizando el método de separación
de variables, se puede reescribir como un conjunto de tres ecuaciones, cada una en una dimensión).
En el libro de Eisberg y Resnick se estudian varias aplicaciones concretas a sistemas unidimensionales.
• Región con energía potencial constante
• Escalón de potencial.
• Barrera de potencial. (transmisión resonante).
Hay un resumen muy gráfico de todo lo tratado en este tema (y en los dos siguientes) en el apartado 6.10
del Eisberg y Resnick, pág. 270.
Para completar el estudio que el texto hace de algunos ejemplos, nos gustaría exponerle algunos puntos
que resumen propiedades importantes de los sistemas cuánticos unidimensionales.
• COMPLEMENT O Comportamiento de la función de onda en regiones de energía poten-
cial constante.
Supongamos que la energía potencial V (x) sea constante, V (x) = V
o
. La ecuación de Schrödinger será
d
2
ψ
dx
2
+
2m
~
2
(E −V
o
) ψ = 0.
(a) Si la energía verifica que E > V
o
, definiendo k =
p
2m(E −V
o
)/~, se obtiene la solución
ψ(x) = A e
ikx
+A
0
e
−ikx
donde A y A’ son constantes, en general complejas. Esta solución es oscilatoria, siendo uno de los
sumandos una onda viajando hacia la izquierda y el otro viajando hacia la derecha.
(b) Si la energía verifica que E < V
o
, definiendo q =
p
2m(V
o
−E)/~, la solución es
ψ(x) = B e
qx
+B
0
e
−qx
donde B y B
0
son constantes, en general complejas. En este caso, debe usted notar que el primer
sumando de la solución crece con el valor de x (diverge cuando x → ∞), mientras que el segundo se
anulará rápidamente al aumentar x(pero converge cuando x →−∞).
(c) Si E = V
o
, entonces ψ(x) es una función lineal de x.
Cuando en el el apartado 6.2 del texto de Eisberg y Resnick se discute el caso de la energía potencial
constante (o cero, si se iguala el origen de energías a ese valor), después de calcular cómo es la
autofunción de una partícula libre de autovalor de la energía E, calcula el valor del momento lineal
correspondiente a esa autofunción. Al final se comenta de pasada el llamado teorema de Ehrenfest, que
aquí detallamos un poco más.
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• COMPLEMENT O Teorema de Ehrenfest.
El postulado introducido en el material complementario del tema 7, donde se postula la forma de
calcular el valor medio de una variable cuántica, viene apoyado por el teorema de Ehrenfest:
20
Los valores medios de las variables de la mecánica cuántica satisfacen las mismas ecuaciones del
movimiento que las variables clásicas correspondientes (cuando se hace una descripción clásica del
sistema físico), de forma que la ley cuántica de evolución de los valores medios es formalmente idén-
tica a las ecuaciones de la mecánica clásica.
En concreto, el teorema afirma que la evolución de los valores medios (o de expectación) de la posición
y del momento lineal es
d hx
op
i
dt
=
hp
op
i
m
d hp
op
i
dt
= −
¿
dV (x)
dx
À
,
siempre que la función de onda Ψ(x, t) respecto a la que se calculan los valores medios h· · ·i satisfaga
la ecuación de Schrödinger
H
op
Ψ(x, t) = i~
∂Ψ(x, t)
∂t
,
siendo
H
op
= −
~
2
2m
∂
2
∂x
2
+V (x) .
Nótese que la función de onda Ψ(x, t) depende del tiempo y, por lo tanto, así lo harán los valores
medios hx
op
i y hp
op
i.
Como se ve, este teorema permite ver cómo la mecánica clásica puede considerarse como un caso límite
de la mecánica cuántica, siempre que pueda ignorarse la indeterminación de las variables
21
.
• COMPLEMENT O Propiedades generales del movimiento en una dimensión.
(vea también el apartado 2.7 del Alonso y Finn, vol. III).
Supongamos que la energía potencial V (x) es una función que cumple las siguientes condiciones:
+` -`
V(x)
V
min
Figura 4: Energía potencial con las propiedades (i) y (ii).
(i) V (x) tiende a límites constantes en ±∞.
(ii) Definimos V (∞) = 0 y V (−∞) = V
∞
> 0. El mínimo de la energía potencial lo llamamos
V
min
< 0.
Se tienen entonces las siguientes propiedades:
(a) Para valores de la energía que cumplan que V
min
< E < 0 los autovalores de la energía tienen
una distribución discreta. Como vemos, este espectro discreto corresponde al intervalo de energías
para las que la partícula no puede escapar al infinito, pues la función de onda se anula rápidamente
tanto para x →∞ como para x →−∞ (por eso se llaman también estados ligados).
20
Véase, por ejemplo, el final del apartado 6.2 y el problema 7.8 del libro de Eisberg y Resnick o el apartado 3.13 del libro
Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica de P. García González, J. E. Alvarellos y J. García Sanz (UNED, colección
Cuadernos de la UNED, 2001). También puede consultarse el apartado 4-5c del libro de D.T. Gillespie Introducción a la
Mecánica Cuántica. Ed. Reverté.
21
El lector interesado puede leer la discusión de las páginas 105 a 107 del citado libro de Gillespie.
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Todos los niveles de energía de este espectro discreto son no degenerados.
(b) Para autovalores de la energía que verifiquen que 0 < E < V
∞
, entonces el espectro es
continuo, pudiendo escapar la partícula hacia x = ∞, pero no hacia x = −∞ (pues la función de
onda se anula rápidamente, vea el complemento sobre el comportamiento de la función de onda en
regiones con energía potencial constante). En esta parte del espectro también los niveles de energía
son no degenerados.
Para x →∞, la ecuación de Schrödinger se reduce a
d
2
ψ
dx
2
+
2m
~
2
Eψ = 0 =⇒ψ(x →∞) = Acos (kx +δ)
siendo A, δ y k =
√
2mE/~ constantes. Nótese que el efecto neto del potencial que queda a la izquierda
de la partícula es únicamente el defasaje δ de la función de onda.
Para x →−∞, la ecuación de Schrödinger se reduce en cambio a
d
2
ψ
dx
2
+
2m
~
2
(V
∞
−E) ψ = 0 =⇒ψ(x →−∞) = Bexp(qx)
siendo B y q =
p
2m(V
∞
−E)/~ constantes, de forma que la función de onda se amortigua exponen-
cialmente cuando se penetra en la región en que E < V (x).
(c) Si la energía verifica que E > V
∞
, entonces el espectro es continuo, y el movimiento será infini-
to en x = ±∞. En esta parte del espectro todos los niveles de energía son doblemente degenerados,
pues la partícula puede viajar tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.
(d) Nota: Para los estados ligados se tiene además la siguiente propiedad:
Si colocamos los estados propios por orden creciente de energías (E
1
, E
2
, . . . , E
n
, . . .), entonces la
función propia n-ésima tiene (n − 1) nodos, entre los que hay al menos un nodo de cada una de las
funciones propias de mayor energía. En otras palabras, la autofunción del estado fundamental
no tiene nodos, la función de ondas del primer estado excitado posee un nodo, y así
sucesivamente.
• COMPLEMENT O Comportamiento de la función de onda en los puntos en los que hay
discontinuidades finitas del potencial (condiciones de empalme de la función de onda).
En estos puntos de discontinuidad finita, por propiedades matemáticas de la ecuación diferencial de
Schrödinger (que es una ecuación de segundo orden), se debe verificar las condiciones de contorno:
(a) ψ(x) es continua.
(b) dψ(x) /dx es también continua.
Además, se cumple que la segunda derivada d
2
ψ(x) /dx
2
es discontinua en el punto de discontinuidad
de V (x).
Para calcular la función de onda de cualquier sistema físico descrito por un potencial constante a trozos,
esto es con valores distintos en zonas diferentes del espacio (es decir, con discontinuidades en la energía
potencial), se procederá de la manera que sigue:
(1) La función de onda se escribirá como combinación de exponenciales reales o imaginarias, de alguna
de las maneras que se han descrito anteriormente.
(2) Se aplican condiciones de empalme de las funciones de onda en cada punto de discontinuidad,
exigiendo la continuidad de ψ(x) y de dψ(x) /dx o, lo que es lo mismo, de la derivada logarítmica de
ψ(x).
Nota importante: en los puntos en los que hay una discontinuidad infinita (por ejemplo, en los
que el potencial pasa de ∞a 0 de manera súbita, como en un pozo de potencial infinito) no se verifica
la continuidad de la derivada primera de la función de onda. Sin embargo, note que cuando el potencial
es infinito la función de onda tiene que ser necesariamente nula Ψ(x, t) = 0, lo que nos da una nueva
condición de contorno.
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9 Tema 9. Problemas unidimensionales: estados ligados; el os-
cilador armónico.
Contenido de los textos-base:
Eisberg y Resnick: apartados 6.7 a 6.9.
Alonso y Finn vol III: apartados 2.5 y 2.6.
• Pozo cuadrado finito
(véase el apéndice G del libro de Eisberg y Resnick para la solución exacta de este problema).
Fíjese en la figura 6.26 del Eisberg y Resnick, que muestra las características más importantes de los
autoestados de este potencial:
(i) el número de nodos de cada autoestado depende de la energía del mismo, aumentando con ella (no
tiene nodos el primer nivel, el segundo nivel tiene uno, tiene dos el tercero, ...).
(ii) hay una probabilidad no nula de encontrar la partícula más allá de las paredes del pozo de potencial
(la función de onda penetra en la barrera).
• Pozo cuadrado infinito.
Ahora es la figura 6.31 del Eisberg y Resnick la que muestra algunas características de los autoestados
de este potencial:
(i) el número de nodos de cada autoestado depende de la energía del mismo, aumentando con ella (si
no contamos los valores de ψ(x) en los extremos del pozo, la primera autofunción no tiene nodos, tiene
uno el segundo nivel, tiene dos el tercero, ...).
(ii) en este caso, no existe probabilidad de encontrar la partícula más allá de las paredes del pozo de
potencial, ya que el pozo tiene profundidad infinita y la función de onda se anula en los extremos del
pozo y en el exterior del pozo. Esa condición simplifica notablemente el problema y, de una manera
muy sencilla, se puede calcular la energía de los estados ligados de este pozo de potencial. El valor de
las energías varía inversamente con el cuadrado de la anchura del pozo, E
n
∝ n
2
/a
2
.
• El oscilador armónico.
(i) Estudie la solución de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico en el apéndice H del
libro de Eisberg y Resnick.
(ii) La energía de un oscilador cuántico viene dada por la expresión
E
n
=
µ
n +
1
2
¶
hν =
µ
n +
1
2
¶
~ω.
Un resultado importante de la solución cuántica del oscilador armónico es que la energía mínima es
1
2
~ω,
que se llama energía del punto cero porque corresponde a n = 0. Este resultado está relacionado con el
principio de indeterminación. En efecto, el primer nivel de energía del sistema (el estado fundamental o
estado base) tendrá aproximadamente la mínima energía compatible con dicho principio. Este sistema
es un sistema localizado (la partícula no se va al infinito) y, por simetría, el valor medio de la posición
de la partícula es el centro del potencial. Si en este nivel la amplitud máxima es x
o
podremos estimar
esta amplitud diciendo que es aproximadamente la mitad de la dispersión de la variable x, esto es,
que x
o
'
1
2
∆x. El mismo argumento se puede aplicar a la amplitud del momento lineal p
o
'
1
2
∆p.
Clásicamente un oscilador con esa amplitud tiene una energía E =
1
2
mω
2
x
2
o
=
1
2
mx
o
p
o
donde hemos
tenido en cuenta que p
o
= mωx
o
. De ahí E '
1
8
ω ∆x∆p '
1
2
~ω, que es lo que se quería demostrar.
Por lo tanto, se puede estimar la energía del punto cero de un sistema utilizando el principio de
indeterminación.
(iii) Ejercicio: hágase la estimación anterior para el nivel de mínima energía de un pozo cuadra-
do,basándose en el principio de incertidumbre, y compárelo con el resultado exacto.
Otro ejercicio: estime el orden de magnitud del número cuántico n en un péndulo macroscópico. ¿Se
puede describir el movimiento macroscópico del péndulo con un único autoestado de un oscilador
cuántico?
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Primera Prueba Personal. Problemas.
1 Problemas del tema 1.
• ¿A qué longitud de onda, una cavidad a 6000 K radiará más por unidad de longitud de
onda? (Problema 1.1 del libro de Eisberg y Resnick)
La ley de Wien nos dice que
λ
max
T = C
W
.
El valor experimental de la constante de Wien es C
W
= 2.898 ×10
−3
m K. Como la temperatura es 6000 K,
sustituyendo tenemos:
λ
max
=
C
W
T
= 4830 Å.
Esta longitud de onda está comprendida en el intervalo de luz visible y corresponde al color azul, que el ojo
percibe cuando la longitud de onda está entre 4550 y 4920 Å.
• Demuestre que la relación entre la radiancia espectral R
T
(ν) y la densidad de energía
ρ
T
(ν) es R
T
(ν) dv = (c/4) ρ
T
(ν) dν. (Problema 1.2 del libro de Eisberg y Resnick)
Por simplicidad consideraremos una caja cúbica de dimensiones L
x
, L
y
, L
z
. El campo electromagnético
dentro de esa cavidad se puede descomponer como una suma de modos armónicos. Cada modo es una onda
electromagnética estacionaria, descrita por un vector de ondas k, de componentes, k
x
, k
y
, k
z
. Consideremos
el número de modos que están caracterizados por un vector de ondas entre k y k + dk. Llamemos a la
componente en la dirección x del campo eléctrico E
x
= sin(k
x
x) sin(2πνt). Para que este campo eléctrico
cumpla las condiciones de contorno en x = 0 y en x = L
x
ha de verificarse que E
x
= 0 en ambos puntos.
Entonces sin(k
x
L
x
) = 0, y
k
x
=
2π
L
x
n
x
,
donde n
x
= 1, 2, 3, .... Por tanto
∆n
x
=
L
x
2π
∆k
x
.
Si llamamos ∆N (k) el número de modos (u ondas) cuyo número de ondas k tiene componentes entre k
x
y
k
x
+∆k
x
, k
y
y k
y
+∆k
y
y k
z
y k
z
+∆k
z
, entonces
∆N (k) =
L
x
L
y
L
z
(2π)
3
∆k
x
∆k
y
∆k
z
y dado que el volumen de la cavidad es V = L
x
L
y
L
z
dN (k) = V
d
3
k
(2π)
3
.
Por tanto, para longitudes de onda del orden del tamaño de la cavidad, el número de modos en una cavidad
es proporcional al volumen V de la caja y al volumen en el espacio k.
1
Consideremos ahora en la figura los fotones que llegan a una pared de la caja con un vector de onda
entre k y k + dk. Hay 2f (k) V
−1
dN (k) fotones de este tipo por unidad de volumen, (2 porque son dos
las polarizaciones posibles, y f (k) es la función de distribución; véase el texto si se considera conveniente).
Como los fotones viajan con la velocidad de la luz c, los fotones contenidos en un volumen cilíndrico (que
son los que chocan con el área dA en el tiempo dt, véase la figura 1) son (cdt cos θ) f (k) dN (k).
1
Aunque no lo hemos probado, este resultado es independiente de la forma de la cavidad.
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k
cdt
area dA
θ
z
Figura 1: Fotones que llegan a una pared de la caja con un vector de onda k
Como cada fotón lleva energía ¯hω se obtiene que la potencia incidente de radiación por unidad de
frecuencia y de ángulo sólido es
R
inc
(k) dω dΩ = (¯hω) 2c cos θ f (k)
d
3
k
(2π)
3
.
Expresando el elemento de volumen d
3
k en coordenadas esféricas se tiene
d
3
k = k
2
dk dΩ =
8π
3
ν
2
c
3
dν dΩ
y por tanto
R
inc
(k) =
2ν
3
h
c
2
f (k) cosθ.
Determinemos ahora la potencia total emitida por unidad de área en el intervalo de frecuencias ν y dν.
Para ello es preciso integrar en todas las direcciones posibles de emisión, es decir, para todos los ángulos
sólidos en el intervalo de ángulos polares 0 < θ < π/2 y en el de ángulos azimutales 0 < ϕ < 2π. Como
dΩ =senθ dθ dϕ se obtiene
R
T
(ν) dν =
Z
Ω
R
inc
(k) dΩ dν =
2ν
3
h
c
2
f (k)
Ã
2π
Z
π/2
0
cosθ senθ dθ
!
dν
Como 2π
R
π/2
0
cos θ sinθ dθ = π, tenemos:
R
T
(ν) dν =
2πν
3
h
c
2
f (k) dν.
Vemos que el segundo miembro es proporcional a (hv) f (k) d
3
k, esto es, a la densidad media de la energía
de radiación ρ (v) dv dentro de la cavidad. Por tanto, R
T
(ν) dν puede expresarse explícitamente en función
de ρ (ν) como veremos a continuación:
1. el número de valores permitidos de la frecuencia ν en el intervalo ν y ν +dν es dN (k),
dN (k) = V
d
3
k
(2π)
3
y sustituyendo d
3
k = k
2
dkdΩ =
¡
8π
3
v
2
/c
3
¢
dvdΩ e integrando en el ángulo sólido
R
Ω
dΩ = 4π, se
obtiene
N (ν) dν = 2 ×
V
(2π)
3
Z
Ω
8π
3
v
2
c
3
dvdΩ =
8πV
c
3
ν
2
dν
donde se ha multiplicado por un factor dos, ya que para cada frecuencia permitida hay dos ondas
independientes que corresponden a dos estados de polarización (véase también el apartado 1-2 del libro
de Eisberg y Resnick).
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2. la energía de los fotones es hv. Por tanto, la densidad media de energía, es decir la energía por unidad
de volumen en el intervalo de frecuencias entre ν y ν +dν es:
ρ
T
(ν) dν = (hν)
8πν
2
c
3
f (k) dν
y entonces se obtiene el resultado pedido
R
T
(ν) dν =
c
4
ρ
T
(v) dv.
• (a) Suponiendo que la temperatura en la superficie del Sol es 5700 K, utilice la ley de
Stefan, ecuación (1-2), para determinar la masa en reposo que se pierde por segundo en
la radiación del Sol. Tome el diámetro del Sol como 1.4 × 10
9
m. (b) ¿Qué fracción de la
masa en reposo del Sol, se pierde cada año en radiación electromagnética? Suponga que
la masa en reposo del Sol es 2.0 ×10
30
kg. (Problema 1.5 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) La ley de Stefan nos dice que la radiación total emitida por unidad de tiempo y unidad de área
R
T
= σ T
4
, donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann y T la temperatura. La superficie de una esfera,
en este caso el Sol, es: S = 4πr
2
, donde r es el radio de la esfera. La potencia radiada por el Sol es P = R
T
S.
Sabemos que la energía y la masa en reposo están relacionadas por la fórmula de Einstein, E = m
0
c
2
, y
por otra parte, P = E/t, donde t es el tiempo y E la energía. Así, podemos escribir que
m
o
t
=
P
c
2
=
σT
4
4πr
2
c
2
= 4.1 ×10
9
kg/seg
(b) Si en un segundo se pierde 4.1 ×10
9
kg, en un año se perderán esa misma cantidad multiplicada por
el número total de segundos que tiene un año, con lo que se perderán en total 1.3 × 10
17
kg. La masa en
reposo del Sol es aproximadamente 2.0 ×10
30
kg, por lo que anualmente se pierde un tanto por ciento igual
al 6.46 ×10
−12
, una cantidad realmente pequeña.
• En una explosión termonuclear, la temperatura en la bola de fuego es, momentánea-
mente, 10
7
K. Encuentre la longitud de onda para la cual la radiación emitida es máxima.
(Problema 1.6 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Como en el problema (1.1), utilizamos la relación:
λ
max
T = C
W
Como sabemos que la temperatura es 10
7
K, sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación anterior,
tenemos:
λ
max
=
C
W
T
' 2.9 Å.
Esta longitud de onda, 2.9 ×10
−10
m, se encuentra en la región del espectro correspondiente a rayos ultra-
violeta. La región ultravioleta cubre desde 6 ×10
−10
m hasta 3.8 ×10
−7
m, que es el límite del intervalo de
luz visible (donde empieza el color violeta).
• Para una cavidad de cuerpo negro a una temperatura dada, la máxima radiación se da
para λ
max
= 6500 Å ¿Cuál será λ
max
si la temperatura de las paredes de la cavidad aumenta
de modo que la razón de emisión de radiación espectral se duplica? (Problema 1.7 del
libro de Eisberg y Resnick)
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Solución:
Según la ley de Stefan, R
T
= σT
4
, así 2R
T
= σT
0
4
, por lo que el cociente entre ambas expresiones nos
relaciona las temperaturas T y T
0
, según la ley:
T
0
4
= 2T
4
.
Por otro lado,
λ
max
T = C
W
λ
0
max
T
0
= C
W
,
con lo que el cociente de ambas expresiones, relaciona las longitudes de onda y las temperaturas según:
λ
max
T
λ
0
max
T
0
= 1.
Sustituyendo la expresión de T
0
por su valor en la ecuación anterior, se obtiene que:
λ
0
max
=
λ
max
4
√
2
= 5465 Å.
• ¿A qué longitud de onda emite el cuerpo humano su radiación térmica máxima? Haga
una lista de las hipótesis que utilice para llegar a su respuesta. (Problema 1.8 del libro
de Eisberg y Resnick)
Solución:
Si suponemos que el cuerpo humano es un cuerpo negro, la radiación térmica máxima del cuerpo humano,
según la ley del desplazamiento de Wien, correspondería a una temperatura corporal de aproximadamente
37
o
C. Por tanto, la temperatura absoluta sería T = 310 K, partiendo de la ecuación
λ
max
T = C
W
=⇒λ
max
=
C
W
T
' 10
5
Å = 10
−5
m,
habiendo usado que C
W
' 3×10
−3
m K = 3×10
7
Å K. La longitud de onda encontrada está en el infrarrojo.
• Supongamos que el color rojo del espectro corresponde a la menor longitud de onda del
infrarrojo cercano (esto es 7.8 × 10
−7
m o 7800 Å), y que el color azul corresponde a la
mayor longitud de onda del ultravioleta cercano (esto es 3.8×10
−7
m o 3800 Å). A partir de
la ley del desplazamiento de Wien, utilizando como λ
max
dichas longitudes de onda ¿a qué
temperatura aproximadamente corresponderá el color rojo?¿y el color azul? (Problema
1.9 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
La ley de Wien nos dice que, para una temperatura dada T, la radiancia alcanza su valor máximo en
una longitud de onda λ
max
tal que:
λ
max
T = C
W
,
donde C
W
es la constante de Wien.
Tomando para el color rojo y azul las longitudes de onda que nos dice el enunciado, esto es λ
max
= 7800 Å
y λ
max
= 3800 Å y despejando la temperatura de la ecuación anterior se tienen las temperaturas aproximadas
que podemos asignar a los dos colores citados:
T
rojo
=
C
W
λ
max
= 3715 K T
azul
=
C
W
λ
max
= 7626 K.
4
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

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E
D
.
• La radiación que incide sobre la tierra por unidad de área es 338 W m
−2
.
(a) Explique la consistencia de este número con la constante solar (energía solar que llega
a la tierra por unidad de tiempo incidiendo normal a una unidad de área de la superficie
terrestre) cuyo valor es 1340 W m
−2
.
(b) Considere la tierra como un cuerpo negro que radia energía al espacio en esta misma
razón. ¿Cuál sería la temperatura de la superficie de la tierra bajo estas circunstancias?
(Problema 1.10 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) La constante solar es 1340 W/m
2
. La energía que incide sobre la cara de la tierra por unidad de
tiempo será:
1340 W m
−2
×πR
2
donde R es el radio de la tierra (véanse dibujos adjuntos, figura 2).
R
S=
π
R
2
Vista frontal Vista lateral
Figura 2: Radiación incidente sobre una esfera.
Para calcular la radiación solar media en toda la Tierra, hay que considerar toda la superficie, S = 4πR
2
,
luego:
Q =
1340 W m
−2
×πR
2
4πR
2
= 338 W m
−2
que coincide con el valor que nos da el enunciado de la radiación por unidad de área.
(b) Según la ley de Stefan, R
T
= σT
4
, donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann, y T, la temperatura.
Despejando la temperatura de dicha ecuación se tiene:
T =
4
p
R
T
/σ = 278 K.
• Demuestre que la ley de radiación de Rayleigh-Jeans, ecuación (1-17), no es consistente
con la ley de desplazamiento de Wien ν
max
∝ T o bien λ
max
T = cte. (Problema 1.11 del
libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
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3
º
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.

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El valor de la densidad de energía de la radiación de cuerpo negro ρ
T
(ν) según la fórmula de Rayleigh-
Jeans es :
ρ
T
(ν) =
8πν
2
k
B
T
c
3
.
Para una temperatura dada, esta función es siempre creciente con ν. No tiene ningún máximo, y esto no es
consistente con la ley de Wien.
Sin embargo la ley de radiación de Planck es:
ρ
T
(ν) =
8πν
2
c
3
hν
exp(hν/k
B
T) −1
Esta función se comporta como ρ
T
(ν) → 0 para ν → 0 y para altas frecuencias también tiende a cero:
ρ
T
(ν) ∼ ν
3
exp(−hν/kT) →0 (realice el cálculo de estos límites con detalle). Para frecuencias intermedias,
tendrá, por lo tanto, un máximo ya que la función es definida positiva. Este comportamiento sí está de
acuerdo con los experimentos.
• A partir del espectro del cuerpo negro, ν
max
se puede obtener de dρ
T
(ν)/dν = 0 y λ
max
de dρ
T
(λ)/dλ = 0. ¿Por qué a partir de λ
max
T = cte o ν
max
∝ T no es posible obtenerlas
si se utiliza simplemente λ
max
= c/ν
max
? Es decir, ¿por qué es erróneo suponer que
ν
max
λ
max
= c, donde c es la velocidad de la luz? (Problema 1.12 del libro de Eisberg y
Resnick)
Solución:
La cantidad ρ
T
(λ) se define como ρ
T
(λ) dλ = −ρ
T
(ν) dν. Como dλ = −(c/ν
2
)dν se tiene,
ρ
T
(λ) = ρ
T
(ν)
c
λ
2
dρ
T
(ν)
dν
=
d
dλ
·
ρ
T
(λ)
λ
2
c
¸
·
dλ
dν
= −
c
ν
2
·
2λ
c
ρ
T
(λ) +
λ
2
c
dρ
T
(λ)
dλ
¸
dρ
T
(ν)
dν
= −2
λ
3
c
2
ρ
T
(λ) −
λ
4
c
2
dρ
T
(λ)
dλ
.
Para que ρ
T
(ν) tenga un máximo ha de cumplirse que dρ
T
(ν)/dν = 0. Se ve por la ecuación anterior que
esto no equivale a dρ
T
(λ)/dλ = 0.
• Utilizando la relación R
T
(ν) dν = (c/4) ρ
T
(ν) dν entre la radiación espectral y la densidad
de energía, junto con la ley de radiación de Planck, derivar la ley de Stefan. Es decir,
demuestre que:
R
T
=
Z
∞
0
2πh
c
2
ν
3
dν
exp(hν/k
B
T) −1
= σT
4
,
donde σ = 2π
5
k
4
B
/15c
2
h
3
. (Problema 1.16 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Sabemos que la densidad de energía es
ρ
T
(v) dv =
8πhν
3
c
3
1
exp(hν/kT) −1
dv
(ecuación 1-27 del Eisberg y Resnick) y la energía total R
T
=
R
∞
0
R
T
(ν)dν (ecuación 1-1 del Eisberg y
Resnick) , con lo que tendremos:
R
T
=
Z
∞
0
(c/4) ρ
T
(ν) dν = (c/4)
Z
∞
0
8πhν
3
c
3
1
exp(hν/k
B
T) −1
dν.
Haciendo el cambio de variable: x = hν/k
B
T e integrando se tiene que:
R
T
=
Z
∞
0
R
T
(ν) dν =
2π
5
k
4
B
T
4
15c
2
h
3
= σT
4
.
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2 Problemas del tema 2.
• La energía necesaria para extraer un electrón del sodio es 2.3 eV. ¿Presentará el sodio
efecto fotoeléctrico para luz amarilla con λ = 5890 Å?, (b) ¿Cuál es la longitud de onda de
corte para emisión fotoeléctrica de sodio? (Problema 2.1 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) La energía cinética del electrón emitido desde la superficie de un metal es cero cuando la frecuencia
del fotón incidente en el metal es hν
0
= W
0
. Por tanto, la frecuencia umbral o frecuencia mínima a partir
de la cual hay emisión fotoeléctrica es ν
0
= W
0
/h = 5.56 ×10
14
Hz. Dado que con λ = 5890 Å la frecuencia
correspondiente es ν = c/λ = 5.09 ×10
14
Hz, el sodio no presentará efecto fotoeléctrico.
(b) La longitud de onda pedida es λ
0
= c/ν
0
= hc/W
0
= 5398 Å, correspondiente a luz verde en el
intervalo del espectro de radiación electromagnética.
• Sobre una superficie de aluminio incide luz de longitud de onda 2000 Å. Se requieren
4.2 eV para extraer un electrón del aluminio.
(a) ¿Cuál será la energía cinética del más rápido de los fotoelectrones emitidos?
(b) ¿Cuál será la energía cinética del más lento de los fotoelectrones emitidos?
(c) ¿Cuál será el potencial de frenado?
(d) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para el aluminio?
(e) Si la intensidad de la luz incidente es 2.0 W/m
2
, ¿cuál es el número promedio de fotones
por unidad de tiempo por unidad de área que inciden sobre la superficie? (Problema 2.2
del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) Como sabemos, la máxima energía cinética de los electrones emitidos es
K
max
= eV
0
= hν −W
0
,
Por lo tanto
K
max
= hc/λ −W
0
= 2 eV.
(b) La energía cinética del electrón emitido es K = hν −W , donde W es el trabajo necesario para sacar
el electrón del metal. Por otra parte no todos los electrones requieren la misma energía para escapar de un
metal, sino que ésta depende del nivel de energía que ocupa el electrón. Los fotoelectrones que se emiten
desde el metal provienen de un continuo de niveles, que se llama banda de conducción (sección 2.4, pág. 53).
Si no hay pérdidas por colisiones durante el trayecto, los electrones que ocupan los estados superiores
de la banda de conducción, cercanos a la energía de Fermi, necesitan menos energía para ser emitidos. La
energía cinética máxima sólo depende de la función de trabajo, como se ve en el apartado anterior. La
energía cinética mínima depende además del valor de la energía de Fermi del metal, esto es, de la anchura
en energías de la banda de conducción (para entender mejor la idea de la energía de Fermi, lea las secciones
11.11 y 11.12 del libro de Eisberg y Resnick y también la sección 13.3).
(c) Como eV
0
= 2 eV, se tiene que
V
0
= 2 V
(d) De la expresión hν
0
= W
0
, se deduce que hc/λ
0
= W
0
, con lo que, despejando el valor de λ
0
,
obtenemos:
λ
0
=
hc
W
0
= 2956 Å
(e) Por último, si a un fotón tiene una energía hν, igual a 6.2 eV, entonces, el número de fotones
correspondientes a una intensidad igual a I = 2 W/m
2
= 2 J m
−2
s
−1
, se obtiene mediante una simple regla
de tres:
n =
I
hν
= 2 ×10
18
fotones
m
2
seg
,
donde se ha utilizado que 1 eV=1.602 ×10
−19
J y que 1 W=1J/s.
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• La función trabajo para una superficie limpia de litio es 2.3 eV. Haga una gráfica es-
quemática del potencial de frenado V
0
en función de la frecuencia de la luz incidente para
esta superficie, indicando los puntos importantes (Problema 2.3 del libro de Eisberg y
Resnick)
Solución:
La conservación de la energía nos permite escribir que
K
max
= e V
0
= hν −W
0
.
En este caso, tenemos W
0
= 2.3 eV, y supongamos V
0
= 0, con lo que la expresión anterior queda reducida
a:
0 = hν
0
−W
0
.
Así, despejando ν
0
de la anterior expresión, tenemos la frecuencia de corte, ν
0
= 5.56 ×10
14
Hz.
Si hacemos ahora, por ejemplo, V
0
= 2 V , la frecuencia obtenida es 10.4 × 10
14
Hz, y para el caso en
que V
0
= 4 V, obtenemos ν = 15.2 ×10
14
Hz.
ν
(Hz)
V
0
(eV)
2
-2.3
5.56 x10
14
10.4 x10
14
Figura 3: El potencial de frenado V
0
en función de la frecuencia de la luz incidente
La gráfica de la figura 3 representa el potencial de frenado V
0
en función de la frecuencia ν de la luz
incidente siendo la intersección con el eje horizontal la frecuencia de corte y la intersección con el eje vertical
la función trabajo W
0
, característica de la superficie. La pendiente de la recta es la constante de Planck, h.
• El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada con
luz de longitud de onda λ = 4910 Å es 0.71 V. Cuando se cambia la longitud de onda
incidente, se encuentra que el potencial de frenado es 1.43 V ¿Cuál será la nueva longitud
de onda? (Problema 2.4 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Tengamos en cuenta, como en los problemas anteriores la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico:
En cada caso λV
0
y λ
0
V
0
0
están relacionados en la forma
eV
0
= hc/λ −W
0
, eV
0
0
= hc/λ
0
−W
0
.
De estas dos ecuaciones, se puede despejar λ
0
, obteniéndose:
λ
0
=
hc
hc/λ +e(V
0
0
−V
0
)
,
con lo que sustituyendo cada variable por su valor, se obtiene:
λ
0
= 3820 Å.
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• En un experimento fotoeléctrico en el cual se utiliza luz monocromática y un fotocátodo
de sodio, se encuentra un potencial de frenado de 1.85 V para λ = 3000 Å y 0.82 V para
λ = 4000 Å. A partir de estos datos determine:
(a) un valor para la constante de Planck.
(b) la función trabajo en electrón-volts para el sodio
(c) la longitud de onda umbral para el sodio. (Problema 2.5 del libro de Eisberg y
Resnick)
Solución:
Para resolver el problema podemos plantear tres ecuaciones con tres incógnitas (h, W
0
y ν
0
):
K
max
= eV
0
= hν −W
0
K
0
max
= eV
0
0
= hν
0
−W
0
K = 0 = hν
0
−W
0
(a) Operando con las dos primeras ecuaciones, podemos obtener un valor para h,
h =
e(V
0
−V
0
0
)
c(1/λ −1/λ
0
)
= 6.6 ×10
−34
J seg.
(b) Una vez obtenido el valor de h, podemos calcular fácilmente el valor de la función de trabajo W
0
,
con sólo despejar de la primera ecuación:
W
0
= hν −eV
0
= 2.28 eV.
(c) Por último, de la última ecuación se obtiene la longitud de onda umbral
λ
0
=
hc
W
0
= 5437 Å.
• Considere luz incidiendo sobre una placa fotográfica. La luz es registrada si disocia una
molécula de AgBr en la placa. La energía mínima para disociar esta molécula es del
orden de 10
−19
J. Evaluar la máxima longitud de onda de corte para la cual la luz no sería
registrada. (Problema 2.6 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Para disociar la molécula de AgBr se necesita que la luz tenga una longitud de onda menor que
E
min
=
hc
λ
max
,
donde E
min
es la energía de disociación de la molécula. Por tanto,
λ
max
=
hc
E
min
= 19878 Å = 1.99 ×10
−6
m,
que está en la región del infrarrojo en el espectro electromagnético.
• En condiciones normales el ojo humano registrará una sensación visual a 5500 Å si cuando
menos se absorben 100 fotones por segundo. ¿Cuál es el nivel de potencia equivalente?
(Problema 2.10 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Sea λ = 5500 Å. La energía de un fotón con esta longitud de onda es
E = hν = hc/λ = 3.6 ×10
−19
J.
De esta forma la potencia equivalente de 100 fotones incidiendo por segundo con esa energía E será:
P
T
= 3.61 ×10
−19
×100 W = 3.61 ×10
−17
W.
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• ¿Cuáles son la frecuencia, longitud de onda e impulso de un fotón cuya energía es igual
a la energía de masa en reposo de un electrón? (Problema 2.12 del libro de Eisberg y
Resnick)
Solución:
La energía de la masa en reposo de un electrón es E = m
0
c
2
= 8.19 ×10
−14
J= 0.511 MeV. Como para
un fotón la energía es E = hν = hc/λ, se tendrá que la frecuencia del fotón del enunciado es ν = E/h =
1.23 ×10
20
Hz.
La longitud de onda λ es λ = hc/E =⇒ λ = 0.024 Å= 2.4 ×10
−12
m, que está en la región de los rayos
X en el espectro electromagnético.
La energía relativista total es E
2
= c
2
p
2
+ (m
0
c
2
)
2
, donde p es el impulso. La masa en reposo de un
fotón es cero, y por tanto la energía relativista total puede ser escrita como E = cp. Despejando el impulso,
se obtiene:
p = E/c = 2.73 ×10
−22
kg ×m/s.
• Derivar la ecuación cot (θ/2) = (1+hν/m
0
c
2
) tanφ entre la dirección de movimiento del fotón
dispersado y el electrón de retroceso en el efecto Compton. (Problema 2.14 del libro de
Eisberg y Resnick)
Solución:
y
x
θ
φ
E
0
=cp
0
E
1
=cp
1
E, p
e
-
e
-
Figura 4: Efecto Compton
Sabemos que la conservación tanto del momento lineal como de la energía en el efecto Compton nos llevan
a la ecuación: λ
1
− λ
0
= h(1 − cos θ)/m
0
c. Las proyecciones de los momentos sobre los ejes coordenados
(véase dibujo adjunto, figura 4):
p
0
= p
1
cos θ +p cos φ 0 = p
1
sinθ −p sinφ.
Por lo tanto, tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas; tomamos como incógnitas por ejemplo λ
1
, θ y
p. Por otra parte, como p = h/λ, podremos escribir
(h/λ
0
) = (h/λ
1
) cos θ +p cos φ 0 = (h/λ
1
) sinθ −p sinφ.
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3
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Operando
p sinφ = (h/λ
1
) sinθ p cos φ = (h/λ
0
) −(h/λ
1
) cos θ =
hλ
1
−hλ
0
cos θ
λ
0
λ
1
y por tanto
tanφ =
λ
0
sinθ
λ
1
−λ
0
cos θ
.
Como ya se ha comentado, además tenemos:
λ
1
−λ
0
= h(1 −cos θ)/m
0
c,
de manera que si introducimos este valor en la expresión de la tangente, resulta:
tanφ =
λ
0
sinθ
(λ
0
+
h
m
0
c
)(1 −cos θ)
.
Utilizando la relación trigonométrica
cot (θ/2) =
sinθ
1 −cos θ
=⇒ cot (θ/2) =
£
1 +
¡
hν
0
/m
0
c
2
¢¤
tanφ.
• Se hacen incidir fotones de una longitud de onda de 0.024 Å sobre electrones en reposo.
(a) Encontrar la longitud de onda de un fotón que es dispersado a 30 grados de la dirección
incidente y la energía cinética suministrada al electrón.
(b) Repetir el cálculo si el ángulo de dispersión es 120 grados (Problema 2.16 del libro
de Eisberg y Resnick).
Solución:
y
x
θ
φ
E
0
=cp
0
E
1
=cp
1
E=m
0
c
2
+ K
e
-
e
-
Figura 5: Problema 2.16 del Eisberg y Resnick
Sabemos que la conservación de energía y momento lineal en el proceso nos llevan a la relación de
Compton
λ
1
−λ
0
= λ
C
(1 −cos θ) con λ
C
= h/m
0
c
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(
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)
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la longitud de onda de Compton.
a) Para el caso de 30 grados, con
2
λ
0
= 0.024 Å, se tiene:
λ
1
= λ
0
+λ
C
(1 −cos θ) = 0.02725 Å
La energía total relativista en el choque se escribe como
m
0
c
2
+cp
0
= cp
1
+m
0
c
2
+K,
donde K es la energía de retroceso del electrón. De aquí podemos obtener que
K = c (p
0
−p
1
) = hc
µ
1
λ
0
−
1
λ
1
¶
.
b) Para el caso de 120 grados, con λ
0
= 0.024 Å, se tiene:
λ
1
= λ
0
+λ
C
(1 −cos θ) = 0.06039 Å.
e igualmente para la energía cinética del electrón
K = hc
µ
1
λ
0
−
1
λ
1
¶
.
• Un fotón de rayos X de energía inicial 1 × 10
5
eV que viaja en la dirección positiva del
eje x, incide sobre un electrón libre y en reposo. El fotón es dispersado en ángulo recto,
a lo largo de la dirección positiva del eje y. Encontrar las componentes del impulso del
electrón de retroceso. (Problema 2.17 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
y
x
θ =90
ο
φ
E
0
=cp
0
E
1
=cp
1
E, p
e
-
e
-
Figura 6: Problema 2.17 del Eisberg y Resnick.
De la relación de Compton (que se obtiene conservando la energía y el momento lineal en el proceso) la
relación entre las longitudes de onda es:
2
Esta es la longitud de onda Compton, λ
C
= h/m
0
c, del electrón.
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3
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λ
1
−λ
0
= λ
C
(1 −cos θ).
Las ecuaciones de conservación del momento son:
p
0
= p
1
cos θ +p cos φ ⇒p
0
= p cos φ = p
x
p
1
sinθ = p sinφ ⇒p
1
= p sinφ = p
y
donde hemos usado que θ = 90. Como la energía es E
0
= cp
0
, el momento p
0
será:
p
0
= E
0
/c = 5.344 ×10
−23
kg ×m/s = p
x
El momento p
1
se puede escribir como p
1
= h/λ
1
; sustituyendo λ
1
en función de λ
0
se tiene:
p
1
=
h
λ
0
+λ
C
(1 −cos θ)
=
p
0
m
0
c
m
0
c +p
0
= 4.469 ×10
−23
kg ×m/s = p
y
.
• ¿Cuál es la energía cinética máxima posible de un electrón de retroceso de Compton en
términos de la energía hν
0
del fotón incidente y de la energía en reposo del electrón m
0
c
2
?
(Problema 2.19 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
La ley de conservación de la energía nos dice:
E
0
+m
0
c
2
= E
1
+K +m
0
c
2
por lo que K = E
0
−E
1
.
A partir de la conservación del momento y de la energía relativista se obtiene la relación de Compton
λ
1
−λ
0
= h(1 −cos θ)/m
0
c.
x
E0=cp0
E, p
e
-
e
-
E0=hν0
e
-
E1=hν1
Después
Antes
p
Figura 7: Energía cinética máxima en el efecto Compton.
La máxima energía se obtiene cuando θ = 180
◦
y φ = 0
◦
(demuéstrelo), que es la situación que muestra
el dibujo (figura 7). En este caso nos da
λ
1
−λ
0
=
2h
m
0
c
.
13
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
Ahora bien, las energías de los fotones pueden ser expresadas en términos de los momentos como:
E
1
= cp
1
= hc/λ
1
= hν
1
E
0
= cp
0
= hc/λ
0
= hν
0
.
Sustituyendo en la ecuación que nos daba la diferencia entre las dos longitudes de onda se tiene:
1/E
1
= 2/(m
0
c
2
) + 1/E
0
=
2E
0
+m
0
c
2
E
0
m
0
c
2
.
Dado que K = E
0
−E
1
, operando se encuentra que:
K = hν
0
µ
1 −
m
0
c
2
2hν
0
+m
0
c
2
¶
.
• (a) Demostrar que la longitud de onda de corte en la parte baja del espectro continuo
de rayos X está dada por λ
min
= 12.4/V
0
Å, donde V
0
es el voltaje aplicado expresado en
kilovolts.
(b) ¿Cuál es la λ
min
si el voltaje a través de un tubo de rayos X es 186 kV? (Problema
2.21 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) El examen de los datos experimentales ha llevado a la conclusión de que existen dos mecanismos
diferentes responsables de la emisión de rayos X.
El primero de esos mecanismos de emisión de rayos X son las transiciones de los electrones internos (los
más fuertemente ligados) de los átomos. Por tanto, esta radiación presenta unos picos pronunciados en el
espectro y se debe a la emisión de radiación por un átomo, que ha sido excitado por un choque.
La otra fuente de rayos X (en este caso continua) es el bremsstrahlung o radiación de frenado o de-
saceleración, que está descrita en la Figura 2-11 del libro: un electrón incidente de energía cinética K es
desacelerado durante una colisión con un núcleo pesado y la energía que pierde aparece en forma de radiación,
como un fotón de rayos X. Si llamamos K
0
a la energía cinética del electrón después del choque, se tiene que
K −K
0
= hν,
donde hν es la energía del fotón emergente. Esta parte del espectro de rayos X es, claro está, continua.
El fotón de longitud de onda más corta (o energía más grande) debería emitirse cuando el electrón
incidente pierde toda su energía cinética en el proceso de desaceleración, de manera que K
0
= 0, por lo que
la expresión inicial se transforma en:
K = hν =
hc
λ
min
.
La energía adquirida por el electrón al acelerarse mediante la diferencia de potencial V
0
aplicada al tubo de
rayos X es K = eV
0
. Entonces sustituyendo, se podrá escribir:
λ
min
=
hc
eV
Por lo tanto, operando tendremos:
λ
min
=
12.4
V
0
Å,
donde el voltaje V
0
está expresado en kiloVoltios
(b) En este caso, utilizando la fórmula anterior
λ
min
= 0.0666 Å.
En el espectro electromagnético los rayos X tienen longitudes de onda entre 10
−9
hasta 6 × 10
−12
m; la
parte baja corresponde por tanto a una longitud de onda de λ = 6 × 10
−12
m, tal como se ha obtenido en
el apartado (b).
14
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c
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i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
Nota: algún detalle sobre la teoría subyacente a este problema. En primer lugar, un electrón
en movimiento uniforme no puede emitir radiación
3
. Pero cuando el electrón atraviesa el intenso (y rápida-
mente variable) campo eléctrico de un núcleo, es posible la transferencia de momento y energía al núcleo,
cumpliéndose las ecuaciones de conservación. Si el núcleo está originalmente en reposo y llamamos ~ p
i
al
momento lineal del electrón antes de la emisión, ~ p
f
a su momento lineal después de la emisión, ~ p
n´ ucleo
el
momento lineal del núcleo después del proceso, las ecuaciones de conservación son
~ p
i
= ~ p
f
+~p
n´ ucleo
+~p
fot´ on
E
i
+mc
2
= E
f
+E
n´ ucleo
+ ¯ hω.
Para más detalles de cómo llegar a la expresión para energía máxima del fotón emitido, puede verse los
apartados 4.23-4.25 del libro de Wichmann Física Cuántica, vol.4 del Curso de Física de Berkeley (editorial
Reverté).
• (a)¿Cuál es el voltaje mínimo a través de un tubo de rayos X que producirá un rayo X
con la longitud de onda de Compton? ¿Y una longitud de onda de 1 Å?
(b) ¿Cuál es el voltaje mínimo necesario a través de un tubo de rayos X si la radiación
bremsstrahlung resultante es capaz de producir pares? (Problema 2.22 del libro de Eisberg
y Resnick)
Solución:
(a) La longitud de onda de Compton es
λ
C
=
h
m
0
c
= 0.02426 Å.
Vimos en el problema anterior (2.21) que K = e V
0
= hc/λ
c
= 8.18 ×10
−14
J, por lo que despejando el valor
de V
0
, se obtiene:
V
0
=
K
e
= 511 kV.
Cuando λ = 1 Å, se tendrá igualmente el valor del voltaje mínimo siguiente:
K = eV
0
= h
c
λ
= 1.98 ×10
−15
J =⇒ V
0
=
K
e
= 12.4 kV.
(b) La energía mínima para crear un par electrón-positrón es 2m
0
c
2
, por lo que
K = eV
0
= 2m
0
c
2
= 1.63 ×10
−13
J
y así, V
0
= K/e = 2m
0
c
2
/e = 1.02 ×10
6
V.
• Se produce un par positrón-electrón al chocar un fotón con un núcleo. El positrón está
en reposo y el electrón tiene una energía cinética de 1.0 MeV moviéndose en la dirección
de vuelo del fotón productor.
(a) Despreciando la energía transferida al núcleo del átomo cercano, encuentre la energía
del fotón incidente.
(b) ¿Qué porcentaje del impulso del fotón se transfiere al núcleo? (Problema 2.25 del
libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
La conservación de la energía relativista total es
hν = E
−
+E
+
= 2m
o
c
2
+K
−
+K
+
.
Si el positrón que resulta se queda en reposo, K
+
= 0, y la energía cinética del electrón es K
−
= 1 MeV,
entonces la energía del fotón incidente es hν = 2.02 MeV.
3
Esto se ve con facilidad usando el sistema de referencia en que el electrón esté en reposo antes de cualquier emisión que
pudiera producirse: en ese sistema la energía total es mc
2
y la emisión de un fotón no conservaría la energía total.
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(
3
º
)
.

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D
.
La conservación del impulso viene dado por hν/c = p
e
+P, donde hν/c es el momento del fotón incidente,
p
e
es el impulso del electrón resultante, y P el impulso transferido al núcleo (el impulso del positrón es
lógicamente cero). El impulso del electrón viene dado por la expresión relativista, E
2
e
= c
2
p
2
e
+
¡
m
o
c
2
¢
2
=
¡
K
−
+m
o
c
2
¢
2
. Entonces
p
e
=
1
c
q
K
2
−
+ 2K
−
m
o
c
2
.
Sustituyendo valores se obtiene p
e
= 1.42 MeV/c y hν/c = 2.02 MeV/c. Entonces el porcentaje de momento
transferido al núcleo es (hν/c −p
e
)/(hν/c) que da un resultado del 29.7%.
3 Problemas de los temas 3 y 4.
• Una bala de 40 gramos viaja a 1000 m/seg.
(a) ¿Qué longitud de onda se le puede asociar?
(b) ¿Por qué no se revela la naturaleza ondulatoria de la bala por medio de efectos de
difracción? (Problema 3.1 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) La longitud de onda asociada a la bala se puede escribir como
4
:
λ =
h
p
=
h
mv
= 1.66 ×10
−35
m = 1.66 ×10
−25
Å.
(b) Los efectos de la difracción son despreciables cuando λ/a tiene a cero, siendo a la dimensión carac-
terística de la rendija.
Sin embargo, los comportamientos ondulatorios son observables si λ/a es del orden de uno. Para utilizar
una rejilla de difracción, el valor típico de a en física atómica y sólidos (distancia interatómica) es alrededor
de 1 Å. En ese caso, utilizando a = 1 Å, resulta que λ/a es de orden de 10
−25
, con lo que será imposible ver
efectos de difracción.
• La longitud de onda de emisión amarilla del sodio es 5890 Å. ¿Qué energía cinética tendría
un electrón con una longitud de onda de De Broglie igual? (Problema 3.2 del libro de
Eisberg y Resnick)
Solución:
La longitud de onda, en función del momento, viene dada por la expresión λ = h/p. Si suponemos que la
dinámica del electrón es no relativista, entonces la energía cinética es K = mv
2
/2, podemos reescribir esta
energía cinética en función de λ:
K =
p
2
2m
=
1
2m
µ
h
λ
¶
2
' 4 ×10
−6
eV,
que es una cantidad pequeña.
5
• Sea una partícula libre que se mueve en una dimensión. Supongamos que la imprecisión
en su localización es ∆x. Encontrar una imprecisión en la medida del tiempo de manera
que se verifique que ∆E · ∆t > ¯h.
Sea una partícula libre, cuya imprecisión en la posición es aproximadamente ∆x (vea la figura 8; el
paquete de ondas tiene una anchura aproximada de 2∆x). La imprecisión en el momento lineal la llamamos
∆p y, de acuerdo con el principio de incertidumbre, cumple que:
∆p ∆x ≥ ¯h/2.
4
La velocidad de la bala es aproximadamente del orden de 10
−5
c.
5
Nota importante: Dado que la velocidad de un electrón con esta longitud de onda es v ≈ h/(m
e
λ) ' 1.2 × 10
3
m
s
−1
<< c, está justificado no haber tomado en cuenta aproximaciones relativistas
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(
3
º
)
.

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∆
x
Figura 8: Paquete de ondas de una partícula libre.
Como la posición de la partícula se conoce con una imprecisión ∆x, y la velocidad de grupo es v, el tiempo
∆t que debe ser observada la partícula al pasar por una posición determinada es entonces ∆t ∼ 2∆x/v, que
podemos considerar como la imprecisión en la medida del tiempo.
Veamos que se verifica la relación ∆E · ∆t > ¯h. Dado que la partícula es libre, la energía total de la
partícula E es igual a su energía cinética. Entonces la imprecisión en la energía es
E =
p
2
2m
⇒ ∆E =
p∆p
m
.
Como el momento es p = mv, tendremos
∆E∆t ≈
p∆p
m
2∆x
v
≈ 2∆p ∆x > ¯h.
• Un electrón y un fotón tiene cada uno una longitud de onda de 2.0 Å.¿ Cuáles son
sus impulsos y energías totales? Compare las energías cinéticas del fotón y el electrón.
(Problema 3.3 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Como λ = h/p, despejando el momento de esta ecuación, se obtiene:
p =
h
λ
= 3.31 ×10
−24
kg ×m/s,
que es el impulso para cada una de las dos partículas.
La energía del fotón es E = cp = 9.93 ×10
−16
J= 6200 eV, mientras que la energía total relativista del
electrón es:
E
e
=
q
m
2
0
c
4
+c
2
p
2
= 512 keV.
La energía cinética del fotón es 6200 eV, puesto que E = K + m
0
c
2
y su masa en reposo es m
0
= 0.
Para calcular la energía cinética del electrón, no utilizaremos la fórmula relativista, ya que el término cp es
mucho menor que el término m
0
c
2
y por tanto m
0
c
2
' E
e
. Podemos obtener su energía cinética mediante
la expresión clásica,
K =
p
2
2m
= 37.6 eV.
Note que la energía cinética del fotón es mucho mayor que la energía cinética del electrón (en realidad, esto
lo único que refleja es que cualquier fotón debe ser tratado relativísticamente).
• Un neutrón térmico tiene una energía cinética de (3/2)k
B
T donde T es la temperatura
ambiente (300
0
K). Tales neutrones están en equilibrio térmico.
(a) ¿Cuál es la energía en electrón-volts de un neutrón térmico?
(b) ¿Cuál será su longitud de onda de De Broglie? (Problema 3.4 del libro de Eisberg y
Resnick)
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(
3
º
)
.

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.
Solución:
(a) La energía cinética media es idéntica a la de las moléculas de un gas ideal a la misma temperatura:
K =
3
2
k
B
T = 0.0388 eV,
donde k
B
es la constante de Boltzmann cuyo valor es k
B
= 1.38 ×10
−23
J /K. Entonces:
E = K = 0.0388 eV.
(b) Como
K =
1
2
mv
2
=
p
2
2m
n
=
h
2
2mλ
2
donde hemos usado que p = h/λ. La masa del neutrón es m
n
= 1.675 × 10
−27
kg, por lo que podemos
escribir:
λ =
h
√
2mK
= 1.45 Å.
Nota: Dado que la separación de los planos de un cristal puede ser de ese orden (por ejemplo para el
ClNa es d = 2.82 Å) vemos que haciendo incidir un haz de neutrones procedentes de un reactor nuclear
(con un amplio rango de energías) en un cristal, el cristal actúa como monocromador: los neutrones que
se observan en la dirección de salida tienen energía bien definida, que corresponde a la longitud de onda
dada por la condición de Bragg (ecuación 3-3 del libro de Eisberg y Resnick). Este haz de neutrones es
monocromático y puede utilizarse, a su vez, para estudiar otros materiales o para el análisis de reacciones
nucleares con neutrones.
• Supongamos una partícula de masa en reposo m
0
y carga e moviéndose libremente a veloci-
dades relativistas, habiendo sido acelerada previamente por un potencial de aceleración
V . Demuestre que su longitud de onda de De Broglie viene dada por
λ =
h
√
2m
0
eV
µ
1 +
e V
2m
0
c
2
¶
−1/2
,
donde e es la carga, y la masa en reposo de la partícula.
Demuestre que la expresión anterior concuerda con la relación de De Broglie, λ = h/p, en
el límite no relativista. (Problema 3.5 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
La energía total se escribe como
E = m
0
c
2
+K =
q
m
2
0
c
4
+c
2
p
2
= m
0
c
2
+e V.
Elevando al cuadrado ambos miembros de la anterior expresión, obtenemos:
m
2
0
c
4
+ (eV )
2
+ 2m
0
c
2
eV = m
2
0
c
4
+c
2
p
2
,
de donde podemos despejar el valor de p
2
como:
p
2
=
2m
0
c
2
eV + (e V )
2
c
2
.
Por otra parte, como λ = h/p, sustituyendo en la expresión anterior y despejando λ, se tiene finalmente:
λ =
h
√
2m
0
eV
·
1 +
eV
2m
0
c
2
¸
−1/2
.
En el límite no relativista, e V = K = (1/2) mv
2
y la energía m
0
c
2
es muy grande comparada con
K = e V , luego el quebrado del paréntesis se hace prácticamente cero, de donde se deduce que:
λ =
h
√
2m
0
K
,
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(
3
º
)
.

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.
que es la expresión no relativista, donde p =
√
2m
0
K.
Note que la relación de De Broglie es válida tanto para la mecánica relativista como para la no relativista.
En el texto se obtiene la ecuación de Schrödinger usando tanto dicha relación como la energía total no
relativista (E = p
2
/2m + V ), además de otras condiciones: por tanto la ecuación de Schrödinger es sólo
válida en el límite no relativista.
• Determine la energía, en electrón-volts, para la cual la expresión no relativista para la
longitud de onda de De Broglie dará un error de un uno por ciento, para
(a) un electrón
(b) un neutrón. (Problema 3.6 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Como vimos en el problema anterior, en el caso no relativista, la longitud de onda de De Broglie es:
λ
nr
=
h
√
2m
0
K
=
h
p
.
Para el caso relativista, y utilizando el resultado del problema (3.5), sabemos que la longitud de onda de
De Broglie era:
λ
r
=
h
√
2m
0
eV
µ
1 +
eV
2m
0
c
2
¶
−1/2
.
Para calcular la energía cinética a partir de la cual se deben utilizar expresiones relativistas, expresamos
el cociente entre ambas longitudes de onda como:
λ
nr
λ
r
=
r
1 +
K
2m
0
c
2
.
En el caso del enunciado, el error máximo permitido es λ
nr
−λ
r
= 0.01λ
r
, con lo que λ
nr
= 1.01λ
r
. Como
m
e
c
2
= 0.511 MeV para un electrón y m
n
c
2
= 939.6 MeV para el neutrón, se obtienen los valores:
K
e
= 20.5 keV K
n
= 37.77 MeV.
• La distancia entre los planos principales de un cristal de cloruro de potasio es 3.14 Å
(esto quiere decir que los planos cristalinos más separados del cristal lo están por dicha
distancia). Para una reflexión de Bragg de primer orden en estos planos, compare el
ángulo de reflexión en el caso
(a) de usar electrones con energía cinética de 40 keV
(b) y en el caso de que se usen fotones de 40 keV. (Problema 3.11 del libro de Eisberg y
Resnick)
Solución:
(a) De acuerdo con la ley de Bragg, las ondas se reflejan por los planos cristalinos como por un espejo,
si se satisface la condición de Bragg
nλ = 2d sinϕ,
donde n es un entero que nos da el orden de la difracción, d = 3.14 Å y ϕ es el ángulo que forma la dirección
de la onda incidente con el plano cristalino. Por lo tanto, para primer orden tendremos la siguiente ecuación:
λ = 2d sinϕ.
Además, como vimos en el problema 3.6, la expresión para la longitud de onda de una partícula material
era:
λ =
h
√
2m
0
eV
·
1 +
eV
2m
0
c
2
¸
−1/2
.
19
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(
3
º
)
.

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D
.
Al igualarla a 2d sinϕ tendremos que
λ =
h
√
2m
0
eV
·
1 +
eV
2m
0
c
2
¸
−1/2
= 2d sinϕ,
de donde podemos despejar el valor del seno de ϕ
sinϕ = 9.57892 ×10
−3
=⇒ϕ = 0.5488
0
para electrones, donde se ha tomado m
e
c
2
= 0.511 MeV.
(b) Para los fotones, se tiene E = hν, con lo que la longitud de onda correspondiente será:
λ =
hc
E
e igualando esta expresión a la ecuación inicial para n = 1, tendremos:
2d sinϕ =
hc
E
.
Despejando sinϕ, nos queda:
sinϕ = 0.04935 =⇒ϕ = 2.829
0
.
La relación entre ambos ángulos vendrá dada por el cociente entre dichos ángulos, que vale 5.15.
• Supongamos que la indeterminación en la longitud de onda de un fotón es ∆λ/λ = 10
−7
.
¿Cuál es el valor medido simultáneamente de ∆x en los siguientes casos?
(a) λ = 5.0 ×10
−4
Å (rayos γ)
(b) λ = 5.00 Å (rayos X)
(c) λ = 5.0 ×10
3
Å (luz visible) (Problema 3.16 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
La relación de incertidumbre se puede reescribir para una partícula como:
∆λ∆x ≥
λ
2
4π
(véase problema 3.15). Dividiendo ambos lados de la igualdad por λ, tenemos:
∆λ
λ
∆x ≥
λ
4π
En el caso en que ∆λ/λ = 10
−7
,
(a) Rayos γ:
10
−7
∆x ≥
5 ×10
−4
4π
=⇒∆x = 398 Å
(b) Rayos X
10
−7
∆x ≥
5.0
4π
=⇒∆x = 0.398 mm
(c) Luz visible
10
−7
∆x ≥
5 ×10
3
4π
=⇒∆x = 0.398 m
• Demuestre que si la incertidumbre en la posición de una partícula, es aproximadamente
igual a su longitud de onda de De Broglie, entonces la incertidumbre en su velocidad es
aproximadamente igual a su velocidad. (Problema 3.19 del libro de Eisberg y Resnick)
20
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a

(
3
º
)
.

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.
Solución:
Según el enunciado, supongamos que ∆x ≈ λ. La relación entre longitud de onda y momento viene
dada por h = pλ. Si escribimos p = mv, entonces ∆p = m∆v, y al sustituir en la ecuación del principio de
incertidumbre, tendremos:
∆p ∆x = m∆v ∆x ≥
pλ
4π
.
Si operamos se tiene que:
∆v ≥
v
4π
,
que nos dice que ∆v ≈ v.
• (a) Considere un electrón cuya posición está en algún lugar de un átomo de 1 Å de
diámetro. ¿Cuál es la incertidumbre en el impulso del electrón? ¿Es esto consistente con
la energía de ligadura de electrones en átomos?
(b) Imagine que un electrón se encuentra en algún lugar dentro de un núcleo de diámetro
10
−12
cm. ¿Cuál será la incertidumbre en el impulso del electrón?
(c) Considere ahora un protón o un neutrón en ese núcleo. ¿Cuál será la incertidumbre
en el impulso del neutrón o del protón? ¿Es esto consistente con la energía de ligadura
de los constituyentes nucleares? (Problema 3.22 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) El principio de incertidumbre nos dice que:
∆p ∆x ≥ h/4π =⇒ ∆p = 5.27 ×10
−25
kg ×m/s
donde hemos usado que ∆x = 1 Å.
Por otra parte, dado que el electrón está en un sistema ligado (y, por tanto, que el electrón está confinado
en una región finita del espacio) podemos pensar que el valor medio del momento es nulo y que, por ello, el
valor de la energía cinética del electrón viene dado por el cuadrado de la incertidumbre del momento
K ≈
(∆p)
2
2m
e
= 0.95 eV,
donde hemos utilizado la expresión clásica, dado que p ¿m
0
c. Nótese que la energía de ligadura del electrón
en el átomo es del mismo orden que K (como demuestra el teorema del virial) por lo que la incertidumbre
del impulso del electrón es consistente con que los átomos liguen electrones.
(b) En el caso de que el electrón esté confinado a un núcleo, la incertidumbre del momento será
∆p ≥
h
∆x4π
=
h
4 ×10
−14
π
= 5.27 ×10
−21
kg ×m/s.
Utilizando el mismo argumento que antes, pero usando en este caso la energía cinética relativista y la masa
m
0
del electrón,
E = m
0
c
2
+K =
q
m
2
0
c
4
+c
2
p
2
=⇒ K ≈
q
m
2
0
c
4
+c
2
(∆p)
2
−m
0
c
2
= 9.37 MeV.
(c) En este caso hay que usar la masa del protón (o del neutrón), que es m
p
= 1.675 × 10
−27
kg. Por
tanto la energía cinética nos queda
K ≈
(∆p)
2
2m
p
= 0.052 MeV.
La energía que liga las partículas nucleares es del orden de algunos MeV. En el resultado del apartado (b)
se observa que la energía cinética del electrón en una región restringida del tamaño de un núcleo es mayor
que dicha energía de ligadura, por lo que es muy difícil que el electrón se encuentre en el núcleo en un estado
ligado.
En el apartado (a) el valor de la energía cinética es menor, pero del mismo orden de magnitud, que la
energía de ligadura (que es la energía de ionización, 13.6 eV), por lo que el electrón puede permanecer en
una región del espacio de un tamaño del orden de un radio atómico en un estado ligado; por eso no hay
ninguna inconsistencia. Ese mismo razonamiento se aplica al apartado (c), lo que justifica que en el núcleo
haya protones y neutrones, pero no electrones.
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(
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.

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.
• La vida media de un estado excitado de un núcleo es, generalmente, 10
−12
s. ¿Cuál será
la incertidumbre en la energía del fotón de rayos γ emitido? (Problema 3.23 del libro de
Eisberg y Resnick)
Solución:
Como ∆E∆t ≥ h/4π, podemos estimar ∆t mediante la vida media del estado excitado, τ = 10
−12
s, y
así escribir:
∆E ≥
h
4πτ
= 3.291 ×10
−4
eV.
Comentario: la energía de los estados ligados nucleares es del orden de varios MeV y las diferencias
típicas entre esas energías son mayores que 10
−3
MeV= 10
3
eV. Por eso, los núcleos en estados excitados
realizan transiciones a su estado base emitiendo fotones de una energía superior a esos 10
3
eV, por tanto
emiten rayos X o γ. La incertidumbre encontrada, del orden de 10
−4
eV, es pues muy pequeña.
4 Problemas de los temas 5 y 6.
• Demostrar que la constante de Planck tiene dimensiones de impulso angular. (Problema
4.11 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
Si E = hν, h = E/ν, por lo tanto,
[h] =
[E]
[ν]
=
J
s
−1
= J-s = kg m/s
2
m s = kg m
2
/s.
Si L = mvr, siendo L el impulso angular, tendremos de igual manera:
[L] = kg (m/s) m=kg m
2
/s
resultado que coincide con el correspondiente a h.
• ¿Cuáles son la energía, el impulso y la longitud de onda de un fotón emitido por un
átomo de hidrógeno que sufre una transición directa desde un estado excitado con n = 10
al estado fundamental o estado base, con n = 1? Encontrar la velocidad de retroceso del
átomo de hidrógeno en este proceso. (Problema 4.16 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
A partir de la energía del nivel n podemos encontrar la expresión para la energía del fotón emitido:
E
n
= −
13.6
n
2
=⇒ ∆E = E
i
−E
f
= E
10
−E
1
= 13.464 eV,
que es la energía pedida. Como ∆E = hν = h
c
λ
= cp, se deducen el momento lineal y la longitud de onda
del fotón emitido:
p =
E
c
=
13.464
c
= 7.2 ×10
−27
kg.m/s =⇒λ =
h
p
= 920.8 Å
La conservación del momento se expresa como, dado que el fotón está emitido por un átomo que inicial-
mente suponemos en reposo,
p
´ atomo
+
∆E
c
= M
H
v +
E
c
= 0 =⇒v = −
E
cM
H
.
Como M
H
= 1.672 × 10
−27
kg, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos la velocidad de retroceso
del átomo
|v| = 4.30 m/s.
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3
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.

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.
• (a) Demuestre que cuando se tiene en cuenta la energía cinética de retroceso del átomo,
P
2
/2M (P es el momento transferido al núcleo y M es la masa del núcleo) la frecuencia de
un fotón emitido en una transición entre dos niveles atómicos cuya diferencia de energía
es ∆E se reduce por un factor que es aproximadamente (1 −∆E/2Mc
2
).
(b) Compare la longitud de onda de luz emitida cuando un átomo de hidrógeno sufre una
transición 3 →1, teniendo en cuenta el retroceso y sin tenerlo en cuenta. (Problema 4.24
del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) Llamemos hν
o
= ∆E = E
i
−E
f
a la energía de un fotón emitido en una transición sin tener en cuenta
el retroceso del átomo. Si se tiene en cuenta la energía cinética transmitida al núcleo, la energía del fotón
emitido será distinta: hν = ∆E −P
2
/(2M), donde M es la masa del núcleo. La conservación del momento
exige que el momento de dicho fotón sea igual al momento transferido al núcleo, hν/c = P.
Suponiendo que la corrección de la frecuencia x, es muy pequeña | x |<< 1, escribimos la frecuencia
como ν = ν
o
(1 +x); sustituyendo en las expresiones anteriores se obtiene:
hν
o
(1 +x) = ∆E −
P
2
2M
= hν
o
−
h
2
ν
2
2Mc
2
=⇒ ν
o
+ν
o
x = ν
o
−
hν
2
o
(1 +x)
2
2Mc
2
.
Despreciando el término de orden superior, x
2
(dado que | x |<< 1) nos queda,
ν
o
x
∼
=
−hν
2
o
2Mc
2
−2x
hν
2
o
2Mc
2
=⇒ x = −
1
2
hν
o
Mc
2
+hν
o
= −
∆E
2(Mc
2
+∆E)
,
con lo que podemos escribir
ν
∼
= ν
o
µ
1 −
∆E
2(Mc
2
+∆E)
¶
,
que es la expresión del enunciado si Mc
2
À ∆E. Dado que Mc
2
= 938.3 MeV, se satisface en efecto que
Mc
2
À∆E.
(b) En el caso de una transición en el átomo de hidrógeno 3 →1, el modelo de Bohr predice una diferencia
de energías entre dichos niveles: ∆E = E
3
− E
1
= −13.6(1/n
2
f
− 1/n
2
i
) eV= 12.1 eV (vea el ejemplo 4-6
del libro de Eisberg y Resnick). Dado que ν
0
= ∆E/h, el valor de la longitud de onda del fotón emitido es
λ
o
= c/ν
0
= 1025.7 Å.
La corrección de la longitud de onda debida al retroceso es muy pequeña,
λ
λo
=
c/ν
c/ν
o
=
1
1 −∆E/(2Mc
2
)
∼
= 1 +
∆E
2Mc
2
= 1 + 6.5 ×10
−9
.
• Suponga que el impulso angular de la Tierra, debido a su movimiento alrededor de Sol
con un radio de R = 1.5 × 10
11
m, está cuantizado según la relación de Bohr L = nh/2π.
¿Cuál es el valor del número cuántico n? ¿Podría detectarse esta cuantización? Nota:
tómese la masa de la Tierra igual a 6.0 × 10
24
kg. (Problema 4.35 del libro de Eisberg y
Resnick)
Solución:
(a) Suponiendo que el movimiento es circular, el momento angular L, tiene la siguiente expresión:
L = mvR = mR
2
ω =
nh
2π
,
siendo v la velocidad lineal de la Tierra y ω su velocidad angular constante, v = ωR. Si ahora suponemos
que ω = 2πν = 2π/T, donde T es el periodo de rotación de la Tierra (un año), y sustituyendo en la primera
ecuación se tiene:
n =
4π
2
R
2
m
hT
= 2.55 ×10
74
.
(b) Al ser el número cuántico tan elevado no podría detectarse la cuantización y estaríamos en el límite
clásico.
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3
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.
• Utilice las reglas de cuantización de Wilson-Sommerfeld para calcular los niveles de en-
ergía y el espectro de emisión de una partícula de masa m que se mueve dentro de una caja
rectangular de lado a y que choca elásticamente con las paredes (considere el problema
unidimensional)
Solución:
Supongamos que la partícula se mueve con momento ±p
0
entre las paredes de la caja. Clásicamente,
la partícula podría moverse con cualquier velocidad, por lo que los espectros de impulso y energía serían
continuos; veremos que la solución cuántica genera espectros discretos para ambas variables. La figura 9
clarifica el cálculo de la integral de fase para el movimiento de la partícula dentro de la caja, que resulta ser:
L =
I
p
x
dx = p
0
I
dx = 2ap
0
` `
x=0 x=a
p
x
-p
0
p
0
x
Espacio de las fases Caja
Figura 9: Izquierda: caja de potencial. Derecha: espacio de las fases de una partícula en la caja.
Por otro lado, las reglas de cuantización nos dicen que L = 2π¯hn. Igualando ambas expresiones y
despejando, queda
p
0
=
π¯h
a
n.
La energía de la partícula es
E =
p
2
0
2m
=
π
2
¯h
2
2ma
2
n
2
.
El espectro de emisión también es discreto, con frecuencias
ω
n2→n1
=
π
2
¯h
2ma
2
(n
2
2
−n
2
1
),
con n
2
> n
1
.
En el caso de grandes números cuánticos, podemos escribir la siguiente expresión aproximada, obtenida
haciendo n
2
2
−n
2
1
= (n
1
+n
2
)(n
2
−n
1
) ≈ 2n∆n:
ω
n→n+∆n
≈
π
2
¯h
ma
2
n∆n =
πp
ma
∆n,
en donde ∆n puede tener cualquier valor entero mayor que cero. Para comparar este resultado con la frecuen-
cia clásica que caracteriza al movimiento periódico dentro de la caja, notamos que el periodo fundamental
de este movimiento es T = 2a/v
0
, donde v = p
0
/m. Por tanto, se tendrá:
ω
c
=
2π
T
=
πv
0
a
=
πp
0
ma
,
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(
3
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de manera que las frecuencias de emisión son las armónicas de ω
c
:
ω
n,∆n
= ω
c
∆n.
• Haga lo mismo que en problema anterior, pero para un oscilador armónico unidimensional.
Solución:
El diagrama en el espacio de las fases es el representado en la figura 10
p
x
x
0
b
a
Figura 10: Espacio de las fases de una oscilador armónico.
La energía asociada a un oscilador armónico tiene la expresión:
E =
p
2
x
2m
+
1
2
mω
2
0
x
2
.
Dividiendo esta ecuación por el valor de la energía E, obtenemos en el espacio de fases (x, p
x
) la ecuación
de una elipse (ver figura 10):
x
2
a
2
+
p
2
x
b
2
= 1,
en donde a =
p
2E/m/ω
0
y b =
√
2mE.
Por lo tanto, de las reglas de cuantización se sigue que:
L =
I
p
x
dx = abπ =
2πE
ω
0
= 2π¯hn =⇒ E = n¯hω
0
que es la regla de cuantización de la energía y coincide con la hipótesis de Planck. El espectro de radiación
es
ω
∆n
= ω
0
∆n.
Vemos que, igual que en el caso anterior, si tomamos ∆n = 1 el espectro de emisión cuántico se reduce
al clásico (clásicamente, un oscilador armónico cargado emite radiación cuya única frecuencia es igual a la
frecuencia de vibración del oscilador). Si ∆n 6= 1 entonces la frecuencia de emisión cuántica resulta ser un
múltiplo de la clásica.
5 Problemas del tema 7.
• (a) Determinar la frecuencia ν de la parte dependiente del tiempo de la función de onda
para el estado de energía más bajo de un oscilador armónico simple.
ψ(x, t) = A exp
Ã
−
√
Cm
2¯h
x
2
!
exp
Ã
−i/2
r
C
m
t
!
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(
3
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.

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.
(b) Utilice este valor de ν y la relación de De Broglie-Einstein E = hν para evaluar la
energía total E del oscilador.
(c) Utilice este valor de E para demostrar que los límites del movimiento clásico del
oscilador x = ±
p
2E/C se pueden escribir como x = ±¯h
1/2
/(Cm)
1/4
(Problema 5.3 del libro
de Eisberg y Resnick).
Solución:
(a) Sea una partícula de masa m ligada en el potencial de oscilador armónico simple V (x) =
1
2
Cx
2
, donde
C es la constante restauradora lineal. Como sabemos, e
iθ
= cos θ +i sinθ, por lo tanto, podemos escribir el
término dependiente del tiempo como
exp
Ã
−i/2
r
C
m
t
!
= cos ωt −i sinωt,
donde hemos escrito
ω =
1
2
r
C
m
=⇒ ν =
1
4π
r
C
m
.
(b) Como la energía total de la partícula E = hν = (h/4π)
p
C/m, se tendrá:
E =
¯h
2
r
C
m
.
(c) En el caso clásico, la conservación de la energía nos dice que E =
1
2
m
¡
dx
dt
¢
2
+
1
2
Cx
2
. Como E =
(1/2) Cx
2
max,min
, los puntos en los que la energía potencial se hace igual a la total son:
x
max,min
= ±
r
2E
C
= ±
¯h
1
2
(Cm)
1/4
.
• (a) Verificar que la función de onda
Ψ(x, t) = Asin
µ
2πx
a
¶
exp(−
iEt
¯h
) para −a/2 < x < a/2
Ψ(x, t) = 0 cuando x < −a/2 o x > +a/2
es una solución a la ecuación de Schrödinger en la región −a/2 < x < a/2 para una partícula
que se mueve libremente a través de la región, pero que se encuentra estrictamente
confinada en ella.
(b) Determine también el valor de la energía total E de la partícula en dicho estado, que
es el primer estado excitado del sistema y compárela con la energía total del estado base
o fundamental E
1
= π
2
¯h
2
/2ma
2
. (Problema 5.9 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
(a) y (b) Si en la región no hay fuerzas que actúen sobre la partícula, la energía potencial V (x) se puede
tomar como cero. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se escribe como
−
¯h
2
2m
∂
2
Ψ(x, t)
∂x
2
= i¯h
∂Ψ(x, t)
∂t
.
Sustituyendo Ψ(x, t) por la función del enunciado, tenemos
∂Ψ(x, t)
∂x
=
2π
a
A cos(2πx/a) e
−
iEt
¯ h
∂
2
Ψ(x, t)
∂x
2
= −
2π
a
A
2π
a
sin(2πx/a) e
−
iEt
¯ h
.
Operando se obtiene la siguiente expresión
¯h
2
2m
h
A(2π/a)
2
sin(2πx/a) e
−
iEt
¯ h
i
= E A sin(2πx/a) e
−
iEt
¯ h
=⇒ E =
¯h
2
2m
µ
2π
a
¶
2
=
2¯h
2
π
2
ma
2
.
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(
3
º
)
.

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.
La energía del estado fundamental es:
E
1
= π
2
¯h
2
/2ma
2
=
E
4
.
Sugerencia: Realice el problema 5.15 del libro de Eisberg y Resnick.
• Demostrar por sustitución directa en la ecuación de Schrödinger que la función de onda
Ψ(x, t) = ψ(x) e
−iEt/¯ h
satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo si la autofunción ψ(x) satisface
la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial V (x). (Problema
5.16 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es
−
¯h
2
2m
∂
2
Ψ(x, t)
∂x
2
+V (x)Ψ(x, t) = i¯h
∂Ψ(x, t)
∂t
.
Sustituyendo la función de onda
Ψ(x, t) = ψ(x) e
−iEt/¯ h
tendremos
∂Ψ(x, t)
∂x
= e
−iEt/¯h
∂ψ(x)
∂x
∂
2
Ψ(x, t)
∂x
2
= e
−iEt/¯h
∂
2
ψ(x)
∂x
2
∂Ψ(x, t)
∂t
= ψ(x)
µ
−
iE
¯h
e
−iEt/¯ h
¶
,
con lo que
−
¯h
2
2m
∂
2
ψ(x)
∂x
2
e
−iEt/¯ h
+V (x)ψ(x) e
−iEt/¯ h
= ψ(x)(i¯h)
µ
−
iE
¯h
¶
e
−iEt/¯ h
.
El término exp(−iEt/¯h) puede eliminarse, y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es
−
¯h
2
2m
∂
2
ψ(x)
∂x
2
+V (x)ψ(x) = Eψ(x).
Comentario: Los estados en los que la energía tiene valores bien determinados se llaman estados
estacionarios del sistema. Estos estados se describen mediante funciones de onda que son funciones propias
del operador de Hamilton, es decir, que satisfacen la ecuación (de Schrödinger independiente del tiempo)
H
op
Ψ
n
= E
n
Ψ
n
, donde E
n
son los valores propios de la energía. Además, este estado estacionario debe ser
solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,
H
op
Ψ
n
= i¯h
∂Ψ
n
(x, t)
∂t
= E
n
Ψ
n
(x, t).
Si el operador H
op
es independiente del tiempo (para la energía sea una constante) entonces la ecuación
anterior puede integrarse respecto del tiempo de manera directa mediante separación de variables, dando
lugar a
Ψ
n
(x, t) = ψ
n
(x) e
−iEnt/¯ h
,
donde ψ
n
(x) sólo depende de la coordenada espacial (ver apartados 5.4 y 5.5 del libro de Eisberg y Resnick).
• Sean Ψ
1
(x, t) y Ψ
2
(x, t) las dos primeras funciones de onda normalizadas para una partícula
que se mueve libremente en una región de longitud L , pero estrictamente confinada a
esa región. Construyendo la combinación lineal Ψ(x, t) = c
1
Ψ
1
(x, t) + c
2
Ψ
2
(x, t), derive una
relación que incluya las constantes c
1
y c
2
de manera que se asegure que Ψ(x, t) también
esté normalizada. Utilizando la función de onda Ψ(x, t) = c
1
Ψ
1
(x, t) + c
2
Ψ
2
(x, t), calcule el
valor esperado o de expectación de la energía total E de la partícula en términos de las
energías E
1
y E
2
de los dos estados y de los valores c
1
y c
2
. (Problemas 5.33 y 5.34 del
libro de Eisberg y Resnick)
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(
3
º
)
.

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D
.
Solución:
La condición de normalización de la función Ψ(x, t) = c
1
Ψ
1
(x, t) +c
2
Ψ
2
(x, t) se escribe como
1 =
Z
+L/2
−L/2
[c
∗
1
Ψ
∗
1
(x, t) +c
∗
2
Ψ
∗
2
(x, t)] [c
1
Ψ
1
(x, t) +c
2
Ψ
2
(x, t)] dx.
Como sabemos que las funciones de onda correspondientes a las partículas de energías E
1
y E
2
son de la
forma ψ
1
(x)e
−iE
1
t/¯ h
y ψ
2
(x)e
−iE
2
t/¯ h
y, dado que Ψ
1
(x, t) y Ψ
2
(x, t) están normalizadas, la ecuación anterior
nos queda
1 =| c
1
|
2
+ | c
2
|
2
+c
∗
1
c
2
e
−i(E2−E1)t/¯ h
Z
+L/2
−L/2
ψ
∗
1
(x)ψ
2
(x)dx +c
∗
2
c
1
e
i(E2−E1)t/¯ h
Z
+L/2
−L/2
ψ
∗
2
(x)ψ
1
(x)dx.
Sabemos también que las funciones de onda correspondientes a partículas en una caja son ortogonales
(vea el problema 6-26 del Eisberg y Resnick), entonces
Z
+L/2
−L/2
ψ
∗
1
(x)ψ
2
(x)dx = 0,
Z
+L/2
−L/2
ψ
∗
2
(x)ψ
1
(x)dx = 0,
y la relación pedida es 1 =| c
1
|
2
+ | c
2
|
2
. El valor esperado de la energía es el correspondiente al valor
medio del operador cuántico asociado a la energía,
E = i¯h
Z
+L/2
−L/2
[c
∗
1
Ψ
∗
1
(x, t) +c
∗
2
Ψ
∗
2
(x, t)]
∂
∂t
[c
1
Ψ
1
(x, t) +c
2
Ψ
2
(x, t)] dx
=
Z
+L/2
−L/2
[c
∗
1
Ψ
∗
1
(x, t) +c
∗
2
Ψ
∗
2
(x, t)] [c
1
E
1
Ψ
1
(x, t) +c
2
E
2
Ψ
2
(x, t)] dx
y obtenemos
E =| c
1
|
2
E
1
+ | c
2
|
2
E
2
.
Sugerencia: calcule el valor esperado de la variable x. ¿Depende este valor del tiempo?
• Estudiar el comportamiento asintótico de la función de onda de un problema unidimen-
sional bajo la hipótesis de que V (x) tiende a una constante finita cuando x →±∞. (Nótese
que esta condición corresponde a la situación física real). Dar una interpretación física al
resultado.
Solución:
Basta estudiar el caso x →∞, pues para x → −∞ la situación es enteramente análoga. Llamemos V
∞
al valor de V (x) en el infinito; dado un valor de E pueden ocurrir dos casos, según sea el signo de E −V
∞
;
estudiaremos cada uno por separado.
(a) E < V
∞
. En la región asintótica podemos aproximar la ecuación de Schrödinger mediante la ecuación
ψ
00
−q
2
ψ = 0,
en donde q es esencialmente una constante con valor dado por
q
2
=
2m
¯h
2
(V
∞
−E).
Las soluciones generales de la ecuación diferencial dada son las exponenciales e
qx
y e
−qx
. Para que la solución
sea finita para x →∞, debemos escoger la solución e
−qx
, esto es, una exponencial decreciente.
Este resultado se puede interpretar geométricamente notando que si ψ > 0, también ψ
00
= q
2
ψ > 0, y la
curva de ψ resulta cóncava hacia arriba; análogamente si ψ es negativa la curva es cóncava hacia abajo. Las
exponenciales poseen evidentemente estas propiedades (su pendiente crece o decrece monótonamente).
(b) E > V
∞
. Procediendo como en el caso anterior, aproximamos la ecuación de Schrödinger en la región
asintótica mediante la expresión
ψ
00
+k
2
ψ = 0,
en donde la constante k se determina de la expresión
k
2
=
2m
¯h
2
(−V
∞
+E) > 0.
28
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(
3
º
)
.

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E
D
.
ψ(x)
e
qx -q
2
e
qx
ψ(x)
e
-qx
-q
2
e
-qx
ψ>0
ψ´<0
ψ<0
ψ´>0
ψ''(x)
x
x
ψ(x)
E>V`
Figura 11: Comportamientos asintóticos.
Las soluciones de esta ecuación son funciones periódicas de la forma general Acos(kx +θ).
Podemos interpretar geométricamente el resultado notando que en este caso, ψ
00
= −k
2
ψ > 0; por lo
tanto, cuando ψ es positiva, ψ
00
es negativa y ψ tiende a decrecer hasta hacerse negativa, pero cuando ψ es
negativa, ψ
00
es positiva y ψ tiende a crecer, hasta hacerse positiva; esto produce oscilaciones acotadas.
Nota: En el caso más realista, k será una función que varía lentamente en vez de una constante (pues el
potencial es una función de la coordenada x) y eso modifica los detalles (la longitud de onda de De Broglie
varía con la posición) pero no las conclusiones generales.
• Demostrar que cuanto mayor sea el número de nodos de una autofunción, mayor es su
energía y viceversa.
Solución:
Consideremos dos autofunciones, ψ
1
y ψ
2
, que se intersectan en un punto P. El valor de la energía
potencial en P es V
P
. Supongamos que ψ
2
tiene un número mayor de nodos que ψ
1
. Dado que ambas
funciones satisfacen la ecuación de Schrödinger podemos escribir
ψ
00
1
+ (E
1
−V
P
)ψ
1
= 0 ψ
00
2
+ (E
2
−V
P
)ψ
2
= 0.
Como en el punto P la autofunción ψ
2
tiene mayor curvatura que ψ
1
, se cumple que
¯
¯
ψ
00
2
¯
¯
>
¯
¯
ψ
00
1
¯
¯
=⇒|(E
2
−V
P
)ψ
2
| > |(E
1
−V
P
)ψ
1
| .
Además, como ψ
1
y ψ
2
toman el mismo valor en P, la desigualdad anterior se reduce a E
2
> E
1
. Como esto
mismo habrá de suceder en cualquier punto de intersección P, tenemos el resultado solicitado.
6 Problemas de los temas 8 y 9.
• Considere la región interior de un pozo de potencial cuadrado finito. Verifique por susti-
tución que la solución general de ondas estacionarias satisface la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo. (Problema 6.11 del libro de Eisberg y Resnick)
Solución:
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(
3
º
)
.

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N
E
D
.
Sea el pozo de potencial
V (x) =
½
V
0
x <
a
2
o x >
a
2
0 −
a
2
< x <
a
2
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en la región interior del pozo es:
−
¯h
2
2m
d
2
ψ(x)
dx
2
= E ψ(x).
La solución general de ondas planas estacionarias es:
ψ(x) = A
0
sinkx +B
0
cos kx para −a/2 < x < a/2
Para sustituir ψ(x) en la ecuación de Schrödinger calculamos sus derivadas,
d
2
ψ(x)
dx
2
= −A
0
k
2
sinkx −B
0
k
2
cos kx = −k
2
ψ(x)
Vemos que para que ψ(x) sea una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se requiere
que el vector de onda k sea:
¯h
2
2m
k
2
= E.
Entonces, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo posee soluciones cuya forma es la de ondas
planas estacionarias,
ψ(x) = A
0
sinkx +B
0
cos kx,
donde A
0
, B
0
son constantes y el vector de onda k =
√
2mE/¯h.
• En la figura (12) se muestran dos posibles autofunciones para una partícula que se mueve
libremente en una región de longitud a pero que está confinada estrictamente a esta
región. Cuando la partícula está en el estado que corresponde a la autofunción ψ
I
, su
energía total es 4 eV.
(a) ¿Cuál es la energía total correspondiente al estado ψ
II
?
(b) ¿Cuál es la energía total más baja posible para la partícula en este sistema? (Problema
6.19 del libro de Eisberg y Resnick).
-a/2
a/2
Ψ
Ι
Ψ
ΙΙ
-a/2 a/2
Figura 12: Posibles autofunciones para una partícula que se mueve libremente en una región de longitud a.
Solución:
(a) Si se mueve libremente V (x) = 0, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en la región
−a/2 < x < a/2 es:
−
¯h
2
2m
d
2
ψ(x)
dx
2
= Eψ(x).
La solución general es ψ(x) = Asinkx + Bcos kx. La partícula está confinada en esta región, por lo que
la función de onda se anulará para x ≥ a/2 y x ≤ −a/2 . Entonces para calcular las constantes A y B
utilizamos las condiciones de contorno: ψ(x) = 0 en la frontera de la región x = ±a/2. De manera que se
obtienen dos tipos de soluciones:
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(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
• Soluciones en coseno:
A = 0
Bcos (ka/2) = 0 =⇒k
n
a/2 = nπ/2 para n = 1, 3, 5, . . .
• Soluciones en seno:
B = 0
Asin(ka/2) = 0 =⇒k
n
a/2 = nπ/2 para n = 2, 4, 6, . . .
Sustituyendo cualquiera de las soluciones anteriores en la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo se obtiene la energía:
E
n
=
¯h
2
2m
k
2
n
=
π
2
¯h
2
2ma
2
n
2
para n = 1, 2 . . .
(Esta es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial de pozo
cuadrado infinito, vea la sección 6.8 del libro de Eisberg y Resnick).
Observando la figura nos podemos dar cuenta que ψ
I
corresponde a ψ
2
(x) = A
2
sin(nπx/a) es decir con
n = 2, y su energía será:
E
2
=
π
2
¯h
2
2ma
2
2
2
= 4 eV.
De aquí obtenemos el valor de la constante que multiplica a las energías:
π
2
¯h
2
2ma
2
= 1 eV.
A la autofunción ψ
II
corresponderá a ψ
3
(x) = B
3
cos (nπx/a) con n = 3, y la energía será
E
3
=
π
2
¯h
2
2ma
2
3
2
= 9 eV,
donde se ha sustituido π
2
¯h
2
/(2ma
2
) por su correspondiente valor.
(b) De entre todos los estados posibles de este pozo, el de energía total más baja es:
E
1
=
π
2
¯h
2
2ma
2
1
2
= 1 eV.
• Estimar la energía del punto cero para un neutrón en un núcleo; para ello calcule la
energía del estado fundamental de un neutrón en un pozo cuadrado infinito cuya anchura
sea igual a un diámetro nuclear ' 10
−14
m (Problema 6.20 del libro de Eisberg y Resnick).
Solución:
Conocida la masa del neutrón aproximadamente igual a 10
−27
kg y sustituyendo en la expresión obtenida
en la solución del problema 6.19 del Eisberg y Resnick en esta colección:
E
n
=
π
2
¯h
2
2ma
2
n
2
=⇒E
1
= 3.4 MeV.
• Aplicar la condición de normalización para demostrar que el valor de la constante mul-
tiplicativa para la autofunción n = 3 del pozo de potencial cuadrado infinito ψ
n
(x) =
B
n
cos k
n
x es B
3
=
p
2/a. (Problema 6.23 del libro de Eisberg y Resnick)
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(
3
º
)
.

U
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E
D
.
Solución:
Como la autofunción general es
ψ
n
(x) = B
n
cos k
n
x = B
n
cos
nπ
a
x,
la expresión para ψ
3
(x) será:
ψ
3
(x) = B
3
cos
3π
a
x.
Entonces, usando la condición de normalización es:
Z
a/2
−a/2
ψ
∗
(x)ψ(x)dx =
Z
a/2
−a/2
|B
3
|
2
cos
2
µ
3π
a
x
¶
dx = 1.
Sacando factor común |B
3
|
2
, e integrando se tiene:
|B
3
|
2
a
3π
3π
2
= 1 =⇒B
3
=
r
2
a
.
• (a) Determinar las autofunciones y autovalores de la energía para el caso de un pozo
rectangular infinito tridimensional. (b) Determinar bajo qué condiciones los niveles de
energía son degenerados.
Solución:
(a) Sean a
1
, a
2
, a
3
los lados x, y, z, respectivamente del pozo rectangular infinito definido de la siguiente
manera: x ∈ [−a
1
/2, a
1
/2], y ∈ [−a
2
/2, a
2
/2], z ∈ [−a
3
/2, a
3
/2]. La ecuación de Schrödinger en un sistema
de coordenadas rectangulares es:
−
¯h
2
2m
·
d
2
ψ(x, y, z)
dx
2
+
d
2
ψ(x, y, z)
dy
2
+
d
2
ψ(x, y, z)
dz
2
¸
ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) .
Utilizando el método de separación de variables, es decir suponiendo: ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z), se obtiene
la solución:
ψ
n1,n2,n3
(x, y, z) =
r
8
a
1
a
2
a
3
cos
µ
n
1
π
a
1
x
¶
cos
µ
n
2
π
a
2
y
¶
cos
µ
n
3
π
a
3
z
¶
y una expresión para la energía:
E
n
1
,n
2
,n
3
=
π
2
¯h
2
2m
µ
n
2
1
a
2
1
+
n
2
2
a
2
2
+
n
2
3
a
2
3
¶
,
en donde cada uno de los números cuánticos n
1
, n
2
, n
3
pueden tomar valores enteros 1, 2, 3, ...
(b) Observe que si la relación entre dos lados es un entero k, de forma que a
2
= ka
1
, entonces existe
una degeneración para la pareja de números cuánticos n
1
, n
2
, es decir siempre que n
2
/k sea un entero. En
efecto, sustituyendo n
1
por n
2
/k y n
2
por n
1
k, se obtiene la misma energía que con n
1
y n
2
. En particular,
basta que dos lados del pozo sean iguales para que exista degeneración.
• Determinar los niveles de energía que cumplan E < U
1
para el pozo de potencial definido
por:
V (x) =



U
1
, −∞< x < 0
0, 0 < x < a
U
2
, (U
1
< U
2
) a < x < ∞
Solución:
Cuando E < U
1
(el caso que nos piden) el espectro de energías es discreto.
32
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c
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(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
U
1
U
2
x
Figura 13: Pozo de potencial.
1. En la región x < 0, la función de onda es:
ψ
1
(x) = C
1
e
κ1x
donde κ
1
=
r
2m
¯h
2
(U
1
−E).
2. En la región con x > a, se tiene:
ψ
2
(x) = C
2
e
−κ
2
x
donde κ
2
=
r
2m
¯h
2
(U
2
−E).
3. Dentro del pozo (0 < x < a), escribiremos ψ de la forma siguiente:
ψ
3
(x) = C
3
sin(kx +δ) donde k =
r
2m
¯h
2
E.
(Note que poner ψ
3
(x) = C
3
sin(kx +δ) es equivalente a escribir ψ
3
(x) = Asin(kx) + cos(kx)).
La condición de continuidad de ψ y ψ
0
en las fronteras del pozo da las siguientes ecuaciones:
k cot δ = κ
1
=
r
2m
¯h
2
U
1
−k
2
k cot(ka +δ) = −κ
2
= −
r
2m
¯h
2
U
2
−k
2
o bien
sinδ = k¯h
p
2mU
1
sin(ka +δ) = −k¯h
p
2mU
2
.
Eliminando δ, obtenemos la ecuación trascendente:
ka = nπ −arcsin
µ
k¯h
√
2mU
1
¶
−arcsin
µ
k¯h
√
2mU
2
¶
(1)
(donde n = 1, 2, 3.... y los valores de arcsin se toman entre 0 y 2π), cuyas raíces determinan los niveles de
energía E = k
2
¯h
2
/2m. Para cada valor de n se tiene, en general, una raíz; los valores n numeran los niveles
en orden creciente de energías.
Dado que el argumento del arcsin no puede ser mayor que la unidad y U
2
> U
1
, está claro que los valores
de k pueden pertenecer sólo al intervalo entre k ∈
·
0,
q
2mU
1
/¯h
2
¸
. Como el primer miembro de la ecuación
(1) es una función monótona creciente de k y el segundo miembro una función monótona decreciente. Por
consiguiente, para que exista una raíz de la ecuación (1) es necesario que para k =
q
2mU
1
/¯h
2
el segundo
miembro sea menor que el primero. En particular, la desigualdad:
a
q
2mU
1
/¯h
2
≥
1
2
π −arcsin
p
U
1
/U
2
, (2)
que se obtiene para n = 1 es la condición para que en el pozo exista por lo menos un nivel energético. Vemos
así que si U
1
6= U
2
existen siempre valores de la anchura a del pozo tan pequeños que no existirá ni un solo
nivel discreto de la energía.
Cuando U
1
= U
2
, la condición (2) se cumplirá siempre, evidentemente. Si tomamos en efecto U
1
= U
2
=
U
0
(pozo simétrico) la ecuación (1) se reduce a:
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(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
arcsin
µ
k¯h
√
2mU
0
¶
=
1
2
(nπ −ka) .
Introduciendo la variable ξ = ka/2, obtenemos para n impar la ecuación:
cos ξ = ±γξ, (3)
donde
γ = (¯ h/a)
p
2/mU
0
,
de la que hay que tomar aquellas raíces para las que tanξ > 0. Para n par, obtenemos la ecuación:
sinξ = ±γξ, (4)
y hay que elegir las raíces para las que tanξ < 0. De las raíces de estas dos ecuaciones (3) y (4) se deducen
los niveles energéticos E = 2ξ
2
¯h
2
/ma
2
, y el número de niveles es finito (para γ 6= 0).
En particular, para un pozo poco profundo, en el que U
0
¿ ¯h
2
/ma
2
, tenemos γ À 1 y la ecuación (4)
no tiene ninguna raíz. La ecuación (3), en cambio, tiene una raíz (para el signo superior en el segundo
miembro), ξ ≈ 1/γ(1 −1/2γ
2
). En este pozo de potencial se tiene así únicamente un nivel energético
E
0
≈ U
0
−(ma
2
/2¯h
2
)U
2
0
= U
0
(1 −ma
2
/2¯ h
2
U
0
),
situado muy cerca del borde del pozo.
• Considere una partícula que pasa sobre una barrera de potencial rectangular. Escriba la
solución general que da la forma de ψ en las distintas regiones del potencial.
(a) Encuentre cuatro relaciones entre las cinco constantes arbitrarias acoplando ψ y dψ/dx
en las fronteras entre las regiones.
(b) Utilice estas relaciones para evaluar el coeficiente de transmisión T.
(c) Encuentre una condición sobre la energía total de la partícula que haga que el coefi-
ciente de transmisión sea igual a uno.
ψ
1
(x) ψ
3
(x)
ψ
2
(x)
x=0 x=L x
V
0
V(x)
Figura 14: Barrera de potencial rectangular.
Solución
(a) En la mecánica cuántica, el movimiento de la partícula está descrito por la función de onda Ψ(x, t) =
ψ(x) exp(−iEt/¯h). La eigenfunción ψ(x) satisface la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para
la energía potencial, que en este caso es:
V (x) =



0, x < 0
V
0
, 0 < x < L
0, x > L
En la región x < 0 la solución general es ψ
1
(x) = Ae
ik1x
+Be
−ik1x
donde k
1
=
√
2mE/¯h. En la región
x > L la solución general es ψ
3
(x) = Ce
ik
1
x
+ De
−ik
1
x
donde k
1
=
√
2mE/¯h. La partícula pasa sobre la
barrera de potencial, luego tenemos E > V
o
y la solución es en este caso ψ
2
(x) = Fe
ik2x
+Ge
−ik2x
, donde
k
2
=
p
2m(E −V o)
¯h
34
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C
u
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t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
Si suponemos que la partícula se desplaza en la dirección positiva del eje X, entonces no hay nada a partir
de x > L que pueda reflejar la onda, por lo que D = 0. (Esto no se cumple para x < L ya que las
discontinuidades del potencial hacen que la onda se pueda reflejar y como consecuencia la función de onda
puede tener una parte que viaje hacia la izquierda, e
−ikx
).
Las condiciones de contorno que se deben cumplir son:
x = 0 ⇒ψ
1
(0) = ψ
2
(0), ψ
0
1
(0) = ψ
0
2
(0)
x = L ⇒ψ
2
(L) = ψ
3
(L), ψ
0
2
(L) = ψ
0
3
(L)
De ellas se obtienen las siguientes relaciones:
A+B = F +G (1)
k
1
(A−B) = k
2
(F −G) (2)
Fe
ik2L
+Ge
−ik2L
= Ce
ik1L
(3)
k
2
¡
Fe
ik2L
−Ge
−ik2L
¢
= k
1
Ce
ik1L
(4)
Tenemos cuatro relaciones y cinco incógnitas, A, B, C, F y G. Necesitaríamos una condición más, que es
precisamente la condición de que la solución esté normalizada entre ∞ ≤ x ≤ ∞. Sin embargo, como
veremos más abajo, no es necesario obtener dicha constante para obtener los resultados correspondientes a
la reflexión y transmisión.
(b) El coeficiente de trasmisión está determinado por
T =
v
3
| C |
2
v
1
| A |
2
,
donde v
1
y v
3
son las velocidades de la partícula en las regiones x < 0 y x > L . Pero v
1
= v
3
dado que el
potencial en ambas regiones es el mismo, V = 0, y por consiguiente: v
1
= p
1
/m = ¯ hk
1
/m = ¯ hk
3
/m = v
3
. A
partir de las ecuaciones (1-2) obtenemos la expresión
2k
1
A = F(k
1
+k
2
) +G(k
1
−k
2
)
y a partir de las ecuaciones (3-4) obtenemos las relaciones
2k
2
Fe
ik2L
= (k
2
+k
1
)Ce
ik1L
(5)
2k
2
Ge
−ik
2
L
= (k
2
−k
1
)Ce
ik
1
L
(6)
Sustituyendo ahora F y G de las ecuaciones (5) y (6) en la ecuación (1) se obtiene la expresión para C en
función de A:
4k
1
k
2
A
e
ik1L
=
(k
1
+k
2
)
2
C
e
ik2L
−
(k
1
−k
2
)
2
C
e
−ik2L
.
Despejando C,
C = A
4k
1
k
2
e
−ik
1
L
e
−ik2L
[(k
1
+k
2
)
2
−e
i2k2L
(k
1
−k
2
)
2
]
.
La expresión conjugada de ésta es
C
∗
= A
∗
4k
1
k
2
e
ik1L
e
ik
2
L
[(k
1
+k
2
)
2
−e
−i2k
2
L
(k
1
−k
2
)
2
]
y utilizando cos(2k
2
L) = 1 −2 sin
2
(k
2
L) se llega a la expresión
| C |
2
=| A |
2
4k
2
1
k
2
2
(k
2
1
−k
2
2
)
2
sin
2
(k
2
L) + 4k
2
1
k
2
2
.
Entonces
T =
"
1 +
¡
k
2
1
−k
2
2
¢
2
4k
2
1
k
2
2
sin
2
(k
2
L)
#
−1
(c) El coeficiente de transmisión es uno cuando se cumple que sin
2
(k
2
L) = 0, y esto sucede si k
2
= nπ/L
siendo n un entero n = 0, 1, 2.... Sustituyendo el valor de k
2
vemos que esta situación es la de una partícula
cuya energía es uno de los valores discretos siguientes:
E = V
o
+
¯h
2
2m
³
nπ
L
´
2
= V
o
+
n
2
π
2
¯h
2
2mL
2
para n = 0, 1, 2...
(puede leer en el ejemplo 6-4 del libro de Eisberg y Resnick el significado físico de esta condición, por la que
las partículas con esta energía pasan la barrera sin ninguna reflexión, T = 1, como si la barrera no existiera)
35
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
Examen tipo de MECANICA CUANTICA. Opción A. Primera Prueba Personal.
No se permite usar ni calculadora ni material auxiliar.
Cuestiones: conteste breve y razonadamente, ajustándose a la pregunta que se le hace.
Problemas: hay que resolverlos, no sólo decir cómo se harían, definiendo todas las variables que use y explicando la
notación y las fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conoce la solución directa de algún apartado,
debe exponer dicha solución y explicarla con claridad.
No haga números hasta el final, una vez tenga una expresión algebraica (haga una estimación en órdenes de magnitud).
h = 6.63 × 10
−34
J s, m
p
= 1.67 × 10
−27
kg, m
e
= 9.11 × 10
−31
kg, R
∞
= 109737 cm
−1
, e = 1.6 × 10
−19
C
k
B
= 1.38 × 10
−23
J K
−1
, 1eV=1.6 × 10
−19
J, µ
b
= 9.27 × 10
−24
J T
−1
, c = 3 × 10
8
m s
−1
a
o
= 4π²
o
~
2
/me
2
' 0.52 Å, 1/ (4π²
o
) = 9 × 10
9
m
3
kg s
−2
C
−2
R
∞
0
e
−ax
2
dx =
1
2
p
π/a
R
∞
0
xe
−ax
2
dx = 1/(2a)
R
∞
0
x
2
e
−ax
2
dx =
1
4
p
π/a
3
R
∞
0
x
3
e
−ax
2
dx = 1/
¡
2a
2
¢ R
∞
0
x
4
e
−ax
2
dx =
3
8
p
π/a
5
R
∞
0
x
5
e
−ax
2
dx = 1/a
3
R
∞
0
r
n
e
−ar
dr = n!/a
n+1
L
z
= −i~
³
x
∂
∂y
−y
∂
∂x
´
= −i~
∂
∂ϕ
Nota: en el examen habrá sólo dos cuestiones y dos problemas; aquí se ponen más ejemplos para que el alumno
pueda disponer de más material.
CUESTIONES
1.- En un instante determinado, una partícula se encuentra en un estado descrito por la función
de onda Ψ(x) = Axexp(−x
2
/2Γ) en un sistema en una dimensión e infinito. Calcule la posición más
probable de la partícula.
La densidad de probabilidad, por unidad de longitud en el eje x, especifica la probabilidad de encontrar la partícula
en la coordenada x en el instante t. Según el postulado de Born (1926), la densidad de probabilidad en ese instante
es: P(x) = Ψ
∗
(x)Ψ(x). Por tanto:
P(x) = |Ψ(x)|
2
= |A|
2
x
2
exp(−x
2
/Γ)
La probabilidad máxima viene determinada por un máximo de esa densidad de probabilidad:
dP(x)
dx
= 0 =⇒
µ
2x −
2 x
3
Γ
¶
exp(−x
2
/Γ) = 0
cuyas soluciones son x = 0, ±
√
Γ. De ellas, x = 0 es un mínimo. Las posiciones más probables son entonces x = ±
√
Γ.
2.- Demuestre que si se quiere asignar (relativísticamente) una onda de de Broglie a un fotón, éste
debe viajar con la velocidad de la luz y tener una masa en reposo nula.
Suponemos que sabemos que los fotones son cuantos del campo electromagnético y su energía es por tanto E = hν.
Sin embargo supondremos que no conocemos la relación p = E/c, es decir que no sabemos que la velocidad del fotón
es c ni que su masa en reposo es nula . Si llamamos m
o
a la masa en reposo del fotón
m = m
0
γ, donde γ ≡
1
p
1 −v
2
/c
2
Para una onda de de Broglie asociada a una partícula de masa en reposo m
0
, la longitud de onda asociada es
λ =
h
p
=
h
mv
=
h
m
0
γv
Para un fotón de masa en reposo m
0
la energía relativista total es E = m
0
c
2
/
p
1 −v
2
/c
2
= m
0
c
2
γ. La velocidad de
una onda monocromática es v = λν
λ =
v
ν
=
hv
hν
=
hv
m
0
c
2
γ
igualando ambas relaciones nos da v = c, lo que nos da una masa no infinita m
0
γ sólo si m
0
= 0.
3.- En un pozo cuadrado infinito, calcular la relación entre la diferencia de energías del nivel n + 1
y el nivel n y la energía E
n
. Cuando se usan números cuánticos grandes (esto es, para n → ∞) ¿se
explica usted que en el límite clásico la distribución de valores de la energía resulte ser prácticamente
continua?
Como en cualquier otros sistema, en un pozo cuadrado infinito x ∈ [−a/2, a/2], las vienen determinadas por las
condiciones de contorno sobre la función de onda, que en esta caso son
ψ(−a/2) = ψ(a/2) = 0
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
Los autoestados del pozo infinito cumplen que
n
λ
2
= a =⇒λ =
2a
n
y como
p =
h
λ
=
nh
2a
=
n~π
a
nos queda que la energía de los autoestados es
E
n
=
~
2
2m
p
2
n
=
π
2
~
2
n
2
2ma
2
, n = 1, 2, 3, . . .
Por tanto
E
n+1
−E
n
E
n
=
2n + 1
n
2
Esto significa que, para valores grandes de n, aun cuando la separación entre los niveles de energía aumenta con n
[pues E
n+1
−E
n
∝ (2n + 1)], la separación relativa a E
n
de dichos valores se hace cada vez más pequeña y tiende
a cero (distribución prácticamente continua).
4.- Una partícula se puede mover libremente a lo largo del eje x desde x = −1 hasta x = 1, pero le
está estrictamente prohibido encontrarse fuera de esta región. Se encuentra en un estado descrito por
la función de onda ψ(x) = Acos(πx/2). Normalice la función y represéntela. Calcule la probabilidad de
encontrar la partícula en el rango −0.5 ≤ x ≤ 0.5.
Solución:
La densidad de probabilidad da la probabilidad, por unidad de longitud del eje x, de encontrar la partícula en la
coordenada x en el instante t. Según el postulado de Born es: P(x, t) = Ψ
∗
(x, t)Ψ(x, t). La función de onda dada es
un autoestado del sistema; por tanto la parte temporal de esa función de onda desaparece al calcular la P (x, t) y ésta
resulta ser independiente del tiempo. La normalización se hace teniendo en cuenta que la partícula se puede mover
entre x = ±1, de manera que
R
+1
−1
P(x)dx = 1. Por tanto:
A
2
Z
+1
−1
cos
2
(πx/2)dx = A
2
= 1
de manera que A = 1. Represente usted la función de onda o la densidad de probabilidad.
La probabilidad de encontrar la partícula en el rango especificado es la integral de la densidad de probabilidad en
el intervalo dado
Z
+0.5
−0.5
P(x)dx = 2A
2
Z
+π/4
0
cos
2
(u)du =
1
π
·
u
2
+
sin(2u)
4
¸
π/4
0
=
(π + 2)
8π
= 0.64
PROBLEMAS
1.- Pruebe que si se conservan simultáneamente la energía y el momento lineal del sistema, no sería
posible la creación de pares mediante el proceso hν −→e
+
+e
−
si no hay alguna materia (por ejemplo,
un núcleo) presente.
La conservación de la energía relativista total se escribe:
hν = E
+
+E
−
= 2m
0
c
2
+K
−
+K
+
donde K
±
es la energía cinética de cada una de ellas y estando la energía total (E
±
) y el momento de cada partícula
(p
±
) relacionados por las ecuaciones:
E
2
±
= (K
±
+m
0
c
2
)
2
= p
2
±
c
2
+ (m
0
c
2
)
2
⇒p
2
±
c
2
= K
2
±
+ 2m
0
c
2
K
±
Supongamos que elegimos el eje OX a lo largo de la dirección de propagación del fotón inicial (vea la figura 1). La
suma de los momentos de salida de las partículas en la dirección OY debe ser nula. Además, por ser el electrón y el
positrón partículas idénticas, excepto en que son una la antipartícula de la otra, el módulo de p
+
y el de p
−
coinciden.
Llamaremos p a dicho módulo y K a la energía cinética que tiene cada partícula. El valor absoluto del ángulo que
forman los momentos de las partículas e
+
y e
−
con el eje OX es el mismo.
Por tanto, la conservación del momento nos dice entonces que hν = 2pc cos θ y
(hν)
2
= 4p
2
c
2
cos
2
θ =
¡
4K
2
+ 8Km
o
c
2
¢
cos
2
θ
Si se conservara la energía, tendríamos
(hν)
2
=
¡
2m
0
c
2
+ 2K
¢
2
= 2p
2
c
2
+ 4K
2
+ 8Km
0
c
2
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
x
θ
h
ν
/c
p
p
θ
Figura 1: Creación de pares mediante el proceso hν −→e
+
+e
−
.
y esta expresión no coincide con la anterior.
Por tanto, para que se produzca el par e
+
y e
−
a partir del fotón debe haber algo que permita conservar a la vez
el momento lineal y la energía total en la colisión: por ejemplo, un núcleo que intervenga en el proceso, absorbiendo
la energía y el impulso necesarios para la conservación de ambos.
2.- Sea una partícula en un pozo cuadrado de profundidad infinita del anchura x ∈ (0, L). Llamamos
E
n
a los autovalores de la energía de la partícula. La función de onda de la partícula es una combinación
de dos autoestados
Ψ(x, t) = Asin
³
πx
L
´
exp(−iω
1
t) +Asin
µ
2πx
L
¶
exp(−iω
2
t)
(a) Calcule la constante de normalización A ¿Depende del tiempo la constante de normalización?
Nótese que los dos sumandos que dan lugar a Ψ(x, t) son autofunciones del hamiltoniano del pozo cuadrado. Eso
significa que son ortogonales la una a la otra. Escribimos
Ψ
1
(x, t) =
r
2
L
sin
³
πx
L
´
exp(−iω
1
t) , Ψ
2
(x, t) =
r
2
L
sin
µ
2πx
L
¶
exp(−iω
2
t)
La constante de normalización se calcula haciendo uno la probabilidad de encontrar la partícula en todo el sistema,
esto es, que la integral de la densidad de probabilidad en todo el pozo sea la unidad
R
L
0
Ψ
∗
(x, t) Ψ(x, t) dx = 1
|A|
2
R
L
0
[Ψ
∗
1
(x, t) +Ψ
∗
2
(x, t)] [Ψ
1
(x, t) +Ψ
2
(x, t)] dx = 1
|A|
2
h
R
L
0
Ψ
∗
1
(x, t) Ψ
1
(x, t) dx +
R
L
0
Ψ
∗
2
(x, t) Ψ
2
(x, t) dx +
R
L
0
Ψ
∗
1
(x, t) Ψ
2
(x, t) dx +
R
L
0
Ψ
∗
2
(x, t) Ψ
1
(x, t) dx
i
= 1
Pero, dado que Ψ
1,2
(x, t) son autofunciones del hamiltoniano en el pozo se verifica que
Z
L
0
Ψ
∗
i
(x, t) Ψ
j
(x, t) dx = δ
ij
que es la condición de ortonormalidad (esto es, que son ortogonales y que están normalizadas). Esto quiere decir que
la expresión anterior de normalización para Ψ(x, t) nos queda
|A|
2
[1 + 1 + 0 + 0] = 1 =⇒A =
1
2
(b) Calcule la probabilidad de que la partícula esté localizada en la mitad izquierda del pozo,
0 ≤ x ≤ L/2.
La probabilidad de encontrar la partícula en esa zona es la integral de la densidad de probabilidad en esa zona
Z
L/2
0
Ψ
∗
(x, t) Ψ(x, t) dx
= |A|
2
"
Z L
2
0
Ψ
∗
1
(x, t) Ψ
1
(x, t) dx +
Z L
2
0
Ψ
∗
2
(x, t) Ψ
2
(x, t) dx +
Z L
2
0
Ψ
∗
1
(x, t) Ψ
2
(x, t) dx +
Z L
2
0
Ψ
∗
2
(x, t) Ψ
1
(x, t) dx
#
Nota: Ahora ya no se verifica que las integrales de los términos cruzados sean nulas (sólo son cero en el pozo de
potencial, entre 0 y L). El cálculo de las integrales se deja como ejercicio.
(c) Calcule el valor esperado x(t) de la posición de la partícula en ese estado.
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
El valor medio de la posición se calcula mediante la densidad de probabilidad
x =
Z
L
0
Ψ
∗
(x, t) x Ψ(x, t) dx
∝
"
Z
L
0
Ψ
∗
1
(x, t) x Ψ
1
(x, t) dx +
Z
L
0
Ψ
∗
2
(x, t) x Ψ
2
(x, t) dx +
Z
L
0
Ψ
∗
1
(x, t) x Ψ
2
(x, t) dx +
Z
L
0
Ψ
∗
2
(x, t) x Ψ
1
(x, t) dx
#
Tampoco ahora se verifica que las integrales de los términos cruzados son nulas y también se deja como ejercicio
el cálculo de las integrales.
(d) ¿Cuál es la relación entre E
n
y ω
n
? ¿Por qué?
Si hacemos actuar el operador energía i~∂/∂t sobre cada uno de las autofunciones Ψ
1
(x, t) y Ψ
2
(x, t) se ve que hay
una relación inmediata entre los autovalores E
n
y las frecuencias ω
n
:
i~
∂
∂t
Ψ
i
(x, t) = ~ω
i
Ψ
i
(x, t) = E
i
Ψ
i
(x, t)
la última igualdad viene de la definición de la energía asociada a un autoestado.
(e) Calcule y dibuje la densidad de probabilidad de la partícula para t = π~[2 (E
2
−E
1
)].
Hágalo.
(f ) Demuestre que la densidad de probabilidad en x = L/2 es independiente del tiempo.
Sustituya y verifíquelo.
(g) Si se realiza una medida de la energía, ¿cuáles son los posibles resultados de esta medida, y
cuál es la probabilidad asociada con cada una de ellas?; ¿varían con el tiempo dichos resultados y
probabilidades?
Los posibles resultados de la medida son los valores asociados a cada autofunción, esto es, ~ω
1
y ~ω
2
. Como el
peso de cada autofunción en la función de onda total es el mismo, la probabilidad de encontrar uno u otro autovalor
es 1/2 para cada uno.
Estos valores no varían con el tiempo pues la energía es
E =
Z
L
0
Ψ
i
(x, t) i~
∂
∂t
Ψ(x, t) dx
= |A|
2
"
E
1
Z
L
0
|Ψ
1
(x, t)|
2
dx +E
2
Z
L
0
|Ψ
2
(x, t)|
2
dx +E
2
Z
L
0
Ψ
∗
1
(x, t)Ψ
2
(x, t) dx +E
1
Z
L
0
Ψ
∗
2
(x, t)Ψ
1
(x, t) dx
#
=
1
2
E
1
+
1
2
E
2
(h) ¿Es Ψ(x, t) un estado estacionario?
No es un estado estacionario, pues la densidad de probabilidad (y otras magnitudes, como por ejemplo el valor
medio de la posición) no son constantes en el tiempo.
3.- Queremos describir una partícula que se mueve en un sistema unidimensional (el eje OX) por
Ψ(x, t) = Aexp
Ã
−(x −x
o
)
2
4a
2
!
exp
µ
ip
o
x
~
¶
exp(iω
o
t)
(a) Calcular los valores medios x, x
2
y la incertidumbre en la posición de la partícula ∆x.
La función de ondas debe estar normalizada de manera que
Z
∞
−∞
Ψ
∗
(x, t) Ψ(x, t)dx = A
2
Z
∞
−∞
e
−(x−x
0
)/(2a
2
)
dx = 1
Haciendo el cambio de variable u = x −x
0
, dx = du, la constante de normalización es
1 = A
2
Z
∞
−∞
e
−u
2
/(2a
2
)
du = a
√
2π =⇒A
2
= 1/(a
√
2π)
x = A
2
Z
∞
−∞
ue
−u/(2a
2
)
du +x
0
µ
A
2
Z
∞
−∞
e
−u/(2a
2
)
du
¶
= x
0
Note en el primer término que la integral de una función impar en un intervalo simétrico x ∈ [−∞, ∞] , da cero.
x
2
= A
2
Z
∞
−∞
(u
2
+x
2
0
+ 2x
0
u) e
−u/(2a
2
)
du = 2A
2
Z
∞
0
u
2
e
−u/(2a
2
)
du +x
2
0
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
Como
R
∞
−∞
ue
−u/(2a
2
)
du = 0, y utilizando la integral
R
∞
0
u
2
e
−u/(2a
2
)
du de los datos
x
2
= x
2
0
+a
2
∆x =
¯
¯
¯x
2
−x
2
¯
¯
¯
1/2
= a
(b) Calcular los valores medios p, p
2
y la incertidumbre en el momento lineal de la partícula ∆p.
p
op
=
~
i
∂
∂x
, p
2
op
= −~
2
∂
2
∂x
2
p
op
Ψ(x, t) =
·
p
0
−
~
i
(x −x
0
)
2a
2
¸
Ψ(x, t)
p
2
op
Ψ(x, t) =
·
p
2
0
+
~
2
4a
2
−2p
0
~
i
(x −x
0
)
2a
2
¸
Ψ(x, t)
y como
R
∞
−∞
(x −x
0
) e
−(x−x0)/(2a
2
)
dx = 0
p =
R
∞
−∞
Ψ
∗
(x, t)
∂
∂x
Ψ(x, t)dx = p
0
p
2
= −~
2
R
∞
−∞
Ψ
∗
(x, t)
∂
2
∂x
2
Ψ(x, t)dx =
³
p
2
0
+
~
2
4a
2
´
)
⇒(∆p)
2
=
~
2
4a
2
(c) ¿Son consistentes los resultados con el principio de incertidumbre? ¿Qué significa eso física-
mente?
∆x · ∆p =
~
2
Como se ve, es plenamente consistente. Esto quiere decir que la función de onda que se da en el enunciado tiene sentido
físico, es decir, puede describir el estado de una partícula porque es compatible con el principio de incertidumbre.
4.- Supongamos la función de energía potencial descrita en la figura (2)
`
`
V(x)
x
-V
0
0 L/2 L
Figura 2: Pozo de potencial.
a) Escriba la forma de la función de onda en las distintas regiones del potencial.
a1) En las regiones x < 0, y x > L, el potencial es infinito, de manera que ψ(x) = 0.
a2) La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se escribe:
−
~
2
2m
d
2
ψ(x)
dx
2
−V
0
ψ(x) = Eψ(x), 0 < x < L/2
−
~
2
2m
d
2
ψ(x)
dx
2
= Eψ(x), L/2 < x < L,
de forma que sus soluciones son:
F
í
s
i
c
a

C
u
á
n
t
i
c
a

(
3
º
)
.

U
N
E
D
.
• En la región I la solución será una función oscilatoria,
0 < x < L/2, ψ
I
(x) = Acos(k
I
x) +Bsin(k
I
x), k
I
=
q
2m(V0+E)
~
En la región II hay dos posibilidades:
1.- si E < 0 (en el caso de la mecánica clásica la partícula no podría entrar en la región I):
L
2
< x < L, ψ
II
(x) = C exp(k
II
x) +Dexp(−k
II
x), con k
II
=
q
−2mE
~
2.- si E > 0, la solución será una función oscilatoria,
L
2
< x < L, ψ
III
(x) = C
0
cos(k
IiI
x) +D
0
sin(−k
III
x), con k
III
=
q
2mE
~
b) Dibuje esquemáticamente la densidad de probabilidad ψ
∗
ψ en cada zona del potencial. Hágalo.
c) ¿Qué condiciones debe cumplir la función de onda en x = 0, x = L/2 y x = L?
Las constantes arbitrarias se escogen de modo que las funciones satisfagan las condiciones siguientes:
c1) la función debe anularse en la fronteras del pozo donde el potencial es infinito, esto es,
ψ
I
(0) = 0 y ψ
II
(L) = 0
c2) las funciones y sus derivadas deben ser continuas en L/2, esto es,
ψ
I
(L/2) = ψ
II
(L/2) y ψ
0
I
(L/2) = ψ
0
II
(L/2).
d) Considerando sólo los estados con E < 0, escriba las ecuaciones que nos permitan calcular los
niveles de energía.
Las cuatro condiciones anteriores determinan las cuatro constantes arbitrarias (A, B, C, D o A, B, C
0
, D
0
). Si E < 0,
las expresiones que nos pide el enunciado son las siguientes:
A = 0
C exp(k
II
L) +Dexp(−k
II
L) = 0
Bsin(k
I
L/2) = C exp(k
II
L/2) +Dexp(−k
II
L/2)
k
I
Bcos(k
I
L/2) = k
II
[C exp(k
II
L/2) −Dexp(−k
II
L/2)]
A continuación escribiremos estas expresiones de forma algo más simplificada. Dado que D = −C exp(2k
II
L),
podemos escribir ψ
II
(x) = C exp(k
II
L) [exp[k
II
(x −L)] + exp[−k
II
(x −L)]] = F cosh[k
II
(x −L)].
La solución nos queda finalmente como ψ
I
(x) = Bsin(k
I
x), y ψ
II
(x) = F sinh[k
II
(x −L)] habiendo una relación
entre las constantes
Bsin(k
I
L/2) = −F sinh[k
II
(L/2)]
Bk
I
cos(k
I
L/2) = k
II
F cosh[k
II
(L/2)]
que proviene de las condiciones de empalme.
Estas ecuaciones son las que nos piden. Sólo pueden ser resueltas numéricamente, dado que llevan a expresiones
transcendentes, y su solución nos llevaría a los valores de B y F que cumplieran las ecuaciones de empalme y a la
cuantización de la energía.
Nota: Para ver que la solución de estas dos últimas ecuaciones llevan a la cuantización de la energía podemos
reescribirlas como:
B
2
= F
2
"
sinh
2
µ
k
II
L
2
¶
+
µ
k
II
k
I
¶
2
cosh
2
µ
k
II
L
2
¶
#
−k
II
tan
µ
k
I
L
2
¶
= k
I
tan
µ
k
II
L
2
¶
F
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MECANICA CUANTICA (ADAPTACION) MECANICA CUANTICA (3
o
curso)
Opción A (la otra opción figura al dorso de la hoja; indique su opción en el examen).
Primera Prueba Personal. Original. Septiembre de 2000.
No se permite usar ni calculadora ni material auxiliar.
Cuestiones: conteste breve y razonadamente, ajustándose a la pregunta y explicando lo que haga.
Problemas: hay que resolverlos, no sólo decir cómo se harían, definiendo todas las variables que use y
explicando la notación y las fórmulas que utilice. No es suficiente poner la solución: si Vd. conoce la solución
directa de algún apartado, debe exponer dicha solución y explicarla con claridad.
No haga números hasta el final, una vez tenga una expresión algebraica (haga una estimación en órdenes de magnitud).
1
CUESTIONES
1.- Sea una partícula de masa en reposo m
o
. Si su energía es E, sabemos que es posible
asignar una frecuencia ω a la energía, mediante la relación E = ¯ hω = hν. También se puede
asignar una longitud de onda λ a cualquier partícula con momento lineal p. En base a lo
anterior, calcúlese la velocidad de fase V
f
correspondiente a esas λ y ν de la partícula en
función de λ. Comparar el resultado con c si m
o
> 0.
Solución:
Una partícula que posee una energía determinada E y un impulso determinado p se puede representar
mediante una onda en la forma:
ψ = cte ×exp
(−i/¯h)(Et−px)
.
Esta función describe una onda plana que se propaga en la dirección x y posee una frecuencia E/¯h y
una longitud de onda λ = h/p
La definición de velocidad de fase es V
f
= λν, entonces
V
f
= νλ =
E
h
×
h
p
=
E
p
.
Utilizando la expresión de la energía total relativista:
E
2
= p
2
c
2
+
³
m
0
c
2
´
2
E
p
=
s
p
2
c
2
+ m
2
0
c
4
p
2
= c
s
1 +
m
2
0
c
2
p
2
V
f
c
=
E
cp
=
s
1 +
λ
2
m
2
0
c
2
h
2
Por tanto obtenemos como resultado que las fases de las ondas de materia se propagan con una velocidad
que excede la de la luz, lo cual es una indicación más de que la velocidad de fase no tiene significado físico.
2.- Clásicamente, un electrón que interacciona con un protón situado en el origen tiene su
energía mínima cuando se encuentra en el origen de coordenadas. Sin embargo, cuánticamente
la energía mínima será cuando el electrón se encuentra a una distancia a
0
del protón ¿Por qué
sucede esto último?
Solución:
1
Datos:
h = 6.63 ×10
−34
J s, m
p
= 1.67 ×10
−27
kg, m
e
= 9.11 ×10
−31
kg, R
∞
= 109737 cm
−1
, e = 1.6 ×10
−19
C
k
B
= 1.38 ×10
−23
J K
−1
, 1eV=1.6 ×10
−19
J, µ
b
= e¯h/ (2m
e
) = 9.27 ×10
−24
J T
−1
, c = 3 ×10
8
m s
−1
,
a
o
= 4π²
o
¯h
2
/me
2
' 0.52 Å, 1/ (4π²
o
) = 9 ×10
9
m
3
kg s
−2
C
−2
R
∞
0
e
−ax
2
dx =
1
2
p
π/a
R
∞
0
xe
−ax
2
dx = 1/(2a)
R
∞
0
x
2
e
−ax
2
dx =
1
4
p
π/a
3
R
∞
0
x
3
e
−ax
2
dx = 1/
¡
2a
2
¢ R
∞
0
x
4
e
−ax
2
dx =
3
8
p
π/a
5
R
∞
0
x
5
e
−ax
2
dx = 1/a
3
R
∞
0
r
n
e
−ar
dr = n!/a
n+1
R
t
0
exp(−x
2
)dx =
1
2
√
π erf (t)
L
2
op
= −¯h
2
h
1
sinθ
∂
∂θ
¡
sinθ
∂
∂θ
¢
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
i
; L
z,op
= −i¯h
³
x
∂
∂y
−y
∂
∂x
´
= −i¯h
∂
∂ϕ
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)
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La energía total no relativista de un electrón en un campo electrostático es
E =
p
2
2m
−
K
r
La energía del estado fundamental es la menor energía del sistema y sabemos que ha de ser negativa,
ya que de lo contrario no habría enlace. Ahora bien, el primer término es positivo y el segundo negativo.
Clásicamente podemos hacer que la energía de enlace sea tan grande como queramos simplemente eligiendo
una órbita con un radio pequeño. Para un estado del movimiento de este tipo la indeterminación en la
posición sería pequeña, y si intentamos ahora tratar el problema dentro de la mecánica cuántica llegamos
a la conclusión de que la indeterminación en el valor del momento debe ser grande en virtud del principio
de incertidumbre, lo cual a su vez significa que la cantidad p
2
/2m será a su vez grande. Cabe imaginar que
habrá cierto radio óptimo para el cual la energía total tome su mínimo valor.
Se puede estimar, al menos en orden de magnitud, la energía mínima y la distancia mínima, que resulta
ser a
0
. El valor de r que vamos a suponer es del orden de ∆r. Dado que ∆r∆p ∼ h tenemos que
p ∼ ∆p ∼ h/∆r ∼ h/r, y
E =
p
2
2m
−
K
r
∼
h
2
2mr
2
−
K
r
Calcularemos el valor de la distancia que haga la energía más estable, que denominaremos R,
µ
dE
dr
¶
r=R
= −
h
2
mR
3
+
Ze
2
4πε
0
R
2
= 0 ⇒R =
4πε
0
¯h
2
µZe
2
= a
0
PROBLEMAS
1.- El radio de la órbita del estado de energía más baja del átomo de hidrógeno (radio de
Bohr) es a
o
. Un átomo de uranio neutro tiene 92 electrones, que rodean a un núcleo con 92
protones.
(a) Explicando claramente las suposiciones que haga, estime un valor numérico aproximado
para el radio de la órbita más pequeña de los electrones del átomo de uranio alrededor de su
núcleo.
(b) Suponga ahora que el átomo se desprende de todos sus electrones y que posteriormente
captura un único electrón. Calcule la energía mínima que debe tener un fotón que sea capaz
de desprender a ese electrón, ligado al núcleo de uranio.
(c) Calcule el valor de la velocidad del electrón del apartado (b) y compárelo con el valor
de la velocidad de la luz; ¿debe tratarse ese electrón de forma relativista?
Solución:
(a) Para hacer una estimación del radio de la órbita más pequeña utilizaremos el modelo de Bohr.
Por ello supondremos un átomo hidrogenoide, es decir, con un núcleo con carga Ze y un electrón en el
estado de energía más baja, de manera que lo que se supone es que la trayectoria de los demás electrones
es suficientemente lejana como para que el electrón en la trayectoria más cercana al núcleo apenas tiene
interacción con ellos. En ese estado el momento angular es L = rp = nh. La ecuación de la energía para
este electrón en su órbita interna, n = 1, es:
E =
p
2
2m
+ V =
h
2
2mr
2
−
K
r
dE
dr
= −
2h
2
2mr
3
+
Ze
2
4πε
0
r
2
= 0 ⇒a =
4πε
0
¯h
2
mZe
2
donde hemos despreciado el efecto del resto de los electrones en el potencial.
Comparando el radio obtenido con el radio del átomo de hidrógeno:
a =
a
0
92
es mucho más pequeña la órbita.
F
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c
a

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i
c
a

(
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º
)
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.
(b) Con este modelo, la energía de este estado
E
n
=
−13.6
1
Z
2
eV=
−13.6 ×92
2
1
×1.6 ×10
−19
J = −1.84 ×10
−14
J
que comparando con m
0
c
2
= 9.11×10
−31
×
¡
3 ×10
8
¢
2
J=8. 199 × 10
−14
J, vemos que es del mismo orden
de magnitud. (c) Si queremos comparar la velocidad, como según el teorema del virial en valor medio
E = −E
c
, donde E
c
es la energía cinética, la velocidad ses
v =
s
2E
m
=
s
2×1.84 ×10
−14
9.11 ×10
−31
= 2 ×10
8
m s
−1
v
c
∼
2
3
Por tanto se deberían tener en cuenta los efectos relativistas
2.- Sabiendo cuáles son los valores posibles de la energía de una partícula en un pozo
de potencial armónico, y usando argumentos de simetría, demostrar que en el caso de un
potencial
V (x) =
½
∞ x < 0
1
2
Kx
2
x > 0
los valores son E =
³
2n +
3
2
´
¯hω con n = 0, 1, 2, . . . Dar una razón, basada en el principio de
incertidumbre, que justifique el por qué la energía del estado fundamental de este potencial
es mayor que en el caso del oscilador armónico.
Solución:
En el caso del potencial armónico el término de la energía potencial es V = Kx
2
/2 en −∞≤ x ≤ ∞ y
la energía E =
³
n +
1
2
´
¯hω con n = 0, 1, 2, . . . . Dado que V (x) = V (−x) las autofunciones tienen paridad
bien definida: son simétricas (n = 0, 2, 4, ....) o antisimétricas (n = 1, 3, 5..) .
Ahora bien, en el caso que nos ocupa las autofunciones del oscilador armónico satisfacen la ecuación
de Schroedinger pero no las condiciones de contorno. En el presente caso deberán cumplir la condición
ψ(x = 0) = 0, lo cual implica que solo las autofunciones antisimétricas, ψ (x) = −ψ(x), son soluciones
válidas. Las energías correspondientes a estas autofunciones son E =
³
n +
1
2
´
¯hω con n = 1, 3, 5 . . . o lo que
es lo mismo E =
³
2n +
3
2
´
¯hω con n = 0, 1, 2, . . . .
Para estimar la energía del punto cero, E
∗
0
, supondremos que el valor de la indeterminación de la posición
∆x es aproximadamente x. Entonces, el valor ∆p más pequeño posible viene dado por la relación
∆p ∼ h/∆x
Como ∆p =
q
p
2
porque p = 0 en un estado ligado, se tiene que la energía mínima o de punto cero es
E
0
= E
c
+ E
p
=
(∆p)
2
2m
+
1
2
K (∆x)
2
.
Sin embargo observamos que las dimensiones del pozo del enunciado son más pequeñas, ∆x
∗
∼ ∆x/2,
de manera que
∆x
∗
∼ ∆x/2,
∆p
∗
∼ h/∆x
∗
∼ 2h/∆x ∼ 2∆p
por tanto la energía mínima del sistema del enunciado se puede comparar con la anterior
E
∗
0
∼
∆p
∗2
2m
+
1
2
K (∆x
∗
)
2
= 4
∆p
2
2m
+
1
4
K (∆x)
2
= 4E
c
+
E
p
4
≈
17
8
E
0
> E
0
en la estimación hemos utilizado que según el teorema del virial, para el pozo de potencial armónico en
promedio E
c
= E
p
= E/2
Nota: Para comprender mejor que ∆x
∗
∼ ∆x/2 se puede pensar los siguiente: en el estado fundamental
(que no tiene nodos) la función de onda ha de ser nula para x = 0, puesto que el potencial es infinito en
ese valor; por lo tanto la zona con mayor probabilidad de encontrar a la partícula será aproximadamente la
mitad que en el caso del potencial armónico.