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EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL Dado um número real a e um número natural n (n 0), definimos a potência como o produto de n fatores iguais ao número a . ... nn fatores a a a a a Em que: a base n expoente a n potência Convenção: a 0 = 1, a R * POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO nn a1a com n N * e a R * POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL n mmnnm aaa com a R + * e m, n N (n 0 ) PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS nmnm aaa nmnm aaa , se a 0 mmm ba)ba( mmm baba , se b 0 nmmnnm aaa PROPRIEDADES DOS RADICAIS par for nse,a ímpar for nse,a a n n nnn baba nnn baba mnn m aa NOTAÇÃO CIENTÍFICA Notação científica , é também denominada por padrão ou notação em forma exponencial , é uma forma de escrever números que acomoda valores demasiadamente grandes (100000000000) ou pequenos (0,00000000001) para serem convenientemente escritos em forma convencional. O uso desta notação está baseado nas potências de 10 (os casos exemplificados acima, em notação científica, ficariam: 1 × 10 11 e 1 × 10 − 11 , respectivamente). Como exemplo, na química, ao se referir à quantidade de entidades elementares (átomos, moléculas, íons etc.), há a grandeza denominada quantidade de matéria (mol). Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: m x 10 e CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA VOLUME 5 – Prof. Raul Brito 2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 5 EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza . A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o número que mais varia conforme o valor absoluto. 7 Observe os exemplos de números grandes e pequenos: 600 000 30 000 000 500 000 000 000 000 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0,0004 0,00000001 0,0000000000000006 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 A representação desses números, como apresentada, traz pouco significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 kg. Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 27 algarismos significativos. Mas isso pode não ser verdade (é pouco provável 25 zeros seguidos numa aferição). FUNÇÃO EXPONENCIAL Toda função f:R R definida por f(x) = a x com Ra , 0 < a 1 e x R , é denominada função exponencial de base a . Gráficos 1 o caso: a > 1 (função crescente) D(f) = R Im(f) = R + * 2 o caso: 0 < a < 1 (função decrescente) D(f) = R Im(f) = R + * Observação !!! Dos gráficos anteriores, observamos que: Eles nunca tocam o eixo horizontal, ou seja, não possuem raízes. Eles cortam o eixo vertical no ponto (0, 1). Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im = R + * 3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 5 EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL Uma equação é denominada exponencial quando a incógnita aparece no expoente. yxaa yx , com 1 a > 0 Para resolvermos uma equação exponencial, devemos transformar a equação dada em igualdade de mesma base, ou seja, devemos obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação; para isso é necessário usar as propriedades revistas das potenciações. 4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – VOLUME 5 EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM QUESTÃO 01 O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural 1063 – 1061 é igual a: a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. QUESTÃO 02 A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38 45 512 quilômetros. A notação científica desse número é: a) 9,5 1010. b) 0,95 1012. c) 9,5 1012. d) 95 1012. e) 9,5 1014. QUESTÃO 03 Em pesquisa realizada, constatou-se que a população(P) de determinada bactéria cresce segundo a função P(t) = 25 . 2 t , onde t representa o tempo em horas. Quanto tempo será necessário para atingir uma população de 400 bactérias? a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h QUESTÃO 04 Para resolver a equação exponencial 4 2x – 2 – 24 . 4 x – 2 + 8 = 0, Aline tomou o cuidado de inicialmente multiplicar ambos os membros da equação por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou dois números reais cujo produto vale: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 QUESTÃO 05 A soma das raízes reais da equação 4x – 6 . 2x + 8 = 0 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
